Cơ sở Gröbner trong vành đa thức

Header Page 1 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đỗ Thị Phương Thanh

CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

Footer Page 1 of 123.


Header Page 2 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đỗ Thị Phương Thanh
CƠ SỞ GRöBNER TRONG VÀNH ĐA THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

Footer Page 2 of 123.


Header Page 3 of 123.

Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ của nhiều thầy
cô giáo, gia đình và bạn bè.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huyên,
người thầy đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt cho tôi những kiến thức và kinh
nghiệm quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán trường Đại
học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền thụ kiến
thức cho tôi trong quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, những người đã
luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận
văn.

TP. Hồ Chí Minh – Tháng 9 năm 2014
Đỗ Thị Phương Thanh.

Footer Page 3 of 123.


Header Page 4 of 123.

MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Bảng kí hiệu
Lời nói đầu ...................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................... 3
§1: VÀNH ĐA THỨC ............................................................................................... 3
§2: MODULE .......................................................................................................... 10
Chương 2. CƠ SỞ GRöBNER .................................................................................... 13
§1: IDEAL ĐƠN THỨC ......................................................................................... 13
§2: IDEAL KHỞI ĐẦU ........................................................................................... 23
§3: CƠ SỞ GRöBNER ............................................................................................. 30
§4: VAI TRÒ CỦA CƠ SỞ GRöBNER TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH
PHẦN TỬ CỦA IDEAL ................................................................................... 34
§5: THUẬT TOÁN BUCHBERGER ..................................................................... 39
Kết luận ......................................................................................................................... 48
Tài liệu tham khảo ....................................................................................................... 49

Footer Page 4 of 123.


Header Page 5 of 123.

Bảng kí hiệu
Kí hiệu

Ý nghĩa

K ( x)

Vành đa thức nhiều biến K [ x1 ,..., xn ] .

f1 ,..., f n

Ideal sinh bởi f1 ,..., f n .

≤lex

Thứ tự từ điển.

≤ glex

Thứ tự từ điển phân bậc.

≤ rlex

Thứ tự từ điển ngược.

G(I )

Tập hợp tất cả các đơn thức sinh tối tiểu I .

in ( f

)

Từ khởi đầu của đa thức f .

lm ( f

)

Đơn thức đầu của f .

lc ( f

)

Hệ số đầu của f .

in ( I )

Ideal khởi đầu của ideal I .

S ( f ,g)

S − đa thức của f và g .

IR

I là ideal của R .



Tập con thực sự.

⊆

Tập con nhỏ hơn hoặc bằng.

■

Kết thúc một chứng minh

Footer Page 5 of 123.


Header Page 6 of 123.

1

Lời nói đầu
Một trong các bài toán quan trọng trong vành đa thức R = K [ x1 ,..., xn ] là: Cho

f ∈ R và I = f1 ,..., f s  R, xác định xem f có thuộc I hay không?. Điều đó
đòi hỏi f phải biểu diễn được dưới dạng f = q1 f1 + ... + qs f s . Để có biểu diễn
này, một cách tự nhiên, ta lấy f chia cho f1 ,..., f s . Đối với vành một biến thì R
là vành chính nên ideal I sẽ là ideal chính, theo định lí chia đa thức một biến thì
đa thức dư là duy nhất. Tuy nhiên, khi mở rộng lên vành đa thức nhiều biến, khi
chia theo những cách khác nhau thì đa thức dư cũng khác nhau, hơn nữa một đa
thức f ∈ I thì đa thức dư khi áp dụng một thuật toán nào đó chia f cho f1 ,..., f s
có thể khác 0. Ví dụ Cho f1 =x 2 y + y, f 2 =xy 2 + x. Ta có f = x 2 y 2 + x 2= xf 2 hay
f ∈ f1 , f 2

(

)

2
2
nhưng f = yf1 + x − y tức đa thức dư của f khi chia cho f1 , f 2 là

r = x 2 − y 2 ≠ 0. Vấn đề đặt ra là liệu có một hệ sinh g1 ,..., gt của I mà khi chia f

cho g1 ,..., gt theo bất kỳ thuật toán nào thì đa thức dư cũng là duy nhất và do đó
nếu f ∈ I thì đa thức dư luôn bằng 0. Điều đó dẫn tới khái niệm cơ sở Gröbner
và thuật toán Buchberger giúp ta tìm cơ sở Gröbner từ một hệ sinh. Nội dung của
luận văn gồm:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này gồm 2 tiết: Vành đa thức và module. Chương này cung cấp
những kiến thức cơ bản của vành đa thức một biến và nhiều biến. Đồng thời đưa

Footer Page 6 of 123.


Header Page 7 of 123.

2

ra một số tính chất của một số module đặc biệt: module tự do, module hữu hạn
sinh, module Noether.
Chương 2. Cơ sở Gröbner
Chương này là phần chính của luận văn. Chương này chia làm 5 tiết.
Tiết 1: Ideal đơn thức
Trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của ideal đơn thức và một vài lớp
ideal đặc biệt trong ideal đơn thức.
Tiết 2: Ideal khởi đầu
Trình bày định nghĩa ideal khởi đầu và các tính chất cơ bản của ideal khởi đầu.
Tiết 3: Cơ sở Gröbner
Trình bày định nghĩa cơ sở Gröbner và các loại cơ sở Gröbner.
Tiết 4: Vai trò của cơ sở Gröbner trong việc xác định phần tử của ideal

Trình bày định lí thuật toán chia và vai trò của cơ sở Gröbner trong việc ổn đinh
đa thức dư trong phép chia đa thức.
Tiết 5: Thuật toán Buchberger
Trình bày khái niệm S − đa thức và thuật toán Buchberger để tìm một cơ sở
Gröbner.
Luận văn chỉ xét đến vành đa thức trên một trường. Cho nên khi nói đến vành đa
thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành đa thức trên một trường.

Footer Page 7 of 123.


Header Page 8 of 123.

3

Chương 1. KIẾN

THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số tính chất cơ bản nhất của vành đa thức để làm
tiền đề nghiên cứu chương sau.

§1: VÀNH ĐA THỨC
1. Vành đa thức một biến
Cho R là một vành và x là biến. Ta gọi đa thức là một tổng có dạng:
n

a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n =
∑ ai xi .
i =0

trong đó các ai , i = 0,..., n, là những số thực. Nếu a0= 1, a1= ...= an= 0 thì đa thức
được kí hiệu là 1.
n

m

i =0

j =0

i
Hai đa thức f ( x ) = ∑ ai x và g ( x ) = ∑ b j x j

( ai ≠ 0, bi ≠ 0 )

được xem là bằng nhau

nếu m = n và ai = a j với i = j.
Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:

 m
 n
 m
i
j
k 
+
=
a

x
b
x
 ∑ i   ∑ j   ∑ ( ak + bk ) x  . ( giả sử m > n. )
=
 i 0=
 j 0=

 k 1
Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:
m
 n
 n+ m k 
i 
j
=
a
x
b
x
.
 ∑ i   ∑ j   ∑ ck x  . với ck = ∑ ai b j
i+ j=
k
=
 i 0=
j0 =

 k 0

Định nghĩa 1.1.1: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể
kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán có phần tử đơn vị là đa thức 1. Tập
này được kí hiệu là vành K [ x ].

Sau khi định nghĩa được đa thức một biến, việc sắp thứ tự các số hạng trong đơn thức
là cần thiết nên liền xuất hiện khái niệm bậc đa thức:
Định nghĩa 1.1.2: Bậc của đa thức khác 0

Footer Page 8 of 123.


Header Page 9 of 123.

4

f ( x=
) a0 x0 + ... + an−1 x n−1 + an x n
Như vậy ta chỉ định nghĩa bậc của đa thức khác 0. Đối với đa thức không ta bảo nó
không có bậc.
Định lí 1.1.3: Giả sử f ( x ) và g ( x ) là hai đa thức khác 0.
(i) Nếu bậc của f ( x ) khác bậc g ( x ) , thì ta có:
f ( x ) + g ( x ) ≠ 0 và bậc ( f ( x ) + g ( x )) =
max (bậc f ( x ) , bậc g ( x ) ).

Nếu bậc f ( x ) = bậc g ( x ) , và nếu thêm nữa f ( x ) + g ( x ) ≠ 0, thì ta có:
Bậc ( f ( x ) + g ( x )) ≤ max (bậc f ( x ) , bậc g ( x ) ).
(ii) Nếu f ( x ) g ( x ) ≠ 0,thì ta có bậc ( f ( x ) g ( x ) ) ≤ bậc f ( x ) + bậc g ( x ) ).
Định lí 1.1.4: Nếu K là một miền nguyên f ( x ) và g ( x ) là hai đa thức khác 0 của
vành K [ x ] , thì f ( x ) g ( x ) ≠ 0 và bậc ( f ( x ) g ( x ) ) = bậc f ( x ) + bậc g ( x ) .
Hệ quả 1.1.5: Nếu K là miền nguyên, thì K [ x ] cũng là miền nguyên.

Để giải quyết vấn đề đặt ra: một đa thức f có thuộc một ideal I sinh bởi một hệ đa
thức

{ f1 ,..., f n }.

Trong trường hợp đặc biệt, vành K [ x ] là vành một biến, K là

trường, khi đó K [ x ] là vành chính thì I là ideal chính sinh bởi một đa thức g ( x ) .
Nếu f ( x ) ∈ I thì f ( x ) phải được biểu diễn f ( x ) = q ( x ) .g ( x ) . Để có biểu diễn này
ta phải lấy f ( x ) chia cho g ( x ) , để đảm bảo có phép chia, ta có định lí chia đa thức:
Định lí 1.1.6: Giả sử K là một trường, f ( x ) và g ( x ) ≠ 0 của vành K [ x ] ; thế thì bao
giờ cũng có hai đa thức duy nhất q ( x ) và r ( x ) thuộc K [ x ] sao cho
=
f ( x ) g ( x ) q ( x ) + r ( x, ) với bậc r ( x ) < bậc g ( x ) nếu r ( x ) ≠ 0.

Do đa thức dư và đa thức thương duy nhất nên điều kiện cần và đủ để f thuộc I là dư
của phép chia f ( x ) cho g ( x ) bằng 0.

Footer Page 9 of 123.


Header Page 10 of 123.

5

Định nghĩa 1.1.7: Ước chung lớn nhất của các đa thức f1 ,..., f n ∈ K [ x ] là đa thức h
sao cho:
(i) h chia hết f1 ,..., f n , nghĩa
là f1 q=
=

qn h; q1 ,..., qn ∈ K [ x ]
1h ,..., f n
(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1 ,..., f n , thì p chia hết h .
Trong trường hợp đó ta viết h = UCLN ( f1 ,..., f n ) .
Mệnh đề 1.1.8:Cho f1 ,..., f n ∈ K [ x ] , n ≥ 2. Khi đó:
(i) UCLN ( f1 ,..., f n ) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của K .
(ii) ( f1 ,..., f n ) = (UCLN ( f1 ,..., f n ) ) .
(iii) Nếu n ≥ 3 thì UCLN ( f1 ,..., f n ) = UCLN (UCLN ( f1 ,..., f n −1 ) , f n ) .
Thuật toán 1.1.9: (Thuật toán Euclide) để tìm UCLN ( f , g ) ta thực hiện lần lượt các
phép chia đa thức một biến:
=
f p0 g + s0 ,
=
g p1 s0 + s1 ,
=
s0 p2 s1 + s2 ,
......,

thì đến một lúc nào đó ta được

sm = pm+1sm+1 (ở đây sm+2 = 0 ) và thuật toán dừng với UCLN ( f , g ) = sm+1

2. Vành đa thức nhiều biến
Cho R là một vành và x1 ,..., xn ( n ≥ 1) là các biến. Ta gọi đơn thức là một biểu thức có
n
dạng x1a ... xna ,trong đó ( a1 ,..., an ) ∈  được gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu
1

n

a=
....
= a=
0 , thì đơn thức được kí hiệu là 1 . Phép nhân trên tập các đơn thức được
1
n
định nghĩa như sau:

Footer Page 10 of 123.


Header Page 11 of 123.

(x

a1
1

6

... xnan )( x1b1 ... xnbn ) = x1a1 +b1 ... xnan +bn .

Từ là biểu thức có dạng a x1a ... xna ,trong đó α ∈ R được gọi là hệ số của từ. Thông
1

n

thường các phần tử của R gọi là phần tử vô hướng. Hai từ khác không a x1a ... xna và
1

n

β x1a ... xna là đồng dạng với nhau. Như vậy có thể xem đơn thức là từ với hệ số là 1 , và
n

1

phần tử vô hướng α là từ α .1.

=
xn ) , a ( a1 ,..., an ) ∈  n và
( x1 ,...,

Để cho tiện ta kí=
hiệu x

x a = x1a1 ... xnan . Đa thức n

biến x1 ,..., xn trên vành K là một tổng hình thức của các từ:

f ( x) =

∑a

a

xa ,

a∈ n

Trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số a a ≠ 0 . Từ a a x a với a a ≠ 0 được gọi là từ của
đa thức và x a là đơn thức của f ( x ) .
Hai đa thức f ( x ) =

∑a

a

x a và g ( x ) =

a∈ n

∑β

a

x a được xem là bằng nhau, nếu a a = β a

a∈ n

với mọi a ∈  n .
Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:



a
a
∑n (aa + βa ) x a
 ∑n a a x  +  ∑n β a x  =
 a∈

  a∈
 a∈
Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:


a 
a
a
 ∑n a a x  .  ∑n β a x  = ∑n γ a x
 a∈
  a∈
 a∈
trong đó γ a =

∑

ab bc

b ,c∈ n ;b + c =
a

Định nghĩa 1.1.10: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể
kiểm tra tập tất cả đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn thức 1 .
Tập này được kí hiệu là vành K [ x1 ,..., xn ] hay K [ x ]

Footer Page 11 of 123.


Header Page 12 of 123.

7

Định nghĩa 1.1.11: Bậc tổng thể của đa thức deg f=
( x ) max {a1 + ... + an | a a ≠ 0}.
Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường. Đôi khi bậc tổng thể
của đa thức nhiều biến cũng được gọi tắt là bậc, nếu như không có sự hiểu nhầm nào
xảy ra.
Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức f ( x ) khác không, ta sắp xếp theo các thứ tự
của các từ được gọi là thứ tự từ:
Định nghĩa 1.1.12: Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các đơn thức
của K [ x ] thỏa mãn các tính chất sau:
(i)

Với mọi m ∈ M ,1 ≤ m.

(ii)

Nếu m1 , m2 , m ∈ M mà m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2 .

Từ định nghĩa trên ta thấy ngay trên vành đa thức một biến chỉ có một thứ tự từ. Đó là
thứ tự xác định bởi bậc đơn thức. Dưới đây ta sẽ thấy có nhiều cách định nghĩa thứ tự
từ khi số biến từ hai trở lên. Trước hết ta thiết lập một số tính chất chung của thứ tự từ.
Mệnh đề 1.1.13: Một thứ tự toàn phần ≤ trên M là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy
đơn thức thực sự giảm:

m1 > m2 > m3 > ...
sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử).
Mệnh đề 1.1.14: Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt. Ngược lại mọi thứ tự tốt trên M thỏa điều
kiện (ii) của định nghĩa 1.1.12 là thứ tự từ.
Một số thứ tự từ

Cho ≤ là một thứ tự từ. Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giả thiết:

x1 > x2 > ... > xn .
Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng:
Định nghĩa 1.1.15:Thứ tự từ điển là thứ tự ≤ lex xác định như sau: x1α ... xnα < lex x1β ... xnβ
1

n

1

nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của vector (α1 − β1 ,..., α n − β n ) là

Footer Page 12 of 123.

n


Header Page 13 of 123.

8

βi , nhưng
cho α1 β=
một số âm. (Nói cách khác, nếu tồn tại 0 ≤ i < n sao =
1 ,..., α i
αi +1 < βi +1 .)
Thứ tự từ điển tương tự như cách sắp xếp các từ trong từ điển, và do đó có tên gọi như
vậy.
Định nghĩa 1.1.16: Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤ glex xác định như sau:

x1α1 ... xnαn < glex x1β1 ... xnβn nếu deg ( x1α ... xnα ) < deg ( x1β ... xnβ
1

n

1

n

) hoặc

deg ( x1α1 ... xnαn ) = deg ( x1β1 ... xnβn ) và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của
α
β
vector (α1 − β1 ,..., α n − β n ) là một số âm. (Nói cách khác, x1 1 ... xn n < glex x1 1 ... xn n nếu
α

β

a1 + ... + an < β1 + ... + β n hoặc a1 + ... + an = β1 + ... + β n và x1α ... xnα n

1

n

1

Định nghĩa 1.1.17: Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤ rlex xác định như sau:

x1α1 ... xnαn < rlex x1β1 ... xnβn nếu deg ( x1α1 ... xnαn ) < deg ( x1β1 ... xnβn ) hoặc

deg ( x1α1 ... xnαn ) = deg ( x1β1 ... xnβn ) và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của

vector (α1 − β1 ,..., α n − β n ) là một số dương. (Nói cách khác, x1α ... xnα < rlex x1β ... xnβ
1

n

1

n

nếu a1 + ... + an < β1 + ... + β n hoặc a1 + ... + an = β1 + ... + β n và tồn tại 0 ≤ i < n sao

=
βi , nhưng αi +1 > βi +1 .)
cho α1 β=
1 ,..., α i
Mệnh đề 1.1.18: Ba thứ tự kể trên là các thứ tự từ.
Sau khi sắp xếp được các hạng tử của đa thức, ta sẽ mở rộng phép chia đa thức nhiều
biến sẽ xét ở chương sau. Trước tiên, ta thấy vành đa thức nhiều biến cũng có một số
tính chất được mở rộng trực tiếp từ vành đa thức một biến.
Mệnh đề 1.1.19: Nếu K là miền nguyên thì vành đa thức K [ x ] cũng là miền nguyên.
Mệnh đề 1.1.20: Nếu K là miền nguyên, thì với mọi đa thức f ( x ) , g ( x ) ∈ R [ x ] đều
có:

deg ( f ( x=
) g ( x ) ) deg f ( x ) + deg g ( x )
và

Footer Page 13 of 123.


Header Page 14 of 123.

9

deg ( f ( x ) + g ( x ) ) ≤ max {deg f ( x ) ,deg g ( x )}
Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt khi và chỉ khi deg f ( x ) = deg g ( x ) và

f deg f ( x ) = − gdeg g ( x ) .

Footer Page 14 of 123.


Header Page 15 of 123.

10

§2: MODULE
Với định nghĩa module và các tính chất cơ bản của module đã học ở đại số đồng điều,
tiết này ta xem xét một vài module đặc biệt.

1. Module tự do và module hữu hạn sinh
Định nghĩa 1.2.1: Cho S ⊆ M . Tập các phần tử

{r1s1 + ... + rn sn | n ∈ }, r1 ,..., rn ∈ R; s1 ,..., sn ∈ S }
lập thành module con của M gọi là module con sinh bởi S và kí hiệu là S .
Tập con ∅ ≠ S ⊆ M được gọi là tập sinh hay hệ sinh của M nếu M = S .

Tập được gọi là tập sinh tối tiểu (hay hệ sinh tối tiểu) nếu nó không thực sự chứa một
hệ sinh khác của M .
Ta gọi M là module hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.
Định nghĩa 1.2.2: Họ phần tử S = {ei }i∈I được gọi là cơ sở của R − module M nếu nó
là tập sinh của M và mỗi phần tử m ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

m = ∑ re
i i
i∈I

trong đó ri ∈ R và ri = 0 trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I .
Khác với không gian vector, không phải module nào cũng có cơ sở. Một module có cơ
sở là module tự do. Nếu e ∈ F là một phần tử của cơ sở của module tự do F thì
module con Re ≅ R . Khi đó ta có ngay:
Mệnh đề 1.2.3: F là R − module tự do với cơ sở {ei }i∈I khi và chỉ khi F đẳng cấu
với tổng trực tiếp ⊕i∈I Ri ,trong đó Ri = R với mọi i ∈ I .
Module tự do có cơ sở hữu hạn thì số phần tử của một cơ sở là không thay đổi:

Footer Page 15 of 123.


Header Page 16 of 123.

11

Mệnh đề 1.2.4: Cho R là vành không tầm thường và F là mdule tự do với cơ sở hữu
hạn. Khi đó mọi cơ sở của F cũng hữu hạn và hai cơ sở tùy ý của F có số phần tử
như nhau.
Hệ quả 1.2.5: Mọi module hữu hạn sinh đều đẳng cấu với module thương của module
R n , n ≥ 0 nào đó.

Định lí 1.2.6: Giả sử R là vành chỉ có một ideal cực đại duy nhất M và M là
R − module hữu hạn sinh. Khi đó x1 ,..., xn là tập sinh của M khi và chỉ khi ảnh

x1 ,..., xn là tập sinh của không gian vector M = M / MM trên R / M . Do vậy mọi tập
sinh tối tiểu của M có số phần tử như nhau.

2. Module Noether
Định nghĩa 1.2.7: Cho R là một vành và M là module trên R . Các điều kiện sau là
tương đương:
(i)
(ii)

Mọi tập khác rỗng các module con của M đều có phần tử cực đại (đối với
quan hệ bao hàm thức).
Mọi dây chuyền tăng các module con của M

M 1 ⊆ M 2 ⊆ ... ⊆ M n ⊆ M n +1 ⊆ ...,
Mk M
=
... .
đều dừng sau hữu hạn bước, tức là tồn tại k để =
k +1
(iii) Mọi module con của M đều hữu hạn sinh.
Module thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là module Noether.
Từ định nghĩa ta suy ra ngay: R là vành Noether nếu và chỉ nếu nó là module Noether
trên chính nó.
Mệnh đề 1.2.8: Cho M là module trên vành R và N là module con. M là module
Noether khi và chỉ khi cả hai module N và M / N là R − module Noether.
Định lí 1.2.9: R − module M là Noether khi và chỉ khi M là hữu hạn sinh và
R / Ann ( M ) là Noether.

Từ bổ đề và định lí suy ra: nếu R là vành Noether thì mọi vành thương của nó cũng là
Noether.

Footer Page 16 of 123.


Header Page 17 of 123.

12

Định lí Hilbert về cơ sở: Cho K là vành Noether và x là tập n biến. Khi đó vành
K [ x ] cũng là vành Noether.
Khi đó ta có ngay hệ quả: Mọi ideal của vành đa thức K [ x ] trên trường K là hữu hạn
sinh.
Định nghĩa 1.2.10:
Một ideal I của một vành R được gọi là có sự phân tích nguyên sơ nếu có hữu hạn
ideal Q1 ,..., Qn của R sao cho:
i) Q1 ,..., Qn là các ideal nguyên sơ.
ii) I = Q1 ∩ ... ∩ Qn . `
Định lý 1.2.11 (Lasker-Noether):
Trong một vành Noether mọi ideal thực sự đều có sự phân tích nguyên sơ.
Định nghĩa 1.2.12:
Một ideal thực sự của một vành R được gọi là bất khả quy nếu nó không phải là giao
của 2 ideal chứa nó thực sự.
Nói cách khác ideal I của R là bất khả quy khi và chỉ khi I ≠ R và với mọi ideal
I M ∩ N thì I = M hay I = N .
M , N nếu =
Mệnh đề 1.2.13:
Mỗi ideal thực sự của một vành nơte R là giao của một số hữu hạn ideal bất khả quy.
Mệnh đề 1.2.14:

(i) Nếu ideal 0 trong vành Noether là bất khả quy thì nó là ideal nguyên sơ.
(ii) Mỗi ideal bất khả quy trong vành Noether là nguyên sơ.

Footer Page 17 of 123.


Header Page 18 of 123.

13

Chương 2. CƠ

SỞ GRöBNER

Chương này chủ yếu giải quyết bài toán đặt ra trên vành đa thức nhiều biến. Để
có khái niệm cơ sở Gröbner, ta cần nghiên cứu ideal đơn thức, ideal khởi đầu. Sau khi
có khái niệm cơ sở Gröbner, ta sẽ tìm hiểu vai trò của nó trong việc xác định phần tử
của một ideal. Từ đó, ta có thuật toán tìm cơ sở Gröbner để giải quyết hoàn toàn bài
toán đặt ra.

§1: IDEAL ĐƠN THỨC
Trong các lớp ideal của vành đa thức nhiều biến, có một lớp ideal rất quan trọng là
ideal đơn thức, là cơ sở giúp ta đưa ra các khái niệm ideal khởi đầu hay cơ sở Gröbner
được trình bày trong các mục sau.
Định nghĩa 2.1.1: Ideal I được gọi là ideal đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức.

=
I
Như vậy một ideal đơn thức có dạng

x a ; a ∈ A ,trong đó A ⊆  n . Chú ý rằng

trong định nghĩa này không yêu cầu tập A hữu hạn. Tuy nhiên các kết quả sau đây cho
ta các thông tin chính xác hơn về số phần tử của tập sinh của nó.

1. Tập sinh của ideal đơn thức
Nghiên cứu một đơn thức thì dễ dàng và đơn giản hơn đa thức. Chẳng hạn, xét quan hệ
chia hết của hai đa thức ta cần làm phép chia đa thức, đối với đơn thức ta chỉ cần xét
số mũ của các biến và giữa hai đa thức có thể không tồn tại ướcchung lớn nhất nhưng
đối với đơn thức thì luôn có ước chung lớn nhất. Cụ thể ta có:
Mệnh đề 2.1.2:
(i)

Đơn thức x chia hết cho đơn thức x khi và chỉ khi b1 ≥ a1 ,..., bn ≥ an .

(ii)

UCLN ( x a , xb ) = x1

...xn

(iii)

BCNN ( x a , xb ) = x1

...xn

b

min{a1 ,b1}

Chứng minh:

Footer Page 18 of 123.

a

max{a1 ,b1}

min{an ,bn }

.

max{an ,bn }

.


Header Page 19 of 123.

14

(i) Đơn thức x chia hết cho đơn thức x khi và chỉ khi tồn tại đơn thức x sao cho
x b = x a .x c ⇔ x b = x a + c ⇔ x1b ...x bn = x1a + c ...x na + c . Suy ra:
b

a

1

a1 + c1
b1 =
b1 ≥ a1


⇔ ...
...
b =
b ≥ a
n
 n an + cn
 n

(

n

1

1

c

n

n

)

c

a
b
(ii) Gọi x = UCLN x , x . Khi đó x c | x a và x c | xb , suy ra a1 ≥ c1 ,...,a n ≥ cn và

b1 ≥ c1 ,..., b n ≥ cn . Mặt khác nếu x d | x a và x d | xb thì x d | x c nghĩa là nếu
a1 ≥ d1 ,...,a n ≥ d n và b1 ≥ d1 ,..., b n ≥ d n thì c1 ≥ d1 ,...,c n ≥ d n .Vậy

=
c1 min
=
{a1 , b1} ,..., cn min {an , bn } .
(iii) Tương tự (ii) ta có điều phải chứng minh. ■

=
I
Mệnh đề 2.1.3: Cho

x a ; a ∈ A là ideal đơn thức. Đơn thức x b ∈ I khi và chỉ khi

x b chia hết cho một đơn thức x a với a ∈ A nào đó.
Chứng minh: Rõ ràng xb ∈ I nếu xb chia hết cho một đơn thức x a với a ∈ A .
Ngược lại nếu xb ∈ I thì tồn tại hi ∈ K [x ] và a ( i ) ∈ A , i = 1,..., s sao cho:
s

x b = ∑ hi .x a(i ) .
i =1

Xem hi như tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên ta thấy
mỗi từ của nó phải chia hết cho x

a(i )

nào đó. Sau khi giản ước, một trong số đó còn lại

và phải bằng x b . Vậy xb phải có tính chất của những từ đó, tức là chia hết cho x
nào đó. ■

a(i )

Mệnh đề 2.1.4: Cho I là ideal đơn thức và f ∈ K [ x ]. Các điều kiện sau là tương
đương:
(a) f ∈ I
(b) Mọi từ của f thuộc I .
(c) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I .

Footer Page 19 of 123.


Header Page 20 of 123.

15

Chứng minh: Hiển nhiên có ( c ) ⇒ ( b ) ⇒ ( a ) . Đối với ( a ) ⇒ ( c ) nhận xét rằng tương
tự như chứng minh mệnh đề trên ta có mỗi từ của f phải chia hết cho x a với a ∈ A
nào đó. Mà mọi đơn thức chia hết cho x a lại thuộc I . Do đó mỗi từ của f là tích của
một đơn thức I và một phần tử từ K , tức là có ( c ) . ■
Hệ quả 2.1.5: Hai ideal đơn thức trong một vành đơn thức bằng nhau nếu chúng chứa
cùng một tập đơn thức.
Mệnh đề 2.1.6: Ideal I là ideal đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I , các từ của f
đều thuộc I .

Chứng minh: Điều kiện cần suy ra từ mệnh đề 2.1.4. Từ giả thiết suy tập các đơn
thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I . Do đó điều kiện đủ được chứng minh. ■
Theo định nghĩa, ideal đơn thức được sinh bởi các đơn thức, nhưng tập này có thể
không hữu hạn. Nhưng định lí Hibert về cơ sở đã cho ta một kết quả đẹp là mọi ideal
của vành đa thức K [ x ] với K là trường đều hữu hạn sinh. Vậy một ideal đơn thức là
hữu hạn sinh. Điều đó được phát biểu dưới dạng một bổ đề sau:

=
I
Mệnh đề 2.1.7: (Bổ đề Dickson) Mọi ideal đơn thức

x a ; a ∈ A bao giờ cũng viết

được dưới dạng I = x a(1) ,..., x a( s ) , trong đó a (1) ,..., a ( s ) ∈ A. Nói riêng I là hữu hạn
sinh.
Chứng minh: (ta sẽ chứng minh trực tiếp bổ đề Dickson) Chứng minh bằng quy nạp
theo số biến n . Khi n = 1 ta có A ⊆ . Chọn b ∈ A là số nhỏ nhất. Khi đó x1b chia hết
cho mọi đơn thức x1a với a ∈ A . Từ đó có ngay I = xb .
Giả sử bổ đề đã được chứng minh đối với ≤ n − 1 biến. Kí hiệu x ' = ( x1 ,..., xn −1 )
Như vậy mỗi đơn thức trong K [ x ] có thể viết dưới dạng x 'α xnq , trong đó α ∈ 

n−1

và

q ∈ . Gọi J là ideal của vành K [ x '] sinh ra bởi các đơn thức x 'α sao cho tồn tại

xnm x 'α ∈ I . Theo giả thiết qui nap, J sinh ra bởi hữu hạn đơn thức như vậy, tức là
J= x

Footer Page 20 of 123.

'αα
' (s)
(1)

,..., x

.


Header Page 21 of 123.

16

Theo định nghĩa với mỗi i = 1,..., s tồn tại mi ∈  sao cho x 'α (i ) xnm ∈ I . Giả sử
i

=
p 0,..., m − 1, xét ideal J p ⊆ K [ x '] sinh bởi các đơn thức
m = max {m1 ,..., ms } . Với mỗi
x ' β sao cho x ' β xnp ∈ I . Lại theo giả thiết qui nạp,

=
Jp

x

'α p (1)

,..., x

( )
=
, p 0,..., m − 1.

'α p s p

Ta sẽ chứng tỏ I sinh ra bởi các đơn thức
(1) m
(từ J : ) x 'αα
xn ,..., x ' ( s ) xnm ,

(từ J 0 : ) x 'α (1) ,..., x 'α ( s ) ,
0

0

0

'
s
(1)
(từ J1 : ) x 'αα
xn ,..., x ( ) xn ,
1

1

1

…
(từ J m−1 : ) x 'α

m−1

(1)

xnm −1 ,..., x

'α m−1 ( sm−1 )

xnm −1.

Thật vậy, giả sử x 'α xnq ∈ I . nếu q ≥ m, theo cách xây dựng J , x 'α phải chia hết cho x

'α ( i )

nào đó, và do đó x 'α xnq chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ nhất ở trên. Nếu q ≤ m − 1
thì x 'α xnq chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ q + 2 ở trên. Theo mệnh đề 2.1.3 và Hệ
quả 2.1.5 các đơn thức liệt kê ở trên sinh ra I .
Như vậy I sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức x β (1) ,..., x β ( r ) . Sử dụng mệnh đề 2.1.3
lần nữa, ta thấy mỗi đơn thức x

β ( j)

chia hết cho x

γ ( j)

nào đó với γ ( j ) ∈ A. Từ đó có

ngay I = xγ (1) ,..., xγ ( r ) . ■
Khi đó ta có mỗi ideal đơn thức I có một tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức. Tập sinh
này được gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu của I . Ta kí hiệu tập này là G ( I ) . Mỗi đơn
thức trong tập sinh này được gọi là đơn thức sinh của I . Khi đó:
Mệnh đề 2.1.8: Các đơn thức sinh trong tập G ( I ) không có ước thực sự trong I .

Footer Page 21 of 123.


Header Page 22 of 123.

17

Chứng minh: Giả sử đơn thức sinh u trong G ( I ) có ước thực sự v trong I . Khi đó

v thuộc G ( I ) (mâu thuẫn tính sinh tối tiểu của u ). Vậy các đơn thức sinh trong tập
G ( I ) không có ước thực sự trong I . ■

Mệnh đề 2.1.9: Mỗi ideal đơn thức I có một tập sinh đơn thức tối tiểu duy nhất.
Chứng minh: gọi G1 = {u1 ,..., ur } và G2 = {v1 ,..., vs } là hai tập sinh tối tiểu của ideal I .
Vì ui ∈ I , nên tồn tại v j sao cho ui = w1v j với đơn thức w1 nào đó. Tương tự tồn tại
uk , w2 sao cho v j = w2uk . Suy ra ui = w1w2uk . Vì G1 là tập sinh tối tiểu của I nên k = i

và w1w2 = 1. Vậy w1 = 1, vì thế u=i v j ∈ G2 . Vậy G1 ⊂ G2 . Tương tự như vậy ta cũng có
G2 ⊂ G1. ■

Chú ý: Để mô tả ideal đơn thức I chỉ cần chỉ rõ tập tất cả các đơn thức thuộc I hoặc
chỉ ra tập sinh đơn thức tối tiểu của I . Mỗi đơn thức x có thể biểu diễn bởi điểm có

a

n
a
b
tọa độ ( a1 ,..., an ) trong không gian  . Khi đó đơn thức x chia hết cho đơn thức x

khi và chỉ khi b1 ≥ a1 ,..., bn ≥ an hay tương đương điểm ( b1 ,..., bn ) nằm trong khối
vuông đầu tiên của hệ tọa độ Đề Các thông thường với gốc tọa độ là điểm ( a1 ,..., an ) .

(

)

Như vậy nếu I = x a(1) ,..., x a( s ) với a (1) ,..., a ( s ) ∈ A ,thì tất cả các đơn thức của I là
những điểm nguyên nằm trong các khối vuông có đỉnh là các điểm thuộc A, và tập các
đỉnh này là tập sinh đơn thức tối tiểu của I .

2. Các tính chất ideal đơn thức
Mệnh đề 2.1.10: Cho I , J là hai ideal đơn thức. Khi đó I ∩ J và I : J là các ideal
đơn thức. Hơn nữa, nếu I = m1 ,..., mr và J = n1 ,..., ns , mi , n j là các đơn thức, thì:

BCNN ( mi , n j ) |1 ≤ i ≤ r ;1 ≤ i ≤ j .

=
(a) I ∩ J

mi / UCLN ( mi , n j ) |1 ≤ i ≤ r . Do đó I : J có thể tính được theo công thức

=

(b) I : n j

I : J =  j =1 ( I : n j ) và (a).
s

Footer Page 22 of 123.


Header Page 23 of 123.

18

Chứng minh: Ta có I : J = ∩sj =1 ( I : n j ) . Do đó chỉ cần chứng minh I ∩ J là ideal đơn
thức, và các công thức tính ở ( a ) và ( b ) đúng. Cho f ∈ I ∩ J và m là một từ của f . Vì
I , J là các ideal đơn thức nên theo mệnh đề 2.1.6 m ∈ I và m ∈ J . Do đó m ∈ I ∩ J .

Lại theo mệnh đề 2.1.6, I ∩ J là ideal đơn thức.
Để chứng minh ( a ) , nhận xét rằng bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên. Cho đơn thức

m ∈ I ∩ J . Theo mệnh đề 2.1.3, m chia hết cho mi và n j nào đó. Do đó m chia hết cho
BCNN ( mi , n j ) . Suy ra m ∈ BCNN ( mi , n j |1 ≤ i ≤ r ;1 ≤ i ≤ j ) , và ta có ( a ) . Chứng minh

( b ) tương tự nếu để ý rằng UCLN ( mi , n j ) BCNN ( mi , n j ) = m i n j . ■
Mệnh đề 2.1.11: Căn của một ideal đơn thức là một ideal đơn thức.
Chứng minh: Lấy f = cx a + ... ∈ I với 0 ≠ c ∈ K . Ta có f k ∈ I , vì I là ideal đơn thức
1

nên mọi từ của f k đều thuộc I . Gọi S = { x a1 ,..., x ar } là tập các đơn thức của f . Bao lồi

của tập {a1 ,..., ar } ⊂  n là một đa giác lồi. Ta có thể giả sử a1 là một đỉnh của đa giác

a1

hay

Ta giả sử
=
a1

không

thuộc

bao

( x ) = ( x ) .( x ) ...( x )
a1 k

a1 k1

a2 k2

ar

kr

lồi

của

{a2 ,..., ar } .

tập

với k = k1 + k2 + ... + kr và k1 < k . Vì thế
r

r

∑ ( ki / ( k − k1 ) ) ai

1.
∑ ( k / ( k − k )) =

với

i =2

i =2

1

i

Vì vậy a1 không là một đỉnh của đa giác lồi (mâu thuẫn). Vậy đơn thức ( x a1 ) không
k

thể biểu diễn qua các từ khác trong f k nên

(x )

a1 k

là một đơn thức của f k . Mà f k ∈ I

nên ( x a1 ) ∈ I . Vì vậy x a1 ∈ I và f − cx a ∈ I . Tiếp tục với x a2 ,..., x ar ta sẽ có mọi từ
k

1

của f đều thuộc

I vì thế

I là một ideal đơn thức.

Căn của một ideal đơn thức có thể được tính một cách tường minh thông qua
u=

∏x

i , ai ≠ 0

i

với u = x a là một đơn thức.■

Mệnh đề 2.1.12: Cho I là một ideal đơn thức. Căn của I được sinh bởi tập

{

}

u :u ∈G (I ) .

Footer Page 23 of 123.


Header Page 24 of 123.

Chứng minh: Dễ thấy

19

{

}

u : u ∈ G ( I ) ⊂ I . Vì

I là một ideal đơn thức, điều này đủ

để chứng tỏ mỗi đơn thức u ∈ I là một tích của một vài phần tử

u với u ∈ G ( I ) .

Thật vậy, nếu v ∈ I thì v k ∈ I với k ≥ 0, vì thế v k = wu với w là một đơn thức. Vậy
ta có điều phải chứng minh.■

3. Ideal đơn thức nguyên tố, ideal bất khả quy và sự phân tích
nguyên sơ

A. Ideal đơn thức nguyên tố
Mệnh đề 2.1.13: I là ideal đơn thức nguyên tố khi và chỉ khi I sinh bởi các biến.
Chứng minh: ( ⇒ ) gọi G ( I ) = {m1 ,..., mr } , gọi S = { x1 ,..., xn } là tập các biến sinh ra các
phần tử mi , i ∈1, s . Ta chứng minh I = S . Dễ thấy I ⊂ S . Lấy xk ∈ S thì tồn tại mi
sao cho mi = qk xk với qk là một đơn thức. Vì I là ideal nguyên tố nên qk ∈ I hoặc
xk ∈ I . Nhưng ∀mi ∈ G ( I ) không có ước thực sự trong I nên qk cũng không là một

ước thực sự của mi suy ra mi = uxk với u ∈ K . Vậy xk ∈ I . Suy ra

S ⊂ I.

( ⇐ ) Ta có I = x1 ,.., xs . Lấy f ( x ) g ( x ) ∈ I suy ra mỗi từ của f ( x ) g ( x ) chia hết cho
xi với xi ∈ { x1 ,..., xs } . Mà mỗi từ của f ( x ) g ( x ) là tích của một từ của f ( x ) và một từ
của g ( x ) nên từ của f ( x ) chia hết cho xi hoặc từ của g ( x ) chia hết cho xi . Vậy
f ( x ) ∈ I hoặc g ( x ) ∈ I . Vậy

I là một ideal nguyên tố.■

Như vậy mỗi ideal đơn thức nguyên tố đều hữu hạn sinh, đặc biệt đối với vành đa thức
n biến thì số ideal đơn thức nguyên tố là hữu hạn.
Mệnh đề 2.1.14: Cho vành R = K [ x1 ,..., xn ] , số ideal đơn thức nguyên tố trong vành

R là 2n − 1.
Chứng minh: Theo mệnh đề 2.1.13 thì ideal đơn thức nguyên tố I sinh bởi các biến.
Ta có:
• Nếu I sinh bởi 1 biến thì có Cn1 ideal I .

Footer Page 24 of 123.

Header Page 25 of 123.

20

• Nếu I sinh bởi 2 biến thì có Cn2 ideal I .
• ……..
• Nếu I sinh bởi n biến thì có Cnn ideal I .
Vậy ta có Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = (1 + 1) − Cn0 = 2n − 1 ideal đơn thức nguyên tố. ■
n

Trong số các ideal đơn thức nguyên tố trên vành đa thức n biến thì ideal nào là ideal
tối đại. Ta có mệnh đề:
Mệnh đề 2.1.15: Cho vành R = K [ x1 ,..., xn ] , ideal I = x1 ,..., xn là ideal tối đại đơn
thức duy nhất.
Chứng minh: Ta có I là ideal đơn thức nguyên tố (theo mệnh đề). Ta lại có

K [ x1 ,..., xn ]
R
=
≅ K là trường nên I là ideal tối đại. Vậy I là ideal đơn
I
x1 ,..., xn
thức tối đại. ■
B. Ideal bất khả quy và sự phân tích nguyên sơ

R là vành đa thức trên trường nên là vành Noether. Theo định lí Lasker-Noether, mỗi
ideal trên vành Noether đều có phân tích nguyên sơ. Cho nên ta xét sự phân tích
nguyên sơ của các ideal đơn thức.
Một phân tích nguyên sơ của ideal I : I =  i =1 Qi được goi là tối giản nếu không ideal
m

Qi nào có thể lược bỏ trong biểu diễn này. Ta có định lí nền tảng sau:

Định lí 2.1.16: Cho I ⊂ S =
K [ x ] là một ideal đơn thức. Khi đó I =  i =1 Qi với Qi được
m

sinh bởi lũy thừa của các biến nghĩa là Qi = xia11 ,..., xiakk

. Hơn nữa sự phân tích nguyên

sơ này là duy nhất.
Chứng minh: Để chứng mịnh định lí này trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.17: Giả sử m, n là hai đơn thức có UCLN ( m, n ) = 1 (không chứa biến chung)
và m1 ,..., mr là các đơn thức. Khi đó m=
1 ,..., mr , mn

Footer Page 25 of 123.

m1 ,..., mr , m ∩ m1 ,..., mr , n