Số học trong vành đa thức a {x}

Khoá luận tốt nghiệp

Lời nói đầu
Trong Đại số-số học khái niệm Iđêan là cơ sở cho việc trình bày các khái
niệm về Ước chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất và các khái niệm liên quan trong
vành chính. Bên cạnh đó khái niệm Iđêan là cơ bản trong hình học đại số( theo
[1] ). Mặt khác ngay từ lớp 6, chúng ta đà đợc làm quen với môn Số học. Các khái
niệm cơ bản đợc trình bày là: Ước chung lín nhÊt, Béi chung nhá nhÊt, sè nguyªn tè
...VÊn đề đặt ra là liệu ta có đa đợc các khái đó vào vành các đa thức A[x] hay
không ? Khi đó vai trò của các khái niệm trên và các tính chất tơng ứng của chúng
đối với vành A[x] ra sao ? Xuất phát từ đó chúng tôi đa ra đề tài nghiên cứu :
Số học trong vành đa thức A[x]. Khóa luận gồm hai chơng.
Chơng I của khoá luận một mặt ôn lại các kiến thức biết về vành và Iđêan, mặt
khác đa ra một số khái niệm mới nh : Cơ sở của Iđêan, Iđêan tích, Iđêan thơng...
cùng các tính chất tơng ứng. Mối liên hệ giữa vành và Iđêan của nó đợc thể hiện ở
định lí 3.10 của chơng này. Ngoài ra các kiến thức đợc trình bày ở chơng này còn là
cơ sở cho việc trình bày các kiến thức ở chơng II của khoá luận.
Chơng II của khoá luận gồm ba tiết. Bằng cách tơng tự hoá, ở Đ 1,chơngII
Chúng tôi đa ra một số khái niệm và tính chất trong vành A[x] giống nh các khái
niệm và tính chất về số trong vành Z. Điều đặc biệt ở đây là chúng tôi đà sử dụng
khái niệm Iđêan để làm cơ sở cho việc trình bày các khái niệm về ƯCLN, BCNN.
Vai trò của các khái niệm và tính chất về số trong vành A[x] đợc làm sáng tỏ ở Đ 2,
chơng II và § 3, ch¬ng II . Trong § 2, ch¬ng II chúng tôi nghiên cứu sâu thêm về
phần tử đại số, phần tử siêu việt và vành A[c]. Việc nghiên cứu Iđêan trong một
vành bất kì là rất khó khăn trong một khoảng thời gian ngắn ngủi. Do vậy trong Đ 3
chơng II chúng tôi chỉ nghiên cứu Iđêan trong vành A[x]. Qua đây chúng ta thấy
rằng Iđêan trong vành A[x] cã mét tÝnh chÊt gièng nh tÝnh chÊt sè trong vành các số
nguyên Z là phân tích ra các thừa số nguyên tố.
Trong khoá luận hoạt động tơng tự hoá, tổng quát hoá luôn đợc áp dụng để tìm
ra và giải quyết các vấn đề mới dựa vào các kiến thøc cị ®· biÕt.
1

Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo
PGS. TS. Nguyễn Quý Dy. Trong thời gian hoàn thành khoá luận, tôi còn đợc sự góp
ý quý báu của các thầy giáo trong khoa Toán.
Gia đình và bạn bè thân hữu luôn là nguồn động viên để tác giả có thêm nghị
lực, tinh thần hoàn thành khoá luận.
Trớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận, xin chân thành cảm ơn tất cả
mọi tấm lòng đà u ái dành cho tác giả.
Với thời gian nghiên cứu cha phải là đủ, hơn nữa trình độ còn hạn chế nên khoá
luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong đợc sự góp ý chân
thành của quý thầy cô cùng tất cả các bạn.
Vinh, tháng 4 năm 2003
Tác giả

2


Khoá luận tốt nghiệp

Chơng I

Vành và Iđêan
Đ 1 Khái niệm về vành

1.1 Định nghĩa Một tập hợp X trên đó xác định hai phép toán hai ngôi là phép +
và phép thoả mÃn các điều kiện sau:
1) X cùng víi phÐp céng lµ mét nhãm Aben
2) X cïng víi phép nhân là nửa nhóm.

3) Phép nhân có tính phân phối với phép cộng: Với các phần tử tuỳ ý x, y, z
 X ta cã:
x( y +z ) =xy + xz
(y + z)x = yx + zx
đợc gọi là một vành.
Phần tử trung lập của phép cộng kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không
Phần tử đối (đối với phép cộng) của phần tử x kí hiệu là -x
Nếu phép nhân giao hoán thì X đợc gọi là vành giao hoán
Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của X
và thờng kí hiệu là e hoặc 1.
Một số nhận xét:
+) Nếu (X, +, ) là vành thì X vì trong X có phần tử 0.
+) (  0 , +, ) lµ mét vµnh .
VÝ dơ: 1) Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông thờng là một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành các số nguyên. Ta cũng có vành các
số hữu tỷ, các số thực, các số phức.
2) Tập hợp các ma trận vuông cấp n (n N * ) với các phần tử thực hay
phức cùng với phép cộng và phép nhân ma trận là một vành có đơn vị. Vành này
không giao hoán.
3) Tập hợp các số có dạng a + b 2 , víi a, b  Z lµ mét vµnh giao hoán ,có
đơn vị . . .
1.2 Miền nguyên
1.2.1 Định nghiÃ. Giả sử X là vành giao hoán. Một phần tử a X là bội của một
phần tử b  X hay a chia hÕt cho b, kÝ hiÖu a b, nÕu cã c  X sao cho a = bc, ta
còn nói rằng b là ớc của a hay b chia hÕt a, kÝ hiÖu b | a.
1.2.2 Định nghĩa. Giả sử X là vành giao hoán. Ta gäi íc cđa 0 mäi phÇn tư a  X ,
a 0 sao cho cã b  X , b 0 thoả mÃn ab = 0.
Ví dụ:

2 là

ớc của

0

trong vành

Z 6 vì có 3 Z6 và 2 . 3 = 0 .
3


Khoá luận tốt nghiệp
1.2.3 Định nghĩa. Một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán , có đơn vị,
không có ớc của 0 đợc gọi là một miền nguyên .
Ví dụ: 1) Vành các số nguyên Z là một miền nguyên
2) Vành Z m (m N* ) là miền nguyên khi và chỉ khi m là số nguyên tố
1.3 Vành con
1.3.1 Định nghĩa. Cho X là một vành. Tập con A X đợc gọi là một vành con nếu
A cũng lập thành một vành đối với phép cộng và phép nhân trong X .
Ví dụ: 1) Z, Q là các vành con của vành R
2) N không phải là vành con của vành R
1.3.2 Định lí. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành X. Các điều kiện sau
đây là tơng đơng:
1) A là vµnh con cđa X.
2) Víi mäi x, y A, x + y  A, xy A, -x A.
3) Víi mäi x, y A, x - y A, xy A.
1.3.3 Định lí. Giao của một họ bất kì những vành con của một vành X là một vành
con của X.
1.3.4 Định nghĩa. Giả sử X, Y là các vành bất kì. Khi đó tập hợp :
X Y= (x, y ) x  X, y  Y  cïng víi hai phÐp to¸n:
(a1 , b1) + (a2 , b2) = (a1 +a2 , b1 + b2)

(a1 , b1).(a2 , b2) = (a1a2, b1b2 ) trong ®ã (a 1 , b1) , (a2 , b2)  X Y. LËp
thµnh mét vµnh vµ gäi lµ tÝch cđa hai vµnh X vµ Y
VÝ dơ: Tập hợp Z Z cùng với hai phép toán:
(a1 , b1) + (a2 , b2) = (a1 +a2 , b1 + b2)
(a1 , b1).(a2 , b2) = ( a1a2 , b1b2 )
trong ®ã (a1 , b1) , (a2 , b2) Z Z
là một vành
Một loại vành con đặc biệt thờng đợc đề cập trong vành đó là Iđêan.

4


Khoá luận tốt nghiệp

Đ2

Khái niệm về Iđêan

2.1
Định nghĩa. Giả sử X lµ mét vµnh. Mét vµnh con A cđa X thoả mÃn
điềukiện: ax A ( xa A ) với mọi a A, mọi x X đợc gọi là Iđêan phải ( Iđêan
trái ) của vành X. Nếu A vừa là Iđêan phải, vừa là Iđêan trái của X thì đợc gọi là
Iđêan của vành X.
Ví dụ: Với X là một vành tuỳ ý, a X. Khi đó:
1) Bộ phËn aX =  ax x  X  lµ một Iđêan phải của X
2) Bộ phận Xa = xa x X là một Iđêan trái của X.
Sau đây là một tiêu chuẩn để nhận biết Iđêan của một vành
2.2 Định lí. Một bộ phận A khác rỗng của vành X là một Iđêan của X nếu và chỉ
nếu các điều kiện sau thoả mÃn :
1) a – b b  A víi mäi a,b  A.

2) xa A vµ ax A víi mäi a A, mäi x  X.
VÝ dô: 1) Bé phËn  0 và bộ phận X là hai Iđêan của vành X. Chúng đợc gọi
là các Iđêan tầm thờng của vành X
2) Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trớc
là một Iđêan của vành các số nguyên Z
3)Tìm tất cả các Iđêan trong vành Z6
Giải:
Đầu tiên ta có hai Iđêan tầm thờng là 0 và Z6 . Gọi I là Iđêan thực sự của
Z6. Khi đó I chứa ít nhất một phần tử m 0 . Ta gọi m1 là số nguyên dơng nhá nhÊt
sao cho m1  I . Víi


I). VËy ta cã:
m m1 q  r



I  q m1

bÊt k× thuéc I, ta cã : m = m1q + r víi 0  r  m-1 suy ra:
r m  m1 q  I  r = 0 ( v× m1 là số nguyên dơng nhỏ nhất trong

q Z6

m



từ đó các Iđêan thực sự của Z6 là, ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) . Mặt

khác ta có:
( 1 ) = ( 5 ) =Z6 , ( 2 ) = ( 4 ) =  0 , 2 , 4  , ( 3 ) =  0 , 3
Tóm lại tất cả các Iđêan của Z6 lµ :  0  ,  0 , 3  ,  0 , 2 , 4  , Z6 .
2.3 Mệnh đề. Nếu C1, C2 lần lợt là các Iđêan trong các vành A1, A2 thì
C1 C2 là một Iđêan của A1 A2 và mọi Iđêan của A1 A2 đều có dạng ấy .
Chứng minh
Giả sử C1, C2 là những Iđêan trong các vành A1, A2 . Ta cần chứng minh rằng
C1 C2 là Iđêan của A1 A2 . ThËt vËy, ta cã C1 C2  v× C1 và C2 khác rỗng. Mặt
khác với ( a1, b1) , ( a2, b2)  C1 C2 th×:
5


Kho¸ ln tèt nghiƯp
( a1, b1) - ( a2, b2) = ( a1- a2, b1- b2)  C1 C2 ( v× a1- a2 C1 , b1- b2 C2 ).
Víi  (a , b )  A1 A2 , ta cã ( a,b ). ( a1, b1) = ( aa1, bb1)  C1 C2 .
(V× aa1 C1 ,

bb1  C2 ). Do đó C1 C2 là Iđêan của A1 A2 .

Để kết thúc bài toán, ta cần chứng minh mọi Iđêan trong A 1 A2 đều có dạng
C1 C2 với C1 là Iđêan của A1, C2 là Iđêan của A2 . Thật vậy, giả sử C1 C2 là Iđêan
của A1 A2 . Khi đó C1 C2 là bộ phận khác rỗng trong A1 A2 do đó C1 , C2 lần lợt
là các bộ phận khác rỗng trong A1 , A2. Ta cã:
+) Víi a1, a2 bÊt k×  C1; Víi b1, b2 bÊt k×  C2 th× ( a1 , b1)  C1 C2 ,
( a2 , b2)  C1 C2  ( a1, b1) - ( a2, b2)  C1 C2  ( a1- a2, b1- b2)  C1 C2

 a1- a2  C1 , b1- b2  C2
+) Víi a bÊt k×  A1, b bÊt k×  A2 th× ( a1, b1).( a,b ) = ( a1a, b1b)  C1 C2 ,
( a,b ). ( a1, b1) = ( aa1, bb1)  C1 C2  a1a, aa1 C1 và b1b, bb1 C2.
Vậy C1,C2 lần lợt là các Iđêan trong A1 , A2.

Ví dụ: Tìm tất cả các Iđêan của Z Z, trong đó Z là vành các số nguyên.
Giải
áp dụng mệnh đề 2.3, ta có I = I1 I2 là Iđêan của Z Z I1, I2 là các Iđêan
của Z I1= m1Z, I2= m2Z (m1, m2 Z ) .
Vậy tất cả các Iđêan của Z Z là (m1Z ) (m2Z ).
2.4 Định lí Giao của một họ bất kì những Iđêan của vành X là một Iđêan của
vành X.
*Nhận xét: Giả sử U là một bộ phận của vành X. Khi đó U chứa trong đó ít
nhất một Iđêan của X, chẳng hạn là X. Theo định lí 2.4 giao A của tất cả các Iđêan
của X chứa U là một Iđêan của X chứa U và là Iđêan bé nhất chứa U, Iđêan này gọi
là Iđêan sinh bởi U. Nếu U =



a1 , a 2 ,..., a n  , ( n

 N * ) thì A đợc gọi là Iđêan sinh

bởi các phần tử a1, a 2 ,..., a n . Iđêan sinh bởi một phần tử đợc gọi là Iđêan chính.
2.5 Định lí Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị và a1, a 2 ,..., a n X. Bộ phận
A của X gồm các phần tử có d¹ng x1a1  x 2a 2  ...  x n a n víi x1 , x 2 ,..., x n X là Iđêan
của X sinh bởi a1, a 2 ,..., a n .
Ví dụ: Trong vành giao hoán, có đơn vị Z. Bộ phận mZ =
Iđêan ( chÝnh ) cđa vµnh Z sinh bëi m.
6

mx x  Z

 lµ

Khoá luận tốt nghiệp
2.6 Định nghĩa Các phần tử a1, a 2 ,..., a n nói trong định lí 2.5 gọi là cơ sở của Iđêan
A.
Iđêan A đợc kí hiệu lµ ( a1, a 2 ,..., a n ). VËy:
n



i 1





( a1, a 2 ,..., a n ) =   x i a i x i  X,  i 1, n .
Hai ví dụ sau đây chứng tỏ rằng có những miền nguyên mà mọi Iđêan của nó
đều có một cơ sở hữu hạn.
Ví dụ: 1) Mọi Iđêan của vành Z đều là Iđêan chính.
Chứng minh
Nếu I là Iđêan của vành Z thì I là một vành con cđa Z  ( I, + ) lµ nhãmcon
cđa nhãm ( Z,+ )  I = mZ (nÕu I khác 0 thì m là số nguyên dơng bé nhất trong
I) . Ngợc lại nếu I = mZ thì I là một Iđêan của Z. Vậy I là Iđêan của Z I = mZ.
Do đó I có cơ sở gồm chỉ một phần tử là m.
2)

Đặt Dp =

m

n


m  Z, m 0, n  Z,  n, p 1 .


( p là một số nguên tố).

a, Chứng minh rằng Dp là một miền nguyên.

b, Chứng minh rằng mọi Iđêan thực sự trong Dp đều có dạng ( pk )
Chøng minh
a) +) Víi  m  Z, m o th× m = m  D p  D p có nhiều hơn một phần tử.
1
+) D p là một vành con của vành các số hữu tỉ Q. Thật vậy : D p là bộ phận
m

m

khác rỗng.Mặt khác víi  1 , 2
n1 n 2
=1 ), th× ta cã :

 D p ( m 1 , m 2  Z  ;(n 1 ,p ) =( n 2 , p )

m1 m 2
mm
m n  m 2 n 1 m1 m 2
= 1 2
,

= 1 2
n1
n2
n1 n 2
n1 n 2
n1 n 2

 Dp ,

(v× ( n 1 n 2 , p ) = ( n 1 , p ) = 1 ).
VËy D p lµ vµnh con cđa vành Q. Do đó D p là vành giao hoán, có đơn vị,
không có ớc của không vì Q là vành giao hoán, có đơn vị, không có ớc của không.
Tóm lại D p là một miền nguyên.
b) Giả sử I là một Iđêan thực sự của D p . Ta cÇn chøng minh I = ( p k ), với k N
*

. Thật vậy : Vì I là Iđêan thực sự của D p nên I chứa ít nhất một phần tử

m
n

0.

Ta gọi m 1 là số nguyên dơng bé nhất của các tử số trong những phân số đó. Khi đó
m1
n1

I ( ( n 1 , p ) = 1 ).
Ta cã: m 1 = p k n 2 , víi k  N vµ ( n 2 , p ) = 1.
Ta sÏ chøng minh k  N*.

m n
Ph¶n chøng: Gi¶ sư k = 0  1 = 1 . 1  I,
n n
ta sÏ cã n 1 sao cho:

1

2

7

(1)


Khoá luận tốt nghiệp
m1
n1

I,

n1
n2

I, a Dp
là Iđêan thùc sù cña D p . VËy k  N* .
( vì

Dp )

a

Dp

I

I = Dp mâu thn víi I

B©y giê ta sÏ chøng minh I = ( pk ), víi k  N* tho¶ m·n (1) :

+) Chøng minh I

( pk):

Gi¶ sư

m
n

 I. Chia m cho m1, ta cã m = m1q + r,

m m1q r m1 n1q r

  .

n
n
n n1 n
n
r
m m nq

m
  1 . 1  Dp ( v× m , 1
n
n
n1 n
n1
n

trong ®ã 0 r m1  1, q 0 . Khi ®ã :


n q
m1 n1q
. n = pk . n2
n1

+) Chøng minh (pk)
ThËt vËy: pk =

n1q
n

 Dp )

r = 0 ( vì m1 là số nguyên dơng bé nhất ). Từ đó:



=

I ,

(pk) ( vì

n 2q
n

Dp )

I

(pk).

m
n

(2)

 I: §Ĩ chøng minh (pk)  I ta chØ cÇn chøng minh pk  I .

m1 m1 n1
=
.
n 2 n1 n 2

 I . VËy (pk )  I.

(3)

Tõ (2) vµ (3) ta suy ra I = ( pk ), ( k  N*).

Nh vËy, ta ®· chøng minh đợc rằng mọi Iđêan của D p đều có một cơ sở hữu
hạn gồm một phần tử (hai Iđêan tầm thờng 0 và D p đều có một cơ sở hữu hạn
gồm một phần tử là 0 và 1).
Mệnh đề sau đây khẳng định rằng tồn tại ít nhất một vành không có Iđêan thực
sự nào.
2.7 Mệnh đề Trong vành M tất cả các ma trận vuông cấp n, n N* với phần tử là
những số thực không có Iđêan thực sự nào.
Chứng minh
Ta có tập M tất cả các ma trận vuông cấp n có một cơ së gåm n2 ma trËn E ij ,
cã phÇn tư 1 tại vị trí ( i,j ) và phần tử 0 tại mọi vị trí khác.
Giả sử vành M có Iđêan thực sự I. Khi đó I chứa ít nhất một ma trận A khác
n

không . Ta có: A = 

i, j 1

a ij E ij

. Do ma trËn A khác không nên suy ra tồn tại hệ tử

a r s 0

(1 r n, 1 s n ) . MỈt kh¸c ta cã:

( a r s )-1 .

E k r .A. E s k

n

= ( a r s )-1. 

i, j 1

E k r . E ij . E s k . a ij

n

= Ek k

Tõ ®ã:  E kk E I ( E là ma trận đơn vị cđa vµnh M ),
k 1

8

 I,  k =

1, n .


Kho¸ ln tèt nghiƯp
suy ra BE = B  I,  B  M  M  I  I = M mâu thuẫn với I là Iđêan thực
sự của M.
Tóm lại trong vành M tất cả các ma trận vuông cấp n với phần tử là những số thực
không có Iđêan thực sự nào.
Nhận xét :
- Mệnh đề 2.7 vẫn còn đúng trong trờng hợp các phần tử là những số phức.
Tổng quát hơn nó còn đúng trong trờng hợp các phần tử lấy trong một trờng tuỳ ý.
- Mệnh đề 2.7 không còn đúng nữa với các Iđêan một phía. Chẳng hạn :

a

0

b
0


a, b A


là Iđêan phải thực sự của vành các ma trận vuông cấp

hai với các phần tử lấy trên trờng A.
Định lí sau đây khẳng định mối liên hệ giữa sự bao hàm của các Iđêan và tính
chia hết trong vành.
2.8 Định lí Cho X là vành giao hoán, có đơn vị . a,b là các phần tử tuỳ ý của X.
Khi đó:
(b) (a) nếu và chỉ nếu a | b.
Chøng minh
 Gi¶ sư ( b )  ( a ), ta cÇn chøng minh a | b:
Ta cã b  ( b )  (a)  b  (a)  b = ax , x  X a | b.
Đảo lại, giả sử a | b, ta cần chứng minh (b) (a):
Vì a | b nªn cã x  X sao cho: b = ax  (a) . Tõ ®ã víi  y  (b)  y = b.y1, y1 
X suy ra y = ax y1= a[x y1]  (a) hay lµ (b) (a) . Ta có điều phải chứng minh.
2.9 Mệnh đề. Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. B và C là những Iđêan trong X.
Khi đó tập hỵp B + C =  b  c b B, c C là một Iđêan trong X.
Chøng minh
DƠ thÊy B + C lµ mét bé phËn khác rỗng trong X. Mặt Khác ta có:
Với mọi a, b  B + C nghÜa lµ a = b 1 + c1, b = b2 + c2 ở đây b1 , b2  B ; c1 , c2  C,

víi  x  X th×:
a – b b = (b1 + c1) – b (b2 + c2) = (b1 - b2) + (c1 + c2)  B + C
x.a = x(b1 + c1) = x b1 + xc1  B + C . Do ®ã B + C là Iđêan của vành X.
2.10 Định nghĩa 1) Cho vành giao hoán X. Một phần tử b
của các phần tö a1, a2, . . . ,an  X nÕu b | ai ,  i = 1, n .

9

 X đợc gọi là ớc chung


Kho¸ ln tèt nghiƯp
2) Mét íc chung d cđa c¸c phÇn tư a1, a2, . . . ,an  X sao cho mỗi ớc
chung của a1, a2, . . . ,an đều là ớc của d, thì đợc gọi là íc chung lín nhÊt cña a1,
a2, . . . ,an .
Ta kÝ hiÖu: d = (a1, a2, . . . ,an).
2.11 Mệnh đề Trong một vành giao hoán, có đơn vị X, tổng (b) + (c) của hai Iđêan
chính tự nó là một Iđêan chính (d) khi và chỉ khi d lµ íc chung lín nhÊt cđa b vµ c.
Chøng minh
Giả sử d là ớc chung lớn nhất của b và c, ta cần chứng minh rằng (d) = (b) +(c):
+) Chøng minh (b) + (c)  (d): V× d | b , d | c  (b)
Do ®ã víi x tuú ý thuéc (b) + (c) th×:
x = bb1+cc1  (d). VËy (b) + (c)

(d), (c)  (d)  b, c  (d).

 (d).

(1)

+) Chøng minh (d)  (b) + (c): Vì d = ( b,c ) nên r,s  X sao cho: d = br + cs.
Khi ®ã:  y  (d)  y = dy1, y1  X  y = bry1 + csy1  (b) + (c).
VËy (d)

(b) + (c).

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra (d) = (b) + (c).
Đảo lại, giả sử (d) = (b) + (c), ta cÇn chøng minh d = ( b, c ):
Ta cã: b = b.1 + c.0
cã d | c.

 (b) + (c)

 b  (d)  b = db1  d | b. LËp luËn t¬ng tù ta

Ta l¹i cã: d  (d)  d  (b) + (c)  d = bb1 + cc1, víi b1, c1  X. Do ®ã d = ( b, c ).
2.12 Mệnh đề Cho X là vành giao hoán có đơn vị. B và C là các Iđêan trong X lần
lợt có cơ sở là b1, b2, . . . , bn ; c1, c2, . . . , cm . Khi đó Iđêan B + C có cơ sở là các
phần tử b1, b2, . . . , bn, c1, c2, . . . , cm .
Chøng minh
Ta cÇn chøng minh r»ng: B + C = (b1, b2, . . . , bn , c1, c2, . . . , cm):
Gäi x bÊt k×  B + C suy ra x = b + c, víi b  B, c  C. Do b  B, c  C nªn ta
cã:
n

m

i 1

j 1

b =  b i x i , c =  c j y j , víi xi, yj  X
10


Kho¸ ln tèt nghiƯp
n

m

i 1

j 1

 x =  bixi +  c jy j

 x  (b1, b2, . . . , bn , c1, c2, . . . , cm).

 (b1, b2, . . . , bn , c1, c2, . . . , cm).

VËy B + C

ChiÒu ngợc lại (b1, b2, . . . , bn , c1, c2, . . . , cm)

 B + C là hiển nhiên.

Tóm lại ta có B + C = (b1, b2, . . . , bn , c1, c2, . . . , cm).
Tõ mƯnh ®Ị 2.12, ta cã c«ng thøc sau:

(b1, b2, . . . , bn ) + ( c1, c2, . . . , cm) = (b1, b2, . . . , bn , c1, c2, . . . , cm).
2.13 Mệnh đề Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. B và C lần lợt là các Iđêan
trong X.khi đó tập hợp:
B.C =

b1c1  b 2c2  ...  b m cm

b i  B; c i  C, i 1, m, m N *



là một Iđêan của

vành X. (nó gọi là Iđêan tích)
Chứng minh:
Dễ thấy rằng B.C là bộ phận khác rỗng của vành X. Mặt khác với a1, a2  B.C
n

m

i 1

j 1

th× a1 =  b i c i , a2 =  b j c j , (n, m  N*) trong ®ã bi, bj  B ; ci, cj  C. Tõ ®ã:
n

m

n

i 1

j 1

i 1

a1 – b a2 =  b i c i +  b' j c j  B.C , ( b' j  b j ) .Ta l¹i cã: xa 1 =  xb i c i  B.C .
Do đó B.C là Iđêan của vành X.

2.14 Mệnh đề Nếu các Iđêan B và C nói trong mệnh đề 2.13 có các cơ sở lần lợt
là b1, b2, . . . , bn ; c1, c2, . . . , cm. Khi đó n.m phần tử b1c1, b1c2, . . . , b1cm,
b2c1, . . . ,b2cm , . . . , bnc1, . . . , bncm là cơ sở của Iđêan B.C.
Chứng minh
Theo giả thiết ta có B = (b1, b2, . . . , bn ), C = ( c1, c2, . . . , cm) .
m1

Tõ ®ã víi  a  B.C  a =  x i y i , víi xi  B , yi  C . Do xi  B , yi  C nªn ta
i 1

m

n

cã: xi = 

j i 1

bj xj
i

m1  n

m1  n



m







i




b x 
c y 
c y
i , yi =  l i l i suy ra: a =    j i j i    l i l i  =
l i 1
i 1 j 1
l 1
m



=     b j i c l i x j i y l i  ,
i 1 j i 1 l i 1



 x j , yl  X  .
i

i

11

i


Khoá luận tốt nghiệp
Do đó a (b1c1, b1c2, . . . , b1cm, b2c1, . . . ,b2cm , . . . , bnc1, . . . , bncm ) .
VËy B.C

 (b1c1, b1c2, . . . , b1cm, b2c1, . . . ,b2cm , . . . , bnc1, . . . , bncm ) .

Đảo lại với  a  (b1c1, b1c2, . . . , b1cm, b2c1, . . . ,b2cm , . . . , bnc1, . . . , bncm ), ta
n m

cã : a =    b i c j x ij , trong ®ã x ij
i 1 j 1

m
,

=  c j x ij
j 1

X

n



m



n



i 1

 a =  b i   c j x ij  =  b i c i, , víi c i
i 1

 j 1

 C. Do ®ã a  B.C.

VËy (b1c1, b1c2, . . . , b1cm, b2c1, . . . ,b2cm , . . . , bnc1, . . . , bncm )  B.C.
Tãm l¹i ta cã B.C = (b 1c1, b1c2, . . . , b1cm, b2c1, . . . ,b2cm , . . . , b nc1, . . . ,
bncm ) .

2.15 Mệnh đề Trong vành giao hoán X, gọi B:C là tập hợp tất cả các phần tử b
sao cho cb thuộc B mỗi khi c thuộc C.Khi đó :
1) Nếu B và C là những Iđêan trong X, thì B:C cũng là một Iđêan trong X ( nó
gọi là Iđêan thơng ).
2) ( B 1 B 2 ):C = ( B 1 : C )  ( B 2 : C), víi B 1 , B 2 , C là các Iđêan của
vành X.
Chứng minh
Ta cã : B:C = 

1)

b cb  B, c  C

.Dễ thấy B:C khác rỗng.

Gọi a 1 , a 2  B:C  c a 1 , c a 2  B,  c  C  c a 1 -c a 2  B,  c  C
 c(a 1 - a 2 )

 B1,

 B,

c

 C . Víi

x

 X th× ta cã cx  C,

c

C

 cxa 1

 c C. Vậy B:C là Iđêan của X.

( B 1  B 2 ):C  ca  B 1  B 2 ,  c  C  ca  B 1 , ca  B 2 ,
 c  C  a  ( B 1 : C )  ( B 2 : C). VËy ( B 1  B 2 ):C = ( B 1 : C )  ( B 2 :
2)

a

C).
2.16 MƯnh ®Ị Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. c 1 , c 2 , ... , c m , x là các phần
tử tuỳ ý trong vành X. Khi ®ã :
1) (c 1 , c 2 , ... , c m ) = (c 1 +xc 2 , c 2 ,..., c m ).
2) ( xc 1 , c 2 , ... , c m ) = (c 1 , c 2 , ... , c m ). ( x  o , x  1  X).
Chøng minh
12


Kho¸ ln tèt nghiƯp
1)

m

Víi  a  (c 1 , c 2 , ... , c m ) , ta cã a =  c i x i , x i  X.Tõ ®ã:
i 1

m

a =  c i y i + ( c 1 + xc 2 )x 1 , víi y 2 = x 2 - xx 1 c 2 , y i = x i ,  i= 3, m
i 2

 a  (c 1 +xc 2 , c 2 ,..., c m ). VËy (c 1 , c 2 , ... , c m )

 (c 1 +xc 2 , c 2 ,..., c m

Víi  a  (c 1 +xc 2 , c 2 ,..., c m ), ta cã:
m

m

i 2

i 1

a =  c i x i + ( c1 + xc2)x1 =  c i x i + c2(x2 + xx1)  a  (c 1 , c 2 , ... , c m ) .
i 2

VËy (c 1 +xc 2 , c 2 ,..., c m )



(c 1 , c 2 , ... , c m ).

Do ®ã (c 1 +xc 2 , c 2 ,..., c m ) = (c 1 , c 2 , ... , c m ).
2) LËp luận tơng tự ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ: Giản ớc cơ sở của các Iđêan sau đây trong R[x,y]:
1) (x2 + y, 3y, 4x3 + x2)
2) (x2 + 3xy + y2, 2x2 – b y2, x2 + 6xy, x3 + y2).
Gi¶i
1) Ta cã (x2 + y, 3y, 4x3 + x2) = (x2 + y, y, 4x3 + x2) = (x2, y, 4x3 + x2) =
=(x2, y, 4x3 ) = (x2, y, x3 ) = (x2, y, 0) = (x2, y).
Tãm l¹i ta cã: (x2 + y, 3y, 4x3 + x2) = (x2, y).
2) Ta cã: (x2 + 3xy + y2, 2x2 – b y2, x2 + 6xy, x3 + y2)
= (3x2 + 3xy, 2x2 – b y2, x2 + 6xy, x3 + 2x2)
= (x2 + xy, 2x2 – b y2, 5xy, x3 + 2x2)
= (x2 , 2x2 – b y2, xy, x3 + 2x2) = (x2 , y2, xy, 0) = (x2 , y2, xy).
Tãm l¹i ta cã: (x2 + 3xy + y2, 2x2 – b y2, x2 + 6xy, x3 + y2) = (x2 , y2, xy).

13

).


Khoá luận tốt nghiệp
Đ 3 Vành thơng và đồng cấu vành

3.1 Vành thơng
3.1.1 Định lí Nếu A là một Iđêan của vành X thì:
1) Lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào các lớp x + A và y + A mà không phụ thuộc
vào sự lựa chọn của các phần tử đại diện x, y từ các lớp đó.
2) X/A cïng víi hai phÐp to¸n:
( x + A, y + A )  x + y + A
( x + A, y + A )  x y + A
là một vành gọi là vành thơng của X trên A.
Ví dụ: Vành thơng của Z trên Iđêan nZ gọi là vành các số nguyên mod n.

Phép cộng và phép nhân trong Z/nZ xác định bởi:
( x + nZ, y + nZ )  x + y + nZ
( x + nZ, y + nZ )  x y + nZ
Chú ý: Để đơn giản trong việc trình bày, ngời ta thêng kÝ hiÖu x + nZ b»ng x . VËy
ta cã: x  y x  y , x y xy .
3.2 Định nghĩa Một đồng cấu (vành) là một ánh xạ từ một vành X đến một vành Y
sao cho
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a)f(b) , víi  a, b  X.
NÕu X = Y thì đồng cấu f gọi là tự đồng cấu của X.
Nếu đồng cấu f là một toàn ánh (đơn ánh) thì ta bảo f là toàn cấu (đơn cấu).
Nếu đồng cấu f là một song ánh thì ta bảo f là đẳng cấu.
Đặt Im f = f(X), Ker f =  x  X f (x) 0 Y  (0Y là phần tử không trong vành Y). Khi
đó Im f gọi là ảnh của đồng cấu f, Ker f gọi là hạt nhân của đồng cấu f.
Ví dụ: Giả sử A là một Iđêan của vành X. ánh xạ h: X X / A
x x+A
là một đồng cấu vành từ vành X đến vành thơng X/A. Đồng cấu này là toàn cấu, gọi
là toàn cấu chính tắc.
3.3 Định lí Giả sử X, Y, Z là những vành, f: X Y, g: Y Z là những đồng cấu.
Thế thì ánh xạ: gf: X Z cũng là một đồng cấu vành. Đặc biệt tích của hai đẳng
cấu là một đẳng cấu.
3.4 Định lí Giả sử f: X Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y. ThÕ th×:
1) f(0) = 0
2) f(-x) = -f(x) víi x X.
3.5 Định lí Giả sử f: X Y là một đồng cấu từ vành X đến vµnh Y, A lµ mét vµnh
con cđa vµnh X, B là một Iđêan của Y. thế thì:
14


Khoá luận tốt nghiệp

1) f(A) là một vành con của Y
2) f-1(B) là một Iđêan của X.
3.6 Hệ quả Giả sử f: X Y là một đồng cấu từ vành X đến vành Y. Thế thì Imf là
một vành con của Y và Kerf là một Iđêan của vành X.
3.7 Định lí Giả sử f: X Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y. Thế
thì:
1) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf = Y
2) f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf = 0
3.8 Định lí Giả sử f là một đồng cấu từ vành X đến vành Y, p: X X/Kerf là toàn
cấu chính tắc từ vành X đến vành thơng của X trên Kerf. Thế thì:
1) Có một đồng cấu duy nhất:

f

: X/Kerf Y sao cho tam giác

f
X

Y
p

2) Đồng cấu

f

f

X/Kerf
là giao hoán, nghĩa là

là một đơn cấu và Im f = f(X).

f

.g = f.

3.9 Hệ quả Với mọi đồng cấu f: X Y từ vành X đến vành Y, ta có:
f(X) X/Kerf .
Sau đây chúng ta nêu một định lí nói lên mối liên hệ giữa vành và các Iđêan
của nó.
3.10 Định lí Giả sử một vành R chứa các Iđêan B vµ C sao cho B  C =  0 , B + C
= R. Khi đó R đẳng cấu với tích của B và C.
Chứng minh
Xét tơng ứng f: B

C R

(b,c) b + c. Ta lần lợt chứng minh:
1) f là một ánh xạ: (b,c), (b1,c1)  B C sao cho:
(b,c) = (b1,c1)  b = b1 , c = c1
 b+ c = b1 + c1 f(b,c) = f(b1, c1). Vậy f là ánh xạ.

2) f là đồng cấu vành: Với mọi (b,c), (b1,c1)  B  C, ta cã:
+) f((b,c)+ (b1,c1)) = f(b+b1, c+c1) = b+b1+ c+c1= (b+c) + (b1+c1) =
= f(b,c) + f(b1,c1).
+) f((b,c).(b1,c1)) = f(bb1, cc1) = bb1 + cc1 + bc1+ cb1
( V× bc1, cb1  B  C=  0 nªn bc1 = cb1 = 0).
15

Khoá luận tốt nghiệp
Từ đó, f((b,c).(b1,c1)) = (b + c).(b1 + c1) = f(b,c).f(b1,c1). Vậy f là đồng cấu vành.
3) f là song ánh :
+) f là đơn ánh: Kerf = 

( b, c)  BC f ( b, c) 0

=

( b, c)  B C b  c 0

=

(b, c)  BC b  c

=

(b, c)  BC b c 0 =



 =

(b, c)  BC b  c

=



 =



( b, c)  BC b  c, b  B C



(0,0) . Vậy f là đơn ánh ( Theo định lí 3.7 )

+) f là toàn ánh: Víi  a  R  a  B + C  a = b + c, víi b  B, c C
a = f(b,c), ở đây (b,c)

B C

f là toàn

ánh.
Vậy f là song ánh.
Tóm lại R B C .
3.11 Định nghĩa Giả sử X là vành giao hoán. Một Iđêan A X của X gọi là Iđêan
tối đại nếu và chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A. Một Iđêan
P X của X gọi là Iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu với u, v X tích uv P thì u P
hoặc v P.
Ví dụ: Trong vành các số nguyên Z. Iđêan pZ (p là số nguyên tố) vừa là Iđêan
nguyên tố, vừa là Iđêan tối đại của vành Z.Thật vậy:
+) Với x, y Z và xy pZ thì xy = pa, a  Z  xy p  x p hc y p
 x = px1 hc y = py1  x  pZ hc y  pZ  pZ là Iđêan nguyên tố, (vì pZ
Z).
+) Việc kiểm tra pZ là Iđêan tối đại sẽ trở nên dễ dàng khi chúng ta sử dụng
mệnh đề 3.13 dới đây.
3.12 Mệnh đề Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. Khi đó nếu A là Iđêan tối đại

của X thì A sẽ là Iđêan nguyên tố của X.
Chứng minh
Giả sử A là Iđêan tối đại của X, ta cần chứng minh A là Iđêan nguyên tố của
X:
Thật vậy: giả sư x, y  X vµ xy  A. Khi đó:

+) Nếu x A thì tính nguyên tố của A đà đựơc chứng minh.
+) Nếu x A. Ta sẽ chøng minh y  A. ThËt vËy, dÔ chøng minh ®ỵc r»ng:
A + xX =  a  xz a A, z X là một Iđêan của vành X, Iđêan này chứa A
và A + xX A nên suy ra A + xX = X (vì A là Iđêan tối đại), vì thế a1 A, z1 
16


Kho¸ ln tèt nghiƯp
X sao cho e = a1 + xz1, (vì X chứa đơn vị e). Từ đó y = ey = a 1y + xz1y = a1y + (xy)z1
A, (vì a1y và xy A). Vậy A là Iđêan nguyên tố của X.
Sử dụng mệnh đề 3.12 ta có mệnh đề sau đây:
3.13 Mệnh đề Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị e. P, A lần lợt là các Iđêan
của vành X. Khi đó:
1) X/P là miền nguyên khi và chỉ khi P là Iđêan nguyên tố
2) X/A là trờng khi và chỉ khi A là Iđêan tối đại.
Ví dụ: Xét Q[x] là vành các đa thức với hệ số hữu tỷ. Khi đó víi d  N, d >1, d
kh«ng cã íc chÝnh phơng thì ( x2-d) là Iđêan tối đại và nguyên tố của Q[x].
Chứng minh
+) Đầu tiên, ta dễ thấy rằng quy t¾c h: Q[x]  Q[ d ]
f(x)  h(f(x)) = f(
(Trong ®ã Q[ d ] =  f ( d ) f (x)  Q x   ) , lµ toµn cÊu vµnh.

d

)

+) Ta cã Ker h =  f (x)  Q x f ( d ) 0 = ( x2-d). Từ đó, theo định lí cơ bản
của đồng cấu vành, ta có: h(Q[x]) Q[x]/Kerh suy ra:
Q[ d ]  Q[x]/(x2 – b d).
Do Q[ d ] là một trờng nên theo mệnh đề 3.13, ( x2 b d) vừa là Iđêan tối đại
vừa là Iđêan nguyên tố của Q[x].
3.14 Định lí Cho X, Y là các vành giao hoán, P là Iđêan nguyên tố của Y.
f:X Y là đồng cấu vành. Khi đó f-1(P) là Iđêan nguyên tố của vành X.
Chứng minh
+) Theo định lí 3.6, ta có f-1(P) là Iđêan của vành X.
+) Giả sử x1, x2 X và x1.x2  f-1(P) th× f(x1.x2)  P  f(x1).f(x2)  P  f(x1)
 P hc f(x2)  P  x1 f-1(P) hoặc x2 f-1(P) suy ra f-1(P) là Iđêan nguyên tố của
vành X.

17


Khoá luận tốt nghiệp

Chơng II

Số học trong vành đa thức A[x]
Đ1 ứơc chung lớn nhất, Bội chung nhỏ nhất và đa thức

bất khả quy trong vành A[x].

Trong chơng này, chúng ta luôn giả thiết rằng A là một trờng. Ngoài ra chúng
ta cũng không nhắc lại về các khái niệm quen thuộc nh: Vành đa thức A[x], Iđêan
của vành A[x], Iđêan chính của vành A[x], vành Ơ clit, . . .

4.1 Định nghĩa Một miền nguyên X gọi là vành chính nếu mọi Iđêan của nó là
Iđêan chính
Ví dụ: Miền nguyên Z là một vành chính.
4.2 Định lí Nếu A là một vành Ơclit thì A là một vành chính.
4.3 Hệ quả Nếu A là một trờng thì vành đa thức A[x] là một vành chính
Hệ quả 4.3 đợc suy ra một cách trực tiếp từ định lí 4.2 .
4.4 Định nghĩa 1) Một đa thức khác không thuộc vành A[x] đợc gọi là ớc chung
của các đa thức f1(x), f2(x), . . . , fn(x)  A[x] ( n N * )khi nó là ớc của mỗi đa thøc
fi(x) (i=1, n ).
2) Mét íc chung d(x) cđa c¸c ®a thøc f1(x), f2(x), . . . , fn(x)  A[x]
sao cho mỗi ớc chung của f1(x), f2(x), . . . , fn(x) đều là ớc của d(x), thì đợc gọi là ớc
chung lớn nhất (ƯCLN) của f1(x), f2(x), . . . , fn(x).
Khi ®ã ta kÝ hiƯu: d(x) = ¦CLN(f1(x), f2(x), . . . , fn(x)).
4.5 HƯ qu¶ NÕu d1(x) =¦CLN (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)),
d2(x) =¦CLN(f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) th× ta cã: d1(x) = ad2(x) trong ®ã a  A, a 0.
Chøng minh
Theo định nghĩa 4.4 ta có: d1(x) | d2(x) và d2(x) | d1(x) suy ra d2(x) =
d1(x).g1(x) vµ d1(x) = d2(x). g2(x)  d2(x) = d2(x). g1(x).g2(x)

 0, A[x] lµ miỊn nguyên nên ta phải có:
1- g1(x).g2(x) = 0 g1(x).g2(x) = 1  g2(x) a  A, a 0 vµ g1(x) = a-1. VËy ta cã
d1(x) = ad2(x) trong ®ã a  A, a 0.
 d2(x)[1- g1(x).g2(x)] = 0. Do d2(x)

4.6 Định nghĩa 1) Một đa thức thuộc vành A[x] đợc gọi là bội chung của các đa
thức f1(x), f2(x), . . . , fn(x)  A[x] khi nã lµ bội chung của mỗi đa thức fi(x) (i=1, n ).
2) Một bội chung m(x) của các đa thức f 1(x), f2(x), . . . , fn(x) sao
cho mỗi bội chung của f1(x), f2(x), . . . , fn(x) đều là bội của m(x) đợc gọi là bội
chung nhỏ nhất (BCNN) của các đa thức đó.
18

Khoá luận tốt nghiệp
Khi đó ta kí hiệu : m(x) =BCNN [f1(x), f2(x), . . . , fn(x)].
LËp luËn mét các tơng tự hệ quả 4.5 ta có hệ quả sau:
4.7 HƯ qu¶ NÕu m1(x) = BCNN[f1(x), f2(x), . . . , fn(x)],
m2(x) = BCNN [f1(x), f2(x), . . . , fn(x)] th× ta cã: m1(x) = am2(x) víi a  A, a 0.
B©y giê mét c©u hái rÊt tù nhiên đợc đặt ra là liệu ƯCLN và BCNN của các đa
thức f1(x), f2(x), . . . , fn(x) có tồn tại hay không.
Hai mệnh đề sau đây sẽ trả lời câu hỏi này
4.8 Mệnh đề Giả sử f1(x), f2(x), . . . , fn(x) A[x]. Khi đó ƯCLN của các đa thức
f1(x), f2(x), . . . , fn(x) luôn tồn tại.
Chứng minh
n

Theo mệnh đề 2.9 thì ta có fi ( x) .A[x] là một Iđêan của vành A[x].
i 1

n

Vì A[x] là một vành chính nên ta suy ra Iđêan fi ( x) .A[x] là Iđêan chính, nghÜa
i 1

n

lµ d(x)  A[x] (d(x) 0) sao cho:  fi ( x) .A[x] = d(x).A[x]

(1)

i 1

n

V× d(x)  d(x).A[x] = fi ( x) .A[x] nên các đa thức u1(x), u2(x), . . . , un(x) 
i 1

A[x] sao cho: d(x) = u1(x) f1(x) + u2(x) f2(x) + . . . + un(x)fn(x).

(2)

B©y giê, chóng ta h·y chøng tá d(x) là một ƯCLN của các đa thức f 1(x), f2(x), . . . ,
fn(x). ThËt vËy: Theo (1) ta cã f1(x), f2(x), . . . , fn(x)  d(x) .A[x]  fi(x) =
d(x).gi(x),  i=1, n  d(x) | fi(x) , i=1, n . Mặt khác, theo (2) nÕu g(x) | fi(x),
 i=1, n th× g(x) | d(x).
VËy d(x) là ƯCLN của các đa thức f1(x), f2(x), . . . , fn(x).
4.9 Mệnh đề Giả sử f1(x), f2(x), . . . , f n(x)
f1(x), f2(x), . . . , fn(x) luôn tồn tại.

A[x]. Khi đó BCNN của các đa thức

Chứng minh
n

Theo định lý 2.4, ta có fi ( x ) .A[x] là một Iđêan của vành đa thức A[x]. Vì
i
1

A[x] là vành chính nên suy ra tồn tại đa thức m(x) A[x] sao cho:
n

fi ( x ) .A[x] =m(x).A[x]

(3)

i
1

Ta h·y chøng tá m(x) lµ BCNN cđa các đa thức f 1(x), f2(x), . . . , fn(x). ThËt vËy:
n

Theo (3), ta cã m(x)  fi ( x ) .A[x]  m(x)  fi ( x) .A[x], víi  i=1, n
i
1

19


Kho¸ ln tèt nghiƯp
 m(x) = fi (x ) g i (x ) , víi  i=1, n , g i (x )  A[x]

 m(x) lµ béi chung cđa các đa thức f1(x), f2(x), . . . , fn(x).

Mặt khác, nếu h(x) là bội chung của các đa thức f1(x), f2(x), . . . , fn(x) th× ta cã:
h(x) = fi ( x) h i (x) , víi  i=1, n , h i (x)  A[x]  h(x)
 h(x)



n

fi ( x ) .A[x]  h(x)

i
1

 m(x).A[x]

 fi (x) .A[x], víi

 i=1, n

 h(x) = m(x).m1(x), m1(x)



A[x]  h(x) là bội của m(x). Do đó m(x) = BCNN[f1(x), f2(x), . . . , fn(x)].
Chó ý: Trong trêng hỵp f1(x) = . . . = fn(x) = 0 th× BCNN[f1(x), f2(x), . . . , fn(x)] = 0
Nh vËy trong trờng hợp A là một trờng thì A[x] là một vành chính và khi đó luôn
tồn tại ƯCLN, BCNN của các đa thức thuộc vành A[x]. Một cách tổng quát mọi
vành chính đều có ƯCLN, BCNN. Từ hệ quả 4.5 và hệ quả 4.7 chúng ta thấy rằng
các ƯCLN và BCNN của các đa thức f1(x), f2(x), . . . , fn(x) A[x] sai khác nhau
một nhân tử a A, a 0, do đó có thể coi là bằng nhau nếu không kể đến nhân tử
đó.
Trong số học để tìm ƯCLN của các số nguyên chúng ta thờng sử dụng một định
lí rất quan trọng đó là định lÝ vỊ phÐp chia cã d. T¬ng tù nh vËy để tìm ƯCLN của
các đa thức thuộc vành A[x], chúng ta thờng sử dụng định lí sau đây:
4.10 Định lí Giả sử A là một trờng, f(x) và g(x) là hai đa thức thuộc vành A[x] (g(x)
0), thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuéc A[x] sao cho:
f(x) = g(x) q(x) + r(x), víi deg r(x) N* )

VÝ dô: Tìm ƯCLN của hai đa thức xm - 1 và xn – b 1 trong vµnh R[x] (m, n

Giải
Không mất tính tổng quát ta giả sử m n. áp dụng định lí 4.10 cho xm - 1 và
xn – b 1, ta cã: xm - 1 = (xn – b 1)q(x) + r(x), trong ®ã deg r(x) < deg g(x) nếu r(x)
0. Mặt khác theo định lí về phép chia có d trong vành Z, ta cã: m = nq + s,
víi 0 s xm - 1 = xnq+ s – b 1 = (xnq – b 1)xs + (xs – b 1) = (xn – b 1)q1(x) + (xs – b 1), víi 0 s
Tõ tÝnh duy nhÊt cđa ®a thøc r(x) ta suy ra: r(x) = (xs – b 1). Tõ ®ã ta cã:
(xm - 1 , xn – b 1) = (xn - 1 , xs – b 1). LËp luËn mét cách tơng tự nh trên sau hữu hạn
bớc chúng ta cã:

20