ứng dụng lý thuyết sai phân để giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

LÊ THỊ HỒNG NHUNG

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN
ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

LÊ THỊ HỒNG NHUNG

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN
ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS. LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Lê Thị Hồng Nhung


Mục lục

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.

1.2.

KHÁI NIỆM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN . . . . . . .

3

1.1.1. Khái niệm sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Một số tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ PHÂN LOẠI . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1 với vế
phải đặc thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
11

1.2.5. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 2 với vế

1.3.

phải đặc thù. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.6. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

TUYẾN TÍNH HÓA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN ĐỂ GIẢI

2.1.

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG . . . . . . . . . . . . . . .

19

BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY . . . . . . . . .

19

2.1.1. Tìm số hạng tổng quát khi biết các số hạng đầu tiên. . . . . . .

19

2.1.2. Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.3. Công thức truy hồi là một hệ thức tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.4. Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên .
25
2.1.5. Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng . . .

26


2.2.

BÀI TOÁN TÍNH TỔNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.1. Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2. Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.3. Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.4. Bài toán 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.

BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4.

MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.5.

BÀI TẬP TỔNG HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢI
TOÁN SAI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.1.

GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ PHẦN MỀM MAPLE . . . . . . . . . . . . .

62

3.2.

MỘT SỐ HÀM THỰC HIỆN ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN MỀM MAPLE
63

3.3.

3.2.1. Một số hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.2.2. Một số lệnh cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢI TOÁN SAI PHÂN
66
3.3.1. Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình sai phân . . . .

66

3.3.2. Ứng dụng phần mềm Maple giải bài toán tính tổng . . . . . . . .

75

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)
81


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Phương pháp sai phân và phương trình sai phân được ứng dụng rộng
rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Sai phân có thể ứng dụng vào
giải gần đúng phương trình các toán tử, đặc biệt được sử dụng để giải gần
đúng phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng. Bên cạnh đó,
lí thuyết sai phân và phương trình sai phân còn có nhiều ứng dụng khác
trong giải tích, chẳng hạn như : tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới
hạn của dãy số, bài toán tính tổng,. . . .
Sai phân và ứng dụng của sai phân là phương pháp rất quan trọng trong
toán sơ cấp. Nó không những góp phần giải quyết các bài toán về dãy số
mà còn giúp giải các bài toán khác như : phương trình hàm, đa thức, bất

đẳng thức,.. . .
Với mong muốn mang lại một sự thú vị cũng như một công cụ và phương
thức lựa chọn cho các đối tượng có sự quan tâm đến ứng dụng của lí thuyết
sai phân, được sự gợi ý của người hướng dẫn khoa học, thầy giáo – TS. Lê
Hải Trung, tôi đã chọn đề tài “ Ứng dụng lí thuyết sai phân để giải
toán trung học phổ thông ” cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là nghiên cứu các tính chất của
sai phân, xây dựng phương pháp giải các bài toán dựa trên tính chất đặc
trưng của chúng, đồng thời ứng dụng phần mềm Maple trong giải toán sai
phân.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Các tính chất của sai phân, phân loại phương trình sai phân và ứng
dụng của sai phân để giải quyết một lớp các bài toán trong chương trình
THPT và các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, .. . . Ứng dụng


2

phần mềm Maple để giải quyết các bài toán đã nêu.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu sai phân của các hàm số một biến thực. Trong nội dung
của luận văn các giá trị của biến ta lấy trong tập số thực R hoặc tập số
tự nhiên N.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn, các kiến thức sử dụng nằm trong các lĩnh vực sau đây:
Giải tích, Đại số, Lí thuyết sai phân,. . . .
5. Bố cục đề tài
Luận văn có cấu trúc như sau:

Mở đầu
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương 2: Ứng dụng tính chất của sai phân để giải một số
bài toán
Chương 3: Ứng dụng của phần mềm Maple trong giải toán
sai phân
Kết luận
Tài liệu tham khảo


3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, tác giả trình bày một số kiến thức về khái niệm sai
phân, một số tính chất của sai phân, các loại phương trình sai phân, tuyến
tính hóa phương trình sai phân.
Nội dung có thể xem thêm trong các tài liệu [7], [8],[9],[10],....
1.1. KHÁI NIỆM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN
1.1.1.

Khái niệm sai phân

Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và h = const.
Ta gọi sai phân cấp 1 của hàm f tại x là đại lượng

∆f (x) = f (x + h) − f (x).
Sai phân cấp n của f (x) là đại lượng

∆n f (x) = ∆ ∆n−1 f (x) , (n ≥ 1)
ở đây kí hiệu ∆0 f (x) = f (x).
1.1.2.

Một số tính chất của sai phân

Tính chất 1.1.1. ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là ∀α, β ∈ R; ∀f, g
thì

∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.
Chứng minh. ∀α, β ∈ R; ∀f, g thì

∆(αf + βg) = αf (x + h) + β.g(x + h) − αf (x) − βg(x)
= α [f (x + h) − f (x)] + β [g(x + h) − g(x)]
= α∆f + β∆g.


4

Vậy ∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.
Tính chất 1.1.2. Nếu c = const thì ∆c = 0.
Chứng minh. c = const suy ra ∆c = c − c = 0.
Tính chất 1.1.3. ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0 (m > n).
Chứng minh.

∆ (xn ) = (x + h)n − xn = nh.xn−1 + ...
∆2 (xn ) = ∆ nxn−1 h + ... = n.h∆ (xn − 1) + ...
= n (n − 1) h2 xn−2 + ...
...

∆n (xn ) = n!hn .
Từ tính chất (1.1.2) suy ra ∆m (xn ) = 0 ∀m > n.
Tính chất 1.1.4. Nếu P (x) là đa thức bậc n thì ta có:1
n

∆P = P (x + h) − P (x) =
i=1

hi (i)
· p (x).
i!

Tính chất 1.1.5.
n

Cni ∆i f (x).

f (x + nh) =
i=0

Chứng minh. f (x + h) = (1 + ∆)f (x) = f (x) + ∆f (x)
Sử dụng liên tiếp công thức trên, ta được:

f (x + nh) = (1 + ∆)f (x + (n − 1)h)
= (1 + ∆)2 f (x + (n − 2)h)
= ...

n
n

Cni ∆i f (x).

= (1 + ∆) f (x) =
i=0
1

Nội dung này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [7].


5

Tính chất 1.1.6.
n
n

(−1)i Cni f (x + (n − i)h).

∆ f (x) =
i=0

Chứng minh.

∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x)
n

(−1)i Cni (1 + ∆)n−i f (x)

=
i=0
n

(−1)i Cni f (x + (n − i)h).

=
i=0

Tính chất 1.1.7. Giả sử f ∈ C n [a; b] và (x, x + nh) ⊂ θ(0; 1), khi đó:

∆n f (x)
= f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1).
n
h
Chứng minh. Với n = 1, ta có công thức số gia hữu hạn:

f (x + h) − f (x)
= f (x + θh).
h
Giả sử công thức đúng với k = n , tức là:

∆n f (x)
= f (n) (x + θnh)
n
h
Ta chứng minh công thức đúng với k = n + 1.
Thật vậy, ta có:

∆n+1 f (x) = ∆ [∆n f (x)] = ∆ hn f (n) (x + θ nh) , trong đó θ ∈ (0; 1).
Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f (n) (x + θ nh)

∆n+1 f (x) = hn ∆(n) (x + θ nh)

= hn f (n) (x + θ nh + h) − f (n) (x + θ nh)
= hn+1 .f (n+1) (x + θ nh + θ h);
(θ n + θ )
∈ (0; 1) ta được
n+1
∆n+1 f (x) = f (n+1) (x + θ(n + 1)h).
Kí hiệu θ =

(θ , θ ∈ (0; 1)).


6

Nhận xét 1.1.1. Nếu f ∈ C n [a; b] thì khi h đủ nhỏ ta có thể xem

f

(n)

∆n f (x)
(x) ≈
.
hn

Tính chất 1.1.8. Nếu f (x) xác định trên tập số nguyên và h = 1; kí
hiệu xk = f (k); k = 0; 1; 2; ... thì
n

∆xi = xn+1 − x1 .
i=1

Chứng minh. Ta có:
n

∆xi = (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) + ... + (xn+1 − xn ) = xn+1 − x1 ,
i=1

với ∆xi = xi+1 − xi .
Vậy

n

∆xi = xn+1 − x1 .
i=1

1.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ PHÂN LOẠI
1.2.1.

Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1. Phương trình sai phân cấp k là phương trình có
dạng

F (xn , ∆xn , ∆2 xn , ..., ∆k xn ) = 0

(1.1)

Định nghĩa 1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp k là phương
trình có dạng

an xn+k + an−1 xn+k−1 + ... + a1 xn+1 + a0 xn = fn

(1.2)

trong đó ai , i = 0; 1; 2; ...; n với an = 0, a0 = 0 là các hằng số hoặc các
hàm số của n; fn là hàm số của n; xn là giá trị cần tìm.


7

Nếu fn = 0 thì phương trình

an xn+k + an−1 xn+k−1 + ... + a1 xn+1 + a0 xn = 0

(1.3)

được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k .
Để tìm nghiệm riêng của phương trình (1.2) ta phải biết trước k giá trị
ban đầu x0 , x1 , ..., xk−1 .
Phương trình

an λn + an−1 λn−1 + ... + a1 λ + a0 = 0

(1.4)

được gọi là đa thức đặc trưng của phương trình (1.3).
Nhận xét 1.2.1. Nếu x1n và x2n là các nghiệm của phương trình (1.3)
thì αx1n + βx2n , cũng là nghiệm của phương trình (1.3), với α, β là các hằng
số tùy ý.
1.2.2.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

Định nghĩa 1.2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 là phương
trình có dạng:

axn+1 + bxn = fn

(1.5)

(a, b là hằng số khác 0, fn là hàm của n)
Nghiệm tổng quát của (1.5) có dạng xn = xn + x∗n , trong đó:

xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần
a
nhất axn+1 + bxn = 0 và có dạng xn = C.q n , với C = 0 và q = − ; x∗ là
b
một nghiệm riêng bất kì của phương trình (1.5).
Định nghĩa 1.2.4. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp

1 là phương trình có dạng:
axn+1 + bxn = 0 (a = 0)

(1.6)

b
Phương trình đặc trưng của (1.6) là: aλ + b = 0 ⇔ λ = − .
a
n
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) có dạng xn = c.λ (c là hằng số).

8

Ví dụ 1.2.1. Giải phương trình:

xn+1 − 3.xn = 0; x1 = 2.
Lời giải. Phương trình đặc trưng có dạng: λ − 3 = 0 ⇔ λ = 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng xn = c.3n .
2
Với n = 1 ta có: x1 = 3.c = 2 suy ra c = .
3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: xn = 2.3n−1 .
1.2.3.

Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

cấp 1 với vế phải đặc thù
Xét phương trình

axn+1 + bxn = fn

(1.7)

A. Trường hợp fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n. Khi đó:
Nếu λ = 1 thì x∗n = fn là đa thức cùng bậc với fn .
Nếu λ = 1 thì x∗n = n.fn ; fn là đa thức cùng bậc với fn .
Ví dụ 1.2.2. Giải phương trình:

xn+1 = 5xn + 3n; x1 = 5.

Lời giải. Phương trình đặc trưng λ − 5 = 0 suy ra λ = 5.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: xn = c.5n (c là hằng số).
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng x∗n = an + b.
Thay x∗n vào phương trình đã cho ta được:

a(n + 1) + b − 5(an + b) = 3n
⇔ −4an + a − 4b = 3n.



3

 −4a = 3
 a=−
4
Đồng nhất các hệ số ta được
⇔
3
 a − 4b = 0

 b=−
16
3
3
Do đó: x∗n = − n − .
4
16


9

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

3
3
xn = xn + x∗n = c.5n − n − .
4
16
Với n = 1 ta có 5c −
Vậy xn =

15
19
= 5 suy ra c = .
16
16

3
19 n 3
5 − n− .
16
4
16

B. Trường hợp

fn = αn .Pm (n), (α = 0)

(1.8)

trong đó Pm (n) là đa thức bậc m của n.
Khi đó x∗n được xác định như sau:

x∗n = Qm (n)αn nếu α = a;
x∗n = n.Qm (n)αn nếu α = a.
Trong đó Qm (n) là đa thức bậc m của n.
Ví dụ 1.2.3. Giải phương trình:

xn+1 − 3xn = n.2n ; x1 = 1.
Lời giải. Phương trình đặc trưng λ − 3 = 0 ⇔ λ = 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng xn = c.3n

(c là hằng số).
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: x∗n = (an + b).2n .
Thay x∗n vào phương trình đã cho ta được:

(a(n + 1) + b).2n+1 − 3.(an + b).2n = n.2n ⇔ a = −1, b = −2.
Do đó: x∗n = (−n − 2)2n
Suy ra xn = c.3n − (n + 2)2n .

7
Với n = 1 ta có: 1 = 3c − 6 suy ra c = − .
3
n−1
n
Vậy xn = 7.3
− (n + 2)2 .


10

C. Trường hợp

fn = fn1 + fn2 + ... + fnk
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.7) có dạng:

xn = xn + x∗n1 + x∗n2 + ... + x∗nn
trong đó x∗nk tương ứng là nghiệm riêng của phương trình:

axn+1 + bxn = fnk

(k = 1; 2; ...)

Ví dụ 1.2.4. Tìm xn thỏa mãn điều kiện:

xn+1 − 2xn = n + 3n ; x1 = 3.
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ − 2 = 0 ⇔ λ = 2.
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

xn = xn + x∗n1 + x∗n2
trong đó: xn = c.2n (c là hằng số)

x∗n1 = an + b (a, b là hằng số)
x∗n2 = d.3n (d là hằng số)
Thay x∗n = x∗n1 +x∗n2 = an+b+d.3n vào phương trình xn+1 − 2xn = n + 3n ,
ta được:

a(n + 1) + b + d.3n+1 − 2(an + b + d.3n ) = n + 3n
⇔ −an + (a − b) + d.3n = n + 3n .
Đồng nhất các hệ số:







−a = 1
a = −1






a − b = 0 ⇔  b = −1







 d=1
 d=1


11

Do đó: x∗n = −n − 1 + 3n
Suy ra xn = c.2n − n − 1 + 3n .

Với n = 1, ta có: x1 = 2c − 2 + 3 = 3 suy ra c = 1.
Vậy xn = 2n + 3n − n − 1.
1.2.4.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Định nghĩa 1.2.5. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 là phương
trình có dạng:

axn+2 + bxn+1 + cxn = fn ; a = 0

(1.9)

a, b, c là hằng số; fn làm hàm số của n.
Định nghĩa 1.2.6. Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất cấp 2:

axn+2 + bxn+1 + cxn = 0

(1.10)

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) có dạng xn = xn + xn , trong
đó xn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.10);

x∗n là một nghiệm riêng tùy ý của (1.9).
Định nghĩa 1.2.7. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp

2 có phương trình đặc trưng:
aλ2 + bλ + c = 0.
Nếu λ1 , λ2 là hai nghiệm thực phân biệt thì

xn = A.λn1 + B.λn2 (A, B là các hằng số).
Nếu λ1 = λ2 = λ (nghiệm thực kép) thì

xn = (A + B.n)λn (A, B là các hằng số).
Nếu λ = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ),
y
với i2 = −1; r = x2 + y 2 = arctan
x


12

thì: λ = x − iy = r(cos ϕ − i sin ϕ) cũng là nghiệm của phương trình đặc
trưng.
Khi đó: xn = rn (A cos nϕ + B sin nϕ) (A, B là các hằng số).
Ví dụ 1.2.5. Giải phương trình:

xn+2 − 5xn+1 + 6xn = 0; x0 = 2; x1 = 3.

 λ=2
2
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ − 5λ + 6 = 0 ⇔
 λ=3
Nghiệm tổng quát của phương trình: xn = A.2n + B.3n .
Theo giả thiết: x0 = 2; x
1 = 3.

 A+B =2
 A=3

Ta có hệ phương trình:
⇔
 2A + 3B = 3
 B = −1
Vậy xn = 3.2n − 3n .
1.2.5.

Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

cấp 2 với vế phải đặc thù
Xét phương trình axn+2 + bxn+1 + cxn = fn .
A. Trường hợp fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n.
Cách tìm x∗n
Phương trình đặc trưng:aλ2 + bλ + c = 0.
(n)

− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = 1 thì: x∗n = Qm .
(n)

− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn λ = 1 thì: x∗n = nQm .
(n)

− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ = 1 thì: x∗n = n2 Qm .
Ví dụ 1.2.6. Giải phương trình

11
−19
; x1 =
.
36

36

 λ=3
2
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ − 7λ + 12 = 0 ⇔
 λ=4
xn+2 − 7xn+1 + 12xn = n + 1; x0 =


13

Nghiệm tổng quát của phương trình: xn = xn + x∗n ,với:

xn = xn = A.3n + B.4n (A, B là các hằng số)
x∗n = a.n + b (a, b là các hằng số)
Thay x∗n vào phương trình xn+2 − 7xn+1 + 12xn = n + 1 ta được:

a(n + 2) + b − 7[a(n + 1) + b] + 12(an + b) = n + 1
⇔ 6an + (6b − 5a) = n + 1.
Đồng nhất các hệ số ta được:



6a = 1




⇔





 6b − 5a = 1


1


a
=


6





 b = 11
36

1
11
Suy ra x∗n = n +
6
36
11
1

n
Suy ra xn = A.3 + B.4n + n + .
6
36
−19
11
; x1 =
, ta có hệ phương trình sau:
36
36


11
11




=
A+B+
A=1




36
36


⇔







17
−19


 3A + 4B +
 B = −1
=
36
36
11
1
Do đó: xn = 3n + 4n + n + .
6
36

Theo giả thiết x0 =

B. Trường hợp fn = αn .Pm (n), (α = 0)
trong đó Pm (n) là đa thức bậc m của n.
Phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0.

− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = α thì x∗n = Qm (n).αn .
− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn λ = α thì x∗n = n.Qm (n).αn .
− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ = α thì x∗n = n2 .Qm (n).αn .

14

Ví dụ 1.2.7. Giải phương trình

xn+2 − 2xn+1 + xn = 3.2n ; x1 = 0; x2 = 0; (n ≥ 1).
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ2 − 2λ + 1 = 0 có nghiệm kép

λ = 1.
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: xn = xn + x∗n ,
trong đó:

xn = (A + Bn)1n = A + Bn (A, B là các hằng số)
x∗n = C.2n (C là hằng số).
Thay x∗n vào phương trình đã cho ta được:

C.2n+2 − 2C.2n+1 + C.2n = 3.2n ⇔ C = 3.
Do đó: x∗n = 3.2n
Suy ra xn = A + B.n + 3.2n
Theo giả thiết x1 = 0; x2 = 0 nên ta có hệ phương trình


 A+B+6=0
A = 0
⇔
 A + 2B + 12 = 0
B = −6
Vậy xn = −6n + 3.2n .
1.2.6.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3

Định nghĩa 1.2.8. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 là phương
trình có dạng

a.xn+3 + b.xn+2 + c.xn+1 + d.xn = fn

(1.11)

trong đó a, b, c, d là các hằng số và a = 0; fn là hàm số của n.
Định nghĩa 1.2.9. Nếu fn ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến
tính thuần nhất cấp 3 là:

a.xn+3 + b.xn+2 + c.xn+1 + d.xn = 0

(1.12)


15

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) có dạng xn = xn + x∗n ;
trong đó xn là nghiệm của phương trình (1.12); x∗n là một nghiệm riêng
của phương trình (1.11).
Định nghĩa 1.2.10. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp

3 có phương trình đặc trưng:
aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0
Nếu phương trình đặc trưng có ba nghiệm thực phân biệt λ1 , λ2 , λ3 thì

xn = A.λn1 + B.λn2 + C.λn3 (A, B, C là các hằng số).
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực bội 2 là λ1 và một nghiệm
đơn λ2 thì

xn = (A + B.n)λn1 + C.λn2 (A, B, C là các hằng số).
Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm thực bội 3 thì:

xn = (A + Bn + Cn2 )λn .
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức λ1 = r(cos ϕ + i sin ϕ) và
một nghiệm thực λ2 .
Khi đó: xn = rn (A cos nϕ + b sin nϕ) + Cλn2

(A, B, C là các hằng số).

Ví dụ 1.2.8. Giải phương trình

xn+3 − 6xn+2 + 11xn+1 − 6xn = 0; x0 = 3; x1 = 6; x2 = 14; (n ≥ 1).
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ3 − 6λ2 + 11λ − 6 = 0
có nghiệm: λ1 = 1; λ2 = 2; λ3 = 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

xn = A.1n + B.2n + C.3n .
Theo giả thiết: x0 = 3; x1 = 6; x2 = 14, ta có hệ phương trình


16








A
A
+
B
+
C
=
3






A + 2B + 3C = 6 ⇔ B







C
 A + 4B + 9C = 14

=1
=1

=1

Vậy xn = 3n + 2n + 1.
Nhận xét 1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
cấp 3 được mở rộng trực tiếp từ phương trình sai phân tuyến tính cấp 2.2
1.3. TUYẾN TÍNH HÓA
Xét phương trình: xn = ϕ(xn−1 , xn−2 , ..., xn−k ) với các giá trị ban đầu

x1 = α1 , x2 = α2 , ..., xk = αk .
Giả sử phương trình sai phân xn = ϕ(xn−1 , xn−2 , ..., xn−k ) là tuyến tính
hóa được. Khi đó điều kiện cần là tồn tại các số a1 , a2 , ..., ak để:

xn = α1 xn−1 + α2 xn−2 + ... + xk = αk .
Để tìm ai (i = 1, k) ta tính xk+1 , xk+2 , ..., xk = α2k , ta có:

xk+1 = ϕ(αk , αk−1 , ..., α1 )
xk+2 = ϕ(αk+1 , αk , ..., α2 )
...
x2k = ϕ(α2k−1 , α2k−2 , ..., αk )
Thay x1 , x2 , ..., xk và các giá trị xk+1 , xk+2 , ..., x2k vừa tìm được vào
biểu thức xn ta được hệ phương trình đại số tuyến tính:

2

Nội dung này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [7].


17





xk+1 = a1 xk + a2 xk−1 + ... + ak x1





 xk+2 = a1 xk+1 + a2 xk + ... + ak x2


...





 x =a x
2k
1 2k−1 + a2 x2k−2 + ... + ak xk
Nếu hệ phương trình trên có nghiệm thì ta được:

xn = α1 xn−1 + α2 xn−2 + ... + xk = αk xn−k
là dạng tuyến tính hóa của xn = ϕ(xn−1 , xn−2 , ..., xn−k ).
Ngược lại, để kiểm tra điều kiện đủ, ta chứng minh quy nạp.
Ví dụ 1.3.1. Tuyến tính hóa phương trình

x2n−1 + 2
xn =
; x1 = 1; x2 = 1; (n ≥ 3).

xn−2
Lời giải. Giả sử dạng tuyến tính của phương trình đã cho là

xn = axn−1 + bxn−2 + c.
Từ phương trình đã cho, ta có: x3 = 3; x4 = 11; x5 = 41.
Thay các giá trị này vào xn ta được hệ phương trình:






a
+
b
+
c
=
3
a=4






3a + b + c = 11 ⇔  b = −1








 11a + 3b + c = 41
 c=0
Suy ra: xn = 4xn−1 − xn−2 .
Ngược lại, ta chứng minh quy nạp xn = 4xn−1 − xn−2 là dạng tuyến
tính của phương trình đã cho.
Với n = 3 : x3 = 4x2 − x1 + 1 = 3 (đúng)
Giả sử công thức đúng với n = k(k ≥ 3), tức là: xk = 4xk−1 − xk−2 .


18

Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1

xk+1

x2k + 2 (4xk−1 − xk−2 )2 + 2
=
=
xk−1
xk−1
2
16xk−1 − 8xk−1 xk−2 + x2k−2 + 2
=
xk−1

Theo giả thiết quy nạp:

x2k−1 + 2
xk =
= 4xk−1 − xk−2
xk−2
⇔ x2k−1 + 2 = 4xk−1 xk−2 − x2k−2

⇔ x2k−2 + 2 = 4xk−1 xk−2 − x2k−1
Suy ra

16x2k−1 − 8xk−1 xk−2 + 4xk−1 xk−2 − x2k−1
= 15xk−1 − 4xk−2 .
xk−1
Vì xk = 4xk−1 − xk−2 ⇔ xk−2 = 4xk−1 − xk

xk+1 =

nên xk+1 = 15xk−1 − 4(4xk−1 − xk ) ⇔ xk+1 = 4xk − xk−1 .
Vậy xn+1 = 4xn − xn−1

(∀n ≥ 3).


19

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN ĐỂ
GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Trong chương này, tác giả trình bày một số ứng dụng tính chất của

sai phân để giải toán trung học phổ thông như bài toán tìm số hạng tổng
quát, bài toán tính tổng, bài toán tính giới hạn của dãy số và một số dạng
bài toán khác.
Nội dung có thể xem thêm trong các tài liệu [1],[3], [5],[6],....
2.1. BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY
2.1.1.

Tìm số hạng tổng quát khi biết các số hạng đầu tiên

Ví dụ 2.1.1. Cho dãy số:

1; −1; −1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55; ...
Hãy tìm quy luật biểu diễn của dãy số đó và tìm số hạng tiếp theo, biết
rằng quy luật dãy số biểu thị bởi một đa thức.
Lời giải. Lập một số sai phân ban đầu:
y
∆y
∆2 y

1

-1

-1

1

5

11

19

29

41

55

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

2

2

2

2

2

2

2

2

Ta thấy sai phân cấp hai không đổi nên dãy số là dãy các giá trị đa
thức bậc hai: y = an2 + bn + c (a = 0).
Trong đó n là số thứ tự của các số trong dãy số. Cho n = 0, 1, 2, ...
(đánh số các số bắt đầu từ 0) ta nhận được hệ phương trình:


20







a=1
c
=

1






a + b + c = −1 ⇔  b = −3







 c=1
 4a + 2b + c = −1
Vậy dãy số tuân theo quy luật: yn = n2 − 3n + 1.
Số hạng đầu tiên là y0 = 1, số hạng tiếp theo số hạng 55 sẽ ứng với

n = 10 nên sẽ là y10 = 102 − 3.10 + 1 = 71.
Ví dụ 2.1.2. Cho dãy số:

−5; −3; 11; 43; 99; 185; 307; 471; ...
Hãy tìm quy luật biểu diễn của dãy số đó và tìm hai số hạng tiếp theo,
biết rằng quy luật dãy số biểu thị bởi một đa thức.
Lời giải. Lập một số sai phân ban đầu:
y
∆y
2

∆y
∆3 y

-5

-3

11

43

99

185

307

471

2

14

32

56

86

122

164

12

18

24

30

36

42

6

6

6

6

6

Ta thấy sai phân cấp ba không đổi nên dãy số là dãy các giá trị đa thức
bậc ba: y = an3 + bn2 + cn + d (a = 0).
Trong đó n là số thứ tự của các số trong dãy số. Cho n = 0, 1, 2, ...
(đánh số các số bắt đầu từ 0) ta nhận được hệ phương trình:







d = −5
a=1










 a + b + c + d = −3
 b=3
⇔




8a + 4b + 2c + d = 11
c = −2











 27a + 9b + 3c + d = 43
 d = −5
Vậy dãy số tuân theo quy luật: yn = n3 + 3n2 − 2n − 5.
Số hạng đầu tiên là y0 = −5, hai số hạng tiếp theo số hạng 471 sẽ ứng
với n = 8 và n = 9 nên sẽ là y8 = 683; y9 = 949.