Bài giảng "Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học".

Lời cảm ơn
Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn đợc
hoàn thành với sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của T.S Nguyễn Đinh Hùng.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các
thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn
Toán.
Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc
của tác giả.
Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán
trờng Nghi Lộc 1 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài.
Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả
thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa. Tác giả rất mong nhận đợc
những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Vinh, tháng 11 năm 2007
Tác giả
Mục lục
Trang
Mở đầu
1
Chơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
5
1.1. T duy 6
1.2. T duy sáng tạo 6
1.3. Một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo 9
1.4. Vận dụng t duy biện chứng để phát triển t duy sáng tạo cho HS. 14
1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho
học sinh
19
1.6. Kết luận chơng 1 21

Chơng 2. Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định
hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh
22
2.1. Vấn đề 1: Rèn luyện t duy sáng tạo qua bài toán dựng hình 22
2.2. Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho
một bài toán hình học không gian
54
2.3. Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy
lạ về quen
69
2.4. Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học không
gian về bài toán hình học phẳng
78
2.5. Kết luận chơng 2 85
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm
86
3.1. Mục đích thực nghiệm 86
3.2. Nội dung thực nghiệm 86
3.3. Tổ chức thực nghiệm 86
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm 89
kết luận
91
tài liệu tham khảo
92
2
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Thế giới ngày nay đang thay đổi theo một tốc độ luỹ thừa, nhằm đáp ứng
đợc những thay đổi nhanh chóng đó trong khoa học, công nghệ, truyền thông.
Chúng ta không những dựa trên các giải pháp của quá khứ, mà còn phải tin tởng

vào những quá trình giải quyết các vấn đề mới.
Điều này không chỉ hàm ý nói đến những kỹ thuật mới mà còn nói đến
mục tiêu giáo dục. Mục tiêu của giáo dục phải là phát triển một xã hội trong đó
con ngời có thể sống thoải mái với sự thay đổi hơn là sự xơ cứng. Vì thế bắt
buộc bản thân các nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lu truyền tri thức và các giá trị
của quá khứ vừa chuẩn bị cho một tơng lai mà ta cha biết rõ.
Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội
hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trở thành
công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và đợc coi là chìa khoá của sự phát
triển.
Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế
hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập
buộc chúng ta phải đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng bồi dỡng t duy sáng
tạo cho học sinh.
Việc học tập tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải
có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo đợc động lực trong thúc đẩy bản thân
họ t duy để đạt đợc mục tiêu đó.
Trong việc rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh ở trờng phổ thông, môn
Toán đóng vai trò rất quan trọng. Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớn trong sự
phát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ
và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công
3
nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là một công cụ để học
tập và nghiên cứu các môn học khác.
Vấn đề bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh đã đợc nhiều tác giả trong
và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu. Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" nổi tiếng,
nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải
toán, quá trình sáng tạo toán học. Đồng thời trong tác phẩm "Tâm lý năng lực
toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học

của học sinh. ở nớc ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm
Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức, đã có
nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển
t duy sáng tạo cho học sinh. Hay nh luận văn Thạc sĩ của Từ Hữu Sơn - Đại học
Vinh năm 2004 với tiêu đề: "Góp phần bồi dỡng một số yếu tố đặc trng của t
duy sáng tạo lý thuyết đồ thị". Phạm Xuân Chung năm 2001: "Khai thác sách
giáo khoa hình học 10 THPT hiện hành qua một số dạng bài tập điển hình
nhằm phát triển năng lực t duy sáng tạo cho học sinh". Tác giả Bùi Thị Hà -
Đại học Vinh năm 2003, trong luận văn của mình với đề tài: "Phát triển t duy
sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân".
Nh vậy, việc bồi dỡng và phát triển t duy sáng tạo trong hoạt động dạy
học toán đợc rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Tuy nhiên, việc bồi dỡng t duy
sáng tạo thông qua dạy giải các bài tập hình học ở trờng THPT thì các tác giả
cha khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên
cứu của luận văn này là: "Bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ
thông qua dạy học giải bài tập hình học".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề nhằm
góp phần rèn luyện yếu tố t duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải bài tập
hình học.
4
3. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy học hình học theo định hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học
sinh thì có thể góp phần đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay
và nâng cao chất lợng dạy học toán ở trờng phổ thông trung học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
4.1- Làm sáng tỏ khái niệm t duy, t duy sáng tạo.
4.2- Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực t duy sáng
tạo cho học sinh.
4.3- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập hình học phù hợp với sự phát

triển t duy sáng tạo cho học sinh.
4.4- Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện
thực, tính hiệu quả của đề tài.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1- Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận
dạy học môn toán.
- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài.
- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Quan sát
- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh
trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa.
5.3. Thực nghiệm s phạm
Tiến hành thực nghiệm s phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một lớp đối tợng.
6. Cấu trúc luận văn
A. Phần mở đầu
5
- Lý do chọn đề tài
- Mục đích nghiên cứu
- Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giả thiết khoa học
- Phơng pháp nghiên cứu
B. Phần nội dung
Ch ơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. T duy
1.2. T duy sáng tạo
1.3. Một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo
1.4. Vận dụng t duy biện chứng để phát triển t duy sáng tạo cho HS.
1.5. Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạo

cho học sinh.
1.6. Kết luận chơng 1
Ch ơng 2. Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định hớng
bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh
2.1. Vấn đề 1: Rèn luyện t duy sáng tạo qua bài toán dựng hình
2.2. Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một
bài toán.
2.3. Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy lạ về quen.
2.4. Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học không gian
về bài toán hình học phẳng.
2.5. Kết luận chơng 2
Ch ơng 3. Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm
3.2.1. Lớp thực nghiệm
3.2.2. Tiến trình thực nghiệm
3.3. Kết quả thực nghiệm
3.3.1. Đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học
3.3.2. Kết luận về thực nghiệm s phạm.
6
Ch ơng 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. T duy
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con ngời cha biết. Nhiệm vụ của
cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con ngời phải hiểu biết cái cha
biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái
bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là t
duy.
T duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối
liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiện

thực khách quan mà trớc đó ta cha biết (theo tâm lý học đại cơng - Nguyễn
Quang Cẩn)
Theo từ điển triết học: "T duy, sản phẩm cao nhất của vật chất đợc tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. T duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất xã hội của con ngời và đảm bảo phản ánh thực tại một cách
gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. T duy chỉ tồn tại trong mối
liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ
tiêu biểu cho xã hội loài ngời cho nên t duy của con ngời đợc thực hiện trong
mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của t duy đợc ghi nhận trong
ngôn ngữ. Tiêu biểu cho t duy là những quá trình nh trừu tợng hoá, phân tích và
tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung,
việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả của quá trình t duy bao giờ
cũng là một ý nghĩ nào đó".
Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của t duy.
- T duy là sản phẩm của bộ não con ngời và là một quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan.
7
- Kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đợc thể hiện
qua ngôn ngữ.
- Bản chất của t duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tợng đợc
phản ánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả năng hoạt động của con ngời
nhằm phản ánh đối tợng.
- T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong t duy đợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngời.
1.2. T duy sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải
quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng
tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị

hơn cái cũ). Nh vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội
loài ngời. Sáng tạo thờng đợc nghiên cứu trên nhiều phơng diện nh là một quá
trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, nh một kiểu t duy, nh là một năng
lực của con ngời.
Các nhà nghiên cứu đa ra nhiều quan điểm khác nhau về t duy sáng tạo.
Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là những
điều kiện cần thiết của t duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác
nhau của t duy sáng tạo. Tính sáng tạo của t duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo
ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hớng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn
mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phơng pháp
dạy học bộ môn Toán)
Theo Tôn Thân quan niệm: "T duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập tạo
ra ý tởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác giả
"T duy sáng tạo là t duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có.
Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải
pháp. Mỗi sản phẩm của t duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá
8
nhân đã tạo ra nó. (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi
dỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trờng
THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học s phạm - Tâm lý, Viện khoa học
giáo dục Hà Nội)
Nhà tâm lý học ngời Đức Mehlhow cho rằng "T duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục" Theo ông,
t duy sáng tạo đợc đặc trng bởi mức độ cao của chất lợng, hoạt động trí tuệ nh
tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác. Trong khi đó,
J.DanTon lại cho rằng "T duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý
nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí t-
ởng tợng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những
chuỗi phiêu lu, chứa đựng những điều nh: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi
mới, trí tởng tợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một t duy gọi là có
hiệu quả nếu t duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là
sáng tạo nếu t duy đó tạo ra những t liệu, phơng tiện giải các bài toán sau này.
Các bài toán vận dụng những t liệu phơng tiện này có số lợng càng lớn, có dạng
muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của t duy càng cao, thí dụ: lúc những
cố gắng của ngời giải vạch ra đợc các phơng thức giải áp dụng cho những bài
toán khác. Việc làm của ngời giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng
hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải đợc nhng tốt vì đã gợi ra cho ngời
khác những suy nghĩ có hiệu quả".
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ngời học Toán: "Đối
với ngời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đơng đầu với
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận đợc cái mới mà họ cha từng biết. Nh vậy, một
bài tập cũng đợc xem nh là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị
những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu ngời giải ch-
a biết trớc thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bớc đi cha biết trớc.
Nhà trờng phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo
nội dung vừa trình bày.
9
Theo định nghĩa thông thờng và phổ biến nhất của t duy sáng tạo thì đó
là t duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, t duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới
về thế giới về các phơng thức hoạt động. Lene đã chỉ ra các thuộc tính sau đây
của t duy sáng tạo:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo.
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết.
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tợng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu
lời giải (khả năng xem xét đối tợng ở những phơng thức đã biết thành một ph-
ơng thức mới).
- Kỹ năng sáng tạo một phơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nhng phơng

thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)
T duy sáng tạo là t duy tích cực và t duy độc lập nhng không phải trong t
duy tích cực đều là t duy độc lập và không phải trong t duy độc lập đều là t duy
sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dới dạng vòng
trong đồng tâm
T duy tích cực
T duy độc lập
T duy sáng tạo
Có thể nói đến t duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó cha biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, t duy sáng tạo
giải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính
hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
10
Nói chung t duy sáng tạo là một dạng t duy độc lập, tạo ra ý tởng mới
độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.
1.3. Một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, về cấu trúc của
t duy sáng tạo, có năm đặc trng cơ bản sau:
- Tính mềm dẻo
- Tính nhuần nhuyễn
- Tính độc đáo
- Tính hoàn thiện
- Tính nhạy cảm vấn đề
1.3.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của t duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác t duy này sang thao tác t duy khác, vận
dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái
quát hóa, cụ thể hoá và các phơng pháp suy luận nh quy nạp, suy diễn, tơng tự,
dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hớng
suy nghĩ khi gặp trở ngại.

Tính mềm dẻo của t duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng
trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan
niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tợng, gạt bỏ sơ đồ t duy có sẵn và xây
dựng phơng pháp t duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc
chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy nghĩ
không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã
có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi,
có khả năng thoát khỏi ảnh hởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những ph-
ơng pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trớc. Đó là nhận ra vấn đề mới trong
điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết.
11
Nh vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của t duy
sáng tạo, do đó để rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em
giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện đợc tính mềm dẻo của t duy.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của t duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đa ra
giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lợng của ý tởng
sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn đợc đặc trng bởi khả năng tạo ra một số lợng nhất
định các ý tởng. Số ý tởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất
hiện ý tởng độc đáo, trong trờng hợp này số lợng làm nảy sinh ra chất lợng.
Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trng sau:
- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm đợc
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trớc một vấn
để phải giải quyết, ngời có t duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất đợc
nhiều phơng án khác nhau và từ đó tìm đợc phơng án tối u.
Ví dụ : Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =
OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy tính khoảng cách giữa hai đờng
thẳng chéo nhau AI, OC?

Cách 1: Xem khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau AI và OC là khoảng
cách từ 1 điểm thuộc 1 đờng thẳng (chẳng hạn O OC) đến một mặt phẳng
song song đờng thẳng đó và chứa đờng thẳng còn lại mặt phẳng (AIJ).
Qua I kẻ IJ // OC (J OB)
Gọi (P) là mặt phẳng qua AI, IJ khi đó (P) // OC.
Vậy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P)).
Kẻ OH AJ (H AJ). Vì IJ // OC nên
IJ OB
IJ OA





IJ OH.
12
Do đó OH (AIJ) hay OH (P)
Suy ra d (AI, OC) = d ((P), OC) = d ((P), O) = OH =
a
5
.
- Hai là khả năng xem xét đối tợng dới nhiều khía cạnh khác nhau, có
một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tợng chứ không phải
cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
Trở lại ví dụ trên ta có:
Cách 2: Dựng đờng vuông góc chung của AI và OC.
- Qua I kẻ đờng thẳng IJ // OC (J OB)
- Qua O kẻ đờng thẳng OH // AJ (H AJ)
- Qua H kẻ đờng thẳng HE // IJ (I AI)
- Qua E kẻ đờng thẳng EF // OH (F OC)

Khi đó EF là đoạn góc chung của AI và OC.
Thật vậy. Vì IJ // OC nên
IJ OB IJ (AOB)
IJ OA IJ OH (1)





Vì OH AJ (theo cách dựng) nên theo (1) ta có OH (AIJ)
OH AI mà EF // OH nên EF AI (2)
Ta lại có: OC (AOB) OC OH.
Do đó EF OC (OH // EF) (3)
Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.
Khoảng cách giữa đờng thẳng AI và OC là:
d(AI, OC) = EF = OH.
Trong đó:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
OH OA OJ a a
a
2
= + = + =

ữ

OH =
a
5

. Vậy d(AI, OC) =
a
5
.
13
o
f
c
i
e
h
a
j
b
Cách 3: Xét khoảng cách giữa hai đờng thẳng AI và OC là khoảng cách giữa
hai mặt phẳng lần lợt chứa hai đờng thẳng AI, OC và song song với nhau.
Từ I kẻ IJ // OC (J OB)
Gọi (P) là mp qua AI và IJ, (Q)
là mp qua DC và // (P)
Khi đó:
d(AC, AI) = d ((P) (Q)) = d (O, (P)) = OH =
a
5
.
Cách 4: Xem khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AI và OC là chiều cao hình chóp
có đỉnh là một điểm nằm trên một đờng thẳng (chẳng hạn O OC) đáy nằm
trên mặt phẳng // đờng thẳng đó và chứa đờng thẳng còn lại (mp (AIJ)). Hình
chóp OAIJ
Ta có d(OC, AI) =
OAIJ

AIJ
3V
S
Trong đó:
V
OAIJ
=
3
1 1 a a a
OJ.AJ . . .a
6 6 2 2 24
= =
S
AIJ
=
2
2
1 1 a a a 5
AJ.IJ a .
2 2 4 2 8
= + =
d
(OC, AI)
=
3
2
a 8 a
3 .
2a
a 5 5

=
Vậy d (OC, AI) =
a
5
.
Cách 5: Xem khoảng cách giữa hai đờng thẳng AI, OC là chiều cao hình hộp
có hai đáy chứa 2 đờng thẳng trên.
Dựng hình hộp AMNPOCDI
14
c
o
j
i
b
h
a
Gọi V là thể tích của hình hộp. Khi đó d (OC, AI) =
MNCO
V
S
Trong đó V = AO . S
OCDI
= 2AO . S
OCI
V = 2 . a .
3
1 a a a
OI.IC a. .
2 2
12 2

= =
S
MNCO
= S
APDI
= IA . ID . sin (
ã
AID
)
= IA . OC . sin (
ả
AIJ
)
S
MNCO
= IA . OC .
AJ
AI
= OC . AJ
Trong đó OC = a
AJ =
2
2
a
a
4
+
S
MNCO
=

2
a 5 a 5
a. .
2 2
Vậy d(OC, AI) =
3
2
a
a
2
a 5 5
2
=
.
1.3.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của t duy đợc đặc trng bởi các khả năng.
- Khả năng tìm ra những hiện tợng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài
liên tởng nh không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt
động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho
việc tìm đợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính
15
m
a
p
d
c

o
n
b
i
nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất đợc nhiều phơng án khác nhau mà có thể tìm
đợc giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ khăng khít
với các yếu tố khác nh: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
Tất cả các yếu tố đặc trng nói trên cùng góp phần tạo nên t duy sáng tạo, đỉnh
cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ngời.
1.3.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành
động, phát triển ý tởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tởng.
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, cha tối u từ đó có
nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Các yếu tố cơ bản của t duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học
sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập Toán
mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các
hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích
trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải. ở học sinh khá
và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo. Điều quan
trọng là ngời giáo viên phải có phơng pháp dạy học thích hợp để có thể bồi d-
ỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em.
1.4. Vận dụng t duy biện chứng để phát triển t duy sáng tạo cho học sinh.
T duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và nhiệm
vụ của ngời thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các đối tợng
và hiện tợng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu thuẫn và
trong sự phát triển.

16
T duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và định
hớng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tin khi trong việc tìm
tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ có ngày
thành công và hớng tìm đến thành công là cố nhìn cho đợc mỗi khái niệm toán
học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt.
T duy sáng tạo là loại hình t duy đặc trng bởi hoạt động và suy nghĩ nhận
thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phơng diện mới, giải
quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới, xem
xét sự vật hiện tợng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa, có giá trị.
Muốn đạt đợc điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét từ
chính bản thân nó, nhìn nó dới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vào những
hoàn cảnh khác nhau, ... nh thế mới giải quyết vấn đề một cách sáng tạo đợc.
Mặt khác t duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xem xét một cách
đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các
mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và
muôn vẻ của nó với các sự vật khác. Đây là cơ sở để học sinh học toán một cách
sáng tạo, không gò bó, đa ra đợc nhiều cách giải khác nhau.
Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện t duy biện chứng cho học
sinh hay nói cách khác là rèn luyện t duy biện chứng cho học sinh từ đó có
thể rèn luyện đợc t duy sáng tạo cho học sinh.
Ví dụ: Xét bài toán sau đây: "Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác
đó ta dựng các tam giác đều ABC', ACB', BCA'. Chứng minh rằng tam giác IJK tạo
thành từ các điểm là tâm của các tam giác đều trên là một tam giác đều".
Trớc hết ta cha nêu ra lời giải bài toán ngay mà hãy đặt bài toán trong những
mối liên hệ, xem xét nó trong sự vận động, nhìn bài toán dới nhiều góc độ khác
nhau để tìm phơng án giải quyết tối u nhất, sáng tạo nhất.
17
Đối với bài toán chứng minh một tam giác là một tam giác đều chúng ta
phải hớng học sinh nhìn nhận tam giác đều dới nhiều khía cạnh khác nhau để

tìm ra các lời giải cho bài toán:
- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba cạnh bằng nhau chúng ta
sẽ có hớng chứng minh ba cạnh của tam giác bằng nhau:
K
J
I
B'
A'
C
B
A
C'
Ta tìm cách biến đổi để có biểu thức của KJ
2
đối xứng đối với a, b, c. Chú
ý rằng
ABC
Sbc.sinA
2
1
=
và
222
a2bc.cosAcb
=+
. Ta có
18
Do đó

bc.sinA

3
3
bc.cosA
3
1
3
b
3
c
)60bc.cos(A
3
2
3
b
3
c
KJ
22
22
o
++=
++=
Cách giải 1:
Chứng minh JI = JK = KI.
Trong tam giác AKJ ta có:
KJ
2
= AK
2
+AJ

2
-2.AK.AJ.
ã
cosKAJ
Gọi các cạnh của tam giác ABC lần lợt
là a, b, c thì

3
3b
AJ,
3
3c
AK
==
Còn
ã
)
o
cosKAJ cos(A 60= +

S
3
32
6
cba
KJ
S
3
32
6

c
6
b
6
2bc.cosAcb
KJ
222
2
2222
2
+
++
=
+++
+
=
Vì biểu thức KJ
2
đối xứng đối với a, b, c nên một cách tơng tự ta có:
222
KIJIKJ
==
. Suy ra
KIJIKJ
==
hay tam giác IJK đều.
- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba góc bằng nhau ta sẽ có h-
ớng chứng minh ba góc của tam giác bằng nhau:
Ta yêu cầu học sinh hãy xét bài toán này xem trong bản thân nó có những
mối liên hệ nào? Lúc này buộc học sinh phải suy nghĩ, phải đặt bài toán trong

những mối liên hệ khác, ta có cách giải 2:
Cách giải 2: Chứng minh ba góc I, J, K bằng nhau:

K
J
I
O
C'
B'
A'
C
A
B

Ta vẽ đờng tròn ACB' và CA'B ngoại tiếp hai tam giác ACB' và CA'B, hai
đờng tròn cắt nhau tại C và O.
Ta có
ã
ã
AOC BOC 120
o
= =
. Do đó ta có
ã
0
AOB 120=
và đờng tròn ABC'
cũng đi qua O.
Mặt khác, IJ là đờng nối tâm, OC là dây cung của hai đờng tròn BOC và
AOC nên IJ

OC.
Tơng tự, ta có
OAIK

. Do đó, vì
ã
0
AOB 120=
, nên
ã
0
IJK 60=
.
19
A
A
2
A
1
B
O
1
O
2
Hoàn toàn tơng tự ta có:
ã ã
0
JKI KIJ 60= =
.

(Nếu O nằm ngoài tam giác ABC ta cũng có cách chứng minh tơng tự
nh trên).
Vậy ta có tam giác IJK là tam giác đều.
* Khi đã nêu đợc hai cách giải của bài toán và nêu nhận xét bây giờ giáo
viên yêu cầu học sinh hãy đặc biệt hóa các giả thiết của bài toán để làm sáng tỏ
hơn bài toán và có thể tìm ra các bài toán tơng tự.
- Trớc hết ta xét trờng hợp đặc biệt đó là khi tam giác ABC suy biến thành
đoạn thẳng tức là ta nhìn đoạn thẳng là một tam giác có hai đỉnh trùng nhau khi
đó ta sẽ có kết quả nh thế nào?
Giả sử tam giác ABC có đỉnh C trùng với đỉnh A
Nhìn vào hình vẽ ta thấy: Dễ dàng chứng
minh đợc rằng tam giác AO
1
O
2
là tam giác đều.
Vậy ta cũng có kết quả hoàn toàn tơng tự.
- Bây giờ ta xét trờng hợp nếu các tam giác
đều đợc dựng về phía trong của tam giác ABC thì
sẽ có điều gì?
Nếu ta nhìn miền trong và miền ngoài của tam giác trong sự thống nhất thì
kết quả là ta cũng thu đợc một điều tơng tự nh trên.
* Nếu ta thay tam giác ABC bằng hình bình hành ABCD tức là ta xem tam
giác là hình bình hành có hai đỉnh trùng nhau thì ta sẽ có kết quả gì?
Nếu xem tam giác là hình bình hành có hai đỉnh trùng nhau thì từ các cách
dựng tam giác đều về phía ngoài của tam giác bây giờ trên các cạnh của hình
bình hành ta dựng các hình vuông về phía ngoài của hình bình hành.
Vậy tứ giác tạo bởi tâm của các hình vuông có tính chất gì tơng tự trên không?
- Học sinh vẽ hình và dự đoán rằng nếu ABCD là hình bình hành thì IKLM
là hình vuông.

20
Từ đó sẽ đa học sinh đến việc chứng minh xem dự đoán đó có đúng không.

M
L
K
I
D
C
B
A
Thật vậy, vì ABCD là hình bình hành nên ta có I và L, K và M đối xứng
nhau qua O (O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD), suy ra IKLM là
hình bình hành. Mặt khác, ta có hai tam giác IBK và IAM bằng nhau (c.c.c) nên
ta suy ra góc KIM là góc vuông. Vậy IKLM là hình vuông.
1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh.
Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng
nhất, nhà trờng phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức
Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo
và khả năng sáng tạo.
Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các ph-
ơng pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả
không đáp ứng đợc các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt
hơn giải pháp cũ".
Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải đợc khai thác
và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển t duy sáng
tạo biểu hiện ở các mặt nh: khả năng tìm hớng đi mới (khả năng tìm nhiều lời
giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các
kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán).
21

Chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dỡng và
phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết
các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông
qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ
hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ
thống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan
trọng mà ta cần quan tâm bồi dỡng cho học sinh.
Có nhiều phơng pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách giáo
khoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần
nhuyễn, tính độc đáo của t duy.
Trên cơ sở phân tích khái niệm t duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc tr-
ng của nó và dựa vào quan điểm: bồi dỡng từng yếu tố cụ thể của t duy sáng tạo
cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực t duy sáng tạo
cho các em. Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dỡng tính mềm dẻo của t duy sáng
tạo với các đặc trng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí
tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều
kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết. Các
bài tập chủ yếu nhằm bồi dỡng tính nhuần nhuyễn của t duy sáng tạo với các
đặc trng: khả năng tìm đợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác
nhau, khả năng xem xét đối tợng dới những khía cạnh khác nhau. Các bài tập
chủ yếu nhằm bồi dỡng tính nhạy cảm vấn đề của t duy sáng tạo với các đặc tr-
ng: nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo đợc bài toán
mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic.
Ngoài ra t duy hình học mang những nét đặc trng quan trọng và cơ bản
của t duy toán học. Việc phát triển t duy hình học luôn gắn với khả năng phát
triển trí tởng tợng không gian, phát triển t duy hình học luôn gắn liền với việc
phát triển của phơng pháp suy luận; việc phát triển t duy ở cấp độ cao sẽ kéo
22
theo sự phát triển t duy đại số. Nh vậy để nâng dần cấp dộ t duy trong dạy học

hình học, việc dạy học phải đợc chú ý vào: phát triển trí tởng tợng không gian
bằng cách: giúp học sinh hình thành và tích luỹ các biểu tợng không gian một
cách vững chắc, biết nhìn nhận các đối tợng hình học ở các không gian khác
nhau, biết đoán nhận sự thay đổi của các biểu tợng không gian khi thay đổi một
số sự kiện.
Nh vậy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạo
cho học sinh là rất lớn.
1.6. Kết luận chơng 1
Trong chơng này luận văn đã làm rõ các khái niệm t duy, t duy sáng tạo,
nêu đợc các yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo, và vận dụng đợc t duy biện
chứng để phát triển t duy sáng tạo, đồng thời nêu đợc tiềm năng của chủ đề
Hình học trong việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh.
Việc bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học
giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích
cực hơn và kích thích đợc tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc
sống.
Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra đợc
các phơng pháp nhằm phát triển và rèn luyện t duy sáng tạo cho học sinh.
23
Ch ơng 2
Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định
hớng bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh
2.1. Vấn đề 1: Rèn luyện t duy sáng tạo qua bài toán dựng hình.
Toán dựng hình là vấn đề khá lý thú của toán học phổ thông. Nó giúp
phát triển t duy logic, óc sáng tạo vì đòi hỏi tự tạo ra hình vẽ cần thiết để suy
luận tìm ra cách giải.
2.1.1. Vài nét về lịch sử hình học dựng hình.
Vào các thế kỷ thứ t và thứ năm trớc công nguyên các nhà toán học
HiLạp nổi tiếng đã quan tâm đến dựng hình hình học nh Pitago, Hipôcrat, ơclit,
Apôlôniut.

Trờng phái Pitago đã thành công trong một số bài toán tơng đối phức tạp
nh dựng hình ngũ giác đều. Vào thế kỷ thứ 5 trớc công nguyên có ba bài toán
nổi tiếng. Chia ba một góc, gấp đôi hình lập phơng và cầu phơng hình tròn
(không giải đợc bằng thớc và compa).
Đến thế kỷ thứ 6 trớc công nguyên, Ơclit ngời sáng lập hệ hình học đầu
tiên đã nêu lên những tiên đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vai trò của
dựng hình trong toán học nh:
- Có thể vạch một đờng thẳng từ một điểm tới 1 điểm khác.
- Có thể liên tục kéo dài một đờng thẳng bị giới hạn.
- Với mỗi một tâm và mỗi một khoảng cách có thể vạch đợc một đờng tròn.
Các nhà hình học cổ HiLạp đã giải đợc những bài toán dựng hình khó
bằng thớc và compa, chẳng hạn Apôlôni Pecxki đã giải đợc bài toán nổi tiếng
mang tên ông: "Dựng một đờng tròn tiếp xúc với ba đờng tròn cho trớc". Họ lại
giải đại số với dựng hình nh: Giải phơng trình bậc nhất và phơng trình bậc hai
bằng dựng hình.
24
Những ngời sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều đến các bài
toán dựng hình. Đềcác và NewTơn đã giải bài toán chia ba một góc bằng các
thiết diện hình nón, giải đợc bài toán Apôlôni cùng với Ơle.
Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đợc dựa vào hình học dựng hình,
đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại, chẳng hạn sự tồn tại tâm của một
đờng tròn nội tiếp trong tam giác, sự tồn tại của những tam giác đồng dạng, sự
tồn tại của những đờng thẳng song song, đều đợc chứng minh bằng phép
dựng hình.
2.1.2. Giải một bài toán dựng hình là gì?.
Giải một bài toán dựng hình là tìm đợc 1 hình thoả mãn những điều kiện
trong bài toán.
Nói nh thế cha đủ, vì điều kiện quan trọng là dùng những dụng cụ gì để
dựng hình. Bởi vì trong thực tiễn cuộc sống đòi hỏi tính hiệu quả của công việc.
Hiệu quả càng cao thì công việc có giá trị. Làm sao khi dựng hình, số lợng dụng

cụ sử dụng là ít nhất.
Ví dụ với bài toán "dựng một góc bằng 20
0
, lấy 1 tia cho trớc làm cạnh",
nếu dùng thớc đo góc thì bài toán rất đơn giản, nhng nếu chỉ dùng thớc và
compa thì bài toán này không giải đợc! (ngời ta đã chứng minh rằng chỉ dùng
thớc và compa thì không thể dựng đợc 1 góc = 20
0
).
2.1.2.1. Tại sao chỉ dùng thớc và compa?
Các nhà toán học cổ HiLạp chỉ xem phép dựng dùng thớc và compa là
hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc sử dụng
các dụng cụ khác để dựng hình.
Quan điểm đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Họ cũng đã thành công
trong việc giải những bài toán dựng hình rất khó bằng thớc và compa. Họ coi
thớc kẻ là vô hạn vì chỉ có một cạnh , coi compa có tính chất dùng để vẽ những
đờng tròn có bán kính tuỳ ý.
Cơ sở lý luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau đây.
25