Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————
NGUYỄN SỸ ĐÔNG
ĐA THỨC VÀ HỆ SỐ HILBERT
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05
Người hướng dẫn khoa học: GS. NGUYỄN TỰ CƯỜNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên 08/11/2011
Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG
Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
Ngày 08 tháng 10 năm 2011
Có thể tìm hiểu tại
Thư viện Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Vành, môđun Artin và Noether . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Định lý Artin-Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether 16

2.1 Đa thức Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Chiều của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Chiều của vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Hệ tham số và số bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 39
1
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành với một phần nỗ lực của bản thân và
sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học. Tôi xin tỏ lòng
biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn. Với tinh thần làm việc nghiêm
túc, thầy đã tận tình giúp tôi có được phương pháp nghiên cứu khoa học
đúng đắn, hiệu quả trong suốt quá trình xây dựng đề cương cũng như hoàn
thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.
Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT Lạng Sơn và trường THPT Chi
Lăng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi
học tập.
Cuối cùng, tôi xin trân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã
giúp đỡ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành bản luận
văn cũng như khóa học của mình.
2
Mở đầu
Cho A là một vành Artin, R = A[x
1
, , x
m

] là vành đa thức m biến với
hệ số trong A. Khi đó R là một vành phân bậc. Nếu M = ⊕
n≥0
M
n
là một R-
môđun phân bậc hữu hạn sinh thì M
n
là một A-môđun và 
A
(M
n
) < +∞.
Hơn nữa, với n đủ lớn thì 
A
(M
n
) là một đa thức với hệ số hữu tỉ. Kết quả
này là nội dung của Định lí đa thức Hilbert. Đa thức Hilbert đóng một
vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số; nó cho phép
chúng ta nghiên cứu độ lớn, cấu trúc của môđun M thông qua những đại
lượng số cụ thể như bậc của đa thức, hệ số của đa thức,
Từ khi Định lí đa thức Hilbert được chứng minh đã có nhiều nhóm
nghiên cứu về vấn đề này. Đa thức Hilbert trở thành một công cụ được
nhiều nhà nghiên cứu Đại số giao hoán và Hình học đại số quan tâm. Với
lí do đó, dưới sự hướng dẫn của GS. Nguyễn Tự Cường, tác giả luận văn
chọn đề tài "Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương Noether" làm
đề tài cho luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ toán học của mình.
Nội dung chính của luận văn là trình bày Định lí đa thức Hilbert trên
vành địa phương Noether cùng với một số tính chất của nó về bậc đa thức,

hệ số cao nhất của đa thức (thông qua số bội). Ngoài phần mở đầu và kết
luận, luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Chương này trình bày về vành và môđun
Noether, Artin; vành và môđun phân bậc; Định lí Artin-Rees. Đây là những
kiến thức cơ sở cho các chứng minh trong Chương 2, chương chính của luận
3
văn.
Chương 2. Đa thức và hệ số Hilbert trên vành địa phương
Noether. Chương này trình bày về Định lí đa thức Hilbert; chiều của
môđun và vành địa phương; hệ tham số và số bội. Nội dung của chương
là hệ thống một số kết quả quan trọng về đa thức Hilbert trên vành địa
phương Noether.
Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên bài giảng của GS.
Nguyễn Tự Cường và tham khảo thêm trong hai cuốn sách Commutative
Algebra và Commutative Ring Theory của tác giả H.Matsumura. Bên cạnh
đó, tác giả luận văn có chứng minh chi tiết một số vấn đề được trình bày
vắn tắt trong các tài liệu trên. Một số ví dụ và bài tập minh họa cũng
được tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho những nội dung được
trình bày.
Với mong muốn hệ thống lại một số nội dung quan trọng về đa thức
Hilbert, tác giả luận văn đã dành nhiều thời gian nghiên cứu những kết
quả này. Tuy nhiên, do năng lực bản thân còn hạn chế, thời gian nghiên
cứu chưa nhiều nên khó tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn. Tác
giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và ý kiến góp ý
của các bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011
Tác giả
NGUYỄN SỸ ĐÔNG
4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận văn này ta luôn xét các vành là giao hoán có đơn
vị.
1.1 Vành, môđun Artin và Noether
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành, M là R-môđun.
i) M được gọi là R-môđun Noether nếu với mọi dãy tăng các R-môđun
con của M: M
1
⊆ M
2
⊆ ⊆ M
n
⊆ đều dừng, nghĩa là ∃n
0
∈ N sao
cho M
i
= M
i+1
, ∀i ≥ n
0
.
ii) M được gọi là R-môđun Artin nếu với mọi dãy giảm các R-môđun
con của M: M
1
⊇ M
2
⊇ ⊇ M
n

⊇ đều dừng, nghĩa là ∃n
0
∈ N sao
cho M
i
= M
i+1
, ∀i ≥ n
0
.
Nếu xét vành R như môđun trên chính nó thì R được gọi là vành
Noether (Artin) khi R là R-môđun Noether (Artin). Khi đó, tập các môđun
con của R-môđun R trùng với tập các iđêan của vành R.
Định lý 1.1.2. Cho R là một vành. Khi đó M là R-môđun Noether khi
và chỉ khi mọi R-môđun con của M là hữu hạn sinh.
Chứng minh. (=⇒): Lấy N là môđun con bất kỳ của M. Đặt

là tập
5
tất cả các R-môđun con hữu hạn sinh của M chứa trong N. Ta thấy

= φ vì 0 ∈

, và mọi xích tăng các phần tử của

đều có chặn trên
(do M là Noether) nên

có phần tử tối đại là N
0

. Suy ra N
0
∈

và N
0
là
hữu hạn sinh. Nếu N
0
= N thì ∃x ∈ N\N
0
, do đó R-môđun N
1
= N
0
+(x)
là hữa hạn sinh và N ⊇ N
1
⊃ N
0
, mâu thuẫn. Vậy N
0
= N.
(⇐=): Giả sử

là tập khác φ các môđun con của R-môđun M. Lấy một
xích tăng tùy ý trong

, chẳng hạn M
1

⊆ M
2
⊆ ⊆ M
n
⊆ (*). Đặt
N =
∞

i=1
M
i
. Khi đó, N là môđun con của M suy ra N là hữu hạn sinh,
sinh bởi các phần tử x
1
, , x
k
, x
i
∈ N, ∀i = 1, k. Suy ra tồn tại n
0
sao cho
x
1
, , x
k
∈ M
n
0
, do đó N ⊆ M
n

0
và M
t
= M
n
0
, ∀t ≥ n
0
, từ đó suy ra (*)
dừng. Vậy M là R-môđun Noether.
Định lý 1.1.3. (Định lý cơ sở Hilbert) Cho R là vành Noether. Khi đó
vành đa thức n biến R[x
1
, , x
n
] cũng là vành Noether.
Chứng minh. Vì R[x
1
, , x
n
] = R[x
1
, , x
n−1
][x
n
] nên ta chỉ cần chứng
minh cho vành R[x] là vành Noether.
Lấy tùy ý một iđêan I của R[x]. Ta chứng minh I là hữu hạn sinh. Đặt
J = {a ∈ R|∃f(x) ∈ I, f(x) có hệ số cao nhất là a}. Suy ra J là iđêan

của R. Vì R là vành Noether nên J là hữu hạn sinh, sinh bởi {a
1
, , a
n
}.
Với mỗi a
i
∈ {a
1
, , a
n
} tồn tại f
i
(x) ∈ I sao cho f
i
(x) = a
i
x
n
i
+ h
i
(x),
với degh
i
(x) < n
i
, ∀i = 1, n. Đặt I

= (f

1
(x), , f
n
(x)) là iđêan của R[x]
và r = Max{n
i
|i = 1, n}. Xét R-môđun con M = R + xR + + x
r
R của
R[x]. Khi đó M là hữu hạn sinh và có một tập sinh là {1, x, , x
r
}, suy ra
M là R-môđun Noether (do R là Noether, M là hữu hạn sinh trên R).Ta
sẽ chứng minh I = I

+ M ∩I.
Hiển nhiên ta có I

+ M ∩I ⊆ I .
Mặt khác, lấy f(x) ∈ I, giả sử f(x) = ax
h
+ g(x), với degg(x) < h.
Khi đó a ∈ J = (a
1
, , a
n
), suy ra a = b
1
a
1

+, , +b
n
a
n
, b
i
∈ R, ∀i = 1, n.
6
Nếu deg f(x) = h > n thì f(x) = (
n

i=1
a
i
b
i
)x
h
+ g(x). Xét hiệu
f(x) −
n

i=1
b
i
x
h−n
i
f
i

(x) = g(x) ∈ I, deg g(x) < h.
Sau hữu hạn bước như trên ta được đa thức h(x) có deg h(x) < r hoặc
h(x) = 0 sao cho f(x) = f(x) + h(x), f(x) ∈ I

⊆ I. Từ h(x) ∈ M và
h(x) ∈ I suy ra h(x) ∈ M ∩I . Vậy I = I

+M ∩I và I là hữu hạn sinh, do
đó R[x] là vành Noether. Từ đó suy ra R[x
1
, , x
n
] là vành Noether.
Định nghĩa 1.1.4. Cho R là một vành. Một R-môđun M được gọi là có
độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành. Khi đó độ dài của
M, kí hiệu là (M), chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó của
M.
Hệ quả 1.1.5. Giả sử N là một môđun con của một R-môđun M. Khi
đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và M/N là những R-môđun có
độ dài hữu hạn. Hơn nữa, trong trường hợp này ta có
(M) = (N) + (M/N).
Chứng minh. (=⇒): Khi N = 0 hoặc N = M thì hiển nhiên kết luận của
hệ quả là đúng.
Giả sử M là môđun có độ dài hữu hạn và 0 ⊂ N ⊂ M là một xích của
M, xích này có thể làm mịn thành một dãy hợp thành của M
A : 0 = A
0
⊂ A
1
⊂ ⊂ A

k
= N ⊂ A
k+1
⊂ ⊂ A
n
= M.
Khi đó xích 0 = A
0
⊂ A
1
⊂ ⊂ A
k
= N là một dãy hợp thành của N, suy
ra N có độ dài hữu hạn. Vậy 0 = A
k
/N ⊂ A
k+1
/N ⊂ A
n
/N = M/N (*)
là dãy hợp thành của M/N do (A
k+i+1
/N)/(A
k+i
/N)
∼
=
A
k+i+1
/A

k+i
, ∀i =
0, n − k − 1 là những môđun đơn. Từ chứng minh trên suy ra
(M) = (N) + (M/N).
7
(⇐=): Giả sử
0 = A
0
⊆ A
1
⊆ ⊆ A
k
= N
và
0 = B

0
⊆ B

1
⊆ ⊆ B

l
= M/N
lần lượt là hai dãy hợp thành của N và M/N. Gọi π : M → M/N là
phép chiếu chính tắc và đặt B
j
= π
−
1(B


j
), j = 1, l. Rõ ràng khi đó ta có
π(B
j
) = B

j
và N ⊆ B
0
⊆ B
1
⊆ ⊆ B
l
= M vì B

j+1
/B

j
là môđun đơn
nên từ đẳng cấu (B
j+1
/N)/(Bj/N)
∼
=
B
j+1
/B
j

suy ra B
j+1
/B
j
,j = 1, l
là những môđun đơn. Vậy xích
N ⊆ A
0
⊆ A
1
⊆ ⊆ A
k
= N ⊆ B

0
⊆ B

1
⊆ ⊆ B

l
= M
là một dãy hợp thành có độ dài hữu hạn và (M) = (N) + (M/N).
Từ hệ quả trên ta có kết quả sau.
Hệ quả 1.1.6. Cho T:
0 −−→ M
1
f
1
−−→ M

1
f
2
−−→
f
n−1
−−→ M
n
−−→ 0
là một dãy khớp các R-môđun có độ dài hữu hạn M
i
. Khi đó
n

i=1
(−1)
i
(M
i
) = 0.
Chứng minh. Theo Hệ quả 1.1.5 ta có
(M
i
) = (Ker f
i
) + (M
i
/ Ker f
i
), ∀i = 1, n − 1

Mặt khác, ta biết rằng M
i
/ Ker f
i
∼
=
Im f
i
, do đó
(M
i
) = (Ker f
i
) + (Im f
i
), ∀i = 1, n − 1.
Suy ra
n

i=1
(−1)
i
(M
i
) =
n−1

i=1
(−1)
i

(l(Ker f
i
) + l(Im f
i
)) + (−1)
n
(M
n
).
8
Do T là dãy khớp nên ta có Im f
i
= Ker f
i+1
, ∀i = 1, n − 2. Vậy
n

i=1
(−1)
i
(M
i
) = −(Ker f
1
) + (−1)
n−1
(Im f
n−1
) + (−1)
n

(M
n
) (*).
Vì f
1
là đơn ánh, f
n−1
là toàn ánh nên Ker f
1
= 0 và Im f
n−1
= M
n
. Thay
vào (*) ta có
n

i=1
(−1)
i
(M
i
) = 0.
1.2 Vành và môđun phân bậc
Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành.
i) R gọi là vành phân bậc nếu R có phân tích R =
∞
⊕
n=0
R

n
, trong đó
R
n
là các nhóm abel với phép cộng (tức là (R
n
, +) là các nhóm con của
(R, +)) và thỏa mãn tính chất R
i
R
j
⊆ R
i+j
, ∀i, j = 0, n.
Một phần tử x ∈ R sao cho x ∈ R
i
được gọi là phần tử thuần nhất bậc
i, R
i
được gọi là thành phần bậc i của R.
ii) Một môđun M trên vành phân bậc R =
∞
⊕
n=0
R
n
được gọi là R−
môđun phân bậc nếu M có phân tích M =
∞
⊕

n=0
M
n
, trong đó M
n
là các
môđun con của M và R
i
M
j
⊆ M
i+j
, ∀i, j = 0, n.
Một phần tử x ∈ M sao cho x ∈ M
i
được gọi là phần tử thuần nhất
bậc i, M
i
được gọi là thành phần bậc i của M.
iii) Cho M là R-môđun phân bậc, N là môđun con của M. N được gọi
là môđun con phân bậc của M nếu N =
∞
⊕
n=0
(N ∩ M
n
). Ta cũng gọi N là
môđun con thuần nhất của M.
Nếu R là vành phân bậc thì R cũng là R-môđun phân bậc. Khi đó I
là một iđêan con phân bậc của R nếu I là một iđêan của R thỏa mãn

I =
∞
⊕
n=0
(I ∩R
n
). I còn được gọi là iđêan thuần nhất.
9
Mệnh đề 1.2.2. Cho N là môđun con của môđun phân bậc M trên vành
phân bậc R. Khi đó, N là môđun con phân bậc khi và chỉ khi ∀x ∈ N thì
các phần tử thuần nhất của x cũng thuộc N.
Chứng minh. (=⇒): Giả sử N là môđun con thuần nhất của M, khi đó
N =
∞
⊕
n=0
(N ∩M
i
) (*). Lấy tùy ý x ∈ N, từ (*) suy ra x = x
i
+ + x
i+s
,
x
i

∈ (N ∩M
i

), ∀i


= i, i + s. Vậy x
i

∈ N, ∀i

= i, i + s.
(⇐=): Giả sử ∀x ∈ N đều có tính chất, nếu x = x
i
+ + x
i+s
với x
j
∈
M
j
, ∀j = i, i + s thì x
j
∈ N, ∀j = i, i + s. Ta chứng minh N thuần nhất,
tức là chứng minh N =
∞
⊕
j=0
(N ∩M
j
). Thật vậy, ta có
∞
⊕
j=0
(N ∩M

j
) ⊆ N.
Ngược lại lấy x ∈ N thì x ∈ M suy ra x = x
i
+ + x
i+s
, x
j
∈ M
j
, ∀j =
i, i + s. Theo trên x
j
∈ N, do đó x
j
∈ N ∩M
j
. Vậy x ∈
∞
⊕
n=0
(N ∩ M
n
) hay
∞
⊕
n=0
(N ∩ M
n
) = N.

Ví dụ 1.2.3. .
(1) Một vành R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R =
∞
⊕
n=0
R
n
,
R
0
= R, R
n
= 0, ∀n > 0.
(2) Một R−môđun M luôn là R−môđun phân bậc với phân bậc tầm
thường M =
∞
⊕
n=0
M
n
, M
0
= M, M
n
= 0, ∀n > 0 (R là vành phân bậc tầm
thường).
(3) Xét vành đa thức R = k[x
1
, , x
n

], k là một trường. Khi đó R có
phân bậc R =
∞
⊕
n=0
R
n
, với R
0
= k, R
n
là tập các đa thức thuần nhất bậc
n của R.
(4) Cho I là một iđêan của R. Khi đó
i) R(I) = ⊕
n≥0
I
n
là vành phân bậc (vì I
m
I
n
⊆ I
m+n
). Vành R(I) được
gọi là vành Rees của R đối bậc với I.
ii) G
R
(I) = ⊕
n≥0

I
n
/I
n+1
là vành phân bậc (vì (I
m
/I
m+1
)/(I
n
/I
n+1
) ⊆
I
m+n
/I
m+n+1
). Vành phân bậc G
R
(I) được gọi là vành phân bậc liên kết
của R đối với I.
10
(5) Cho M là R-môđun. Khi đó
i) R
M
(I) = ⊕
n≥0
I
n
M là một môđun phân bậc và được gọi là môđun

Rees.
ii) G
I
(M) = ⊕
n≥0
I
n
M/I
n+1
M là một môđun phân bậc và được gọi là
môđun phân bậc liên kết của M đối với I.
Định lý 1.2.4. Cho R = ⊕
n≥0
R
n
là một vành phân bậc. Khi đó, các mệnh
đề sau là tương đương:
i) R là vành Noether.
ii) R
0
là vành Noether và tồn tại a
1
, , a
n
là các phần tử thuần nhất
của R sao cho R = R
0
[a
1
, , a

n
] = {f(a
1
, , a
n
)|f ∈ R
0
[x
1
, , x
n
]}.
Chứng minh. (i =⇒ ii): Ký hiệu R
+
= ⊕
n≥0
R
n
là iđêan thuần nhất của R.
Vì R là Noether nên R
+
hữu hạn sinh suy ra tồn tại a
1
, , a
n
∈ R sao cho
R
+
= (a
1

, , a
n
). Mặt khác, R
+
là các iđêan thuần nhất nên ta có thể giả
thiết được là a
i
thuần nhất có bậc là n
i
> 0. Đặt R

là vành con của R
sinh bởi a
1
, , a
n
trên R
0
, R

= R
0
[a
1
, , a
n
], ta sẽ chứng minh R
n
⊆ R


,
∀n ≥ 0 (*) bằng quy nạp.
Nếu n = 0 thì hiển nhiên (*) đúng.
Giả sử R
i
⊆ R

, với n ≥ i, n > 0. Ta chứng minh R
n+1
⊆ R

. Lấy
x ∈ R
n+1
⊆ R
+
, ta có x =
n

i=1
a
i
b
i
, trong đó b
i
∈ R
n+1−n
i
, ∀i = 1, n.

Mà n
i
> 0, ∀i nên n + 1 − n
i
≤ n, ∀i = 1, n. Theo giả thiết quy nạp thì
b
i
∈ R

, ∀i = 1, n do đó R
n+1
⊆ R

, suy ra (*) đúng. Hơn nữa R
0
∼
=
R/R
+
.
Vậy R
0
là Noether.
(ii =⇒ i): Từ điều kiện ii) suy ra R có dạng R = R
0
[a
1
, , a
n
], a

i
∈ R,
∀i = 1, n. Khi đó tồn tại toàn cấu vành
ϕ : R
0
[x
1
, , x
n
] −→ R
0
[a
1
, , a
n
]
f(x
1
, , x
n
) −→ f(a
1
, , a
n
).
11
Theo định cơ sở Hilbert thì R
0
[x
1

, , x
n
] là vành Noether (do R
0
là vành
Noether). Mà R
0
[a
1
, , a
n
]
∼
=
R
0
[x
1
, , x
n
]/ Ker ϕ là vành Noether suy ra
R
0
[a
1
, , a
n
] là vành Noether. Vậy R là vành Noether.
Định lý 1.2.5. Cho R là vành Noether và I là iđêan của R. Khi đó
i) R(I) và G

I
(R) là các vành phân bậc Noether.
ii) Với M là R-môđun Noether thì R
M
(I) là R(I)-môđun Noether,
G
I
(M) là G
I
(R)-môđun Noether.
Chứng minh. i) R(I) là vành Noether.
Từ R(I) = ⊕
n≥0
I
n
, I
m
I
n
⊆ I
m+n
suy ra R(I) là vành phân bậc. Ta có
(R(I))
0
= I
0
= R là vành Noether do R là vành Noether theo giả thiết.
Vì I là iđêan của R nên I là hữu hạn sinh, suy ra I = (a
1
, , a

n
), trong
đó a
i
∈ I, ∀i = 1, n. Ta thấy a
1
, , a
n
là các phần tử thuần nhất bậc 1 và
R(I) = R[a
1
, , a
n
] theo định nghĩa, trong đó
R[a
1
, , a
n
] = {f(x
1
, , x
n
)|f(x
1
, , x
n
) ∈ R(x
1
, , x
n

)}.
Xét đồng cấu
ϕ : R[x
1
, , x
n
] −→ R[a
1
, , a
n
]
f(x
1
, , x
n
) −→ f(a
1
, , a
n
).
Vì ϕ là một toàn cấu vành nên R[a
1
, , a
n
]
∼
=
R[x
1
, , x

n
]/ Ker ϕ. Theo
Định lý cơ sở Hilbert thì R[x
1
, , x
n
] là vành Noether, từ đây suy ra
R[x
1
, , x
n
]/ Ker ϕ là vành Noether. Vậy R[a
1
, , a
n
] = R(I) là vành
Noether.
G
I
(R) là vành Noether. Ta có (G
I
(R))
0
= I
0
/I = R/I là vành Noether,
vì R là vành Noether.
Do I là iđêan của R nên I hữu hạn sinh suy ra I = (a
1
, , a

n
), trong
đó a
i
∈ I, ∀i =
1, n. Ta thấy a
i
= a
i
+ I
2
là các phần tử thuần nhất cấp 1
12
của G
I
(R), ∀i = 1, n.
Mặt khác ta lại có G
I
(R) = (R/I)[a
1
, , a
n
]. Xét đồng cấu vành
ϕ : (R/I)[x
1
, , x
n
] −→ (R/I)[a
1
, , a

n
]
f(x
1
, , x
n
) −→ f(a
1
, , a
n
).
Vì ϕ là toàn cấu nên (R/I)[a
1
, , a
n
]
∼
=
(R/I)[x
1
, , x
n
]/ Ker ϕ là vành
Noether, do (R/I)[x
1
, , x
n
] là vành Noether theo định lí cở sở Hilbert.
Vậy G
I

(R) = là vành Noether.
Từ G
I
(R) = ⊕
n≥0
I
n
/I
n+1
và (I
m
/I
m+1
)/(I
n
/I
n+1
) ⊆ I
m+n
/I
m+n+1
,
suy ra G
I
(R) là vành phân bậc.
ii) R
M
(I) = ⊕
n≥0
I

n
M là R(I)-môđun Noether.
Từ R
M
(I) = ⊕
n≥0
I
n
M và I
n
(I
m
M) ⊆ I
n+m
M suy ra R
M
(I) là môđun
phân bậc.
Vì M là môđun Noether nên M là hữu hạn sinh, suy ra tồn tại x
1
, , x
n
∈ M sao cho M = Rx
1
+ + Rx
n
. Khi đó R
M
(I) = (x
1

, , x
n
) suy ra
R
M
(I) là R(I)-môđun hữu hạn sinh. Mà R(I) là vành Noether nên R
M
(I)
là R(I)-môđun Noether.
Tương tự trên, ta có G
I
(M) = (x
1
, , x
n
) với x
i
= x
i
+ IM, ∀i = 1, n
suy ra G
I
(M) là G
I
(R)-môđun hữu hạn sinh. Theo trên G
I
(R) là vành
Noether nên G
I
(M) là môđun Noether.

1.3 Định lý Artin-Rees
Định nghĩa 1.3.1. i) Cho R là một vành. Một dãy giảm các iđêan {I
n
}
n≥0
của R được gọi là một lọc các iđêan nếu I
n
I
m
⊆ I
n+m
, ∀m, n ≥ 0. Đặc
biệt, nếu I là iđêan của R thì dãy {I
n
}
n≥0
là một lọc, gọi là lọc I-adic.
ii) Cho M là một R-môđun. Một lọc các môđun con của M là một dãy
giảm các môđun con {M
n
}
n≥0
của M.
13
Với {I
n
}
n≥0
là một lọc các iđêan thì lọc {M
n

}
n≥0
gọi là tương thích với
lọc iđêan {I
n
}
n≥0
nếu I
n
M
m
⊆ M
n+m
, ∀n, m ≥ 0.
Đặc biệt khi lọc iđêan là lọc I-adic thì lọc {M
n
}
n≥0
gọi là I-lọc tốt nếu
{M
n
}
n≥0
là tương thích với lọc {I
n
}
n≥0
, và tồn tại m
0
sao cho I

n
M
m
⊆
M
n+m
, ∀m ≥ m
0
, ∀n ≥ 0.
Chú ý 1.3.2. Cho {I
n
}
n≥0
là một lọc các iđêan của R. Khi đó T = ⊕
n≥0
I
n
và G = ⊕
n≥0
I
n
/I
n+1
là những vành phân bậc.
Hơn nữa, nếu {M
n
}
n≥0
là lọc các môdun con và là I-lọc tốt thì ⊕
n≥0

M
n
là môđun phân bậc trên vành phân bậc R(I) = ⊕
n≥0
I
n
và ⊕
n≥0
M
n
/M
n+1
là
môđun phân bậc trên vành phân bậc G
I
(R) = ⊕
n≥0
I
n
/I
n+1
.
Định lý 1.3.3. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, I
là iđêan của R, {M
n
}
n≥0
là lọc của M. Khi đó các mệnh đề sau tương
đương.
i) ⊕

n≥0
M
n
là R(I)-môđun phân bậc, hữu hạn sinh.
ii) {M
n
}
n≥0
là I-lọc tốt .
Chứng minh. Đặt M
∗
= ⊕
n≥0
M
n
, Q
n
=
n
⊕
i=1
M
i
, M
∗
n
= Q
n
⊕IM
n

⊕I
2
M
n
⊕
Suy ra M
∗
n
= M
0
⊕ M
1
⊕ ⊕ M
n
⊕ IM
n
⊕ I
2
M
n
⊕
Ta thấy M
∗
n
⊆ M
∗
. Mặt khác M
i
hữu hạn sinh với mọi i nên Q
n

là hữu hạn sinh. Giả sử Q
n
= (y
1
, ,
k
) suy ra Q
n
= y
1
R + + y
k
R.
Do đó M
∗
n
là môđun hữu hạn sinh của M
∗
trên vành R(I), cụ thể hơn
M
∗
n
= y
1
R(I) + + y
k
R(I).
Ta thấy ⊆ M
∗
n

⊆ M
∗
n+1
⊆ M
∗
n+2
(*) là một dãy tăng dần các môđun
con của M, hơn nữa
∞
∪
n=0
M
∗
n
= M
∗
. Vậy M
∗
là R(I)-môđun Noether khi
và chỉ khi ra dãy (*) dừng (do
∞
∪
n=0
M
∗
n
= M
∗
) hay tồn tại n
0

sao cho
M
∗
n
0
= M
∗
n
0
+1
= , đây chính là điều kiện cần và đủ để {M
n
}
n≥0
là I-lọc
tốt. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
14
Hệ quả 1.3.4. (Định lý Artin-Rees) Cho R là một vành Noether, I là một
iđêan của R. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của
M. Khi đó ∃r > 0 sao cho I
n
M ∩ N = I
n−r
(I
r
M ∩ N), ∀n ≥ r .
Chứng minh. Vì ⊕
n≥0
(I
n

M ∩ N) là môđun con của môđun ⊕
n≥0
I
n
M =
R
M
(I), R
M
(I) là R(I)-môđun phân bậc Noether, nên ⊕
n≥0
(I
n
M ∩ N) là
R(I)- môđun phân bậc hữu hạn sinh khi và chỉ khi lọc {(I
n
M ∩ N)}
n≥0
là
I-lọc tốt. Từ đó suy ra tồn tại r > 0 sao cho I
n
M ∩N = I
n−r
(I
r
M ∩N),
∀n ≥ r.
Hệ quả 1.3.5. (Định lý giao) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan
của R. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và N là môđun con của M. Đặt
N =


n≥o
I
n
M. Khi đó IN = N.
Chứng minh. Do N = I
n
M ∩ N nên theo định lý Artin-Rees thì tồn tại
r > 0 sao cho N = I
n
M ∩ N = I
n−r
(I
r
M ∩ N), ∀n > r, suy ra I
n−r
⊆ I
và N ⊆ IN. Hơn nữa IN ⊆ N. Vậy N = IN.
Hệ quả 1.3.6. (Định lý giao Krull) Cho R là một vành Noether, I là một
iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh, N là môđun con của M. Giả
sử I ⊆ J(R) (J(R) là giao các iđêan cực đại của R gọi là căn Jacobson
của R). Khi đó

n≥o
I
n
M = 0.
Chứng minh. Do I ⊆ J(R) nên theo bổ đề Nakayama ta có IN = N suy
ra N = 0. Áp dụng Hệ quả 1.3.5 ta có


n≥o
I
n
M = N = 0.
15
Chương 2
Đa thức và hệ số Hilbert trên vành
địa phương Noether
2.1 Đa thức Hilbert
Ta biết rằng nếu A là vành Artin thì A là vành Noether do đó (A) <
+∞. Xét vành đa thức m biến R = A[x
1
, , x
m
] với hệ số trong A . Khi
đó R là một vành phân bậc R = ⊕
n≥0
R
n
, trong đó R
0
= A, R
n
= {f ∈ R|f
là đa thức thuần nhất bậc n}. Cho M = ⊕
n≥0
M
n
là một R-môđun phân
bậc hữu hạn sinh (khi đó M cũng là R-môđun Noether) ta có AM

n
=
R
0
M
n
⊆ M
n
, ∀n ≥ 0, tức là M
n
là R
0
-môđun ∀n ≥ 0.
Mệnh đề 2.1.1. Với các kí hiệu như trên ta có 
A
(M
n
) < +∞.
Chứng minh. Do M là hữu hạn sinh nên giả sử M = y
1
R + + y
k
R. Khi
đó ta có thể giả thiết thêm y
1
, , y
k
là các phần tử thuần nhất bậc nhất
bậc lần lượt là d
1

, , d
k
tức là y
1
∈ R
d
1
, , y
k
∈ R
d
k
.
Đặt ϕ :
k
⊕
i=1
R(d
i
) −→ M, trong đó R(d
i
) =
+∞
⊕
n=d
i
R
n−d
i
, ϕ(b

1
, , b
k
) =
16
k

n=1
b
i
y
i
. Khi đó ϕ là toàn cấu có bậc như nhau, tức là ta có toàn cấu
ψ :
k
⊕
i=1
R
n−d
i
 M
n
.
Suy ra M
n
∼
=
k
⊕
i=1

R
n−d
i
/ Ker ψ, do đó

A
(M
n
) = 
A
(
k
⊕
i=1
R
n−d
i
) − 
A
(Ker ψ) ≤ 
A
(
k
⊕
i=1
R
n−d
i
)
=

k

n=1

A
(R
n−d
i
) < +∞.
Vậy 
A
(M
n
) < +∞.

A
(M
n
) đo độ lớn của môđun M
n
và là một hàm số nhận giá trị nguyên
dương, kí hiệu là F
M
(n) = 
A
(M
n
).
Bổ đề 2.1.2. Cho R là một vành, B và C là hai R-môđun. Khi đó


R
(B ⊕ C) = 
R
(B) + 
R
(C) (*).
Chứng minh. Nếu (B) = +∞ hoặc (C) = +∞thì (*) đúng vì 
R
(B ⊕ C) =
+∞.
Nếu (B) < +∞ và (C) < +∞ thì tồn tại các dãy hợp thành môđun
con của B và C thỏa mãn:
0 = B
0
⊂ B
1
⊂ ⊂ B
n
= B, n = (B), B
i−1
/B
i
là các môđun đơn
∀i = 1, n.
0 = C
0
⊂ C
1
⊂ ⊂ C
m

= C, m = (C), C
i−1
/C
i
là các môđun đơn
∀i = 1, m.
Xét dãy các môđun con của B ⊕ C như sau
B
0
⊂ B
1
⊂ ⊂ B
n
⊂ B
n
⊕ C
0
⊂ B
n
⊕ C
1
⊂ ⊂ C
n
= B ⊕ C (∗∗).
Hiển nhiên B
i−1
/B
i
là môđun đơn, ∀i = 1, n và B
n

⊕ C
j+1
/B
n
⊕ C
j
là
môđun đơn ∀i = 1, m − 1. Do đó (**) là dãy hợp thành các môđun con
của B ⊕ C, vậy (R) = m + n = 
R
(B ⊕ C) = 
R
(B) + 
R
(C).
17
Mệnh đề 2.1.3. Nếu A là một vành Artin,R
n
= {f ∈ A[x
1
, , x
n
]|f là
đa thức thuần nhất bậc n} thì 
A
(R
n
) = (A).



m + n − 1
m − 1


. Đặc biệt,
khi A là một trường thì 
A
(R
n
) =


m + n − 1
m − 1


.
Chứng minh. Ta biết rằng số các đơn thức bậc n của A[x
1
, , x
m
] là t =


m + n − 1
m − 1


. Gọi các đơn thức này là f
1

, , f
t
. Xét các môđun A
i
=
(f
i
), ∀i = 1, t . Khi đó ta có R
n
=
k
⊕
i=1
A
i
suy ra 
A
(R
n
) =
k

i=1

A
(A
i
)
(chứng minh quy nạp theo Bổ đề 2.1.2). Mặt khác, ta có dãy hợp thành
0 = A

0
⊂ A
1
⊂ ⊂ A

= A của A, với  = (A). Khi đó dãy các môđun
con của A
i
là
0 = A
0
⊂ A
1
f
i
⊂ ⊂ A

f
i
= A
i
,  = (A) (***).
Vì A
j+1
f
i
/A
j
f
i

∼
=
A
j+1
A
j
nên A
j+1
f
i
/A
j
f
i
là các môđun đơn với mọi
i = 1, 2, , t và j = 1, 2, , . Suy ra (***) là dãy hợp thành của A
i
. Do đó
(A
i
) = (A).
Vậy 
A
(R) =
k

i=1
(A) = (A).t = (A).



m + n − 1
m − 1


.
Định lý 2.1.4. (Định lý đa thức Hilbert)
Cho A là một vành Artin, R = ⊕
n≥0
R
n
, là vành phân bậc với R
0
= A,
R
n
= {f ∈ R = A[x
1
, , x
m
]|f là đa thức thuần nhất bậc n}, M = ⊕
n≥0
M
n
là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại một đa thức P
M
(n)
sao cho F
M
(n) = P
M

(n) khi n đủ lớn (n  0). Ngoài ra P
M
(n) là đa thức
có hệ số hữu tỉ.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo độ lớn môđun con N ⊆
M. Ta viết P(M/N) nếu định lý đúng với M/N.
18
Nếu N = M thì ta có P (M/N).
Giả sử ta đã có P (M/N

). Ta sẽ chứng minh P (M/N) với N ⊆ N

,
tức là ta đã có P (M/N

), ∀N ⊂ N

, và ta cần chứng minh P (M/N).
Xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1. N không là bất khả quy. Khi đó ∃N
1
, N
2
⊃ N để N =
N
1
∩ N
2
. Khi đó ta có P(M/N
1

) và P (M/N
2
). Vì (N
1
+ N
2
)/N
1
∼
=
N
2
/N
1
∩ N
2
= N
2
/N nên
F
M/N
(n) = F
M/N
2
(n) + F
(M/N)/(M/N
2
)
(n)
= F

M/N
2
(n) + F
(N
2
/N)
(n)
= F
M/N
2
(n) + F
(N
1
+N
2
)/N
1
(n)
= F
M/N
2
(n) + F
M/N
1
(n) − F
M/(N
1
+N
2
)

(n).
Do F
M/N
2
(n), F
M/N
1
(n) và F
M/(N
1
+N
2
)
(n) đều là các đa thức nên ta suy
ra P (M/N) khi N không là bất khả quy.
Trường hợp 2. N là bất khả quy. Khi đó N là nguyên sơ, tức là Ass
R
(M/N) =
{p}, p ∈ Spec(R). Đặt I = (x
1
, , x
m
) ⊆ R và M/N = M

.
Giả sử I ⊆ p. Ta chứng minh (M/N)
n
= 0, khi n đủ lớn. Thật vậy,
giả sử có M/N = y
1

R + + y
k
R với y
i
∈ (M/N)
d
i
, (degy
i
= d
i
). Đặt
d = Max(d
1
, , d
k
), ta sẽ chứng minh (M/N)
n+d
= I
n
(M/N)
d
, ∀n ≥ 0.
Rõ ràng I
n
(M/N)
d
⊆ (M/N)
n+d
. Lấy y ∈ (M/N)

n+d
, suy ra ∃g
1
, , g
k
∈
R sao cho y = y
1
g
1
+ +y
k
g
k
, với degg
i
= n + (d −d
i
). Vì d −d
i
≥ 0 nên
g
i
= h
i
f
i
với degh
i
= I

n
. Do đó h
i
y
i
∈ I
n
(M/N)
d
i
suy ra y = y
1
g
1
f
1
+ +
y
k
g
k
f
k
∈ I
n
(M/N)
d
, tức là (M/N)
n+d
⊆ I

n
(M/N)
d
. Vậy (M/N)
n+d
=
I
n
(M/N)
d
, ∀n ≥ 0. Mặt khác, ta có Ass
R
(M/N) = {p},

Ann(M/N =

p∈Ass(M/N)
p = p suy ra ∀a ∈ p, ∃r sao cho a
r
∈ Ann(M/N) do vậy
a
r
(M/N) = 0. Giả sử p = (a
1
, , a
s
) khi đó ∃r
i
sao cho a
r

i
i
(M/N) =
0. Ta chọn l = Max(sr
1
, , sr
s
) khi đó a
l
(M/N) = 0, ∀a ∈ P. Suy ra
19
P
l
(M/N) = 0. Với n ≥ l ta có (M/N)
n+d
= I
n
(M/N)
d
⊆ P
n
(M/N) = 0
suy ra (M/N)
n+d
= 0, ∀n ≥ l. Vậy (M/N)
n
= 0 với n ≥ l + d. Do đó ta
có P (M/N).
Giả sử I ⊆ p. Khi đó ∃x
i

/∈ p. Vì

p∈Ass(M/N)
p = p nên x
i
không là ước
của 0 của M/N. Do đó ta có dãy khớp
0 −−→ (M/N)
n
.x
i
−−→ (M/N)
n+1
−−→ (M/(N + x
i
M))
n+1
−−→ 0.
suy ra
F
M/N
(n + 1) − F
M/N
(n) = F
M/(N +x
i
M)
(n + 1).
Vì N ⊂ N + x
i

M nên F
(M/N+x
i
M)
(n + 1) là đa thức với n đủ lớn. Do vậy
F
M/N
(n + 1) − F
M/N
(n) là một đa thức.
Đa thức P
M
(n) gọi là đa thức Hilbert của M.
Chú ý 2.1.5. Nếu f(x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f(n) ∈ Z, ∀n ∈ Z và
degf(n) = d. Khi đó, tồn tại các số nguyên a
0
= 0, a
1
, , a
d
sao cho
f(n) = a
0

n + d
d

− a
1


n + d − 1
d − 1

+ + (−1)
d
a
d
.
Theo Định lý đa thức Hilbert, tồn tại các số nguyên e
0
(M) > 0, e
1
(M), ,
e(M), d = degP
M
(n), sao cho
P
M
(n) = e
0
(M)

n + d
d

− e
1
(M)

n + d − 1

d − 1

+ + (−1)
d
e
d
(M).
Các số e
0
(M), e
1
(M), , e
d
(M) gọi là hệ số Hilbert của môđun phân
bậc M. Đặc biệt, e
0
(M) được gọi là số bội của M, e
1
(M) được gọi là lớp
Chern của M.
20
2.2 Chiều của môđun
Định nghĩa 2.2.1. i) Cho R là vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan
nguyên tố p
0
⊃ p
1
⊃ ⊃ p
n
của R được gọi là một xích nguyên tố. Có

độ dài là n.
ii) Cho p là iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của
xích nguyên tố bắt đầu bằng p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p),
ht(p) = Sup {n|p = p
0
⊃ p
1
⊃ ⊃ p
n
là một xích nguyên tố}.
Với I là iđêan của R. Độ cao của I, kí hiệu là ht(I), được xác định bởi
ht(I) = Inf{ht(p)|p ∈ V (I)}.
iii) Cận trên của độ dài tất các xích nguyên tố trong R được gọi là
chiều của vành R, kí hiệu là dim R (còn gọi là chiều Krull của R).
Với M là một R-môđun thì chiều của M được xác định bởi
dim M = dim(R/AnnM).
Ví dụ 2.2.2. 1) dim Z = 1 vì mọi xích nguyên tố của Z đều có dạng
0 ⊂ pZ, với p là một nguyên tố bất kì.
2) Khi k là một trường thì dim k = 0 vì k có duy nhất một idean nguyên
tố là 0.
3) Nếu k là một trường thì dim k[x] = 1 vì mọi xích nguyên tố của k[x]
đều có dạng 0 ⊂ (f(x)), với f(x) là đa thức bất khả quy trên k[x].
4) Với k là một trường thì dim k[x
1
, , x
n
] = n.
5) R là một vành Noether, ta có dim R[x
1
, , x

n
] = dim R + n.
21
6) Cho R = R[x, y] và I = (x
2
, xy). Khi đó I = (x
2
, y) ∩ (x
2
, x) =
(x
2
, y) ∩ (x) là một phân tích nguyên sơ của I. Suy ra
ht(I) = inf {ht(x), ht(x
2
, y)} = 1.
Đặt Q
1
= (x), Q
2
= (x, y). Khi đó p ∈ Spec(R/Q
1
∩ Q
2
) suy ra
p ∈ Spec R, p ⊃ R/Q
1
∩ Q
2
. Vậy p ⊃ Q

1
hoặc p ⊃ Q
2
. Từ đó suy ra
xích nguyên tố của R/Q
1
∩Q
2
là xích nguyên tố của R/Q
1
hoặc R/Q
2
,
và dim(R/I) = dim(R/Q
1
∩ Q
2
) = Sup {dim(R/Q
1
), dim(R/Q
2
)}.
Từ dim(R/I) = dim(R/
√
I), suy ra
dim(R/
√
I) = Sup {dim(R/

Q

1
), dim(R/

Q
2
)}
= Sup {dim(R/(x)), dim(R/(x, y))}.
Vì R/(x, y)  R, R/(x)  R[y] nên dim(R/I) = 1.
Nhận xét 2.2.3. (1) Giả sử R là vành Noether, I là iđêan của R. Giả
sử I có phân tích nguyên sơ thu gọn I = Q
1
∩ ∩ Q
n
, Q
i
là iđêan
p
i
-nguyên sơ. Theo định nghĩa thì ht(I) = Inf{ht(p)
i
|i = 1, 2, , n}
= Inf{ht(p)
i
|p
i
tối tiểu trong {p
1
,, ,p
n
}}.

(2) Giả sử 0 = Q
1
∩ ∩ Q
n
là phân tích nguyên sơ của iđêan 0 của R
với Q
i
là p
i
-nguyên sơ. Theo định nghĩa
dim R = Sup {dim(R/p)
i
|i = 1, , n}
= Sup {dim(R/p)
i
|p
i
tối tiểu trong {p
1
, , p
n
}.
(3) Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) R là vành Artin.
(ii) R là vành Noether và mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại.
(iii) R là vành Noether và dim R = 0.
(4) Cho R là vành địa phương (R, m). Khi đó ta có dim R = ht(m).
22
(5) Cho p là iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó R
p

là vành địa phương
với iđêan cực đại duy nhất pR
p
. Vậy dim R
p
= ht(pR
p
). Mặt khác
Spec(R
p
) = {QR
p
|Q ∈ Spec R, Q ⊆ p} suy ra dim R
p
= ht(pR
p
) =
ht(p).
Mệnh đề 2.2.4. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh.
Các mệnh đề sau tương đương:
i) M là R-môđun Artin.
ii) M có độ dài hữu hạn.
iii) R/AnnM là vành Artin.
iv) dim M = 0.
Chứng minh. (iii =⇒ iv): Giả sử R/AnnM là vành Artin. Khi đó, mọi
iđêan nguyên tố p khác 0 của R/AnnM đều tối đại (tính chất của vành
Artin). Vậy dim M = dim(R/AnnM) = 0.
(iv =⇒ iii): Giả sử dim M = 0. Khi đó dim(R/AnnM) = 0. Vì R
là Noether nên R/AnnM là Noether. Mặt khác, nếu p = 0 là một iđêan
nguyên tố của R/AnnM thì p thuộc một iđêan tối đại q, suy ra có xích

nguyên tố q ⊇ p. Do dim(R/AnnM) = 0 nên p = q, suy ra p là tối đại.
Vậy R/AnnM là vành Artin.
(i =⇒ ii): Giả sử M là R-môđun Artin. khi đó mọi dãy tăng, giảm
các môđun con của M đều dừng. Đặt

M
là tập các môđun con thực sự
của M. Do M là R-môđun Noether và

M
= 0 (vì 0 ∈

M
) nên

M
có phần tử cực đại là M
1
, đây cũng là phần tử tối đại của M, vì nếu có
môđun con N
1
⊇ M
1
, N
1
= M thì N
1
∈

M

, suy ra N
1
⊆ M
1
. Do đó
N
1
= M
1
.
Đặt

M
1
là tập các môđun con thực sự của M
1
(tức là các môđun con
khác M
1
). Tương tự như trên, có môđun con cực đại M
2
⊂ M
1
và M
2
là
tối đại trong M
1
.
23