RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀO GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------------------------





NGUYỄN THỊ THANH GIANG




RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG LÝ THUYẾT
ĐỒ THỊ VÀO GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN




Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán
Mã số: 60.14.10



L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O

O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C






NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI





Thái Nguyên - 2008
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài 1

II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
IV. Giả thuyết khoa học 2
V. Phƣơng pháp nghiên cứu 3
1. Nghiên cứu lý luận 3
2. Thực nghiệm sƣ phạm 3
CẤU TRÚC LUẬN VĂN 4
Chƣơng 1: NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG CHƢƠNG
TRÌNH ĐÀO TẠO CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN 5
1.1 Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 5
1.1.1 Cơ sở lý luận 5
1.1.1.1 Cơ sở triết học 5
1.1.1.2 Cơ sở tâm lý học 5
1.1.1.3 Cơ sở giáo dục học 6
1.1.2 Những khái niệm cơ bản 6
1.1.2.1 Vấn đề 6
1.1.2.2 Tình huống gợi vấn đề 7
1.1.2.3 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 8
1.1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 9
1.2 Dạy học giải bài tập toán 10
1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 10
1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải 12
1.2.3 Phƣơng pháp chung để giải bài toán 13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.3 Thực trạng dạy học giải bài tập ở trƣờng THPT 15
1.3.1 Thực trạng 15
1.3.2 Nguyên nhân 16
1.4 Những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị 17
1.4.1. Khái niệm đồ thị (trong tin học) 17
1.4.2. Các đơn đồ thị đặc biệt 20

1.4.3. Tính liên thông của đồ thị 22
1.4.4 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton 23
1.4.5.Cây 24
1.4.5.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 24
1.4.5.2. Cây khung 25
1.4.5.3. Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất 26
1.4.5.4. Cây có gốc 27
1.4.6 Đồ thị phẳng và tô màu đồ thị 28
1.4.6.1 Bài toán mở đầu 28
1.4.6.2. Đồ thị phẳng 28
1.4.6.3 Tô màu đồ thị 29
1.4.6.3.1. Định nghĩa 30
1.4.6.3.2. Một số định lý 31
Kết luận chương 1: 32
Chƣơng 2
KHAI THÁC LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀO GIẢI BÀI TẬP TOÁN 33
2.1.Quy trình chuyển đổi từ bài toán thông thƣờng sang ngôn ngữ lý thuyết đồ
thị 33
2.1.1 Một số bài toán tiềm ẩn các yếu tố của lý thuyết đồ thị 33
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1.2. Quy trình chuyển đổi từ bài toán thông thƣờng sang
ngôn ngữ lý thuyết đồ thị 34
2.1.2.1. Dấu hiệu chung 35
2.1.2.2 Dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể sử dụng đồ thị có hƣớng 38
2.1.2.3 Dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể sử dụng đồ thị màu 41
2.2. Các phƣơng án vận dụng lý thuyết đồ thị trong dạy học giải bài tập 43
2.2.1 Vai trò và định hƣớng của dạy học giải bài tập 43
2.2.2 Quy trình Polya trong giải bài tập 43
2.2.3 Phƣơng án 1 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 1) 44
2.2.4 Phƣơng án 2 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 2) 46

2.2.5 Phƣơng án 3 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 4) 48
2.3. Các biện pháp nhằm góp phần rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết
đồ thị vào giải toán cho học sinh THPT chuyên Tin 55
2.3.1 Hệ thống hóa một số yếu tố trong lý thuyết đồ thị 55
2.3.2 Xây dựng một hệ thống bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận
từng bƣớc với việc vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán 58
2.3.2.1 Một số bài toán liên quan đến bậc và cạnh của đồ thị 58
2.3.2.2 Một số bài toán liên quan đến đồ thị có hƣớng 61
2.3.2.3 Một số bài toán liên quan đến đồ thị màu 63
2.3.2.4 Một số bài toán liên quan đến đƣờng đi 65
2.3.2.5 Bài toán về cây 67
2.3.2.6 Bài toán liên quan đến đồ thị phẳng 68
2.3.2.7 Một số bài tập về cạnh, đỉnh, bậc và một số kiến thức có
liên quan 70
Chƣơng III
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 77
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, nội dung thực nghiệm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm 77
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm 77
3.1.3. Nguyên tắc thực nghiệm 77
3.1.4. Nội dung thực nghiệm 77
3.1.5. Đối tƣợng thực nghiệm 77
3.2. Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm 78
3.2.1 Hình thức 78
3.2.2. Kế hoạch tiến hành thực nghiệm 78
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 79
3.3.1. Về nội dung tài liệu thực nghiệm 79
3.3.2. Về phƣơng pháp tiến hành kiểm tra 79
3.3.3. Về kết quả kiểm tra thực nghiệm 79

3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sƣ phạm 82
MỘT SỐ ĐỀ BÀI TẬP 84
KẾT LUẬN ĐỀ TÀI 88










Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT
GV: Giáo viên
LTĐT: Lý thuyết đồ thị
THPT: Trung học phổ thông
SGK: Sách giáo khoa
Đ thẳng: Đƣờng thẳng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Chúng (1992), Graph và giải toán phổ thông, Nhà xuất bản giáo dục,
Hà Nội.
[2] Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn toán, Nhà xuất bản Đại
học Sƣ phạm, Hà Nội.
[3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Toán rời rạc và một số vấn đề liên quan, Đại học
Khoa học tự nhiên, Hà Nội.
[4] Nguyễn Hữu Ngự (2001), Lý thuyết đồ thị, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia
Hà Nội.
[5] Đặng Huy Ruận (2004), Lý thuyết đồ thị và ứng dụng, Nhà xuất bản Khoa
học và Kỹ thuật Hà Nội.
[6] Các đề thi vô địch toán 19 nƣớc trong đó có Việt Nam (Tập 2), Nhà xuất bản
trẻ.
[7] Tuyển tập 30 năm tạp trí toán học và tuổi trẻ (2000), Nhà xuất bản giáo dục.
SGK và tài liệu tham khảo môn toán chƣơng trình phổ thông.
[8] Claude Berge (1967), Théorie des Graphes et ses applicacations, Dunod
Paris. Nguyễn Hữu Nguyên và Nguyễn Văn Vỵ dịch (1971): Lý thuyết đồ
thị và ứng dụng, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
- Đổi mới phương pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo
dục nhằm nâng cao chất lượng đào tạo, góp phần thực hiện công nghiệp hoá
hiện đại hóa đất nước.
- Lý thuyết đồ thị là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụng
vào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác nhau vì lý thuyết đồ thị toán học là
phương pháp khoa học có tính khái quát cao, có tính ổn định vững chắc để
mã hóa các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu.
- Vận dụng lý thuyết đồ thị trong dạy học để mô hình hóa các mối quan hệ
chuyển thành phương pháp dạy học đặc thù sẽ nâng cao được hiệu quả dạy
học thúc đẩy quá trình tự học tự nghiên cứu của học sinh theo hướng tối ưu
hóa đặc biệt nhằm rèn luyện năng lực hệ thống hóa kiến thức và năng lực
sáng tạo của học sinh.
- Trong chương trình học tập học sinh chuyên Tin ở trường THPT được trang
bị các kiến thức về lý thuyết đồ thị để nhằm phục vụ cho việc lập trình giải
toán, do đó có thể khai thác tri thức về lý thuyết đồ thị vào quá trình dạy học
môn toán.
- Trong dạy học toán thì giải bài tập đóng vai trò quan trọng. Bởi điều căn
bản là bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua
giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả
nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những
hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán

học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Vai trò
của bài tập toán được thể hiện trên cả 3 phương diện: mục tiêu, nội dung và
phương pháp dạy học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
- Việc cung cấp thêm một phương pháp giải bài tập cho học sinh chuyên Tin
là một nhu cầu cần thiết. Mặt khác việc vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải
toán giúp ta đạt được hai mục tiêu:
1. Giải được một lớp bài tập.
2. Hỗ trợ cho việc lập trình.
- Hiện nay việc nghiên cứu khai thác một số yếu tố của lý thuyết đồ thị vào
giải toán cũng được một số tác giả quan tâm nhưng chưa có những công bố
có tính chất hệ thống, xuất phát từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài:
“Khai thác lý thuyết đồ thị trong dạy học toán ở trƣờng THPT Chuyên”.
II. Mục đích nghiên cứu
Chỉ ra hướng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán và tìm ra các biện
pháp để giúp học sinh chuyên Tin trung học phổ thông hình thành và phát
triển năng lực vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị được trang bị cho học
sinh chuyên Tin.
- Chỉ ra hệ thống bài tập trong chương trình toán có thể vận dụng lý thuyết đồ
thị để giải.
- Chỉ ra được những dấu hiệu cụ thể để nhận dạng “Bài toán” có thể khai thác
lý thuyết đồ thị trong quá trình giải bài toán.
- Chỉ ra các phương án vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán.
- Kiểm tra hiệu quả của các biện pháp, phương án lý thuyết đồ thị vào giải
toán trong thực tế.
IV. Giả thuyết khoa học
Nếu ta có các phương pháp giúp học sinh chuyên Tin trung học phổ

thông vận dụng kiến thức về lý thuyết đồ thị vào giải toán thì sẽ giúp học sinh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
giải quyết được một số lớp bài toán góp phần nâng cao chất lượng dạy học
giải bài tập nói riêng dạy học toán nói chung cho học sinh chuyên Tin.
V. Phƣơng pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan
đến đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị
dạy học toán.
- SGK, phân phối chương trình, sách GV, chuẩn của bộ môn toán ở trung
học phổ thông, sách nâng cao, sách chuyên đề.
- Các tài liệu về lý thuyết đồ thị và những ứng dụng của nó trong thực
tiễn cuộc sống và trong dạy học.
- Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phương
pháp đồ thị.
2. Thực nghiệm sƣ phạm
- Chỉ ra cho học sinh các dấu hiệu "nhận dạng" và cách thức vận dụng lý
thuyết đồ thị vào giải bài tập toán.
- Biên soạn hệ thống bài tập luyện tập cho học sinh và một số đề bài
kiểm tra để đánh giá khả năng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán.
- Tiến hành thực nghiệm và đánh giá kết quả thực nghiệm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Mở đầu
Chƣơng 1: Những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị trong chương trình
đào tạo cho học sinh chuyên
Chƣơng 2: Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán
Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm
Kết luận




















Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
Chƣơng 1
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG
CHƢƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN

Trong hệ thống các trường Chuyên thì thời gian gần đây các lớp
chuyên Tin phát triển khá mạnh. Học sinh chuyên Tin được trang bị các kiến
thức về toán rời rạc, lý thuyết đồ thị, tối ưu hoá… nhằm tạo nền tảng cho học
sinh nắm được các thuật toán, vận dụng vào lập trình và giải bài tập toán.
Để giúp học sinh chuyên tin có thể tiếp cận được với một phương pháp
giải bài tập mới đó là áp dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán, giáo viên
có thể sử dụng nhiều phương pháp dạy học khác nhau. Ở đây chúng tôi lựa
chọn phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp sử dụng hình vẽ
trực quan.
1.1 Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.1 Cơ sở lý luận
1.1.1.1 Cơ sở triết học
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá
trình phát triển. Một vấn đề được gợi ra cho học sinh học tập chính là một
mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh nghiệm sẵn
có. Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong
giữa tri thức cũ, kỹ năng cũ và kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu giải thích sự
kiện mới hoặc đổi mới tình thế.
1.1.1.2 Cơ sở tâm lý học
Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy
sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần
phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Theo tâm lý học kiến tạo, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó

người học xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những cảm nghiệm
mới với những tri thức đã có. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp
với quan điểm này.
1.1.1.3 Cơ sở giáo dục học
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự
giác và tích cực, vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được
hướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất
giữa kiến tạo tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất.
Những tri thức mới (đối với học sinh) được kiến tạo nhờ quá trình phát hiện
và giải quyết vấn đề. Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này
là ở chỗ học sinh học được cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức
phát hiện tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học. Đồng thời, dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề cũng góp phần bồi dưỡng cho người học những
đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tích cực,
tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra...
1.1.2 Những khái niệm cơ bản
1.1.2.1 Vấn đề
Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ một vài khái
niệm khác có liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống.
Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan
hệ giữa những phần tử của tập hợp đó.
Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và
khách thể, trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể lại là một hệ thống
nào đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử
của khách thể thì tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với
chủ thể.

Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm
phần tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong
khách thể thì ta có một bài toán.
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải
nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết.
1.1.2.2 Tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, còn gọi là tình huống vấn đề, là một tình huống
gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần
thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật
giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi
đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.
Như vậy tình huống gợi vấn đề là một tình huống thoả mãn các điều
kiện sau:
+ Tồn tại một vấn đề: Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn
với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy
hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua. Nói cách khác,
có ít nhất một phần tử của khách thể mà học sinh chưa biết và cũng chưa có
trong tay một thuật giải để tìm phần tử đó.
+ Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có một vấn đề nhưng vì lý do
nào đó học sinh không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết, chẳng hạn họ
thấy vấn đề xa lạ, không liên quan gì tới mình thì đó cũng chưa phải là một
tình huống gợi vấn đề. Điều quan trọng là tình huống phải gợi nhu cầu nhận
thức, chẳng hạn phải làm bộc lộ sự khiếm khuyết về kiến thức và kỹ năng của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
học sinh để họ cảm thấy cần thiết phải bổ sung, điều chỉnh, hoàn thiện tri
thức, kỹ năng bằng cách tham gia giải quyết vấn đề nảy sinh.
+ Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân: Nếu một tình huống tuy có
vấn đề và học sinh tuy có nhu cầu giải quyết vấn đề, nhưng nếu họ cảm thấy
vấn đề vượt quá so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng tham

gia giải quyết vấn đề. Tình huống cần khơi dậy ở học sinh cảm nghĩ là tuy họ
chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số tri thức, kỹ năng liên quan đến vấn
đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết dược vấn
đề đó. Như vậy là học sinh có được niềm tin ở khả năng huy động tri thức và
kỹ năng sẵn có để giải quyết hoặc tham gia giải quyết vấn đề.
1.1.2.3 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra những
tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề, thông qua đó mà kiến
tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau:
+ Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là
được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn.
+ Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy
động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ
không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động.
+ Mục tiêu dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả
của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát
triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác, học sinh
được học bản thân việc học.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
1.1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Hạt nhân của cách dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là việc điều
khiển học sinh tự thực hiện hoặc hoà nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề.
Quá trình này có thể chia thành các bước dưới đây, trong đó bước nào, khâu
nào do học trò tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo dõi thầy trình
bày là tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp độ thích hợp.

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề.
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo
ra. Có thể liên tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán.
- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng
vấn đề được đặt ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp.
- Tìm một cách giải quyết vấn đề.
- Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải
pháp khác, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày giải pháp.
Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ
việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp. Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì
có thể không cần phát biểu lại vấn đề. Trong khi trình bày, cần tuân thủ các
chuẩn mực đề ra trong nhà trường như ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài
toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện
luận đối với bài toán dựng hình, giữ gìn vở sạch chữ đẹp...
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát
hoá, lật ngược vấn đề... và giải quyết nếu có thể.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Như vậy giáo viên có thể sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết
vấn đề vào việc dạy cho học sinh một phương pháp giải bài tập toán đó là áp
dụng lý thuyết đồ thị. Giáo viên bám sát vào bốn bước của phương pháp dạy
học đã nêu ở trên.
Cụ thể:
+ Đứng trước một bài toán vấn đề đặt ra là liệu có thể chuyển đổi hay
sử dụng lý thuyết đồ thị để giải hay không? Đây chính là bước phát hiện và

thâm nhập vấn đề (bước1).
+ Khi xác định được bài toán có thể áp dụng lý thuyết đồ thị để giải ta
tiếp tục tìm kiến thức nào có liên quan trong lý thuyết đồ thị sẽ áp dụng để
giải hay đây chính là đi tìm giải pháp (bước 2).
+ Trình bày lời giải (bước 3)
+ Nghiên cứu sâu lời giải. Xét xem liệu rằng bài toán có thể khái quát
hoá được không và có thể xét một lớp bài toán tương tự hay không...
Như vậy có thể thấy phương pháp dạy học lựa chọn là phù hợp.
1.2 Dạy học giải bài tập toán
1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng
ý khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc
với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,...
Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn
tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục,
chức năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng
tới việc thực hiện các mục đích dạy học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng
lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một
bài tập cụ thể tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường
minh, công khai.
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. Điều căn bản là
bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập,
học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và
thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán
học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt

động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên
hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò
của bài tập toán học được thể hiện cả trên 3 bình diện này.
Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông
là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện
mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng
khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
+Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động.
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội
dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày
trong phần lý thuyết.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp
phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,...
Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.

1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như
vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc
thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học
sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố
trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
+ Kết quả đúng, kể cả ở các bước chung gian. Kết quả cuối cùng phải
là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,... thoã mãn các
yêu cầu đề ra. Kết quả các bước chung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải
không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,…
+ Lập luận chặt chẽ, đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
Luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp logic.
+ Lời giải đầy đủ. Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót
một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng
nào...
+ Ngôn ngữ chính xác. Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt
ra cho tất cả các bộ môn. Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu
này.
+ Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Yêu cầu này đặt ra đối với cả
lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu...)
trong lời giải.
+ Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất.
+ Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề.
Tìm được một lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được
những đặc điểm riêng của bài toán, điều dó làm cho học sinh “có thể biết

được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (Pôlia – 1975).
1.2.3 Phƣơng pháp chung để giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải
mọi bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng
biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên
trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách
giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán.
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề
bài.
Bước 2: Tìm cách giải.
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù
với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng
hình, toán quỹ tích...
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên
quan,...
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải

hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải.
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước
đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề.
Như vậy bằng phương nói chung và phương pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề, giáo viên dựa trên phương pháp chung để giải một bài toán
để từ đó cung cấp thêm cho học sinh chuyên tin một phương pháp giải bài tập
toán đó là áp dụng lý thuyết đồ thị để giải.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
1.3 Thực trạng dạy học giải bài tập ở trƣờng THPT
Thực trạng phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT nói chung
và phương pháp dạy học giải bài tập nói riêng hiện nay.
1.3.1 Thực trạng
Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tham khảo ở một số đồng nghiệp cho
thấy:
Không ít giáo viên có tâm huyết với nghề, có hiểu biết sâu sắc về bộ
môn, có tay nghề vững, có nhiều giờ dạy tốt. Song phải thừa nhận rằng GV
vẫn dạy theo cách như đã dạy mấy chục năm trước đây. Đó là kiểu thầy đọc
trò chép; thầy viết lên bảng trò ghi chép vào vở, thầy nói trò ghi.
Việc thực hiện đổi mới PPDH môn toán có một số chuyển biến bước
đầu như:
+ Đối với bài giảng kiến thức mới: GV có quan tâm đặt vấn đề, dùng hệ
thống câu hỏi dẫn dắt học sinh thông qua đàm thoại, gợi mở củng cố kiến
thức bằng bài tập, chú trọng câu hỏi và hướng dẫn học sinh học ở nhà.

+ Đối với giờ luyện tập, dạy học sinh giải bài tập: học sinh được chuẩn
bị trước ở nhà, một vài học sinh trình bày trên bảng cách giải, giáo viên
hướng dẫn cả lớp nhận xét; GV tổng kết ưu khuyết điểm về lời giải và đưa ra
lời giải mẫu.
+ Hình thức giờ dạy toán có sinh động hơn.
Song về bản chất các giờ dạy đó vẫn theo kiểu thầy truyền đạt trò tiếp
nhận. Cách dạy đó chưa phản ánh được những đặc thù trong dạy học toán,
chưa phản ánh được các hoạt động toán học trong quá trình hình thành khái
niệm, định lý cũng như vận dụng kiến thức trong giải toán, trong thực tiễn.
Khi học, học sinh chủ yếu là nghe giảng, xem giáo viên làm mẫu, học
sinh học thụ động, luôn luôn phụ thuộc vào giáo viên. Học sinh chưa được tự
giác, tự do, tự khám phá kiến thức. Không ít giáo viên dạy theo kiểu áp đặt,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
kiểu luyện thi, nên học sinh chỉ quen nói theo và làm theo sự áp đặt đó. Như
vậy, rất nhiều học sinh sau khi học, hiểu kiến thức một cách máy móc, hình
thức.
1.3.2 Nguyên nhân
Công tác quản lý chỉ đạo chưa kịp thời, trong một thời gian khá dài, với
thời lượng và điều kiện lên lớp không đủ, không ổn định, quy mô mỗi lớp
thường trên 60 học sinh nên giáo viên rất khó khăn trong thực hiện đổi mới
PPDH.
Cơ sở vật chất trường lớp và phương tiện giảng dạy tuy có khá hơn
trước nhưng tình hình đó không phải là phổ biến, đời sống giáo viên và học
sinh nhìn chung còn khó khăn, đã ảnh hưởng không nhỏ đến nề nếp chuyên
môn và chất lượng giảng dạy, tạo nên trạng thái giáo viên giảng dạy xơ cứng
dập khuôn theo sách giáo khoa.
Việc đánh giá giờ giảng còn nặng hình thức, cứng nhắc theo các điều
đã quy định, đã có sẵn, (chẳng hạn dạy phải đúng như sách giáo khoa...) đã
làm mất đi tính sáng tạo của giáo viên.

Nội dung, chương trình, sách giáo khoa chưa hỗ trợ cho giáo viên đổi
mới phương pháp dạy học, một số nội dung có tính chất kinh viên, yêu cầu
chặt chẽ (tiên đề hoá...). Tồn tại quá nhiều loại sách, nhiều bài tập khó, bài tập
nâng cao, ít những bài tập liên quan đến thực tiễn, liên môn. Từ đó giáo viên
chủ yếu dùng phương pháp thuyết trình, tập trung chủ yếu vào truyền thụ cho
đủ kiến thức có trong sách giáo khoa với thời lượng 45 phút. Tạo ra hiện
tượng dạy khoán cho xong nội dung...
Hiện tượng dạy học bình quân rất phổ biến, yêu cầu cả lớp như nhau,
bằng lòng với cách giải quyết có sẵn trong sách giáo khoa. Tình trạng này
chẳng những không khuyến khích học sinh nỗ lực cá nhân mà còn tạo sự
nhàm chán trong học tập, tạo sự trì trệ trong hoạt động của giáo viên.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Dạy học hiện đang theo lối dạy nhồi nhét, dạy luyện thi, đối phó với
thi, kiểm tra sao cho có điểm số cao mà chưa quan tâm đến sự phát triển trí
tuệ, năng lực cá nhân học sinh.
Việc chậm đổi mới phương pháp dạy học phải kể thêm các nguyên
nhân:
Giáo viên cũng như học sinh chưa khắc phục được nhận thức, thói quen
dạy học truyền thống, nặng về lý thuyết coi nhẹ thực hành ứng dụng.
Việc bồi dưỡng giáo viên chưa sát với yêu cầu nâng cao tri thức cũng
như nghiệp vụ sư phạm, chưa theo hướng đổi mới phương pháp dạy học.
Mối quan hệ giữa đào tạo tại các trường sư phạm với việc sử dụng ở
trường phổ thông cũng như chỉ đạo của các cấp quản lý còn nhiều bất cập.
Đánh giá , thi cử chủ yếu vẫn theo nội dung và hình thức truyền thống,
nặng về lý thuyết coi nhẹ thực hành ứng dụng, làm hạn chế việc đổi mới
phương pháp dạy học.
Thông tin chưa cập nhật theo khu vực và thế giới.
Có thể coi lối dạy học hiện nay là lối dạy “hộp đen”, tức là không quan
tâm đến học sinh học ra sao, hiểu bài thế nào, học tập tích cực hay không, sự

tham gia vào quá trình dạy của học sinh có thật sự là nỗ lực cá nhân vươn tới
nắm bắt kiến thức hay không thì giáo viên không thể biết được, không kiểm
soát được tư duy học sinh. Với cách dạy học đó học sinh càng học càng thu
nhận thêm vốn tri thức của mình ngày một nhiều “kiến thức mới” (rất cụ thể),
dẫn đến một thời điểm nào đó học sinh sẽ không đủ sức tải, cho dù đã học
suốt ngày, một thực trạng thường thấy như hiện nay.
1.3 Những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị
1.3.1 Khái niệm đồ thị (trong tin học)
Xét theo góc độ trực quan, đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh
và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Hay đồ thị là một cặp G=(V, E) trong đó V (Vertex) là tập các đỉnh, và E
(Edge) là tập các cạnh nối các đỉnh (cạnh được hiểu là một cung nối hai đỉnh
bất kỳ).
Một số hình ảnh của đồ thị:







Trong đó:
+H1 có tập đỉnh V={Đường thẳng a, Đường thẳng b, Đường
thẳng c, Đường thẳng d, Đường thẳng e} và tập cạnh E={(Đường thẳng
a, Đường thẳng d), ( Đường thẳng b, Đường thẳng e), (Đường thẳng a,
Đường thẳng c), (Đường thẳng c, Đường thẳng d), (Đường thẳng c,
Đường thẳng e)}
+H2 có tập đỉnh V={2, 3, 5, 6, 7, 10}

Và tập cạnh là E={(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (3, 10), (6, 5),
(6, 7), (7, 5), (7, 10)}
Có thể phân loại đồ thị theo đặc tính và số lượng của tập các cạnh E.
Cho đồ thị G=(V, E) gồm một tập V ≠  mà các phần tử của nó gọi là
các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, ta có các khái
niệm sau:
+ Đồ thị G được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh bất kỳ được nối với
nhau bởi không quá một cung (H3).

Đ thẳng c
Đ thẳng a
Đ thẳng e
Đ thẳng d
Đ thẳng b
Quan hệ song song
song
H1
3
5
10
7
2
6
Quan hệ nguyên tố cùng nhau
H2