Bài Tập Giải Tích 2 Có Lời Giải

Bài tập Giải tích 2


Đạo hàm riêng và vi phân hàm tường minh

1. cho
2. cho

f ( x , y ) = x 2 + xy + y 2 − 4ln x − 10ln y , tìm: df (1, 2), d 2f (1,2)
f ( x , y ) = arctan

3. Tìm vi phân cấp 4 của:
4. cho

x+y
,
1 − xy

chứng minh rằng:

′′ = 0
fxy

f ( x , y ) = x 4 − y 4 − x 3 + 2 x 2 y + 3xy

y
f ( x , y ) = arctan ,
x

′′ + fyy
′′ = 0.

chứng minh rằng: fxx

5. Tìm hàm khả vi u = u(x, y) sao cho

1
x
du = dx − 2 dy
y
y


Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn

1. Cho

1
z = ln , trong đó r = ( x − a)2 + ( y − b) 2 , cmr:
r

2. Cho hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ hệ pt:

Biết rằng f và

 x cos α + y sin α + ln z = f (α )

− x sin α + y cos α = f ′(α )

α là những hàm khả vi cho trước, chứng minh :

( z′x ) 2 + ( z′y ) = z 2

2

3. Cho hàm ẩn
Biết

z′′xx + z′′yy = 0.

z = z( x , y )

z (1,0) = ln 2

, tìm

thỏa

xz = ln(1 + yz + x )

dz (1,0)


Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn

4. Cho

z = f (r ,ϕ ),

trong đó x

= r cos ϕ , y = r sin ϕ , tính

z′x , z′y .

HD: tìm dx, dy để có dr và dϕ, sau đó thay vào dz.

dy x + y
=
, bằng cách đặt x = r cos ϕ , y = r sin ϕ ,
5. Cho phương trình:
dx x − y
dr
=r
dϕ

chứng minh rằng, cmr phương trình đã cho được viết lại ở dạng:
6. Cho
tại

z = ϕ (t ), trong đó t = x 2 + y 2 , tìm d 2 z theo dx , dy

( x , y ) = (1, −1)
2

2 3

2

2

7. Cho hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình: ( x + y ) − 3( x + y ) + 1 = 0
tìm

y ′( x ), y ′′( x ).


Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, hàm ẩn
8. Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định từ phương trình:
cmr:

9. Cho

x.z′x + y .z′y = z

z = f ( x , y ), trong đó y = y ( x )

dz
Tính
dx

theo

f , F.

x y
F  , ÷ = 0
z z

là hàm ẩn xác định từ pt

F ( x , y ) = 0.

Khai triển Taylor

1. Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3:

f ( x , y ) = arctan

2. Viết khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận điểm

f ( x , y ) = sin( x + y )
3. Viết khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận (1,0)

f ( x , y ) = ln(1 + xy )
Từ đó suy ra

′′′ (1,0)
fxyy

y
1+ x

 0, π 

÷
 2


Cực trị, giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

1. Tìm cực trị của hàm số sau:

f (x, y ) =

1+ x − y
1+ x2 + y 2

2. Tìm cực trị của hàm số sau:

f ( x , y ) = x 3 + 3xy 2 − 15 x − 12y

3. Tìm cực trị của hàm số sau:

f ( x , y ) = ( x + y ).e − xy

4. Tìm cực trị của

f ( x , y ) = 6 − 4 x − 3y

5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

thỏa điều kiện

f (x, y ) = x + y

x2 + y 2 = 1

trên miền

0 ≤ y ≤ 1− x2

Tích phân kép

1. Biểu diễn miền D theo các tích phân sau và vẽ các miền đó:

I=

I=

I=

I=

2− x 2

1

∫0 dx ∫ x
2

∫ dx ∫

x

1

∫

1

−1

2

dx

∫

f ( x , y )dy

2− x 2

x

∫ dy ∫
0

x +3

2

f ( x , y )dy

f ( x , y )dy

4− y 2

2− y

f ( x , y )dx

Tích phân kép

2. Đổi thứ tự trong tích phân sau:

I=

I=

I=

I=

1

∫ dy ∫

1− y

0

− 1− y

7

3

3

9
x

2

f ( x , y )dx

9

10 − x

7

9
x

∫ dx ∫ f ( x , y )dy + ∫ dx ∫
4

∫ dx ∫
0

1

∫ dy ∫
0

16 − x 2
4x−x

1− y 2
2

y −1

2

f ( x , y )dy

f ( x , y )dx

f ( x , y )dy


Tích phân kép

3. Tính

I=

∫∫D

x2
dxdy
2
y

với D là miền giới hạn bởi:

4. Tính

I=

∫∫D

x2
dxdy
2
y

5. Tính

I=

∫∫D

( x 2 + y 2 )dxdy

6. Tính

I=

∫∫
D

xdxdy
x2 + y 2

y = x , y = x tan x , x =

với D là miền giới hạn bởi:

y = x , x = 2, xy = 1

y = x , x = 2, xy = 1, y = 0

với D là miền giới hạn bởi: y

với D là miền giới hạn bởi:

π
π
x
≥

÷
8
8

= x , x + y = 2, x = 0.


Tích phân kép

7. Tính

8. Tính

I=

∫∫D

I=

e x + y dxdy

∫∫D xydxdy

với D là miền giới hạn bởi:

với D là miền giới hạn bởi:

y + x = 2, x 2 + y 2 = 2y ( x > 0)

9. Tính

I=

6

0

∫−2 dx ∫−3− 12+4x − x

2

xdy

y = e x , y = 2, x = 0.

Tích phân kép

( x = r cos ϕ , y = r sin ϕ )

10. Chuyển các tích phân sau đây sang tọa độ cực

I=

I=

3
4 dx
0

x−x2

∫ ∫ 23−
a

∫ dx ∫

11. Tính :

a+ a2 − x 2

0

I=

3
−x
4

f
2

∫∫

ax

(

)

x 2 + y 2 dy

f ( x , y ) dy

x x 2 + y 2 dxdy

D

I=

4

∫ dx ∫
0

16− x 2
4x −x

2

ydy

Với

(

2

D: x +y

)

2 2

≤ x2 − y 2, x ≥ 0