Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11

sin

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
cos α = x = OH ; sin α = y = OK
sin α
tan α =
= AT
cos α
cos α
cot α =
= BS
sin α

tang

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG 0 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC



π
 α ≠ + kπ 

2


K

(α ≠ kπ )

B

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
4. Hệ thức cơ bản:
sin2α + cos2α = 1 ;

T
cotang

S
M
α

O

H

A

1 + tan 2 α =

tanα .cotα = 1

1

1 + cot 2 α =

2

cos α

1
sin2 α

5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau
Góc bù nhau
Góc phụ nhau
π

cos(−α ) = cos α
sin(π − α ) = sin α
sin  − α  = cos α

cosin

2

π

cos  − α  = sin α
2

π

tan  − α  = cot α
2



Nhận xét:
• ∀α , − 1 ≤ cos α ≤ 1; − 1 ≤ sin α ≤ 1
• tanα xác định khi α ≠

π
2

+ kπ , k ∈ Z

• cotα xác định khi α ≠ kπ , k ∈ Z

• sin(α + k 2π ) = sin α

• tan(α + kπ ) = tan α

• cos(α + k 2π ) = cos α

• cot(α + kπ ) = cot α

2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
I
Giá trị lượng giác
+
Cosα
+
Sinα
+
Tanα
+

Cotα
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
0

π

π

π

6

0

0

IV

–
+
–
–

–
–
+
+

+

–
–
–

2

3π
4

π

3π
2

2π

900

1200

1350

1800

2700

3600

3
2

2
2

0

–1

0

–1

0

1

0

30

45

60

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

tan

0

3
3

1

3

3

1

3
3

cot

III

2π
3

π

3

4
0

II

0

−

1
2

−

2
2

− 3

–1

3
3

–1

−

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

0

0

cos(π − α ) = − cos α

tan(−α ) = − tan α

tan(π − α ) = − tan α

cot(−α ) = − cot α

cot(π − α ) = − cot α

1

π

cot  − α  = tan α
2


π

Góc hơn kém π

Góc hơn kém

sin(π + α ) = − sin α

π

sin  + α  = cos α
2



cos(π + α ) = − cos α

π

cos  + α  = − sin α
2


tan(π + α ) = tan α

π

tan  + α  = − cot α
2


cot(π + α ) = cot α

π

cot  + α  = − tan α
2



2

II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng

sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a
sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a
cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b
cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b

Hệ quả:

0

Trang

sin(−α ) = − sin α

π
 1 + tan α
tan  + α  =
,
4

 1 − tan α

tan a + tan b
1 − tan a.tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a.tan b
π
 1 − tan α
tan  − α  =
4


 1 + tan α
tan(a + b) =

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

2


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC –
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I –HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

2. Công thức nhân đôi
• sin 2α = 2 sin α .cos α
• tan 2α =

2 tan α

• cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α
• cot 2α =

1 − tan 2 α

cot 2 α − 1

2 cot α

Công thức hạ bậc
1 − cos 2α
sin2 α =

TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
Công thức nhân ba (*)
3

sin 3α = 3sin α − 4 sin α

2
1
+
cos
2α
cos2 α =
2
1 − cos 2α
tan 2 α =
1 + cos 2α

cos3α = 4 cos3 α − 3cos α
tan 3α =

3tan α − tan3 α
1 − 3tan2 α

HÀM SIN

HÀM COSIN

y = sin x

y = cos x

*Tập xác định D = R;

*TXĐ : D = R

*Tập giá trị T =  −1, 1 ; hàm lẻ

*Tập giá trị T =  −1, 1 ; hàm chẵn,

*Chu kỳ T0 = 2π

* Chu kỳ T0 = 2π .

*y = sin(ax + b) có CK : T0 =

α

2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan :
2

sin α =

2t
1 + t2

cos α =

1− t

2

1 + t2

tan α =

1 − t2

a+b
a−b
.cos
2
2

a+b
a−b
.sin
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2sin
.cos
2
2

a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
.sin
2
2
cos a − cos b = − 2 sin

* y = cos(ax + b) có CK : T0 =

HÀM TANG

HÀM COTANG

y = tan x

y = cot x

tan a + tan b =

sin(a + b)
cos a.cos b

tan a − tan b =

sin(a − b)
cos a.cos b

π


*TXĐ D = R \  + kπ , k ∈ Z 

*TXĐ D = R \ {kπ , k ∈ Z } ;

cot a + cot b =

sin(a + b)
sin a.sin b

*Tập giá trị T = R, hàm lẻ,

*Tập giá trị T = R, hàm lẻ

* Chu kỳ T0 = π .

*Chu kỳ T0 = π .

2

sin(b − a)
cot a − cot b =
sin a.sin b



*y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 =



π

π
sin α + cos α = 2.sin  α +  = 2.cos  α − 
4
4





π
π
sin α − cos α = 2 sin  α −  = − 2 cos  α + 

4

4

*y = tan(f(x)) xác định
⇔ f (x) ≠

π
+ kπ (k ∈ Z )
2

2π
a

* y = cos(f(x)) xác định
⇔ f ( x ) xác định.

* y = sin(f(x)) xác định
⇔ f ( x ) xác định.

2t

3. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a + cos b = 2 cos

2π
a

π
a

*y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 =

π
a

*y = cot(f(x)) xác định
⇔ f ( x ) ≠ kπ (k ∈ Z )

4. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
 c o s ( a − b ) + c o s ( a + b ) 
2 
1
 c o s ( a − b ) − c o s ( a + b ) 
s in a . s in b =
2 

1
 s in ( a − b ) + s in ( a + b ) 
s in a . c o s b =
2 

*

co s a. co s b =

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

3

y = f1(x) có chu kỳ T1 ;
y = f2(x) có chu kỳ T2 thì hàm số
y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) có chu kỳ T0 là bội chung NN của T1 và T2.

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

4


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
y

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1)
–
–
–

y = sinx

1

Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
Tìm tập xác định D.
– Tìm chu kỳ T0 của hàm số.
Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).
Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể
 T0 T0 
, …
 2 2 

−

−

0

π
2

π

2

3π
2

π

x

5π
2

2π

–1

–

chọn : x ∈  0, T0  hoặc x ∈  −

−π

3π
2

Tịnh tiến theo véctơ v = 2kπ .i ta được đồ thị y = sinx.

–

Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.

Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

–

Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v = k .T0 .i

–

về bên trái và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn
vị trên trục Ox).
2) Một số phép biến đổi đồ thị:
a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách
tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh
tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0.
b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị
y = f(x) qua trục hoành.
c)

 f ( x ), neáu f ( x ) ≥ 0
− f ( x ), neáu f ( x ) < 0

Đồ thị y = f ( x ) = 



Hàm số ĐB trên khoảng  0,


–

Tập xác định: D = R. –

Tập giá trị:  −1, 1 .

–

Chu kỳ: T = 2 π .

–

x
y

π

0
1

–

Chu kỳ: T = 2 π .

–Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2π 

x
y

0

0

π
2
1

π

3π
2

3π
2

0

2π
1

0
–1
y

y = cosx

1

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.
Tập giá trị:  −1, 1 .

Bảng biến thiên trên  0, 2π  :

π

2

bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên Ox và lấy đối
xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua Ox.
Tập xác định: D = R. –

π

 và nghịch biến trên  , π  .
2
2



Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx.

được suy từ đồ thị y = f(x)

–

π

−

3π
2

−π

−

0

π
2

π

π
2

3π
2

2π

x

5π
2

–1

2π

–

0

Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng.
 π
 3π 
– Hàm số ĐB trên khoảng  0,  và NB trên khoảng  π ,  .

0
–1

Tịnh tiến theo véctơ v = 2kπ .i ta được đồ thị y = cosx.



GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

5

2

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164



2 

Trang

6


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.
π

–
– Tập xác định: D = R \  + kπ , k ∈ Z 
2



lim y = ∞

–

Giới hạn:

–

Chu kỳ: T = π .

⇒x=±

x →±π / 2

π

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
–

Tập giá trị: R.

Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên ynhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D.

: là tiệm cận đứng.

2

Tịnh tiến theo véctơ v = kπ .i ta được đồ thị y = cotx.

 π π
– Bảng biến thiên trên  − ,  :

y = cotx

 2 2

x

−

π
2

y

π
2

0

−2 π

+∞

0
–∞y

−

3π
2

O

−π − π
2

2π
π

3π
2

π

π
2

x

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.
–Vẽ đồ thị y = sinx.
– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đ/xứng qua Ox.

y = tanx

y

1
−

3π
2

π

−

π
2

O π
2

π

3π
2

2π
π

5π
2

y = –sinx

x
–2

−

3π
2

−π

−

O

π
2

3π
2

π

π
2

2π
π

x

–1

– Tịnh tiến theo véctơ v = kπ .i ta được đồ thị y = tanx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác định: D = R \ {kπ , k ∈ Z } – Tập giá trị: R.
–

Giới hạn: lim y = + ∞, lim y = − ∞ ,tiệm cận đứng: x = 0, x = π

–

Chu kỳ: T = π .

x→ 0

x
y

0

sin x , neu sin x ≥ 0
-sin x, neu sin x < 0.

Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sin x = 
y
1

y = /sinx/
π

−

π
2

O

π
2

π

3π

2

2π
π

x

x→ x

– BBT trên đoạn  0, π 

π/ 2

Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thị y = cosx.
– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y = 1 + cos x bằng cách tịnh tiến đồ
thị y = cos x lên trục hoành 1 đơn vị.

π

+∞
0

–∞

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

7

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

8


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
–

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2π  :

x

π

0

3π
2

π

2

Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x.
– y = cos2x có chu kỳ T = π

2π

1
y = cosx

0

Bảng biến thiên trên đoạn  0, 2π  :

–

1
0
–1

2

2

y = 1 + cosx

1

−

2x

−π

1
0

y

π
2

x

π
4
π
−
2
−

2

y = cos2x

y = 1 + cosx

0

y = cos2x
π
2

O

π
4

y = sin2x có chu kỳ T = π - BBT trên đoạn  0, 2π  :

−

π
2

−π

2x

−

π

0

4

π
−
2

0

π

π

1.

2

2

π
2

• sin x = sin α ⇔ 

0

π

 x = π − α + k 2π

x

0

 x = arcsin a + k 2π
 x = π − arcsin a + k 2π

0

• sin u = − sin v ⇔ sin u = sin(−v)

y = sin2x
π
4

π
2

3π
2

π

5π
4

x

• sin x = − 1 ⇔ x = −

Trang

9

π
2

+ k 2π

π


• sin u = cos v ⇔ sin u = sin  − v 

• sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

 π
• sin u = − cos v ⇔ sin u = sin  v − 

• sin x = 1 ⇔ x =

2





2

π
2

• sin x = ± 1 ⇔ sin2 x = 1 ⇔ cos2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

–1

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

(k ∈ Z ) (−1 ≤ a ≤ 1)

Các trường hợp đặc biệt

1

O

(k ∈ Z )

• sin x = a ⇔ 

y

π
−
4

3π
4

Phương trình sinx = sinα
α
 x = α + k 2π

–1

π
−
2

π
2

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1
y = sin2x

π
4

–1

Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x.

x

–1

y
1

–1

–

π

x

3π
2

π

π
2

0
–1

y = cosx
O

π
−
2

0

π
2

1

1

−π

π
4
π

2

0

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

+ k 2π (k ∈ Z )

π
2

+ kπ (k ∈ Z )

Trang

10


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

2. Phương trình cosx = cosα
α
• cos x = cos α ⇔ x = ± α + k 2π (k ∈ Z )

*
Phương trình có mẫu số:
• sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z )

• cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

• cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k 2π (k ∈ Z )(−1 ≤ a ≤ 1)
Các trường hợp đặc biệt
• cos u = − cos v ⇔ cos u = cos(π − v) • cos x = 1 ⇔ x = k 2π (k ∈ Z )

• tan x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

• cos x = 0 ⇔ x =

π

• cos u = − sin v ⇔ cos u = cos  + v 

• cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z )

2

2

2

+ kπ (k ∈ Z )



3. Phương trình tan x = tanα
α
• tan x = tan α ⇔ x = α + kπ

• tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ

π

• tan u = cot v ⇔ tan u = tan  − v 
2



π

• tan u = − cot v ⇔ tan u = tan  + v 
2


4. Phương trình cotx = cotα
α
• cot x = cot α ⇔ x = α + kπ

• tan x = ± 1 ⇔ x = ±

π
4

• tan x = ± 3 ⇔ x = ±

+ kπ (k ∈ Z )

π
3

+ kπ (k ∈ Z )

2

(k ∈ Z )

Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng
một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:
1.Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào điều kiện.
2.Dùng đường tròn lượng giác.
3.Giải các phương trình vô định.

• cot u = − cot v ⇔ cot u = cot(−v)
π
4

+ kπ (k ∈ Z )

a cos2 x + b cos x + c = 0

t = cosx

−1 ≤ t ≤ 1

a tan2 x + b tan x + c = 0

t = tanx

x≠

a cot 2 x + b cot x + c = 0

t = cotx

•
π
2

+ kπ (k ∈ Z )

• cot x = ± 3 ⇔ x = ±

π
6

+ kπ (k ∈ Z )

Một số điều cần chú ý:
Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số
hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để
phương trình xác định.
π
Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x ≠ + kπ (k ∈ Z ).

*

2
Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z )

*

PT chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ≠ k

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

π
2

Điều kiện để PT có nghiệm là : a 2 + b 2 ≥ c 2 .

Cách 1:
(1) ⇔

a
a2 + b 2

b

sin x +

⇔ cos( x − α ) =
(với sin α =

a 2 + b2
c
2

a + b2

cos x =

c
a2 + b 2

= cos β ⇔ x = α ± β + k 2π (k ∈ Z )

a
a2 + b 2

, cos α =

Cách 2: a) Xét x = π + k 2π ⇔

b
a2 + b2

(α ∈ 0, 2π  )

)

x π
= + kπ có là nghiệm hay không?
2 2
x
2

b) Xét x ≠ π + k 2π ⇔ cos ≠ 0.

(k ∈ Z )

Trang

+ kπ (k ∈ Z )
2
x ≠ kπ (k ∈ Z )

Nếu đặt: t = sin 2 x hay t = sin x thì 0 ≤ t ≤ 1.

• cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ

• cot x = 0 ⇔ x =

π

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)

Các trường hợp đặc biệt

*

π

II. PT BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng
Đặt
Điều kiện
2
−

1
≤
t
≤
1
t
=
sinx
asin x + b sin x + c = 0

Các trường hợp đặc biệt
• tan u = − tan v ⇔ tan u = tan(−v)
• tan x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

5.
a)

• cot x ≠ 0 ⇔ x ≠ k

2

• cos x = ± 1 ⇔ cos x = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z )

• cot x = ± 1 ⇔ x = ±

2

(k ∈ Z )

+ kπ (k ∈ Z )

2

b)

π

• cos u = sin v ⇔ cos u = cos  − v 
2


π

π

π

11

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

12


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
x
2

Đặt: t = tan , thay sin x =

2t
1 + t2

, cos x =

1 − t2
1 + t2

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG 2 : TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. Qui tắc đếm

,

1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai
phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương
án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong
phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

2

ta được PT bậc hai theo t: (b + c)t − 2at + c − b = 0 (3)
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan

x
= t0 .
2

DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?
π
Lưu ý: cosx = 0 ⇔ x = + kπ ⇔ sin2 x = 1 ⇔ sin x = ± 1.
2

•

Khi cos x ≠ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được:
a.tan 2 x + b.tan x + c = d (1 + tan2 x )

•

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

π
• Đặt: t = cos x ± sin x = 2.cos  x ∓  ; t ≤ 2.
4

Thay vào PT đã cho, ta được PT bậc hai theo t. Giải PT này tìm t thỏa
t ≤ 2. Suy ra x.

Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
•




Đặt: t = cos x ± sin x = 2. cos  x ∓

π

 ; Ñk : 0 ≤ t ≤ 2.
4

n!
= (n–p+1).(n–p+2)…n
(n − p)!

n!
n1 ! n2 !...nk !

4. Hoán vị vòng quanh : Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n
phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng
quanh của n phần tử.Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là:
Qn = (n – 1)!
III. Chỉnh hợp
1. Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp
xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nào đó được gọi là
một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.Số chỉnh hợp chập k
của n phần tử: Ank = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =

1
⇒ sin x.cos x = ± (t 2 − 1).

2

n!
(n − k )!

• Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.

• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý PT chứa dấu giá trị tuyệt đối.

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

•

n2, …, nk) của k phần tử là: Pn(n1, n2, …, nk) =

1
⇒ t 2 = 1 ± 2 sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t 2 − 1).
2

•

n!
= (p+1).(p+2)…n . (với n>p)
p!

(với n>p)
2. Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp
xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n
phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là:
Pn = n!

3. Hoán vị lặp : Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak. Một cách sắp xếp
n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak
(n1+n2+ …+ nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp
n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử. Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1,

1 − cos 2 x
sin 2 x
1 + cos 2 x
+ b.
+ c.
= d
2
2
2
⇔ b.sin 2 x + (c − a).cos 2 x = 2d − a − c

(1) ⇔ a.



2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu
công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách
thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
II. Hoán vị
1. Giai thừa:
•n! = 1.2.3…n •Qui ước: 0! = 1
• n! = (n–1)!n

Trang

13

• Khi k = n thì Ann = Pn = n!

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

14


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi
phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự
nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập
A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:
Ank = n k
IV. Tổ hợp
1. Tổ hợp (không lặp) : Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1
≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
• Qui ước:
Tính chất:

Cn0

= Cnn

Cnk =

Ank

k!

=

n!
k !(n − k )!

=1

Cn0 = Cnn = 1; Cnk = Cnn − k

Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1

Cnk =

n − k + 1 k −1
Cn
k

2. Tổ hợp lặp: Cho tập A = {a1; a2 ;...; an } và số tự nhiên k bất kì. Một tổ
hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần
tử là một trong n phần tử của A. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:
Cnk = Cnk+ k −1 = Cnm+−k1−1

3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
• Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:

Ank = k !Cnk

+ Không thứ tự, không hoàn lại: Cnk
+ Có thứ tự, không hoàn lại: Ank + Có thứ tự, có hoàn lại: Ank
V. Nhị thức Newton
1. Công thức khai triển nhị thức Newton:
Với mọi n∈N và với mọi cặp số a, b ta có: (a + b) =

n

∑

k =0

Tk+1 =

5) Cn0 = Cnn = 1 ,
Cnk −1 + Cnk = Cnk+1
Nhận xét : Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những
giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
(1+x)n = Cn0 x n + C1n x n −1 + ... + Cnn ⇒

Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n

(x–1)n = Cn0 x n − C1n x n −1 + ... + (−1)n Cnn ⇒

Cn0 − C1n + ... + (−1)n Cnn = 0

VI. Biến cố và xác suất
1. Biến cố
• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A ⊂ Ω.
• Biến cố không: ∅
• Biến cố chắc chắn: Ω
• Biến cố đối của A: A = Ω \ A
• Hợp hai biến cố: A ∪ B
• Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B) • Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅
• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến
việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
n( A)
n(Ω)

• 0 ≤ P(A) ≤ 1;
P(Ω) = 1; P(∅) = 0
• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
• P( A ) = 1 – P(A)
• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
II. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
• X = {x1, x2, …,xn}
• P(X=xk) = pk
p1 + p2 + … + pn = 1
2. Kì vọng (giá trị trung bình) µ = E(X) =

Cnk a n − k b k

n

∑ xi pi

i =1

3. Phương sai và độ lệch chuẩn

2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng:
Cnk a n − k b k

bằng nhau: Cnk = Cnn− k

• Xác suất của biến cố: P(A) =

• Chỉnh hợp: có thứ tự.
Tổ hợp: không có thứ tự.
⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh
hợp . Ngược lại, là tổ hợp.
• Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n):

n

4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì

• V(X) =

n

n

i =1

i =1

∑ ( xi − µ )2 pi = ∑ xi2 pi − µ 2

• σ(X) = V ( X )

( k =0, 1, 2, …, n)

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

15

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

16


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG 3 : DÃY SỐ - CẤP SỐ
I. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi
giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1),
chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên
dương n ≥ p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n =
k ≥ p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
II. Dãy số
1. Dãy số :

u : »* → »

2. Dãy số tăng, dãy số giảm
• (un) là dãy số tăng

⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N*.

⇔ un+1 – un > 0 với ∀ n ∈ N*
• (un) là dãy số giảm

⇔

un +1
un

> 1 với ∀n ∈ N* ( un > 0).

⇔ un+1 < un với ∀n ∈ N*.

⇔ un+1 – un< 0 với ∀ n ∈ N*

⇔

un +1
un

< 1 với ∀n ∈ N* (un > 0).

3. Dãy số bị chặn
• (un) là dãy số bị chặn trên ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N*.
• (un) là dãy số bị chặn dưới ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N*.
• (un) là dãy số bị chặn ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N*.
1. Định nghĩa
2. Số hạng
tổng quát
3. Tính chất
các số hạng
4. Tổng n số
hạng đầu tiên

III. Cấp số cộng

IV. Cấp số nhân

un+1 = un + d, ∀n ∈ N*
(d: công sai)
un = u1 + (n − 1)d với n ≥ 2

un+1 = un.q với n ∈ N*
(q: công bội)

2uk = uk −1 + uk +1

1
1
= 0 (k ∈ » + )
= 0 ; lim
n→+∞ n k
n

Sn = u1 + u2 + ... + un =

n 2u1 + (n − 1)d 
2

Trang

2. Định lí:

2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
• lim (un + vn) = a + b

• lim (un – vn) = a – b
• lim (un.vn) = a.b

a)Nếu lim un = +∞ thì lim

1
=0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn = ±∞
thì lim

un

a
• lim = (nếu b ≠ 0)
vn b

un
vn

=0

c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim vn = 0 thì

b) Nếu un ≥ 0, ∀n và lim un= a
thì a ≥ 0 và lim un = a

lim

c) Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0

d) Nếu lim un = +∞, lim vn = a thì

thì
lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un = a

lim(un.vn) = 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

* Khi tính giới hạn có một trong các

u1

un
vn

neu a.vn < 0

+∞

neáu a > 0

−∞

neáu a < 0

dạng vô định:

1− q

neu a.vn > 0

+∞
−∞

= 

0 ∞
,
, ∞ – ∞, 0.∞ thì
0 ∞

phải tìm cách khử dạng vô định.

Một số BÀI MẪU tìm giới hạn của dãy số:
1
1
1+ − 3
n 2 + n − 3n
n
n =1
b) lim
= lim
=1
3 2
1
1 − 2n

2+
−2
n
n


4 1
c) lim(n2 − 4n + 1) = lim n2  1 − + 2  = +∞
 n n 

n +1
a) lim
= lim
2n + 3

1+

• Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức

 Sn = nu1
khi q = 1

u1 (1 − q n )

khi q ≠ 1
 Sn =
1− q


GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

lim q n = +∞ (q > 1)

( q < 1)

với k ≥ 2
2

lim n k = +∞ (k ∈ » + )

n→+∞

S = u1 + u1q + u1q + … =

uk2 = uk −1.uk +1

n(u1 + un )

lim n = +∞

lim q n = 0 ( q < 1) ; lim C = C

n →+∞

2

un = u1.q n −1 với n ≥ 2

với k ≥ 2

=

lim

n →+∞

Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …

u(n)

n

GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG 4 – GIỚI HẠN
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:

lim

17

(

)

n2 − 3n − n = lim

−3n

2

n − 3n + n

=−

3
2

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

18


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
• Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ vn ,∀n và lim vn = 0
thì
lim un = 0
sin n
sin n 1
1
sin n
.
Vì 0 ≤
≤ và lim = 0 nên lim
=0
n
n

n
n
n
Khi tính các g/hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số
của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số
cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và
mẫu trái dấu.

VD : Tính lim

II. Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số)
lim x k = +∞ ;
x→x
x→x
0

0

2. Định lí :
Nếu lim f ( x ) = L và lim g( x ) = M
x → x0

x → x0

thì: lim [ f ( x ) ± g( x )] = L ± M

b) Nếu f(x) ≥ 0 và lim f ( x ) = L
x → x0

thì L ≥ 0 và lim

x → x0

f (x) = L

c) lim f ( x ) = L => lim f ( x ) = L
x → x0

x → x0

3. Giới hạn một bên : lim f ( x ) = L
x → x0

<=> lim − f ( x ) = lim + f ( x ) = L
x → x0

x → x0

x →−∞

x2 + 1 − x

2−

= lim

x →−∞

− 1+

3
x
1

x2

= −1
−1

x →+∞

lim c = c ;

lim

c

x →±∞

xk

lim

=0

1
1
= −∞ ;
lim = +∞
+
x →0 x
x →0 x
1
1
lim
= lim
= +∞
x →0− x
x →0+ x

f ( x) L
=
(nếu M ≠ 0)
g( x ) M

b) lim

2x − 3

3. Dạng ∞ – ∞: Giới hạn này thường có chứa căn

lim [ f ( x ).g( x )] = L.M

lim

5 3
−
∞
2 x + 5x − 3
x x2
2. Dạng : a) lim
= lim
=2
x →+∞ x 2 + 6 x + 3
x →+∞
∞
6 3
1+ +
x x2
2+

2

+∞ neu k chan
lim x k = 
x →−∞
−∞ neu k le
x →±∞

x → x0

 3 x + 1 −1 1− 1− x 

x +1 − 1− x

= lim 
+
x →0
x →0 
x
x
x


 1 1 5
1
1
= lim 
+
= + =
x →0  3
2 3
1+ 1− x  3 2 6
 ( x + 1) + x + 1 + 1


c/ lim

x →+∞

x → x0

x → x0

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
3

1

1 + x − x ) = lim

x →+∞

4. Dạng 0.∞
∞: lim+ ( x − 2)
x →2

1+ x + x
x
x2 − 4

=0

= lim

x →2 +

x − 2. x
x+2

=

0. 2

=0
2

III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
y = f(x) liên tục tại x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x0 )

lim

−

x → x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng:
y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:
y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim+ f ( x ) = f (a), lim− f ( x ) = f (b)

2. Định lí : Nếu lim f ( x ) = L ≠ 0
x → x0

và lim g( x ) = ±∞ thì :…

x →a

x → x0

* Khi tính giới hạn có một trong các
dạng vô định:

(

0 ∞
,
, ∞ – ∞, 0.∞ thì
0 ∞

phải tìm cách khử dạng vô định.

• Hàm số y =

Một số BÀI MẪU khử dạng vô định:
0
x3 − 8
( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
x 2 + 2 x + 4 12
= lim
= lim
=
=3
1. Dạng : a/ lim 2
x →2 x − 4
x →2
x →2
( x − 2)( x + 2)
x+2
4
0

( 2 − 4 − x )( 2 + 4 − x )

2− 4− x
1
1
= lim
= lim
=
x →0
x →0
x
→
0
4
x
(
)
2
+
4
−
x
x 2+ 4− x

b lim

x →b

4. • Hàm số đa thức liên tục trên R. • Hàm số phân thức, các hàm số
lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.

f (x)
liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
g( x )

6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì ∃ c ∈ (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương
trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c∈ (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b].
Đặt m = min f ( x ) , M = max f ( x ) . Khi đó với mọi T ∈ (m; M) luôn tồn
[ a;b]

[ a;b]

tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = T.

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

19

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164

Trang

20


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG 5 – ĐẠO HÀM

HÌNH HỌC 11 - CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ SONG SONG

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):
f '( x0 ) = lim

f ( x ) − f ( x0 )

x → x0

x − x0

∆y
= lim
∆x → 0 ∆x

(∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0))
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
• Ý nghĩa hình học : (C) : y = f(x)
+) ktt = f′ (x0)
+) PTTT : y = f′ (x0).(x – x0)+ y0
• Ý nghĩa vật lí :
+ Vận tốc tức thời của chuyển động : s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s′(t0)
+ C/độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q′(t0).

3. Qui tắc tính đạo hàm
• (u ± v)′ = u′ ± v′
 u ′
v

•  =

u′v − v′u
v

2

(v ≠ 0)

• (C)′ = 0
• (x n )′ = n. x n – 1

 1 ′
v

•  = −

y′ x = y′u.u′ x

v2

II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

ĐẠO HÀM CÁC HÀM CƠ BẢN
• (x)′ = 1

=> (u n )′= n.u n – 1.u’
=>

2 x

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
•(sinx)′ = cosx
• (cosx)′= – sinx
• ( tan x ) ′ =

• (ku)′ = ku′
• Đạo hàm hàm hợp

v′

1

′

•( x) =

• (uv)′ = u′ v + v′ u

1
2

cos x
1
• ( cot x ) ′ = −
sin 2 x

5. Vi phân : • dy = df ( x ) = f ′( x ).∆x

6. Đạo hàm cấp cao
′

I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Xác đònh một mặt phẳng
• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
• Một điểm và một đ/thẳng không đi qua điểm đó thuộc mp(A,d)
• Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
2. Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là
đoạn thẳng.
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng //,
của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường
thẳng.
• Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bò che khuất vẽ nét đứt.

( u )′ =

1. Đònh nghóa

u'

=> (sin u)′ = u’ cosu
=> (cos u)′ = –u’ sinu
u'

cos2 u

u'
=> ( cot u ) ′ = −
sin2 u
• f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 ).∆x

• f ''( x ) = [ f '( x )]′ • f '''( x ) = [ f ''( x )]′

• f ( n) ( x ) =  f ( n −1) ( x ) (n ∈N, n ≥ 4)
• Ý nghĩa cơ học:
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f′′(t0).

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

b
P

2. Tính chất
• Nếu ba mp phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song
thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng
với một trong hai đường thẳng đó.
• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau

2 x

=> ( tan u ) ′ =

a

a, b ⊂ (P )
a / /b ⇔ 
a ∩ b = ∅

21

III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Đònh nghóa : a // (P) ⇔ a ∩ (P) = ∅
a

b
P

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

22


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

2. Tính chất
• Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song
song với đường thẳng b nằm trong (P) thì a song song với (P).

• Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt
phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến // với d.
• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng
thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
• Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt
phẳng chứa a và song song với b.
IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Đònh nghóa : (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅
• Nếu mặt phẳng (Q) chứa
hai đường thẳng a, b cắt
nhau và cùng song song với
mặt phẳng (P) thì (Q) song
song với (P).

P
a
Q

b

2. Tính chất
• Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một
mp(Q) chứa d và song song với (P).
• Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì
song song với nhau.
• Cho một điểm A ∉ (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song
song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và // với (P).
• Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì
cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng // với nhau.
• Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những

đoạn thẳng bằng nhau.
• Đònh lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát
tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
• Đònh lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d′ lần lượt
lấy các điểm A, B, C và A′, B′, C′ sao cho:
AB
BC
CA
=
=
A ' B ' B 'C ' C ' A '

Khi đó, ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ lần lượt nằm trên ba mặt
phẳng song song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng.

HÌNH HỌC 11 – CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Đònh nghóa và các phép toán
• Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian
được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
• Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm:
Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC
+ Qui tắc hình bình hành:
Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC
+ Qui tắc hình hộp:
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng:
Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có :

IA + IB = 0 ; OA + OB = 2OI
+ Hệ thức trọng tâm tam giác:
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
GA + GB + GC = 0;

OA + OB + OC = 3OG

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện:
Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
a và b cùng phương (a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1),
O tuỳ ý. Ta có :

MA = k MB;

OM =

OA − kOB
1− k

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng
song song với một mặt phẳng.
• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , trong
đó a & b không cùng phương.
Khi đó: a, b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb

• Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý.

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

23

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

24


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11
Khi đó:

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc

a ⁄⁄b

• 

( P ) ⊥ a

3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:

0

(P ) ⁄⁄ (Q)

• 

0

a ⊥ ( P)

AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (0 ≤ BAC ≤ 180 )

• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho u , v ≠ 0 . Khi đó: u.v = u . v .cos(u , v )
+ Với u = 0 hay v = 0 . Qui ước: u.v = 0

a ⁄⁄ ( P )

• 

b ⊥ ( P)

nếu 00 ≤ α ≤ 1800

0
180 − α

nếu 900 < α ≤ 1800

(P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a

a ⊄ (P )

⇒b⊥a

• 

a ⊥ b,( P ) ⊥ b

⇒ (P ) ⁄⁄(Q)

⇒ a ⁄⁄( P )

IV. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng
a ⊥ (P )

• 

b ⊥ (Q)

0 0 ≤ ( a, b ) ≤ 900

⇒ ( P ),(Q) = ( a, b )

(

)

• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c,

3. Hai đường thẳng vuông góc :

a ⊂ ( P ), a ⊥ c

dựng 

• a ⊥ b ⇔ ( a, b ) = 900
• Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b.
Khi đó a ⊥ b ⇔ u.v = 0 .
Lưu ý: Hai đường thẳng v/góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
III. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Đònh nghóa
d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a, b ⊂ (P ), a ∩ b = O
⇒ d ⊥ (P )

 d ⊥ a, d ⊥ b

3. Tính chất
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông
góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều
hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

• 

Chú ý: 00 ≤ ( d ,(P )) ≤ 900.

• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì ( a, b ) = 00 .
Chú ý:

(P ) ≠ (Q)

⇒ a ⊥ (Q)

⇒ a ⁄⁄b

• Nếu d ⊥ (P ) thì ( d ,(P )) = ( d , d ' ) với d′ là h/c của d trên (P).

• Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, (u , v ) = α .


a ⊥ (P ), b ⊥ (P )

• Nếu d ⊥ (P) thì ( d ,(P )) = 900.

• a′//a, b′//b ⇒ ( a, b ) = ( a ', b ')

( a, b ) = α

• 

4. Đònh lí ba đường vuông góc
Cho a ⊥ (P ), b ⊂ (P ) , a′ là hình chiếu của a trên (P).
Khi đó : b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

+ u ⊥ v ⇔ u.v = 0
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
a ≠ 0 là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:

Khi đó:

a ≠ b

⇒ (P ) ⊥ b

Trang

25

b ⊂ (Q), b ⊥ c

Chú ý:

(

⇒ ( (P ),(Q) ) = ( a, b )

)

0 0 ≤ (P ),(Q) ≤ 900

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu
(H′) của (H) trên (Q), ϕ = ( (P ),(Q)) . Khi đó:

S′ = S.cosϕ

3. Hai mặt phẳng vuông góc : • (P) ⊥ (Q) ⇔ ( (P ),(Q)) = 900
• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
( P ) ⊃ a
⇒ ( P ) ⊥ (Q)

a ⊥ (Q)

4. Tính chất
(P ) ⊥ (Q),(P ) ∩ (Q) = c

• 

a ⊂ (P ), a ⊥ c

⇒ a ⊥ (Q)

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

26


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

(P ) ⊥ (Q)


(P ) ∩ (Q) = a

⇒ a ⊂ ( P ) • ( P ) ⊥ ( R )
⇒ a ⊥ ( R)
a ∋ A, a ⊥ (Q)
(Q) ⊥ ( R)



3/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
• Phương pháp :
C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
 A , B ∈ mp α
⇒ Đường thẳng AB = mpα ∩ mpβ .

 A , B ∈ mpβ

•  A ∈ (P )

IV. KHOẢNG CÁCH
1. K/cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
d ( M , a) = MH ; d ( M ,( P )) = MH

(trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P))
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai

mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P))
trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d((P),(Q) = d(M,(Q))
trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là
đường vuông góc chung của a, b.
• Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
• Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và
song song với nó.
• Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
hai mặt phẳng // lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng
• Phương pháp :
M
Để chứng minh điểm M ∈ mp α ta chứng minh :
a




M ∈ Đường thẳng a
⇒ M ∈ mpα
Đường thẳng a ⊂ mpα

α

2/Tìm giao điểm của đường thẳng và mp
• Phương pháp :
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mp α ta thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Chọn mặt phẳng phụ β chứa đường thẳng a
Bước 2 : Tìm giao tuyến ∆ của α và β

a

Bước 3 : Gọi I = giao điểm của a và ∆ .
=>I là giao điểm của đường thẳng a và mp α
α

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

β

M

:
A
B

C2 : Tìm một điểm chung của hai mp và phương của
giao tuyến
α
( Giao tuyến // hoặc vuông góc với một đường thẳng cố đònh cho trước )
Chú ý : Khi tìm phương của giao tuyến ta cân quan tâm đến các đònh lý :
- Hai mặt phẳng cắt nhau cùng // với một đường thẳng thì giao
tuyến của hai mạt phẳng này // với đường thẳng đó .

- Nếu a // (P) thì a // giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) đi qua a
- Hai mặt phẳng song song bò cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì các
giao tuyến này //
4/ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
• Phương pháp : Để chứng minh 3 điểm : A, B, C thẳng hàng
Ta chứng minh 3 điểm này cùng thuộc hai mặt phẳng
phân biệt ( α ) và ( β ) ⇒ A, B, C thuộc giao tuyến của
A
( α ) và ( β ) nên thẳng hàng

B

Thường CM như sau:

C

(α ) ∩ ( β ) = AB 
 ⇒ C ∈ AB , nên A, B, C thẳng hàng
C ∈ (α ) ∩ (β ) 

α

β

5/ Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy :
• Phương pháp : Để chứng minh 3 đường thẳng : a, b, c đồng quy ta
thực hiện các bước sau :
Bước 1 : Đặt I = giao điểm của a và b.
a
c

Bước 2 : Tìm hai mặt phẳng α và β nào đó sao cho
c = giao tuyến của α và β .
 I ∈ mpα
⇒ I ∈ đường thẳng c
 I ∈ mp β

Bước 3 : Chứng minh : 

b

I

α

β

⇒ 3 đường thẳng a, b, c cùng đi qua I nên đồng qui.
• Cách khác :

Dùng đònh lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba
giao tuyến này // hoặc đồng quy’’ Như vậy nếu chúng ta loại trừ
được khả năng // thì chúng sẽ đồng quy.

∆

Trang

β

27

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

28


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

6/ CM điểm chạy trên đường thẳng cố đònh :
• Phương pháp : Ta chứng minh điểm M chạy trên đường thẳng d giao
tuyến là giao của hai mặt phẳng cố đònh
7/ CM hai đường thẳng chéo nhau :
• Phương pháp : Ta chứng minh chúng không cùng nằm trong một mặt

C6 : Dùng đònh lý giao tuyến:

phẳng (dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Giả sử hai
đường thẳng đó không chéo nhau. Suy luận để suy ra điều vô lý )
8/ Chứng minh hai đường thẳng // .
C1 : Dùng các quan hệ song song đã biết trong mặt phẳng.
C2 : Chứng minh chúng phân biệt và cùng // với một đường thẳng thứ ba

P

a

Q

a // (P), (Q) qua a, (P ) ∩ (Q) = b ⇒ a // b

b

9/ CM : đường thẳng // với mặt phẳng.
C1 : CM đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và // với một đường
thẳng nằm trong mặt phẳng.
a

a

a ⊄ (P ) , b ⊂ (P ) ,

b
b

a, b phân biệt & a // c, a // c ⇒ a // b

P

C2 : Dùng hệ quả:

c

C3 : Dùng đònh lý giao tuyến:
R

(P) // (Q), ( R) ∩ ( P ) = a, ( R) ∩ (Q) = b ⇒ a // b

.

(P) // (Q), a ⊂ (Q) ⇒ a // (P )

P

C3 : Dùng hệ quả:

b

Q

a

Q

a

P

a // b , ⇒ a // (P )

a

C4 : Dùng đònh lý giao tuyến:
H

(P) // a, (Q) // a, (P ) ∩ (Q) = a ⇒ a // b

a ⊄ ( P ) , ( P ) ⊥ b, a ⊥ b ⇒ a

// ( P )

P

P

b

b

a

a // b, (P) qua a, (Q) qua b, (P ) ∩ (Q) = ∆
⇒ ∆ // a, ∆ // b hoặc ∆ trùng với a hoặc b

Q

C5 : Dùng đònh lý giao
tuyến:

10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song.
C1 : C/m mp này chứa hai đường thẳng cắt nhau // với mặt phẳng kia.

a, b ⊂ (Q) , a

P
a

∆

∆

b

b

a

b

∆

a

a

Q
P

Q

Q

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

P

Q

P

Trang

29

cắt b, a // (P) và b // (P)

⇒ (P ) // (Q)

b

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

30


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

C2 : C/minh chúng phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng .

12/ C/m đường thẳng vuông góc mặt phẳng.

a

( P ) , (Q) phân biệt, (P ) ⊥ a, (Q) ⊥ a

C1 : Dùng đònh lý.

⇒ ( P ) // (Q)

P

a

b , c cắt nhau , b, c ⊂ ( P ) , a ⊥ b, a ⊥ c ⇒ a ⊥ (P )

b
Q

c

P

C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt và cùng // với một mặt
phẳng thứ ba thì // với nhau .
11/ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a ⊥ b ⇔ góc (a; b) = 90o .
a
C3: Dùng hệ quả:

C2 : Dùng hệ quả:
b

a ⊥ (P) 
 ⇒ a ⊥ b ⇒ ( P ) // (Q)
b ⊂ ( P )

b

P
C4: Dùng hệ quả:
b

a

a // b , b ⊥ ( P ) ⇒ a ⊥ (P )
P

C3 : Dùng hệ quả:
a

Q

b // c , a ⊥ b ⇒ a ⊥ c

c

a

C5 : Dùng hệ quả:

b

a

a song song (P )
 ⇒ a ⊥ b ⇒ ( P ) // (Q )
b ⊥ (P )


b

(P ) ∩ (Q) = b 
 ⇒ a ⊥ (P )
a ⊂ (Q), a ⊥ b 

P

P

C4 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: ∆ ⊥ AB, ∆ ⊥ AC => ∆ ⊥ BC
∆

A


(α ) ∩ ( β ) = ∆
 ⇒ ∆ ⊥ (P)
(α ) ⊥ (P ),( β ) ⊥ ( P )

∆

B
(α
α)

C

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

(β
β)

P

Trang

31

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

32


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

13/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .

C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và
hình chiếu của nó trên mặt phẳng
+)Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
+) Dựng hình chiếu B của A lên ( α )
A
+) Dựng O = a ∩(α) (nếu chưa có.
a
( OB là hình chiếu của a trên ( α ))
+) => Góc (a;(α )) = Góc (OA, OB)

O
x

• (α ) ∩ (β ) = ∆ , Ox ⊂ (α ), Ox ⊥ ∆ , Oy ⊂ ( β ), Oy ⊥ ∆

∆

Khi đó:
góc ((α );(β )) = góc (Ox; Oy) = xOy = ϕ : 0 ≤ ϕ ≤ 90o

y

ϕ

• (α ) ⊥ (β ) ⇔ ϕ = 90o
α

β

O

ϕ

C2 : Dùng hệ quả:

B

a ⊂ (β )
 ⇒ (α ) ⊥ (β )
a ⊥ (α ) 

a

= AOB = ϕ .

α

β
α

KHOẢNG CÁCH

CÁCH XÁC ĐINH GÓC
1. Góc của hai đường thẳng
A
a'

a

α =(a; b)

O
b'

B

b

Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB
Thường chọn điểm O ∈ a hoặc O ∈
b

Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng
M

H
α
Dùng: MH ⊥ (α
α ), H thc (α
α ) ta cã: d(M,(α
α )) = MH

K/cách giữa hai đ/thẳng song song

2. Góc của hai mặt phẳng

Chọn điểm O thuộc ∆ = ( α ) ∩ ( β ).
Dựng qua O :
O

OA ⊂ (α )
OB ⊂ ( β )
và 

⊥
∆
OA

OB ⊥ ∆

∆
ϕ

B

∆

∆ 1 // ∆ 2

∆1

β

H

* . 0 ≤ ϕ ≤ 90o .

Nếu ϕ > 90o thi chọn (α ; β ) = 180o − ϕ

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

∆ // (α
α)
H

∆2

Góc (α , β ) = Góc (OA, OB) =
Chú ý:

α

M

M

AOB = ϕ

A

Khoảng cách giữa mp và đ/thẳng //

33

Chän ®iĨm M trªn ∆ 1, dùng MH ⊥ ∆ 2
( H thc ∆ 2) ta cã d(∆
∆ 1,∆
∆ 2) = MH

α
Chän ®iĨm M thc ∆ , dùng MH ⊥ ∆
( H thc (α
α )), ta cã d(∆
∆ ,(α
α )) = MH

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

34


ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
(α

α ) // (β
β ), ∆ chøa trong (α
α)
M

∆

β

H
α
Ta cã: d((α
α ),(β
β )) = d(∆
∆ ,(α
α )) = MH
(M thc ∆ , MH ⊥ (α
α ), H thc α )

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
M

a'
α

b

H

A

B

a

• Dùng mỈt ph¼ng (α
α ) chøa b & (α
α ) // a
α ), M thc a, H thc (α
α)
• Dùng MH ⊥ (α
• Dùng a' trong mỈt ph¼ng (α
α ), a' // a
®−êng th¼ng a' c¾t ®−êng th¼ng b t¹i B
• Dùng ∆ qua B vµ // MH, ∆ c¾t a t¹i A
Khi ®ã: d(a,b) = d(a,(α
α ))
= d(M,(α
α )) = MH = AB

2/ Hình chóp tứ giác đều
S
Hình chóp tứ giác đều:
∗ Đáy là hình vuông
∗ Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
∗ Vẽ đáy ABCD
∗ Dựng giao điểm H của hai đường
A
chéo AC & BD

D
Vẽ
SH ⊥ (ABCD)
∗
β
•
Ta
có
:
I
H
α
∗ SH là chiều cao của hình chóp
B
C
∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH = α .
∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH = β

3/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc
với đáy
∗ SA ⊥ (ABC)

S

∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA = α

• a vµ b chÐo nhau

∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA = β

HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
β

A

1/ Hình chóp tam giác đều
S
Hình chóp tam giác đều:
∗ Đáy là tam giác đều
∗ Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
∗ Đáy là tam giác đều
h
α
∗ Các mặt bên là những tam giác đều
A
Cách vẽ:
C
β
∗ Vẽ đáy ABC
∗ Vẽ trung tuyến AI
H
I
∗
Dự
n
g
trọ
n
g

tâ
m
H
∗ Vẽ SH ⊥ (ABC)
B

C

α
B

∗ SA ⊥ (ABCD)
∗ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA = α

S

∗ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA = β
∗ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA = ϕ

∗ SH là chiều cao của hình chóp
α

∗ Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH = β
B

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

ϕ

A

∗ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH = α .

Trang

35

D

β
C

GV : KHÁNH NGUN – TEL : 0914455164

Trang

36