Bài toán biên Hilbert và các phương trình tích phân liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG QUẾ HƯỜNG

BÀI TOÁN BIÊN HILBERT
VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG QUẾ HƯỜNG

BÀI TOÁN BIÊN HILBERT
VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016

1

Mục lục
Lời mở đầu
1 Một số khái niệm cơ bản
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Điều kiện Holder
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¨
1.1.2 Chỉ số của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Bậc của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Định nghĩa tích phân dạng Cauchy . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán biên Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Toán tử Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán xác định một hàm giải tích có một cực điểm
với điều kiện giá trị thực nằm trên chu tuyến . . . . .

3
6
6
6
7
9
9
10
11
12

13

2 Bài toán biên Hilbert
2.1 Thừa số chính quy hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Cách xác định các loại thừa số chính quy hóa . . . . .
2.2 Các dạng bài toán biên Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bài toán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Bài toán trên đường tròn đơn vị . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Bài toán cho miền ngoài đường tròn đơn vị . . . . . .
2.3 Mối liên hệ giữa bài toán biên Hilbert và bài toán biên Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17
17
18
23
23
24
26
27

3 Một số dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan

35

30

2

3.1

Mối quan hệ của phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng với
nhân Hilbert và bài toán biên Hilbert . . . . . . . . . . . . . .
Các dạng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert . .
3.2.1 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Phương trình với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . .

35
37
37
40
43

4 Ví dụ áp dụng
4.1 Bài toán biên Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Phương trình tích phân kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
46
51

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57

3.2


3

Lời mở đầu
Bài toán tìm một hàm giải tích trong một miền xác định từ hệ thức liên hệ
giữa phần thực và phần ảo của giá trị biên của hàm, lần đầu tiên được đưa ra
bởi G. F. B. Riemann vào năm 1857, được gọi là bài toán biên Riemann. Tương
tự như vậy, David Hilbert đã xây dựng một bài toán như sau: Tìm hàm F (z) =
u(z) + iv(z) là hàm giải tích trong miền đơn liên D + giới hạn bởi chu tuyến L và liên
tục trên D + ∪ L, với điều kiện biên
a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t)
trong đó a(t), b(t) và c(t) là những hàm thực liên tục H¨older trên L.
Bài toán trên cũng thuộc vào nhóm những bài toán giá trị biên cơ bản của
hàm giải tích, một trong những bài toán lâu đời nhất của dạng này và thường
được gọi là bài toán biên Hilbert.
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu dạng cơ bản thứ hai này của
bài toán biên của hàm giải tích và lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhân
Hilbert tương ứng. Tiếp theo, khảo sát một số vấn đề liên quan hỗ trợ cho việc
giải bài toán biên Hilbert như toán tử Schwarz, thừa số chính quy hóa,. . .
Nội dung chính của khóa luận được chia làm bốn chương.

⋄ Chương 1: Một số khái niệm và kiến thức bổ trợ.
⋄ Chương 2: Bài toán giá trị biên Hilbert cho miền đơn liên, khảo sát nghiệm
của bài toán thuần nhất, bài toán không thuần nhất, bài toán cho miền
trong và miền ngoài đường tròn đơn vị thông qua thừa số chính quy hóa

và chỉ số của hàm số.

⋄ Chương 3: Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert. Từ nghiệm của

các bài toán giá trị biên Hilbert suy ra nghiệm của các phương trình tích
phân kỳ dị tương ứng và tính chất cơ bản của phương trình với nhân
Hilbert.


4

⋄ Chương 4: Áp dụng bài toán biên Hilbert giải một số phương trình tích
phân liên quan.


5

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu người đã tận tình hướng dẫn để em
có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học
Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 14 tháng 08 năm 2016
Học viên

Hoàng Quế Hường


6

Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
Trong chương này, lí thuyết về bài toán biên Riemann được trình bày với
đa số các kí hiệu được dùng trong sách của F. D. Gakhov [1]. Dưới đây là một số
kiến thức chuẩn bị.

1.1

Các khái niệm cơ bản

1.1.1

Điều kiện Holder
¨

Giả sử L là chu tuyến trơn và ϕ(t) là tham số hóa tọa độ của L. Ta có định
nghĩa cơ bản dưới đây.
Định nghĩa 1.1. Hàm ϕ(t) được gọi là thỏa mãn điều kiện H¨older nếu với mọi cặp
điểm phân biệt tùy ý trên L đều có

| ϕ (t1 ) − ϕ (t2 )| ≤ A|t1 − t2 |λ

(1.1)

trong đó A và λ là các số dương. A được gọi là hằng số H¨older, λ được gọi là chỉ số
H¨older (0 < λ ≤ 1).
Với λ > 1 thì (1.1) trở thành
ϕ ( t1 ) − ϕ ( t2 )
≤ A | t1 − t2 | λ −1
t1 − t2
lấy giới hạn hai vế khi t1 → t2 ta được ϕ′ (t2 ) = 0 với mọi t2 thuộc miền xác định.

Khi đó, ϕ(t) là hằng số (tức là chu tuyến L suy biến thành 1 điểm). Do đó, trong
luận văn này, ta luôn xét trường hợp 0 < λ ≤ 1.

Với λ = 1 điều kiện này được gọi là điều kiện Lipschitz.


7

Ví dụ 1.1. Xét hàm ϕ(t) = sin

√

t (với t ≥ 0). Ta có
√
√
√
√
√
√
t1 + t2
t1 − t2
sin

| sin t1 − sin t2 | = 2 cos
2
√ 2
√
≤ | t1 − t2 |
t − t2
= √1 √
t1 + t2
≤ 2|t1 − t2 |1/2

¨
Do đó hàm ϕ thỏa mãn điều kiện Holder
với hằng số A = 1 và chỉ số λ = 1/2
Ví dụ 1.2. Ta xét hàm
ϕ(t) =

với 0 < t ≤ 1/2
với t = 0

1/ln t
0

Do
lim tλ ln t = 0
t →0

∀λ > 0

nên với mọi hằng số A, λ, luôn tồn tại t đủ nhỏ sao cho

| ϕ(t) − ϕ(0)| =

1
> A | x − 0| λ .
ln t

¨
Cho nên hàm ϕ xác định như trên không thỏa mãn điều kiện Holder.

1.1.2

Chỉ số của hàm số

Cho L là một chu tuyến đóng, đơn, trơn và G (t) là hàm số liên tục và không
triệt tiêu trên L.
Định nghĩa 1.2. Chỉ số của một hàm số G (t) dọc theo chu tuyến L là tỷ số độ tăng
trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển động hết một lượt (theo chiều dương)
dọc theo chu tuyến L với 2π. Ta ký hiệu Ind G (t) là chỉ số của hàm G (t).
Ký hiệu [ω ] L là số gia của ω dọc theo L thì chỉ số của G (t) được viết dưới
dạng
1
[arg G (t)] L .
2π
Chỉ số dễ dàng tính được thông qua sự biến thiên logarit của hàm số; tức là

κ = IndG (t) =

ln G (t) = ln | G (t)| + i arg G (t).
Sau khi chuyển động dọc theo L, | G (t)| trở lại giá trị ban đầu. Vậy nên
1

[arg G (t)] L = [ln G (t)] L ,
i


8

do vậy mà
1
[ln G (t)] L .
2iπ
Chỉ số có thể tính theo tích phân (hiểu theo nghĩa Stieltjes)

κ=

κ = IndG (t) =

1
2π

d arg G (t) =
L

1
2πi

dln G (t).
L

Ví dụ 1.3. Xét hàm G (t) = tn trên chu tuyến là đường tròn đơn vị được tham số hóa
bởi t = eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π. Khi đó,

G (t) = tn = einθ .
Do đó,

κ = IndG (t) =

1
1
[ln G (t)] L =
2nπ = n
2πi
2π

Từ định nghĩa trên ta thấy: Vì hàm G (t) liên tục nên số gia của argumen
dọc theo chu tuyến đóng sẽ là bội của 2π. Vậy nên ta có
1. Chỉ số của một hàm số liên tục trên chu tuyến và không triệt tiêu trên đó
luôn là một số nguyên.
2. Chỉ số của tích hai hàm bằng tổng các chỉ số, chỉ số của thương hai hàm
bằng hiệu các chỉ số tương ứng.
Giả sử hàm G (t) là khả vi và là giá trị biên của hàm giải tích bên trong hoặc
bên ngoài chu tuyến L. Khi đó
1
κ=
2πi

L

1
dln G (t) =
2πi

′

L

G (t)
dt.
G (t)

Đây cũng chính là thặng dư logarit của hàm số G (t). Từ định lý về thặng
dư logarit, ta suy ra các tính chất sau đây của chỉ số
3. Nếu G (t) là giá trị biên của hàm giải tích bên trong hoặc bên ngoài chu
tuyến, thì chỉ số của nó bằng số không điểm từ bên trong hoặc số không
điểm từ bên ngoài lấy dấu âm.
4. Nếu G (t) là giá trị biên của hàm giải tích bên trong chu tuyến trừ ra hữu
hạn điểm (có thể là các cực điểm) thì chỉ số của nó bằng hiệu giữa số không
điểm và số cực điểm (kể cả bội).


9

1.1.3

Bậc của hàm số

Định nghĩa 1.3. Bậc của hàm số giải tích Φ(z) tại một điểm z0 là lũy thừa nhỏ nhất
trong khai triển Φ(z) thành chuỗi lũy thừa của (z − z0 ).
Từ định nghĩa này suy ra khi Φ(z) có 0- điểm bậc m tại điểm z0 thì m là bậc
của hàm số, còn với cực điểm bậc m ta có bậc âm (bằng −m). Nếu hàm số là giải
tích tại z0 và khác không tại đây thì bậc là 0.

1.1.4

Định nghĩa tích phân dạng Cauchy

Giả sử L là chu tuyến đóng, đơn và trơn trong mặt phẳng phức. Miền bên
trong chu tuyến L được gọi là miền trong và ký hiệu bởi D + , còn phần bù của
D + ∪ L được gọi là miền ngoài và ký hiệu bởi D − .

Khi f (z) là hàm giải tích trong D + và liên tục trong D + ∪ L, theo công thức

tích phân Cauchy trong lý thuyết hàm biến phức, ta có
1
2πi

L

f (τ )
dτ =
τ−z

f (z)
0

khi z ∈ D + ,
khi z ∈ D − .

(1.2)

Nếu hàm f (z) là giải tích trong D − và liên tục trong D − ∪ L, thì
1

2πi

L

f (τ )
dτ =
τ−z

f (∞)
− f (z) + f (∞)

khi z ∈ D − ,
khi z ∈ D + .

(1.3)

Trong đó hướng dương của chu tuyến L là hướng mà D + nằm ở bên trái khi đi
theo đường cong dọc theo hướng đó.
Công thức tích phân Cauchy cho phép ta tính giá trị của hàm số tại mọi
điểm trong miền thông qua giá trị trên biên đã biết. Do đó, có thể nói rằng công
thức tích phân Cauchy cho ta lời giải của bài toán biên trong lớp hàm giải tích.
Tích phân ở vế trái của công thức (1.2) và (1.3) được gọi là tích phân Cauchy. Mở
rộng khái niệm trên đối với chu tuyến bất kì, ta có định nghĩa dưới đây
Định nghĩa 1.4. Giả sử L là chu tuyến trơn, đóng hoặc mở trong mặt phẳng phức,
ϕ(τ ) là hàm xác định liên tục trên chu tuyến. Khi đó, tích phân
Φ(z) =

1
2πi

L

ϕ(τ )
dτ
τ−z


10

được xây dựng theo phương pháp như đối với tích phân Cauchy, được gọi là tích phân
dạng Cauchy.
Hàm số ϕ(τ ) được gọi là hàm mật độ và hàm

1.2

1
là nhân Cauchy.
τ−z

Bài toán biên Riemann
Công thức dưới dây được chứng minh vào năm 1873 bởi nhà toán học

người Nga là Yu. V. Sokhotski cho ta thông tin về giới hạn của tích phân Cauchy
trên chu tuyến bất kì.
Định lý 1.1. Giả sử L là chu tuyến trơn (đóng hoặc mở), ϕ(τ ) là hàm số thỏa mãn điều
kiện H¨older theo tọa độ τ trên đó. Khi đó, tồn tại giới hạn Φ+ (t), Φ− (t) của công thức
tích phân Cauchy
Φ(z) =

1

2πi

L

ϕ(τ )
dτ
τ−z

Trong đó t ∈ L không trùng với các đầu mút và Φ+ (t), Φ− (t) lần lượt là các giới hạn

bên trong, giới hạn bên ngoài dọc theo chu tuyến. Hơn nữa, ta có công thức

1
1
ϕ(τ )


Φ+ (t) = ϕ(t) +
dτ



2
2πi τ − t
L


− (t) = − 1 ϕ(t) + 1

Φ




2
2πi

L

ϕ(τ )
dτ
τ−t

Nhận xét 1.1. Với định lí trên, hàm duy nhất Φ thỏa mãn điều kiện
Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t)
trên chu tuyến L, có công thức là
Φ(z) =
L

ϕ(τ )
dτ.
τ−z

Bây giờ, ta xét L là chu tuyến đóng, đơn, trơn và chia mặt phẳng thành hai
miền D + , D − (∞ ∈ D − ). G (t), g(t) là các hàm xác định trên chu tuyến, thỏa mãn

điều kiện Holder,
G (t) không triệt tiêu trên L. Bài toán biên Riemann phát biểu
¨
như sau

Tìm hàm Φ+ (z) giải tích trong D + , Φ− (z) giải tích trong D − thỏa mãn điều
kiện biên
Φ+ (t) = G (t)Φ− (t) (bài toán thuần nhất)


11

hoặc
Φ+ (t) = G (t)Φ− (t) + g(t) (bài toán không thuần nhất).
Hàm G (t) được gọi là hệ số của bài toán Riemann, hàm g(t) là hàm bất kì.
Dưới đây, ta xem xét bài toán trong điều kiện biên thuần nhất.
Xét bài toán Riemann với kí hiệu N + , N − lần lượt là số không điểm của
hàm Φ+ , Φ− . Theo tính chất của chỉ số, ta có
N + + N − = IndG (t) = κ

(1.4)

Chỉ số trên được gọi là chỉ số của bài toán Riemann. Do công thức (1.4), nên chỉ
số bài toán Riemann là không âm. Ta chia bài toán thành 2 trường hợp
Trường hợp 1. κ = 0. Khi đó, ln G (t) là hàm đơn trị và Φ+ , Φ− là các hàm
giải tích. Lấy logarith hai vế của điều kiện biên ta thu được
ln Φ+ (t) − ln Φ− (t) = ln G (t).

(1.5)

Bài toán được chuyển thành "Tìm hàm giải tích ln G (t) thỏa mãn điều kiện (1.5)".
Theo Nhận xét 1.1 ta có nghiệm duy nhất của bài toán là
ln G (t) =

1

2πi

L

ln G (τ )
dτ
τ−t

khi đó
+

−

Φ+ (t) = AeΓ (t),

Φ− (t) = AeΓ (t)

trong đó A là hằng số bất kì và
Γ(t) =

1
2πi

L

ln G (τ )
dτ
τ−t

Trường hợp 2. κ > 0 Ta xét trường hợp đặc biệt gốc tọa độ nằm trên miền

D + . Bằng lập luận như trong [5] ta có kết quả dưới đây
Định lý 1.2. Nếu chỉ số κ của bài toán biên Riemann dương thì bài toán có nghiệm là
không gian vector κ + 1 chiều với cơ sở là
Φk+ (t) = tk eΓ

1.3

+ (t)

,

Φk− (t) = tk−κ eΓ

− (t)

,

(k = 0, 1, . . . , κ ).

Toán tử Schwarz
Trước khi kết thúc Chương 1, ta đưa vào khái niệm quan trọng khác là toán

tử Schwarz, được dùng trong giải quyết bài toán Hilbert ở Chương 2.


12

1.3.1

Định nghĩa

Giả sử cho hàm thực u(s) thỏa mãn điều kiện Holder
trên một chu tuyến
¨
đóng, đơn và trơn.
Định nghĩa 1.5. Toán tử Schwarz S là toán tử xác định một hàm giải tích F (z) mà có
phần thực của giá trị biên trùng với hàm u(s) trên chu tuyến và phần ảo bị triệt tiêu tại
điểm z0 cho trước.
Ta có thể viết phát biểu trên như sau:
F (z) = u( x, y) + iv( x, y) = (Su)(z).
Nếu L là đường tròn đơn vị thì toán tử Schwarz sẽ đồng nhất với tích phân
Schwarz; nếu L là trục thực thì toán tử Schwarz đơn giản là tích phân dạng
Cauchy. Cho một chu tuyến tùy ý, biểu thức chi tiết của toán tử Schwarz có thể
cho trong những điều kiện của hàm Green.
Đặt

1
+ g( x, y; ξ, η )
r
là hàm Green của toán tử Laplace trong miền xác định D + , trong đó
G ( x, y; ξ, η ) = ln

( x − ξ )2 + (y − η )2 và g( x, y; ξ, η) là một hàm điều hòa với hai cặp tham

r=

biến x, y và ξ, η; lấy giá trị ln r khi một trong hai điểm ( x, y), (ξ, η ) nằm trên chu
tuyến.
Ta coi G ( x, y; ξ, η ) là hàm của hai biến số phức z = x + iy và ζ = ξ + iη đều
biến thiên trong miền D + ; ký hiệu là G (z, ζ ).

Từ lý thuyết của hàm điều hòa, nghiệm của bài toán biên thứ nhất - bài toán
Dirichlet được cho bởi công thức
u( x, y) =

1
2π

L

∂G (z, τ )
u(σ)dσ,
∂n

(1.6)

trong đó τ = τ (σ) là tọa độ phức của một điểm trên chu tuyến và n là pháp
tuyến trong.
Đặt H (z, ζ ) là hàm điều hòa liên hợp phức của G (z, ζ ) với tham số z. Nó
được xác định trên cơ sở của phương trình Cauchy-Riemann bằng hệ thức
z

H (z, ζ ) =
z0

−

∂G
∂G
∂x +
∂y ,

∂y
∂x

(1.7)


13

trong đó z0 là điểm cố định trong miền D + .
Vì D + là miền đơn liên nên hàm H được xác định duy nhất và thỏa mãn
điều kiện
H (z0 , ζ ) ≡ 0.
Hàm
M (z, ζ ) = G (z, ζ ) + iH (z, ζ )
được gọi là hàm phức Green cho miền D + . Nó là hàm giải tích khắp nơi với mọi z
trừ điểm z = ζ ở đó có một kỳ dị logarit.
Từ hệ thức (1.6) và (1.7) ta có công thức
v( x, y) =

1
2π

L

∂H (z, τ )
u(σ)dσ,
∂n

xác định hàm điều hòa v( x, y) là hàm liên hợp phức của hàm u( x, y). Do đó, hệ
thức

1
F (z) = u( x, y) + iv( x, y) =
2π

l

0

∂M(z, τ )
u(σ)dσ
∂n

cho hàm giải tích có phần thực bằng hàm u(σ) đã cho trên chu tuyến. Hàm này
cũng thỏa mãn điều kiện bổ sung v(z0 ) = 0.
Do vậy, toán tử Schwarz được cho bởi công thức
1
Su(z) ≡
2π

l

0

∂M (z, τ )
u(σ )dσ.
∂n

(1.8)

Nếu điều kiện v(z0 ) = 0 được hủy bỏ thì

F (z) = Su(z) + iβ 0 ,

(1.9)

trong đó β 0 là một hằng số tùy ý và bằng v(z0 ).
Hàm T (z, τ ) = ∂M (z, τ )/∂n được gọi là nhân Schwarz cho chu tuyến L.
Trong một ánh xạ bảo giác từ miền D + vào đường tròn đơn vị nó trở thành
nhân Schwarz cho đường tròn T (z, τ ) = (τ + z)/(τ − z) .

1.3.2

Bài toán xác định một hàm giải tích có một cực điểm với điều
kiện giá trị thực nằm trên chu tuyến

Trong phần trên, chúng ta đã xác định một hàm giải tích trong một miền
với điều kiện giá trị phần thực của nó nằm trên chu tuyến cho trước. Trong phần