Nghiên cứu sự chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh nhằm tìm ra bằng chứng khẳng định sự tồn tại của radion và khẳng định được tính đúng đắn của mô hình Randall - Sundrum

Header Page 1 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VÌ THỊ BÍCH THU

CHUYỂN HÓA PHOTON - RADION
TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH TRONG
MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Xuân Hòa, năm 2016

Footer Page 1 of 123.


Header Page 2 of 123.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VÌ THỊ BÍCH THU

CHUYỂN HÓA PHOTON - RADION
TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH TRONG MÔ
HÌNH RANDALL - SUNDRUM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã ngành: 60 44 01 03

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
TS. NGUYỄN HUY THẢO

Xuân Hòa, năm 2016

Footer Page 2 of 123.


Header Page 3 of 123.

LỜI CÁM ƠN
Để hoàn thành Luận văn này, tôi đã nhận được sự hỗ trợ từ giáo viên
hướng dẫn, thầy cô, gia đình và bạn bè.
Đầu tiên tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến TS Nguyễn Huy Thảo người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, để tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô giáo Khoa Vật lý, trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2, đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vật lý từ cổ điển đến
hiện đại, làm nền tảng để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Vật lí lý thuyết
và vật lí toán, khóa 18, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã cùng tôi trao đổi
những kiến thức đã học và các vấn đề khác trong cuộc sống.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giáo viên, nhân viên,
trường phổ thông dân tộc nội trú tỉnh Sơn La và các thành viên trong gia đình,
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học này.
Xuân Hòa, ngày 15 tháng 6 năm 2016

Vì Thị Bích Thu

Footer Page 3 of 123.


Header Page 4 of 123.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2016

Vì Thị Bích Thu

Footer Page 4 of 123.


Header Page 5 of 123.

Mục lục
DANH SÁCH CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

1

MỞ ĐẦU

2

1 MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH

CHUẨN
6
1.1. MÔ HÌNH CHUẨN

6

1.2. CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

9

2 MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

11

2.1. LÝ THUYẾT KALUZA - KLEIN

11

2.2. KHÁI QUÁT MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM

12

3 SỰ CHUYỂN HÓA PHOTON - RADION TRONG TỪ TRƯỜNG
TĨNH

29

3.1. TRƯỜNG RADION

29

3.2. CƠ CHẾ GOLDBERGER - WISE

30

3.3. SỰ TRỘN RADION - HIGGS

32

3.4. KHẢO SÁT TIẾT DIỆN CHUYỂN HÓA PHOTON-RADION
TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH
35
KẾT LUẬN

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39

Footer Page 5 of 123.


Header Page 6 of 123.

DANH SÁCH CÁC THUẬT NGỮ
VIẾT TẮT
e
µ
τ

νe
νµ
ντ
u
d
c
s
t
b
GR
PGW
QCD
GWS
SM
VEV
CERN
LHC
WMAP
V-A
DM
RS
KK
MHC

electron
muon
tau
electron neutrino
muon neutrino
tau neutrino

up
down
charm
strange
top
bottom
General Relativity
Primordial Gravitional Wave
Quantum ChromoDynamics
Glashow-Weiberg-Salam
Standard Model
Vacuum Expectation Value
European Organization for Nuclear Research
Large Hadron Collider
Wilkinson Microwave Anisotropy Probe
Vecto-Axial
Dark Matter
Randall - Sundrum
Kaluza-Klein
Mô hình chuẩn

1

Footer Page 6 of 123.


Header Page 7 of 123.

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ khi con người xây dựng được một hệ thống các ý tưởng và phương pháp
suy luận chính xác để diễn tả và giải thích thế giới bên ngoài, thì theo nghĩa đó
họ đã tạo dựng nên một thực tại thiên nhiên mà hạt cơ bản và vũ trụ là thí dụ
điển hình về cái mà chúng ta hiểu biết về hai thái cực vô cùng nhỏ cũng như vô
cùng lớn đó.
Hạt cơ bản là một dạng vật chất tưởng như không sao chia cắt nổi, và sự
hiểu biết về chúng được phát triển theo thời đại do nhận thức của con người.
Vật lý hiện đại là phần Vật lý mới được phát triển từ đầu thế kỷ 20, khởi
sinh bằng lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck (1901); Lý thuyết
lượng tử ánh sáng và thuyết tương đối hẹp của Albert Einstein (1905), giúp ta
có những cái nhìn mới về thế giới vật chất. Trên cơ sở các tiến bộ vượt bậc, do
sự nỗ lực không ngừng của các nhà vật lý hiện đại, nghiên cứu về các mặt lý
thuyết, thực nghiệm và mô hình hóa, trên xu hướng hợp nhất các tương tác.
Vấn đề nổi trội trong thế giới vật lý hiện đại ngày nay được nhiều nhà khoa học,
quan tâm nghiên cứu đó là “Mô hình chuẩn” và các mở rộng của mô hình này.
Năm 1974, lần đầu tiên John Iliopoulos đề xuất “Mô hình chuẩn”. Theo
mô hình này, tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh được mô tả
thống nhất bởi một lý thuyết trường lượng tử dựa trên nhóm đối xứng chuẩn
SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Đến năm 1978, tại Hội nghị Quốc tế về Vật lý năng
lượng cao ở Nhật Bản, những khẳng định thực nghiệm về “Mô hình chuẩn” đã
được đánh giá và xác nhận.
Vật chất trong tự nhiên vận động là do bốn lực cơ bản: Tương tác hấp
dẫn tác dụng ở thang vĩ mô, được mô tả thành công bởi thuyết tương đối rộng.
Tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh tác dụng ở thang vi mô
2

Footer Page 7 of 123.


Header Page 8 of 123.

MỞ ĐẦU

được mô tả thành công bởi mô hình chuẩn [1].
Lý thuyết tương đối rộng và mô hình chuẩn là những nền tảng cơ sở của
vật lý hiện đại cho giải thích các hiện tượng tự nhiên với độ chính xác rất cao.
Mô hình chuẩn là sự kết hợp hai lý thuyết cơ sở: GWS (Glashow-WeibergSalam) và QCD (Quantum ChromoDynamics), dựa trên đối xứng chuẩn SU (3)C ⊗
SU (2)L ⊗ U (2)Y là nền tảng của vật lý hiện đại [3]. Các fermion trong SM được
xếp theo các thế hệ: thế hệ 1 νe , e, u, d, thế hệ 2 νµ , µ, c, s và thế hệ 3 ντ , τ, t, b.
Trong mô hình chuẩn, neutrino chỉ có phân cực trái do thực nghiệm không thấy
thành phần phải. Các hạt trái được xếp vào lưỡng tuyến SU (2)L và hạt phải
là đơn tuyến của nhóm này. Quark là tam tuyến của SU (3)C , trong khi lepton
không mầu.
Sau khi công bố thuyết tương đối hẹp, Einstein xây dựng thuyết tương đối
rộng cho hấp dẫn và hoàn thành năm 1916. Thuyết tương đối rộng là cơ sở để
tính toán với vũ trụ học ngày nay. Kết hợp với mô hình chuẩn, hai lý thuyết này
cho giải thích thành công nhiều vấn đề của tự nhiên từ siêu nhỏ đến siêu lớn.
Tuy những thành công trên nhưng SM cũng có nhưng hạn chế [3]. Mô hình
chuẩn không giải thích được những vấn đề liên quan đến số lượng và cấu trúc
các thế hệ fermion. Đặc biệt, mô hình chuẩn không giải quyết được vấn đề phân
bậc, không mô tả được loại tương tác thứ tư của vật chất, tương tác hấp dẫn.
Ngày nay, để giải thích được các câu hỏi mới nảy sinh từ những nghiên
cứu vũ trụ, người ta thấy rằng mô hình chuẩn không còn phù hợp nữa, tuy nó
không sai nhưng phải bổ sung thêm một số khía cạnh mới.
Một trong những mô hình mới bổ xung cho mô hình chuẩn được đưa ra,
ta có thể phân theo hai hướng sau:
+ Mở rộng nhóm đối xứng (Mô hình 3-3-1; Lý thuyết siêu đối xứng, Lý
thuyết thống nhất lớn;...)
+ Mở rộng số chiều không gian (Lý thuyết Kaluza - Klein; Mô hình Randall
-Sundrum;...).
Mô hình vũ trụ năm chiều Randall - Sundrum, được đặt theo tên của 2

nhà khoa học đề xuất ra mô hình. Không giống như vũ trụ được mô tả bởi
thuyết tương đối có ba chiều của không gian và một chiều của thời gian, mô
hình này thêm một chiều compact và mô tả vũ trụ bởi năm chiều. Nhờ đó mô
hình Randall - Sundrum đã giải thích được tính bền của bán kính compact và
giải quyết được vấn đề phân bậc.

3

Footer Page 8 of 123.


Header Page 9 of 123.
MỞ ĐẦU

Trường radion động lực gắn với bán kính này bảo đảm được tính bền thông
qua cơ chế Goldberger - Wise. Một trong những đặc trưng của mô hình này là
trường radion. Để góp phần chứng minh tính đúng đắn của mô hình Randall
- Sundrum, chúng tôi chọn đề tài “Chuyển hóa photon - radion trong từ
trường tĩnh trong mô hình Randall - Sundrum” để nghiên cứu trong luận
văn.

4

Footer Page 9 of 123.


Header Page 10 of 123.
MỞ ĐẦU

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu sự chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh nhằm tìm
ra bằng chứng khẳng định sự tồn tại của radion và khẳng định được tính đúng
đắn của mô hình Randall - Sundrum.

3. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục đích đề ra, đề tài có nhiệm vụ chủ yếu sau:
- Tìm hiểu mô hình chuẩn và các mô hình mở rộng từ mô hình chuẩn.
- Tìm hiểu mô hình Randall - Sundrum.
- Tìm hiểu sự chuyển hóa photon thành radion trong từ trường tĩnh.

4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh trong mô hình Randall Sundrum.

5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử trong không - thời gian
cong, nhiều chiều. Phương pháp giản đồ Feynman để tính tiết diện tán xạ Radion
trong từ trường tĩnh.

6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
Chứng minh được sự xuất hiện của radion trong từ trường tĩnh trong mô
hình RS, để hiểu được tính bền vững của bán kính compact và giải thích được
vấn đề phân bậc nhằm khẳng định được tính đúng đắn của mô hình.

5

Footer Page 10 of 123.


Header Page 11 of 123.

Chương 1
MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ
RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN
1.1. MÔ HÌNH CHUẨN
Mô hình chuẩn Standard Model đã diễn tả cơ bản một cách hệ thống
những hạt cơ bản cấu tạo nên vật chất, là sự kết hợp của lý thuyết điện yếu
(Glashow-Weiberg-Salam) và sắc động học lượng tử (QCD) tạo nên sự hiểu biết
về các hạt và tương tác cơ bản của các hạt trong tự nhiên. Được phát triển vào
những năm đầu của thập niên 1970, mô hình chuẩn là một phần của lý thuyết
trường lượng tử, một lý thuyết đã kết hợp cơ học lượng tử với thuyết tương đối
hẹp.
Hầu hết các hạt xuất hiện trong SM đã được tìm thấy tại các máy gia tốc
năng lượng cao tại Thụy Sĩ. SM là thuyết mô tả chính xác ba trong bốn loại
tương tác cơ bản đó là: tương tác mạnh, tương tác yếu và tương tác điện từ.
Mô hình chuẩn được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1)
của các phép biến đổi chuẩn unitary [3].
Trong đó:
+ SU(3) là nhóm đối xứng không Abel của tương tác mạnh. Các trường
chuẩn gluon liên kết với các tích màu theo cách thức được mô tả trong Sắc động
lực học lượng tử.
+ SU(2) là nhóm đối xứng tương tác yếu không Abel. Các quan sát thực
nghiệm cho kết quả phù hợp với Mô hình chuẩn ở độ chính xác rất cao. Mô

6

Footer Page 11 of 123.


Header Page 12 of 123.
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

hình chuẩn cho ta một cách thức mô tả tự nhiên từ kích thước vi mô cho tới các
khoảng cách vũ trụ. Và được xem là một trong những thành tựu lớn nhất của
loài người trong việc tìm hiểu tự nhiên.
Sự sắp xếp các hạt trong mô hình chuẩn như sau:
- 12 hạt cơ bản (6 lepton và 6 quark),cùng với các phản hạt của chúng.
- Ba tương tác cơ bản (mạnh, điện từ, yếu) với các hạt trường của chúng
(gluon, photon, W-boson và Z-boson). Mô hình chuẩn được tóm tắt ở 3 điểm cơ
bản:
- Vật chất được cấu tạo từ các yếu tố cơ bản là lepton và quark, đây là
những viên gạch sơ đẳng tận cùng để cấu tạo nên vật chất bất động hay sinh
động trên Trái Đất, trong hệ Mặt Trời hay trong vũ trụ. Hạt cơ bản được chia
làm hai phần:
Mười hai hạt có spin 1/2 như quark và lepton cùng bốn boson chuẩn có
spin 1 như photon, hai boson Z, W của lực tương tác yếu. Có sáu loại quark
mang ký hiệu u (up), d (down), s (strange), c (charm), t (top), b (bottom)
Có sáu loại lepton bao gồm ba hạt: e − (electron), µ − (muon), τ − (tauon)
mang điện âm −e, và ba hạt neutrino ve , vµ , vτ trung hòa điện tích. Theo thứ tự
ba hạt neutrino này bao giờ cũng tương ứng với ba hạt electron, muon, tauon
trong tương tác.
Trong thiên nhiên sự cân bằng về số lượng: sáu loại quark và sáu loại lepton
không tình cờ mà có thể nó là kết quả của đối xứng chuẩn trong lý thuyết trường
lượng tử.

Lực tương tác mạnh gắn kết quark trong hạt nhân nguyên tử và làm
cho vật chất vững bền hơn. Lực điện từ là lực của cac electron tương tác với
photon trong hạt nhân nguyên tử để tạo nên các nguyên tử và phân tử của các
hóa chất trong bảng hệ thống tuần hoàn Mendelep, cũng như của các tế bào và
gen sinh vật. Lực tương tac yếu chi phối toàn diện sự vận hành của neutrino,
làm cho một số hạt nhân nguyên tử phân rã và phát tán neutrino. Các tương

tác được thực hiện thông qua các véc tơ boson trung gian hay hạt truyền tương
tác.
Trong đó, các tương tác mạnh (strong interaction) của các quark trao đổi
gluon g giữa chúng gọi là Sắc động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamics
hay QCD); Điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics hay QED)
7

Footer Page 12 of 123.


Header Page 13 of 123.
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

Hình 1.1: Các hạt cơ bản trong mô hình chuẩn
.

diễn tả tương tác điện từ của các hạt mang điện tích trao đổi photon giữa chúng.
- Cơ chế Higgs là cơ chế quan trọng của mô hình chuẩn.
Ngày 4 tháng 7 năm 2012, hai nhóm thực nghiệm ATLAS và CMS ở CERN
đã tìm ra hạt Higgs trong máy gia tốc LHC. Đây là hạt gây ra bất đối xứng
trong các nhóm chuẩn, và cũng là loại hạt tạo ra khối lượng quán tính.
Trong hơn 40 năm qua, kể từ khi mô hình chuẩn ra đời chúng ta được
chứng kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình chuẩn đã mô tả thành
công bức tranh hạt cơ bản và các tương tác đồng thời có vai trò quan trọng
trong sự phát triển của vật lý hạt.
Bên cạnh những thành tựu nổi bật, Mô hình chuẩn vẫn còn một số hạn
chế sau [3]:
- Mô hình chuẩn không giải quyết được những vấn đề có liên quan đến số
lượng và cấu trúc các thế hệ fermion.
- Mô hình chuẩn cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái, tức là neutrino

8

Footer Page 13 of 123.


Header Page 14 of 123.
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

không có khối lượng.
- Mô hình chuẩn không giải thích được tại sao quark t lại có khối lượng
quá lớn so với dự đoán.
- Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng
lượng cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở vùng năng lượng thấp vào khoảng 200GeV.
- Các tham số cơ bản là khối lượng và tương tác Yukawa được đưa vào
bằng tay. Lực hấp dẫn với cấu trúc khá khác biệt so với các lực mạnh và điện
yếu không được đưa vào mô hình.

1.2. CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN
Để khắc phục khó khăn hạn chế của mô hình chuẩn các nhà vật lý lý thuyết
đã xây dựng khá nhiều lý thuyết mở rộng hơn như lý thuyết thống nhất (Grand
unified theory - GU), siêu đối xứng (supersymmtry), lý thuyết Preon, lý thuyết
Acceleron...
Mỗi hướng mở rộng Mô hình chuẩn đều có ưu nhược điểm riêng.
Nổi bật là các mô hình 3-3-1, các mô hình này đã giải quyết được một số
vấn đề mà mô hình chuẩn chưa giải quyết được. Ví dụ: Các mô hình 3-3-1 đã
giải thích được tại sao các lepton trong tam tuyến có chỉ số thế hệ là 3, hai thế
hệ đầu của quark trong phản tam tuyến còn thế hệ thứ ba trong tam tuyến; Các
mô hình 3-3-1 giải quyết được vấn đề lượng tử hóa điện tích, giải thích được
sự phân bậc giữa các thế hệ quark do các thế hệ nằm trong các đa tuyến khác
nhau [2].

Phiên bản một là mô hình 3-3-1 tối thiểu được đề xuất năm 1992, đưa
lepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của nhóm
SU (3)L . Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs

để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát sinh khối lượng cho các fermion [2].
Phiên bản hai được đề xuất năm 1994, cho rằng thành phần thứ ba của
các tam tuyến lepton của nhóm SU (3)L là các neutrino phân cực phải [2].
Mô hình 3-3-1 tiết kiệm với hai tam tuyến Higgs, có số trường vô hướng
đưa vào trong mô hình là ít nhất, nhưng đã giải quyết được hầu hết các vấn đề
quan trọng của mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải.
Các mở rộng mô hình chuẩn nêu trên đều chỉ mới quan tâm đến một thế
9

Footer Page 14 of 123.


Header Page 15 of 123.
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN

hệ và thừa nhận vật lý trong các thế hệ là giống nhau, mà chưa có một chứng
minh chặt chẽ thỏa đáng.
Có một hướng khả quan để mở rộng Mô hình chuẩn là lý thuyết mở rộng
thêm chiều không gian (gọi là Extra Dimension).
Lý thuyết đầu tiên theo hướng này là lý thuyết Kaluza – Klein (1921) mở
rộng không gian bốn chiều thành không gian năm chiều, nhằm mục đích thống
nhất tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ.
Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về mặt hiện tượng luận, tuy nhiên
ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như: thống nhất Higgs
– Gauge, lý thuyết mở rộng với số chiều không gian lớn (large extra dimension),
lý thuyết dây (string theory).

Trong luận văn này, chúng tôi đề cập đến một trong những lý thuyết đó,
gọi là mô hình Radall – Sundrum (RS). Mô hình này có thể giải thích vấn đề
phân bậc, giải thích tại sao hấp dẫn lại rất nhỏ ở thang điện yếu, giải thích tại
sao chỉ có ba thế hệ fermion và có sự phân bậc giữa chúng, vấn đề neutrino. . .
Một đặc điểm của mô hình RS là tính bền của bán kính compact cho giải
quyết vấn đề phân bậc. Trường radion động lực gắn với bán kính này đảm bảo
tính bền thông qua cơ chế Goldberger – Wise [4]. Radion và vật lý gắn với nó
là một yếu tố mới trong mô hình. Chứng minh sự tồn tại của radion khi kể đến
đóng góp của nó vào tiết diện tán xạ toàn phần của một quá trình tán xạ là
một trong những bằng chứng khẳng định tính đúng đắn của mô hình RS.

10

Footer Page 15 of 123.


Header Page 16 of 123.

Chương 2
MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM
2.1. LÝ THUYẾT KALUZA - KLEIN
Năm 1920, hai nhà khoa học Theodor Kaluza và Oskar Klein đã đưa ra
một quan điểm mới về sự tồn tại của các chiều bổ sung trong không gian. Đây
được coi như một phương pháp để thống nhất trường điện từ và trường hấp
dẫn.
Từ trước giai đoạn đó các nhà khoa học mới chỉ chứng minh được sự tồn
tại của ba chiều không gian và một chiều thời gian. Lý thuyết mang tên hai nhà
khoa học Kaluza - Klein đã mạnh dạn đưa ra một giả thiết có xuất hiện chiều
thứ năm [6].
Lý thuyết Kaluza - Klein cho rằng chiều thứ năm đó có dạng tuần hoàn

như sau:
x5 ∼ x5 + 2πR

(2.1)

Nghĩa là, ngoài không gian Minkowski bốn chiều truyền thống còn xuất
hiện thêm chiều thứ năm là chiều compact, có thể hình dung nó là một hình
trụ năm chiều với bán kính R. Như vậy theo lý thuyết này khối lượng của các
hạt vật lý mới được lượng tử hóa, vì xung lượng năm chiều của chúng đã được
lượng tử hóa: p5 = Rn với n ∈ Z và trường vô hướng φ(xµ , x5 ).
Khai triển trường vô hướng này thành chuỗi Fourier:
∞
µ

5

φ x ,x

n

φn (xµ ) ei R x

=
n=−∞

11

Footer Page 16 of 123.

5

(2.2)


Header Page 17 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

nếu φ = 0 thì phương trình chuyển động năm chiều sẽ có dạng:

∂µ ∂ µ φn (xµ ) =

n2 n µ
φ (x )
R2

(2.3)
n2

Ta thấy xuất hiện một tháp gồm vô hạn các trường có khối lượng m2 = 2
R
được sinh ra.
Ở năng lượng nhỏ, cỡ có thể so sánh với R−1 (mode 0), các hiệu ứng vật lý
là các hiệu ứng vật lý bốn chiều thông thường, khi năng lượng lớn hơn R−1 thì
tháp Kaluza - Klein bắt đầu hoạt động.
Các ràng buộc thực nghiệm đòi hỏi khối lượng các hạt phải lớn hơn TeV.
n
> T eV
R

(2.4)

R < 10−21 cm

(2.5)

Từ đó ta có:

nghĩa là gần như mất hy vọng trong việc tìm kiếm bằng thực nghiệm về chiều
thứ năm.
Lý thuyết Kaluza - Klein mới chỉ đưa ra dự đoán về bán kính compact R
mà chưa chứng minh được bằng thực nghiệm sự xuất hiện của nó.
Nghiên cứu lý thuyết Kaluza - Klein, hai nhà khoa học Lisa Randall và
Raman Sundrum (1999) đã không những chứng minh được sự xuất hiện của
bán kính compact mà còn cho rằng trong một điều kiện nhất định bán kính này
còn có tính bền vững.

2.2. KHÁI QUÁT MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM
Mô hình Randall - Sundrum (RS) giả thiết sự tồn tại của một chiều bổ
sung được compact trên vòng tròn S 1 mà nửa trên và nửa dưới của nó là đồng
nhất. Không - thời gian thu được chính là không gian với đối xứng cực đại và
có độ cong âm. Trên chiều thứ năm ta đưa vào đối xứng chẵn lẻ Z2 , vì vậy hai
điểm (xµ , φ) và (xµ , −φ) là đồng nhất. Chiều thứ năm có dạng S 1 /Z2 chính là
orbifold với hai điểm cố định φ = 0 và φ = π . Brane tử ngoại (UV-Brane, hay
12

Footer Page 17 of 123.


Header Page 18 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Brane Planck) được đặt tại φ = 0 trong brane này tương tác chủ yếu là tương
tác hấp dẫn. Brane hồng ngoại (IR-Brane, SM-Brane, hay TeV-Brane) định xứ
tại φ = π ở brane này tương tác chiếm ưu thế là các tương tác mạnh, yếu và
tương tác điện từ [5].

Hình 2.1: Mô hình Randall - Sundrum.

Ta coi chiều thứ năm là một orbifold vì khi đưa vào đối xứng orbifold
vấn đề fermion chiral được giải quyết.

Trong S 1 /Z2 orbifold, S 1 là một vòng tròn và Z2 là nhóm nhân {−1, 1}.
Trong đó có hai điểm cố định, một điểm tại gốc y = 0, điểm còn lại y = π R =
L, ở từng điểm ta xác định được 4 chiều chiều thứ năm được gọi là các brane 3.
Coi hằng số vũ trụ trong không - thời gian năm chiều là Λ (không giống
như hằng số vũ trụ 4D có thể dễ bị triệt tiêu hay rất nhỏ). Có thể tính S bằng
cách tính tổng của tác dụng Hilbert-Einstein SH và tác dụng của thành phần
13

Footer Page 18 of 123.


Header Page 19 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Hình 2.2: Cách đưa vào đối xứng Orbifold, hình vẽ được trích dẫn từ [11]
.

vật chất SM :
+L

S = SH + SM =

d4 x

√
dy −g(M 2 R − Λ),

(2.6)

−L

trong đó M là thang khối lượng 5 chiều, R là tenxơ độ cong vô hướng Ricci
5 chiều, g là định thức của Metric.
Đối với mô hình RS, thực chất ngụ ý hai tiên đề. Một là, tiên đề về hàm
tác dụng trong 5 chiều. Hai là, tiên đề về dạng tổng quát của metric.
Thông qua mô hình RS, các vấn đề như giải phương trình trường hấp dẫn
5 chiều,vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề về lạm phát vũ trụ học và giãn nở tăng
tốc của vũ trụ đã được khảo sát và giải thích.
Chúng ta sẽ lần lượt xem xét chúng. Hai yếu tố cơ bản nhất để khảo sát
mọi hiện tượng học của động lực hoc vũ trụ là tác dụng và metric. Tác dụng mô
tả trường hấp dẫn lẫn nguồn sinh ra hấp dẫn, metric là phản ánh của trường
hấp dẫn lên không-thời gian [6]. Một mô hình về vũ trụ học cần phải có hai yếu
tố tiên quyết trên.
Xét tọa độ của một điểm trong không thời gian năm chiều là (xµ , φ), khoảng
năm chiều có dạng:
ds2 = GM N dxM dxN
= Gµν dxµ dxν + 2Gµφ dxµ dxφ + Gφφ dφ2

(2.7)

Trong đó GM N là tenxơ metric năm chiều. Số hạng Gµφ bị khử ở mode
không do đối xứng Orbifold nên:
ds2 = Gµν dxµ dxν + Gφφ dφ2 .
14

Footer Page 19 of 123.

(2.8)


Header Page 20 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Ta gọi metric tương ứng với các brane UV và TeV lần lượt là:
hid
vis
= GM N (xµ , φ = 0).
= GM N (xµ , φ = π)gµν
gµν

(2.9)

Tác dụng tổng quát năm chiều có dạng:
S = Sgravity + Svis + Shid

(2.10)

Nghĩa là tác dụng trên là mở rộng của tác dụng Hilbert-Einstein 4 chiều
trong lý thuyết tương đối rộng của Einstein:

π

Sgravity =

d4 x

√
dφ G{−Λ − 2M 3 R}

−π

Svis =

√
d4 x −gvis {Lvis − Vvis }

Shid =

√
d4 x −ghid {Lhid − Vhid }.

(2.11)

M là khối lượng Planck 5 chiều, G = det GM N , R là độ cong vô hướng [1].
Ta trở lại với lời giải phương trình Einstein và khoảng bất biến trong trường
hợp cổ điển.
Trường hợp cổ điển là trường hợp không có các hạt vật chất thông thường
(particle excitation), nghĩa là Lvis = Lhid = 0, còn Vvis và Vhid nhận các giá trị
không đổi gọi là năng lượng chân không (vaccum energy). Trong trường hợp
không có các hạt vật chất thông thường các giá trị này vẫn đóng vai trò là

nguồn hấp dẫn. Ta cũng cho rc không đổi trong phương trình (2.8). Trong phần
này ta chỉ xét metric năm chiều cổ điển ở trạng thái nền (ground state).
Kết hợp với các phương trình trong (2.11) tác dụng cổ điển có dạng:
π

d4 x

S =

√
dφ G{−Λ − 2M 3 R} −

−π
π

d4 x

=
−

√

√
dφ

G{−Λ − 2M 3 R} −

√
√
d4 x( −gvis Vvis + −ghid Vhid )

√

−gvis Vvis δ(φ − π)

−π

−ghid Vhid δ(φ) .

(2.12)

Các hàm delta Dirac xuất hiện trong biểu thức trên là do các 3-brane định
xứ tại φ = 0 và φ = π . Xét biến phân của S theo GM N :
π
4

δS =
−

d x
√

dφ
−π

√
√
δ
3
G{−Λ
−

2M
R}
−
−gvis Vvis δ(φ − π)
δGM N

−ghid Vhid δ(φ) δGM N

(2.13)
15

Footer Page 20 of 123.


Header Page 21 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Ta có

√
δ G
MN
δG
√
δ GR
δGM N
√
δ −gvis
δGM N
√

δ −ghid
δGM N

√
GM N G
=
,
2
GM N R √
G,
=
RM N +
2
√
gµν −gvis µ ν
=
δM δN ,
√2
gµν −ghid µ ν
δM δN ,
=
2

Phương trình Einstein năm chiều được suy ra từ nguyên lý tác dụng tối
thiểu δS = 0 có dạng:
√

√
1
[−Λ

G GM N
4M 3
√
vis µ ν
+ Vvis −gvis gµν
δM δN δ(φ − π)
√
hid µ ν
δM δN δ(φ)].
+ Vhid −ghid gµν

1
G RM N − GM N R
2

= −

(2.14)

Nghiệm của phương trình (2.14) thỏa mãn bất biến bốn chiều Pointcare
(2.8) khi đó:
Gµν dxµ dxν ∼ f (φ)ηµν dxµ dxν ,
f (φ) là hàm tuần hoàn theo φ nên ta chọn f (φ) = e−2σ(φ) (để giải quyết vấn đề

phân bậc), do đó:
Gµν = ηµν e−2σ(φ) ,

(2.15)

với ηµν = diag(1, −1, −1, −1) và Gφφ dφ2 = −rc2 dφ2 hay Gφφ = −rc2 .

Trong đó rc gọi là bán kính compact của chiều mở rộng, trong trường hợp
này ta xét rc không đổi. Trường hợp tổng quát nó là trung bình chân không của
trường radion.

GM N


e−2σ(φ)
0
0
0

 0
−e−2σ(φ)
0
0


= 0
0
−e−2σ(φ)
0

 0
0
0
−e−2σ(φ)

0

0

0

0

ds2 = e−2σ(φ) ηµν dxµ dxν − rc2 dφ2
16

Footer Page 21 of 123.

0




0 


0 

0 

2
−rc

(2.16)

(2.17)

Header Page 22 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

Ta có:
vis
gµν
= GM N (xµ , φ = π)

= Gµν (φ = π)


e−2σ(φ)
0
0
0


 0

−2σ(φ)
−e
0
0


= 

−2σ(φ)
 0


0
−e
0


−2σ(φ)
0
0
0
−e
= ηµν e−2σ(π)
hid
gµν
= GM N (xµ , φ = 0)

= Gµν (φ = 0)


e−2σ(φ)
0
0
0


 0

−e−2σ(φ)
0
0



= 

−2σ(φ)
 0

0
−e
0


−2σ(φ)
0
0
0
−e
= ηµν e−2σ(0)

ds2 = e−2σ(φ) ηµν dxµ dxν − rc2 dφ2
G = detGM N = rc2 e−8σ(φ) =⇒

√

G = rc e−4σ

p
Rµν = Rµpν
= ∂p Γpµν − ∂ν Γpµp + Γppk Γkµν − Γpνk Γkpµ
p

Rφφ = Rφpφ
= ∂p Γpφφ − ∂φ Γpφp + Γppk Γkφφ − Γpφk Γkpφ
p
Rµφ = Rµpφ
= ∂p Γpµφ − ∂φ Γpµp + Γppk Γkµφ − Γpφk Γkpµ
p
Rφµ = Rφpµ
= ∂p Γpφµ − ∂µ Γpφp + Γppk Γkφµ − Γpµk Γkpφ
1 AD
G (∂C GDB + ∂B GDC − ∂D GBC )
ΓA
BC =
2

Ta đi tính các số hạng Christoffel và Tenxơ Ricci [4]:
Trước tiên ta đi tính các số hạng Chistoffel:

17

Footer Page 22 of 123.

(2.18)


Header Page 23 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM

ΓA
BC =
ΓA

BC =
+
+
+
+

1 AD
G (∂C GDB + ∂B GDC − ∂D GBC )
2
1 A0
G (∂C G0B + ∂B G0C − ∂0 GBC )
2
1 A1
G (∂C G1B + ∂B G1C − ∂1 GBC )
2
1 A2
G (∂C G2B + ∂B G2C − ∂2 GBC )
2
1 A3
G (∂C G3B + ∂B G3C − ∂3 GBC )
2
1 A4
G (∂C G4B + ∂B G4C − ∂4 GBC )
2

Nhận xét: ΓA
BC chỉ khác 0 nếu chỉ có một trong ba chỉ số A, B, C bằng 4 và phải
có hai chỉ số trùng nhau.
•
1 00

G ∂φ G00 + ∂0 G04 − ∂0 G04
2
1 00
=
G ∂φ G00
2
1 2σ(φ) ∂(e−2σ(φ) )
=
e
2
∂φ
= −σ (φ)

Γ004 =

•
1 00
G ∂0 G04 + ∂φ G00 − ∂0 G40
2
1 00
G ∂φ G00
=
2
1 2σ(φ) ∂(e−2σ(φ) )
=
e
2
∂φ
= −σ (φ)

Γ040 =

•
1 11
G ∂φ G11 + ∂1 G14 − ∂1 G14
2
1 11
=
G ∂φ G11
2
1 2σ(φ) ∂(e−2σ(φ) )
e
=
2
∂φ
= −σ (φ)

Γ114 =

18

Footer Page 23 of 123.


Header Page 24 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM
•
1 11
G ∂1 G14 + ∂φ G11 − ∂1 G41
2

1 11
=
G ∂φ G11
2
1 2σ(φ) ∂(e−2σ(φ) )
=
e
2
∂φ
= −σ (φ)

Γ141 =

•
1 22
G ∂φ G22 + ∂2 G24 − ∂2 G24
2
1 22
=
G ∂φ G22
2
1 2σ(φ) ∂(e−2σ(φ) )
=
e
2
∂φ
= −σ (φ)

Γ224 =

•
1 22
G ∂2 G24 + ∂φ G22 − ∂2 G42
2
1 22
G ∂φ G22
=
2
1 2σ(φ) ∂(e−2σ(φ) )
e
=
2
∂φ
= −σ (φ)

Γ242 =

•
1 33
G ∂φ G33 + ∂3 G34 − ∂3 G34
2
1 33
=
G ∂φ G33
2
1 2σ(φ) ∂(e−2σ(φ) )
e
=
2
∂φ

= −σ (φ)

Γ334 =

•
1 33
G ∂3 G34 + ∂φ G33 − ∂3 G43
2
1 33
=
G ∂φ G33
2
1 2σ(φ) ∂(e−2σ(φ) )
e
=
2
∂φ
= −σ (φ)

Γ343 =

19

Footer Page 24 of 123.


Header Page 25 of 123.
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM
•
1 44

G ∂0 G40 + ∂0 G04 − ∂φ G00
2
1 44
=
G ∂φ G00
2
1 ∂(e−2σ(φ) )
=
2rc2
∂φ
1
= − 2 e−2σ(φ) σ (φ)
2rc

Γ400 =

•
1 44
G ∂1 G41 + ∂1 G14 − ∂φ G11
2
1
= − G44 ∂φ G11
2
1 ∂(e−2σ(φ) )
= − 2
2rc
∂φ
1 −2σ(φ)
e
σ (φ)

=
2rc2

Γ411 =

•
1 44
G ∂2 G42 + ∂2 G24 − ∂φ G22
2
1
= − G44 ∂φ G22
2
1 ∂(e−2σ(φ) )
= − 2
2rc
∂φ
1 −2σ(φ)
=
e
σ (φ)
2rc2

Γ422 =

•
1 44
G ∂3 G43 + ∂3 G34 − ∂φ G33
2
1
= − G44 ∂φ G33

2
1 ∂(e−2σ(φ) )
= − 2
2rc
∂φ
1 −2σ(φ)
=
e
σ (φ)
2rc2

Γ433 =

Tiếp theo ta tính Tenxơ Ricci:

20

Footer Page 25 of 123.