giải toán giới hạn hàm số bằng máy tính cầm tay

TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của của hai phép tính
đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học .Kiến thức vế giới hạn không những
khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy .Trong tình hình hiện nay để
cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm .Để giúp giăm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài
này.
II.Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy
số:
Quy ước : trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n .
• Gặp hằng số : C  1010 ,C  10 20 …. đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C
là hằng số ( chú ý có thể lớn hơn 10).
10
ví dụ -5  10 ( đọc là âm vô cực ghi   )
• Gặp hằng số C  10 12 đọc là 0 ( Chú ý số mũ có thể nhỏ hơn – 10 ).
ví dụ: 15  10 12 đọc là 0

A. Dãy có giới hạn là 0
• Ví dụ 1: lim

 1n

n5

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
a(z1)^Q)RQ)+5
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện:

 Ta nhập tiếp:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 1


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
10^10=
Màn hình sẽ xuất hiện:

Kq : 9.99999995 10 11 ta đọc là 0
Vậy lim

 1n

n5

0

(1) x cos x
(1) n cos n
• Ví dụ 2: lim
nếu nhập
calc như trên máy sẽ
n2 1
x2 1

Math ERROR
- Vận dụng định lý 1 Nếu u n  v n với mọi n và lim vn  0 thì lim u n  0 .

1
calc x ? nhập 1010   kết quả 1 10 20 đọc là 0
x 1
(1) n cos n
0
Vậy lim
n2 1

- Ta chỉ cần ghi

2

• Ví dụ 3: lim

 1n
2n  1

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
a(z1)^Q)R2^$Q)+1
Màn hình sẽ xuất hiện:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 2


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện:

 Ta nhập tiếp: 100=
Màn hình sẽ xuất hiện:

x

 1
Vậy lim x

2 1

0

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Tìm các giới hạn
 (n  1)
1. lim
n2

2. lim

( 1) n
2n  1

3. lim

sin n
n5

4. lim

cos 2n

n3  1

B.Giới hạn hữu hạn :


 1n 

• Ví dụ 1: lim 2 

n2

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 3


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

 Ta nhập tiếp: 10^10=
Màn hình sẽ xuất hiện:



 1n 

vậy lim 2 
 =2
n

2


• Ví dụ 2: lim 

1
sin 3n 1
sin 3n 
 1  1 vì
 mà lim  0 khi đó lim (-1)=-1
n
4n
n
 4n

sin 3n 
nên lim 
 1  1
 4n


• Ví dụ 3 lim

n 2  3n  5
2 n 2 1

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
aQ)^2$p3Q)+5R2Q)^2$p1
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 4


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

 Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:

n 2  3n  5
vậy lim
= 0.5
2 n 2 1

Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau:
 2n 3  4n 2  3n  3
 2n 3  4n 2  3n  3
máy
ghi
n 3  5n  7
n 3  5n  7

calc x ? nhập 1015   Kq là – 2

• Ví dụ 4 : lim

Vậy lim

 2n 3  4n 2  3n  3
 2
n 3  5n  7

2 X 1  3 X  11
1
calc x=100 kq
X 2
X 3
9
3
2
4
n 1
n
2  3  11  1

Vậy : lim n  2 n 3
9
3 2 4

• Ví dụ 5: máy ghi lim

13  3 X  15

13.3 n  15
• Ví dụ 6: lim n
máy ghi
calc X ? nhập 100  
3  2 X  4.5 X
3 .2  4 . 5 n
3.19755 ...x10 17 đọc là 0 .
13.3 n  15
 0 ( chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm )
Vậy lim n
3.2  4.5 n

C. Giới hạn vô cực :
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 5


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
 n 3  3n  5
 n 3  3n  5
máy
ghi
2n 2 11
2n 2 11
calc x ? nhập 1015   kq  5 1014 đọc là âm vô cực

• Ví dụ 1: lim

vậy lim

 n 3  3n  5
 
2n 2 11

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
azQ)^3$p3Q)+5R2Q)d+11
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện:

 Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:

 n 3  3n  5
 
vậy lim
2n 2 11

• Ví dụ 2 : lim 5n 2  3n  1 máy ghi : 5n 2  3n  1
calc x ? nhập 1015   kq là 5 10 45 (Đọc là dương vô cực )

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 6


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Vậy lim

 n 3  3n  5
 
2n 2 11

• Ví dụ3: lim 3n 4  5n 2  n  1
máy ghi : 3n 4  5n 2  n  1
calc x ? nhập 1015   kq : 1.73205 ...08  10 30 ( đọc là dương vô cực )
vậy : lim 3n 4  5n 2  n  1  
*Nếu

f n 
với f(n) ,g(n) là các đa thức theo n .Ta chú ý đến số hạng
g n 

chứa mũ cao nhất của n trong từng biểu thức f(n) ,g(n)
 2n 3
 2n 3  3n  2
máy
ghi
calc x ? nhập 1015  
2
2
3n
3n  5
 2n 3  3n  2
14
 
kq:  6.66666667  10 (đọc là âm vô cực ) Vậy lim

3n 2  5

• Ví dụ 1: lim

• Ví dụ 2: lim

n 6  7 n 3  5n  8
máy ghi
n  12

( đọc là dương vô cực ) vậy lim
• Ví dụ 3: lim

3n  1
2n  1

máy

n6
n

calc x ? nhập 1015   kq 1 10 30

n 6  7 n 3  5n  8
 
n  12

3x  1
calc x ? 100   4065611 ..x1017 đọc là   .
2x 1

*CHÚ Ý : Gặp a n nhập n = 100
Vậy lim

3n  1
 
2n 1

n2
n 2  4n  5
máy
ghi
3n 3
3n 3  n 2  7
calc x ? nhập 1015   kq :0

• Ví dụ 4 : lim

vậy lim

n 2  4n  5
0
3n 3  n 2  7

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 7


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

2n 4  3n  2
2n 4
máy
ghi
calc x ? nhập 1015
2n 2
2n 2  n  3

• Ví dụ 5: lim

  kq:

2
2

Nếu gặp dạng tổng- hiệu hai căn cần chú ý lương liên hợp rút gọn trước
khi áp dụng dạng trên .





• Ví dụ 1: lim n 2  n  1  n ta có

2

n n
2





Vậy lim n 2  n  1  n 

n 1

2

 n 1  n



máy

1
2

1
2

1

• Ví dụ 2: lim

 n

 n 1  n 

calc x ? nhập 1015   kq:

n

ghi

n

n  2  n 1

ta có

1
n  2  n 1

 n  2  n 1  2 n

Mà lim n  
Vậy : lim

1
n  2  n 1

1

• Ví dụ 3 : lim
kq: 0

 

máy ghi

1

calc x ? nhập 1015  

3n  2n
3n  2  2n  1
1
 0 ( các hệ số trước n lệch nhau không
vậy: lim
3n  2  2n  1

cần nhân lượng liên hợp.
• Ví dụ 4: lim

  kq:

n2 1  n 1
3n  2

máy ghi :

n2  n
calc x ? nhập 1015
3n

1
3

Bài tập rèn luyện :

Tìm các giới hạn sau:
1. lim

4n 2  n  1
(KQ :2)
3  2n 2

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 8


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
3n 2  5  n
1  2n 2

2. lim

3. lim  n 2 


(KQ: 0 )

2 
 (KQ:   )
n 1





4. lim n 2  n  n 2  1 (KQ:

5. lim

2n  3n 3  1
(KQ: -3)
n3  n2

2  3n 3 n  1
6. lim
5
1  4n

7. lim

1
)
2



2

(KQ:

27
)
4

n 2  n  1  4n 2  2
(KQ: -1 )
n3

3n  4 n  1
8. lim
(KQ: -1)
2.4 n  2 n

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 9