PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

Header Page 1 of 148.

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ
MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2016

Footer Page 1 of 148.


Header Page 2 of 148.

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ
MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Đình Kiên

Footer Page 2 of 148.

Hà Nội - 2016


Header Page 3 of 148.

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học
của TS. Nguyễn Đình Kiên, người đã tận tình, tận tâm giúp đỡ tôi trong
quá trình nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Tôi xin cảm ơn đến GS. Buntara Sthenly Gan và NCS. Trịnh Thanh Hương
Đại học Nihon Nhật Bản đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên
cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ
nhiệm khoa Khoa học Cơ bản, Chủ nhiệm bộ môn Cơ lý thuyết và các
đồng nghiệp trong bộ môn Cơ lý thuyết- Trường Đại học Giao thông Vận
tải đã động viên, khuyến khích và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành
luận án này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới Khoa Đào tạo sau đại học, Phòng Cơ học
vật rắn - Viện Cơ học và các bạn trong nhóm sermina của thầy Kiên đã
giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong qúa
trình làm luận án.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến gia đình đã động viên ủng

hộ tôi trong qúa trình làm luận án.

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Hà

Footer Page 3 of 148.

i


Header Page 4 of 148.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu
và kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Lê Thị Hà

Footer Page 4 of 148.

ii


Header Page 5 of 148.

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Các nghiên cứu về dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Kết cấu FGM chịu tải trọng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4. Tình hình nghiên cứu trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Mục tiêu của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. Mô hình dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1. Tính chất vật liệu FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.3. Mặt trung hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động. . . . . . . .

23

2.3. Năng lượng dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.1. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.2. Động năng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.3. Thế năng của lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.1. Vật liệu có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Footer Page 5 of 148.

iii


iv
Header Page 6 of 148.

2.4.2. Vật liệu có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5. Giả thiết Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.5.1. Các biểu thức năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.5.2. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.6. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Chương 3. Mô hình phần tử hữu hạn và thuật toán số . . . . .

40

3.1. Chuyển vị nút và hàm dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.1.1. Hàm dạng cho dầm Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.2. Đa thức dạng Kosmatka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3.1. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.4. Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4.1. Hàm dạng cho dầm Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.4.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.5. Vec-tơ lực nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.6. Phương trình phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.7. Thuật toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.7.1. Họ phương pháp Newmark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.7.2. Phương pháp gia tốc trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.7.3. Vấn đề mặt cắt ngang thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.7.4. Thuật toán cho vec-tơ lực nút. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.8. Quy trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.9. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Tham số hình học và vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Footer Page 6 of 148.

69
69


v
Header Page 7 of 148.

4.2. Kiểm nghiệm phần tử và chương trình số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.2.1. Tần số dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.2.2. Đáp ứng động lực học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.3. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4.3.1. Tần số dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.3.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.3.3. Ảnh hưởng của tham số lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.3.4. Ảnh hưởng của dạng mặt cắt ngang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3.5. Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.4. Dầm có cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.4.1. Tần số dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.4.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4.3. Ảnh hưởng của tham số lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.4.4. Ảnh hưởng của dạng mặt cắt ngang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.5. Dầm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.5.1. Tần số dao động riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.5.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

4.5.3. Ảnh hưởng của tham số lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

4.5.4. Ảnh hưởng của tham số dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.5.5. Ảnh hưởng của tăng và giảm tốc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

4.6. Ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

4.7. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

Những đóng mới của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

Công trình đã công bố của tác giả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

Footer Page 7 of 148.


vi
Header Page 8 of 148.

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt
Các ký hiệu thông thường
a

Gia tốc lực di động

A

Diện tích mặt cắt ngang

A0

Diện tích mặt cắt ngang ở giữa dầm

A11

Độ cứng dọc trục

A12

Độ cứng tương hỗ kéo-uốn

A22

Độ cứng chống uốn

A33

Độ cứng chống trượt

E

Mô-đun đàn hồi hữu hiệu

Ec

Mô-đun đàn hồi của gốm

Em

Mô-đun đàn hồi của kim loại

d

Khoảng cách giữa hai lực di động

FGM

Vật liệu có cơ tính biến thiên

fD

Tham số độ võng

fv

Tham số vận tốc lực di động

G

Mô-đun trượt hữu hiệu

Gc

Mô-đun trượt của gốm

Gm

Mô-đun trượt của kim loại

h

Chiều cao dầm

h0

Khoảng cách từ mặt trung hòa tới mặt giữa dầm

I

Mô-men quán tính bậc hai của mặt cắt ngang

I0

Mô-men quán tính bậc hai mặt cắt ngang giữa dầm

I11

Mô-men khối lượng dọc trục

I12

Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-xoay

I22

Mô-men khối lượng xoay (của mặt cắt ngang)

L

Chiều dài dầm (dầm một nhịp)

Ls

Chiều dài một nhịp (dầm liên tục)

n

Chỉ số mũ (tham số vật liệu)

Footer Page 8 of 148.


vii
Header Page 9 of 148.

ne

Số lực di động trên phần tử

nELE

Số lượng phần tử rời rạc dầm

Nf

Số lực di dộng trên dầm

P

Tính chất hiệu dụng của FGM

Pc

Tính chất của gốm

Pm

Tính chất của kim loại

Pi

Lực di dộng thứ i

si

Khoảng cách từ lực di dộng thứ i tới đầu trái dầm

T

Động năng của dầm

Te

Động năng của phần tử

u

Chuyển vị dọc trục của một điểm trêm mặt trung hòa

U

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

Ue

Năng lượng biến dạng đàn hồi của phần tử

v

Vận tốc của lực di động

V

Thế năng của dầm

Ve

Thế năng của phần tử

w

Chuyển vị ngang của một điểm trên mặt trung hòa

w0

Độ võng tĩnh tại giữa dầm thuần nhất

Vec-tơ và ma trận
d

Vec-tơ chuyển vị nút phần tử

D
˙
D

Vec-tơ chuyển vị nút tổng thể

¨
D

Vec-tơ gia tốc nút nút tổng thể

f

Vec-tơ lực nút phần tử

F

Vec-tơ lực nút tổng thể

Fef

Vec-tơ lực nút hữu hiệu

k

Ma trận độ cứng phần tử

K

Ma trận độ cứng tổng thể

Footer Page 9 of 148.

Vec-tơ vận tốc nút nút tổng thể

viii
Header Page 10 of 148.

Kef

Ma trận độ cứng hữu hiệu

m

Ma trận khối lượng phần tử

M

Ma trận khối lượng tổng thể

Nu

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục

Nw

Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang

Nθ

Ma trận các hàm nội suy cho góc quay

kaa

Ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng dọc trục

kbb

Ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng uốn

kab

Ma trận độ cứng phần tử sinh ra do biến dạng dọc trục và uốn

kss

Ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng trượt

muu

Ma trận khối lượng nhất quán sinh ra từ chuyển dịch dọc trục

mww

Ma trận khối lượng nhất quán sinh ra từ chuyển dịch ngang

muθ

Ma trận khối lượng nhất quán do chuyển vị dọc trục và góc quay

mθθ

Ma trận khối lượng nhất quán do sự quay của mặt cắt ngang

Chữ cái Hy Lạp
∆T

Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm

∆t

Bước thời gian (trong thuật toán Newmark)

x

Biến dạng dọc trục

γxz

Biến dạng trượt

µ

Tham số tần số

Ω

Tần số lực di động điều hòa

ω10

Tần số dao động cơ bản của dầm thép

ψ

Hệ số điều chỉnh

σx

Ứng suất dọc trục

τxz

Ứng suất trượt

θ

Góc quay của mặt cắt ngang

α

Tham số tiết diện

Footer Page 10 of 148.


Header Page 11 of 148.

Danh sách hình vẽ
Hình 2.1

Ảnh hưởng của tham số vật liệu n đối với vị trí của

mặt trung hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Hình 2.2

Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động . 23

Hình 3.1

Chuyển vị nút (a) và lực nút (b) của phần tử . . . . . . 41

Hình 3.2

Sơ đồ thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Hình 4.1

Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của

dầm thuần nhất chịu ba lực di động (d = L/4, v = 22.5 m/s) . 78
Hình 4.2

Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của

dầm A chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/4) . . . . . . . . . 81
Hình 4.3

Mối liên hệ giữa tham số độ võng và tham số tốc độ

của dầm A chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/4) . . . . . . . 81
Hình 4.4

Sự phân bố của ứng suất dọc trục theo chiều cao của

dầm A chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/8) . . . . . . . . . 82
Hình 4.5

Ảnh hưởng của tham số vật liệu n đến tham số độ

võng của dầm A chịu ba lực di động (d = L/4) . . . . . . . . . 82
Hình 4.6

Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối quan

hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm A chịu
ba lực di động (n = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Hình 4.7

Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới sự phân

bố ứng suất dọc trục theo chiều cao của dầm A chịu ba lực
di động (n = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Hình 4.8

Ảnh hưởng của số lực di động đến mối liên hệ giữa

độ võng tại giữa dầm và thời gian của dầm A chịu số lực di
động khác nhau (n = 3, α = 0.5, d = L/4) . . . . . . . . . . . . 85

Footer Page 11 of 148.

ix

x
Header Page 12 of 148.

Hình 4.9

Ảnh hưởng của số lực di động tới mối quan hệ giữa

tham số độ võng và tham số tốc độ của dầm A chịu số lực
di động khác nhau (n = 3, α = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . 85
Hình 4.10 Mối liên hệ giữa tham số độ võng và tham số vật liệu
của dầm FGM có mặt cắt ngang khác nhau chịu ba lực di
động (fv = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Hình 4.11 Ảnh hưởng của tham số tiết diện đến giá trị lớn nhất
của tham số độ võng của dầm có cơ tính biến đổi ngang chịu
ba lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Hình 4.12 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian
của dầm loại A với các dạng chuyển động khác nhau của lực
di động (α = 0.5, n = 2, fv = 0.25) . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Hình 4.13 Ảnh hưởng của dạng chuyển động tới quan hệ giữa
tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm loại A chịu
một lực di động (n = 0.5, α = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . 90
Hình 4.14 Ảnh hưởng của tham số tiết diện và dạng chuyển động
tới giá trị lớn nhất của tham số độ võng của dầm loại A
(L/h = 20)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Hình 4.15 Ảnh hưởng của dạng chuyển động và tỷ số L/h tới mối

liên hệ giữa giá trị lớn nhất của tham số tiết diện và tham
số vận tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Hình 4.16 Ảnh hưởng của tham số tiết diện α đến tham số tần
số cơ bản của dầm FGM, n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Hình 4.17 Mối quan hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc
của dầm loại A có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di động
(α = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Hình 4.18 Ảnh hưởng của tham số vật liệu đến hệ số động lực
học của dầm có cơ tính biến đổi dọc loại A chịu một lực di
động (α = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Hình 4.19 Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối liên
hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm A chịu
bốn lực di động (n = 2, fv = 0.25, L/h = 20) . . . . . . . . . . 96

Footer Page 12 of 148.


xi
Header Page 13 of 148.

Hình 4.20 Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối liên
hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm A chịu
ba lực di động (n = 2, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Hình 4.21 Ảnh hưởng của tham số tiết diện đến giá trị lớn nhất
của tham số độ võng của dầm có cơ tính biến đổi dọc chịu
số lực di động khác nhau (n = 5, fv = 0.25, d = L/10) . . . . . 98
Hình 4.22 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ nhất của dầm
bốn nhịp chịu lực tập trung di động . . . . . . . . . . . . . . . 102
Hình 4.23 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ nhất của dầm
bốn nhịp chịu lực điều hòa di động (Ω = 20) rad/s . . . . . . . 102

Hình 4.24 Độ võng chuẩn hóa tại giữa nhịp thứ hai của dầm bốn
nhịp chịu lực điều hòa di động (Ω = 20) rad/s . . . . . . . . . 103
Hình 4.25 Ảnh hưởng của tần số lực kích động tới mối quan hệ
giữa độ võng tại giữa nhịp dầm với vị trí lực di động của
dầm bốn nhịp (n = 1, fv = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Hình 4.26 Mối quan hệ giữa tham số độ võng của nhịp thứ nhất
với tham số vận tốc của dầm bốn nhịp chịu lực di động . . . . 104
Hình 4.27 Ảnh hưởng của tỷ số L/h tới độ võng tại giữa nhịp thứ
nhất và nhịp thứ hai của dầm bốn nhịp (n = 1, fv = 0.5, Ω = 0) 105
Hình 4.28 Ảnh hưởng của số nhịp tới độ võng tại giữa nhịp thứ
nhất và nhịp thứ hai của dầm liên tục (n = 1, fv = 1.2, Ω = 0)

106

Hình 4.29 Ảnh hưởng của tăng, giảm tốc tới mối quan hệ giữa
tham số vận tốc và tham số độ võng của dầm liên tục . . . . . 107

Footer Page 13 of 148.


Header Page 14 of 148.

Danh sách bảng
Bảng 1.1

Tính chất của một số vật liệu thành phần của FGM . . 9

Bảng 4.1

Sự hội tụ của tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM

có cơ tính biến đổi theo chiều cao và mặt cắt ngang không
đổi (ρc = ρm , Ec /Em = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bảng 4.2

So sánh tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM có cơ

tính biến đổi theo chiều cao và mặt cắt ngang không thay đổi
Bảng 4.3

72

Sự hội tụ của tham số tần số cơ bản µ của dầm Tim-

oshenko FGM có cơ tính biến đổi dọc, mặt cắt ngang thay
đổi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Bảng 4.4

So sánh tham số tần số cơ bản của dầm FGM có cơ

tính biến đổi dọc, mặt cắt ngang không đổi (E = Ec /Em ,
ρ = ρc /ρm = 1, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bảng 4.5

So sánh tham số tần số dao động thứ hai của dầm

FGM có cơ tính biến đổi dọc, mặt cắt ngang không thay đổi
(E = Ec /Em , ρ = ρc /ρm = 1, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . 75
Bảng 4.6

So sánh năm tham số tần số đầu tiên của dầm liên tục

có mặt cắt ngang không thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Bảng 4.7

Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương

ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao chịu
một lực di động (α = 0, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Bảng 4.8

Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương

ứng của dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di
động (α = 0, L/h = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bảng 4.9

Tham số tần số cơ bản µ của dầm FGM có cơ tính

biến đổi theo chiều cao với các giá trị khác nhau của tham
số tiết diện α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Footer Page 14 of 148.

xii


xiii
Header Page 15 of 148.

Bảng 4.10 Giá trị lớn nhất của tham số độ võng của dầm FGM

với mặt cắt ngang khác nhau chịu ba lực di động (d = L/8) . 87
Bảng 4.11 Ba tham số tần số đầu tiên của dầm FGM có số nhịp
khác nhau (LS /h = 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Bảng 4.12 Ảnh hưởng của tỷ số L/h của dầm tới tham số tần số
của dầm FGM liên tục (n = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Bảng 4.13 Ảnh hưởng của mặt trung hòa đến đáp ứng động lực
học cho dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Footer Page 15 of 148.


Header Page 16 of 148.

MỞ ĐẦU
Tính thời sự của đề tài luận án
Kết cấu chịu tải trọng di động nói chung và dầm chịu lực di động nói riêng
là bài toán quan trọng trong lĩnh vực động lực học kết cấu, đã được quan
tâm nghiên cứu từ lâu. Nhiều bài toán thực tế trong các ngành kỹ thuật
giao thông vận tải, thiết kế cơ khí, máy móc.. có thể mô phỏng dưới dạng
bài toán dầm chịu lực di động. Các công trình nghiên cứu liên quan tới bài
toán này đã được công bố trên nhiều tạp chí chuyên ngành, đặc biệt trong
sách chuyên khảo của Frýba [36] lời giải cho một số bài toán dầm chịu lực
di động được thiết lập trên cơ sở các biến đổi Fourier và Laplace. Kết quả
nghiên cứu cho thấy các hệ số đàn hồi và khối lượng riêng vật liệu dầm
đóng vai trò quan trọng tới đáp ứng động lực học của dầm.
Vật liệu có cơ tính biến đổi 1 được các nhà khoa học Nhật Bản tạo ra
lần đầu tiên ở Sendai vào năm 1984 [64] có khả năng ứng dụng rộng rãi
trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau như hàng không vũ trụ, đóng
tàu, ô tô, xây dựng, đồ gia dụng... [1]. FGM có thể xem như là một loại
vật liệu composite mới, thường được tạo từ pha gốm và pha kim loại với

tỷ lệ thể tích của vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc vài
hướng không gian mong muốn. Do sự thay đổi liên tục của các vật liệu
thành phần, các tính chất hiệu dụng 2 của FGM là hàm liên tục của các
biến không gian, vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trong
vật liệu composite truyền thống như sự tập trung ứng suất, tách lớp... và
có khả năng ứng dụng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao,
tính mài mòn và ăn mòn của a-xít lớn [48, 104]. Trên quan điểm động lực
1
2

Functionally Graded Material - FGM
Effective property

Footer Page 16 of 148.

1


2
Header Page 17 of 148.

học kết cấu, sự kết hợp các ưu điểm về độ bền cao, tỷ trọng thấp của gốm
với độ dai và khả năng chịu va đập tốt của kim loại giúp cho FGM có tiềm
năng như là vật liệu cho kết cấu chịu tải trọng động nói chung và tải trọng
di động nói riêng. Các nghiên cứu gần đây về dầm FGM chịu tải trọng di
động [96–98] chứng tỏ rằng so với dầm kim loại (SUS304) thuần túy, độ
võng và sự phân bố ứng suất động trong mặt cắt ngang của dầm FGM tạo
từ thép và ô-xít nhôm (Al2 O3 ) được cải tiến đáng kể.
Dầm FGM chịu tải trọng di động mới chỉ được quan tâm nghiên cứu
trong thời gian gần đây, khởi đầu từ phân tích về ứng xử động lực học của

dầm Euler-Bernoulli tạo từ thép và ô-xít nhôm chịu một lực di động điều
hòa do S¸im¸sek và Kocat¨
urk thực hiện vào năm 2009 [96]. Phần lớn các kết
quả tiếp theo trong lĩnh vực này là sự mở rộng của nghiên cứu trong [96]
cho các lý thuyết dầm và tải trọng di động khác. Ngoài tác giả Luận án,
phân tích động lực học dầm FGM chịu tải trọng di động cũng được các
tác giả trong nước quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. Sử dụng
phần tử dầm hai nút truyền thống, Phạm Đình Trung [5] nghiên cứu ứng
xử động lực học của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi chịu khối lượng di
động.
Cần nhấn mạnh rằng, cho tới thời điểm hiện tại các nghiên cứu về dầm
chịu tải trọng di động mới chỉ được thực hiện trên dầm có tiết diện không
đổi chịu một tải trọng di động và chuyển động của tải trọng được giả định
là đều (vận tốc không đổi). Trong thực tế những giả thiết này không phải
khi nào cũng đúng và việc loại bỏ các giả thiết này là một trong các yêu
cầu cấp thiết đặt ra. Nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm FGM có
tiết diện thay đổi, chịu nhiều lực di động và xem xét ảnh hưởng của yếu
tố tăng, giảm tốc của lực di động tới đáp ứng động lực học của dầm mà
Luận án này đặt ra nhằm mục đích giải quyết phần nào các hạn chế nêu
trên. Thêm vào đó, công thức phần tử hữu hạn xây dựng trong phân tích
dầm FGM nói chung và dầm FGM chịu tải trọng di động nói riêng được
thực hiện trên cơ sở các hàm dạng thông thường, không tính tới đặc trưng
về vật liệu và hình học riêng biệt của kết cấu. Kosmatka [65] chỉ ra rằng
phần tử dầm Timoshenko (làm từ vật liệu truyền thống) xây dựng trên
hàm dạng nhận được từ việc giải hệ phương trình vi phân cân bằng cho
Footer Page 17 of 148.


3
Header Page 18 of 148.

một phần tử dầm không chỉ có tốc độ hội tụ nhanh mà còn có nhiều ưu
điểm do chứa đựng các thông tin về hình học và vật liệu dầm. Ý tưởng
này được đặt ra trong phân tích động lực học dầm FGM chịu lực di động
sẽ được thực hiện trong luận án này.

Định hướng nghiên cứu
Phân tích dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu nhiều lực di động
là bài toán phức tạp do các tính chất hiệu dụng của vật liệu và mặt cắt
ngang dầm đều là hàm của các tọa độ không gian. Phương pháp phần tử
hữu hạn được Luận án lựa chọn là công cụ để nghiên cứu bài toán này. Hai
loại dầm FGM phổ biến là dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao 3
và dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc 4 được quan tâm nghiên cứu trong
luận án này. Trên quan điểm phân tích phần tử hữu hạn, để phân tích bài
toán dầm chịu lực di động cần có các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng
và vec-tơ lực nút cho một phần tử đặc trưng. Đặc tính của các ma trận và
vec-tơ này phụ thuộc vào các hàm dạng để nội suy trường chuyển vị của
phần tử dầm. Như vậy, một số định hướng nghiên cứu cụ thể của Luận án
sẽ là:
1. Xây dựng hoặc lựa chọn các hàm dạng thích hợp cho từng loại phần
tử dầm sẽ phát triển trong Luận án.
2. Trên cơ sở các hàm dạng nêu trên sẽ tiến hành thiết lập các biểu thức
cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ lực nút cho phần
tử dầm FGM.
3. Lựa chọn thuật toán phân tích động lực học kết cấu thích hợp để phát
triển chương trình tính toán số.
4. Tiến hành phân tích các bài toán cụ thể và đánh giá các kết quả số
thu nhận được.
Các công bố liên quan tới dầm FGM chủ yếu được tiến hành trên cơ sở
lấy mặt giữa

3

5

của dầm làm mặt quy chiếu để xây dựng các phương trình

Transversely FGM beam
Axially FGM beam
5
Mid-plane
4

Footer Page 18 of 148.


4
Header Page 19 of 148.

vi phân cân bằng và chuyển động. Gần đây Eltaher và cộng sự [33] chỉ ra
rằng tần số dao động riêng của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều
cao cao hơn khi bỏ qua ảnh hưởng vị trí của mặt trung hòa. Từ nhận xét
này, ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầm
FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao cũng được Luận án đặt ra và quan
tâm nghiên cứu.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Như đã nói ở trên, Luận án đề cập tới hai loại dầm FGM là dầm FGM có
cơ tính biến đổi theo chiều cao và cơ tính biến đổi dọc. Thêm vào đó, dầm
liên tục 6 thường gặp trong thực tế, cũng cần được quan tâm nghiên cứu.
Như vậy, Luận án quan tâm nghiên cứu các đối tượng sau:

1. Tải trọng di động nghiên cứu trong luận án là lực tập trung di động
và lực điều hòa di động. Như vậy, ảnh hưởng quán tính của tải trọng
di động không được xét tới trong Luận án này.
2. Dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao chịu các lực di động. Bề
rộng mặt cắt ngang dầm được giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm.
3. Dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu các lực di động. Bề rộng mặt
cắt ngang dầm cũng được giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm.
4. Dầm FGM liên tục có cơ tính biến đổi theo chiều cao. Mặt cắt ngang
của dầm liên tục được giả định là không thay đổi.
Luận án quan tâm nghiên cứu tới đáp ứng động lực học của các dầm
nói trên. Cụ thể, luận án sẽ tính toán độ võng động và sự phân bố của
trường ứng suất trong mặt cắt ngang của dầm chịu các lực di động với
các vận tốc khác nhau. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, ảnh hưởng
của mặt cắt ngang dầm thay đổi tới ứng xử động lực học của dầm sẽ được
khảo sát chi tiết. Thêm vào đó, như đã nói tới ở phần trên, Luận án cũng
quan tâm nghiên cứu ảnh hưởng của sự tăng tốc, giảm tốc cũng như ảnh
hưởng của vị trí của mặt trung hòa tới đáp ứng động lực học của dầm.
6

Continuous beam [47]

Footer Page 19 of 148.


5
Header Page 20 of 148.

Các giả thiết sử dụng trong luận án
Luận án sử dụng các giả thiết:
1. Lực di động luôn tiếp xúc với dầm trong quá trình chuyển động.

2. Ảnh hưởng quán tính của lực di động không xét tới trong luận án này.
3. Ở trạng thái ban đầu (t = 0) dầm ở trạng thái dừng, tức là chuyển vị
và vận tốc tại thời điểm ban đầu bằng 0.
4. Khoảng cách giữa các lực di động là như nhau và không thay đổi trong
quá trình chuyển động.

Phương pháp nghiên cứu
Do những phức tạp về mặt toán học sinh ra từ tính không đồng nhất của
tính chất vật liệu dầm FGM và mặt cắt ngang của dầm, phương pháp số,
cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp nghiên cứu được
lựa chọn trong luận án. Các phương trình cơ bản mô tả chuyển động của
dầm sẽ được dẫn ra trên cơ sở các phương pháp giải tích và các nguyên lý
biến phân của cơ học kết cấu. Phần mềm tính toán Symbolic Maple [79]
được sử dụng rộng rãi trong suốt Luận án này để hỗ trợ cho các biến đổi
toán học cũng như việc xây dựng công thức phần tử hữu hạn và chương
trình tính toán số.

Cấu trúc luận án
Luận án được chia làm bốn chương và phần kết luận cùng với các tài liệu
kham khảo. Các công trình công bố của tác giả liên quan tới đề tài Luận
án cũng được liệt ở cuối Luận án. Nội dung chính của các chương như sau:
Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài
nước về kết cấu dầm FGM, đặc biệt các nghiên cứu liên quan tới ứng xử
động lực học của dầm FGM chịu tác dụng của tải trọng di động được trình
bày chi tiết. Các mục tiêu chính của luận án cũng được đề cập tới trong
chương này.
Footer Page 20 of 148.


6

Header Page 21 of 148.

Chương 2 thiết lập phương trình chuyển động của dầm trên cơ sở nguyên
lý Hamilton. Phương trình chuyển động của dầm FGM có cơ tính biến đổi
theo chiều cao và cơ tính biết đổi dọc được thiết lập chi tiết cho dầm
Timosheko. Các phương trình cho dầm Euler-Bernouli nhận được như là
trường hợp riêng của dầm Timoshenko.
Chương 3 trình bày chi tiết việc xây dựng các hàm dạng cho dầm
Timoshenko. Biểu thức cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ
lực nút của phần tử dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao và dọc
được trình bày chi tiết trong chương này. Công thức phần tử hữu hạn trong
chương này được xây dựng trên cơ sở biểu thức năng lượng biến dạng đàn
hồi, động năng của phần tử dầm và thế năng của các lực di động. Ngoài
ra, chương 3 còn trình bày thuật toán số dùng cho việc giải phương trình
chuyển động dạng rời rạc và kỹ thuật phát triển chương trình tính toán
số. Chi tiết trong việc xử lý số cho trường hợp mặt cắt ngang thay đổi và
thuật toán xác định vec-tơ lực nút được đề cập chi tiết trong chương này.
Các kết quả số nhận được từ các tính toán của Luận án được trình bày
trong Chương 4. Trên cơ sở các kết quả số nhận được, một số nhận xét về
đáp ứng động lực học của dầm sẽ được thảo luận.
Một số nhận xét rút ra từ Luận án được tóm lược trong phần Kết luận.
Phần kết luận cũng kiến nghị một số nghiên cứu tiếp theo của Luận án.

Footer Page 21 of 148.


Header Page 22 of 148.

Chương 1

TỔNG QUAN
1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên
Vật liệu có cơ tính biến thiên (tên tiếng Anh: Functionally Graded Material,
viết tắt là FGM) được các nhà khoa học Nhật Bản phát minh vào năm
1984 ở Sendai [64] hiện thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học
trong lĩnh vực cơ học vật liệu và cơ học kết cấu. FGM là vật liệu composite,
được tạo thành từ hai hay một vài vật liệu thành phần với tỷ lệ thể tích
thay đổi một cách liên tục theo một hoặc vài hướng không gian. FGM có
nhiều ưu điểm so với các vật liệu truyền thống, chẳng hạn do sự thay đổi
liên tục của tỷ lệ thể tích của các vật liệu thành phần, FGM tránh được sự
không liên tục của ứng suất, vì thế tránh được các vấn đề liên quan tới hiện
tượng tách lớp thường gặp trong các loại vật liệu composite truyền thống.
Với ưu điểm nêu trên, FGM có tiềm năng ứng dụng trong các ngành công
nghệ cao như công nghệ hàng không, vũ trụ, công nghệ hạt nhân [48].
FGM điển hình có ứng dụng rộng rãi và thu hút được nhiều sự quan
tâm nghiên cứu là FGM hai pha, pha gốm và pha kim loại, với tỷ lệ thể
tích của các pha thành phần thay đổi theo hàm số mũ của một tọa độ
không gian. Chẳng hạn, sự thay đổi tỷ lệ thể tích của gốm theo chiều dày
của dầm tuân theo quy luật số mũ [104]
Vc =

z 1
+
h 2

n

, −

h

h
≤z≤ ,
2
2

Vc + Vm = 1

(1.1)

trong đó Vc và Vm tương ứng là tỷ lệ thể tích của gốm và kim loại; z là tọa
độ theo chiều dày dầm; h là chiều cao dầm; số mũ n (không âm) là tham
số vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần; các chỉ số
dưới ‘c’ và ‘m’ dùng để chỉ các pha gốm và kim loại. Với sự phân bố các
Footer Page 22 of 148.

7


8
Header Page 23 of 148.

pha vật liệu như phương trình (1.1) và trên cơ sở phương pháp đồng nhất
hóa lựa chọn ta có thể xác định được các tính chất hữu hiệu của FGM
như mô đun đàn hồi, hệ số Poisson... theo các tính chất của vật liệu thành
phần.
Ngoài quy luật hàm số mũ nêu trên, một số tác giả [89, 112] giả định
các tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dày dầm theo quy luật số e (cơ
số của logarite tự nhiên) hoặc quy luật sigmoid [18, 49, 74]. Phân tích kết
cấu FGM với tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật số e hoặc quy luật
sigmoid tương tự như phân tích kết cấu có tính chất vật liệu thay đổi theo

hàm số mũ.
Các tính chất cơ-lý của FGM, như nói tới ở trên, có thể thay đổi theo
nhiều hơn một hướng không gian [72, 83], chẳng hạn L¨
u và cộng sự [72]
nghiên cứu dầm FGM có cơ tính biến đổi theo cả chiều dày và chiều dài
dầm
P(x, z) = P0 ek1 x+k2 z

(1.2)

trong đó P0 là hằng số; x và z tương ứng là các tham số tọa độ theo chiều
dài và chiều cao dầm; k1 và k2 là các chỉ số gradient vật liệu theo các hướng
x và z. Quy luật hàm số mũ cũng được sử dụng để mô tả sự thay đổi tính
chất vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm [14]. FGM cũng có thể được
tạo từ hơn hai vật liệu thành phần, chẳng hạn Nemat–Alla [80] phân tích
tấm làm từ FGM 3 pha, pha gốm và hai pha kim loại khác nhau với tỷ lệ
thể tích của vật liệu thành phần thay đổi theo quy luật số mũ. Tuy nhiên,
nghiên cứu về kết cấu làm từ FGM tạo từ ba hay nhiều pha còn rất ít.
Tùy theo ứng dụng cụ thể, các vật liệu thành phần khác nhau có thể
được sử dụng để chế tạo FGM. Bảng 1.1 liệt kê các tính chất của một số
vật liệu thành phần thông dụng [35,87,114]. Cần lưu ý rằng số liệu về tính
chất vật liệu thành phần trích dẫn trong các tài liệu có một số sự khác
nhau, vì thế luận án sẽ đưa ra các số liệu cụ thể dùng trong tính toán khác
nếu các số liệu này khác với Bảng 1.1.
Số lượng các công trình công bố liên quan tới vật liệu và kết cấu FGM
tăng nhanh, điều đó được thể hiện trong tài liệu [92]. Phân tích kết cấu
FGM chịu các loại tải trọng khác nhau được Birman và Byrd trình bày chi
tiết trong [23], dưới đây tóm lược các công trình nghiên cứu liên quan trực
Footer Page 23 of 148.

9
Header Page 24 of 148.

Bảng 1.1: Tính chất của một số vật liệu thành phần của FGM

Gốm

Kim loại

Tên
Vật liệu

Ký hiệu

Mô đun
Young (GP a)

Hệ số
Poisson

Tỷ trọng
(kg/m3 )

Zirconia
Silicon Nitride
Nhôm ôxít

Zi2 O3
Si4 N4

Al2 O3

151
322.3
380

0.3
0.24
0.3

3000
2370
3800

70
105.7
207.8

0.3
0.3
0.3178

2702
3750
8166

Nhôm
Al
Hợp kim Titan Ti-6Al-4V
Thép không gỉ SUS304

tiếp tới luận án này.

1.2. Các nghiên cứu về dầm FGM
Phần lớn các công trình công bố liên quan tới phân tích dầm FGM không
xét tới ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa. Trong số này, bằng phương
pháp giải tích, Sankar [89] đưa ra nghiệm đàn hồi chính xác cho ứng suất
và chuyển vị của dầm FGM chịu tải trọng ngang hình sin tác động lên
mặt dầm và so sánh kết quả nhận được với kết quả dựa trên cơ sở dầm
Euller-Bernoulli. Ông đã chỉ ra rằng sự tập trung ứng suất ở bề mặt chất
tải của dầm FGM cao hơn trong dầm thuần nhất nếu như lực được tác
dụng trên mặt cứng hơn và ngược lại. Wu và cộng sự [108] sử dụng phương
pháp bán nghịch đảo để tìm lời giải cho phương trình động học của dầm
FGM tựa giản đơn. Nghiệm giải tích cho tần số dao động riêng của dầm
được thiết lập cho trường hợp mô đun đàn hồi và mật độ khối của dầm
có dạng hàm số mũ. Apetre và cộng sự [12] nghiên cứu phản ứng của dầm
sandwich có lõi là FGM với tính chất đàn hồi thay đổi theo chiều dày dưới
tác động của tải trọng va đập có vận tốc thấp. Kết quả nhận được cho
thấy lõi FGM có hiệu quả cao và có thể sử dụng một cách hữu hiệu để
giảm bớt hoặc tránh hoàn toàn các hư hỏng va đập của dầm. Benatta và
cộng sự [19] xây dựng nghiệm giải tích của bài toán uốn dầm có tính tới
Footer Page 24 of 148.


10
Header Page 25 of 148.

ảnh hưởng của oằn. Li [68] đề nghị phương pháp mới để khảo sát các đặc
trưng dao động riêng, độ võng, phân bố ứng suất và sự lan truyền sóng
trong dầm FGM có tính chất vật liệu thay đổi tùy ý theo chiều dày dầm.

Lý thuyết dầm Euller-Bernoulli và Rayleigh được sử dụng trong nghiên
cứu này. Sina và cộng sự [95] trình bày phương pháp giải tích dựa trên lý
thuyết dầm mới cho nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có các điều
kiện biên khác nhau. Tần số dao động riêng trong [95] được nhiều tác giả
sử dụng để kiểm chứng kết quả nghiên cứu của mình. Huang và Li [45]
phân tích dao động tự do của dầm FGM có độ cứng chống uốn, mật độ
khối và tính chất vật liệu thay đổi theo trục dầm. Phương pháp đề nghị
có thể sử dụng để xác định tần số dao động riêng của dầm FGM có mặt
cắt ngang và tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật tùy ý dọc theo trục
dầm. Wattanasakulpong và cộng sự [105] nghiên cứu bài toán mất ổn định
và dao động nhiệt của dầm FGM bằng cách sử dụng phương pháp Ritz
để giải bài toán giá trị riêng. Kết quả nhận được cho thấy lực tới hạn cao
hơn đáng kể khi bỏ qua ảnh hưởng của nhiệt độ vào các tính chất vật liệu.
Thêm vào đó, các tác giả chỉ ra rằng so với nhôm ô-xít và Silicon nitride,
Ziconia không phải là loại gốm tốt dùng để phối hợp với thép không gỉ.
Wei và Liu [106] sử dụng phương pháp Ritz–Galerkin để nghiên cứu bài
toán uốn phi tuyến dầm FGM. Wei và cộng sự [107], trình bày phương
pháp giải tích để nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có vết nứt. Lai
và cộng sự [66] nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm Bernoulli FGM
bằng phương pháp giải tích. Ảnh hưởng của điều kiện biên và biên độ dao
động tới tần số dao động riêng của dầm được khảo sát chi tiết. Li và cộng
sự [69] đề nghị một phương pháp giải tích để nghiên cứu dao động tự do
của dầm FGM có tiết diện và tính chất vật liệu thay đổi theo trục dầm.
Ma và Lee [73] đưa ra lời giải giải tích của bài toán dầm FGM phi tuyến
dưới tác dụng của tải trọng nhiệt. Birsan và cộng sự [24] xây dựng biểu
thức giải tích cho các hệ số hữu hiệu của dầm sandwich FGM có lõi xốp.
Xét đến ảnh hưởng của sự tách lớp, Liu và Shu [71] trình bày phương pháp
giải tích để nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có vật liệu thay đổi
theo hàm số mũ. Kết quả chỉ ra rằng sự tăng của tần số dao động riêng của
dầm FGM có tỷ số mô-đun đàn hồi cao hơn sẽ yếu đi khi dải tách lớp của

Footer Page 25 of 148.