Luận văn Thạc sĩ Toán học Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether

Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————

NGUYỄN SỸ ĐÔNG

ĐA THỨC VÀ HỆ SỐ HILBERT
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05
Người hướng dẫn khoa học: GS. NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Footer Page 1 of 89.


Header Page 2 of 89.

Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên 08/11/2011

Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................................................................

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
Ngày 08 tháng 10 năm 2011

Có thể tìm hiểu tại
Thư viện Đại học Thái Nguyên

Footer Page 2 of 89.


Header Page 3 of 89.

Mục lục

Lời cảm ơn

2

Mở đầu

3

1

5

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Vành, môđun Artin và Noether . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Định lý Artin-Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether

16

2.1

Đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Chiều của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Chiều của vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4

Hệ tham số và số bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39

1

Footer Page 3 of 89.


Header Page 4 of 89.

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành với một phần nỗ lực của bản thân và
sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học. Tôi xin tỏ lòng
biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn. Với tinh thần làm việc nghiêm
túc, thầy đã tận tình giúp tôi có được phương pháp nghiên cứu khoa học
đúng đắn, hiệu quả trong suốt quá trình xây dựng đề cương cũng như hoàn
thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường

Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT Lạng Sơn và trường THPT Chi
Lăng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi
học tập.
Cuối cùng, tôi xin trân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã
giúp đỡ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành bản luận
văn cũng như khóa học của mình.

2

Footer Page 4 of 89.


Header Page 5 of 89.

Mở đầu
Cho A là một vành Artin, R = A[x1 , ..., xm ] là vành đa thức m biến với
hệ số trong A. Khi đó R là một vành phân bậc. Nếu M = ⊕ Mn là một Rn≥0

môđun phân bậc hữu hạn sinh thì Mn là một A-môđun và
Hơn nữa, với n đủ lớn thì

A (Mn )

A (Mn )

< +∞.

là một đa thức với hệ số hữu tỉ. Kết quả

này là nội dung của Định lí đa thức Hilbert. Đa thức Hilbert đóng một
vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số; nó cho phép
chúng ta nghiên cứu độ lớn, cấu trúc của môđun M thông qua những đại
lượng số cụ thể như bậc của đa thức, hệ số của đa thức,....
Từ khi Định lí đa thức Hilbert được chứng minh đã có nhiều nhóm
nghiên cứu về vấn đề này. Đa thức Hilbert trở thành một công cụ được
nhiều nhà nghiên cứu Đại số giao hoán và Hình học đại số quan tâm. Với
lí do đó, dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Tự Cường, tác giả luận văn
chọn đề tài "Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether" làm
đề tài cho luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ toán học của mình.
Nội dung chính của luận văn là trình bày Định lí đa thức Hilbert trên
vành địa phương Noether cùng với một số tính chất của nó về bậc đa thức,
hệ số cao nhất của đa thức (thông qua số bội). Ngoài phần mở đầu và kết
luận, luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này trình bày về vành và môđun
Noether, Artin; vành và môđun phân bậc; Định lí Artin-Rees. Đây là những
kiến thức cơ sở cho các chứng minh trong Chương 2, chương chính của luận
3

Footer Page 5 of 89.


Header Page 6 of 89.

văn.
Chương 2. Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương
Noether. Chương này trình bày về Định lí đa thức Hilbert; chiều của
môđun và vành địa phương; hệ tham số và số bội. Nội dung của chương

là hệ thống một số kết quả quan trọng về đa thức Hilbert trên vành địa
phương Noether.
Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên bài giảng của GS.
Nguyễn Tự Cường và tham khảo thêm trong hai cuốn sách Commutative
Algebra và Commutative Ring Theory của tác giả H.Matsumura. Bên cạnh
đó, tác giả luận văn có chứng minh chi tiết một số vấn đề được trình bày
vắn tắt trong các tài liệu trên. Một số ví dụ và bài tập minh họa cũng
được tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho những nội dung được
trình bày.
Với mong muốn hệ thống lại một số nội dung quan trọng về đa thức
Hilbert, tác giả luận văn đã dành nhiều thời gian nghiên cứu những kết
quả này. Tuy nhiên, do năng lực bản thân còn hạn chế, thời gian nghiên
cứu chưa nhiều nên khó tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn. Tác
giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và ý kiến góp ý
của các bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011
Tác giả

NGUYỄN SỸ ĐÔNG

4

Footer Page 6 of 89.


Header Page 7 of 89.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Trong toàn bộ luận văn này ta luôn xét các vành là giao hoán có đơn
vị.

1.1

Vành, môđun Artin và Noether

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành, M là R-môđun.
i) M được gọi là R-môđun Noether nếu với mọi dãy tăng các R-môđun
con của M : M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... đều dừng, nghĩa là ∃n0 ∈ N sao
cho Mi = Mi+1 , ∀i ≥ n0 .
ii) M được gọi là R-môđun Artin nếu với mọi dãy giảm các R-môđun
con của M : M1 ⊇ M2 ⊇ ... ⊇ Mn ⊇ ... đều dừng, nghĩa là ∃n0 ∈ N sao
cho Mi = Mi+1 , ∀i ≥ n0 .
Nếu xét vành R như môđun trên chính nó thì R được gọi là vành
Noether (Artin) khi R là R-môđun Noether (Artin). Khi đó, tập các môđun
con của R-môđun R trùng với tập các iđêan của vành R.
Định lý 1.1.2. Cho R là một vành. Khi đó M là R-môđun Noether khi
và chỉ khi mọi R-môđun con của M là hữu hạn sinh.
Chứng minh. (=⇒): Lấy N là môđun con bất kỳ của M . Đặt
5

Footer Page 7 of 89.

là tập


Header Page 8 of 89.

tất cả các R-môđun con hữu hạn sinh của M chứa trong N . Ta thấy

= φ vì 0 ∈

, và mọi xích tăng các phần tử của

(do M là Noether) nên

đều có chặn trên

có phần tử tối đại là N0 . Suy ra N0 ∈

và N0 là

hữu hạn sinh. Nếu N0 = N thì ∃x ∈ N \N0 , do đó R-môđun N1 = N0 +(x)
là hữa hạn sinh và N ⊇ N1 ⊃ N0 , mâu thuẫn. Vậy N0 = N .
(⇐=): Giả sử

là tập khác φ các môđun con của R-môđun M . Lấy một

xích tăng tùy ý trong
∞

, chẳng hạn M1 ⊆ M2 ⊆ ... ⊆ Mn ⊆ ... (*). Đặt

Mi . Khi đó, N là môđun con của M suy ra N là hữu hạn sinh,

N =
i=1

sinh bởi các phần tử x1 , ..., xk , xi ∈ N, ∀i = 1, k . Suy ra tồn tại n0 sao cho

x1 , ..., xk ∈ Mn0 , do đó N ⊆ Mn0 và Mt = Mn0 , ∀t ≥ n0 , từ đó suy ra (*)
dừng. Vậy M là R-môđun Noether.
Định lý 1.1.3. (Định lý cơ sở Hilbert) Cho R là vành Noether. Khi đó
vành đa thức n biến R[x1 , ..., xn ] cũng là vành Noether.
Chứng minh. Vì R[x1 , ..., xn ] = R[x1 , ..., xn−1 ][xn ] nên ta chỉ cần chứng
minh cho vành R[x] là vành Noether.
Lấy tùy ý một iđêan I của R[x]. Ta chứng minh I là hữu hạn sinh. Đặt

J = {a ∈ R|∃f (x) ∈ I, f (x) có hệ số cao nhất là a}. Suy ra J là iđêan
của R. Vì R là vành Noether nên J là hữu hạn sinh, sinh bởi {a1 , ..., an }.
Với mỗi ai ∈ {a1 , ..., an } tồn tại fi (x) ∈ I sao cho fi (x) = ai xni + hi (x),
với deghi (x) < ni , ∀i = 1, n. Đặt I = (f1 (x), ..., fn (x)) là iđêan của R[x]
và r = Max{ni |i = 1, n}. Xét R-môđun con M = R + xR + ... + xr R của

R[x]. Khi đó M là hữu hạn sinh và có một tập sinh là {1, x, ..., xr }, suy ra
M là R-môđun Noether (do R là Noether, M là hữu hạn sinh trên R).Ta
sẽ chứng minh I = I + M ∩ I .
Hiển nhiên ta có I + M ∩ I ⊆ I .
Mặt khác, lấy f (x) ∈ I , giả sử f (x) = axh + g(x), với degg(x) < h.
Khi đó a ∈ J = (a1 , ..., an ), suy ra a = b1 a1 +, ..., +bn an , bi ∈ R, ∀i = 1, n.
6

Footer Page 8 of 89.


Header Page 9 of 89.

n

Nếu deg f (x) = h > n thì f (x) = (

ai bi )xh + g(x). Xét hiệu

i=1
n

bi xh−ni fi (x) = g(x) ∈ I, deg g(x) < h.

f (x) −
i=1

Sau hữu hạn bước như trên ta được đa thức h(x) có deg h(x) < r hoặc

h(x) = 0 sao cho f (x) = f (x) + h(x), f (x) ∈ I ⊆ I . Từ h(x) ∈ M và
h(x) ∈ I suy ra h(x) ∈ M ∩I . Vậy I = I +M ∩I và I là hữu hạn sinh, do
đó R[x] là vành Noether. Từ đó suy ra R[x1 , ..., xn ] là vành Noether.
Định nghĩa 1.1.4. Cho R là một vành. Một R-môđun M được gọi là có
độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành. Khi đó độ dài của

M , kí hiệu là (M ), chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó của
M.
Hệ quả 1.1.5. Giả sử N là một môđun con của một R-môđun M . Khi
đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và M/N là những R-môđun có
độ dài hữu hạn. Hơn nữa, trong trường hợp này ta có

(M ) = (N ) + (M/N ).
Chứng minh. (=⇒): Khi N = 0 hoặc N = M thì hiển nhiên kết luận của
hệ quả là đúng.
Giả sử M là môđun có độ dài hữu hạn và 0 ⊂ N ⊂ M là một xích của

M , xích này có thể làm mịn thành một dãy hợp thành của M
A : 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ Ak = N ⊂ Ak+1 ⊂ ... ⊂ An = M.
Khi đó xích 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ Ak = N là một dãy hợp thành của N , suy
ra N có độ dài hữu hạn. Vậy 0 = Ak /N ⊂ Ak+1 /N ⊂ ...An /N = M/N (*)
là dãy hợp thành của M/N do (Ak+i+1 /N )/(Ak+i /N ) ∼
= Ak+i+1 /Ak+i , ∀i =

0, n − k − 1 là những môđun đơn. Từ chứng minh trên suy ra
(M ) = (N ) + (M/N ).
7

Footer Page 9 of 89.


Header Page 10 of 89.

(⇐=): Giả sử

0 = A0 ⊆ A1 ⊆ ... ⊆ Ak = N
và

0 = B 0 ⊆ B 1 ⊆ ... ⊆ B l = M/N
lần lượt là hai dãy hợp thành của N và M/N . Gọi π : M → M/N là
phép chiếu chính tắc và đặt Bj = π − 1(Bj ), j = 1, l. Rõ ràng khi đó ta có

π(Bj ) = Bj và N ⊆ B0 ⊆ B1 ⊆ ... ⊆ Bl = M vì Bj+1 /Bj là môđun đơn
nên từ đẳng cấu (Bj+1 /N )/(Bj/N ) ∼
= Bj+1 /Bj suy ra Bj+1 /Bj ,j = 1, l
là những môđun đơn. Vậy xích

N ⊆ A0 ⊆ A1 ⊆ ... ⊆ Ak = N ⊆ B 0 ⊆ B 1 ⊆ ... ⊆ B l = M
là một dãy hợp thành có độ dài hữu hạn và (M ) = (N ) + (M/N ).
Từ hệ quả trên ta có kết quả sau.
Hệ quả 1.1.6. Cho T:
f1

f2

fn−1

0 −−→ M1 −−→ M1 −−→ ... −−→ Mn −−→ 0
là một dãy khớp các R-môđun có độ dài hữu hạn Mi . Khi đó
n

(−1)i (Mi ) = 0.
i=1

Chứng minh. Theo Hệ quả 1.1.5 ta có

(Mi ) = (Ker fi ) + (Mi / Ker fi ), ∀i = 1, n − 1
Mặt khác, ta biết rằng Mi / Ker fi ∼
= Im fi , do đó

(Mi ) = (Ker fi ) + (Im fi ), ∀i = 1, n − 1.
Suy ra
n

n−1
i

(−1)i (l(Ker fi ) + l(Im fi )) + (−1)n (Mn ).

(−1) (Mi ) =
i=1

i=1

8

Footer Page 10 of 89.


Header Page 11 of 89.

Do T là dãy khớp nên ta có Im fi = Ker fi+1 , ∀i = 1, n − 2. Vậy
n

(−1)i (Mi ) = − (Ker f1 ) + (−1)n−1 (Im fn−1 ) + (−1)n (Mn ) (*).
i=1

Vì f1 là đơn ánh, fn−1 là toàn ánh nên Ker f1 = 0 và Im fn−1 = Mn . Thay
vào (*) ta có
n

(−1)i (Mi ) = 0.
i=1

1.2

Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành.
∞

i) R gọi là vành phân bậc nếu R có phân tích R = ⊕ Rn , trong đó
n=0

Rn là các nhóm abel với phép cộng (tức là (Rn , +) là các nhóm con của
(R, +)) và thỏa mãn tính chất Ri Rj ⊆ Ri+j , ∀i, j = 0, n.
Một phần tử x ∈ R sao cho x ∈ Ri được gọi là phần tử thuần nhất bậc

i, Ri được gọi là thành phần bậc i của R.
∞

ii) Một môđun M trên vành phân bậc R = ⊕ Rn được gọi là R−
∞

n=0

môđun phân bậc nếu M có phân tích M = ⊕ Mn , trong đó Mn là các
n=0

môđun con của M và Ri Mj ⊆ Mi+j , ∀i, j = 0, n.
Một phần tử x ∈ M sao cho x ∈ Mi được gọi là phần tử thuần nhất
bậc i, Mi được gọi là thành phần bậc i của M .
iii) Cho M là R-môđun phân bậc, N là môđun con của M . N được gọi
∞

là môđun con phân bậc của M nếu N = ⊕ (N ∩ Mn ). Ta cũng gọi N là

n=0

môđun con thuần nhất của M .
Nếu R là vành phân bậc thì R cũng là R-môđun phân bậc. Khi đó I
là một iđêan con phân bậc của R nếu I là một iđêan của R thỏa mãn
∞

I = ⊕ (I ∩ Rn ). I còn được gọi là iđêan thuần nhất.
n=0

9

Footer Page 11 of 89.


Header Page 12 of 89.

Mệnh đề 1.2.2. Cho N là môđun con của môđun phân bậc M trên vành
phân bậc R. Khi đó, N là môđun con phân bậc khi và chỉ khi ∀x ∈ N thì
các phần tử thuần nhất của x cũng thuộc N .
Chứng minh. (=⇒): Giả sử N là môđun con thuần nhất của M , khi đó
∞

N = ⊕ (N ∩ Mi ) (*). Lấy tùy ý x ∈ N , từ (*) suy ra x = xi + ... + xi+s ,
n=0

xi ∈ (N ∩ Mi ), ∀i = i, i + s. Vậy xi ∈ N, ∀i = i, i + s.
(⇐=): Giả sử ∀x ∈ N đều có tính chất, nếu x = xi + ... + xi+s với xj ∈

Mj , ∀j = i, i + s thì xj ∈ N, ∀j = i, i + s. Ta chứng minh N thuần nhất,

∞

∞

j=0

j=0

tức là chứng minh N = ⊕ (N ∩ Mj ). Thật vậy, ta có ⊕ (N ∩ Mj ) ⊆ N .
Ngược lại lấy x ∈ N thì x ∈ M suy ra x = xi + ... + xi+s , xj ∈ Mj , ∀j =
∞

i, i + s. Theo trên xj ∈ N , do đó xj ∈ N ∩ Mj . Vậy x ∈ ⊕ (N ∩ Mn ) hay
n=0

∞

⊕ (N ∩ Mn ) = N .

n=0

Ví dụ 1.2.3. .
∞

(1) Một vành R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ Rn ,
n=0

R0 = R, Rn = 0, ∀n > 0.
(2) Một R−môđun M luôn là R−môđun phân bậc với phân bậc tầm
∞

thường M = ⊕ Mn , M0 = M, Mn = 0, ∀n > 0 (R là vành phân bậc tầm
n=0

thường).
(3) Xét vành đa thức R = k[x1 , .., xn ], k là một trường. Khi đó R có
∞

phân bậc R = ⊕ Rn , với R0 = k , Rn là tập các đa thức thuần nhất bậc
n=0

n của R.
(4) Cho I là một iđêan của R. Khi đó

i) R(I) = ⊕ I n là vành phân bậc (vì I m I n ⊆ I m+n ). Vành R(I) được
n≥0

gọi là vành Rees của R đối bậc với I .

ii) GR (I) = ⊕ I n /I n+1 là vành phân bậc (vì (I m /I m+1 )/(I n /I n+1 ) ⊆
n≥0

I

m+n

/I

m+n+1

). Vành phân bậc GR (I) được gọi là vành phân bậc liên kết

của R đối với I .
10

Footer Page 12 of 89.


Header Page 13 of 89.

(5) Cho M là R-môđun. Khi đó

i) RM (I) = ⊕ I n M là một môđun phân bậc và được gọi là môđun
n≥0

Rees.

ii) GI (M ) = ⊕ I n M /I n+1 M là một môđun phân bậc và được gọi là
n≥0

môđun phân bậc liên kết của M đối với I .
Định lý 1.2.4. Cho R = ⊕ Rn là một vành phân bậc. Khi đó, các mệnh
n≥0

đề sau là tương đương:
i) R là vành Noether.
ii) R0 là vành Noether và tồn tại a1 , ..., an là các phần tử thuần nhất
của R sao cho R = R0 [a1 , ..., an ] = {f (a1 , ..., an )|f ∈ R0 [x1 , ..., xn ]}.
Chứng minh. (i =⇒ ii): Ký hiệu R+ = ⊕ Rn là iđêan thuần nhất của R.
n≥0

Vì R là Noether nên R+ hữu hạn sinh suy ra tồn tại a1 , ..., an ∈ R sao cho

R+ = (a1 , ..., an ). Mặt khác, R+ là các iđêan thuần nhất nên ta có thể giả
thiết được là ai thuần nhất có bậc là ni > 0. Đặt R là vành con của R
sinh bởi a1 , ..., an trên R0 , R = R0 [a1 , ..., an ], ta sẽ chứng minh Rn ⊆ R ,

∀n ≥ 0 (*) bằng quy nạp.
Nếu n = 0 thì hiển nhiên (*) đúng.
Giả sử Ri ⊆ R , với n ≥ i, n > 0. Ta chứng minh Rn+1 ⊆ R . Lấy
n

x ∈ Rn+1 ⊆ R+ , ta có x =

ai bi , trong đó bi ∈ Rn+1−ni , ∀i = 1, n.
i=1

Mà ni > 0, ∀i nên n + 1 − ni ≤ n, ∀i = 1, n. Theo giả thiết quy nạp thì
bi ∈ R , ∀i = 1, n do đó Rn+1 ⊆ R , suy ra (*) đúng. Hơn nữa R0 ∼
= R/R+ .
Vậy R0 là Noether.

(ii =⇒ i): Từ điều kiện ii) suy ra R có dạng R = R0 [a1 , ..., an ], ai ∈ R,
∀i = 1, n. Khi đó tồn tại toàn cấu vành
ϕ : R0 [x1 , ..., xn ] −→ R0 [a1 , ..., an ]
f (x1 , ..., xn ) −→ f (a1 , ..., an ).
11

Footer Page 13 of 89.

Header Page 14 of 89.

Theo định cơ sở Hilbert thì R0 [x1 , ..., xn ] là vành Noether (do R0 là vành
Noether). Mà R0 [a1 , ..., an ] ∼
= R0 [x1 , ..., xn ]/ Ker ϕ là vành Noether suy ra

R0 [a1 , ..., an ] là vành Noether. Vậy R là vành Noether.
Định lý 1.2.5. Cho R là vành Noether và I là iđêan của R. Khi đó
i) R(I) và GI (R) là các vành phân bậc Noether.
ii) Với M là R-môđun Noether thì RM (I) là R(I)-môđun Noether,

GI (M ) là GI (R)-môđun Noether.
Chứng minh. i) R(I) là vành Noether.
Từ R(I) = ⊕ I n , I m I n ⊆ I m+n suy ra R(I) là vành phân bậc. Ta có
n≥0
0

(R(I))0 = I = R là vành Noether do R là vành Noether theo giả thiết.
Vì I là iđêan của R nên I là hữu hạn sinh, suy ra I = (a1 , ..., an ), trong
đó ai ∈ I, ∀i = 1, n. Ta thấy a1 , ..., an là các phần tử thuần nhất bậc 1 và

R(I) = R[a1 , ..., an ] theo định nghĩa, trong đó
R[a1 , ..., an ] = {f (x1 , ..., xn )|f (x1 , ..., xn ) ∈ R(x1 , ..., xn )}.
Xét đồng cấu

ϕ : R[x1 , ..., xn ] −→ R[a1 , ..., an ]
f (x1 , ..., xn ) −→ f (a1 , ..., an ).
Vì ϕ là một toàn cấu vành nên R[a1 , ..., an ] ∼
= R[x1 , ..., xn ]/ Ker ϕ. Theo

Định lý cơ sở Hilbert thì R[x1 , ..., xn ] là vành Noether, từ đây suy ra

R[x1 , ..., xn ]/ Ker ϕ là vành Noether. Vậy R[a1 , ..., an ] = R(I) là vành
Noether.

GI (R) là vành Noether. Ta có (GI (R))0 = I 0 /I = R/I là vành Noether,
vì R là vành Noether.
Do I là iđêan của R nên I hữu hạn sinh suy ra I = (a1 , ..., an ), trong
đó ai ∈ I, ∀i = 1, n. Ta thấy ai = ai + I 2 là các phần tử thuần nhất cấp 1
12

Footer Page 14 of 89.


Header Page 15 of 89.

của GI (R), ∀i = 1, n.
Mặt khác ta lại có GI (R) = (R/I)[a1 , ..., an ]. Xét đồng cấu vành

ϕ : (R/I)[x1 , ..., xn ] −→ (R/I)[a1 , ..., an ]
f (x1 , ..., xn ) −→ f (a1 , ..., an ).
Vì ϕ là toàn cấu nên (R/I)[a1 , ..., an ] ∼
= (R/I)[x1 , ..., xn ]/ Ker ϕ là vành
Noether, do (R/I)[x1 , ..., xn ] là vành Noether theo định lí cở sở Hilbert.
Vậy GI (R) = là vành Noether.
Từ GI (R) = ⊕ I n /I n+1 và (I m /I m+1 )/(I n /I n+1 ) ⊆ I m+n /I m+n+1 ,
n≥0

suy ra GI (R) là vành phân bậc.

ii) RM (I) = ⊕ I n M là R(I)-môđun Noether.
n≥0

Từ RM (I) = ⊕ I n M và I n (I m M ) ⊆ I n+m M suy ra RM (I) là môđun
n≥0

phân bậc.
Vì M là môđun Noether nên M là hữu hạn sinh, suy ra tồn tại x1 , ..., xn

∈ M sao cho M = Rx1 + ... + Rxn . Khi đó RM (I) = (x1 , ..., xn ) suy ra
RM (I) là R(I)-môđun hữu hạn sinh. Mà R(I) là vành Noether nên RM (I)
là R(I)-môđun Noether.
Tương tự trên, ta có GI (M ) = (x1 , ..., xn ) với xi = xi + IM, ∀i = 1, n
suy ra GI (M ) là GI (R)-môđun hữu hạn sinh. Theo trên GI (R) là vành
Noether nên GI (M ) là môđun Noether.

1.3

Định lý Artin-Rees

Định nghĩa 1.3.1. i) Cho R là một vành. Một dãy giảm các iđêan {In }n≥0
của R được gọi là một lọc các iđêan nếu In Im ⊆ In+m , ∀m, n ≥ 0. Đặc
biệt, nếu I là iđêan của R thì dãy {I n }n≥0 là một lọc, gọi là lọc I -adic.
ii) Cho M là một R-môđun. Một lọc các môđun con của M là một dãy
giảm các môđun con {Mn }n≥0 của M .
13

Footer Page 15 of 89.

Header Page 16 of 89.

Với {In }n≥0 là một lọc các iđêan thì lọc {Mn }n≥0 gọi là tương thích với
lọc iđêan {In }n≥0 nếu In Mm ⊆ Mn+m , ∀n, m ≥ 0.
Đặc biệt khi lọc iđêan là lọc I -adic thì lọc {Mn }n≥0 gọi là I -lọc tốt nếu

{Mn }n≥0 là tương thích với lọc {I n }n≥0 , và tồn tại m0 sao cho I n Mm ⊆
Mn+m , ∀m ≥ m0 , ∀n ≥ 0.
Chú ý 1.3.2. Cho {In }n≥0 là một lọc các iđêan của R. Khi đó T = ⊕ In
n≥0

và G = ⊕ In /In+1 là những vành phân bậc.
n≥0

Hơn nữa, nếu {Mn }n≥0 là lọc các môdun con và là I -lọc tốt thì ⊕ Mn
n≥0

n

là môđun phân bậc trên vành phân bậc R(I) = ⊕ I và ⊕ Mn /Mn+1 là
n≥0

n

môđun phân bậc trên vành phân bậc GI (R) = ⊕ I /I

n≥0
n+1

.

n≥0

Định lý 1.3.3. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, I
là iđêan của R, {Mn }n≥0 là lọc của M . Khi đó các mệnh đề sau tương
đương.
i) ⊕ Mn là R(I)-môđun phân bậc, hữu hạn sinh.
n≥0

ii) {Mn }n≥0 là I -lọc tốt .
n

Chứng minh. Đặt M ∗ = ⊕ Mn , Qn = ⊕ Mi , Mn∗ = Qn ⊕IMn ⊕I 2 Mn ⊕...
n≥0

Suy ra

Mn∗

i=1

= M0 ⊕ M1 ⊕ ... ⊕ Mn ⊕ IMn ⊕ I 2 Mn ⊕ ....

Ta thấy Mn∗ ⊆ M ∗ . Mặt khác Mi hữu hạn sinh với mọi i nên Qn
là hữu hạn sinh. Giả sử Qn = (y1 , ..,k ) suy ra Qn = y1 R + ... + yk R.
Do đó Mn∗ là môđun hữu hạn sinh của M ∗ trên vành R(I), cụ thể hơn

Mn∗ = y1 R(I) + ... + yk R(I).
∗
∗

Ta thấy ... ⊆ Mn∗ ⊆ Mn+1
⊆ Mn+2
... (*) là một dãy tăng dần các môđun
∞

con của M , hơn nữa ∪ Mn∗ = M ∗ . Vậy M ∗ là R(I)-môđun Noether khi
n=0

∞

và chỉ khi ra dãy (*) dừng (do ∪ Mn∗ = M ∗ ) hay tồn tại n0 sao cho
n=0

Mn∗0

=

Mn∗0 +1

= ..., đây chính là điều kiện cần và đủ để {Mn }n≥0 là I -lọc

tốt. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
14

Footer Page 16 of 89.


Header Page 17 of 89.

Hệ quả 1.3.4. (Định lý Artin-Rees) Cho R là một vành Noether, I là một

iđêan của R. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của

M . Khi đó ∃r > 0 sao cho I n M ∩ N = I n−r (I r M ∩ N ), ∀n ≥ r .
Chứng minh. Vì ⊕ (I n M ∩ N ) là môđun con của môđun ⊕ I n M =
n≥0

n≥0
n

RM (I), RM (I) là R(I)-môđun phân bậc Noether, nên ⊕ (I M ∩ N ) là
n≥0
n

R(I)- môđun phân bậc hữu hạn sinh khi và chỉ khi lọc {(I M ∩ N )}n≥0 là
I -lọc tốt. Từ đó suy ra tồn tại r > 0 sao cho I n M ∩ N = I n−r (I r M ∩ N ),
∀n ≥ r.
Hệ quả 1.3.5. (Định lý giao) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan
của R. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của M . Đặt

I n M . Khi đó IN = N .

N=
n≥o

Chứng minh. Do N = I n M ∩ N nên theo định lý Artin-Rees thì tồn tại

r > 0 sao cho N = I n M ∩ N = I n−r (I r M ∩ N ), ∀n > r, suy ra I n−r ⊆ I
và N ⊆ IN . Hơn nữa IN ⊆ N . Vậy N = IN.
Hệ quả 1.3.6. (Định lý giao Krull) Cho R là một vành Noether, I là một
iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh, N là môđun con của M . Giả

sử I ⊆ J(R) (J(R) là giao các iđêan cực đại của R gọi là căn Jacobson

I n M = 0.

của R). Khi đó
n≥o

Chứng minh. Do I ⊆ J(R) nên theo bổ đề Nakayama ta có IN = N suy

I n M = N = 0.

ra N = 0. Áp dụng Hệ quả 1.3.5 ta có
n≥o

15

Footer Page 17 of 89.


Header Page 18 of 89.

Chương 2
Đa thức và hệ số Hilbert trên vành
địa phương Noether
2.1

Đa thức Hilbert

Ta biết rằng nếu A là vành Artin thì A là vành Noether do đó (A) <

+∞. Xét vành đa thức m biến R = A[x1 , ..., xm ] với hệ số trong A . Khi
đó R là một vành phân bậc R = ⊕ Rn , trong đó R0 = A, Rn = {f ∈ R|f
n≥0

là đa thức thuần nhất bậc n}. Cho M = ⊕ Mn là một R-môđun phân
n≥0

bậc hữu hạn sinh (khi đó M cũng là R-môđun Noether) ta có AMn =

R0 Mn ⊆ Mn , ∀n ≥ 0, tức là Mn là R0 -môđun ∀n ≥ 0.
Mệnh đề 2.1.1. Với các kí hiệu như trên ta có

A (Mn )

< +∞.

Chứng minh. Do M là hữu hạn sinh nên giả sử M = y1 R + ... + yk R. Khi
đó ta có thể giả thiết thêm y1 , ..., yk là các phần tử thuần nhất bậc nhất
bậc lần lượt là d1 , .., dk tức là y1 ∈ Rd1 , ..., yk ∈ Rdk .
k

+∞

i=1

n=di

Đặt ϕ : ⊕ R(di ) −→ M , trong đó R(di ) = ⊕ Rn−di , ϕ(b1 , ..., bk ) =

16

Footer Page 18 of 89.


Header Page 19 of 89.

k

bi yi . Khi đó ϕ là toàn cấu có bậc như nhau, tức là ta có toàn cấu
n=1
k

ψ : ⊕ Rn−di
i=1

Mn .

k

Suy ra Mn ∼
= ⊕ Rn−di / Ker ψ , do đó
i=1

A (Mn ) =

k

A ( ⊕ Rn−di ) −
i=1

A (Ker ψ) ≤

k

A ( ⊕ Rn−di )
i=1

k

=

A (Rn−di )

< +∞.

n=1
A (Mn )

Vậy

A (Mn )

< +∞.

đo độ lớn của môđun Mn và là một hàm số nhận giá trị nguyên

dương, kí hiệu là FM (n) =

A (Mn ).

Bổ đề 2.1.2. Cho R là một vành, B và C là hai R-môđun. Khi đó
R (B

⊕ C) =

R (B)

+

R (C)

(*).

Chứng minh. Nếu (B) = +∞ hoặc (C) = +∞ thì (*) đúng vì

R (B

⊕ C) =

+∞.
Nếu (B) < +∞ và (C) < +∞ thì tồn tại các dãy hợp thành môđun
con của B và C thỏa mãn:

0 = B0 ⊂ B1 ⊂ ... ⊂ Bn = B, n = (B), Bi−1 /Bi là các môđun đơn
∀i = 1, n.
0 = C0 ⊂ C1 ⊂ ... ⊂ Cm = C, m = (C), Ci−1 /Ci là các môđun đơn
∀i = 1, m.
Xét dãy các môđun con của B ⊕ C như sau

B0 ⊂ B1 ⊂ ... ⊂ Bn ⊂ Bn ⊕ C0 ⊂ Bn ⊕ C1 ⊂ ... ⊂ Cn = B ⊕ C (∗∗).

Hiển nhiên Bi−1 /Bi là môđun đơn, ∀i = 1, n và Bn ⊕ Cj+1 /Bn ⊕ Cj là
môđun đơn ∀i = 1, m − 1. Do đó (**) là dãy hợp thành các môđun con
của B ⊕ C , vậy (R) = m + n =

R (B

17

Footer Page 19 of 89.

⊕ C) =

R (B)

+

R (C).


Header Page 20 of 89.

Mệnh đề 2.1.3. Nếu A là một vành Artin,Rn= {f ∈ A[x
1 , .., xn ]|f là
m+n−1
. Đặc biệt,
đa thức thuần nhất bậc n} thì A (Rn ) = (A). 
m−1


m+n−1

.
khi A là một trường thì A (Rn ) = 
m−1
Chứng
minh. Ta

 biết rằng số các đơn thức bậc n của A[x1 , .., xm ] là t =
m+n−1

. Gọi các đơn thức này là f1 , .., ft . Xét các môđun Ai =
m−1
k

k

(fi ), ∀i = 1, t . Khi đó ta có Rn = ⊕ Ai suy ra
i=1

A (Ai )

A (Rn ) =
i=1

(chứng minh quy nạp theo Bổ đề 2.1.2). Mặt khác, ta có dãy hợp thành

0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ A = A của A, với

= (A). Khi đó dãy các môđun

con của Ai là

0 = A0 ⊂ A1 fi ⊂ ... ⊂ A fi = Ai , = (A) (***).
Vì Aj+1 fi /Aj fi ∼
= Aj+1 Aj nên Aj+1 fi /Aj fi là các môđun đơn với mọi

i = 1, 2, .., t và j = 1, 2, .., . Suy ra (***) là dãy hợp thành của Ai . Do đó
(Ai ) = (A).


k

Vậy

A (R)

=

(A) = (A).t = (A). 
i=1

m+n−1
m−1


.

Định lý 2.1.4. (Định lý đa thức Hilbert)
Cho A là một vành Artin, R = ⊕ Rn , là vành phân bậc với R0 = A,
n≥0

Rn = {f ∈ R = A[x1 , ..., xm ]|f là đa thức thuần nhất bậc n}, M = ⊕ Mn
n≥0

là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại một đa thức PM (n)
sao cho FM (n) = PM (n) khi n đủ lớn (n

0). Ngoài ra PM (n) là đa thức

có hệ số hữu tỉ.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo độ lớn môđun con N ⊆

M . Ta viết P (M/N ) nếu định lý đúng với M/N .
18

Footer Page 20 of 89.


Header Page 21 of 89.

Nếu N = M thì ta có P (M/N ).
Giả sử ta đã có P (M/N ). Ta sẽ chứng minh P (M/N ) với N ⊆ N ,
tức là ta đã có P (M/N ), ∀N ⊂ N , và ta cần chứng minh P (M/N ).
Xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1. N không là bất khả quy. Khi đó ∃N1 , N2 ⊃ N để N =
N1 ∩ N2 . Khi đó ta có P (M/N1 ) và P (M/N2 ). Vì (N1 + N2 )/N1 ∼
=

N2 /N1 ∩ N2 = N2 /N nên
FM/N (n) = FM/N2 (n) + F(M/N )/(M/N2 ) (n)
= FM/N2 (n) + F(N2 /N ) (n)

= FM/N2 (n) + F(N1 +N2 )/N1 (n)
= FM/N2 (n) + FM/N1 (n) − FM/(N1 +N2 ) (n).
Do FM/N2 (n), FM/N1 (n) và FM/(N1 +N2 ) (n) đều là các đa thức nên ta suy
ra P (M/N ) khi N không là bất khả quy.
Trường hợp 2. N là bất khả quy. Khi đó N là nguyên sơ, tức là AssR (M/N ) =

{p}, p ∈ Spec(R). Đặt I = (x1 , .., xm ) ⊆ R và M/N = M .
Giả sử I ⊆ p. Ta chứng minh (M/N )n = 0, khi n đủ lớn. Thật vậy,
giả sử có M/N = y1 R + ... + yk R với yi ∈ (M/N )di , (degyi = di ). Đặt

d = Max(d1 , .., dk ), ta sẽ chứng minh (M/N )n+d = I n (M/N )d , ∀n ≥ 0.
Rõ ràng I n (M/N )d ⊆ (M/N )n+d . Lấy y ∈ (M/N )n+d , suy ra ∃g1 , ..., gk ∈

R sao cho y = y1 g1 + ... + yk gk , với deggi = n + (d − di ). Vì d − di ≥ 0 nên
gi = hi fi với deghi = I n . Do đó hi yi ∈ I n (M/N )di suy ra y = y1 g1 f1 +...+
yk gk fk ∈ I n (M/N )d , tức là (M/N )n+d ⊆ I n (M/N )d . Vậy (M/N )n+d =
I n (M/N )d , ∀n ≥ 0. Mặt khác, ta có AssR (M/N ) = {p},

Ann(M/N =

p = p suy ra ∀a ∈ p, ∃r sao cho ar ∈ Ann(M/N ) do vậy
p∈Ass(M/N )
r

a (M/N ) = 0. Giả sử p = (a1 , .., as ) khi đó ∃ri sao cho ari i (M/N ) =
0. Ta chọn l = Max(sr1 , .., srs ) khi đó al (M/N ) = 0, ∀a ∈ P . Suy ra
19

Footer Page 21 of 89.

Header Page 22 of 89.

P l (M/N ) = 0. Với n ≥ l ta có (M/N )n+d = I n (M/N )d ⊆ P n (M/N ) = 0
suy ra (M/N )n+d = 0, ∀n ≥ l. Vậy (M/N )n = 0 với n ≥ l + d. Do đó ta
có P (M/N ).
Giả sử I ⊆ p. Khi đó ∃xi ∈
/ p. Vì

p = p nên xi không là ước
p∈Ass(M/N )

của 0 của M/N . Do đó ta có dãy khớp
.x

i
0 −−→ (M/N )n −−→
(M/N )n+1 −−→ (M/(N + xi M ))n+1 −−→ 0.

suy ra

FM/N (n + 1) − FM/N (n) = FM/(N +xi M ) (n + 1).
Vì N ⊂ N + xi M nên F(M/N +xi M ) (n + 1) là đa thức với n đủ lớn. Do vậy

FM/N (n + 1) − FM/N (n) là một đa thức.
Đa thức PM (n) gọi là đa thức Hilbert của M .
Chú ý 2.1.5. Nếu f (x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f (n) ∈ Z, ∀n ∈ Z và

degf (n) = d. Khi đó, tồn tại các số nguyên a0 = 0, a1 , .., ad sao cho
f (n) = a0

n+d
n+d−1
− a1
+ ... + (−1)d ad .
d
d−1

Theo Định lý đa thức Hilbert, tồn tại các số nguyên e0 (M ) > 0, e1 (M ), ...,

e(M ), d = degPM (n), sao cho
PM (n) = e0 (M )

n+d
n+d−1
− e1 (M )
+ ... + (−1)d ed (M ).
d
d−1

Các số e0 (M ), e1 (M ), ..., ed (M ) gọi là hệ số Hilbert của môđun phân
bậc M . Đặc biệt, e0 (M ) được gọi là số bội của M , e1 (M ) được gọi là lớp
Chern của M .

20

Footer Page 22 of 89.


Header Page 23 of 89.

2.2

Chiều của môđun

Định nghĩa 2.2.1. i) Cho R là vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan
nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ ... ⊃ pn của R được gọi là một xích nguyên tố. Có
độ dài là n.
ii) Cho p là iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của
xích nguyên tố bắt đầu bằng p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p),

ht(p) = Sup {n|p = p0 ⊃ p1 ⊃ ... ⊃ pn là một xích nguyên tố}.
Với I là iđêan của R. Độ cao của I , kí hiệu là ht(I), được xác định bởi

ht(I) = Inf{ht(p)|p ∈ V (I)}.
iii) Cận trên của độ dài tất các xích nguyên tố trong R được gọi là
chiều của vành R, kí hiệu là dim R (còn gọi là chiều Krull của R).
Với M là một R-môđun thì chiều của M được xác định bởi

dim M = dim(R/AnnM ).
Ví dụ 2.2.2.

1) dim Z = 1 vì mọi xích nguyên tố của Z đều có dạng

0 ⊂ pZ, với p là một nguyên tố bất kì.
2) Khi k là một trường thì dim k = 0 vì k có duy nhất một idean nguyên
tố là 0.
3) Nếu k là một trường thì dim k[x] = 1 vì mọi xích nguyên tố của k[x]
đều có dạng 0 ⊂ (f (x)), với f (x) là đa thức bất khả quy trên k[x].
4) Với k là một trường thì dim k[x1 , .., xn ] = n.

5) R là một vành Noether, ta có dim R[x1 , .., xn ] = dim R + n.

21

Footer Page 23 of 89.


Header Page 24 of 89.

6) Cho R = R[x, y] và I = (x2 , xy). Khi đó I = (x2 , y) ∩ (x2 , x) =

(x2 , y) ∩ (x) là một phân tích nguyên sơ của I . Suy ra
ht(I) = inf {ht(x), ht(x2 , y)} = 1.
Đặt Q1 = (x), Q2 = (x, y). Khi đó p ∈ Spec(R/Q1 ∩ Q2 ) suy ra
p ∈ Spec R, p ⊃ R/Q1 ∩ Q2 . Vậy p ⊃ Q1 hoặc p ⊃ Q2 . Từ đó suy ra
xích nguyên tố của R/Q1 ∩Q2 là xích nguyên tố của R/Q1 hoặc R/Q2 ,
và dim(R/I) = dim(R/Q1 ∩ Q2 ) = Sup { dim(R/Q1 ), dim(R/Q2 )}.
√
Từ dim(R/I) = dim(R/ I), suy ra
√
dim(R/ I) = Sup { dim(R/ Q1 ), dim(R/ Q2 )}

= Sup { dim(R/(x)), dim(R/(x, y))}.
Vì R/(x, y)

R, R/(x)

R[y] nên dim(R/I) = 1.

Nhận xét 2.2.3. (1) Giả sử R là vành Noether, I là iđêan của R. Giả

sử I có phân tích nguyên sơ thu gọn I = Q1 ∩ ... ∩ Qn , Qi là iđêan
pi -nguyên sơ. Theo định nghĩa thì ht(I) = Inf{ht(p)i |i = 1, 2,.., n}

= Inf{ht(p)i |pi tối tiểu trong {p1 ,,...,pn }}.
(2) Giả sử 0 = Q1 ∩ ... ∩ Qn là phân tích nguyên sơ của iđêan 0 của R
với Qi là pi -nguyên sơ. Theo định nghĩa

dim R = Sup {dim(R/p)i |i = 1,.., n}
= Sup {dim(R/p)i |pi tối tiểu trong {p1 , ..., pn }.
(3) Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) R là vành Artin.
(ii) R là vành Noether và mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại.
(iii) R là vành Noether và dim R = 0.
(4) Cho R là vành địa phương (R, m). Khi đó ta có dim R = ht(m).
22

Footer Page 24 of 89.


Header Page 25 of 89.

(5) Cho p là iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó Rp là vành địa phương
với iđêan cực đại duy nhất pRp . Vậy dim Rp = ht(pRp ). Mặt khác

Spec(Rp ) = {QRp |Q ∈ Spec R, Q ⊆ p} suy ra dim Rp = ht(pRp ) =
ht(p).
Mệnh đề 2.2.4. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh.
Các mệnh đề sau tương đương:
i) M là R-môđun Artin.
ii) M có độ dài hữu hạn.

iii) R/AnnM là vành Artin.
iv) dim M = 0.
Chứng minh. (iii =⇒ iv ): Giả sử R/AnnM là vành Artin. Khi đó, mọi
iđêan nguyên tố p khác 0 của R/AnnM đều tối đại (tính chất của vành
Artin). Vậy dim M = dim(R/AnnM ) = 0.
(iv =⇒ iii): Giả sử dim M = 0. Khi đó dim(R/AnnM ) = 0. Vì R
là Noether nên R/AnnM là Noether. Mặt khác, nếu p = 0 là một iđêan
nguyên tố của R/AnnM thì p thuộc một iđêan tối đại q, suy ra có xích
nguyên tố q ⊇ p. Do dim(R/AnnM ) = 0 nên p = q, suy ra p là tối đại.
Vậy R/AnnM là vành Artin.
(i =⇒ ii): Giả sử M là R-môđun Artin. khi đó mọi dãy tăng, giảm
các môđun con của M đều dừng. Đặt

M

của M . Do M là R-môđun Noether và

là tập các môđun con thực sự
M

= 0 (vì 0 ∈

M)

nên

M

có phần tử cực đại là M1 , đây cũng là phần tử tối đại của M , vì nếu có
môđun con N1 ⊇ M1 , N1 = M thì N1 ∈

M,

suy ra N1 ⊆ M1 . Do đó

N1 = M1 .
Đặt

M1

là tập các môđun con thực sự của M1 (tức là các môđun con

khác M1 ). Tương tự như trên, có môđun con cực đại M2 ⊂ M1 và M2 là
tối đại trong M1 .
23

Footer Page 25 of 89.