Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
ghgfugfyftytfy

THÁI THỊ HỒNG LAM

BỒI DƢỠNG TƢ DUY THUẬN NGHỊCH
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2014



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận án

Thái Thị Hồng Lam


MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1

2. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................................3
4. Giả thuyết khoa học ................................................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................4
6. Đóng góp của luận án ..............................................................................................4
7. Những luận điểm đưa ra bảo vệ ..............................................................................4
8. Cấu trúc của luận án ................................................................................................4
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................6
1.1. M t số vấn đề chung về tư duy ............................................................................6
1.1.1. Khái niệm về tư duy ..........................................................................................6
1.1.2. Đặc điểm của tư duy .........................................................................................6
1.1.3. Về sự phân loại tư duy ......................................................................................7
1.1.4. Những điều kiện hình thành các kiểu tư duy khác nhau trong dạy học ...................8
1.2. Tư duy toán học....................................................................................................9
1.2.1. M t số quan niệm về tư duy toán học ...............................................................9
1.2.2. M t số quan điểm về những thành phần của tư duy toán học và năng lực toán
học .............................................................................................................................10
1.3. Tư duy thuận nghịch ..........................................................................................13
1.3.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thu c lĩnh vực của đề tài .............................13
1.3.2. Những căn cứ dẫn đến m t cách quan niệm về tư duy thuận nghịch và xác
định các thành tố của năng lực TDTN trong toán học ..............................................16
1.3.3. Quan niệm về tư duy thuận nghịch .................................................................23
1.3.4. Các thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch trong toán học ......................25
1.3.5. Các mức đ biểu hiện của năng lực TDTN trong toán học ............................36
1.4. Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch v i m t số loại hình tư duy ..................36
1.4.1. Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch v i tư duy phê phán ..........................36
1.4.2. Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch v i tư duy biện chứng .......................37


1.4.3. Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch và tư duy lôgic .................................40

1.4.4. Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch và tư duy sáng tạo .............................41
1.5. Vai trò của tư duy thuận nghịch .........................................................................43
1.5.1. Vai trò của tư duy thuận nghịch trong sự phát triển của Toán học và ứng dụng
toán học vào thực tiễn ...............................................................................................43
1.5.3. Vai trò của tư duy thuận nghịch trong dạy học môn Toán .............................46
1.7. Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học
môn Toán ở trường Trung học phổ thông .................................................................51
1.7.1. Mục đích khảo sát ...........................................................................................51
1.7.2. Đối tượng khảo sát ..........................................................................................52
1.7.3. N i dung khảo sát............................................................................................52
1.7.4. Phương pháp khảo sát .....................................................................................52
1.7. 5. Kết quả khảo sát thực trạng ...........................................................................52
Chƣơng 2. MỘT S

BIỆN PHÁP G P PHẦN PHÁT TRIỂN TƢ DUY

THUẬN NGHỊCH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG
DẠY HỌC MÔN TOÁN .........................................................................................61
2.1. Định hư ng xây dựng và thực hiện biện pháp ...................................................61
2.2. M t số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông ...................................................61
2.2.1. iện pháp 1: R n luyện cho học sinh thói quen xem x t khái niệm, định lý mà
n i dung của nó n chứa yếu tố thuận nghịch ...........................................................61
2.2.2.

iện pháp 2: Tập luyện cho học sinh thiết lập bài toán đảo của bài toán đã

biết. Đồng thời, r n luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng bài toán ngược
trong giải toán ...........................................................................................................80
2.2.3.

iện pháp 3: R n luyện cho học sinh thói quen nhìn nhận lại quá trình giải

toán. ...........................................................................................................................90
2.2.4.

iện pháp 4: R n luyện cho học sinh khai thác sự tương h giữa các hoạt

đ ng tư duy có chiều hư ng ngược nhau. .................................................................95
2.2.5. iện pháp 5: Xây dựng hệ thống bài tập h trợ việc bồi dưỡng tư duy thuận
nghịch cho học sinh. ................................................................................................118
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................126

1


3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm .......................................................................126
3.2. Tổ chức và n i dung thực nghiệm sư phạm .....................................................126
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ......................................................................126
3.2.2. N i dung thực nghiệm sư phạm ....................................................................127
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm..........................................................................136
3.3.1. Đánh giá định tính .........................................................................................136
3.3.2. Đánh giá định lượng ......................................................................................138
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm .........................................................146
KẾT LUẬN ............................................................................................................148
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................151

2

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN
Viết tắt

Viết đầy đủ

Đ H

: Đặc biệt hóa

ĐC

: Đối chứng

GV

: Giáo viên

HTH

: Hệ thống hóa

HĐ

: Hoạt đ ng

HS

: Học sinh

KQH

: Khái quát hóa

NL

: Năng lực

NXB

: Nhà xuất bản

PPDH

: Phương pháp dạy học

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

TT

: Thành tố

TN

: Thực nghiệm

Tr

: Trang

THCS

: Trung học cơ sở

THPT

: Trung học phổ thông

TDPP

: Tư duy phê phán

TDST

: Tư duy sáng tạo

TDTN

: Tư duy thuận nghịch


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Để thực hiện thành công Chiến lược phát triển giáo dục Việt Nam 20112020, Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của H i nghị lần thứ VIII
an chấp hành Trung ương Đảng khóa XI đã thông qua Đề án “Đổi m i căn bản, toàn

diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều
kiện kinh tế thị trường định hư ng xã h i chủ nghĩa và h i nhập quốc tế” [4]. Trong
Chương trình hành đ ng của ngành Giáo dục, có những n i dung triển khai các dự
án, đề án về đổi m i phương pháp dạy học, hư ng dẫn và thu hút nhiều học sinh
Trung học phổ thông nghiên cứu khoa học kỹ thuật, tổ chức nhiều “sân chơi” trí tuệ cho
học sinh.
Như vậy, đổi m i giáo dục nói chung và đổi m i phương pháp dạy học môn
Toán nói riêng đang trở thành m t yêu cầu bức thiết của giáo dục phổ thông nư c ta,
nhằm tạo ra nguồn lực phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa nư c nhà.
Để đáp ứng được những yêu cầu trên, ở nhà trường dạy học các môn học
không chỉ đơn thuần là giúp cho học sinh có được m t số kiến thức cụ thể nào đó.
Điều cơ bản hơn, quan trọng hơn là trong quá trình dạy học các tri thức cụ thể đó,
r n luyện cho học sinh tiềm lực để khi ra trường họ có thể tiếp tục tự học tập, có khả
năng nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo giải quyết vấn đề, đáp ứng được những đòi hỏi đa
dạng của hoạt đ ng thực tiễn không ngừng phát triển. Nói cách khác, hệ thống giáo
dục phải linh hoạt hơn, cần phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tư
duy, tạo điều kiện cho học sinh có phương pháp tư duy tốt để các em có thể tiếp tục
tự học suốt đời.
1.2. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “... Làm khoa học gì cũng đụng
chạm đến kiến thức, tư duy và tính cách con người m t cách sâu đậm. Kiến thức, tư
duy, tính cách con người chính là mục tiêu giáo dục” [101, tr.7]. Tuy nhiên, thực
tiễn dạy học cho thấy vẫn còn không ít giáo viên chưa quan tâm thích đáng đến việc
phát triển tư duy cho học sinh. Chẳng hạn như “... Cách dạy phổ biến hiện nay là
thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng
tiếp thu n i dung khái niệm, n i dung định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức,
các định lý để tính toán, để chứng minh ...” [102, tr.4], hoặc “Dạy toán ở trường phổ
thông còn nhiều điều chưa ổn”[106, tr.38].

1

Nhu cầu đào tạo nguồn nhân lực phục vụ cho công cu c công nghiệp hóa,
hiện đại hóa đất nư c đòi hỏi phải nâng cao chất lượng dạy học. “Việc giải quyết
triệt để các vấn đề dạy học của nhà trường hiện đại, đòi hỏi phải thay đổi kiểu tư
duy, được thiết kế bằng n i dung và phương pháp dạy học các môn học” [20, tr.6].
1.3. Tính thuận nghịch của tư duy được nhắc đến trong các công trình nghiên
cứu của M. N. Sacđacôp [90], J. Piaget [20], ... Trong công trình nghiên cứu “Tâm
lý năng lực toán học của học sinh” [13] của Viện sĩ V. A. Cruchetxki xuất hiện
cụm từ: Tính thuận nghịch của quá trình tư duy trong lập luận Toán học (khả năng
chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy đảo). Những mô tả ban
đầu của V. A. Cruchetxki về nghĩa của cụm từ này mặc dù chưa thật cụ thể và sâu
sắc bởi trọng tâm nghiên cứu của ông là về cấu trúc năng lực toán học. Nhưng, cách
dùng thuật ngữ đó c ng v i những cảm nhận trực giác về m t loại hình tư duy
không xa lạ trong Toán học và giáo dục Toán học, liên quan đến việc nhận thức,
xem x t sự vật và hiện tượng theo các chiều hư ng ngược nhau, mà trong đó mức
đ khó, dễ giữa chúng cũng không giống nhau, tựa hồ như những hành đ ng phổ
biến diễn ra trong cu c sống hàng ngày: đi tiến và đi lùi, đi lên và đi xuống cầu
thang, ... Tất cả những điều trên đã cho chúng ta gợi ý: Phải chăng chúng ta có thể
nghiên cứu về m t loại hình tư duy có tên gọi tư duy thuận nghịch?
Đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu trong và ngoài nư c đề cập đến
các loại hình tư duy trong giảng dạy Toán học. Chẳng hạn: tư duy lôgic [41], [98], tư
duy biện chứng [43], [118], [119], tư duy sáng tạo [61], [97], tư duy phê phán [3],
[63], [110], tư duy thuật toán [65], [69], tư duy hàm [51], [75], tư duy thống kê [12],
[42], ... Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu m t cách đầy đủ, có hệ thống
về tư duy thuận nghịch. Bởi vậy, n i hàm của khái niệm này xem như vẫn còn m i.
Chúng ta có thể đặt vấn đề nghiên cứu làm sáng tỏ nội hàm của nó cũng như minh
chứng khả năng cần và có thể bồi dưỡng loại hình tư duy này trong dạy học toán ở
các l p bậc Trung học phổ thông.
1.4. Trong thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông, thường xuyên bắt gặp
những tình huống biểu thị mối liên hệ hai chiều mà ta tạm xem m t chiều là thuận

và m t chiều là ngược. Chẳng hạn như các hoạt đ ng tư duy phân tích và tổng hợp,
khái quát hóa và đặc biệt hóa, suy ngược và suy xuôi, nhận dạng và thể hiện, lật
ngược vấn đề, ... Tuy nhiên, những tình huống này chưa thể hiện đầy đủ mọi khía
cạnh của tư duy thuận nghịch, mà chỉ thể hiện m t phần nào đó của tư duy thuận

2


nghịch. Những tình huống đó là phổ biến, nhưng không phải là dễ dàng thực hiện
đối v i học sinh.
Thực tiễn dạy học cũng cho thấy, trong quá trình dạy học, giáo viên chưa
quan tâm nhiều đến mối liên hệ hai chiều này. M t số giáo viên đã có tìm hiểu, khai
thác mối liên hệ này trong dạy học, nhưng chưa thành hệ thống và thường xuyên.
Hầu hết chỉ khi nào trong n i dung dạy học có chứa đựng tường minh mối liên hệ
đó thì giáo viên m i đặt vấn đề xem x t, chẳng hạn khi trong sách giáo khoa yêu
cầu x t định lý đảo, điều kiện cần và đủ, ...
Từ những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:
“Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận án là nghiên cứu để xác định n i hàm của khái niệm tư
duy thuận nghịch trong môn Toán trên cơ sở nêu lên và làm sáng tỏ các thành tố của
năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh, chứng minh sự cần thiết và có thể bồi
dưỡng loại hình tư duy này cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán ở các
l p bậc Trung học phổ thông bằng việc xây dựng các biện pháp phù hợp.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, đề tài có nhiệm vụ:
3.1. Tổng hợp những cơ sở lý luận và thực tiễn về tư duy, tư duy toán học và
việc phát triển tư duy toán học cho học sinh.
3.2. Làm sáng tỏ khái niệm tư duy thuận nghịch của học sinh trong môn Toán ở

các l p bậc Trung học phổ thông thông qua việc xác định các thành tố của năng lực tư
duy thuận nghịch của học sinh.
3.3. Đề xuất m t số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng tư duy thuận
nghịch cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học môn Toán.
3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
các biện pháp đã đề xuất.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu xây dựng được m t số biện pháp sư phạm hợp lý, khả thi, có cơ sở khoa
học xác đáng thì có thể bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh, góp phần vào
việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.

3


5. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài
nư c về các vấn đề có liên quan đến đề tài.
5.2. Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, quan sát và lập phiếu điều tra
thực trạng về việc phát triển tư duy nói chung, tư duy thuận nghịch nói riêng trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để
đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
6. Đ NG G P CỦA LUẬN ÁN
6.1. Về mặt lý luận
6.1.1. Xác định được n i hàm của khái niệm tư duy thuận nghịch của học
sinh trong môn Toán ở các l p bậc Trung học phổ thông thông qua việc làm rõ các
thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh.
6.1.2. Làm sáng tỏ tầm quan trọng, ý nghĩa của tư duy thuận nghịch trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông và trong thực tiễn.
6.2. Về mặt thực tiễn

6.2.1. Đề xuất những biện pháp sư phạm có tính khả thi và hiệu quả góp
phần phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán.
6.2.2. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ
thông.
7. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ
7.1. Thiết lập những căn cứ đưa ra m t cách quan niệm về tư duy thuận nghịch.
7.2. M t số thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh trong
môn Toán và các mức đ biểu hiện năng lực tư duy thuận nghịch trong toán học.
7.3. M t số định hư ng cơ bản và các biện pháp sư phạm đã đề xuất góp
phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông.
8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, danh mục các Tài liệu tham khảo, n i dung
Luận án được trình bày trong 3 chương:
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. M t số vấn đề chung về tư duy.

4


1.2. Tư duy toán học.
1.3. Tư duy thuận nghịch.
1.4. Mối quan hệ của tư duy thuận nghịch v i m t số loại hình tư duy.
1.5. Vai trò của tư duy thuận nghịch.
1.6. Đặc điểm tâm lý của học sinh Trung học phổ thông.
1.7. Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
Kết luận Chương 1.
Chƣơng 2: Một số biện pháp g p phần bồi dƣỡng tƣ duy thuận ngh ch

cho h c sinh Trung h c phổ th ng trong dạy h c m n Toán
2.1. Định hư ng xây dựng và thực hiện biện pháp.
2.2. M t số biện pháp góp phần bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh
trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
Kết luận Chương 2.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm.
3.2. Tổ chức và n i dung thực nghiệm sư phạm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm.
Kết luận

5


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề chung về tƣ duy
1.1.1. Khái niệm về tƣ duy
Trong thực tiễn cu c sống, có rất nhiều cái mà ta chưa biết, chưa hiểu. Để
làm chủ được thực tiễn, con người cần phải hiểu thấu đáo những cái chưa biết đó,
phải vạch ra cái bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của chúng. Quá trình
đó gọi là tư duy.
Có thể chỉ ra m t số cách định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là
quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh được các đối tượng và các hiện
tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con người vạch ra được
những mối liên hệ khác nhau trong m i đối tượng và hiện tượng và giữa các đối
tượng, hiện tượng v i nhau” [37, tr.94]. Hoặc: “Tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩ
của chủ thể về khách thể v i mức đ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so v i các tư liệu
cảm tính xuất hiện do tác đ ng của khách thể” [20, tr.246].

Mặc dù có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy, nhưng có thể
nhận thấy: Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong
hiện thực khách quan. Đó là m t quá trình tâm lý đặc biệt chỉ có ở người.
1.1.2. Đặc điểm của tƣ duy
Trong [1], [14], [20], [29], [30], [107], [108], nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ra
m t số đặc điểm của tư duy là:
* Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;
* Tư duy có tính gián tiếp;
* Tư duy có tính trừu tượng và tính khái quát;
* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tư duy và ngôn ngữ có mối
quan hệ chặt chẽ v i nhau, không tách rời nhau nhưng cũng không đồng nhất v i
nhau. Ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ là vỏ vật chất của tư duy, là phương
tiện của tư duy.
* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống
có vấn đề”. Dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì n i dung của tư duy vẫn
chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hình tượng trực quan, ...).

6


X. L. Rubinstêin đã khẳng định rằng: “N i dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư
duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành ch dựa cho tư duy” [108].
* Tư duy là một quá trình: Tư duy là hoạt đ ng trí tuệ v i m t quá trình bao
gồm bốn bư c cơ bản sau:
+ Xác định vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy.
+ Huy đ ng tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết.
+ Xác minh tính đúng sai của giả thuyết. Nếu giả thuyết đúng thì qua bư c
sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết m i.

+ Đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng [29], [30], [78], [107].
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí
tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào m t quá trình tư duy cụ thể
v i tư cách m t hành đ ng trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái
quát hóa, ...
1.1.3. Về sự phân loại tƣ duy
Có nhiều loại hình tư duy đã được nhiều tác giả trong và ngoài nư c nghiên
cứu như tư duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận, ... Về bản
chất, tư duy chỉ có m t, đó là sự hình thành m i hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các
phần tử ghi nh . Sự phân chia ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và
vận dụng tốt tư duy trong hoạt đ ng của hệ thần kinh.
Theo [89], [108], có ba loại tư duy: Tư duy trực quan, hành động; Tư duy
trực quan hình tượng; Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic).
Theo A.V. Pêtrôvxki và L. . Itenxơn, có bốn loại tư duy: tư duy hình tượng,
tư duy thực hành, tư duy khoa học, tư duy lôgic [74, tr.126-130].
J. Piaget thường nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể, tư duy hình thức.
Trong [20], V. V. Đavưđôv nói đến tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm.
Trong m t số công trình của V. A. Cruchetxki đề cập đến: tư duy tích cực, tư
duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận [15, tr.112-117].
Theo J. Guilford, có hai loại tư duy phân biệt, ngược v i nhau: tư duy hội tụ
và tư duy phân kỳ [61].
Tác giả Nguyễn Văn L c trong [59] đã trình bày 5 cách xem x t về phương
diện tư duy: Xem x t về phương diện lịch sử hình thành và phát triển tư duy; xem
x t về phương diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng; xem x t về phương diện

7


tính chất, kết quả của quá trình tư duy; xem x t về phương diện cấu trúc khác nhau
của hiện thực; xem x t về phương diện các dấu hiệu đặc thù của đối tượng tư duy.

Trong cuốn Phương pháp tư duy lôgic [96], tác giả Tiến Thành đề cập đến
rất nhiều loại hình tư duy, chẳng hạn: Tư duy động, tư duy tĩnh, tư duy ngược, tư
duy chiều dọc, tư duy chiều ngang, tư duy liên tưởng, ...
Trên đây là m t số cách phân loại tư duy, qua đó có thể thấy rằng cách phân
loại tư duy là hết sức đa dạng và “Tùy theo nội dung và tính chất của những nhiệm
vụ cần giải quyết mà tư duy được phân thành các kiểu khác nhau” [40, tr.449].
1.1.4. Những điều kiện hình thành các kiểu tƣ duy khác nhau trong dạy h c
Theo A.V. Pêtrôvxki [74, tr.130], trong tình huống sư phạm đã cho, hình
thành được kiểu tư duy nào, điều đó phụ thu c vào bốn nhân tố: tính chất của tài
liệu học tập; kiểu bài toán; lứa tuổi và trình độ của học sinh; phương thức dạy học.
Nhân tố thứ nhất – Tính chất của tài liệu: Hiểu tài liệu có nghĩa là xác định
được mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tượng v i nhau, cũng như v i kinh nghiệm
và những tri thức đã có của học sinh. Từ đó, ông quan niệm: tư duy – có nghĩa là
vận dụng những mối liên hệ này để giải những bài toán xác định.
A.V. Pêtrôvxki [74] cho rằng: nếu tư duy là chân thực, tức nó phản ánh hiện
thực m t cách đúng đắn, thì nó chỉ có thể dựa trên những mối liên hệ thực sự có
trong các tri thức xuất phát của nó. Vì thế, dựa theo tính chất về mối liên hệ mà tạo
khả năng triển khai loại hình tư duy, không phải trên mọi tài liệu đều có thể hình
thành bất kì kiểu tư duy nào. Vì vậy, ở trường phổ thông, tính chất khác nhau của
các môn học cũng như giữa các nội dung kiến thức trong một môn học, tạo khả
năng cho sự triển khai một kiểu tư duy xác định. Chẳng hạn, khi xem x t m t định
lý toán học, chúng ta không chỉ quan tâm định lý thuận, mà còn quan tâm đến mệnh
đề đảo của định lý, nghĩa là xem x t định lý trong mối liên hệ hai chiều, tạo khả
năng cho kiểu tư duy xem xét sự vật hiện tượng theo hai chiều ngược nhau.
Nhân tố thứ hai - Tính chất của bài toán là nhân tố sản sinh ra sự cần thiết của
kiểu tư duy. M i bài toán muốn giải được đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những
mối liên hệ xác định của các dữ kiện xuất phát. Chẳng hạn, những bài toán về chứng
minh trong toán học đòi hỏi phải phát hiện và sử dụng những mối liên hệ lôgic của
các dữ kiện tất yếu, do đó tư duy lôgic là cần thiết, còn việc giải các phương trình
(chẳng hạn như x 2  2 x  8 ) thường chỉ đòi hỏi những biến đổi hợp qui tắc, vì thế tư

duy thực hành là cần thiết. Như vậy, bản thân bài toán bu c tư duy phải dựa trên kiểu

8


mối liên hệ này hay kiểu mối liên hệ kia trong các dữ kiện xuất phát và do đó nó cũng
quyết định kiểu tư duy nào được thực hiện khi giải bài toán đó. Hơn thế nữa, bằng
cách biến đổi tính chất của bài toán có thể bồi dưỡng cho các em những kiểu tư duy
khác nhau.
Ví dụ 1.1: a) So sánh 210 v i 103 ;
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 2n > n3.
V i câu a) học sinh nghĩ ngay rằng: chỉ việc thực hiện ph p tính 210 và so sánh
kết quả v i 1000 - tư duy thực hành. Tuy nhiên, đối v i câu b) đòi hỏi phải tìm tòi,
phải đi theo con đường ngược lại - từ dữ kiện của bài toán đến chỗ tìm tòi lời giải,
phải nghĩ đến quy nạp toán học, nghĩ đến khảo sát hàm số, ... khiến cho hoạt đ ng trí
tuệ của các em có đặc điểm khác, nâng cao tính tích cực trí tuệ của học sinh.
Nhân tố thứ ba – lứa tuổi và trình độ phát triển của học sinh. Khó qui định
được các gi i hạn của lứa tuổi. Như L. S. Vygotski đã chứng tỏ, những cấp đ và
những kiểu tư duy khác nhau có thể đồng thời tồn tại ở cùng m t người tùy theo tri
thức và thực tiễn tư duy tương ứng của người đó trong lĩnh vực này hay lĩnh vực
khác. Tuy nhiên, nhìn chung rõ ràng là cùng v i lứa tuổi, tư duy phát triển từ kiểu
hình tượng – thực hành sang kiểu tư duy khoa học và tư duy lý thuyết.
Ví dụ 1.2: V i ví dụ 1.1 ở trên, câu a) HS tiểu học cũng làm được, các em
phải thực hành tính toán 210 bằng 1024. V i câu b) HS l p 10 chỉ có thể nghĩ đến
quy nạp toán học, v i HS l p 12 có thể nghĩ đến khảo sát hàm số, logarit hóa, ...
Nhân tố thứ tư – phương thức dạy học, phương thức xác định các mối quan
hệ mà tư duy vận dụng.
Như vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải xem x t bốn nhân tố
trên m t cách linh hoạt, để lựa chọn và có phương pháp bồi dưỡng loại hình tư duy
thích hợp m t cách hiệu quả nhất, nhằm đạt được mục đích dạy học.

1.2. Tƣ duy toán h c
1.2.1. Một số quan niệm về tƣ duy toán h c
Theo Nguyễn Văn L c [59], tư duy toán học được hiểu: Thứ nhất là hình
thức biểu l của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học
Toán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật,
kinh tế quốc dân, ... Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định
bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để

9


nhận thức các hiện tượng của thế gi i hiện thực, cũng như bởi chính các phương
thức chung của tư duy mà nó sử dụng.
N i dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạng không
gian và những quan hệ số lượng của thế gi i hiện thực [59, tr.16-17].
Về đặc điểm của tư duy toán học, A. M. Phriđman viết: “Tư duy toán học là
tư duy lý thuyết trừu tượng cao nhất, các đối tượng của nó có thể được hình thức
hóa vứt bỏ tất cả các tính vật chất và chỉ giữ lại những quan hệ đã cho giữa chúng”
(dẫn theo [12, tr.13]).
Giáo dục Toán học cho HS là m t quá trình phức tạp, nhằm đạt các mục tiêu [115]:
- Truyền thụ cho HS m t hệ thống nhất định những kiến thức cơ bản của
Toán học.
- R n luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo Toán học.
- Phát triển tư duy toán học cho HS.
“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt
đ ng toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển m t cách có
phương hư ng thì không thể đạt hiệu quả trong việc truyền thụ cho HS hệ thống các
kiến thức và kỹ năng toán học” (dẫn theo [98, tr.13]).
Đến nay, đã có nhiều tài liệu đề cập (theo các mức đ khác nhau) đến các
khía cạnh xung quanh vấn đề về tư duy toán học: [12], [41], [42], [43], [61], [63],

[65], [68], [75], [97], [98], [113], [119], ...
1.2.2. Một số quan điểm về những thành phần của tƣ duy toán h c và
năng lực toán h c
Để h trợ cho việc xác định các thành tố cơ bản của tư duy thuận nghịch trong
môn Toán, chúng tôi đã tham khảo m t số quan điểm về những thành phần của tư
duy toán học. Nhiều nhóm tác giả đưa ra các quan điểm khác nhau về vấn đề này.
- Trong cuốn sách Phương pháp giảng dạy Toán ở trường phổ thông của
nhóm tác giả: Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L.
Lucankin (cuốn sách này được ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [118] và được tái
bản lần thứ nhất vào năm 1980 [119]), các tác giả đã trình bày rất cụ thể về những
thành phần của tư duy toán học.
Trư c khi nêu ra các thành phần của tư duy toán học, tác giả lý giải: “Tư duy
toán học có những n t, những đặc điểm đặc trưng của mình, mà những đặc điểm

10


này được quy định bởi tính đặc thù của các đối tượng nghiên cứu và được quy định
bởi tính đặc thù của các phương pháp nghiên cứu” [118].
Về cấu trúc tư duy toán học, theo [118, tr.136-151], các thành phần chủ yếu
của tư duy toán học gồm: Tư duy cụ thể; Tư duy trừu tượng; Tư duy trực giác; Tư
duy hàm; Tư duy biện chứng; Tư duy sáng tạo; Các phong cách toán học của tư duy.
Trong đó, tư duy trừu tượng có thể được tách thành: Tư duy phân tích; Tư
duy lôgic; Tư duy lược đồ không gian.
Tuy nhiên, cũng là nhóm tác giả này, trong [119, tr.116] các tác giả chỉ trình
bày các thành phần của tư duy là: Tư duy cụ thể; Tư duy trừu tượng; Tư duy trực
giác; Tư duy hàm.
Khi đề cập đến các loại hình tư duy, các tác giả đều mô tả tương đối cụ thể
bằng cách chỉ ra những đặc trưng của loại hình tư duy ấy.
- Trong các bài báo của Viện sĩ . V. Gơnhedencô viết về giáo dục toán học

(ở trường phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của tư duy toán
học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm từ những yêu
cầu đối với tư duy toán học của học sinh. Những yêu cầu đó là: Năng lực nhìn thấy
sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần
thiết trong chứng minh; Sự cô đọng; Sự chính xác của các ký hiệu; Phân chia rõ
ràng tiến trình suy luận; Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic (dẫn theo [98, tr.15]).
- Nhà toán học nổi tiếng A. Ia. Khinsin, A. I. Marcusêvich, cũng không nói
rõ ràng tư duy toán học; năng lực toán học bao gồm những thành phần nào mà có
cách sử dụng khác về thuật ngữ.
Theo A. Ia. Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là: Suy luận
theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế; Khuynh hư ng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến
mục đích; Phân chia rành mạch các bư c suy luận; Sử dụng chính xác các ký hiệu
(m i ký hiệu toán học có m t ý nghĩa xác định chặt chẽ); Tính có căn cứ đầy đủ của
lập luận [37, tr.127].
Theo A. I. Marcusêvich, những kỹ năng cần phải bồi dưỡng cho học sinh
trong dạy học toán là: Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại
những cái bản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa; Kỹ năng rút ra
hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho; Kỹ năng phân tích m t vấn đề thành những
trường hợp riêng, phân biệt khi nào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào chỉ là
ví dụ chưa bao quát hết mọi khả năng; Kỹ năng khái quát hóa các kết quả nhận

11


được và đặt ra những vấn đề m i ở dạng khái quát; Kỹ năng xây dựng sơ đồ của
hiện tượng, sao cho, trong đó chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho việc giải thích
vấn đề về mặt Toán học; Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận,
biết đối chiếu các kết quả đó v i các vấn đề đã dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hưởng
của việc thay đổi các điều kiện đến đ tin cậy của các kết quả [61].
- Theo quan điểm của V. A. Cruchetxki, ông chỉ ra cấu trúc NL toán học của

HS bao gồm các thành phần sau:
Thu nhận những thông tin toán học: NL tri giác hình thức hóa tài liệu toán
học, NL nắm được cấu trúc hình thức của bài toán.
Chế biến thông tin toán học, đó là: NL tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan
hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu, các kí hiệu số, NL suy nghĩ
v i các kí hiệu toán học; NL khái quát nhanh chóng và r ng rãi các đối tượng, quan
hệ, các ph p toán của toán học; NL rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống
các ph p toán tương ứng, NL suy nghĩ v i những cấu trúc được rút gọn; Tính mềm
dẻo của quá trình tư duy trong hoạt đ ng toán học; Khuynh hư ng vươn t i sự rõ
ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải; NL thay đổi nhanh
chóng, dễ dàng hư ng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy ngược.
Lưu trữ thông tin toán học, đó là trí nh toán học tức là trí nh khái quát về
các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng
minh, về các phương pháp giải toán, nguyên tắc, đường lối giải toán.
Thành phần tổng hợp chung là khuynh hư ng toán học của trí tuệ [13,
tr.167-168]; [37, tr.129-130].
- Theo A. N. Kôlmôgôrôv, trong thành phần của NL toán học có: NL biến đổi
kh o l o những biểu thức chữ phức tạp, NL tìm các con đường giải các phương trình
không theo quy tắc chu n, NL tính toán; Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác
hình học”; Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bư c được phân chia m t cách đúng
đắn. Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học[37, tr.129].
ên cạnh các tác giả nư c ngoài, m t số loại hình của tư duy toán học đã
được các tác giả Việt Nam nghiên cứu. Trong [37, tr.60-61], các tác giả cho rằng:
“Để nhận thức mặt n i dung của hiện thực cần tư duy biện chứng, để nhận thức mặt
hình thức của hiện thực cần tư duy lôgic, nên tư duy toán học cũng phải là sự thống
nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng”.
Những đặc trưng của tư duy hàm và bốn tư tưởng chủ đạo để phát triển tư
duy hàm đã được tác giả Nguyễn á Kim trình bày trong [51, tr.122- 149]. Theo đó,

12

tư duy hàm được đặc trưng bởi các hoạt đ ng: Phát hiện hoặc thiết lập những sự
tương ứng; Nghiên cứu những sự tương ứng; Lợi dụng những sự tương ứng.
Trong [54, tr.201- 202], [65, tr.28], các tác giả đã chỉ rõ những thành phần
của tư duy thuật toán (thuật giải). Trong [65] đã đề xuất m t số hư ng có thể thực
hiện để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học môn Toán.
Qua việc tham khảo các quan điểm của các tác giả về tƣ duy toán h c và
năng lực toán h c, ta rút ra một số nhận xét sau:
* Dù phân loại theo tiêu chí nào thì các loại hình tư duy thường có sự giao
thoa nhau. Tuy nhiên, sự phân chia m t cách tương đối vẫn rất cần thiết: “Sự phân
chia diễn ra ở trên cho m t quá trình phức tạp như tư duy toán học, bằng cách x t
các thành phần riêng rẽ của nó, chẳng qua là do muốn nghiên cứu các biểu hiện
riêng biệt của tư duy trong quá trình giảng dạy Toán mà thôi. Chỉ có như vậy người
giáo viên m i có điều kiện thúc đ y sự phát triển nếu không được toàn diện thì cũng
là sự phát triển từng phần tư duy toán học cho học sinh” (dẫn theo [98, tr.20]).
Chính vì lẽ đó, trong mục 1.3.4 của luận án khi đưa ra những thành tố cơ
bản của tư duy thuận nghịch cũng không tránh khỏi sự giao thoa giữa các thành tố
v i nhau.
* Khi so sánh tính hợp lý giữa các cách quan niệm về các loại hình tư duy
cần có quan điểm toàn diện. Có thể quan niệm này phù hợp hơn quan niệm kia nếu
x t ở khía cạnh học sinh Trung học phổ thông, nhưng không phù hợp bằng nếu x t
ở khía cạnh học sinh Trung học cơ sở. Tương tự như vậy nếu x t trên khía cạnh chất
liệu kiến thức (Đại số, Số học, Hình học, Giải tích).
Như vậy, để đánh giá đúng mức vai trò của m t loại hình tư duy hay năng
lực, cũng như tìm kiếm các biện pháp phát triển chúng, không nên chỉ đơn thuần
dựa vào tên gọi m t cách chung chung, mà trư c hết phải có quan niệm cụ thể về
loại hình tư duy hoặc năng lực này. Hợp lý hơn cả là nên làm rõ những thành tố cơ
bản của nó.
1.3. Tƣ duy thuận ngh ch

1.3.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài
Việc nghiên cứu mối quan hệ hai chiều có tính thuận nghịch trong các hiện
tượng tự nhiên, xã h i và tư duy đã được m t số tác giả trong và ngoài nư c quan
tâm như sau:

13


Ở ngoài nƣớc:
* Theo Piaget [16], [71], [72], [78], [79], đối v i trẻ em từ 7, 8 tuổi trở lên,
trong tư duy đã xuất hiện khả năng đảo ngược. Đó là khả năng thực hiện các thao
tác ngược nhau (thực ra hành đ ng chỉ xảy ra m t chiều, vì thời gian chỉ xảy ra m t
chiều, nhưng tính đảo ngược có thể hiểu là trật tự ngược nhau của chu i thao tác hai
hành đ ng). Chẳng hạn, ngay từ l p 1, HS đã thực hiện thao tác 3 + 5 = 8 (trên cở sở
đã thành thục hành đ ng “g p” 3 v i 5 thành 8), thì cũng thực hiện được thao tác
ngược lại là “tách” hay là phân tích 8 = 3 + 5. Theo J. Piaget, tính thuận nghịch thể
hiện khi “các thao tác và hành đ ng có thể được triển khai về hai hư ng và hiểu được
m t trong hai hư ng đó gợi ra sự hiểu biết hư ng kia” [20, tr.275]. Ông đã đánh giá
cao về vai trò của tính thuận nghịch trong hoạt đ ng nhận thức, điều này được thể
hiện trong nhận x t của Ph. Lêyven: đối v i Piaget, tính thuận nghịch – đó là “con
ngươi” của nhận thức, được hình thành trong hệ thống, m t tính chất mà trong quan
hệ v i nó, tất cả các tính chất còn lại chỉ là dẫn xuất [20, tr.275].
* Tác giả V. A. Cruchetxki đã quan tâm đến tính thuận nghịch của quá trình
tư duy trong lập luận toán học [13, tr.107], được hiểu là việc làm thay đổi phương
hư ng của quá trình tư duy theo nghĩa chuyển từ tư duy thuận (hư ng tư duy từ A
đến ) sang tư duy đảo (hư ng từ

đến A). Ông xem khả năng này là m t thành

phần của năng lực toán học của HS và đã tiến hành thực nghiệm trên đối tượng HS

l p 6, 7, 8 và chủ yếu tập trung vào việc xem x t, đánh giá sự suy nghĩ của HS
trong vấn đề nhận thức và giải quyết vấn đề liên quan đến hai chiều của m t công
thức và các bài toán thuận nghịch. Ông đã rút ra kết luận rằng n t nổi bật của HS có
năng khiếu là khả năng chuyển m t cách nhanh chóng và dễ dàng từ quá trình tư
duy thuận sang quá trình tư duy đảo, là tính thuận nghịch dễ dàng của quá trình lập
luận. Các liên hệ được hình thành ở các em có ngay đặc tính thuận nghịch. Ở các
HS trung bình và k m quá trình này hết sức khó khăn.
* Tác giả Edgar Morin cho rằng: “Tư duy, trong sự vận đ ng/sáng tạo của
nó, là m t dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt đ ng và những thao tác, sử
dụng những năng lực bổ sung/đối kháng của tinh thần/b não, và theo nghĩa đó, tư
duy là sử dụng đầy đủ đối lôgic về những năng lực suy nghĩ của tinh thần con
người” [66, tr.342]. Ông cho rằng, trong quá trình suy nghĩ, chúng ta gặp những
thành tố đối lôgic được tư duy đưa vào vận đ ng, chẳng hạn như: phân tích – tổng

14


hợp; trừu tượng – cụ thể; diễn dịch – qui nạp; khách thể hóa – chủ thể hóa; ... và
những thành tố này cũng đưa tư duy vào vận đ ng.
Như vậy, tư duy không ngừng liên kết trong bản thân nó, theo lối bổ sung
các quá trình đối kháng tiềm tàng có xu hư ng loại bỏ nhau. Nó phải từ chối và
chiến đấu chống lại mâu thuẫn, nhưng đồng thời lại chịu đựng mâu thuẫn và tự nuôi
sống bằng mâu thuẫn. Theo nghĩa đó, tư duy là một vận động đối lôgic không
ngừng. Do đó, có những khiếm khuyết của tư duy khi xảy ra sự loại trừ m t quá
trình bởi quá trình đối kháng. Chẳng hạn, sự phân tích m t mình nó phá vỡ tổ chức
liên kết các yếu tố được phân tích, còn sự tổng hợp m t mình nó che khuất tính hiện
thực của các thành tố, ... Mọi quá trình tư duy, nếu không được kiểm tra theo lối đối
lôgic, thì dẫn đến ch mù quáng hay t i hoang tưởng.
Tác giả Ia. I. Pêtrốp (dẫn theo [90, tr.114]) cũng có quan niệm: hoạt động tư
duy của HS diễn biến theo chiều thuận – nghịch.

* Trong công trình nghiên cứu về tư duy của HS của M. N. Sacđacôp có đề
cập đến tính thuận nghịch trong các mối liên hệ và quan hệ. Ông cho rằng, tính
thuận nghịch là m t trong những đặc điểm về chất của các mối liên hệ và quan hệ
giữa các hiện tượng của hiện thực. Nó biểu hiện trong ảnh hưởng lẫn nhau có tính
chất đ ng giữa các thành phần của m t hiện tượng hoàn chỉnh. Ông cũng cho rằng
dòng ý nghĩ thuận và nghịch là đặc điểm vốn có của bản thân hoạt đ ng tư duy.
* Các tác giả Tsukasa Hirashima và Megumi Kurayama quan tâm đến việc
dạy HS học tập bằng cách đặt bài toán cho những bài toán tư duy ngược. Các ông
đặc biệt quan tâm “đảo ngược suy nghĩ vấn đề”, và đã tiến hành thực nghiệm trong
m t l p học của HS l p 1 ở m t trường tiểu học, v i môi trường học tập dựa trên
máy tính [116].
* Tác giả G. Polya đã đề cập đến phép rút gọn thuận nghịch trong giải toán.
Ông quan niệm: “Việc chuyển bài toán ban đầu sang bài toán phụ sẽ gọi là phép rút
gọn thuận nghịch hoặc hai chiều, hoặc là tương đương nếu như bài toán phụ và bài
toán ban đầu là tương đương nhau” [80, tr.66].
Ở trong nƣớc:
* Tác giả Nguyễn á Kim đã quan tâm đến khả năng đảo ngược quá trình tư
duy, lấy đích của m t quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho quá trình m i, còn
điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình m i. Ông xem
đó là m t thể hiện của tính linh hoạt của tư duy [56]. Các tác giả Nguyễn á Kim,

15


Vũ Dương Thụy, Hoàng Chúng đều cho rằng, trong dạy học, cần chú ý r n luyện
cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược m t cách song song v i nhau
nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời v i việc hình
thành liên tưởng thuận [11], [54].
* Trên cơ sở nghiên cứu Lý thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget, Phan
Trọng Ngọ [72] cho rằng: thao tác thực chất là hành đ ng vật chất bên ngoài được

chuyển vào trong và cải biến ở trong đó; tính đảo ngược của thao tác là do hai hành
đ ng thực tiễn ngược nhau tạo thành. Từ đó, để có thao tác trong đầu, trẻ em phải
bắt đầu từ hành đ ng ở bên ngoài và khi tiến hành hành đ ng ở bên ngoài cần triển
khai hành động ngược ngay sau khi có hành động xuôi. Đây chính là bí quyết trong
việc hình thành thao tác học cho HS.
Vì vậy, trong giáo dục, nói chung cần thực hiện theo nguyên tắc: hai việc
làm (thao tác) ngược nhau phải được tiến hành liền nhau (coi như đồng thời). Chẳng
hạn, thao tác trừ đi liền thao tác c ng; thao tác chia đi liền thao tác nhân; thao tác
“tháo” vần ra thành nguyên âm và phụ âm phải đi liền thao tác “lắp” nguyên âm vào
phụ âm để được lại vần; Cho hàm số y = f(x), thao tác tìm y khi biết x đi liền v i thao
tác tìm x khi biết y, ...
* Tác giả Tôn Thân [97] quan tâm đến việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho
HS thông qua việc giải các bài toán thuận nghịch và lập bài toán đảo.
Như vậy, nhìn chung đã có nhiều tác giả trong và ngoài nư c quan tâm
nghiên cứu mối quan hệ có tính thuận nghịch trong tư duy theo những quan niệm,
đối tượng cụ thể khác nhau. Tuy nhiên, chưa có tác giả hay nhóm tác giả nào nghiên
cứu có hệ thống, đầy đủ về m t loại hình tư duy mang tên là tư duy thuận nghịch và
đề xuất các biện pháp sư phạm để khai thác tiềm năng của môn Toán nhằm hiện
thực hóa việc bồi dưỡng loại hình tư duy này cho HS.
1.3.2. Những căn cứ dẫn đến một cách quan niệm về tƣ duy thuận
ngh ch và xác đ nh các thành tố của năng lực TDTN trong toán h c
1.3.2.1. Căn cứ vào mối liên hệ phổ biến
Theo quan điểm triết học Mác-Lênin [28], các sự vật, các hiện tượng và các
quá trình trong thế gi i đều tồn tại trong những mối liên hệ, quan hệ, trong sự tác
đ ng qua lại, chuyển hóa lẫn nhau v i sự vật, hiện tượng khác, cũng như giữa các
mặt của m t sự vật, của m t hiện tượng. Do đó, khi nhận thức về sự vật, hiện tượng
chúng ta phải có quan điểm toàn diện, xem x t theo nhiều chiều, nhiều phương

16

diện, theo các góc cạnh khác nhau, tránh quan điểm phiến diện chỉ x t sự vật, hiện
tượng ở m t mối liên hệ, hay chỉ m t mặt, đã v i vàng kết luận về bản chất hay tính
quy luật của chúng. Chẳng hạn, m i bài toán cần được xem x t trong mối liên hệ
v i các bài toán khác như bài toán ngược, bài toán đặc biệt, bài toán khái quát, bài
toán tương tự, ... Đồng thời, ngay trong m i bài toán cũng cần xem x t mối quan hệ
giữa giả thiết và kết luận của nó.
Tất cả các sự vật, hiện tượng trên thế gi i đều có tính hai mặt của nó. Hai
mặt của m t vấn đề vừa có tính thống nhất, vừa mâu thuẫn, sẽ không có mặt này
nếu không có mặt kia, sẽ không có cái toàn b nếu không có mối liên hệ giữa hai
mặt đó. Chẳng hạn, phân tích và tổng hợp là hai hoạt đ ng trí tuệ trái ngược nhau
nhưng lại là hai mặt của m t quá trình thống nhất.
Vì vậy, trong khi xem x t, đánh giá m t sự vật, hiện tượng, chúng ta không
chỉ xem x t theo lối suy nghĩ hoặc thói quen thường làm, mà hãy nhìn nhận vấn đề
theo cả chiều ngược lại.

ởi vì, việc xem x t mặt kia của vấn đề sẽ tăng tính bao

quát, toàn diện, đầy đủ, có thể giúp chúng ta linh hoạt trong suy nghĩ, trong cách
giải quyết vấn đề. Sự đảo ngược sẽ phá vỡ lối tư duy thông thường của chúng ta,
khắc phục sức ì tâm lý và kích thích lối tư duy m i. Theo tác giả Đào Văn Trung,
nghĩ ngược có thể giúp chúng ta mở ra bầu trời m i [104]. Việc tư duy theo hai
chiều ngược nhau sẽ góp phần khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm của lối tư duy
một chiều. Chẳng hạn, trong hoạt đ ng chứng minh, nếu chứng minh trực tiếp mệnh
đề gặp khó khăn thì người giải toán phải linh hoạt chuyển hư ng suy nghĩ, có thể
nghĩ đến chứng minh gián tiếp bằng cách chứng minh mệnh đề phản đảo hoặc bác
bỏ phủ định của mệnh đề cần chứng minh.
1.3.2.2. Căn cứ vào kết quả nghiên cứu về tính thuận nghịch của tư duy
Dựa vào m t số kết quả nghiên cứu của J. Piaget, V. A. Cruchetxki, Edgar
Morin, M. N. Sacđacôp, Phan Trọng Ngọ, Nguyễn á Kim, … về tính thuận nghịch

của tư duy trong mục 1.3.1, có thể nhận thấy tính thuận nghịch của tư duy được đặc
trưng bởi khả năng của trí tuệ vận động theo cả chiều thuận và nghịch và tư duy
trong sự vận động là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và
những thao tác. Đó là những đặc tính quan trọng của tư duy, có vai trò quan trọng
trong hoạt đ ng nhận thức và có thể bồi dưỡng được trên cơ sở thực hiện các hành
đ ng có chiều hư ng ngược nhau. Vì vậy, trong dạy học GV cần quan tâm tập luyện

17


cho HS các hoạt động tư duy, cách suy nghĩ ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn nhau và
vận dụng linh hoạt mối liên hệ, quan hệ đó nhằm nâng cao hiệu quả dạy học.
1.3.2.3. Căn cứ vào nghĩa của các từ và cụm từ “thuận nghịch” trong tiếng Việt
Trong Từ điển tiếng Việt, chưa thấy sự giải thích về nghĩa của cụm từ tư duy
thuận nghịch. Tuy nhiên, sự xuất hiện của m i từ hoặc cụm từ ít nhiều đều có cái lí
của nó. Trong quan hệ đặt tên cho các đối tượng có ba khái niệm khác nhau tham
gia vào đó là: “tên gọi”, “ý nghĩa của tên gọi”, “ý đồ của tên gọi” [22]. Người ta nói
rằng: tên gọi gợi ra ý nghĩa và phản ánh ý tưởng của việc đặt tên cho đối tượng.
Cụm từ “thuận nghịch” gợi cho ta những tính chất, những mối liên hệ xuôi và
ngược v i mức đ khó, dễ khác nhau, nhưng tương h lẫn nhau.
1.3.2.4. Căn cứ vào những khó khăn, sai lầm phổ biến của HS khi giải toán,
đặc biệt là những khó khăn, sai lầm của HS trong quá trình xem xét, đánh giá, diễn
đạt, vận dụng, ... những khái niệm, định lý, lập luận toán học liên quan đến tình
huống theo chiều ngược lại
Ví dụ 1.3: Khi dạy về hàm số nghịch biến, đồng biến, có thể cho HS trả lời
câu hỏi: Giả sử f (x) là hàm đồng biến trên (a; b) , có nhận x t gì về mối quan hệ
giữa hai số x1 , x2 khi biết hai số này thu c (a; b) và f ( x1 )  f ( x2 ) ?
M t số HS do không nắm vững khái niệm, không nắm vững các quy tắc suy
luận nhưng vẫn đi t i kết quả x1  x2 . Rất có thể họ đã lập luận như sau: Nếu
x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) , mà f ( x1 )  f ( x2 ) , nên x1  x2 .

Thực ra, kết quả x1  x2 là đúng nhưng suy luận thì không đúng. Những HS
này đã lầm tưởng rằng có quy tắc suy luận:

A  B, B
.
A

Ví dụ 1.4: M t học sinh tính 2 5  32 . Cậu ấy hình dung ba số 2, 5, 32 liên hệ
bằng hai cách khác nhau:  = 2;  = 5. Việc xác lập mối liên hệ giữa các số đã cho
bằng cách áp dụng khái niệm khai căn ( 5 32  2 ) và tìm lôgarit ( log 2 32  5 ) đối v i
cậu ta là khó. Việc làm trên chỉ có thể thực hiện được khi có sự thống nhất trong
nhận thức của cậu ta bằng mối quan hệ thuận nghịch v i nhau.
1.3.2.5. Căn cứ vào đặc điểm môn Toán, đặc trưng của phương pháp toán
học, nội dung của môn Toán ở bậc THPT
* Đặc điểm của toán học được phản ánh vào đặc điểm của môn Toán trong
nhà trường phổ thông.

18