Đề thi và đáp án vào chuyên toán Nguyễn Trãi Hải Dương 05

Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ

ðề 58:Thi Chuyên Nguyễn Trãi(2001- 2002)

Câu 1: Chứng minh rằng biểu thức: A = 

Không phụ thuộc vào x và y.
Câu 2:
2

xy +

2

 
x+ y
− x +
2
 

1) Giải phương trình: ( x 2 − 1) + 4 ( x − 1) = 12 ( x + 1)

xy −


x+ y
− y
2


2

2) Xác ñịnh các giá trị của m ñể phương trình:
x 2 − 4mx + 4m 2 + 1
+ x2 − 6 x + 7 = 0
x − 2m
Có một nghiệm duy nhất.
Câu 3:
1) Cho hai ñường tròn ( 01 ) và ( 02 ) tiếp xúc trong tại M ( ñường tròn có tâm 02 nằm
trong), N là một ñiểm trên ñường tròn ( 02 ) ( N ≠ M ); qua N kẻ một tiếp tuyến
với ñường tròn ( 02 ) cắt ( 01 ) tại A, B; ñường thẳng MN cắt ( 01 ) tại E, gọi I là
tiếp ñiểm của tiếp tuyến với ñường tròn ( 02 ) kẻ từ E. ðường thẳng EI cắt ( 01 )
tại C. CMR: I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC
2) Gọi a,b,c là ñộ dài ba cạnh tam giác và r,R là ñộ dài bán kính ñường tròn nội,
ngoịa tiếp tam giác. Chứng minh rằng ñiều kiện ñể tam giác là ñều khi và chỉ khi:
1 1 1
3
+ + =
a b c
2 Rr
Câu 4: Cho n là số tự nhiên lẻ và n có thể biểu diễn không ít hơn hai cách là tổng của hai
số chính phương. Chứng minh rằng n là hợp số.
Hướng dẫn giải:
Câu 1: ðiều kiện: xy ≥ 0
+) Nếu x + y < 0 , vì xy ≥ 0 nên x và y cùng dấu ⇒ x, y ≤ 0
x+ y
Lại có
≥ 2 x . y = 2 xy
2
Suy ra:
x+ y

x+ y
x+ y
x+ y
+ xy = xy −
=
− xy =
− xy
2
2
2
2
x+ y
x+ y
xy −
=
+ xy
2
2
 x+ y
  x+ y

⇒ A=
− xy − x  + 
+ xy − y  = 0
 2
  2

+) Nếu x + y ≥ 0 , vì xy ≥ 0 nên x và y cùng dấu ⇒ x, y ≥ 0
Lập luận tương tự trên ta có:
187

Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ

x+ y

  x+ y

A =  xy +
− x+
− xy − y  = 0
2

  2

Vậy A = 0 không phụ thuộc vào x và y.
Câu 2:
1) Dễ thấy x = −1 không phải là nghiệm.
2

Chia hai vé của phương trình cho ( x + 1) ta ñược:

(x

2

− 1)

2

2

( x − 1)
+ 4.
2
2
( x + 1)
( x + 1)

= 12
2

2

x −1 
( x − 1) = 12

⇔  x − 1 − 2.
 + 4.
x +1 
x +1

2

2
 ( x − 1) 2 
x − 1)
(
⇔
− 12 = 0 (*)

 + 4.
x +1
 x + 1 

ðặt

( x − 1)

2

=t
x +1
Khi ñó (*) trở thành:
t = 2
t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ ( t − 2 )( t + 6 ) = 0 ⇔ 
 t = −6
+) Nếu t = −6 ta có

( x − 1)

2

= −6 ( vô nghiệm)
x +1
2
x − 1)
(
+) Nếu t = 2 ta có
= 2 ⇔ x = 2± 5
x +1

Phuơng trình ñã cho có nghiệm x ∈ 2 + 5; 2 − 5

{

2) ðiều kiện x ≠ 2m
Ta có:
x 2 − 4mx + 4m 2 + 1
1
= x − 2m +
≥2
x − 2m
x − 2m
Lại có:
2
x 2 − 6 x + 7 = ( x − 3) − 2 ≥ −2
Do ñó:
x 2 − 4mx + 4m 2 + 1
+ x2 − 6 x + 7 ≥ 0
x − 2m
m = 1
( x − 2m ) 2 = 1  
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
⇔ m = 2
 x = 3
x = 3


188

}

Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ

m = 1
Với 
phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất x = 3 .
m = 2
Vậy với m = 1 hoặc m = 2 .
Câu 3:

C
M

O2
I
O1
D

A

B

N

E
1) Từ M kẻ tiếp tuyến với hai ñường tròn, cắt AB tại D.
⇒ DM = DN ⇒ DMN = DNM
1
Mà DME = DMA + AME = sd MA + sd AE

2
1
Có: DNM = sd MA + sd BE
2
⇒ AE = BE
AE NE
=
⇒ AE 2 = ME.NE
∆AEN ∆MEA (g.g) ⇒
ME EA
Tương tự: ∆ENI ∆EIM (g.g) ⇒ EI 2 = EN .EM

(

(
)

)

⇒ EI = EA = BE ⇒ AIE = IAE
Có: CAI = AIE − ACI = IAE − ABE = IAE − BAE = IAB
Vậy I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC
1 1 1
3
2) Ta có:
+ + =
a b c
2 Rr
2

3
1 1 1
(1)
 + +  =
 a b c  2 Rr
abc
Ta có: S =
= p.r ( p là nửa chu vi)
4R

189


Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ

2

2

 1 1 1  3( a + b + c)
 1 1 1  3( a + b + c)
Do ñó (1) ⇔  + +  =
⇔ + +  −
=0
abc
abc
a b c
a b c
2

2

2

1 1 1 1 1 1
⇔  −  + −  + −  = 0
a b b c c a
1 1
a = b

1 1
⇔ = ⇔a=b=c
b c
1 1
c = a

Vậy ta có ñiều phải chứng minh
Câu 4: Theo bài ra ta có:
+) n có thể biểu diễn khôgn ít hơn hai cách là tổng của hai số chính phương, suy ra n > 2
Giả sử n = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 ( a, b, c, d ∈ ℕ; a ≠ c, a ≠ d , b ≠ c, b ≠ d )
Nếu một trong các số a,b,c,d có một số nhận giá trị 0, ta có ngay n là số chính phương,
n > 2 ⇒ n là hợp số.
Vậy ta xét a, b, c, d > 0
+) Ta có n lẻ. Vì vaỵa ta có thể giải sử a,d chẵn; b,c lẻ
Không giảm tính tổng quát, giả sử a > d ⇒ b < c
a−d a+d c+b c−b
⇒
,
,
,

∈ ℕ * (1)
2
2
2
2
• Bổ ñề: Cho a, b, c, d ∈ ℕ và ab = cd . CMR: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 là hợp số
• Chứng minh:
Gọi ( a, c ) = t ≥ 1
⇒ a = ta1 , c = tc1 , ( a1 , c1 ) = 1; a1, c1 ∈ ℕ *

Gọi ( b, d ) = l ≥ 1
⇒ b = lb1 , d = ld1 , ( b1 , d1 ) = 1; b1 , d1 ∈ ℕ *

Vì:
ab = cd ⇒ a1b1 = c1d1 ⇒ a1b1 ⋮ c1 mà ( a1 , b1 )=1 ⇒ b1 ⋮ c1
⇒ b1 = k .c1 (k ∈ ℕ*)
⇒ a1k = d1 ⇒ a1kl = d1l = d
2

2

⇒ a 2 + b 2 + c ⇒ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = a12 t 2 + ( kc1l ) + t 2 c12 + ( a1kl ) = ( a12 + c12 )( t 2 + l 2 k 2 )
〉1

⇒ a + b + c + d là hợp số ( ñpcm)
Trở lại bài toán
Ta có: n = a 2 + b 2 = c 2 + d 2
a2 − d 2 c 2 − b2
a−d a +d c−b c+b
2

2
2
2
⇒ a − d = c −b ⇒
=
⇒
.
=
.
(2)
4
4
2
2
2
2
2

2

2

2

190

〉1


Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ

Từ (1) và (2) áp dụng bổ ñề ta có:
2

2

2

2

 a − d   a + d   c −b   c +b 

 +
 +
 +
 là hợp số
 2   2   2   2 
Có:
2

2

2

2

a2 + b2 + c 2 + d 2
 a − d   a + d   c −b   c +b 
+
+

+
=
=n

 
 
 

2
 2   2   2   2 
Vậy ta có ñpcm
* Nhận xét: ðây là một bài tóan hay, xuất phát từ bài toán quen thuộc ( bổ ñề nói ở trên),
chúng ta ñã có một lời giải rất ñẹp.

191