Rèn luyện các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa cho HS THPT thông qua dạy học tổ hợp xác suất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH,
TỔNG HỢP, KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA CHO
HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC TỔ HỢP
XÁC SUẤT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH,
TỔNG HỢP, KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA CHO
HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC TỔ HỢP
XÁC SUẤT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Người hướng dẫn khoa học: TS. Bùi Thị Hạnh Lâm

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016


LỜI CẢM ƠN
Chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Bùi Hạnh Lâm, người thầy

đã tận tình hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình làm đề tài. Em xin trân trọng
cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm đề tài.
Dù đã rất cố gắng, xong đề tài cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, chúng
em mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn.

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

ST
T

Viết tắt

Viết đầy đu

3


1.

GV

Giáo viên

2.

HS

Học sinh

3.

SGK

Sách giáo khoa

4.

TH - XS

Tổ hợp - xác suất

5.

THPT

Trung học phổ thông

6.

Tr

Trang

4


MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ

5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Điều 28 khoản 2 Luật Giáo dục (2005) nêu rõ: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm
của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo
nhóm rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS.”
Theo điều 5 chương I của Luật Giáo dục: “Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người
học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.
Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất quan
trọng vì Toán học là công cụ ở nhiều môn học khác. Môn Toán có khả năng to lớn
giúp HS, phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS óc tư duy trừu
tượng và tư duy lôgic. Hơn nữa Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và là “chìa
khóa” trong hầu hết hoạt động của con người, cũng như việc học tập các môn học
khác. Trong những năm gần đây, nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất
lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách.
Với mục tiêu đó thì đổi mới nội dung và phương pháp dạy học nói chung và
phương pháp dạy học môn Toán nói riêng diễn ra sâu rộng ở tất cả các cấp học và bậc
học. Trong môn Toán ở trường phổ thông, Tổ hợp xác suất là chủ đề hay và quan
trọng trong chương trình THPT, trong các kì thi HS giỏi Toán các cấp, TH - XS
thường chiếm 20%- 30% tổng số bài. Trong khi đó HS Việt Nam nói chung còn
tương đối yếu về mảng toán này. Nguyên nhân chính là do các bài toán về TH - XS
thường không yêu cầu nhiều kiến thức nhưng mỗi bài toán đòi hỏi những suy luận, tư
duy, kĩ năng riêng để giải quyết. Rèn luyện và phát triển tư duy nói chung, tư duy
toán học nói riêng cho HS là một yêu cầu, nhiệm vụ quan trọng. Toán học là môn

khoa học có tính trừu tượng cao và tính lôgic chặt chẽ. Tri thức trước là cơ sở cho tri
thức sau và tri thức sau dựa vào tri thức trước. Vì vậy đòi hỏi người học phải có một
phương pháp tư duy khoa học và mang tính sáng tạo. Bên cạnh đó với những đặc
điểm ấy, môn toán có nhiều tiềm năng và cũng là một môi trường tốt để rèn luyện và
phát triển tư duy của người học. Trong dạy học giải bài tập toán, người học không

6


chỉ tiếp thu kiến thức, kĩ năng mà còn rèn luyện cách nghĩ, cách tư duy, cách học. Do
vậy trong quá trình dạy học toán nói chung, giải bài tập toán nói riêng người thầy
không chỉ dạy HS biết cách tìm tòi lời giải bài tập mà còn giúp các em biết tư duy để
giải bài toán bằng các cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng, nhìn bài
toán dưới nhiều góc độ. Chính những hoạt động này sẽ thúc đẩy việc rèn luyện và
phát triển tư duy ở HS. Trong nội dung TH - XS nếu không rèn luyện các thao tác tư
duy, tư duy theo hướng tư duy sáng tạo thì khi gặp một bài toán phát biểu một cách
hơi khác những gì đã được học, HS sẽ gặp lúng túng nhất định, thậm chí là không tìm
được sự liên hệ giữa các bài toán liên quan.
Từ những lí do trên, đề tài được lựa chọn là “ Rèn luyện các thao tác tư duy
phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa cho HS THPT thông qua dạy học tổ
hợp xác suất”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu về tư duy nói chung và tư duy trong giải toán TH XS, đề xuất một số biện pháp rèn luyện các thao tác tư duy trong giải toán TH - XS
cho HS THPT.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT.
3.2. Đối tượng nghiên cứu
Các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa trong
giải toán TH - XS cho HS THPT.

4. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm để rèn luyện các thao tác tư duy
trong giải toán TH - XS và vận dụng chúng một cách hợp lí trong quá trình dạy học
môn Toán thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung TH - XS nói riêng
và chất lượng dạy học môn Toán nói chung.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu giáo trình, tài liệu
về chuyên đề TH - XS, các sách tham khảo và các tài liệu khác liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Khảo sát thực trạng dạy học giải toán TH XS ở trường THPT hiện nay.

7


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm về tư duy
Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện
thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.[1]
Theo Từ điển Tiếng Việt : “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình, đi sâu vào
cái bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu
tượng, phán đoán và suy lý” [3].
Ở mức độ nhận thức cảm tính con người mới chỉ phản ánh các thuộc tính bên
ngoài (như hình dáng, màu sắc… là những thuộc tính có thể thay đổi) và nhận thức
được bằng các giác quan khi sự vật, hiện tượng đang trực tiếp tác động. Nảy sinh trên
cơ sở nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nhận thức cảm tính, tư duy phản ánh
những thuộc tính bản chất bên trong, những mối liên hệ có tính quy luật của hàng loạt
sự vật, hiện tượng (những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ này là những đặc
điểm gắn liền với sự vật, hiện tượng), những cái mà bằng các giác quan và phương
thức nhận thức cảm tính con người chưa thể phản ánh được. Mặt khác, ở mức độ nhận

thức cảm tính, con người chỉ phản ánh cái đang có trong hiện tại, trực tiếp tác động vào
giác quan ta, đến tư duy con người hướng vào việc tìm kiếm cái mới, cái bản chất, cái
khái quát, những cái mà con người chưa biết, con người cần phải tìm kiếm và nắm
được để tiếp tục nhận thức, cải tạo và sáng tạo thế giới.
Như vậy, tư duy giúp con người nắm được bản chất và quy luật vận động của
tự nhiên, xã hội và con người, tư duy có tác dụng cải tạo lại thông tin nhận thức cảm
tính làm cho chúng có ý nghĩa hơn trong cuộc sống, tư duy vận dụng những cái đã
biết để đề ra giải pháp giải quyết những cái tương tự.
Tư duy toán học được hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc
tính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có quy luật của các đối
tượng toán học mà trước đó ta chưa biết. Sản phẩm của tư duy toán học là những
khái niệm, những định lý, quy tắc, phương pháp, suy luận…mang tính khái quát,
tính trừu tượng cao, có tính khoa học, tính logic chặt chẽ, các tri thức có mối quan
8


hệ mật thiết và hỗ trợ lẫn nhau, được biểu đạt chủ yếu bằng ngôn ngữ viết (ký hiệu,
biểu thức, công thức…)
Theo Nguyễn Bá Kim, việc dạy học toán không chỉ dừng lại ở chỗ chỉ để
người học lĩnh hội được tri thức toán học, rèn luyện được các kỹ năng, kỹ xảo, mà
đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của người học, buộc
họ phải tích cực suy nghĩ, phấn đấu nhằm đạt được mục tiêu, đồng thời qua đó hình
thành và rèn luyện cho người học những phương pháp suy nghĩ, phương pháp tư duy
và phương pháp làm việc khoa học. Phát triển tư duy toán học cho người học là một
lĩnh vực vừa rộng lớn, vừa khó khăn, người giáo viên dạy toán cần phải biết tích lũy
kiến thức, rút kinh nghiệm một cách thường xuyên và lâu dài để từ đó vững vàng hơn
về chuyên môn nghiệp vụ, có những biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy toán
học một cách thích hợp cho từng loại HS trong quá trình giảng dạy. [3]
Theo Nguyễn Duy Thuận thì việc rèn luyện và phát triển tư duy cho HS và
một nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục, đặc biệt là trong quá trình dạy

học toán. Nó phải trải qua một quá trình thường xuyên vận dụng các quy tắc tư duy
cơ bản một cách thích hợp, phải xuất phát từ các vấn đề dễ đến khó, đi từ các trường
hợp đơn giản đến phức tạp, phải vận dụng các phương pháp suy luận một cách linh
hoạt. Kiến thức toán học được sắp xếp theo hệ thống lôgic chặt chẽ và liên tục, tri
thức trước làm cơ sở cho tri thức sau cho nên phải hiểu và nắm vững kiến thức, có
kiến thức mới có cơ sở để dựa trên đó mà tư duy đúng đắn, hiểu biết càng sâu sắc,
kiến thức càng vững vàng thì tư duy càng chính xác, càng mạch lạc. [8]
Rèn luyện và phát triển tư duy cho người học là một nhiệm vụ quan trọng
trong dạy học. Toán học là môn khoa học có tính trừu tượng cao và tính logic chặt
chẽ. Vì vậy, người học phải có phương pháp tư duy khoa học và mang tính sáng
tạo. Môn toán có nhiều tiềm năng và cũng là môi trường tốt nhất để rèn luyện và
phát triển tư duy của người học. Trong quá trình dạy toán bên cạnh việc dạy HS
cách tìm lời giải bài tập nếu có phương pháp khai thác hệ thống bài tập, câu hỏi một
cách thích hợp dựa trên những nguyên tắc cơ bản sẽ giúp các em biết tìm lời giải bài
toán bằng nhiều cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng và góc độ
khác nhau, những hoạt động này sẽ góp phần rèn luyện và phát triển tư duy ở HS,
nâng cao chất lượng dạy học đáp ứng yêu cầu dạy học phát triển hiện nay.

9


1.2. Đặc điểm cua tư duy
1.2.1. Tính có vấn đề cua tư duy
Không phải hoàn cảnh nào cũng gây được tư duy con người. Muốn kích
thích được tư duy phải đồng thời có hai điều kiện:
- Trước hết phải gặp hoàn cảnh (hay tình huống) có vấn đề. Tình huống có
vấn đề là tình huống chứa đựng một mục đích mới, vấn đề mới, một cách thức giải
quyết mới, mà bằng vốn hiểu biết cũ, những phương tiện cũ, phương pháp hoạt
động cũ đã có (mặc dù vẫn cần thiết) nhưng không đủ sức giải quyết vấn đề mới đó,
để đạt được mục đích mới đó. Để nhận thức được con người phải vượt ra khỏi phạm

vi những hiểu biết cũ và đi tìm cái mới, đạt mục đích mới, cần đến những phương
pháp mới, tức là phải tư duy
- Thứ hai: Hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ được
chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân, tức là cá nhân phải xác định được cái gì (dữ
kiện) đã biết, đã cho và cái gì chưa biết (phải tìm) đồng thời có nhu cầu (động cơ)
tìm kiếm nó và phải có tri thức cần thiết để giải quyết, trên cơ sở đó tư duy nảy
sinh.
Ví dụ 1.1: Khi dạy nội dung quy tắc nhân trong bài “Quy tắc đếm”, GV có
thể tạo tình huống có vấn đề thông qua bài toán sau: Bạn Nam có hai áo màu khác
nhau và ba quần khác nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ áo quần? Nếu
bây giờ không phải là hai áo và ba quần mà thay là 1000 áo và 500 quần thì số cách
chọn là bao nhiêu?
HS có thể giải được ngay yêu cầu đầu tiên nhờ vào kiến thức đã biết (gọi hai
áo được ghi chữ a, b và quần đánh số 1, 2, 3 sau đó dùng cách liệt kê). Tuy nhiên ở
yêu cầu thứ hai khi số áo là 1000 và số quần là 500 thì HS không thể gọi chữ cái và
đánh số sau đó dùng liệt kê ⟹ Xuất hiện tình huống có vấn đề
Như vậy HS sẽ tìm kiến thức mới để giải quyết bài toán, đó là quy tắc nhân.
1.2.2. Tính gián tiếp cua tư duy
Chức năng của tư duy là đi vào cái bản chất và quan hệ có tính quy luật của
hàng loạt sự vật, hiện tượng, những cái mà trước đó bằng các giác quan, bằng nhận

10


thức cảm tính chưa phản ánh được. Do vậy, tư duy phản ánh gián tiếp. Tính gián
tiếp của tư duy thể hiện:
- Tư duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tượng và quy luật giữa chúng
nhờ sử dụng công cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy móc…) và các kết
quả nhận thức (như quy tắc, công thức, quy luật…) của loài người và kinh nghiệm
của cá nhân mình.

- Tính gián tiếp của tư duy còn thể hiện ở chỗ nó còn biểu hiện trong ngôn
ngữ. Con người luôn dùng ngôn ngữ để tư duy.
Nhờ tính gián tiếp mà tư duy đã mở rộng không giới hạn những khả năng
nhận thức của con người.
Ví dụ 1.2: Để giải một bài toán không chỉ dựa trên việc HS xác định được
yêu cầu của bài toán mà còn phải nhớ và sử dụng các định lý, công thức, quy tắc…
có liên quan đến bài toán mới có thể giải quyết được nhanh chóng, dễ dàng.
Chẳng hạn: Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn ngồi vào một bàn học gồm bốn
chỗ ngồi?
HS sẽ phải xác định được yêu cầu của bài toán là tìm số cách sắp xếp 4
người ngồi vào bàn có 4 chỗ. Đồng thời HS sẽ liên tưởng tới việc sử dụng quy tắc
đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân), vì vậy HS phải nhớ được điều kiện sử dụng quy
tắc cộng, quy tắc nhân.
1.2.3. Tính trừu tượng và khái quát cua tư duy
Tư duy có khả năng đi sâu vào nhiều sự vật, hiện tượng nhằm vạch ra những
thuộc tính chung , những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật giữa chúng. Nói cách
khác, tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung nhất, bản chất nhất của
một loạt đối tượng - tức là tư duy phản ánh hiện thực khách quan.
Quá trình đi đến khái quát hóa hiện thực khách quan, tư duy phải trừu xuất
khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể, cá biệt xét về một
phương diện nào đó - tức là tư duy mang tính trừu tượng để chỉ giữ lại những thuộc
tính bản chất chung cho nhiều sự vật hiện tượng…rồi trên cơ sở đó mà khái quát.

11


Tóm lại, tư duy phản ánh cái bản chất, chung cho nhiều sự vật hợp thành một
nhóm, một loại, một phạm trù, đồng thời trừu xuất khỏi những sự vật đó cái cụ thể,
cá biệt. Do đó, tư duy đồng thời vừa mang tính trừu tượng, vừa mang tính khái quát.
Ví dụ 1.3: Khi dạy bài “ Nhị thức Newton” GV có thể giúp HS tìm ra công

thức Nhị thức Newton từ việc khái quát:

? Từ đó em hãy khái quát ?
Thông qua hai khai triển HS có thể khái quát được:

Đó chính là công thức nhị thức Newton
1.2.4. Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ
Tư duy trừu tượng, gián tiếp, khái quát không thể tồn tại bên ngoài ngôn
ngữ, nó nhất thiết dùng ngôn ngữ làm phương tiện. Nếu không có ngôn ngữ thì bản
thân quá trình tư duy không diễn ra đồng thời các sản phẩm tư duy cũng không
được chủ thể và người khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của tư duy
và nhờ đó làm khách quan hóa chúng cho người khác và bản thân chủ thể tư duy. Ở
mức độ nhận thức cảm tính có thể chưa cần đến ngôn ngữ vẫn có hình ảnh trên não.
Còn đến tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện vì:
- Nhờ quá trình ngôn ngữ trong đầu bản thân chủ thể mới ý thức được, nhận
thức được tình huống có vấn đề.
- Tiếp theo trong diễn biến của quá trình tư duy, con người sử dụng ngôn ngữ
để tiến hành các thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng
hóa - ngôn ngữ tham gia vào quá trình tư duy.
- Ngôn ngữ còn biểu đạt kết quả của quá trình tư duy.

12


Sản phẩm mà tư duy đem lại là những khái niệm, quy luật… ngôn ngữ sẽ
làm khách quan hóa, vật chất hóa nó ra khỏi đầu ta để ta nhận thức nó bằng tìm tòi
những từ, những mệnh đề biểu đạt nó.
Như vậy, tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, tuy nhiên
ngôn ngữ không phải là tư duy mà ngôn ngữ chỉ là phương tiện.
1.2.5. Tư duy quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

Mặc dù tư duy và nhận thức cảm tính thuộc hai mức độ nhận thức khác nhau
tuy nhiên giữa tư duy và nhận thức cảm tính có quan hệ chặt chẽ, bổ sung, chi phối
lẫn nhau trong hoạt động thống nhất và biện chứng. Điều đó được thể hiện:
- Tư duy bao giờ cũng bắt đầu từ nhận thức cảm tính (từ trực quan sinh
động) nhờ nó làm nảy sinh tình huống có vấn đề là nguồn kích thích nảy sinh tư
duy. Trong quá trình diễn biến của mình, tư duy nhất thiết phải sử dụng nguồn tài
liệu phong phú do nhận thức cảm tính đem lại.
- Ngược lại, tư duy và những kết quả của nó có ảnh hưởng mạnh mẽ đế khả
năng phản ánh của cảm giác và tri giác (đến nhận thức cảm tính) làm cho năng lực
cảm giác tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác mang tính lựa chọn, ý nghĩa, ổn
định. Đồng thời, tư duy còn bổ sung điều chỉnh và khắc phục những sai lầm của
nhận thức cảm tính.
Trong học tập toán học, đặc điểm này thể hiện ở việc: Để tìm hiểu nội dung
hay chứng minh một bài toán trước hết dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu hay
giả thiết (thử hướng này, hướng khác) đi đến nhận xét, kiểm tra bằng những hoạt
động tư duy đi đến kết quả.
Ví dụ 1.4: Cho các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi có bao nhiêu cách lập số có
5 chữ số khác nhau từ các số trên
Với dữ liệu bài toán đã cho: Có 6 chữ số, cần lập số có 5 chữ số khác nhau từ
6 số (các dấu hiệu nói đến chỉnh hợp: chọn 5 số từ 6 số và sắp xếp theo một trật tự)
⟹ Sử dụng chỉnh hợp

13


Như vậy, dựa vào sự phân tích, nhận thức cảm tính đã giúp cho HS tư duy
được rằng bài toán ở ví dụ 1.4 sử dụng chỉnh hợp để tính số cách lập số có 5 chữ số
từ tập hợp số ban đầu
1.3. Các giai đoạn và thao tác cua tư duy
1.3.1. Các giai đoạn cua tư duy

Nhà tâm lý học Xô Viết K.K.Platônốp đã tóm tắt các giai đoạn của một hành
động (quá trình) tư duy bằng sơ đồ sau:
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hóa

Khẳng định

Phủ định

Giải quyết vấn đề

Hành động tư duy mới

- Nhận thức vấn đề:
Khi gặp tình huống có vấn đề, chủ thể tư duy phải ý thức được đó là tình
huống có vấn đề đối với bản thân mình tức là đặt ra vấn đề cần giải quyết, phát hiện
ra mâu thuẫn chứa đựng trong tình huống có vấn đề, mâu thuẫn giữa cái đã biết với
cái phải tìm, phải tạo ra nhu cầu cần giải quyết.
Như vậy, nhận thức vấn đề là xác định vấn đề đòi hỏi phải giải quyết, chính
vấn đề được xác định này và biểu đạt vấn đề dưới dạng nhiệm vụ sẽ quyết định toàn
bộ các khâu sau đó của quá trình tư duy và chiến lược tư duy. Đây là giai đoạn đầu
tiên và quan trọng nhất của quá trình tư duy.
- Huy động tri thức và kinh nghiệm:

14


Khâu này làm xuất hiện trong đầu những tri thức, kinh nghiệm, những liên
tưởng nhất định có liên quan đến vấn đề đã được xác định và biểu đạt. Việc làm
xuất hiện những tri thức, kinh nghiệm, những liên tưởng này hoàn toàn tùy thuộc
vào nhiệm vụ đã xác định (đúng hướng hay lạc hướng là do nhiệm vụ đặt ra có
chính xác hay không).
Theo G.Polya muốn huy động những tri thức liên quan, những kinh nghiệm
đã có và vận dụng chúng một cách thích hợp và giải quyết các bài toán cụ thể thì
người học cần phải biết:
+ Khoanh vùng kiến thức tương ứng với điều mới mẻ hay bài tập đang
quan tâm.
+ Nhận biết được điều mới mẻ ấy liên quan đến những khái niệm, tính chất hay
định lý nào, bài toán ấy thuộc dạng nào, có liên quan đến một bài tập nào đã biết.
+ Hồi tưởng lại những khái niệm, tính chất, định lý hay những dạng bài tập
tương tự và phương pháp giải.
- Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết
Các tri thức, kinh nghiệm liên tưởng xuất hiện đầu tiên mang tính chất rộng
rãi, bao trùm. Do vậy, cần được sàng lọc cho phù hợp nhiệm vụ đề ra. Trên cơ sở
này sẽ hình thành giả thuyết, tức cách giải quyết có thể có đối với nhiệm vụ tư duy.
- Kiểm tra giả thuyết
Việc kiểm tra giả thuyết có thể diễn ra trong đầu hay trong hoạt động thực
tiễn. Kết quả kiểm tra sẽ dẫn đến khẳng định, phủ định hay chính xác hóa giả thuyết
đã nêu.
Trong quá trình kiểm tra này có thể phát hiện ra những nhiệm vụ mới, do đó
lại bắt đầu một quá trình tư duy mới.
- Giải quyết vấn đề
Khi giả thuyết đã được kiểm tra và khẳng định thì nó sẽ được thực hiện, tức

là đi đến câu trả lời cho vấn đề đặt ra.
Quá trình tư duy giải quyết nhiệm vụ thường có nhiều khó khăn, do ba
nguyên nhân thường gặp là:
+ Chủ thể không nhận thấy một số dữ kiện của bài toán (nhiệm vụ).

15


+ Chủ thể đưa vào bài toán một điều kiện thừa
+ Tính chất khuôn sáo của tư duy
Ví dụ 1.5: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn An, Bình, Chi, Dung, Ngọc ngồi
vào bàn học gồm năm chỗ?
- Nhận thức vấn đề: Tìm số cách xếp năm bạn An, Bình, Chi, Dung, Ngọc
vào bàn học gồm năm chỗ
- Xuất hiện các liên tưởng
+ Sử dụng liệt kê
+ Sử dụng quy tắc đếm
- Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết:
Ở cách 1 sẽ phải liệt kê tất cả các cách có thể xếp nhưng dễ nhầm lẫn và bỏ
sót trường hợp
Ở cách 2 dùng quy tắc nhân hay quy tắc cộng? Đối chiếu với điều kiện sử
dụng quy tắc cộng và nhân ⟹ Sử dụng quy tắc nhân.
- Kiểm tra giả thuyết:
+ Có năm cách chọn một trong năm bạn để xếp vào chỗ thứ nhất.
+ Sau khi đã chọn một bạn, còn bốn bạn nữa. Có bốn cách chọn một bạn để
xếp vào chỗ thứ hai.
+ Sau khi đã chọn hai bạn rồi còn lại ba bạn nữa. Có ba cách chọn một bạn
để xếp vào chỗ thứ ba.
+ Sau khi đã chọn ba bạn còn hai bạn nữa. Có hai cách chọn một bạn để xếp
vào chỗ thứ tư

+ Bạn còn lại xếp vào chỗ thứ năm.
Theo quy tắc nhân, ta có số cách xếp là: 5.4.3.2.1 = 120 (cách).
Với giả thuyết được kiểm tra, bước cuối cùng là ta trình bày lại lời giải.
Giai đoạn sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết là giai đoạn hoạt động
tư duy tích cực nhất, chủ thể tư duy phải tiến hành phân tích, tổng hợp, so sánh,…
1.3.2. Các thao tác tư duy
Xét về bản chất thì tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí
tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ được đặt ra. Cá nhân có tư duy hay

16


không chính là ở chỗ có tiến hành các thao tác này ở trong đầu mình hay không, cho
nên các thao tác này còn gọi là quy luật bên trong (quy luật nội tại) của tư duy.
Thao tác tư duy là thao tác trí tuệ nằm trong hành động tư duy, trong đó con
người phải sử dụng một năng lượng thần kinh (não) nhằm giải quyết vấn đề để đi
đến đáp số không phải là sản phẩm vật chất mà là sản phẩm tinh thần như phán
đoán, suy lý…
Các thao tác đó là:
- Phân tích và tổng hợp:
+ Theo [11]: “ Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận
thức thành các bộ phận, các thành phần khác nhau. Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để
hợp nhất các thành phần đã được tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể”
+ Theo [3]: “ Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những
vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong tư
tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành hệ thống”.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ qua lại mật thiết với nhau, tạo thành sự
thống nhất không tách rời được: sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp,
còn sự tổng hợp dựa theo kết quả của phân tích. Chúng là hai hoạt động cơ bản của
quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích

và tổng hợp.
Ví dụ 1.6: Tính Cnk + 3Cnk - 1 + 3Cnk - 2 + Cnk - 3 (1)
Hoạt động phân tích (1) thành Cnk + Cnk - 1 + 2Cnk - 1 + 2Cnk - 2 + Cnk - 2 + Cnk - 3, sự
phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ với công thức Cnk = Cn - 1k - 1+ Cn - 1k
- Theo [11]: “So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay
khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau
giữa các đối tượng nhận thức (sự vật, hiện tượng)”.
So sánh góp một phần quan trọng vào hoạt động học tập lĩnh hội tri thức hay
nói cách khác so sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tư duy.
Vì so sánh giúp cho ta hiểu biết sâu sát hơn và có hệ thống hơn về sự vật
hiện tượng.
Ví dụ 1.7: So sánh giữa hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

17


Nội dung

Tổ hợp

Chỉnh hợp

Đổi chỗ phần tử
không ảnh hưởng
đến kết quả
Có bao nhiêu cách
chọn 3 HS từ 5 HS
đi trực nhật

Đổi chỗ phần tử

ảnh hưởng đến kết
quả
Có bao nhiêu cách
chọn 3 HS từ 5 HS
để trao giải nhất,
nhì, ba
Có bao nhiêu số
gồm ba chữ số
khác nhau được
lập từ bốn chữ số
1, 2, 3, 4

Công thức
Bản chất

Bài tập phân biệt

Có bao nhiêu tập
hợp gồm ba chữ số
khác nhau được lập
từ bốn chữ số 1, 2,
3, 4

Hoán vị
Pn = n!
Đổi chỗ phần tử
ảnh hưởng đến kết
quả
Có bao nhiêu cách
xếp 3 HS vào bàn

học có 3 chỗ ngồi
Có bao nhiêu tập
hợp gồm bốn chữ
số khác nhau được
lập từ bốn chữ số
1, 2, 3, 4

Từ sự so sánh trên HS sẽ nắm được bản chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
và biết áp dụng để giải bài tập.
Hơn nữa so sánh cũng có quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. Phân
tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật đối chiếu các dấu hiệu rồi tổng hợp xem
có gì giống nhau và khác nhau.
- Trừu tượng hóa và khái quát hóa:
+ Theo [11]: “Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt,
những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại
những yếu tố cần thiết để tư duy. Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để hợp nhất
nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, liên hệ,
quan hệ chung nhất định.
+ Theo [3]: “ Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những
đặc điểm không bản chất. Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang
một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm
chung của các phần tử trong tập xuất phát”.
Ví dụ 1.8: Khai triển A = (x + 5y)8, nhờ trừu tượng hóa mà HS nêu được bản
chất:

18


+ Biểu thức A có dạng từ đó sử dụng nhị thức Newton để khai triển mà
không quan tâm số thứ nhất là x, số thứ 2 là tích 5y chứ không phải là b.

Ví dụ 1.9: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau.
Xác suất để động cơ I hoạt động tốt 0,85 và xác suất để động cơ II hoạt động tốt là
0,7. Tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt?
Giải:
Gọi A là biến cố: “Động cơ I chạy tốt”
B là biến cố: “Động cơ II chạy tốt”
C là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”
Ta thấy A và B là hai biến cố độc lập với nhau và C = A.B do đó ta có:
P(C) = P(A.B) = P(A).P(B) = 0,85.0,7 = 0,595
Sau khi yêu HS đã giải xong bài toán trên thì GV có thể yêu cầu HS giải tiếp
các bài toán sau:
1. Một chiếc máy có 3 động cơ I, II và III hoạt động độc lập với nhau. Xác
suất để động cơ I hoạt động tốt 0,85, xác suất để động cơ II hoạt động tốt là 0,7 và
xác suất để động cơ III hoạt động tốt là 0,75. Tính xác suất để cả ba động cơ đều
chạy tốt?
2. Một chiếc máy có n động cơ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động
cơ I hoạt động tốt 0,85, xác suất để động cơ II hoạt động tốt là 0,7, xác suất để động
cơ III hoạt động tốt là 0,75 và xác suất để các động cơ còn lại chạy tốt là 0,8. Tính
xác suất để tất cả các động cơ đều chạy tốt?
Trừu tượng hóa và khái quát hóa là hai thao tác tư duy đặc trưng, cơ bản của
tư duy con người. Chúng quan hệ qua lại với nhau giống như phân tích - tổng hợp
nhưng ở mức cao hơn. Để phát triển năng lực trừu tượng và khái quát, trước hết cần
tập luyện khả năng phân tích và tổng hợp.
Ví dụ 1.10: Quá trình tư duy giải bài toán ở ví dụ 1.6: Tính được minh họa
như sau:

19


=

Cnk + 3Cnk - 1 + 3Cnk - 2 + Cnk - 3

Cn + 3k

Tổng hợp

Phân tích

Đặc biệt hóa

Cnk + Cnk - 1 + 2(Cnk - 1 + Cnk - 2 ) + Cnk - 2 + Cnk - 3

Cn + 2k + Cn + 2k - 1

Cn + 1k + Cn + 1k - 1 + Cn + 1k - 1 + Cn + 1k Phân tích

Khái quát hóa
Đặc biệt hóa
Cnk = Cn - 1k - 1+Cn - 1k (1 ≤ k ≤ n)

Cn + 1k + 2Cn + 1k - 1 + Cn + 1k - 2

Ví dụ 1.11: Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Có bao nhiêu số có 4 chữ số
đôi một khác nhau sao cho số đó chia hết cho 5 và số 3 luôn có mặt một lần?
* Phân tích: Đặc điểm của số cần tìm:
+ Số cần tìm có 4 chữ số nên số đó có dạng với a, b, c, d được chọn từ tập A
và a ≠ 0.
+ Số đó chia hết cho 5 nên d phải là 0 hoặc 5.
+ Số 3 luôn xuất hiện nên vị trí của a hoặc b hoặc c phải là 3.

+ Vì d là 0 hoặc 5 và a ≠ 0 nên chia hai trường hợp:
- TH1: d = 0
- TH2: d = 5
+ Vì số 3 luôn xuất hiện một lần nên trong mỗi trường hợp ta đều phải ưu
tiên chọn vị trí cho số 3.
- Ở TH1:Số 3 chọn 3 vị trí là như nhau
- Ở TH2: phải xem xét để a ≠ 0
* Tổng hợp: Dựa trên quá trình phân tích ta phải tư duy để tìm lời giải:
+ TH1: d = 0
Có 3 cách chọn vị trí số 3
Hai vị trí còn lại có 5.4 cách chọn
⟹ Có 3.4.5 = 60 (số)
+ TH2: d = 5
20


- Nếu a = 3 thì hai vị trí còn lại có 5.4 cách chọn
- Nếu a ≠ 3 thì a có 4 cách chọn (vì a ≠ 0)
Có 2 cách chọn một vị trí cho chữ số 3
Vị trí cuối cùng có 4 cách chọn các số còn lại
⟹ Có 20 + 4.2.4 = 52 (số)
Vậy có tất cả 60 + 52 = 112 số cần tìm
* Trừu tượng hóa:
Sau quá trình giải bài toán trên ta hiểu số phần tử trong A nhiều hay ít không
quan trọng, vai trò của số 3 cũng chỉ là thứ yếu, ta hoàn toàn có thể thay đổi số 3
thành số khác 0 mà bài toán vẫn giữ nguyên kết quả, số có 4 hay 5 chữ số cũng chỉ
là thứ yếu
Điều cốt lõi của bài toán là số đó chia hết cho 5 và một chữ số luôn xuất hiện
một lần và tập hợp ban đầu có chứa chữ số 0 nên phải phân chia các trường hợp để
chữ số đầu khác 0.

* Khái quát hóa:
Sau khi giải xong bài toán trên ta cần giúp HS khái quát cách giải với dạng
toán: Lập số có n chữ số khác nhau ( 2 ≤ n ≤ 9) từ tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9} sao cho một chữ số luôn xuất hiện và số đó chia hết cho 5.
Ta có thể khái quát dạng toán chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho 9,
…tuy nhiên mỗi bài toán có đặc trưng riêng. Hoặc bài toán có hai chữ số luôn xuất
hiện, ba chữ số luôn xuất hiện…
Khi đó người học sẽ nhanh chóng tìm được lời giải với các bài toán tương tự.
Ví dụ cũng câu hỏi đó nhưng tập hợp A không chứa 0.
Vậy các thao tác tư duy cơ bản được xem như quy luật bên trong của mỗi
hành động tư duy. Trong thực tế, các thao tác tư duy đan chéo vào nhau mà không
theo trình tự máy móc, nghĩa là trong một hành động tư duy, các thao tác tư duy
cùng xuất hiện. Tuy nhiên, không phải mọi hành động tư duy đều phải xuất hiện các
thao tác tư duy trên.
1.4. Vai trò cua tư duy
Tư duy có vai trò to lớn đối với đời sống và đối với hoạt động nhận thức cúa
con người, cụ thể:

21


- Tư duy mở rộng giới hạn của nhận thức, tạo ra khả năng để vượt ra ngoài
những giới hạn của kinh nghiệm trực tiếp do cảm giác và tri giác mang lại để đi sâu
vào bản chất của sự vật, hiện tượng và tìm ra những mối quan hệ có tính quy luật
giữa chúng với nhau.
- Tư duy không chỉ giải quyết những nhiệm vụ trước mắt, ngày hôm nay, mà
còn có khả năng giải quyết trước cả những nhiệm vụ ngày mai, trong tương lai do
nắm được bản chất và quy luật vận động của tự nhiên, xã hội và con người.
- Tư duy cải tạo lại thông tin của nhận thức cảm tính làm cho chúng có ý
nghĩa hơn cho hoạt động con người. Tư duy vận dụng những cái đã biết để đề ra

giải pháp giải quyết những cái tương tự nhưng chưa biết, do đó làm tiết kiệm công
sức của con người. Nhờ tư duy con người hiểu biết sâu sắc và vững chắc về thực
tiễn hơn với môi trường và hành động có kết quả hơn.
Học tập toán không nằm ngoài mục đích đó là rèn luyện các thao tác của tư duy.
Tư duy trong toán học có thể chia làm hai cấp độ:
- Tái tạo: Tức là nói đến năng lực toán học (ba giai đoạn):
+ Khả năng tiếp thu kiến thức
+ Suy luận nhận dạng kiến thức đã học
+ Thể hiện các mối quan hệ
- Sáng tạo: Tức là nói đến năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học tìm
những kết quả mới, những phương pháp giải quyết vấn đề mới không theo khuôn
mẫu nào.
1.5. Nội dung toán tổ hợp xác suất và thực trạng dạy học nội dung này ở
trường THPT
1.5.1. Nội dung tổ hợp xác suất ở trường THPT
1.5.1.1. Nội dung tổ hợp xác suất ở trường THPT
Chủ đề TH - XS ở chương trình toán phổ thông được giới thiệu thành một
chương trong sách Đại số và giải tích lớp 11. Nội dung đó được trình bày trong 5 bài
nhằm trang bị cho HS những kiến thức cơ bản của đại số tổ hợp gồm các quy tắc
cộng và nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (không lặp), khai triển Newtơn. Về nội
dung xác suất, HS được tìm hiểu định nghĩa cổ điển của xác suất, mô tả không gian

22


mẫu, mô tả các biến cố liên quan với phép thử, tính xác suất theo định nghĩa, các quy
tắc cộng xác suất, nhân xác suất, mối liên hệ giữa các biến cố đối, biến cố độc lập….
- Phần Tổ hợp:
+ Bài 1: Quy tắc đếm.
+ Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

+ Bài 3: Nhị thức Newton
- Phần xác suất:
+ Bài 4: Phép thử và biến cố
+ Bài 5: Xác suất của biến cố
Bên cạnh đó SGK cũng giới thiệu cho HS các bài đọc thêm như quy tắc cộng
mở rộng, cuốn sách Tiếng Việt về Xác suất – thống kê xuất bản lần đầu tiên ở nước
ta của tác giả Tạ Quang Bửu, cách sử dụng máy tính bỏ túi trong tính toán TH - XS
và một phần tiểu sử của nhà toán học Pascal.
1.5.1.2. Mục đích, yêu cầu
Đối với nội dung TH – XS lớp 11 theo chương trình cơ bản yêu cầu HS phải
đạt được chuẩn kiến thức kĩ năng sau:
* Nội dung Tổ hợp:
Về kiến thức: Biết được quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị của n phần tử,
chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử, công thức nhị thức Newton.
Về kĩ năng: Bước đầu vận dụng được quy tắc cộng và quy tắc nhân. Tìm
được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử. Biết khai triển nhị
thức Newton với một số mũ cụ thể. Tìm được hệ số của x k trong khai triển nhị thức
Newton thành đa thức.
* Nội dung Xác suất:
Về kiến thức: Biết được phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố liên
quan đến phép thử ngẫu nhiên, định nghĩa cổ điển của xác suất của biến cố, định
nghĩa thống kê của xác suất. Biết được các khái niệm: biến cố hợp, biến cố xung
khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập. Biết được các tính chất: P(∅) = 0,
P(Ω) = 1, 0≤ P(A) ≤ 1. Biết được quy tắc cộng và nhân xác suất.

23


Về kĩ năng: Xác định được phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu và biến cố
liên quan đến phép thử ngẫu nhiên. Biết vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất

trong bài tập đơn giản. Biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tính xác suất.
1.5.2. Thực trạng dạy học toán TH - XS ở trường THPT
Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội dung tổ hợp xác suất nói chung và
thực trạng rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt
hóa,… TH - XS ở trường THPT hiện nay, chúng tôi đã tiến hành khảo sát và xin ý
kiến các thầy cô và các em HS ở trường THPT Nguyễn Huệ, THPT Lương Phú,
THPT Dương Tự Minh…
1.5.2.1. Thực trạng dạy nội dung TH - XS ở trường THPT của GV
Để tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung TH - XS và rèn luyện kĩ năng giải
toán TH - XS cho HS, chúng tôi đã tiến hành điều tra bằng phiếu hỏi đối với 50 GV
dạy toán và kết quả thu được ở các bảng sau:
Với câu hỏi 1: Theo thầy (hoặc cô) việc rèn luyện các thao tác tư duy: phân
tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa… thông qua nội dung TH - XS cho HS
THPT có cần thiết không?
Tổng số phiếu

50

Nội dung

Số GV chọn

Tỉ lệ (%)

Rất cần thiết

20

40%

Cần thiết

30

60%

Ít cần thiết

0

0%

Không cần thiết
0
0%
Đa số các GV 60% đều nhận thức tầm quan trọng của việc rèn luyện các
thao tác tư duy cho HS thông qua nội dung TH - XS là cần thiết, có 40% GV cho
rằng việc làm đó là rất cần thiết. Không có GV nào cho rằng ít cần thiết hoặc không
cần thiết. Như vậy, đa số GV nhận thức đúng tầm quan trọng của việc làm này.
Với câu hỏi 2: Thầy (hoặc cô) đã chú ý rèn luyện các thao tác tư duy thông
qua nội dung TH - XS cho HS trong quá trình dạy học chưa?
Tổng số
50

Nội dung

Số GV chọn

Tỉ lệ (%)

Có

50

100%

Chưa

0

0%

24


Do nhận thức được tầm quan trọng của việc rèn luyện các thao tác tư duy:
phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa,…thông qua nội dung TH - XS,
100% GV được hỏi đều khẳng định đã chú ý rèn luyện các thao tác tư duy thông
qua nội dung TH - XS cho HS. Tuy nhiên, khi được hỏi về thực trạng kĩ năng giải
toán TH - XS của HS ở câu hỏi 3 thì kết quả lại chưa có sự tương xứng với sự nhận
thức và việc làm của GV.
Câu 3: Theo thầy (hoặc cô) khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc
biệt hóa trong nội dung TH - XS của HS THPT ở mức nào?
Tổng số

50

Nội dung

Số GV chọn

Tỉ lệ (%)

Rất tốt

0

0%

Tốt

6

12%

Khá

6

12%

Trung bình

30

60%

Yếu

8

16%

Kém

0

0%

Qua bảng trên cho thấy, đa số GV cho rằng HS khả năng phân tích, tổng hợp,
khái quát hóa, đặc biệt hóa trong nội dung TH - XS là trung bình (60%) và yếu
(16%), rất ít người cho rằng HS có kĩ năng tốt và khá. Như vậy, phải chăng việc rèn
luyện thao tác tư duy qua nội dung TH - XS của GV là chưa hiệu quả. Để biết thêm
nguyên nhân của thực trạng, chúng tôi đã tiến hành hỏi thêm câu hỏi thứ 4.
Câu 4: Thầy (hoặc cô) đã rèn luyện các thao tác tư duy đó qua nội dung
TH - XS cho HS như thế nào?
Đây là câu hỏi mở, các thầy cô tự ghi ra cách làm của mình.
- Trước khi giải giúp HS phân tích tìm dữ kiện đã cho, dữ kiện phải tìm
- Cho HS làm các bài toán thuộc cùng một dạng để từ đó HS biết khái quát
bài toán tổng quát
- Tập cho HS phát biểu bài toán mới từ các bài toán đã biết
Câu 5: Theo thầy (hoặc cô) HS gặp những khó khăn gì khi giải toán TH XS?
- HS không biết phân tích bài toán
25