TÍCH PHÂN BỘI kèm lời giải chi tiết dễ hiểu

Tích phân bội

1.1
x2 + y 2 + z 2 dxdydz,

x2 + y 2 + z 2 ≤ R.

V

Đổi sang tọa độ cầu
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ,
với 0 < r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π va 0 ≤ φ ≤ 2π. Ta có định thức Jacobi J = r2 sin θ = 0. Khi đó
r3 sin θ drdθdφ

x2 + y 2 + z 2 dxdydz =
V
2π

=

V

0

0

0

=

r3 dr

sin θ dθ

dφ

R4
=
4

R

π

π

2π

sin θ dθ

dφ
0

0

R4
φ
4

2π

π

−cos θ
0

0

= R4 π

1


1.2
x2 +

I=
V

miền V giới hạn bởi ellipsoid x2 +
Đặt x = x¯, y = 2¯
y , z = 3¯
z , khi đó

y2
4

z2
9

+

y2 z2
+
dxdydz,
4
9

= 1.

x¯2 + y¯2 + z¯2 d¯
xd¯
y d¯
z,

I=6
V¯

trong đó miền V¯ giới hạn bởi ellipsoid x¯2 + y¯2 + z¯2 = 1.
Đổi sang tọa độ cầu ta được
r4 sin θ drdθdφ

I=6
V
2π

=6

π

0

R5
=6
5
=6
=

R

r4 dr

sin θ dθ

dφ
0

0

2π

π

sin θ dθ

dφ
0

R5

φ
5

0
π

2π

−cos θ
0

0

24 5
R π
5

2


1.3
(x + y)dxdy,

I=

D giới hạn bởi y = 2 − x2 , y = 2x − 1

D

Ta có D =

− 3 ≤ x ≤ 1, 2x − 1 ≤ y ≤ 2 − x2 . Do đó
2−x2

1

I=

(x − y) dy

dx
−3

2x−1

1

(xy − y 2 )

=

2−x2

dx
2x−1

−3
1

(2x − 1)2 − x(x2 − 2) − x(2x − 1) − (x2 − 2)2 dx

=
−3
1

− x4 − x3 + 6x2 − x − 3 dx

=
−3

1

=

5

4

3

2

− x /5 − x /4 + 2x − x /2 − 3x
−3

96
=
5

3

1.4
x2 − y 2 dxdy.

I=
D

Miền tính tích phân Dxy giới hạn bởi y = x, y = −x và x = 1.

Đổi biến
u=x+y
x=
⇒
y=
v =x−y

u+v
2
u−v
2

Miền tính tích phân trở thành miền Duv giới hạn bởi u = 0, v = 0 và u + v = 2.

Định thức Jacobi của phép đổi biến
J=

∂u x ∂v x
∂u y ∂v y

1/2 1/2
−1/2 1/2

=

Khi đó
2

I=

2−u

du
0

0

= ...
4

√

uv dv

=

1
2

Cách khác. Đổi biến
x = r cos φ
y = r sin φ,
Dễ thấy 0 ≤ r ≤ 1 và

−π
4

≤ φ ≤ π4 . Do đó ta có
x2 − y 2 dxdy

I=
D

r2 cos2 φ − r2 sin2 φ r drdφ

=
Drφ
π
4

1

cos2

=

φ − sin φ dφ

− π4

=
=

1
3
1
3

r2 dr

2

0
π
4

− π4
π
4

cos2 φ − sin2 φ dφ
1 − 2 sin2 φ dφ.

− π4

Đổi biến
√
2 sin φ → −1 ≤ u ≤ 1
√

⇒ du = 2 cos φdφ
du
du
⇒ dφ = √
=√
2
2 − u2
2 1− u
u=

2

Khi đó
√
1 1 1 − u2
√
du
I=
3 −1 2 − u2
= ...

5


1.5

•
xy − y 2 dxdy

I=

D

Đổi biến
u=x−y
x=u+v
⇒
⇒J =1
v=y
y=v
Miền D biến thành miền Duv

Do đó ta có
xy − y 2 dxdy

I=
D

√

=

uv dudv

Duv
1√

=

1

u du

0

√

0

=
=
=
=

2
3
2
3

v dv

u/9
1

=

√

1

2 3

u du v 2
3
√

u 1−

0
1

√

u du −

0

1

u/9

u
9

3/2

6

1

1
93/2

2 2 3/2 1
1 1
u
− 3/2 u3
3 3
9 3
0
1
2
2− √
9
729

du
u2 du
0
1
0


1.6
x2 + y 2 + z 2 dxdydz

I=
V

V giới hạn bởi hình cầu x2 + y 2 + z 2 ≤ x
Đổi sang tọa độ cầu
x = r cos φ sin θ,

y = r sin φ sin θ,
z = r cos θ,
Định thức Jacobi J = r2 sin θ = 0. Phương trình hình cầu trở thành
r2 ≤ r cos φ sin θ

⇒ r ≤ cos φ sin θ

suy ra 0 < r ≤ cos φ sin θ, 0 ≤ θ ≤ π và −π ≤ φ ≤ π. Do đó
x2 + y 2 + z 2 dxdydz

I=
V

r3 sin θ drdφdθ

=
V
π

π

=
−π

=
=

1
4
1

4

1
=
4
8
=
60

cos φ sin θ

r3 dr

sin θ dθ

dφ
0

0

π

π

sin θ r4

dφ
−π
π

cos φ sin θ

dθ
0

0
π

sin5 θ dθ

cos4 φ dφ
−π

0

π

2 cos3 θ
cos5 θ
cos φ dφ
− cos θ −
3
5
−π

π

4

π

cos4 φ dφ
−π

8 3φ sin 2φ sin 4φ
=
+
+
60 8
4
32
π
=
10

7

π

−π

0


1.7
Thể tích V giới hạn bởi
x2 y 2
z2
+
=

(S1 )
4
9
16
z = 3 (S2 )
Đặt x = 2X, y = 3Y, z = 4Z, phương trình S1 và S2 trở thành
X2 + Y 2 = Z2
3
Z=
4

(S1 )
(S2 )

Đổi sang tọa đồ cầu
X = r cos φ sin θ,
Y = r sin φ sin θ,
Z = r cos θ,
Định thức Jacobi J = r2 sin θ = 0. Phương trình mặt S2 trở thành r =
thành miền
3
V∗ = (r, φ, θ) : 0 ≤ r ≤
4 cos θ, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π4
Do đó
π
4

2π

V=

sin θ dθ

dφ
0

1
=
3
=
=

3
4 cos θ

0

0
π
4

2π

sin θ dθ r

dφ
0

9
64

9
64

9
=
128
9π
=
64

r2 dr

π
4

2π

dφ
0
2π

sin θ
dθ
cos3 θ
2

dφ
0

3

4 cos θ

0

0

0

3

tan θ
2

2π

dφ
0

8

π
4

0

3
.
4 cos θ

Miền V trở

1.8
Tính thể tích V giới hạn bởi 1 − 2z ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 1.

Giao tuyến là đường tròn x2 + y 2 = 1. Thể tích V cần tính là phần giao nhau của 2 hình cầu.
Chia V thành 2 phần: phần V1 phía trên Oxy và phần V2 phía dưới Oxy. Dễ thấy V2 = 32 π.
Còn V1 tính đơn giản bằng cách đổi sang tọa độ cầu
x = r cos φ sin θ,
y = r sin φ sin θ,
z = −1 + r cos θ,
với lưu ý
0 ≤ φ ≤ 2π
1
0 ≤ θ ≤ arccos( √ )
2
√
1
≤r≤ 2
cos θ

Còn lại D tự tính nha
9


1.9

•
I=
D

xdxdy
x2 + y 2

Đổi sang tọa độ cực
x = r cos φ
y = r sin φ
Định thức Jacobi J = r. Dễ thấy miền D biến đổi thành miền
D∗ = (r, φ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤
Do đó
xdxdy
2
2
D x +y
r cos φ
r drdφ
r2
D∗

I=
=

π
4

=

1

cos φ dφ

0

dr
0

√
2
=
2

10

π
4


1.10

•
x

e y dxdy

I=
D

Đổi biến
u = x/y
x = uv
⇒

v=y
y=v
Định thức Jacobi của phép đổi biến
J=

∂u x ∂v x
∂u y ∂ v y

v u
0 1

=

=v

Phương trình y = x2 trở thành u = v. Do đó
x : y2 → 1
u : v 2 → v1
⇒
y : −1 → 1
v : −1 → 1
Ta có
1
v

1

I=

v dv

eu du

v2

−1
1

1

2

v e v − ev dv

=
−1
1

1

1
v

−1

−1

= ...

11

2

vev dv

ve dv −

=


1.11

•

Diện tích mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4 nằm phía trên mặt phẳng Oxy và chắn bởi

Mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4 hoàn toàn nằm trong mặt trụ

x2
4

+

1
1
S = Smặt cầu = 4πR2 = 8π
2
2

12

y2
9

x2
4

+

y2
9

=1

= 1 nên diện tích cần tìm


1.12

•

Diện tích mặt z = x2 + y 2 nằm trong mặt trụ x2 + y 2 = 1

Dễ thấy giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường cong
C = (x, y, z) : x2 + y 2 = 1, z = 1
Do đó hình chiếu của phần mặt paraboloid cần tính diện tích xuống mặt phẳng Oxy là hình
tròn
Dxy = (x, y) : x2 + y 2 = 1
Ta có
zx = 2x

zy = 2y
⇒

1 + zx2 + zy2 =

1 + 4(x2 + y 2 )

Diện tích cần tìm là
1 + 4(x2 + y 2 ) dxdy

S=
Dxy

Đổi sang tọa độ cực
x = r cos φ
y = r sin φ
Định thức Jacobi J = r. Miền Dxy biến đổi thành miền
Drφ = (r, φ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π

13


Do đó
1 + 4(x2 + y 2 ) dxdy

S=
Dxy

√

=

1 + 4r2 r drdφ

Drφ
2π

=

1

dφ
0

1
=
2

√

1 + 4r2 r dr

0
2π

1

dφ
0

√

1 + 4u du (đặt u = r2 )

0
3

2π

1
(4u + 1) 2
=
dφ
2 0
6
√
5 5 − 1 2π
=
dφ
12
0
√
5 5−1
=
π
6

14

1

0