CÔNG THỨC toán lớp 10,11,12

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
*
*
*
*
*

*
PT, BPT CHỨA CĂN BẬC HAI

*
*Trường hợp (a-b+c)2 xem như (a+(-b)+c)2, các trường
hợp còn lại tương tự.
*an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+bn-1)
*an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+bn-1)
*(a+b)n=
CÁC TÍNH CHẤT CỦA BĐT
Tính chất
Nội dung

Tên gọi
Cộng 2 vế
bđt cho cùng
1 số
Nhân 2 vế
bđt cho cùng
1 số
Cộng 2 bđt
cùng chiều
Nhân 2 bđt
cùng chiều

a>b ⇔ a+c>b+c
a>b ⇔ ac>bc
a>b ⇔ aca > b
⇒ a+c > b+d

c > d
a > b
⇒ ac > bd

c > d

a > b ⇔ a 2 n + 1 > b 2 n+ 1
Lũy thừa, lấy
căn bậc hai 2
vế bđt

Điều kiện

a > b ⇔ 2 n + 1 a > 2 n +1 b
a > b ⇔ a 2n > b 2n
a > b ⇔ 2n a > 2n b

c>0
c<0

b>0 và d>0
n nguyên
dương

a,b>0

Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hay bằng
trung bình nhân của chúng.
a+b
≥ ab ⇔ a + b ≥ 2 ab , ∀a, b ≥ 0.
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT

*
1
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

A ≥ 0

A < B ⇔ B ≥ 0
 A < B2


B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B

B ≥ 0
A> B⇔
A > B

B ≥ 0

B < 0
A>B⇔
hay 
2
A ≥ 0
A > B
Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa căn bậc 2 bằng cách dặt
ẩn phụ
PT, BPT CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A = B
A= B ⇔
 A = −B

B ≥ 0
A =B⇔
A = ±B

A > B ⇔ A 2 > B 2 ⇔ ( A − B )( A + B ) > 0

BĐT CÔ-SI (CAUCHY)

*A2
*A2 > 0
*A3>0
* (n là số nguyên dương)
*
*
*

 A ≥ 0( B ≥ 0 )

A= B⇔
A = B

A > B
A>B⇔
A < −B

A < B
A < B ⇔ −B < A < B ⇔ 
 A > −B
Chú ý: Có thể giải pt, bpt chứa gttđ bằng cách sử dụng
 A ( A ≥ 0)
A=
 − A ( A < 0) để bỏ gttđ
định nghĩa

ĐỊNH LÝ VIÉT
Thuận:
Pt ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm x1, x2 thì
Đảo:
Nếu
thì x1, x2 là 2 nghiệm của pt: X2-SX+P=0
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Cho f(x) = ax2+bx+c (a ≠ 0)
∆ =b2-4ac ( ∆ ’ =b’2-ac, b’ =)
● ∆ < 0 ⇔ af ( x ) > 0 ∀x
(tam thức cùng dấu a với mọi x)
-b -b
∆ = 0 ⇔ af ( x ) > 0 ∀x ≠ , f   = 0
2a  2a 

●
,
(tam thức cùng dấu a với mọi x khác nghiệm kép)
● ∆ >0pt f(x)=0 có 2 nghiệm pb x1, x2.
1


x
f(x)

−∞
cùng dấu a

x1
x2
0 trái dấu a 0

+∞
cùng dấu a

ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
Cho pt ax2+bx+c=0 (1)
a ≠ 0
⇔
∆ > 0
+Pt (1) có 2 nghiệm pb
a ≠ 0
⇔
+ Pt (1) có nghiệm kép  ∆ = 0
a ≠ 0

⇔
∆ ≥ 0
+ Pt (1) có 2 nghiệm
a ≠ 0
⇔
 ∆ ≥ 0 (Xét a = 0)
+ Pt (1) có nghiệm
a ≠ 0
⇔
+ Pt (1) VN  ∆ < 0 (Xét a = 0)
DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
Cho pt ax2+bx+c=0 (1).Gọi x1, x2 là 2 ng(nếu có)
+Pt (1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
(x1 < 0 < x2)


∆ > 0

⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) > 0
S
 >0
2
+ < x1 < x 2

∆ > 0

⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) > 0
S
 <0
2

+ x1 < x2 <
TÍNH CHẴN LẺ CỦA HS
●Hs y = f(x) với TXĐ D gọi là hs chẵn nếu
∀x ∈ D thì − x ∈ D và f(-x) = f(x)
●Hs y = f(x) với TXĐ D gọi là hs lẻ nếu
∀x ∈ D thì − x ∈ D và f(-x) = -f(x)
●Đồ thị hs chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
●Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng
HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
→

→

∆ ≥ 0
⇔
+ Pt (1) có 2 nghiệm cùng dấu  P > 0
(0 < x1 x2 hoặc x1 x2 < 0)

+ Pt (1) có 2 nghiệm dương pb
(0 < x1 < x2)

+ Pt (1) có 2 nghiệm âm pb
(x1 < x2 < 0)

∆ > 0

⇔ S > 0
P > 0


∆ > 0

⇔ S < 0
P > 0


SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ

→

Cho a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ), k ∈ R
a1 = b1
→
→ ⇔ 
a 2 = b2
*a = b
→

* a ± b = (a1 ± b1 ; a 2 ± b2 )
→

* k a = ( ka1 ;ka 2 )
→

*

→

k. a = k . a
→→

a b = a . b . cos(a, b) = a1b1 + a 2 b2

*
→

a = a12 + a 22

→

→

* a ⊥ b ⇔ a1 b1 + a 2 b2 = 0
→
→
→
a
a
b ⇔ a = k . b ⇔ 1 = 2 ( b1 b2 ≠ 0)
→
b1 b2
* a cùng phương
*Hai véctơ cùng hướng
*Hai véctơ ngược hướng
*

* Góc giữa 2 véctơ:
→→

⇔ (x1-). (x2-) < 0

a1b1 + a 2 b2
→ → a b
cos a , b  = → → =
2

 a.b
a1 + a 22 b12 + b22

∆ > 0
⇔
( x − α )( x2 − α ) > 0
+ < x1 < x2 hoặc x1 < x2 <  1

* Góc của tam giác: cos A = cos AB, AC
AB = ( x B − x A ; y B − y A )

2

Gọi x1, x2 là các ng của pt ax +bx+c=0 (nếu có)
+ x1 < < x 2

2
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

(

)
2

2
2
* AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A )
* M ∈ Ox ⇔ M ( x M ;0 ) M ∈ Oy ⇔ M ( 0; y M )

* M là trung điểm đoạn thẳng AB
x A + xB

 x M =
2
⇔
 y = y A + yB
M

2
* G là trọng tâm tam giác ABC
x A + x B + xC

 xG =
3
⇔
 y = y A + y B + yC
 G
3

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG

(

)

*Góc của tam giác: cosBAC = cos AB, AC
*AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC
AB
⇔ DB = −
DC
AC
*I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
⇔ AI2 = BI2 = CI2
*Tìm tâm J của đtròn nội tiếp tam giác ABC:
+Tim D là chân đường phân giác trong AD của tam giác
ABC
+Tim J là chân đường phân giác trong BJ của tam giác
ABD
+J là tâm đtròn nội tiếp tam giác ABC
*A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương
*ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC và A, B, C
không thẳng hàng
*ABCD là hình thang (AB//CD)
⇔ AB,CD cùng huong và
A,
B, C không thẳng hàng
(3 tính chất trên vẫn đúng trong không gian)
ĐƯỜNG THẲNG
*Véctơ là vt chỉ phương của đt d nếu giá của nó song
song hoặc trùng với d
*Véctơ là vt pháp tuyến của đt d nếu giá của nó vuông
góc với d
*Đt d có vtcp là thì d có vtpt là

*Pttq của đt d có dạng : ax+by+c=0 (vtpt là (a;b))
→

*Đường thằng đi qua diểm M(x0; y0) vtcp a =(a1;a2) có
 x = x 0 + a1 t
x − x 0 y − y0
( a1 a 2 ≠ 0 )
=

y = y0 + a 2 t
a
a

1
2
ptts
ptct
→

*Đường thằng đi qua diểm M(x0; y0) vtpt n =(a; b) có
pttq : a(xx0) + b(yy0) = 0
*Đường thằng đi qua diểm M(x0; y0), hệ số góc k có pt:
yy0=k(xx0)
3
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

x y
+ = 1 ( ab ≠ 0 )
*Pt đường thằng theo đoạn chắn: a b
(đường thẳng cắt Ox, Oy lần lượt tại A(a; 0), B(0; b) )

*Nếu d//đường thẳng ax+by+c=0 thì pt d có dạng:
ax+by+m=0 (mc)
*Nếu d ⊥ đường thẳng ax+by+c=0 thì pt d có dạng:
bxay+m=0
* pt trục Ox : y=0, Oy : x=0

Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0
a
a
c
⇔ 1 = 2≠ 1
b1 b2 c 2
d //d
1

2

d1 ≡ d2

⇔

a1 a 2 c 1
=
=
b1 b2 c 2

⇔

a1 a 2
≠

b1 b2

d1 cắt d2
Cho d1: y=a1x+b1, d2 : y=a2x+b2
a = a 2
⇔ 1
b1 ≠ b2
d1 //d2
a = a2
⇔ 1
b1 = b2
d1 ≡ d2
d cắt d ⇔ a1 ≠ a 2
1

2

a1 x + b1 y + c1 = 0

a x + b2 y + c 2 = 0
Tọa độ giao điểm là nghiệm hpt  2
GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Cho d1: a1x+b1y+c1=0, d2: a2x+b2y+c2=0
Gọi ϕ là góc giữa 2 đường thẳng d1, d2
a1 a 2 + b1 b2
cosϕ =
a12 + b12 a 22 + b22
KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng ∆ : ax+by+c=0 và điểm M

ax M + by M + c
d( M , ∆) =
a 2 + b2
Khoảng cách từ M đến ∆ :
Chú ý: d(M,Ox) =
d(M,Ox) =
PT CÁC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA CÁC GÓC
TẠO BỞI 2 ĐƯỜNG THẲNG
Cho 2 đường thẳng d1: a1x+b1y+c1=0,
d2: a2x+b2y+c2=0

3


Pt các đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường
a1 x + b1 y + c1
a x + b2 y + c 2
=± 2
a12 + b12
a 22 + b22
thẳng d1, d2 là:

⇔ cos(∆ , d ) = cosα =

n12 + n22 a 2 + b 2
Từ hệ thức giữa n1 và n2 chọn n1 suy ra n2
ĐƯỜNG TRÒN

MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG THẲNG

*Viết pt đường thẳng qua 2 điểm A, B:
Đường thẳng qua A, vtcp AB có ptts (hoặc ptct)
hoặc (mẫu khác 0)
Chú ý: Viết pt trung tuyến AM của tam giác ABC
+Tìm trung điểm M của cạnh BC
+Viết pt tt AM qua A,M
*Viết pt đường thẳng qua điểm M và vuông góc AB:
+Pttq đường thẳng qua M, vtpt AB
Chú ý:
Đường cao AA/ của tam giác ABC qua A, vtpt BC
Đường trung trực của BC qua trung điểm I của BC, vtpt
BC
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng d
+Viết pt đường thẳng ∆ qua M, vuông góc d
 pt d

+Ta có H = d  ∆ ⇒ Tọa độ H là nghiệm hpt pt ∆
Cách khác:
*Tìm điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d
+Tìm hình chiếu H của M lên d
+M và M/ đối xứng nhau qua d
 xM′ = 2 xH − xM
⇔
 yM′ = 2 yH − yM
⇔ H là trung điểm MM/
*Viết pt đường thẳng ∆ / đối xứng đường thẳng ∆ qua
đường thẳng d
+Lấy 2 điểm M, N trên ∆
+Tìm M/, N/ dối xứng với M, N qua đường thẳng d
+Viết pt đường thẳng ∆ / qua M/, N/

*Viết pt đường thẳng qua M, cách A một khoảng bằng k
→

Pt đường thẳng ∆ đi qua M, vtpt n =(a; b) có dạng:
a(xxM)+b(yyM)=0
∆ cách A một khoảng bằng k
⇔ d ( A, ∆ ) = k
Từ hệ thức giữa a và b chọn a suy ra b (hoặc ngược lại)
*Viết pt đường thẳng qua M, cách đều A, B
→

Pt đường thẳng ∆ đi qua M, vtpt n =(a; b) có dạng:
a(xxM)+b(yyM)=0
∆ cách đều A, B
⇔ d ( A, ∆ ) = d ( B , ∆ )
Từ hệ thức giữa a và b chọn a suy ra b
*Viết pt đường thẳng ∆ qua M và tạo với d:ax+by+c=0 1
góc α
→

Pt đường thẳng ∆ đi qua M, vtpt n =(n1; n2) có dạng:
a(xxM)+b(yyM)=0
∆ tạo với d 1 góc α
4
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

n1 a + n2 b

*PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Pt đtròn tâm I(a; b) bán kính R

+(xa)2+(yb)2 = R2
2
2
+ x2 + y2 2ax 2by+c = 0 (1) R = a + b − c
Pt (1) là pt của 1 đường tròn ⇔ a2+b2c>0
CHÚ Ý:
+(C) có tâm I, qua M ⇔ R = IM
+(C) có tâm I, tiếp xúc đường thẳng ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R
+(C) có đường kính AB ⇔ tâm I là trung điểm AB và bán
kính R = AB/2
 AI = BI
⇔
→
 BI ⊥ a d
+(C) qua A và tiếp xúc đường thẳng d tại B
+(C) đi qua 3 điểm A, B, C ⇔ thế tọa độ A, B, C vào pt
đường thẳngròn dạng khai triển. Giải hpt tìm a, b, c.

*PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA Đ/ TRÒN
* Viết pttt của (C) tại M:
+Tìm tâm I của (C)
+Tiếp tuyến của (C) qua M, có vtpt IM
* Viết pttt của (C) các dạng khác:
+Tìm tâm và bán kính của (C)
+Xác định dạng của ttuyến
●có hệ số góc k : Pttt có dạng : y = kx + m
●// đường thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : ax + by + m
=0
● ⊥ đường thẳng ax + by + c = 0: Pttt có dạng : bx  ay +
m=0

●qua M : Pttt có dạng : a(xxM) + b (yyM) = 0
+Ttuyến d tiếp xúc (C) ⇔ d(I, d) = R
Từ dó tìm m hoặc a, b.
ELIP
(E) = {M/ MF1 + MF2 = 2a } với 2a > F1F2
F1, F2 : tiêu điểm F1F2 = 2c : tiêu cự
M ∈ (E) : F1M, F2M : bán kính qua tiêu điểm
x2 y2
+ 2 =1
2
b
PT chính tắc của (E) : a
(a2 = b2 + c2)
Độ dài trục lớn : 2a Độ dài trục nhỏ : 2b
Tiêu điểm : F1(c; 0) F2(c; 0) Tâm sai
Đỉnh : A1(a; 0) A2(a; 0) B1(0; b) B2(0; b)
Hình
Tam giác

DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
Diện tích
Trong đó
a:cạnh đáy
1
S = ah
h:chiều cao
2
4

( a + b )h
2

Hình thang

S=

Hình bình hành

S = ah

Hình thoi

S=

Hình

Diện tích

Hình hộp S tp =
chữ nhật 2( ab + bc + ca )
Hình lập
phương
Hình lăng
trụ(k.lăng
trụ)

a:cạnh đáy
h:chiều cao
a,b:2 đường

chéo

ab
2
S = ab
S = a2

Hình chữ nhật
Hình vuông

Stp=6a2

a,b: 2 kthước
a: canh hv
Thể tích
V=abc
V=a3

Sxq=tổng dt mặt
bên
Stp=Sxq+S2đ
S =tổng dt mặt
Hình chóp xq
bên
(K/chóp)
Stp=Sxq+Sđ
Hình cầu
S = 4πR 2
(K/cầu)
S xq = πRl

Hình nón
S tp = S xq + S d
(K.nón)
= πRl + πR 2
S xq = 2πRl
Hình trụ
S tp = S xq + 2 S d
(K.trụ)
= 2πRh + 2πR 2

V=Sđ.h
V =

1
Sd h
3

S=

4 3
πR
3

V =

Trong
đó
a,b,c:3
kích
thước

a:cạnh
hlp
h:chiều
cao

R:bán
kính

1 2 l:đườg
πR h
sinh
3

V = πR 2 h

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
*CÁC PP CM 2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
a // b

u ≡ a
a ⊂ (α ), b ⊂ ( β ) ⇒ u//a//b

(α ) ( β ) = u
+
hoặc  u ≡ b

a //(α )

⇒ a//b
a ⊂ ( β )

(α ) ( β ) = b


+

a  b = O

a, b ⊂ (α ) ⇒ (α ) //( β )
a, b //( β )


+

(α ) //( P )

( β ) //( P ) ⇒ (α ) //( β )
(α ) ≠ ( β )


a,b:2 đáy
h:chiều cao

(α ) ≠ ( β )
⇒ (α ) //( β )

(
α
),
(
β

)
⊥
a

+

*CÁC PP CM ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP SONG SONG
a // b ⊂ (α )
a ⊂ (α )
⇒ a //(α ) 
⇒ a //( β )

+ a ⊄ (α )
+ (α ) //( β )
a ⊄ (α )

a ⊥ b ⇒ a //(α )
(α ) ⊥ b
+
*CÁC PP CM 2 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
a ⊥ (α )
a // b
⇒a⊥b
⇒b⊥c


b
⊂
(
α

)
a
⊥
c


+
+
+Cho a/ là hình chiếu của a lên mp (P), b ⊂ (P)
a ⊥ a′ ⇔ a ⊥ b
*CÁC PP CM 2 MP VUÔNG GÓC
a ⊂ (α )
a //(α )
⇒ (α ) ⊥ ( β )
⇒ (α ) ⊥ ( β )


a
⊥
(
β
)
a
⊥
(
β
)


+

+
*CÁC PP CM ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP VUÔNG GÓC
a ⊥ b, c

b  c = O ⇒ a ⊥ (α )
b, c ⊂ (α )
+
(α ) ⊥ ( β ), (α )  ( β ) = d
⇒ a ⊥ (β )

a
⊂
(
α
),
a
⊥
d

+
(α ) //( β )
⇒ a ⊥ (β )

a
⊥
(
α
)

+

+

(α ), ( β ) // a
⇒ a//b

(
α
)

(
β
)
=
b

+

*Mp (đường) trung trực của một đoạn thẳng là mp (đường
thẳng) vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm.
+
Trong không gian, tập hợp những điểm cách đều 2 đầu
(α ) //( β )
đoạn thẳng là mp trung trực của đoạn thẳng đó.

(
α
)

(
P

)
=
a
⇒
a//b
Trong mp chứa đoạn thẳng, tập hợp những điểm cách đều 2
a
≠
b


⇒
a
//
b

( β ) ( P ) = b
đầu đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
+
+ a , b ⊥ α
*Các đlý khác:
+Các pp cm 2 đường thẳng song song trong mặt phẳng như ●Hai mp // chắn trên 2 cát tuyến // các đoạn thẳng bằng
định lý Talet đảo, cm tứ giác là hbh, đường trung bình nhau.
trong tam giác, hình thang, …
●Ba mp // chắn 2 cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ.
*CÁC PP CM 2 MP SONG SONG
5
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

5


KHOẢNG CÁCH

*Diện tích hình chiếu: Nếu S là
dtích của 1 đa giác, S/ là dtích
*Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mp (đường thẳng) là độ dài đa giác hình chiếu và ϕ là góc
đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mp (đường thẳng)
giữa mp chứa đa giác và mp
*Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và 1 mp (đường thẳng)
chiếu thì S ′ = S cosϕ
song song là khoảng cách từ 1 điểm trên đường thẳng đến
mp (đường thẳng)
HÌNH CHÓP
*Khoảng cách giữa 2 mp song song là khoảng cách từ 1
điểm trên mp này đến mp kia.
*Định nghĩa: Trong mp (P) cho
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là:
đa giác A1A2…An và 1 điểm S nằm ngoài (P). Nối S với
+độ dài đoạn vuông góc chung
các đỉnh A1, A2, …,An ta được n miền tam giác, hình tạo bởi
+khoảng cách giữa 1 trong 2 đường thẳng đó và 1 mp
n miền tam giác đó và miền đa giác được gọi là hình chóp
song song với nó chứa đường thẳng còn lại
S. A1A2…An trong đó:
+khoảng cách giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đường
+Điểm S gọi là đỉnh hc
thẳng đó
+Các đoạn thẳng SA1, SA2... gọi là các cạnh bên của hc

+Các đoạn thẳng A1A2 , A2A3 ... gọi là các cạnh đáy của hc
*Các pp tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến mp
+Các miền tam giác gọi là các mặt bên của hc
+Hc có đáy là tam giác, tứ giác, … gọi là hc tam giác, hc
⊥ ( P ) Cách 1:
tứ giác, … Hc tam giác còn gọi là hình tứ diện. Hình tứ
_Tìm (dựng) MH
tại H
diện đều là hình tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.
d ( M , ( P ) ) = MH _
Hình tứ diện đều là hình tứ diện có 6 cạnh bằng nhau.
+Hc đều là hc có đáy là đa giác đều và chân đường cao
( P ) Cách 2:
trùng với tâm của đáy, các cạnh bên bằng nhau, các mặt
_Tìm (dựng) MN //
bên là những tam giác cân bằng nhau, góc giữa các cạnh
d ( M , ( P) ) = d ( N , ( P ) ) _
bên (mặt bên) và đáy bằng nhau.
Cách 3: (tỉ số khoảng cách)

HÌNH LĂNG TRỤ

*Định nghĩa: Hình lăng trụ là hình đa diện có 2 mặt nằm
trong 2 mặt // gọi là 2 mặt đáy và tất cả các cạnh không
nằm trong 2 đáy thì // nhau. Trong đó:
+Các mặt khác với 2 đáy
Cách 4: (dùng thể tích)
gọi là các mặt bên (các
mặt bên là các hbh)
+Cạnh chung của 2 mặt

Chú ý: Để vẽ đt vuông góc mp từ M ta thường tìm mp chứa bên gọi là cạnh bên.(các
M và vuông góc mp đó, từ M vẽ đt vuông góc giao tuyến. cạnh bên // và = nhau)
+Hai đáy là 2 đa giác có
GÓC
các cạnh tương ứng // và
=
*Góc giữa 2 đường thẳng a, b là góc giữa 2 đường thẳng nhau.
cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song với 2 đường +Hlt có đáy là tam giác,
tứ giác, … gọi là hlt tam
thẳng đó. Ký hiệu là (a,b).
0
giác, hlt tứ giác, …
Chú ý: Góc giữa 2 đường thẳng // hoặc trùng nhau =0
+Hlt có đáy là hbh còn gọi là hình hộp. Bốn đường chéo
Có thể từ 1 điểm trên đt này vẽ đt // đt kia
của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
α
+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hcn gọi là hình hộp chữ
*Góc giữa đường thẳng a và mp là góc giữa đường
nhật.
thẳng đó và hình chiếu của nó lên mp. Ký hiệu: ( a , α )
+Hình hộp có tất cả các mặt đều là hvuông gọi là hình lập
Chú ý: Góc giữa đường thẳng // hoặc nằm trong mp =00
phương.
+Hlt đứng là hlt có cạnh bên vuông góc với đáy, các mặt
*Góc giữa 2 mp là góc giữa 2 đường
bên là các hcn và vuông góc với đáy
thẳng lần lượt nằm trong 2 mp và
+Hlt đều là hlt đứng có đáy là đa giác đều, các mặt bên là
cùng vuông góc với giao tuyến tại 1

những hcn bằng nhau.
điểm. (hoặc góc giữa 2 đường thẳng
lần lượt vuông góc với 2 mp đó)
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chú ý: Góc giữa 2 mp // hoặc trùng nhau =00
→
→
Cho a =(a1; a2; a3), b =(b1; b2; b3), số k tùy ý
6
6
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536


a 1 = b1

⇔  a 2 = b2
→
→
a = b
3
 3
*a = b
→

 → →   a 2 a 3 a1 a 3 a1 a 2
 a , b  =  b b ;− b b ; b b
1 3
1 2
 2 3

→

* a ± b = (a1 ± b1 ; a 2 ± b2 ; a 3 ± b3 )
→→

→

(
) a
* k a = ka1 ; ka 2 ; ka 3 *

b = a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3

→

*

a = a 12 + a 22 + a 32

*

[

S = AB, AC
a 1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3

a +a +a
2
1

* a, b cùng phương
→
→
→ → 
⇔ a = k. b ⇔ a, b = 0


→ →  → →
 a , b  ⊥ a , b
*
→ → →

ab


cos a , b  = → →

 a.b
=

a1 a 2 a 3
=
=
b1 b2 b3 ( b1 , b2 , b3 ≠ 0 )

→ →  →
⇔ a , b . c = 0


* a , b , c đồng phẳng

→→

→ →

⇔

→ →






2
2

2
3

b +b +b
2
1

2
2

]

*Diện tích hbh ABCD:

2
3

* AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A )
2
2
2
* AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )
M ∈ Ox ⇔ M ( xM ; 0; 0 )

M ∈ Oxy ⇔ M ( xM ; yM ; 0 )

M ∈ Oxz ⇔ M ( xM ; 0; zM )
* M là trung điểm đoạn thẳng AB
x A + xB

 xM =
2

y + yB

⇔  yM = A
2

z A + zB

zM =
2

* G là trọng tâm tam giác ABC

x A + x B + xC

 xG =
3

y + y B + yC

⇔  yG = A
3

z A + z B + zC

 zG =
3

* G là trọng tâm tứ diện ABCD
x A + x B + xC + x D

 xG =
4

y + y B + yC + y D

⇔  yG = A
4

z A + z B + zC + z D

 zG =
4



*A,uB,
của
uu
r C là 3 đỉnhuu
ur 1 tam giác
⇔ AB không cp AC
1
S=
AB , AC
2
*Diện tích tam giác ABC
*Độ dài đường cao AH của tg ABC

[

]

*Tính góc của tam giác ABC:
* AH là đường cao tg ABC
uuur uuur
 AH ⊥ BC
⇔  uuur
uuur
 BH cp BC
Cách 2: Tìm H là hình chiếu của A lâ đường thẳng BC
* I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tg ABC
 AI = BI = CI
⇔

 A, B, C , I dong phang
*Thể tích hình hộp ABCD.A/B/C/D/:

[

]

V = AB, AD .AA ,

[

]

1
AB , AC .AD
6
*Thể tích khối tứ diện ABCD:
* Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD
V =

* AH là đường cao td ABCD
 AH ⊥ ( BCD )
⇔
 B, C , D, H dong phang
Cách 2 : Viết pt đường cao AH
của td ABCD.
H = AH I ( BCD )
Ta có

* Định nghĩa TÍCH CÓ HƯỚNG của 2 vectơ

→

→

a =(a1; a2; a3), b =(b1; b2; b3) là 1 vectơ được xác định
như sau:
7
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

7


*A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương
uuu
r uuur uuur
⇔  AB. AC  . AD ≠ 0
*A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện
D ∉ ( ABC )
Cách 2:
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
*Pt mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 hoặc
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (1)
2
2
2
với tâm I(a; b; c), bán kính R = a + b + c − d
2
2
2

Pt (1) là pt một mặt cầu ⇔ a + b + c − d > 0
Chú ý:
+(S) có tâm I, qua M ⇔ R = IM
thế tọa độ M vào pt mc
+(S) có tâm I, tiếp xúc mp α ⇔ d ( I ,α ) = R

+(S) có tâm I, tiếp xúc đường thẳng ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R
+(S) có đường kính AB ⇔ tâm I là trung điểm AB và bán
kính R = AB/2
+Viết pt mặt cầu (S) qua A, B, C, D
Pt mc (S) có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 (1)
(a2+b2+c2-d > 0 )
mặt cầu (S) qua A, B, C, D
⇔ hpt 4 ẩn a, b, c, d(thế tọa độ A, B, C, D vào (1))
+Để tìm tiếp điểm của tiếp diện (P) và mc:
.Tìm pt đường thẳng d qua tâm I và vuông góc (P)
.Tiếp điểm T= d (P )
+Để tìm tâm và bán kính của đtròn giao tuyến của (P) và
mc tâm I, bán kính R:
.Tìm pt đường thẳng d qua tâm I và vuông góc (P)
. Tâm đtròn J = d (P )
. Bán kính R =

R 2 − d 2 ( I , ( P ))

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
*Mp ( α ) qua điểm M0(x0; y0; z0), vtpt n =(A;B;C)
có pt là: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
*Pt tống quát của mp có dạng:
Ax+By+Cz+D=0 với A2+ B2 +C2 ≠ 0

→

→

*Mp Ax+By+Cz+D=0 có vtpt n =(A;B;C)
*Pt mp theo đoạn chắn:
Pt mp cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)
x y z
+ + =1
với abc ≠ 0 là : a b c
*Vị trí tương đối của 2 mp:
Cho 2 mp ( α ) :Ax+By+Cz+D=0 và

(α ′ ) :A/x+B/y+C/z+D/=0
( α ) cắt ( α ′ ) ⇔ A : B : C ≠ A′ : B′ : C ′

( α ) // ( α ′ ) ⇔

A B C
D
=
=
≠
A′ B′ C ′ D′

8
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

A B C
D

=
=
=
A′ B′ C ′ D′
*Khoảng cách từ điểm M đến mp (P) là:
Ax M + ByM + Cz M + D
d( M ,( P )) =
A2 + B 2 + C 2
Chú ý:
*Mp qua A, B, C không thẳng hàng có vtpt

( α ) trùng( α ′ ) ⇔

→

[

n = AB, AC

]

*Mp vuông góc AB có vtpt là AB
→

[

*Mp chứa (//) AB, // CD có vtpt n = AB, CD
→

[

]

]

*Mp chứa (//) AB, ⊥ α có vtpt n = AB, nα
→
→ → 
n =  nα , n β 


*Mp ⊥ α , β có vtpt
M ∈ d *Mp chứa 2 đt cắt nhau d, d’ qua và có vtpt là
→
uu
r uur
n = ud , ud ' 
M ∈ d *Mp chứa 2 đt // d, d’ qua và có vtpt là
→
uu
r uuuuur
n = ud , MM '  M ' ∈ d '



(

)

*Pt các mp tọa độ Oxy : z = 0, Oyz : x = 0,

Oxz : y = 0
*Mp chứa Ox ⇔ A = D = 0
*Mp // Ox ⇔ A = 0 và D ≠ 0
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
→

*Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0), vtcp u =(a;b;c)
có
 x = x0 + at

 y = y0 + bt t ∈ R
 z = z + ct
0
pt tham số : 
x − x 0 y − y0 z − z 0
( abc ≠ 0)
=
=
b
c
pt chính tắc : a
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG
→

d1 đi qua điểm M1, vtcp u1
→

d2 đi qua điểm M2, vtcp u 2
 → →  →
  u1 , u2  = 0



d1 // d 2 ⇔ 
→
→
 u , M M  ≠ 0
1
1
2

 
 → →  →
  u1 , u2  = 0


⇔
→
→
 u , M M  = 0
  1 1 2 
d1 trùng d2  
8


 → →  →
  u1 , u2  ≠ 0


⇔
→ →

→
 u , u  M M = 0
1
2
1
2

 
d1 cắt d2
→
→ → 
⇔  u1 , u2  M 1 M 2 ≠ 0


d1 chéo d2
*Chú ý: Có thể xét hpt gồm pt d1 và d2.
Nếu hệ có nghiệm t = t0 và t’ = t’0 thì 2 đt cắt nhau
( tìm tọa độ giao điểm bằng cách thế t = t0 vào pt d1 hoặc
t’ = t’0 vào pt d2)
→

→

→

→

→ → 
u1 , u2  M 1M 2
d ( ∆1 , ∆ 2 ) =

→ → 
u1 , u2 
Cách 2:
d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M , (P) ) ( M ∈ ∆1 , ∆ 2 ⊂ ( P) / / ∆1 )

Nếu hệ VN và u d1 , u d 2 cùng phương thì d1//d2
Nếu hệ VN và u d1 , u d 2 không cùng phương thì d1 chéo d2
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG và MP

Cho đường thẳng d: x= x0 +at, y= y0 +bt, z= z0 +ct và mp
(P): Ax+By+Cz+D=0.
Thế ptts d vào pt mp (P) ta được 1 pt bâc nhất ẩn t.
Giải pt : * Nếu pt VN : d//(P)
* Nếu pt có VSN : d ⊂ (P)
* Nếu pt có nghiệm t=t0: d cắt (P) tại (thế t=t0
vào ptts d)
CÁC CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH
*Khoảng cách từ điểm M đến mp α :
AxM + ByM + CzM + D
d ( M ,α ) =
A2 + B 2 + C 2
Ax+By+Cz+D=0:

*Khoảng cách giữa 2 mp song song (P), (Q)
d ( ( P) ,( Q) ) = d ( M ,( Q) ) ( M ∈( P) )
*Khoảng cách giữa đường thẳng d // mp (P) :
d ( d,( P) ) = d ( M ,( P) ) ( M ∈ d )
*MỘT SỐ PP XÁC ĐỊNH VTCP CỦA ĐT:
→

_ d đi qua 2 điểm A, B có vtcp u d = AB
→

→

_ d // đt d’ có vtcp u d = u d ′
→

→

_ d ⊥ α có vtcp u d = nα

→
→
→

u d =  n ( P ) , n( Q ) 


_ d // mp (P) và (Q) có vtcp
→
→ → 
u d = u ∆ , u ∆′ 

 ( ∆ và ∆ ’cắt hoặc
_ d ⊥ đt ∆ và ∆ ’ có vtcp
chéo nhau)
*Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ( ∆ qua
→
→ → 

→
u d = u , u ∆ 
N, vtcp u ):

 với
_ d qua M, ⊥ và cắt ∆ có vtcp
1
1
→
→


S tam giac = u .d ( M , ∆ ) = MN , u
u =  MN , u ∆  ( N ∈ ∆ )
2
2


→


→
→ → 
 MN , u 
ud =  u , n( P ) 
⇒ d ( M , ∆) =


→
_d qua M, cắt d1 và // mp(P) thì d có vtcp

u
→
→

[

]

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
song song ∆1 , ∆ 2
d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M 1 , ∆ 2 ) ( M1 ∈ ∆1 )

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ∆1 , ∆ 2
→

Đường thẳng ∆1 qua M1, vtcp u1
→

Đường thẳng ∆ 2 qua M2, vtcp u2

9
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536



u =  MN , u d1  ( N ∈ d1 )


với

PP THAM SỐ HÓA TỌA ĐỘ
*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG QUA A VÀ CẮT 2
ĐƯỜNG THẲNG d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M ∈ d , M ′ ∈ d′ (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t
và t’)
+MM’ qua A ⇔ AM , AM ′ cùng phương
+Từ đk cùng phương tìm t và t’ suy ra M, M’
+Pt đường thẳng MM’.
9


*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG // ∆ VÀ CẮT 2 ĐƯỜNG
THẲNG d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M ∈ d , M ′ ∈ d′ (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t

Cnk =

*Số tổ hợp k của n ptử là :
Chú ý: *n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = …

và t’)

II/ NHỊ THỨC NIUTƠN :

→

+MM’ // ∆ ⇔ MM ′, u ∆ cùng phương
+Từ đk cùng phương tìm t và t’ suy ra M, M’

+Pt đường thẳng MM’.

( a + b)

và t’)
→

 MM ′ ⊥ u d
⇔
→

′
M
M
⊥
u d′

+MM’ là đoạn vuông góc chung
+Giải hpt tìm t và t’ suy ra M, M’
+Pt đường vuông góc chung MM’.

k =0

*(

1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + ... + Cnk x k + ... + Cnn x n
n

0
1

n
n
* Cn + Cn + ... + Cn = 2
C20n + C22n + C24n + ... + C22nn = C21n + C23n + C25n + ... + C22nn −1 = 22 n −1

C20n +1 + C22n+1 + ... + C22nn+1 = C21n +1 + C23n +1 + ... + C22nn++11 = 22 n

k
k −1
k −2
k −3
k
* Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = Cn +3

* ( 1 + x ) = 1 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n
n

→

+MN ⊥ ∆ ⇔ MN . u ∆ = 0
+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N
+Pt đường thẳng MN.

( ⊂)

→

( ⊂ ) (P) ⇔ MN . n ( P ) = 0
+MN//
+Giải pt tìm t suy ra tọa độ N

+Pt đường thẳng MN.
HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
NHỊ THỨC NIUTƠN
I/ HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
*Số hoán vị của 1 tập hợp có n phấn tử là:
Pn = n! = 1.2.3…n
*Một chỉnh hợp k của n ptử tương ứng với 1 cách
chọn k ptử từ n ptử có tính đến thứ tự
*Số chỉnh hợp k của n ptử là :
n!
( n−k)!

*Một tổ hợp k của n ptử tương ứng với 1 cách chọn k
ptử từ n ptử không có tính đến thứ tự
10
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

n

= Cn0 a n + Cn1 a n −1b + ... + Cnk a n − k b k + ... + Cnnb n = ∑Cnk a n −k b k

k
n−k
*
* Cn = Cn (n, k ∈ N , 0 ≤ k ≤ n)
k
k
k −1
* Cn +1 = Cn +C n

*

*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG d qua M, ⊥ và cắt ∆
+Viết ptts của ∆ theo t
+Lấy N ∈ ∆ (Biểu diễn tọa độ của N theo t)

Ank =

n

Chú ý:

*VIẾT PT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d VÀ d/
+Viết ptts của d và d/ theo t và t’
+Lấy M ∈ d , M ′ ∈ d′ (Biểu diễn tọa độ của M và M’ theo t

*VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG d qua M, cắt d1 và //
mp(P)
+Viết ptts của d1 theo t
+Lấy N ∈ d1 (Biểu diễn tọa độ của N theo t)

n!
k !( n − k ) !

Với x= 1: *2 = 1 + C + C + ... + C
n

1
n

2
n

(1)

n
n

*0 = 1-Cn1 + Cn2 − ... + ( −1) Cnn
n

Với x= -1:

Lấy đạo hàm 2 vế của (1)
n-1
*n ( 1 + x ) = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + ... + nCnn x n −1
Lấy tích phân 2 vế của (1)
2n +1 − 1
1
1
1
*
= 1 + Cn1 + Cn2 + ... +
Cnn
n +1
2
3
n +1

QUY TẮC ĐẾM – XÁC SUẤT
I/ QUY TẮC ĐẾM :
1) Quy tắc cộng:
Một cv được hoàn thành bởi 1 trong 2 hành động.
Nếu hđộng thứ 1 có n cách thực hiện và hđộng thứ 2
có m cách thực hiệnkhông trùng với bất kỳ cách nào
của hđộng thứ 1. Vậy cv đó có m+n cách thực hiện
2)
Quy tắc nhân:
Một cv được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp.
Nếu hđộng thứ 1 có n cách thực hiện và ứng với mỗi
cách thực hiện đó thì hđộng thứ 2 có m cách thực
hiện. Vậy cv đó có mn cách thực hiện
II/ XÁC SUẤT:
1) Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể
xảy ra của 1 phép thử. Ký hiệu là Ω
2) Biến cốlà 1 tập con của không gian mẫu.
3) Tập A I B gọi là giao của các biến cố A và B. Biến cố
A I B còn viết là A.B
4) Tập A U B gọi là hợp của các biến cố A và B

5) Tập Ω \ A gọi là b/cố dối của b/cố A, k/hiệu A
10


6) A và B xung khắc nếu A I B = ∅
7) A và B độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của
b/cố này không ảnh hưởng đến xs của b/cố kia.
Nếu A và B độc lập thì A và B , A và B cũng độc lập

P ( A) =

8) Xác suất của b/cố A là
0 ≤ P ( A ) ≤ 1, P ( Ω ) = 1, P ( ∅ ) = 0

n( A)  so ptu cua A 

÷
n(Ω)  so ptu cua Ω 

P ( A U B ) = P ( A) + P ( B )
9) A, B là 2 b/cố xung khắc
P A = 1 − P ( A)
10)
P ( A.B ) = P ( A ) .P ( B )
11) A, B là 2 b/cố độc lập

( )

CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

′
* ( u ± v ) = u′ ± v ′

* (uv)/ = u/v + uv/

′
u ′ v − uv ′
 u
  =

v2
* v

′
′
− u′  a 
a .u ′
1
  = 2 ;  = − 2
u u
u
*  u

′
u′
u
  =
a *(C)’ = 0 * (x)’ = 1
* (au)/ = a.u/ *  a 
′
′
1
u′
x =
u =
2 x
2 u
*
*

( )

( )

( x )′ =

1

n

*

( )′
α

n n x n −1

( )′

α −1

α

α −1

′

= α .x
= α .u u
* x

* u
* (sinx)’ = cosx
(sinu)’ = u’cosu.
* (cosx)’ = - sinx
(cosu)’ = – u’sinu.
2
* (tanx)’ = = 1 + tan x
(tanu)’ = = u’ (1 + tan2u).
* (cotx)’ = = – (1 + cot2x)
(cotu)’ = – = – u’ (1 + cot2u).
* (ex)’ = ex
(eu)’ = u’eu
x ’
x
* (a ) = a lna
(au)’ = u’aulna
u'
1
'
'
(
)
( ln x ) =
ln u =
u
x
*

( log a x ) ' =

*
* = =

1
x ln a

'

 ax 2 + bx + c 

 =
a ' x + b ' 

*

( log a u ) ' =
aa ' x 2 + 2ab ' x +

(a x + b )
'

′
 ax 2 + bx + c 

 =
2
 a ′x + b′x + c ′ 
11
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

b
a'

' 2

u'
u ln a

c
b'

HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
*Định nghĩa: Cho hs f xác định trên K ( khoảng, đoạn,
nửa khoảng )
. Hs f đồng biến trên I nếu:
∀x1 , x2 ∈ I , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
. Hs f nghịch biến trên I nếu:
∀x1 , x2 ∈ I , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
*Định lý:
Giả sử hs f có đạo hàm trên khoảng I
*Hs đồng biến trên I ⇔ f ′( x ) ≥ 0 ∀x ∈ I (1)
*Hs nghịch biến trên I ⇔ f ′( x ) ≤ 0 ∀x ∈ I (2)
Dấu “ = ” chỉ xảy ra tại các điểm “rời rạc”
Chú ý: .Hs bậc 3 đúng với các phát biểu (1), (2)
.Hs nhất biến đúng với các phát biểu (1), (2) không có
dấu “ = ”
.Hs y=ax3+bx2+cx+d ĐB trên R
⇔ y ′ ≥ 0 ∀x ∈ R (Xét riêng a = 0)

a > 0

⇔
∆ ≤ 0
.Hs y=ax3+bx2+cx+d NB trên R
⇔ y′ ≤ 0 ∀x ∈ R (Xét riêng a = 0)
a < 0
⇔
∆ ≤ 0
ax + b
y=
cx + d ĐB trên các khoảng xđ
.Hs
⇔ y′ > 0 ∀x ∈ D
⇔ tử > 0
ax + b
y=
cx + d NB trên các khoảng xđ
.Hs
⇔ y′ < 0 ∀x ∈ D
⇔ tử < 0
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hs f coù ñh taï i x 0
⇒ f ′( x0 ) = 0

Hs f ñaït cöïc trò taïi x 0

*
*Quy tắc 1 tìm cực trị hs:
+Tìm TXĐ D
+Tính f /(x). Tìm các điểm x0 mà f /(x0) = 0 hoặc
/

f (x0) không xác định.
+Lập BBT
+Kết luận.
*Quy tắc 2 tìm cực trị hs:
+Tìm TXĐ D
+Tính f /(x). Giải pt f /(x0) = 0 tìm các nghiệm x0.
+ Tính f //(x) và f //(x0)
.Nếu f //(x0) < 0 thì x0 là điểm CĐ
.Nếu f //(x0) > 0 thì x0 là điểm CT
*Chú ý:

11


 f ′( x0 ) = 0
⇔
 f ′′( x0 ) < 0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CĐ tại x0
 f ′( x0 ) = 0
⇔
 f ′′( x0 ) > 0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt CT tại x0
 f ′( x0 ) = 0
⇔
 f ′′( x0 ) ≠ 0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị tại x0
+Hs y=f(x) đạt cực trị tại x0 ⇒ f /(x0) = 0 (Thử lại)
+Đồ thị hs y=f(x) có điểm cực trị là M(x0;y0)
(hs có giá trị cực trị bằng y0 khi x = x0 )
 f ′( x0 ) = 0

⇒
 f ( x0 ) = y0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d có cực trị (Xét a = 0)
⇔ Pt y/=0 có 2 nghiệm p/b
a ≠ 0
⇔
∆ > 0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d có CĐ, CT
⇔ Pt y/=0 có 2 nghiệm p/b
a ≠ 0
⇔
∆ > 0
+Hs y=ax3+bx2+cx+d không có cực trị (Xét a = 0)
⇔ Pt y/=0 VN hoặc có nghiệm kép
a ≠ 0
⇔
∆ ≤ 0
+Xét hs y=ax4+bx2+c
.TXĐ: D = R
. y/ =4ax3+2bx
x = 0
⇔

2
3
4ax + 2b = 0 (2)
.y/ =0 ⇔ 4ax + 2bx = 0 (1)
●Hs y=ax4+bx2+c có 3 cực trị (có CĐ, CT)
⇔ Pt (1) có 3 nghiệm p/b
⇔ Pt (2) có 2 nghiệm p/b khác 0

−b
⇔
>0
2a
●Hs y=ax4+bx2+c có 1 cực trị (Xét a = 0)
⇔ Pt (1) có 1 nghiệm
⇔ Pt (2) VN hoặc có nghiệm kép = 0
−b
⇔
≤0
2a
P ( x)
y = f ( x) =
Q( x) ( P(x), Q(x) là các đa thức) đạt
+Nếu hs
cực trị tại x0 thì

f ( x0 ) =

P′( x0 )
Q′( x0 )

ax 2 + bx + c
a′x + b′ có CĐ, CT thì pt đường
(Nếu hs
2ax + b
y=
a′ )
thẳng đi qua các điểm ctrị là
y = f ( x) =

12
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

+Hs y=ax3+bx2+cx+d đạt cực trị tại x0 thì y0 = r(x0) với y
= ax3+bx2+cx+d = (Ax + B).y/ + r(x) ( r(x) là phần dư của
phép chia y cho y/ )
(Nếu hs trên có CĐ, CT thì pt đường thẳng đi qua các
điểm ctrị là y= r(x))
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HS
lim+ y = +∞
lim+ y = −∞
lim− y = +∞
* x → x0
hoặc x → x 0
hoặc x → x 0
hoặc
lim− y = −∞
x → x0
thì x=x0 là TCĐ của đường thẳnghị hs.
lim y = y0
lim y = y0
* x→+∞
hoặc x → − ∞
thì y=y0 là TCN của đthị
hs.
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
*PTTT của đồ thị hs (C) : y = f(x) tại M(x0;y0):
yy0=f /(x0)(xx0) ⇔ y=f /(x0)(xx0)+y0
* Hệ số góc tt trên là f /(x0)

*Viết pttt tại hoặc có hệ số góc hoặc // ( ⊥ ) với dt d:
y=kx+b: +Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm
+ Tìm x0, y0, f /(x0)
(tt//d ⇒ f /(x0) = k. tt ⊥ d ⇔ f /(x0).k=1)
+PTTT cần tìm là: y=f /(x0)(xx0)+y0
*Viết pttt biết tt đi qua (xuất phát từ, vẽ từ) điểm M(x0;
y0).
+Pt đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có dạng:
y=k(xx0)+y0
+Đường thẳng d tiếp xúc (C) ⇔ hệ sau có nghiệm
 f ( x ) = k ( x − x0 ) + y0 (1)

 f ′( x ) = k (2)
+Thế (2) vào (1). Giải pt tìm nghiệm x (là hoành độ tiếp
điểm). Thế x tìm được vào (2) suy ra k
+Vậy pttt cần tìm là: (thế k tìm được vào pt d)
BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM 2 ĐƯỜNG
Cho 2 đường (C) : y=f(x) và (C /): y=g(x)
*Pt có nghiệm là hoành độ giao điểm của (C) và (C/):
f(x)=g(x) (1)
*Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C) và (C/)
*CHÚ Ý:
+Pt (1) là pt có dạng: ax3+bx2+cx+d=0
ax3+bx2+cx+d=0
⇔ (x-x0)(ax2+Bx+C)=0 (1)(nhẩm 1 no, chia đa thức)
 x = x0
⇔ 2
ax + Bx + C = 0 (2)
●(C) và (C/) cắt nhau tại 3 điểm pb
⇔ Pt (1) có 3 nghiệm pb

⇔ Pt (2) có 2 nghiệm pb khác x0
a ≠ 0

⇔ ∆ > 0
ax 2 + Bx + C ≠ 0
0
 0
/
●(C) và (C ) cắt nhau tại 1 điểm (Xét a=0)
12


⇔ Pt (1) có 1 nghiệm pb
⇔ Pt (2) VN hoặc có nghiệm kép = x0
a ≠ 0

∆ = 0
ax2 + Bx + C = 0
0
 0

a ≠ 0
⇔
∆ < 0 hoặc
●(C) và (C/) cắt nhau tại 2 điểm pb(Xét a=0)
⇔ Pt (1) có 2 nghiệm pb
⇔ Pt (2) có 2 nghiệm pb mà 1 n0= x0 hoặc có n0 kép khác
x0
a ≠ 0
a ≠ 0



⇔ ∆ > 0
∆ = 0
ax 2 + Bx + C = 0
ax2 + Bx + C ≠ 0
0
0
 0
hoặc  0
**Nếu pthđgđ không phân tích được hoặc có đk đối với
nghiệm phức tạp thì biến đổi về dạng g(x)=m rồi lập BBT

+Pt (1) là pt có dạng: ax4+bx2+c=0(1)
Đặt t = x2 ĐK : t ≥ 0
Pt (1) trở thành : at2+bt+c=0(2)
●(C) và (C/) cắt nhau tại 4 điểm pb
⇔ Pt (1) có 4 nghiệm pb
⇔ Pt (2) có 2 nghiệm dương pb
∆ > 0  S = - b 

a 
⇔ S > 0 
 P > 0  P = c 

a 

/
●(C) và (C ) cắt nhau tại 3 điểm pb
⇔ Pt (1) có 3 nghiệm pb

c = 0
⇔
 S > 0 ⇔ Pt (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm =0
(c=0:pt có nghiệm =0
S>0: số 0 + số dương >0
●(C) và (C/) cắt nhau tại 2 điểm pb (Xét a=0)
⇔ Pt (1) có 2 nghiệm pb
⇔ Pt (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc nghiệm kép dương
∆ = 0

⇔ P < 0 hoặc S > 0
●(C) và (C/) không có điểm chung (Xét a=0)
⇔ Pt (1) VN
⇔ Pt (2) VN hoặc có 2 nghiệm âm
∆ ≥ 0

S < 0
a ≠ 0
⇔

∆ < 0 hoặc  P > 0
MỘT SỐ T/CHẤT HÀM TRÙNG PHƯƠNG
*Hs luôn có ctrị nếu a ≠ 0 hoặc b ≠ 0
13
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

*Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
MỘT SỐ T/CHẤT HÀM BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT

* Đồ thị (C)nhận giao điểm I của 2 tiệm cận làm tâm đối

xứng
*Không có tiếp tuyến nào của đồ thị đi qua I
*Hai tt’ của (C) không bao giờ vuông góc nhau
*Hai tt’ ssong của (C) có các tiếp điểm đối xứng nhau
qua I
*Gọi M là 1 điểm tùy ý thuộc (C), A, B là giao điểm của
tt tại M và 2 tiệm cận thì:
_M là trung điểm AB
_Tam giác IAB có dtích không đổi
_Tích các khoảng cách từ M đến 2 tcận khôg đổi
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN KSHS
1) Bài toán 1: Giải pt, bpt, hpt:
Cách 1: *Chuyển pt về dạng : f(x)=k
*Xét hs y=f(x). Cm hs đơn điệu
*Nếu x=x0 là nghiệm thì là nghiệm duy nhất
Cách 2: *Chuyển pt về dạng : f(x)=g(x)
*Xét hs y=f(x) và y=g(x). Cm hs y=f(x) đồng biến và
y=g(x) nghịch biến
*Nếu x=x0 là nghiệm thì là nghiệm duy nhất
1 − x − 1 + x = 2x3 + 6x
Vd: Gpt:
2)Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số dể hs
y=ax3+bx2+cx+d có các điểm cực trị thoả đk K :
* TXĐ D=R Tính y’
*Hs c ó CĐ, CT ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb
a ≠ 0
⇔
∆ > 0
 x1 + x2 =


xx =
Khi đó y’=0 có 2 nghiệm pb thỏa  1 2
(đl Viet)
’
’
⇒
*Chia đa thức y cho y : y=y .g(x)+h(x)
y1=h(x1) và
y2=h(x2) Vậy các điểm ctrị là (x1; y1), (x2; y2) ( cũng có
thể tính y1=f(x1) và y2=f(x2) )
*Xét đk K
Chú ý Hs y=ax4+bx2+c tương tự
Vd: Cho hs y=2x3-3(m+1)x2+6mx+m3. Tìm m để hs có
CĐ, CT và :
a) Khoảng cách giữa 2 điểm CĐ, CT là 2 (m=0 hoặc
m=2)
b) Hai điểm CĐ, CT tạo với C(4; 0) 1 tam giác vuông
tại C (m=-1)
Vd: Tìm m để hs y=mx4+(m−1)x2+1−2m có 1 điểm ctrị.
3)Bài toán3: Lập pt đường thẳng đi qua các điểm ctrị của
đồ thị hs y=ax3+bx2+cx+d:
Cách 1: Nếu tọa độ các điểm ctrị là số nguyên hoặc hữu
tỉ thì làm theo cách thông thường
Cách 2: Nếu tọa độ các điểm ctrị là số vô tỉ hoặc chứa
tham số thì tọa độ các điểm ctrị hs thỏa hệ
13


 y′ = 0
⇒


 y = f ( x) = y ′g ( x ) + h( x ) đường thẳng y=h(x) đi qua
các điểm ctrị
4)Bài toán4: Trên đồ thị (C) y=f(x) tìm 2 điểm A, B đối
xứng nhau qua đt d : ax+by+c=0
 AB ⊥ d
⇔
Cách 1: YCĐB trung diem I cua AB thuoc d
Cách 2: *AB ⊥ d ⇒ pt đt AB có dạng bx−ay+m=0
*Viết pt hđ gđ của (C) và AB
*Tìm đk để (C) cắt AB tại 2 điểm pb
*YCĐB ⇔ trung điểm I của AB thuộc d
5)Bài toán 5: Trên đồ thị (C) y=f(x) tìm 2 điểm A, B đối
xứng nhau qua gốc tọa độ O.
*Gọi M(x0; y0), M’(−x0; −y0 )
 y 0 = f ( x0 )
∈ (C ) ⇔ 
− y 0 = f ( − x 0 )
*M, M’
Ta được f(x0)+f(−x0)=0
6)Bài toán 6: Tìm 2 điểm trên 2 nhánh của (H):
x +1
y=
x − 1 sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
a−2
b+2
Gọi A(1−a; a ), B(1+b; b ) là 2 điểm tùy ý trên
(H)
2
1 1

4 +  ≥ 16
Ta có AB2=(b+a)2+  a b 
Do đó MinAB = 4 khi

a = b
a = b = 2
⇔

2
 a = b = −2
(ab) = 4

y=

x +1
x − 1 tại

7)Bài toán7: Tìm m để đt d: y=mx+1 cắt (H)
2 điểm trên 2(hoặc 1) nhánh của (H)
HD: Pt hđ gđ có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x1<1 x1 < x2 < 1
1 < x < x
1
2

)
CÔNG THỨC LŨY THỪA
n
1
 

* a n = =  a 

* a0 = 1
* am. an =

* =

* (a. b)n = an . bn
* am. an = * =
*
= (an)m
n
m

*=

* a =a
VD: a = a
m
n ⇔
*a >a
m>n ( a>1)
*am>an ⇔ mm

n

1
2

14
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

* ax > 0 ∀ x ∈ R
CÔNG THỨC LOGARIT

*

log a b

0 < a ≠ 1

xác định ⇔ b > 0

* = c ⇔ b = ac
*
*
*
*

= 0 ; 4) = 1
=b * =b
=
=

* =

* =

*.=

* = hay . = 1
* =

log x = log x = lg x ; log x = ln x

10
e
*
*logab > logac ⇔ b > c ( a > 1)
*logab > logac ⇔ b < c ( 0 < a < 1)

PT, BPT MŨ
0
<
a
,
b≠1
●PT MŨ : Cho
*Pt mũ cơ bản : ax = m ⇔ x = logam (m > 0)
Pt ax = m VN ⇔ m ≤ 0
*PP đưa về cùng cơ số : af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x)
*PP đặt ẩn phụ : Biến đổi các lũy thừa về dạng af(x)
Nếu đặt t = af(x) thì a2f(x) = t2 , a f(x) = 1/t, ...
*PP logarit hóa : af(x) = bg(x)
⇔ logaaf(x) = logabg(x) ⇔ f(x) = g(x)logab
*PP dùng tính đơn điệu của hs:
♦Nhẩm và chứng minh x0 là nghiệm của pt
♦C/m x > x0 và x < x0 không là nghiệm pt
♦Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x0
●BPT MŨ : Cho 0 < a , b ≠ 1

*Bpt mũ cơ bản : ax > m ⇔ x > logam (a>1, m > 0)
ax > m ⇔ x < logam (0ax > m có tập nghiệm S=R nếu m ≤ 0
x
x
x
Các trường hợp a ≥ m , a < m , a ≤ m giải tương tự
*Cùng cơ số : af(x)>ag(x) ⇔ f(x) > g(x) (a > 1)
af(x)>ag(x) ⇔ f(x) < g(x) (0 < a < 1)
*Các PP đặt ẩn phụ, lôgarit hóa, dùng tính đơn điệu
tương tự.
PT, BPT LÔGARIT
●PT LÔGARIT: Cho 0 < a ≠ 1
*Cơ bản logaf(x) = m ⇔ f(x) = am
*Đưa về cùng cơ số: logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)
*PP đặt ẩn phụ : Biến đổi các lôgarit về dạng logaf(x)
t
loga n f ( x ) =
2
n,
Nếu đặt t = logaf(x) thì loga f ( x ) = t2 ,
log f ( x ) a
= 1/t, ...
*PP dùng tính đơn điệu của hs:
♦Nhẩm và chứng minh x0 là nghiệm của pt
14


♦C/m x > x0 và x < x0 không là nghiệm pt
♦Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x0

●BPT LÔGARIT : Cho 0 < a ≠ 1
*Bpt lôgarit cơ bản :
+Với a > 1 : logaf(x) > m ⇔ f(x) > am
 f ( x) < am
⇔
 f ( x) > 0
+Với 0 < a < 1 : logaf(x) > m
logaf(x) ≥ m , logaf(x) < m , logaf(x) ≤ m
Các trường hợp
giải tương tự
*Cùng cơ số :
f(x) > g(x)
⇔
g(x) > 0 (a > 1)
log f(x)> log g(x)
a

a

f(x) < g(x)
⇔
f(x) > 0 (0 < a < 1)
logaf(x)> logag(x)
*Các PP đặt ẩn phụ, lôgarit hóa, dùng tính đơn điệu
tương tự.
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

*/

( ln x ) ′ = 1

1

∫ dx = ln x + c
–> x

x

1

1

dx = ln ax + b + c
∫
a
– > ax + b

′
(
)
e
=e
*/
x

∫e
–>

( )

ax+ b

x

e
–> ∫

dx = e x + c

x

1 ax+ b
e
+c
a

dx =

x
∫ a dx =

′

= a x ln a – >
1 a bx+ c
bx+ c
a
dx
=
+C

∫
b
ln
a
–>
x
*/ a

ax
+c
ln a

′
sin xdx = − cos x + c
* ( cos x ) = − sin x – > ∫
1

f ( x)dx = F ( x) + C ⇔ F ′( x) = f ( x)
*∫

∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos( ax + b ) + c
–>

* x’=1 – > ∫

′
cos xdx = sin x + c
* ( sin x ) = cos x – > ∫

*/ (kx)

(x )
α

*

/

dx = x + c

1

∫ cos( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c
–>

kdx = kx + c
= k –> ∫

′

= α .x

α −1

–>

α
∫ x dx =

α +1

1 ( ax + b )
α
∫ ( ax + b ) dx = .

α +1

a

–>

x α +1
+c
α +1
+c

′
1
1
1
1
  =− 2
=− +c
∫
2
x –> x
x
*/  x 
dx
1 1

∫ (ax + b) 2 = − a ax + b + c
–>
2
x x+c
3
*
->
3
2
∫ ax + bdx = 3a ax + b + c

∫

x dx =

(

*

–>

( x)
∫

′

=

1

)

∫

1
dx = 2 x + c
x

2 x –>
1
2
dx =
ax + b + c
a
ax + b

15
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

1
dx = tgx + c
∫
2
2
cos
x
* (tanx)’ = = 1 + tan x
1
1
∫ cos2 ( ax + b ) dx = a tg( ax + b ) + c

* (cotx)’ = = – (1 + cot2x)

1

∫ sin 2 xdx = − cot x + c
1

1

∫ sin 2 ( ax + b ) dx = − a cot( ax + b ) + c

( ln cos x ) = − tan x ⇒ ∫ tan x.dx = − ln cos x + C
( ln sin x ) = cot x ⇒ ∫ cot x.dx = ln sin x + C
'

'

(

ln x + x 2 + k

⇒∫

dx

)=
'

1
x +k

2

= ln x + x 2 + k + C ( k ≠ 0 )

x +k
ĐỊNH NGHĨA TÍNH PHÂN
2

b

∫ f ( x )dx = F ( x )

b
a

= F ( b) − F ( a )

a

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
15


∫

b

a

udv = ( uv ) a − ∫ vdu

b

b

x 2 m +1 dx

a

sin ( ax + b ) 


∫ P ( x ) cos( ax + b )  dx
e ( ax+ b )




*Dạng 1:

Đặt u = P (x) ⇒ du = P ′( x )dx

sin ( ax + b ) 


dv = cos( ax + b )  dx
e ( ax+ b )



⇒v=

ax + b
∫ P ( x )e dx

°Dạng
nhất thức.

* Dạng 2: ∫

sin ( ax + b ) 


∫ cos( ax + b )  dx
e ( ax+ b )




P ( x ) ln( ax + b )dx
a
dx
⇒ du = ax + b

dv = P( x ) dx
⇒ v = ∫ P ( x )dx
m
n
∫ x ln xdx

Dạng 3:

n ln n−1 x
dx
x
Đặt u = lnn x ⇒ du =
x m +1
⇒ v = m +1
dv=xm
Dạng 4: Truy hồi:
ax+ b

∫e

ax+ b

sin( cx + d )dx

cos(cx + d )dx
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN

b

∫

f ( u( x )) .u ′( x )dx =

a

với α =u(a), β =u(b)

β

∫

f ( u)du

α

TÍCH PHÂN hàm phân thức hữu tỉ
* Bậc tử >= bậc mẫu – > chia đa thức

1  1
1 
=
−


* ( x + a )( x + b ) b − a  x + a x + b 
1
1  1
1 
=
−


2
2
2a  x − a x + a 
* x −a
1

* Với m > n

(ax + b ) n

( cx + d )

m

=

Am
A1
A2
+
+ ... +
2
cx + d (cx + d )
(cx + d ) m

dx

*

m

2 xdx

(1 + x )

2 2

x2
2
Đặt t = 1 + x
x2 − 1
∫ 4 dx Chia tử,mẫu cho x2
* x +1
TÍCH PHÂN hàm lượng giác
Dạng 1: ∫
*Nếu m, n chẵn: hạ bậc

sin m x cos n xdx

cũng có thể giải bằng pp đồng

Đặt u = ln(ax+b)

e
Hoặc ∫

*

∫ (1 + x 2 ) m + 2

 x2 

= ∫ 
2 
1
+

x



∫ x ( ax n+1 + b )

Nhân tử, mẫu cho xn

16
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

*Nếu m hoặc n lẻ : đổi biến số, đặt
Dạng 2:

cos x ( m le )
t=
sin x(n le)

∫ f (sin x ) cos xdx Đặt t = sinx

∫ f (cos x ) sin xdx Đặt t = cosx
∫
∫

f (tan x )
dx
cos 2 x
Đặt t = tanx
f (cot x )
dx

sin 2 x
Đặt t = cotx
∫ sin( ax + b). sin( cx + d )dx

Dạng 3:

∫ sin( ax + b). cos(cx + d )dx
∫ cos(ax + b).cos(cx + d )dx

Áp dụng CT biến đổi tích thành tổng

dx
dx
∫
∫ 3
Dạng 4: sin x hoặc sin x :nhân tử, mẫu cho sinx
dx
dx
∫ cos x hoặc ∫ cos3 x :nhân tử, mẫu cho cosx
Dạng 5: ∫
tanmx = tanm-2x(tan2x+1)– tanm-2x– > tanx hoặc tan2x

tan m xdx
dx

dx

∫ 2k
∫ 2k
Dạng 6: sin x hoặc cos x

1
sin

2k

x

=

(

1
1 + cot 2 x
2
sin x

sin
Dạng 7: Tính ∫

n

xdx

)

1
2k
, cos x tương tự
n
∫ cos xdx

k −1

hoặc

bằng pp truy

hồi:

∫ sin

n

xdx

sin
= ∫

n −1

x sin xdx

Đặt u =sinn-1x, dv=sinxdx– > ∫
hoặc ∫
Dạng 8:
 u = ax + b
ax + b
ax + b

∫ sin 2 x dx, ∫ cos2 x dx : dv = 12  hay 12 


sin x 
cos x 


dx

sin xdx

16


1
x +1
x2
=
2
x4 + 1 
1
1
x
−

 +2
t = x−
x

x
*
Đặt

u = P( x)

Q′( x )

P ( x).Q ′( x)
dv =
dx

Q( x)
Q
(
x
)

*
Đặt
2
x
x.x
=
2
2
2
x2 +1
Vd: x + 1

dx
x + b sin x.cos x + c.cos 2 x
Chia tử, mẫu cho cos2x. Đặt t = tanx

∫
Dạng 9: a sin

TÍCH PHÂN hàm vô tỉ

x
Dạng 1: ∫

m n

ax m +1 + bdx

Đặt t =

n

dx
∫
ax + b + ax + c hoặc

∫

Dạng 2:
Nhân tử, mẫu cho lượng liên hợp.
dx
Dạng 3:
Dạng 4:

∫

∫

 π π
t ∈ − ; 
 2 2
Đặt x=asint
 π π
t ∈− ; 
a 2 + x 2 dx
 2 2
Đặt x=atant

∫

π 
t ∈ [ 0;π ] \  
x 2 − a 2 dx
2
Đặt x=a/cost

1

(x

n

+1

)

n +1
n

(

)

n+1
x −n + 1
=x

n+1
n

(

)

sin x
∫ sin n x + cosn x dx
0

*

π
2

cos n x
∫ sin n x + cosn x dx
0

hoặc

a

∫ f ( x )dx = 0

−a

*
a

nếu f(x) là hàm lẻ

a

∫ f ( x )dx = 2∫ f ( x )dx

−a

0

1

*

∫ (1 − 2x)

n

ex

2

−x

nếu f(x) là hàm chẵn

dx = 0

0

* Phối hợp đổi biến và từng phần: VD

∫ e dx , ∫ ln( x
∫ sin(ln x)dx
ax+ b

2

+ x )dx

,

∫ x tan

∫ sin
2

xdx

ax + bdx
,

BỔ SUNG MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
1
1− 2
x2 −1
x
=
2
x4 − 2x2 + 1 
1
1
x
+

 −4
t = x+
x

x
*
Đặt
17
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

cos x cos( x + a) + sin x sin( x + a)
−1
cos x cos( x + a )

cos a
=
−1
cos x cos( x + a )
1
1
1
=
2
2
a sin x + b cos x
a + b sin( x + α )
*
*
a sin x + b cos x A(c sin x + d cos x ) + B (c sin x − d cos x)
=
c sin x + d cos x
c sin x + d cos x
(dùng đồng nhất thức)
1
1
1
=
2
2
2
2 1 ± cos( x − α )
a +b
* a sin x + b cos x ± a + b
a sin x + b cos x + c

* a′ sin x + b′ cos x + c′
asinx+bcosx+c=A(a’sinx+b’cosx+c’)+B(a’cosx− b’sinx)
+C
1
1
1 + cot 2 x 1
=
=
3
4
cot x sin 2 x
* sin x cos x sin x cot x
1
1
1
=
=3
5
6
3
3
tan x cos 2 x
sin x cos x
tan x cos x
=

MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
n

)

1
sin x sin( x + a )
=
* tan x tan( x + a ) cos x cos( x + a )

− 1 − n. x − ( n + 1 )
n +1
n
−n
n
x
+
1
=

Đặt t=x– n+1
π
2

(

*PP trên cũng áp dụng được đvới dạng
1
1
1
sin x + sin α cos x + cos α sin x + cos α
1
1
=

2
* (sin x + cos x ) sin x (1 + cot x) sin x

n n
n
: ( x + 1) x + 1 =

1

)

1
1
sin[(ax + b) − sin(ax + c )
=
sin(ax + b). sin(ax + c) sin(b − c) sin(ax + b). sin(ax + c)
*
1
1
sin(ax + b). cos(ax + c ) , cos(ax + b). cos(ax + c) ttự

1

∫ ( x n + 1) n x n + 1

(

*

a 2 − x 2 dx

dx

Dạng 5 :

ax m +1 + b
dx
ax + b − ax + c

x 2 ± k Đặt t = x+ x 2 ± k

∫

1+

2

2

,

u = x


dx
x
dv = cos 2 x
2
* cos x Đặt
17

*Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y=f(x), y=g(x), x=a, x=b.

u = ln(sin x)


dx
ln(sin x)
dv = cos 2 x
2
* cos x Đặt
Đổi biến số đặc biệt:
π

a

∫

Đặt x =−t

−a

0

a

π
−t

Đặt x = 2

2π

π

∫

2

∫ f ( x)dx

f ( x)dx

b

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

f ( x)dx

0

Đặt x = π − t

∫ f ( x)dx
0

Đặt x = 2π − t

Chú ý: 1) Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao

điểm của 2 đường y=f(x), y=g(x):
f(x)=g(x) ⇔ h(x)=f(x)– g(x)=0 (1)
*Nếu phương trình (1) VN trên (a; b):
b

S = ∫ h( x ) dx =
a

∫ f ( x)dx

b

Đặt x= a+b−t
π 2
 1 + sin x 
∫0 ln 1 + cos x dx

Vd:
1
0
1
cos x
cos x
cos x
dx
=
dx
+
∫−1 e x + 1 −∫1 e x + 1 ∫0 e x + 1 dx
 1


x
−1
2

*xtan2x=  cos

1+ x4
x4 − x2 +1+ x2
1
x2
= 2
=
+
6
( x + 1)( x 4 − x 2 + 1) x 2 + 1 x 6 + 1
* 1+ x
*

sin x + cos x
sin x + cos x
=
3 + sin 2 x
4 − (sin x − cos x) 2

π

4
3
∫ x cos x sin xdx

*0

Đặt t= π −x

2π

*

∫ h( x )dx
a

*Nếu phương trình (1) có 1 nghiệm c ∈ (a; b):

b

a

b

∫ sin(sin x + ax)dx
0

Đặt t=2 π −x

1
* ( x + a)( x + b) Đặt t = x + a + x + b
1
0
1

sin x
sin x
sin x
dx
=
dx
+
∫−1 x 2 + 1 −∫1 x 2 + 1 ∫0 x 2 + 1 dx
*
Đặt x=−t
a
0
a
f ( x)
f ( x)
f ( x)
∫−a a x + 1 dx = −∫a a x + 1 dx + ∫0 a x + 1 dx
*
Đặt x=−t
(f(x) là hs chẵn)
b
b
a+b
∫a xf ( x)dx = 2 ∫a f ( x)dx
*
Đặt t=a+b−x
(f(a+b−x)=f(x))

S = ∫ h( x ) dx =
a

c

b

a

c

∫ h( x )dx + ∫ h( x )dx

*Nếu phương trình (1) có 2, 3,...nghiệm ∈ (a; b):
Giải tương tự.

* Dựa vào đồ thị: f(x)– g(x)>0 ∀x ∈ ( a; b ) nếu đthị hs
y=f(x) “nằm trên” đthị hs y=g(x) trong (a; b)
II)Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đường: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b
một vòng quanh trục Ox
b

V = π ∫ [ f ( x )] dx
2

a

SỐ PHỨC
*Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng a + bi
với a, b ∈ R và i2 = -1.

 a = a′
⇔
′
*Hai số phức bằng nhau: a+bi=a/+b/i b = b
*Biểu diễn hình học của số phức:
Mỗi số phức a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b). Trục
Ox còn gọi là trục thực, Oy là trục ảo.
*Phép cộng, trừ số phức:
(a + bi ) ± (a′ + b′i ) = (a ± a′) + (b ± b′)i
*Phép nhân số phức: (a+bi).(a/+b/i) Nhân phân phối,
chú ý i2 = -1.
*Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a-bi
2
2
*Môđun của số phức z = a + bi = a + b
*Một số hằng đẳng thức:
(a+bi)2 = a2 + 2abi + (bi)2 = a2  b2 + 2abi
(abi)2 = a2  2abi + (bi)2 = a2  b2  2abi
(a + bi)(a  bi) = a2 + b2

b

*f(a+b−x)=−f(x) thì

∫ f ( x)dx = 0
a

π 4

Vd:

∫ ln(1 + tan x)dx
0

*Giải pt bậc 2 trên tập số phức (hệ số thực)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
∆ = b2  4ac
−b± ∆
x1, 2 =
2a
∆ > 0 ⇔ Pt có 2 nghiệm thực :

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
18
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

18


∆ = 0 ⇔ Pt có nghiệm kép:

x1 = x2 =

∆ < 0 ⇔ Pt có 2 nghiệm phức :

x1, 2 =

−b
2a
−b±i ∆

2a

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
* Các hệ quả của định nghĩa HSLG:
− 1 ≤ sin a ≤ 1
− 1 ≤ cos a ≤ 1
sin( a + k 2π ) = sin a
cos( a + k 2π ) = cos a
tan ( a + kπ ) = tan a
cot( a + kπ ) = cot a
* Các hệ thức cơ bản:
sin2a + cos2a = 1
tana.cota=1
sin a
cos a ( cos a ≠ 0)
cos a
cot a =
sin a ( sin a ≠ 0 )
tan a =

1 + tan 2 a =
1 + cot 2 a =

1
cos2 a
1
sin 2 a

Hệ quả:

1
= 1 − sin 2 2a
4
4
2
2
2
sin a+cos a=1– 2sin acos a

= 1−

3
sin 2 2a
4

sin6a+cos6a=1– 3sin2acos2a
* Các góc có liên quan đặc biệt:
a/ Các góc đối nhau: a và –a
sin(–a) = –sina
cos(–a) = cosa
tan(–a) = –tana cot(–a) = –cota
b/ Các góc bù nhau: a và π –a
sin( π –a) = sina
cos( π –a) = –cosa
tan( π –a) = –tana cot( π –a) = –cota
π
c/ Các góc phụ nhau: a và 2 –a
π
π
sin( 2 –a) = cosa

cos( 2 –a) = sina
π
π
tan( 2 –a) = cota
cot( 2 –a) = tana
π
d/ Các góc hơn kém : a và π +a
sin( π +a) = –sina
cos( π +a) = –cosa
tan( π +a) = tana
cot( π +a) = cota
π
π
e/ Các góc hơn kém 2 : a và 2 +a
π
π
sin( 2 +a) = cosa
cos( 2 +a) = –sina
π
π
tan( 2 +a) = –cota
cot( 2 +a) = –tana
* Công thức cộng:
sin(a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb
cos(a ± b) = cosa.cosb
cosa.sinb
tan ( a ± b ) =

tan a ± tan b
1m

tan a.tan b

* Công thức nhân đôi:
tan 2a =

2 tan a
1 − tan 2 a

sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a–1 = 1–2sin2a
19
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

* Công thức hạ bậc:
1 − cos2a
1 + cos2a
sin 2 a =
cos2 a =
2
2
1
−
cos
2
a
tan 2 a =
1 + cos2a
* Công thức biến đổi tổng thành tích:
a+b
a−b

sin a + sin b = 2 sin
cos
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
a+b
a−b
cos a + cos b = 2 cos
cos
2
2
a+b
a−b
cos a − cos b = −2 sin
sin
2
2
sin(a ± b )
tan a ± tan b =
cos a . cos b
π
π


sin a + cos a = 2 sin a +  = 2 cos a − 

4
4


π
π




sin a − cosa = 2 sin a −  = − 2 cos a + 
4
4



* Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
sin a . sin b = − [ cos( a + b ) − cos( a − b ) ]
2
1
sin a . cos b = [ sin( a + b ) + sin( a − b ) ]
2
1
cos a . cos b = [ cos( a + b ) + cos( a − b ) ]
2
* Công thức nhân ba:
sin3a=3sina−4sin3a cos3a=4cos3a−3cosa
3 tan a − tan 3 a
t an3a =

1 − 3 tan 2 a
* Công thức hạ bậc ba:
3sin a − sin 3a
3cos a + cos 3a
sin 3 a =
cos 3 a =
4
4
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
 u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ 
 u = π − v + k 2π

cos u = cos v ⇔ u = ± v + k 2π
tan u = tan v ⇔ u = v + kπ (cosu hay cosv ≠ 0 )
cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (sinu hay sinv ≠ 0 )

(Nếu v là hằng số thì không cần đk)
* Các trường hợp đặc biệt:
π
π
sin u = 1 ⇔ u = + k 2π
sin u = −1 ⇔ u = − + k 2π
2
sin u = 0 ⇔ u = kπ

2
cos u = 1 ⇔ u = k 2π
π
cos u = 0 ⇔ u = + kπ

cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π
2
sin u = 0 ⇔ cos u = ±1
cos u = 0 ⇔ sin u = ±1

*Gộp nghiệm:
19


k 2π

x =α +
k 2π

m .n
⇔ x =α +

m .n
 x = α + k 2π

m

x =α +

k 2π
m có m điểm biểu diễn cách đều trên Đtròn

lượng giác với 1 trong m điểm là α .

VD: x = α + kπ có 2 điểm bdiễn đối xứng qua gốc O

với 1 trong 2 điểm là α

 f ( x) = M
f(x).g(x)=M.N ⇔ 
 g ( x) = N
+
* PP đối lập : Cho f ( x ) ≤ M ≤ g ( x )
 f ( x) = M
⇔
 g ( x) = M
f(x) = g(x)
sin u = 1
sin u = −1
⇔
hay 
sin v = 1
sin v = −1
* sinu.sinv = 1

sinu.sinv = -1, sinu.cosv = ± 1 giải t/tự
PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINU, COSU
Dạng: asinu+bcosu=c (1) (a2+b2≠0)
Cách giải: ĐK a2+b2 ≥c2
Chia 2 vế cho

a2 + b2

(Gọi )
PT ĐẲNG CẤP BẬC 2 ĐV SINU, COSU
Dạng: asin2u+bsinucosu+ccos2u=d (1)

Cách giải: Nếu cosu=0(sinu=±1) thỏa pt (1) thì là
nghiệm pt
Xét cosu≠0 Chia 2 vế cho cos2u
atan2u + btanu + c =d(1+tan2u)
* Pt đẳng cấp bậc 3, 4 đối với sinx, cosx giải t/tự
PT ĐỐI XỨNG(PHẢN XỨNG)
Đ/V SINX, COSX
±
A(sinx cosx) + Bsinxcosx + C = 0

π

t = sin x ± cos x = 2 sin  x ± ÷
4

Đặt
t 2 −1
⇒ sin x cos x =
±2 ĐK: t ≤ 2
2
tan x + cot x =
sin 2 x tan x − cot x = −2 cot 2 x
Chú ý:
1 − tan x
cos 2 x
=
1 + tan x 1 + sin 2 x

PT GIẢI BẰNG PP KHÔNG MẪU MỰC
*PP dùng tính đơn điệu của hàm số

Vd: Giải pt : 2sinx – 2cosx = cosx ̶ sinx
* PP tổng các bình phương
 f ( x) = 0
⇔
 g ( x) = 0
f2(x) + g2(x) = 0

* PP Pitago:
Cho f ( x) ≥ M , g(x) ≥ N
 f ( x) = M
f(x)+g(x)=M+N ⇔ 
 g ( x) = N
+
20
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

20


MỤC LỤC
1).CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
1).CÁC TÍNH CHẤT CỦA BĐT
1). BĐT CÔ-SI (CAUCHY)
1).CÁC BĐT ĐẶC BIỆT
1). PT, BPT CHỨA CĂN BẬC HAI
1). PT, BPT CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1). ĐỊNH LÝ VIÉT
1). DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
2). ĐK VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI
2). DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PT BẬC HAI

2). SO SÁNH CÁC NG CỦA PT BẬC HAI VỚI SỐ
2). TÍNH CHẴN LẺ CỦA HS
2). HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
3).ĐƯỜNG THẲNG TRONG MP Oxy
4). ĐƯỜNG TRÒN, ELIP TRONG MP Oxy
4).DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH.
5).HÌNH HỌC KHÔNG GIAN KHÔNG CÓ TỌA ĐỘ
6).HỆ TỌA ĐỘ Oxyz
9) HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP, NHỊ THỨC
NIUTƠN
10).QUY TẮC ĐẾM-XÁC SUẤT
10).ĐẠO HÀM
10).HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
11).CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
11).TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HS
11).PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
12).BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM 2 ĐƯỜNG
13).CÔNG THỨC LŨY THỪA
13).CÔNG THỨC LOGARIT
13).PT, BPT MŨ
14).PT, BPT LÔGARIT
14).CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
15).TÍCH PHÂN
17).ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
17).SỐ PHỨC
18).CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
18).PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

21
Gv:Huỳnh Chí Trung 0909899536

21