Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

Header Page 1 of 123.

➜➵✐ ❤ä❝ ❤✉Õ
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠

♣❤➵♠ t❤Þ ❝ó❝

❍Ö ♥❤➞♥ tö
tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝

❧✉❐♥ ➳♥ t✐Õ♥ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝

❍✉Õ ✲ ✷✵✶✹

Footer Page 1 of 123.


Header Page 2 of 123.

➜➵✐ ❤ä❝ ❤✉Õ
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠

♣❤➵♠ t❤Þ ❝ó❝

❍Ö ♥❤➞♥ tö
tr♦♥❣ ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ➜➵✐ sè ✈➭ ❧ý t❤✉②Õt sè
▼➲ sè✿ ✻✷✳ ✹✻✳ ✵✺✳ ✵✶

❧✉❐♥ ➳♥ t✐Õ♥ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝

◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿

✶✳ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚✐Õ♥ ◗✉❛♥❣

✷✳ ●❙✳ ❚❙✳ ▲➟ ❱➝♥ ❚❤✉②Õt

❍✉Õ✱ ✷✵✶✹

Footer Page 2 of 123.


Header Page 3 of 123.

▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥
❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ➤➞② ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ t➠✐ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❝❤✉♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤å♥❣
t➳❝ ❣✐➯✳ ◆❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ✈✐Õt ❝❤✉♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤➳❝ ➤➲ ➤➢î❝ sù ♥❤✃t trÝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤å♥❣ t➳❝
❣✐➯ ❦❤✐ ➤➢❛ ✈➭♦ ❧✉❐♥ ➳♥✳ ❈➳❝ sè ❧✐Ö✉✱ ❦Õt q✉➯ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ tr✉♥❣ t❤ù❝ ✈➭
❝❤➢❛ tõ♥❣ ➤➢î❝ ❛✐ ❝➠♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜✃t ❦ú ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥➭♦ ❦❤➳❝✳

❚➳❝ ❣✐➯

P❤➵♠ ❚❤Þ ❈ó❝

✶

Footer Page 3 of 123.


Header Page 4 of 123.

ờ
ợ t ớ sự ớ ủ P ễ ế
ết ờ t tỏ ò ết t s s t ế
ỉ trề ề ứ ọ t tì
ớ ú ỡ ề ọ t ò sự ổ ũ ộ tr
sốt q trì ọ t ứ ủ ì
tr trọ t tr Pò ọ rờ
ọ s ọ ế t s ọ ọ ế t tr
ộ số ọ tự rờ ọ ồ ứ ó t
ọ ề ệ t ợ t ọ t ứ t trì ứ
ủ ì
ũ ử ờ ế sỹ ễ ủ ì ữ sự ú ỡ
t
ố ù t ố tỏ ò ết s s ế ì t ì ữ sự ồ
ộ s ữ ó tr sốt tờ t ứ s
t

P ị ú



Footer Page 4 of 123.


Header Page 5 of 123.

ụ ụ

ột số ế tứ ị



ó trù ệ
ó trù
ó trù t ọ t í t
ó trù



ó trù ệ



tử t tự



trù
trù
tử
trù t ọ




P ớ tử ể

(, f ) ứ ụ

P ớ ố ồ ề tử ể



(, f )

P ớ ó trù
P ớ ó trù ệ



P ớ ó trù ệ ở ệ tử


ụ t ở rộ ó ổ ể



ó trù ủ ột t trừ tợ
tử t ở rộ ó




ó trù t ẽ ở rộ ó ể é



ó trù ết ớ ột é

P ớ é
t ở rộ ó ể é ý tết trở ị ý ớ


ó trù t ẽ ở rộ ó ế ể
é




ý tết ố ồ ề ó ế ủ rr



Footer Page 5 of 123.


Header Page 6 of 123.
✹✳✷ ◆❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝ t❤✉ ❣ä♥ ✈➭ ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❦✐Ó✉

(ϕ, f ) ✳ ✻✻

✹✳✷✳✶ ❳➞② ❞ù♥❣ ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝ t❤✉ ❣ä♥ t❤➠♥❣ q✉❛ ♣❤➵♠ trï ❦❤✉♥❣

✻✼

✹✳✷✳✷ ❳➞② ❞ù♥❣ ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝ t❤✉ ❣ä♥ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤Ö ♥❤➞♥
tö

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✾

✹✳✷✳✸ P❤➞♥ ❧í♣ ❝➳❝ ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❦✐Ó✉
✹✳✸

Γ✲♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦ ✈➭ ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❧✐➟♥ ❦Õt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✸

✹✳✹ P❤➞♥ ❧í♣ ❝➳❝

Γ✲♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✻

✹✳✺ ❇➭✐ t♦➳♥ ♠ë ré♥❣ ♥❤ã♠ ➤➻♥❣ ❜✐Õ♥ ❦✐Ó✉
➤Þ♥❤ ❧ý ♣❤➞♥ ❧í♣
✺

(ϕ, f ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✷

Γ✲♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦✿ ❧ý t❤✉②Õt ❝➯♥ trë ✈➭

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï ❝❤➷t ❝❤Ï ✈➭ ♠ë ré♥❣ ✈➭♥❤ ❦✐Ó✉ ❊✲❤Ö ❝❤Ý♥❤ q✉✐

✺✳✶ ▲ý t❤✉②Õt ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ✈➭♥❤ ❝ñ❛ ▼❛❝ ▲❛♥❡ ✈➭ ❙❤✉❦❧❛

✽✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽

✺✳✷ ❙♦♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦ ✈➭ ❊✲❤Ö ❝❤Ý♥❤ q✉✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶
✺✳✸ P❤➞♥ ❧í♣ ❝➳❝ ❊✲❤Ö ❝❤Ý♥❤ q✉✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✹

✺✳✹ ▼ë ré♥❣ ✈➭♥❤ ❦✐Ó✉ ❊✲❤Ö ❝❤Ý♥❤ q✉✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✾

✹

Footer Page 6 of 123.


Header Page 7 of 123.

❇➯♥❣ ❦ý ❤✐Ö✉
❑ý ❤✐Ö✉

◆❣❤Ü❛

ObG

t❐♣ ❝➳❝ ✈❐t ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï

MorG

t❐♣ ❝➳❝ ♠ò✐ t➟♥ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï

(0, g, d)

r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➡♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣

(1, l, r)

r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➡♥ ✈Þ ✭❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥✮

Π = π0 G

t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ ✈❐t ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛

A = π1 G

t❐♣ ❝➳❝ tù ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛ ✈❐t ➤➡♥ ✈Þ

SG

♣❤➵♠ trï t❤✉ ❣ä♥ ❝ñ❛ ♣❤➵♠ trï

Hom(ϕ,f ) [S, S ]

t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ ➤å♥❣ ❧✉➞♥ ❝➳❝ ❤➭♠ tö ❦✐Ó✉
tõ

Γ

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï

(Π, A, h)

G

G
I

G
(ϕ, f )

S ➤Õ♥ S

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❦✐Ó✉

(Π, A), (Π, A, k)

G

(Π, A)

Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝ ❦✐Ó✉ (Π, A)

(F, F )
(F, F˘ , F )

❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ✭Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝✮

(H, H), (G, G)

❝➳❝ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❤Ý♥❤ t➽❝

(HΓ , HΓ ), (GΓ , GΓ )

❝➳❝ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♠♦♥♦✐❞❛❧

❆♥♥✲❤➭♠ tö

Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝ ❝❤Ý♥❤

t➽❝

(R, M ), (R, M, h)

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï ❦✐Ó✉

H i (Π, A)

❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ♥❤ã♠

HΓi (Π, A)
i
HM
acL (R, M )
i
HShu
(R, M )

❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ♥❤ã♠ ➤➻♥❣ ❜✐Õ♥

MA

✈➭♥❤ ❝➳❝ s♦♥❣ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ✈➭♥❤

(R, M )

❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ✈➭♥❤ ❝ñ❛ ▼❛❝ ▲❛♥❡
❝➳❝ ♥❤ã♠ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ✈➭♥❤ ❝ñ❛ ❙❤✉❦❧❛

A

t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ♥❤ã♠

Ext(Π, A, ψ)
d

M, (B, D, d, θ), B → D

✭Γ✲✮♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦✱ ❊✲❤Ö

ExtB→D (Q, B, ψ)

t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ♥❤ã♠
❦✐Ó✉ ♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦

ExtΓB→D (Q, B, ψ)

t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ♥❤ã♠
➤➻♥❣ ❜✐Õ♥ ❦✐Ó✉

✺

Footer Page 7 of 123.

Γ✲♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦


Header Page 8 of 123.

❇➯♥❣ t❤✉❐t ♥❣÷
❚❤✉❐t ♥❣÷

❚✐Õ♥❣ ❆♥❤

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï

❆♥♥✲❝❛t❡❣♦r②

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï ❝❤➷t ❝❤Ï

str✐❝t ❆♥♥✲❝❛t❡❣♦r②

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï ❝❤Ý♥❤ q✉✐

r❡❣✉❧❛r ❆♥♥✲❝❛t❡❣♦r②

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï t❤✉ ❣ä♥

r❡❞✉❝❡❞ ❆♥♥✲❝❛t❡❣♦r②

❆♥♥✲❤➭♠ tö

❆♥♥✲❢✉♥❝t♦r

❆♥♥✲❤➭♠ tö ➤➡♥

s✐♥❣❧❡ ❆♥♥✲❢✉♥❝t♦r

❆♥♥✲♠ò✐ t➟♥

❆♥♥✲♠♦r♣❤✐s♠

❆♥♥✲t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣

❆♥♥✲❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

❆♥♥✲t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ t➽❝

❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❆♥♥✲❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

❝➯♥ trë

♦❜str✉❝t✐♦♥

➤Ý♥❤

st✐❝❦

➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❦❤í♣

❝♦❤❡r❡♥❝❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❊✲❤Ö

❊✲s②st❡♠

❊✲❤Ö ❝❤Ý♥❤ q✉✐

r❡❣✉❧❛r ❊✲s②st❡♠

❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧

♠♦♥♦✐❞❛❧ ❢✉♥❝t♦r

❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❤Ý♥❤ q✉✐

r❡❣✉❧❛r ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❢✉♥❝t♦r

❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ➤è✐ ①ø♥❣

s②♠♠❡tr✐❝ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❢✉♥❝t♦r

❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ♣❤➞♥ ❜❐❝

❣r❛❞❡❞ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❢✉♥❝t♦r

❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❝❤Ý♥❤ q✉✐

r❡❣✉❧❛r ❣r❛❞❡❞ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❢✉♥❝t♦r

❤➵t ♥❤➞♥ trõ✉ t➢î♥❣

❛❜str❛❝t ❦❡r♥❡❧

❤Ö ♥❤➞♥ tö

❢❛❝t♦r s❡t

❤Ö ♥❤➞♥ tö ❝❤Ý♥❤ q✉✐

r❡❣✉❧❛r ❢❛❝t♦r s❡t

❣✐➯ ❤➭♠ tö

♣s❡✉❞♦✲❢✉♥❝t♦r

♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦

❝r♦ss❡❞ ♠♦❞✉❧❡

♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦ ➤➻♥❣ ❜✐Õ♥

❡q✉✐✈❛r✐❛♥t ❝r♦ss❡❞ ♠♦❞✉❧❡

♠ë ré♥❣ ♥❤ã♠ ➤➻♥❣ ❜✐Õ♥

❡q✉✐✈❛r✐❛♥t ❣r♦✉♣ ❡①t❡♥s✐♦♥

♠ë ré♥❣ tÝ❝❤ ❝❤Ð♦

❝r♦ss❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❡①t❡♥s✐♦♥

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï

❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❣r♦✉♣

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❝❤➷t ❝❤Ï

str✐❝t ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❣r♦✉♣

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❜Ö♥

❜r❛✐❞❡❞ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❣r♦✉♣

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❜Ö♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝

❣r❛❞❡❞ ❜r❛✐❞❡❞ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❣r♦✉♣

✻

Footer Page 8 of 123.


Header Page 9 of 123.
♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝

❣r❛❞❡❞ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❣r♦✉♣

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❝❤➷t ❝❤Ï

str✐❝t ❣r❛❞❡❞ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❣r♦✉♣

♥❤ã♠ ♣❤❛♠ trï rê✐ r➵❝

❞✐s❝r❡t❡ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❣r♦✉♣

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï t❤✉ ❣ä♥

r❡❞✉❝❡❞ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❣r♦✉♣

♣❤➵♠ trï ❦❤✉♥❣

s❦❡❧❡t❛❧ ❝❛t❡❣♦r②

♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧

♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r②

♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧ ➤è✐ ①ø♥❣

s②♠♠❡tr✐❝ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❝❛t❡❣♦r②

♣❤➵♠ trï P✐❝❛r❞

P✐❝❛r❞ ❝❛t❡❣♦r②

♣❤➞♥ ❜❐❝

❣r❛❞❡❞

r➭♥❣ ❜✉é❝

❝♦♥str❛✐♥t

r➭♥❣ ❜✉é❝ ❜Ö♥

❜r❛✐❞❡❞ ❝♦♥str❛✐♥t

r➭♥❣ ❜✉é❝ ➤➡♥ ✈Þ

✉♥✐t ❝♦♥str❛✐♥t

r➭♥❣ ❜✉é❝ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥

❝♦♠♠✉t❛t✐✈✐t② ❝♦♥str❛✐♥t

r➭♥❣ ❜✉é❝ ❦Õt ❤î♣

❛ss♦❝✐❛t✐✈✐t② ❝♦♥str❛✐♥t

s♦♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦

❝r♦ss❡❞ ❜✐♠♦❞✉❧❡

s♦♥❣ tÝ❝❤

❜✐♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥

s♦♥❣ tÝ❝❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥

♣❡r♠✉t❛❜❧❡ ❜✐♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥

sù t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤

❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t②

t✐Ò♥ ➤Ý♥❤

♣r❡✲st✐❝❦

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♣❤➵♠ trï

❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ tù ♥❤✐➟♥ ♠♦♥♦✐❞❛❧

♠♦♥♦✐❞❛❧ ♥❛t✉r❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

✈❐t

♦❜❥❡❝t

✼

Footer Page 9 of 123.


Header Page 10 of 123.

s➡ ➤å ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠✱ t❤✉❐t ♥❣÷

◆❤ã♠ ♣❤➵♠ trï

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï

♣❤➞♥ ❜❐❝

❅

❅
❅

 
 
 
 

❅
❅

 

◆❤ã♠ ♣❤➵♠ trï

✶✳

◆❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ✛

⊃

◆❤ã♠ ♣❤➵♠ trï
❝❤➷t ❝❤Ï

✛

✲

▼➠➤✉♥ ❝❤Ð♦

 
 

❅
❅
 

❅
❅
❅

 
 
▼ë ré♥❣ ♥❤ã♠ ✛

✷✳

◆❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ✛
♣❤➞♥ ❜❐❝

⊃

▼ë ré♥❣ ♥❤ã♠
❦✐Ó✉ ♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦

⊃

✛
◆❤ã♠ ♣❤➵♠ trï
♣❤➞♥ ❜❐❝ ❝❤➷t ❝❤Ï

✲

Γ✲♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦
 
 

❅
❅
❅
❅

✸✳

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï

 
 
 
▼ë ré♥❣ ♥❤ã♠ ✛
➤➻♥❣ ❜✐Õ♥

✛

⊃

⊃

▼ë ré♥❣ ♥❤ã♠ ➤➻♥❣ ❜✐Õ♥
❦✐Ó✉ Γ✲♠➠➤✉♥ ❝❤Ð♦

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï
❝❤➷t ❝❤Ï

✛

✲

❊✲❤Ö ❝❤Ý♥❤ q✉✐

 
 

❅
❅
 

❅
 
 

❅
❅
▼ë ré♥❣ ✈➭♥❤ ✛

▼ë ré♥❣ ✈➭♥❤
❦✐Ó✉ ❊✲❤Ö ❝❤Ý♥❤ q✉✐

⊃

✽

Footer Page 10 of 123.


Header Page 11 of 123.

ở
ệ trù trù ts ợ ề t ở é
ữ ủ tế ỷ trớ ó ột
trù

C ợ tr ị ột s tử : C ì C C ó tí ết ợ s ột

tự ột t

I ừ ị tr ừ ị ố ớ é t

ũ s ột tự tự ết ợ ị tỏ
ữ ề ệ ớ t ị ể r tt ể ồ ù ợ
ế ề ồ t tì t ó r ộ t ẽ
trù ét trù t ẽ ỗ trù ề t ớ
ột trù t ẽ Pé t ts t tờ
t ó

R R số trở t trù

ó trù ó tể ợ tổ qt ó ủ ệ ề
í ụ
P trù ợ ị ó ể trở t trù ớ trú ó ổ

s t ệ t ị r trờ ợ trù ề ột r ĩ
ọ ũ t tr trù ề tì t t ợ ột ớ trù q trọ
ó ó trù ột ó trù r trù t ọ ủ í
ột trù tr ó ọ ũ t ề ị ọ t ề ó
ị ế ở ị ế ủ ột t
ề ớ t ị

X ột t Y s X Y Y X

I ệt ột ó trù

t ẽ

t ọ ủ

trt ột trù t ẽ tr ó ọ ũ t ề
ị ọ t ề ó ị t ẽ X
ợ ọ

Y = I = Y X ệ ò

G r t r r

ó

t

ó t ẽ t r trù t ẽ t
í ó trù ệ ột ó trù ợ tr ị t r ộ ệ
r trờ ợ r ộ ệ ố ứ tì t t ợ ệ ó trù ố

ứ

trù Pr P trù t ó ố ứ

ữ t t ứ ề ó trù t ó tể ể ế r
í r ủ ì
í t trú ủ ó trù trù Pr ớ ú ở
ó ố ồ ề ề ủ ó tr ớ trù ọ ũ t ề
t ế tr ủ ỗ trù tộ ớ ề ợ ị
ó ỗ ó trù
t ủ

G ị t t ế ó = 0 G ớ

G A = 1 G tự ủ t ị ủ G ột ớ


Footer Page 11 of 123.


Header Page 12 of 123.
ố ồ ề t ề ủ ó

ớ ệ tử tr A ữ

ỗ ó trù ề t ớ ột ó trù ể

(, A) q t

í t ợ ự ờ ệ í ó sự ớ ó

trù t ó tể ợ tự ệ ột tr ớ trù
ó trù tề í ể

(, A) ết q é ố ệ

ữ ý tết ó trù ố ồ ề ó t ở rộ ó ổ ể ủ
rr r ó ý tết ó trù ớ tí qt
ủ ó ó ề ứ ụ
ủ í ó tể trì ột ủ ề
q ế ó trù trì ợ t ũ
rt ó tì s ó ó ột tổ ết tỉ ỉ ó
trù t t ề tớ t ớ
ó trù

ợ ớ tệ t tr ở r

ề í ụ tú ị ề ó trù ũ t
ệ tr t số ý tết r rr
ồ t ứ ị ý ớ í ó trù
tử ở ó ố ồ ề ế ề tứ t ĩ tr
ó ết q ợ ụ ể r ờ tí ợ t ở
rộ ế ủ ó ớ t tr ột qt
ủ t ở rộ ó ổ ể ở ó t ệ ột trờ ợ ệt
ứ ớ

= 1 ết q t t ố ệ ữ ộ ý tết ó trù

ở rộ ó ế ố ồ ề ế
ó trù ệ ợ ét tớ tr ở trt ột ở
rộ ủ trù Pr tr ó ó trù ệ ợ ớ ở ó ố

ồ ề

3
Hab
(M, N ) ì ố tổ qt ố ớ ó trù Pr

ợ r ở r ớ t ọ ó trù s
rr ọ trù Pr ị ý
ớ ồ trù ó trù ệ trờ ợ r ủ
ó trù trù Pr ợ trì t tứ tự tr
r é ứ ị ý ớ tú ị t ũ ứ
t t é ự ố trì ợ s ở ột ó trù ệ
trù Pr q trù ỗ ớ t ủ
trù ù t ứ ớ ột ớ ố ồ ề ề
r ớ tệ ột tế t
ớ trù ó trù
tử

ự tr ệ tử

t ĩ ủ rt P ự tr ý tở s ỗ ó



Footer Page 12 of 123.


Header Page 13 of 123.
trù

ợ ở rộ ủ ột ó trù ở ó ỗ

ó trù t ớ ột ó trù ể

(, A) ố trì

s ó tể ợ ị từ ột ệ tử t tự ị trở ủ
t ở rộ ó P ó ề trể ọ tr ệ ụ trù
ó trù ệ



ế ó trù ợ ột trù ủ trú ó
tì r ệ trù ột
trù ó ủ ệ ớ ữ ò ỏ ề tí ị ủ t ủ
ũ t tr trù ề ũ tr ị ợ t ế
tr ủ ột trù ồ ột
tử tộ ó ố ồ ề

R ột Rs M ột

3
HM
acL (R, M )

t ĩ tr ừ ó

ợ ột s ữ t ớ t ủ trù tề í ể

(R, M ) ớ t ớ ố ồ ề trú ủ trù ể (R, M ) ị ý

ó t ớ tử ợ
qết tr ờ ó ố ồ ề ề t ủ ố ồ ề
ũ tr t ỉ r ố ệ ữ t ở
rộ ý tết trở ủ tử
ớ trù í q r ộ ố ứ tỏ ề ệ
ố ớ ọ t

cX,X = id

X s từ t ở rộ ợ ớ tr ở ó

ố ồ ề ủ số ết ợ

3
HShu
(R, M ) t ĩ ủ tr

t t ớ trù tr trờ ợ tổ qt ợ
qết trọ ẹ tr
é ủ ó ợ t r tr
trì ứ ủ ề ể ễ ồ ó sự trợ ú ủ
ý tết trù r ợ t r r
ỉ r r ỗ é ề ị ột

G r ĩ ột ó trù

t ẽ ợ ó é ó tể ợ ứ ở ý tết trù
ết q é ố ệ ữ ý tết ó trù ớ é
ột ệ ó ồ ố từ t số ột í r
r ứ r ị ý trù é t ớ

trù

G r tr trù tứ t ũ t ồ é

ò tr trù tứ ũ t tử t é t ó rớ ó ết
q ợ tì r ột ộ ở rr tr ột
trì ủ ợ ố ó ết q ợ sử ụ trí
tr ề ứ ủ t ó q tớ é ó
trù ột qt ó ủ ị ý tr é tr ó



Footer Page 13 of 123.


Header Page 14 of 123.
ớ é t trù tr ợ Prtr ớ tệ tr ó tể
r r ữ t t r ợ ột t
trù ữ ột trù é ột trù ủ ột
số trù tr t ệ ự ợ t ứ
ữ t ủ trù t ớ ỉ ự ợ t ứ tr ột ớ
ũ t tử rt ệt ó t ợ
t ủ t trù ó ố ệ ớ ố ồ ề ó ố ệ ữ ó
trù t ẽ é ố ồ ề ó ợ trt ỉ r
tr t s ó ị ỏ tr ố ù

t ở rộ ó ể é ợ ớ tệ tr ợ
r ộ sự ứ tr trì r ó t
tí ị ý ề sự tồ t ớ ở rộ sử ụ
ứ é t tự ứ í tr số ồ ề

ết q ề t ở rộ ó ể é ợ ể ễ tể ệ q ố
ồ ề ó t tự ết q ổ ể ủ r ệ ề
r í ũ sử ụ ó trù t ẽ ể tì
ị ý ề sự tể ệ ột ố trì ó
trở ủ t ở rộ ó ề ợ ý ứ ề ệ tể ệ ữ
ệ q ế é q ữ ó trù từ ó ứ ụ trở
ết q ủ ý tết ó trù t ề é
ệ é ủ t ợ tổ qt ó t ề
ự tr q ể ú é
é tr ó é é t ồ
t ó ú ó trò q trọ tr số ồ ề
é r ệ é t ú
t ó rs ồ t ớ tệ ệ tổ
qt é t ú ồ số
ó ở tr ỗ é tr ó ợ ột ó trù
t ẽ ú tờ ợ ứ ề t ớ ó s
ớ tệ ệ é tr
tr

k số k r ó ù t M ố t B ợ ớ ở

ó ố ồ ề s
ở
ệt ớ

k số k trờ é

3
HHoch
(B, M ) r t t tế trờ k

K ọ é tr K số

s é



K = Z tì ú t t ợ ệ s é tr

ệ é tr ó ó tể ợ ị tr t ột



Footer Page 14 of 123.


Header Page 15 of 123.
ú t ọ ệ rờ ợ ệt ủ ệ ệ í q trù ớ
ệ s é tr ó ệ ệ ế ệ s
é tr tự é tr ó ệ ệ í
q ú t r ụ í ết ố ớ ệ trù t ẽ ọ
r ộ tr ó ề t ẽ t q ột t trù ở rộ ủ
t trù ợ tết ở r r tr ỗ
t ở rộ ể é ú t r qết t ở rộ
ể ệ í q ột ứ ụ ủ ệ ệ ũ ủ ý tết
trù
ột ủ ệ é tr ó ệ é
tr

ó tờ ợ ọ é ế

é ệ ợ ớ tệ tr s s
ể ị ĩ ố ồ ề ó ớ ệ tử tr ột é ó
ề tì r ột ớ trù ù ợ ể ể ễ

é từ ó ớ

é ò ề ở
ữ ết q ó ề ố ệ ữ é ó
trù t ẽ ố ồ ề ó t ở rộ ó ổ ể ố ệ ữ ó
trù ý tết ố ồ ề ế t ở rộ ế ố
ệ ữ ý tết trù ố ồ ề t ở rộ ú
t tế tụ ứ ột ó ệ tố ố ệ tổ
qt ó ủ ú ỹ tt ệ tử ợ sử ụ sốt ề t ứ
ể qết ề ề ó ớ sự ớ ủ P ễ ế
ết ú t ọ ề t ệ tử tr ó trù


ể qết ề tr

ụ í ủ trớ ết ứ ề ớ tử ữ ó
trù ể

(, A) ể từ ó ớ trù ó trù trù ó

trù ệ ớ ó trù ệ ở ệ tử
ứ ột số ủ é tr ó ủ t
ồ sự ể ễ ủ ú q ớ trù ó ọ trù ết ố
ệ ữ ồ é ó ớ tử ữ trù ết
t ứ sử ụ ết q ủ ý tết trù ù ể qết t

ở rộ ể é t ứ ột ứ ụ ủ ý tết
ố tợ ứ ủ trớ ết ột số ớ trù ớ trú ứ
ụ ủ ú ồ ó trù ó trù ệ ó trù
ó trù ệ trù ố tợ tế t q t
ứ ó é ủ ó ồ é



Footer Page 15 of 123.


Header Page 16 of 123.
tử ữ trù ết t ở rộ ể é t ứ
ề t ứ ợ trú t ể ở ết
t ệ t ụ từ ó
ột số ế tứ ị

trì ột số ệ ết q ết

ề ý tết ó trù trù ợ sử ụ s
P ớ tử ể

(, f ) ứ ụ ồ ột số

ộ s rớ ết ú t t ề tử ữ ó trù
ể

(, A) tử ể (, f ) trì ý tết trở ị ý ớ

tử ị ý ết q ớ ữ ợ sử ụ ể

ứ ị ý ớ trù ó trù ị ý trù
ó trù ệ ị ý ò ợ ữ trú ứ t
ể sử ụ tr s ồ tờ ú t ớ tệ ột ứ ụ số
ủ ý tết trở ủ tử q ế ột tr ữ t ổ
ể ủ ý tết ó t ở rộ ó ị ý ũ tr
ú t ứ ị ý ớ trù ó trù ệ
ệ tử
ó trù t ẽ ở rộ ó ể é



ứ ề ố ệ ữ é ó trù t ẽ t ở rộ ó
ể é ú t ự ố ệ ữ ồ é ớ
tử ữ ó trù t ẽ ết từ ó t ợ ột t
trù ị ý t trù ủ r r tr ỉ
trờ ợ r ồ tờ ú t sử ụ ó trù t ẽ ết q
ề tử ó ở ể t ết q ủ t ở rộ ó
ể é ủ r ộ sự ột ứ ụ ủ ý tết
ó trù ó q tớ é
ó trù t ẽ ở rộ ó ế ể



é

trì ột qt ý tết ở rộ ó ể

é ý tết ở rộ ó ế ó ý tết ở rộ ó
ế ể

é rớ ết ú t r ệ ó trù

t ẽ ể ết ố ớ ệ

é ủ t q ột t

trù ị ý ết q ở rộ ủ ị ý ở ứ ớ

= 1

ó ở rộ ủ ị ý ủ r r tr ó
ú t trì ý tết rr ố ớ ở rộ ó ế ể
é ờ



tử ị ý ị ý từ ó t ợ ị

ý ớ ở rộ ó ể é ủ r ị ý
ị ý ớ ở rộ ủ



Footer Page 16 of 123.

ó ủ rr ồ t


Header Page 17 of 123.
ị ý ữ trờ ợ r rờ ợ tứ t ứ ớ

= 1

é tù ý trờ ợ tứ ứ ớ é tự ủ ột ó


tù ý ề ệt ữ trờ ợ ồ tờ r ĩ

= 1 é é tự ủ ột ó tì t t ợ
t ở rộ ó ổ ể
trù t ẽ ở rộ ể ệ í q



ứ ề ệ ố ệ ủ ú ớ ột số ệ q ết tì ế ứ
ụ q ế t ở rộ ệ ệ ú t r ợ
ột ủ é tr ó rờ ợ ệt ệ
ệ í q trù ớ ệ s é tr ờ ệ ể ễ
ệ í q t q trù t ẽ ò ọ t ẽ ữ
ứ ề ố ệ ữ ồ ệ í q ớ tử ữ
trù t ẽ ết ú t t ợ ết q ớ trù ệ
í q ị ý ố ù ú t r qết t ở rộ
ể ệ í q ị ý ột ứ ụ ủ ệ ệ ũ
ủ ý tết trù



Footer Page 17 of 123.

Header Page 18 of 123.


ột số ế tứ ị

ệ trù ợ ớ tệ ở é tr
tr tr ữ ủ tế ỷ trớ ó
ợ ề ờ q t ứ t trể ữ ứ
q tớ ột số ớ trù ệt ó trù trù
t ợ ữ ết q s s ờ ữ t ệ s ột tự ề ố
ết t ứ ớ ý tết ố ồ ề ó ố ồ ề ì tr
ú t trì ột số ệ ết q q ế ó
trù ự t t ệ ó trù ự t t ệ ó
trù ệ ự t t ệ trù ự t t ệ
r t ộ ể tệ ú t ý ệ
tí t



XY X.Y t

X Y ủ t

ó trù ệ



ó trù

ột trù

(G, , I, a, l, r) ột trù G ù ớ ột s tử

: G ì G G ột t ố ị I ọ t ị ủ trù tự
aX,Y,Z : X (Y Z) (X Y ) Z, lX : I X X , rX : X I X,
t ứ ọ r ộ ết ợ r ộ ị tr r ộ ị
r ộ t ề ệ ớ ợt ọ t ề ũ t ề
t

(aX,Y,Z idT ) aX,Y Z,T (idX aY,Z,T ) = aXY,Z,T aX,Y,ZT ,



idX lY = (rX idY )aX,I,Y .





Footer Page 18 of 123.


Header Page 19 of 123.
ột trù ợ ọ t ẽ ế r ộ ết ợ
ị

a r ộ

l, r ề é ồ t

ột ó trù

G ột trù tt t ề ị

trù ề ột r ĩ tt ũ t ề



ó trù t ọ t í t



G ột ó trù ó t 0 G ớ t ủ G ột ó

tr ó t ợ t ý ệ é ợ s ở é t
ị ớ t ớ t ị
ị

tử

I 1 G = Aut(I) tự ủ t

I ột ó ớ é t ó ý ệ é ộ í é

ợ t ợ t ữ

1 G ột 0 G tr ớ t ộ ợ ở

1
su = X

X (u), X s, s 0 G, u 1 G,

tr ó X , X ợt ợ ở ể ồ s

X
lX

X (u)





I X

X


rX

lX

uid



ộ ết ợ ủ

I X

X


rX

X I

idu



X I.

G s ột ố trì ó k Z 3 (0 G, 1 G).

ớ ữ ệ t ự ợ ột trù
ó

X (u)

X

SG ó t tử ủ

0 G ũ t ữ tự (s, u) : s s, s 0 G, u 1 G Pé

ợ t ủ ũ t ợ s ở é ộ tr

1 G

(s, u) (s, v) = (s, u + v).
P trù

SG t ớ trù G ờ t í t ợ ự

s ớ ỗ

s = [X] 0 G t ọ ột ệ Xs G s X1 = I ớ ỗ

X s t ọ ột ũ t iX : Xs X s iXs = id ọ (Xs , iX ) ợ
ọ ột í ủ ó trù

G ế

iIXs = lXs , iXs I = rXs .
ớ ỗ í

(Xs , iX ) ú t t ợ tử



G : G SG



G(X) = [X] = s

f
G(X
1 1
Y ) = (s, X
(iY f iX ))
s


Footer Page 19 of 123.



H : SG G



H(s) = Xs



H(s, u) = (u).
Xs


Header Page 20 of 123.
tử

G H ữ t trù ở é ế ổ tự
= (iX ) : HG
= idG ,

= id : GH
= idSG .

ú ợ ọ ữ t í t
ở é ể trú ờ ộ ố

(G, H, , ) trù SG trở t ột ó

trù ớ é t ợ ị s

s t = s.t,

s, t 0 G,

(s, u) (t, v) = (st, u + sv),
ó trù

u, v 1 G.

SG ó r ộ ị t ẽ ó r ộ ết ợ as,r,t =

(srt, k(s, r, t)) ớ k Z 3 (0 G, 1 G).
ữ t

G H trở t t ù ớ

tự

GX,Y = G(iX iY ) , Hs,t = i1
Xs Xt : Xs Xt Xst .
ó trù



SG ợ ọ ột t ọ ủ ó trù G ú t ó tể ó

SG ó ể (, A, k) ể (, A) t t tế 0 G, 1 G ở ó
A ột t ứ



ó trù

r ý ệ
ột ó

ợ tr ị t ột t ộ tr ở tự ột



tr

ột ó ố ị r ột ó

ế

ột

ó A ợ tr ị ột trú s

(xa) = (x)(a) ớ ọ x a A ột ồ f : ữ
ó ột ồ ó tỏ f (x) = f (x) , x
ó
tử ủ

ợ ột trù ớ ú ột t ý ệ ũ t

é ợ t é t ó ữ ột ó trù ọ

ó trù rờ r

P trù

G ợ ọ ế ó ột tử gr : G

P ợ ọ ổ ị ế ớ ỗ
tr

G ớ ố ề X s gr(f ) =

ột trù
ột trù


X Ob G ỗ tồ t ột ũ t f

G = (G, gr, , I, a, l, r) ồ

ổ ị (G, gr) tử : G ì G G

I : G
tự





X, rX : X I X tỏ ề ệ ớ


Footer Page 20 of 123.



aX,Y,Z : (X Y ) Z X (Y Z), lX : I X


Header Page 21 of 123.
▼ét ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ♣❤➞♥ ❜❐❝ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧ ♣❤➞♥ ❜❐❝

G tr♦♥❣ ➤ã ♠ä✐ ✈❐t

➤Ò✉ ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤ ✈➭ ♠ä✐ ♠ò✐ t➟♥ ➤Ò✉ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉✳
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭②✱ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❑❡rG ❜❛♦ ❣å♠ ❝➳❝ ✈❐t ❝ñ❛
✶ tr♦♥❣

✶✳✶✳✹

G ✈➭ ❝➳❝ ♠ò✐ t➟♥ ❜❐❝

G ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï✳
◆❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❜Ö♥ ♣❤➞♥ ❜❐❝

▼ét ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï

G ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

♥❣❤Ü❛ ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❜Ö♥

♥Õ✉ ❝ã ♠ét r➭♥❣ ❜✉é❝ ❜Ö♥

c✱

c = (cX,Y ) : X ⊗ Y → Y ⊗ X ✱ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ✈í✐ a, l, r t❤❡♦

♥❣❤Ü❛ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❦❤í♣ s❛✉

◆Õ✉ ❜Ö♥

(idY ⊗ cX,Z )aY,X,Z (cX,Y ⊗ idZ ) = aY,Z,X cX,Y ⊗Z aX,Y,Z ,

✭✶✳✹✮

−1

−1
(cX,Z ⊗ idY )a−1
X,Z,Y (idX ⊗ cY,Z ) = aZ,X,Y cX⊗Y,Z aX,Y,Z .

✭✶✳✺✮

c t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ cX,Y ◦ cY,X = idY ⊗X t❤× ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❜Ö♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ➤è✐ ①ø♥❣

❤❛② ♣❤➵♠ trï P✐❝❛r❞✳ ❑❤✐ ➤ã ❤Ö t❤ø❝ ✭✶✳✹✮ trï♥❣ ✈í✐ ❤Ö t❤ø❝ ✭✶✳✺✮✳

▼ét ♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧

Γ✲♣❤➞♥

❜❐❝ ❜Ö♥

❜❛♦ ❣å♠✿ ♠ét ♣❤➵♠ trï

Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝ æ♥ ➤Þ♥❤

(G, gr)✱ ❝➳❝ ❤➭♠ tö Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝ ⊗ : G ×Γ G → G ✈➭ I : Γ → G✱ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥
∼

❜❐❝ ✶

∼

∼

aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X ✈➭
∼

cX,Y : X ⊗ Y → Y ⊗ X ✱ ✈í✐ I = I(∗)✱ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❦❤í♣ ✭✶✳✶✮✱ ✭✶✳✷✮✱ ✭✶✳✹✮ ✈➭
✭✶✳✺✮✳
❑❤✐ ❑❡rG ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❜Ö♥ t❤× t❛ ♥ã✐

G ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❜Ö♥ Γ✲♣❤➞♥

❜❐❝✳

✶✳✶✳✺

❍➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧✱ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ tù ♥❤✐➟♥ ♠♦♥♦✐❞❛❧

●✐➯ sö

G = (G, ⊗, I, a, l, r) ✈➭ G = (G , ⊗, I , a , l , r ) ❧➭ ♥❤÷♥❣ ♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧✳

▼ét ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ tõ G ➤Õ♥ G ❧➭ ♠ét ❜é ❜❛ (F, F , F∗ ) tr♦♥❣ ➤ã F
tö✱

: G → G ❧➭ ♠ét ❤➭♠

F∗ ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ tõ I ➤Õ♥ F I ✈➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥ FX,Y : F X ⊗ F Y → F (X ⊗ Y )

t❤á❛ ♠➲♥

F (aX,Y,Z ) ◦ FX,Y Z ◦ (idF X ⊗ FY,Z ) = FX⊗Y,Z ◦ (FX,Y ⊗ idF Z ) ◦ a F X,F Y,F Z ,

✭✶✳✻✮

rF X = F (rX ) ◦ FX,I ◦ (idF X ⊗ F∗ ), lF X = F (lX ) ◦ FI,X ◦ (F∗ ⊗ idF X ).

✭✶✳✼✮

▼ét t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ tù ♥❤✐➟♥ ♠♦♥♦✐❞❛❧✱ ❤❛② ♠ét ➤å♥❣ ❧✉➞♥
❣✐÷❛ ♥❤÷♥❣ ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ tõ

α : (F, F , F∗ ) → (F , F , F∗ )

G ➤Õ♥ G ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥ α : F → F s❛♦ ❝❤♦

F∗ = αI ◦ F∗ ✈➭
αX⊗Y ◦ FX,Y = FX,Y ◦ (αX ⊗ αY ).
✶✾

Footer Page 21 of 123.

✭✶✳✽✮


Header Page 22 of 123.
▼ét t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❣✐÷❛ ❝➳❝ ♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧

F :

G → G s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ F : G → G ✈➭ ❝➳❝ ➤å♥❣ ❧✉➞♥ α : F ◦ F →
idG ✱ β : F ◦ F → idG ✳ (F, F , F∗ ) ❧➭ ♠ét t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ F ❧➭ ♠ét

t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✳
◆Õ✉

G, G ❧➭ ❤❛✐ ♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧ Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝✱ t❤× ♠ét ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝

(F, F , F∗ ) : G → G ❜❛♦ ❣å♠ ♠ét ❤➭♠ tö Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝ F : G → G ✱ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥
❜❐❝ ✶

FX,Y : F X ⊗ F Y → F (X ⊗ Y ), ✈➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❜❐❝ ✶ F∗ : I → F I t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝

➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❦❤í♣ ✭✶✳✻✮ ✈➭ ✭✶✳✼✮✳
●✐➯ sö

(F, F , F∗ ), (F , F , F∗ ) ❧➭ ❤❛✐ ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ▼ét t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ tù

♥❤✐➟♥ ♠♦♥♦✐❞❛❧

∼

∼

Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝ α : F → F ❧➭ ♠ét t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ tù ♥❤✐➟♥ ♠♦♥♦✐❞❛❧ α : F → F

❝ñ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ s❛♦ ❝❤♦ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉
◆Õ✉

αX : F X → F X ➤Ò✉ ❝ã ❜❐❝ ✶✳

(G, c), (G , c ) ❧➭ ♥❤÷♥❣ ♥❤ã♠ ♣❤➵♠ trï ❜Ö♥ t❤× ♠ét ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❜Ö♥ (F, F ) :

G → G ❧➭ ♠ét ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ✈í✐ ❝➳❝ ❜Ö♥ c, c t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉
❦✐Ö♥

FY,X cF X,F Y = F (cX,Y )FX,Y .
●✐➯ sö

(G, gr) ✈➭ (G , gr ) ❧➭ ❤❛✐ ♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❜Ö♥ Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ▼ét

♠♦♥♦✐❞❛❧ ❜Ö♥

✭✶✳✾✮
❤➭♠ tö

Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝ tõ (G, gr) ➤Õ♥ (G , gr ) ❧➭ ♠ét ❜é ❜❛ (F, F , F∗ )✱ tr♦♥❣ ➤ã F :

(G, gr) → (G , gr ) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ tö Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝✱ FX,Y : F X ⊗ F Y → F (X ⊗ Y ) ❧➭ ♥❤÷♥❣
♠ò✐ t➟♥ tù ♥❤✐➟♥ ❜❐❝ ✶ ✈➭

F∗ : I → F I ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❜❐❝ ✶✱ s❛♦ ❝❤♦ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❦❤í♣

✭✶✳✻✮✱ ✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✾✮ ➤ó♥❣✳
●✐➯ sö (F, F , F∗ ), (F
tù ♥❤✐➟♥ ♠♦♥♦✐❞❛❧

✶✳✷

, F , F∗ ) ❧➭ ❤❛✐ ❤➭♠ tö ♠♦♥♦✐❞❛❧ ❜Ö♥ Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝✳ ▼ét t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣
∼

Γ✲♣❤➞♥ ❜❐❝ ❜Ö♥ α : F → F ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♠ét t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ tù ♥❤✐➟♥ ♠♦♥♦✐❞❛❧✳

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② t❤❡♦ ❬✶❪✳

✶✳✷✳✶

❆♥♥✲♣❤➵♠ trï

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

▼ét ❆♥♥✲♣❤➵♠ trï ❣å♠✿

✭✐✮ P❤➵♠ trï

A ❝ï♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ s♦♥❣ ❤➭♠ tö ⊕, ⊗ : A × A → A❀

✭✐✐✮ ❱❐t ❝è ➤Þ♥❤ 0

∈ Ob A ❝ï♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥ a+ , c, g, d s❛♦ ❝❤♦ (A, ⊕, a+ , c, (0, g, d))

❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï P✐❝❛r❞❀
✭✐✐✐✮ ❱❐t ❝è ➤Þ♥❤

1 ∈ Ob A ❝ï♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tù ♥❤✐➟♥ a, l, r s❛♦ ❝❤♦ (A, ⊗, a, (1, l, r))

❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ♠♦♥♦✐❞❛❧❀

✷✵

Footer Page 22 of 123.


Header Page 23 of 123.
tự

L, R

LA,X,Y : A (X Y ) (A X) (A Y )
RX,Y,A : (X Y ) A (X A) (Y A)
s ề ệ s ợ t
ố ớ ỗ t

A ), (RA , R
A ) ị ở ệ tứ
A Ob A (LA , L

LA
A
L

RA
A
R

= A
= LA,X,Y

X,Y

= A
= RX,Y,A

X,Y

ữ tử t tí ớ a+ ớ c
ố ớ ọ A, B, X, Y Ob A ể ồ s
aA,B,XY

(AB)(X Y )

A(B(X Y ))



B
idA L

A(BX BY )

AB
L

A
L



A(BX) A(BY )

aXY,B,A

(X Y )(BA)



aA,B,X aA,B,Y

(AB)X (AB)Y

((X Y )B)A

B idA
R

(XB Y B)A

BA
R

A
R



aX,B,A aY,B,A

X(BA) Y (BA)

a

(A(X Y )B

A,XY,B

A((X Y )B)


(XB)A (Y B)A
B
idA R

A(XB Y B)

A idB
L

A
L



B
R

(AX AY )B
(A B)X (A B)Y

(AX)B (AY )B aa

AB

L


(A B)(X Y )


A(XB) A(Y B)

XY
R

A(X Y ) B(X Y )

X R
Y
R

A L
B
L


tr ó


(AX AY ) (BX BY )

v

(AX BX) (AY BY )

v = vU,V,Z,T : (U V ) (Z T ) (U Z) (V T ) ũ t t

ợ ự từ , a+ , c, id tr trù ố ứ (A, )
ố ớ t ị 1 Ob A ủ é t ể ồ s
1
L

1(X Y )




s

lXY




rXY

X Y

trù

A ợ ọ

1
R

(X Y )1

1X 1Y


l
lY
X





s

X1 Y 1

r r
X
Y




X Y.
í q

ế r ộ ố ứ tỏ ề ệ

cX,X = id ợ ọ t ẽ ế ọ r ộ tr ó ề t ẽ


Footer Page 23 of 123.


Header Page 24 of 123.



tử

ị ĩ

ố



A A ữ trù ột tử từ A ế A ột ộ

(F, F , F , F ) tr ó F : A A ột tử
FX,Y : F (X Y ) F (X) F (Y ); FX,Y : F (X Y ) F (X) F (Y )

F : F (1) 1 ột ũ t s (F, F ) ột
tử ố ứ ố ớ é t (F, F , F ) ột tử ố ớ
é t tỏ ể ồ s
ữ é ế ổ tự

F (X(Y Z))

F

F X.F (Y Z)

idF

F X(F Y F Z)

F (L)

L


F (XY XZ)

F ((X Y )Z)


F

F (XY ) F (XZ)

F

F (X Y ).F Z

F X.F Y F X.F Z,

F F

id
F

(F X F Y )F Z

F (R)

R


F (XZ Y Z)


F

F (XZ) F (Y Z)


F X.F Z F Y.F Z.

F F

ể ồ ò ợ ọ sự t tí ủ tử

F ớ r ộ

ố
ột ũ t ột ồ

: (F, F , F , F ) (F , F , F , F ) ữ

tử ột

ũ t ồ tờ ũ t
r trờ ợ tồ t ột tử (F , F , F , F ) : A A ũ t


F F idA , F F idA t ó (F, F , F , F ) ột t A t


ớ





A

trù t ọ

A ột trù R = 0 A ớ t ủ A ột ố

ớ é t +, ì ợ s ở t , tr A ò t M
tự ủ t

= 1 A = Aut(0)

0 ột ó t ợ t tr ó ợ ý ệ ở

+ ữ M ột Rs
trù t ọ

SA ủ A ợ ự ờ é ể trú tết

ó t tử ủ

0 A ũ t ữ tự (s, u) : s

s, s 0 A, u 1 A ợ t ủ ũ t ợ ị ở
(s, u) (s, v) = (s, u + v).



Footer Page 24 of 123.


Header Page 25 of 123.
ớ ỗ
iX

s 0 A t ọ ột t Xs Ob A s X0 = 0, X1 = 1 ột ọ

: X Xs t iXs = idXs ột

í

tr

A ồ ột ệ ệ (Xs , iX )

s

i0Xs = gXs ,

iXs 0 = dXs ,
iXs 1 = rXs , i0Xs = RXs ,

i1Xs = lXs ,
P trù

ớ

iXs 0 = LXs .

A t ớ trù SA ờ tử




G : A SA
H : SA A

G(X) = [X] = s
H(s) = Xs






f
G(X Y ) = (s, 1 (i f i1 ))
H(s, u) = (u)
Xs
Xs Y
X

X, Y s f : X Y ò X : Aut(0) Aut(X) ợ ị ở
1
X (u) = gX (u id) gX
.

é t tr



SA ợ ị ở
s t = G(H(s) H(t)) = s + t,
s t = G(H(s) H(t)) = st,

(s, u) (t, v) = G(H(s, u) H(t, v)) = (s + t, u + v),
(s, u) (t, v) = G(H(su) H(t, v)) = (st, sv + ut),
ớ

s, t 0 A u, v 1 A r ộ ị tr A ợ ọ t ứ (0, id, id)



(1, id, id) ọ r ộ ò h = (, , , , ) ợ ị ờ tí t

tí ớ r ộ

a+ , c, a, L, R ủ A q tử H tử
= i1 , H = i1 .
H
Xs Xt
Xs Xt

ó



H) : SA A ột t ồ tờ tử G : A SA
(H, H,

ù ớ tử

X,Y = G(iX iY ),
G

GX,Y = G(iX iY )

ũ ột t
ọ

H) (G, G,
G)
SA ột trù ể (R, M ), ọ (H, H,

t í t ọ r ộ
trú

ủ trù ể

h = (, , , , ) ủ SA ợ ọ ột



(R, M ) ột trú tr (R, M )

ó ố ồ ề t ề t ợ sử ụ
ể ớ trù trù í q ột trú ủ
trù

3
SA ột tử tộ ó ố trì ZM
acL (R, M ).

r trờ ợ

3
A í q tì h ZShu
(R, M ).



Footer Page 25 of 123.