Tiểu luận sai phân Toán Học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------  ---------

BÀI TIỂU LUẬN
Đề tài:
LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN RUNGHE-KUTTA CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
SO SÁNH VỚI LƯỢC ĐỒ ADAMS

GVHD

:

TS. Lê Hải Trung

Nhóm học viên:
1. Phan Thanh Phượng
2. Nguyễn Thị Nguyệt
3. Tống Thiên Long
4. Nguyễn Thế Việt
5. Huỳnh Thị Kim Thoa

Đà Nẵng, tháng 12 năm 2012
PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

STT

Họ và tên

Công việc

1
2
3
4
5

Phan Thanh Phượng
Nguyễn Thị Nguyệt
Tống Thiên Long
Nguyễn Thế Việt
Huỳnh Thị Kim Thoa

Cơ sở lý thuyết
Ứng dụng
Ứng dụng
Cơ sở lý thuyết
Viết báo cáo

Chữ ký

Nhận xét
của GVHD

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU...............................................................................................................3
Chương 1: Cơ sở lý thuyết............................................................................................4

1.1 Khái quát lược đồ sai phân.....................................................................................4
1.1.1 Khái niệm lược đồ............................................................................................4
1.1.2 Cấp chính xác của lược đồ...............................................................................4
1.1.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm sai phân..................................................................5
1.1.4 Cấp xấp xỉ........................................................................................................6
1.2 Lược đồ sai phân Runghe-Kutta............................................................................6
1.2.1 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc hai.........................................9
1.2.2 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc bốn......................................10
1.3 Lược đồ sai phân Adams......................................................................................11
1.4 So sánh lược đồ Runghe-Cutta và lược đồ Adams...............................................11
Chương 2 : Ứng dụng.................................................................................................13
KẾT LUẬN.................................................................................................................18
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................18

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 2


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

LỜI MỞ ĐẦU
Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là phương pháp
được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung của
nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương
trình sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm
số tại các điểm khác nhau như những hàm số của đối số nguyên).
Phương pháp sai phân là phương pháp hiệu quả nhất để giải các bài toán
vi phân thường và các bài toán đạo hàm riêng. Người ta xem đây là phương

pháp vạn năng để giải các bài toán trong lĩnh vực này. Trong toán học ứng
dụng có rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân. Việc giải các
phương trình vi phân là một yêu cầu quan trọng trong thực tiễn. Trong đại đa
số các trường hợp, nhất là với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán
trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của nó không có hoặc có nhưng phức
tạp. Vì vậy, ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng.
Tập hợp các điểm ta dùng để lập phương trình sai phân thay cho phương
trình vi phân được gọi là lược đồ sai phân. Đôi khi người ta gọi phương trình
sai phân nhận được là lược đồ sai phân.
Với thành tựu của máy tính hiện nay, thời gian giải các bài toán vi phân
có thể tính bằng giây, hay như người ta thường nói, có thể so sánh với thời
gian viết vế phải. Nhưng do nhu cầu thực tiễn và sự phát triển lý thuyết toán
học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều phương pháp để giải gần đúng các
phương trình vi phân thường như: phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp
Runghe-Kutta, phương pháp Adams,…. Hiện nay, người ta dùng phương pháp
sai phân để xét và chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán vi phân.
Vậy giữa các phương pháp sai phân có nhiều điểm khác biệt hay tương
đồng gì với nhau? Trong bài tiểu luận này Nhóm 1 sẽ so sánh giữa hai phương
pháp(hay hai lược đồ sai phân): Runghe-Cutta và Adams.

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 3


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

Chương 1: Cơ sở lý thuyết
1.1 Khái quát lược đồ sai phân

1.1.1 Khái niệm lược đồ
Xét phương trình vi phân:
du
+ Au = 0, 0 ≤ x ≤ 1, u ( 0 ) = b
dx

(1)

Ta xét lược đồ sai phân đơn giản nhất như sau:
-

Chia đoạn

[ 0,1]

thành

N

đoạn nhỏ bởi các điểm chia

0 = x0 < x1 < ... < xN = 1 .

-

Khi đó ta có xi +1 − xi = hi được gọi là bước lưới thứ i.

-

Tập các điểm xi , i = 0,1,..., N được gọi là lưới.

-

Các điểm xi , i = 1, 2,..., N − 1 là các điểm lưới trong, x0 , xN là các điểm

lưới biên.
Trong phương trình (1) ta thay đạp hàm bởi tỷ sai phân và được:
u ( x + h) − u ( x)
+ Au ( x ) = 0
h

(2)

-Khi đó, tập hợp các điểm ta dùng để viết (2) thay cho (1) được gọi là
lược đồ sai phân. Bản thân phương trình sai phân (2) người ta cũng gọi là lược
đồ sai phân.
-Như vậy, ta đã sử dụng 2 điểm x và x + h nên đây là lược đồ sai phân 2
điểm.
-Nếu hi = h, ∀i ( h > 0 ) thì lưới được ký hiệu là ωh = { ih, i = 0,..., N } và được
gọi là lưới đều.
-Giá trị của hàm số u ( xi ) được ký hiệu: ui , i = 0,..., N và được gọi là hàm
lưới.
1.1.2 Cấp chính xác của lược đồ
Giải phương trình (1) bằng vi phân ta có nghiệm là:

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 4

Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

u ( x + h) − u ( x − h)
h2
= u ' ( x ) + u "' ( x ) + o ( h 4 )
2h
6
u ( x ) = b.e − Ax ⇒ u ( xn ) = b.e − Axn đây là nghiệm đúng của (1).



Để đơn giản thì người ta xét lưới đều ωh = ih, h =

1

, i = 0,1,..., N  . Khi
N


đó, u0 = u ( 0 ) = b , (2) sẽ có dạng:
un +1 − un
+ Aun = 0 ⇔ un +1 = ( 1 − Ah ) un , u0 = b
h

(3)

Giải phương trình sai phân này ta được nghiệm:
xn

un = ( 1 − Ah ) .b = ( 1 − Ah ) h .b .
n

Để khảo sát sự giảm của sai số δ ( x ) khi h =

( 1 − Ah )

xn
h

. Ta được : δ ( xn ) = hb

1
giảm ta khai triển
N

A2 xn − Axn
e
+ o ( h 2 ) = o ( h ) (tức là sai số δ ( x )
2

dần tới 0 khi h → 0 và δ ( x ) có cấp 1).
Ta nói rằng lược đồ sai phân (3) có cấp 1.
Ví dụ: Cho lược đồ:

u ( x + h) − u ( x − h)
+ Au ( x ) = 0, u0 = u ( 0 ) = b
2h

(4)

Đây là lược đồ sai phân 3 điểm vì ở đây ta sử dụng 3 diểm x + h, x, x − h
và có độ chính xác cấp 2.
1.1.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm sai phân
-Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ chính xác cấp h 2 thì nghiệm sai phân
sẽ có sai số cấp h 2 , tức là lược đồ sai phân có độ chính xác cấp 2.
-Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ chính xác cấp h thì nghiệm sai phân
sẽ có sai số cấp h .
Vậy khi đó, cấp chính xác của nghiệm sai phân là không thay đổi.

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 5


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

1.1.4 Cấp xấp xỉ
Xét hai phương trình (2) và (4), ta thấy lược đồ sai phân (2) ít chính
xác thấp hơn lược đồ sai phân (4). Hai lược đồ này chỉ khác nhau ở chỗ xấp xỉ
du
u ( x + h) − u ( x )
u ( x + h) − u ( x − h)
bằng
hoặc
.
dx
h
2h

Thật vậy, dùng khai triển Taylor. Ta có:
u ( x + h) − u ( x)
h
= u ' ( x ) + u " ( x ) + o ( h 2 ) có xấp xỉ cấp 1
h
2

và

u ( x + h) − u ( x − h)
h2
= u ' ( x ) + u "' ( x ) + o ( h 4 ) có xấp xỉ cấp 2.
2h
6

Chúng ta có thể lầm tưởng rằng: cấp hội tụ của nghiệm có thể làm
cho bằng cấp xấp xỉ của đạo hàm. Điều này không đúng vì lược đồ sai phân
dùng được còn phải có điều kiện ổn định.
Một lược đồ được gọi là không ổn định nếu nghiệm sai phân un
không hội tụ đúng về nghiệm đúng u ( xn ) của phương trình vi phân.
1.2 Lược đồ sai phân Runghe-Kutta
Phương pháp Runghe-Kutta là phương pháp ước lượng giá trị nghiệm
y ( t ) của phương trình vi phân khi nó được đưa về dạng

dy
= f ( t , y ) với giá trị
dt

khởi đầu: ( t0 , y ( t0 ) ) .

Từ điểm khởi đầu ( t0 , y ( t0 ) ) , phương pháp sẽ ước lượng điểm tiếp
theo khi biến t được dịch chuyển một đoạn bằng h . Điều đó có nghĩa là điểm
tiếp theo sẽ là : ( t0 + h, y ( t0 + h ) ) và cứ thế tiếp tục suy ra các điểm kế tiếp

(t

0

+ 2h, y ( t0 + 2h ) ) ,..., ( t0 + nh, y ( t0 + nh ) ) . Ở mỗi bước dịch h các giá trị trung

h
gian của y và f liên quan đến phần dịch sẽ được tính toán.
2

Mô tả cụ thể phương pháp Runghe-Kutta bậc 4:

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 6


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

 y′( x) = f ( x, y )
 y (a ) = α

Xét bài toán Cauchy 

(1)

Giả sử ta đã tìm được giá trị gần đúng yi của y ( xi ) và muốn tính yi +1
của y ( xi +1 ) . Trước hết ta viết công thức Taylor:
y ( xi +1 ) = y ( xi ) + hy′( xi ) +

h2
hm (m)
h m +1 ( m +1)
y′′( xi ) + ×××+
y ( xi ) +
y
(c )
2
m!
m!

với c ∈ ( xi , xi +1 ) và:
y ′( xi ) = f [ xi , y ( xi ) ]
d k −1
y ( xi ) = k −1 f [ xi , y ( xi ) ]
dx
(k )

Ta viết lại (1) dưới dạng:
yi +1 − yi = hy ′( xi ) +

h2
hm ( m)
h m +1 ( m +1)
y′′( xi ) + ×××+

y ( xi ) +
y
(c )
2
m!
m!

(2)

Ta đã kéo dài khai triển Taylor để kết quả chính xác hơn. Để tính yi' , yi'' ,... ta có
thể dùng phương pháp Runge-Kutta bằng cách đặt:
yi +1 − yi = r1k1( i ) + r2 k2( i ) + r3 k3( i ) + r4 k 4( i )

(3)

trong đó:
 k1( i ) = hf ( xi , yi )
 (i)
(i )
 k2 = hf ( xi + ah, yi + α k1 )
 (i)
(i )
(i )
 k3 = hf ( xi + bh, yi + β k1 + γ k2 )
.......


(4)

và ta cần xác định các hệ số a, b,...; α , β , γ ,...; r1 , r2 ... sao cho vế phải của (3)

khác với vế phải của (2) một vô cùng bé cấp cao nhất có thể có đối với h .
Khi dùng công thức Runge-Kutta bậc hai ta có:

và

(i)
 k1 = hf ( xi , yi )
 (i)
(i )
 k2 = hf ( xi + ah, yi + α k1 )

(5)

yi +1 − yi = r1k1( i ) + r2 k2( i )

(6)

Ta có:

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 7


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

y ' = f  x, y ( x ) 
y ′′( x ) = f x′ [ x, y ( x) ] + f y′ [ x, y ( x) ]

................
Do đó vế phải của (2) là:
hf ( xi , yi ) +

h2
 f x′( xi , yi ) + f y′( xi , yi )  y ′( x) + ×××
2 

(7)

Mặt khác theo (5) và theo công thức Taylor ta có:
k1(i ) = hf ( xi , yi ) = hyi′
k2(i ) = h[ f ( xi , yi ) + ahf x′( xi , yi ) + α k1( i ) f y′( xi , yi ) + ×××]

Do đó vế phải của (6) là:
h(r1 + r2 ) f ( xi , yi ) + h 2 [ar2 f x′( xi , yi ) + α r2 yi′ f y′( xi , yi )] + ×××

(8)

3
Bây giờ cho (7) và (8) khác nhau một vô cùng bé cấp O ( h ) ta tìm được các

hệ số chưa biết khi cân bằng các số hạng chứa h và chứa h 2 :
 r1 + r2 = 1

1

 a.r1 =
2


α .r2 = 1

Như vậy:

Nếu a =


α = a

2a − 1

, với a được chọn bất kì.
 r1 =
2
a

1

 r2 = 2a

 r1 = 0
1
thì 
. Lúc này ta nhận được công thức Euler.
2
 r2 = 1

1

 r1 = 2

Nếu a = 1 thì 
. Lúc này ta nhận được công thức Euler cải tiến.
r = 1
 2 2

Một cách tương tự chúng ta nhận được công thức Runge - Kutta bậc 4.
Công thức này hay được dùng trong tính toán thực tế :

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 8


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

Cho trước ( t0 , y ( t0 ) )
Ở bước thứ j tổng quát, thực hiện các phép tính sau:
k0 = f ( t j , y j )

h
h 

k1 = f  t j + , y j + k0 ÷
2
2 

h
h 


k2 = f  t j + , y j + k1 ÷
2
2 

k3 = f ( t j + h, y j + hk2 )

Suy ra các giá trị ước lượng y ( t j +1 ) : y j +1 = y j + ( k0 + 2k1 + 2k 2 + k3 )
h
6

1.2.1 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc hai
Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử .
Ta có:
k1 = hf ( x n , t n ) = λhx n ;
k 2 = hf ( x n + k1 , t n + h) = λh( x n + k1 ) = λh( x n + λhx n ) = λh(1 + λh ) x n

và x n +1


1
1
λ2 h 2

(
)
(
(
)
)
= x n + k1 + k 2 = x n + λ h + λ h 1 + λ h x n = 1 + λ h +

2
2
2



 x n .


λ2 h 2
σ
≤
1
Để phương pháp ổn định thì
, trong đó σ = 1 + λh +
.
2

Trường hợp 1. λ là số thực. Khi ấy 1 + λh +

λ2 h 2
≤ 1 hay − 2 ≤ λh ≤ 0 .
2

Trường hơp 2. λ = iω thuần ảo, ω ≠ 0 .
1
4

Khi ấy σ = 1 + ω 4 h 4 > 1 . Phương pháp không ổn định.
Trường hợp 3. λ = λ R + iλ I là số phức.

Khi ấy 1 + λh +

λ2 + λ2I 2 
λ2 h 2 
= 1 + λ R h + R
h  + i ( λ I + λ R λ I ) là số phức.
2
2



GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 9


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

Đặt 1 + λh +

λ2 h 2
= e iθ và tìm nghiệm phức λh của phương trình bậc
2

hai theo các giá trị của θ . Nhận xét rằng σ = 1 với mọi giá trị của θ .
1.2.2 Sự ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc bốn
Xét phương pháp Runge-Kutta bậc bốn cho phương trình thử. Ta có:
k1 = hf ( x n , t n ) = λhx n ;
k 


 λh 
k 2 = λh x n + 1  = λh( x n + λhx n ) = λh1 +
 xn ;
2
2 


 λh λ 2 h 2
k 

1  λh  

k 3 = λh x n + 2  = λh x n + λh1 +
+
 x n  = λh1 +
2
2 
2  
2
4




 λh λ 2 h 2
k 4 = λh( x n + k 3 ) = λh x n + λh1 +
+
2
4




Và

x n +1 = x n +


 x n ;


 

λ 2 h 2 λ3 h 3 
 x n  = λh1 + λh +
 xn
+

2
4 
 


2 2
3 3
4 4


1
( k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) = 1 + λh + λ h + λ h λ h  x n .

6
2
3! 4! 


λ 2 h 2 λ3 h 3 λ 4 h 4
σ
≤
1
+
Để phương pháp ổn định thì
, trong đó σ = 1 + λh +
.
2
3! 4!

Trường hợp 1. λ là số thực. Khi ấy − 2.785 ≤ λh ≤ 0 .
Trường hơp 2. λ = iω thuần ảo, ω ≠ 0 . Khi ấy 0 ≤ λh ≤ 2 2 .
Trường hợp 3. λ = λ R + iλ I là số phức. Đặt 1 + λh +

λ 2 h 2 λ3 h 3 λ 4 h 4
+
= e iθ và
2
3! 4!

tìm nghiệm phức λh của phương trình bậc bốn theo các giá trị của θ . Nhận
xét rằng σ = 1 với mọi giá trị của θ .
Miền ổn định được chỉ ra trên Hình 1.

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 10


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

1.3 Lược đồ sai phân Adams
Phương pháp Adams cũng là phương pháp ước lượng giá trị nghiệm
y ( t ) của phương trình vi phân khi nó được đưa về dạng y ' = f ( y, t ) với k + 1

giá trị khởi đầu: ( t0 , y ( t0 ) ) ,..., ( tk , y ( tk ) ) .
Ta tìm các giá trị ước lượng điểm tiếp theo khi biến t được dịch chuyển
một đoạn bằng h . Tuy nhiên giá trị trung gian tham khảo không phải là biến t
với giá trị dịch chuyển

h
mà giá trị tham khảo là các giá trị của y trước đó.
2

Phương pháp này dựa trên khai triển lân cận Maclaurin.
Mô tả cụ thể phương pháp: (với k = 2 )
Cho trước ( t0 , y ( t0 ) ) , ( t1 , y ( t1 ) ) , ( t2 , y ( t2 ) ) .
Ở bước thứ j tổng quát, thực hiện phép tính sau:
y j +1 = y j +

(

h

23 f ( t j , y j ) − 16 f ( t j −1 , y j −1 ) + 5 f ( t j −2 , y j −2 )
12

)

1.4 So sánh lược đồ Runghe-Cutta và lược đồ Adams
Khác nhau:
Phương pháp Runghe-Cutta
- Cần 1 cặp giá trị khởi đầu.

Phương pháp Adams
- Cần nhiều hơn 1 cặp giá trị khởi đầu
(k+1 cặp).

- Giá trị trung gian tham khảo để tính

- Giá trị trung gian tham khảo để tính

điểm kế tiếp nằm ở

điểm kế tiếp nằm ở

h

y  t j + ÷,
2



h 

h 
f  t j + , y  t j + ÷÷
2 
2 


y ( t j − h ) , y ( t j − 2h ) ,..., y ( t j − kh ) và

(
f (t

) (
− kh, y ( t − kh ) )

)

f t j − h, y ( t j − h ) , f t j − 2h, y ( t j − 2h ) ,...,

- Runghe-Cutta được coi là phương
pháp “non-memory”.

j

j

- Do các giá trị ở quá khứ được sử dụng
lại, phương pháp Adams được gọi là

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 11


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

phương pháp có “memory”.
Giống nhau:
- Đều là các phương pháp ước lượng giá trị cụ thể cho một hàm y ( t )
với y ( t ) là nghiệm phương trình vi phân được đưa về dạng:
- Đều ước lượng là từng bước, mở rộng từ các điểm khởi đầu thông
qua các vòng lặp.
- Đều là phương pháp dựa trên xấp xỉ theo bậc hàm đa thức (khai triển
Maclaurin).

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 12


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

Chương 2 : Ứng dụng
2.1 Phương pháp Runge-Kutta
2.1.1 Bài toán 1
dy

2
2

Giải bài toán giá trị ban đầu dx = x + y , y (0) = 1 bằng phương pháp RungeKutta
X
y với h = 0,01
y với h = 0,005
y với h = 0,0025
0,5
2.0670
2.0670
2.0670
0,6
2.6440
2.6440
2.6440
0,7
3.6529
3.6529
3.6529
0,8
5.8486
5.8486
5.8486
0,9
14.3048
14.3049
14.3049

Bảng trên cho các kết quả của phương pháp Runge - Kutta trên đoạn
[0,0; 0,9] với các bước h = 0,1; h = 0,005 và h = 0,0025. Tuy vẫn còn khó
khăn khi gần điểm x = 0,9. Nhưng có thể kết luận rằng y(0,5) ≈ 2,0670.
X

0,1
0,3

y với h = 0,1
1.1115
1.4397

y với h = 0,05
1.1115
1.4397

y với h = 0,025
1.1115
1.4397

2.1.2 Bài toán 2
Dùng phương pháp Runge - Kutta để giải bài toán giá trị ban đầu sau đây
dy
= x + y, y (0) = 1 .
dx

x
Có nghiệm chính xác là y(x) = 2e - x - 1. Lấy h = 0.5, ta có
k1 = 0 + 1 = 1
k2 = (0 + 0.25) + [1 + (0.25).(1)] = 1.5
k3 = (0 + 0.25) + [1 + (0.25).1.5] = 1.625
k4 = 0.5 + [(1 + 0.5) . (1.625)] = 2.3125

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 13


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

Do đó: y1 = 1 +

0.5
+ [ 1 + 2.1.5 + 2.1.625 + 2.3125] ≈ 1.7969
6

Tương tự thực hiện bước 2 ta có
k1 = 0.5 + 1.7969 = 2.969
k2 = 0.5 + 0. 25 + 1.7969 + 0.25.k1
k3 = 0.5 + 0.25 + 1.7969 + 0.25k2
k4 = 1+ 1.7969 + 0.25k3
2.2 So sánh Phương pháp Runge-Kutta và Phương pháp Adams
2.2.1 Bài toán 3:
Tìm xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân y ( x) trên đoạn [1,2], biết:
xy ' = x 2 − y 2 + y , thỏa điều kiện đầu y ( 1) = 1 .

Nghiệm của phương trình là y ( x ) = ± x , với điều kiện đầu y ( 1) = 1 , suy ra
y ( x ) = x . Kết quả này dùng để so sánh với nghiệm thực.

Giải:
Tính toán xấp xỉ hàm y ( x) bằng thực nghiệm y ( x)
* Dùng phương pháp Runge-Kutta bậc 4: y ' =

x2 − y2 + y

x

Khởi đầu từ điều kiện đầu: y ( 1) = 1 , tính toán các điểm tiếp theo với
h=0.1, ta có kết quả tính toán trên đoạn [1,2] bằng chương trình Matlab ở bên
trái bảng 1.
x2 − y2 + y
x
Khởi đầu từ điều kiện đầu: y ( 1) = 1 , y ( 1.1) = 1.1 , y ( 1.2 ) = 1.2 , (chú ý ở

* Dùng phương pháp Adams với k = 2: y ' =

đây điều kiện đầu cần nhiều thông tin hơn: 3 cặp giá trị khởi đầu), tính toán
các điểm tiếp theo với h=0.1, ta có kết quả tính toán trên đoạn [1,2] bằng
chương trình Matlab ở bên phải bảng 1.
Chú ý: Phần in nghiêng và bôi đậm là phần dữ liệu đã biết, là điều kiện đầu để
khởi động quá trình xấp xỉ.
Bảng 1: Kết quả tính toán Bài toán 3:
Runge-Kutta
X
y
1.0000000000000 1.000000000000000
GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Adams
x
y
1.00000000000 1.00000000000

Trang 14

Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

1.10000000000000
1.20000000000000
1.30000000000000
1.40000000000000
1.50000000000000
1.60000000000000
1.70000000000000
1.80000000000000
1.90000000000000
2.00000000000000

1.104210180700229
1.211042813112049
1.318053559644893
1.424824911269229
1.531453832081012
1.637753151103550
1.743759916191817
1.849425652623294
1.954759209204868
2.059959647804608

1.10000000000 1.10000000000
1.20000000000 1.20000000000
1.30000000000 1.30000000000
1.40000000000 1.40000000000

1.50000000000 1.50000000000
1.60000000000 1.60000000000
1.70000000000 1.70000000000
1.80000000000 1.80000000000
1.90000000000 1.90000000000
2.00000000000 2.00000000000

Ở đây nghiệm thực và kết quả ước lượng được vẽ trên đồ thị để dễ so
sánh. Phương pháp Runge-Kutta cho kết quả bên trái hình 1 và phương pháp
Adams cho kết quả bên phải hình 1. Độ dịch h = 0.01.

Hình 2: Kết quả trên đồ thị cho Bài toán 3
2.2.2 Bài toán 4

π π

Tìm nghiệm phương trình vi phân trên đoạn  , + 0.5 :
2 2

y ln y
π 
y'=
y  ÷= e .
,
thỏa
điều
kiện
đầu
sin x

( )

2

Nghiệm thực của phương trình là y ( x ) = e

x
tg  ÷
2

. Kết quả này dùng để so sánh

với nghiêm thực.
Giải:
y ln y

Dùng phương pháp Runge-Kutta bậc 4: y ' = sin x
( )

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 15


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

π 
Khởi đầu từ điều kiện đầu: y  ÷ = e , tính toán các điểm tiếp theo
2

π π

với h=0.05, ta có kết quả tính toán trên đoạn  , + 0.5 bằng chương trình
2 2


Matlab ở bên trái bảng 2:
y ln y

Dùng phương pháp Adams với k=2: y ' = sin x
( )

π 
π
 tg 
y
=
e
Khởi đầy từ điều kiện ban đầu:  ÷ , y  + 0.05 ÷ = e
2
2


 π + 0.2 
÷
4 

π
 tg 
y  + 0.1÷ = e 

2


π + 0.1 
÷
4 

,

(chú ý ở đây điều kiện đầu cần nhiều thông tin hơn: 3

cặp giá trị khởi đầu), tính toán các điểm tiếp theo với h=0.05, ta có kết quả
π π

tính toán trên đoạn  , + 0.5 bằng chương trình Matlab ở bên trái bảng 2.
2 2


Bảng 2: Kết quả tính toán Bài toán 4:
Runge-Kutta
x

Adams
y

1.570796326794 2.718281828459
1.620796326794 2.860069824145
1.670796326794 3.017413869262
1.720796326794 3.192985231660
1.770796326794 3.390068631151

1.820796326794 3.612741184469
1.870796326794 3.866115431139
1.920796326794 4.156673992120
1.970796326794 4.492737415287
2.020796326794 4.885129081214
2.070796326794 5.348137406503
Chú ý: Phần in nghiêng và bôi

x

y

1.570796326794
1.620796326794
1.670796326794
1.7207963267948
1.7707963267948
1.8207963267948
1.8707963267948
1.9207963267948
1.9707963267948
2.0207963267948
2.0707963267948
đậm là phần dữ liệu

2.71828182845904
2.86134848448742
3.02029826720742
3.19768347469934
3.39701140136231

3.62250091136207
3.87942494004382
4.17448524214145
4.51630246528023
4.91611449208914
5.38879047611274
đã biết, là điều

kiện đầu để khởi động quá trình xấp xỉ.
Ở đây nghiệm thực và kết quả ước lượng được vẽ trên đồ thị để dễ so
sánh. Phương pháp Runge-Kutta cho kết quả bên trái hình 1 và phương pháp
Adams cho kết quả bên phải hình 2. Độ dịch h = 0.05.
GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 16


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

Hình 3: Kết quả trên đồ thị cho Bài toán 4.
Nhận xét chung :
- Càng xa điểm (các điểm) khởi đầu thì sai số càng cao!
- Adams cho kết quả chính xác hơn Runge-Kutta vì thông tin ban đầu được
cung cấp nhiều hơn (Adams cần tới 3 cặp giá trị khởi tạo đối với k=2 trong khi
Runge-Kutta chỉ cần 1 cặp).

GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 17


Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta và lược đồ sai phân Adams

KẾT LUẬN
Phương pháp sai phân là phương pháp hiệu quả nhất để giải các bài toán
vi phân thường và các bài toán đạo hàm riêng. Người ta xem đây là phương
pháp vạn năng để giải các bài toán trong lĩnh vực này. Trong toán học ứng
dụng có rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân. Việc giải các
phương trình vi phân là một yêu cầu quan trọng trong thực tiễn.
Được tiếp cận với phương pháp sai phân qua môn học “Phương Pháp
Sai Phân” dưới sự giảng dạy nhiệt tình của Thầy TS.Lê Hải Trung giúp
chúng tôi tiếp cận được với phương trình vi phân một cách cụ thể nhất.
Nhằm mở rộng kiến thức đã học Nhóm 1 nghiên cứu đề tài “Lược đồ sai
phân Rughe-Kutta cho phương trình vi phân thường và so sánh với
lược đồ Adams”.
Xin chân thành cảm ơn thầy đã có những buổi dạy nhiệt tình để
chúng em có được những kiến thức nhất định về môn học này !

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giáo trình “Phương trình sai phân và một số ứng dụng” _ Lê Đình
Thịnh_Đặng Đình Châu_Lê Đình Định_Phan Văn Hạp.
2. />
GVHD: TS. Lê Hải Trung
Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25

Trang 18