Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gần đúng một số phương trình tích phân tuyến tính Volterra

Header Page 1 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2016

Footer Page 2 of 258.


Header Page 3 of 258.
i

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của
PGS. TS Khuất Văn Ninh. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tìm
hiểu, nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo khoa Toán,
chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên,
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn này vẫn không tránh khỏi những
thiếu sót và hạn chế. Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp và phản hồi
từ phía các thầy, cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện một cách tốt
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Hường

Footer Page 3 of 258.


Header Page 4 of 258.
ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh, luận văn
chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải gần đúng
phương trình tích phân tuyến tính Volterra ” được hoàn thành bởi sự nhận thức
và tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

Nguyễn Thị Hường

Footer Page 4 of 258.


Header Page 5 of 258.
iii

Mục lục
Lời cảm ơn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục kí hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu

1

1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Một số kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian metric

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5

Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.6

Khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA
2.1

14

Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một . . . 14

2.1.2

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai . . . 14

2.1.3

Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành
phương trình tích phân Volterra loại hai . . . . . . . . . 15

2.2

Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến
tính Volterra loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Footer Page 5 of 258.

Header Page 6 of 258.
iv

3

2.2.1

Phương pháp phân tích Adomian . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2

Phương pháp biến đổi phân tích . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3

Hiện tượng số hạng nhiễu âm . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.5

Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.6

Phương pháp chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 42

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA

48

3.1

Công thức cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2

Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3

Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra
loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kết luận

Footer Page 6 of 258.

67


Header Page 7 of 258.
1

Danh mục kí hiệu và viết tắt
Các kí hiệu thường dùng
C
C1

Rn
M = (X, d)
L
x∈M
x∈
/M
∀x ∈ M
∃x

Footer Page 7 of 258.

Không gian các hàm liên tục
Không gian các hàm khả vi liên tục
Không gian Euclid n chiều
Không gian metric
Biến đổi Laplace
x thuộc tập M
x không thuộc tập M
Với mọi x thuộc tập M
Tồn tại x


Header Page 8 of 258.
2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều
tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp phương trình tích phân đóng vai trò
quan trọng.

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra xuất hiện trong nhiều ứng dụng
khoa học như lý thuyết động lực, thiết vị bán dẫn, sự lan truyền bệnh dịch, ...
Trong các ứng dụng thực tế việc tìm ra nghiệm chính xác của phương trình
tích phân thường gặp nhiều khó khăn, lúc này người ta quan tâm đến giải xấp xỉ
phương trình. Để giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra người
ta sử dụng rất nhiều các phương pháp như xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, ...
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình tích phân tuyến
tính Volterra, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề
tài: “Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính
Volterra” để thực hiện luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về phương trình tích phân tuyến tính Volterra, một số
phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra và một số phương
pháp giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính Volterra.

Footer Page 8 of 258.


Header Page 9 of 258.
3

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một,
loại hai.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một số
phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gần đúng một số

phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Vận dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết
phương trình tích phân .
Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương trình tích
phân tuyến tính Volterra.

Footer Page 9 of 258.


Header Page 10 of 258.
4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số kiến thức về giải tích hàm
Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập tùy ý. Một metric trong X là một ánh xạ

d:X ×X →R
thỏa mãn các điều kiện sau đây
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X ;
ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
iii)d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;

iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y ∈ X.
Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy.
Các phần tử của một không gian metric được gọi là điểm của không gian ấy. Số

d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y .
Định nghĩa 1.1.2. Một dãy các điểm (xn ), n = 1, 2, ... trong không gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu

lim d(a, xn ) = 0.

n→∞

Khi đó ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞
n→∞

Footer Page 10 of 258.


Header Page 11 of 258.
5

Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong
không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số n0 ∈ N∗ sao
cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có

d(xn , xm ) < ε.
Nói cách khác ta có

lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X .
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ và f :

X → X là một ánh xạ của X vào chính nó thỏa mãn điều kiện
d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y),
với hằng số α < 1 và ∀x, y ∈ X . Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X
sao cho f (x∗ ) = x∗ . Hơn nữa, x0 ∈ X , dãy xn , n ∈ N xác định bởi xk+1 =

f (xk ), ∀k ∈ N hội tụ đến x∗ đồng thời ta có ước lượng
αn
d(x1 , x0 ), ∀n ∈ N.
d(xn , x ) ≤
1−α
∗

(1.1)

Chứng minh. Dễ thấy

d(xk+1 , xk ) = d(f (xk ), f (xk−1 )) ≤ αd(xk , xk−1 ) ≤ ... ≤ αk d(x1 , x0 ), ∀k ∈ N.
Từ đó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N ta có

d(xn+p , xn ) ≤ d(xn+p , xn+p−1 ) + ... + d(xn+1 , xn )
≤ (αn+p−1 + ... + αn )d(x1 , x0 ),

Footer Page 11 of 258.

Header Page 12 of 258.
6

do đó

αn
d(x1 , x0 ).
d(xn+p , xn ) ≤
1−α

(1.2)

Ước lượng (1.2) chứng tỏ dãy xn , n ∈ N là dãy Cauchy, mặt khác X là không
gian metric đủ nên tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho lim xn = x∗ .
n→∞

Cho p → ∞ trong bất đẳng thức (1.2) ta thu được ước lượng (1.1).
Ta lại có xn+1 = f (xn ) nên cho n → ∞, ta có x∗ = f (x∗ ). Vậy x∗ là điểm mà

f (x∗ ) = x∗ .
Giả sử ngoài ra còn có x cũng có tính chất f (x) = x khi đó ta có

d(x∗ , x) = d(f (x∗ ), f (x)) ≤ αd(x∗ , x),
với α < 1. Từ đó suy ra x∗ = x. Vậy x∗ là duy nhất.

1.1.2

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.1.5. Một chuẩn, kí hiêu

· trong X là một ánh xạ từ X vào R

thỏa mãn các điều kiện:
i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X ;
ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
iii) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X ;
iv) x + y ≤ x + y với mọi y ∈ X .
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.6. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong
không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P là
thực hoặc phức).
Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X đặt

d(x, y) = x − y .
Footer Page 12 of 258.


Header Page 13 of 258.
7

Khi đó d là một metric trên X .
Định nghĩa 1.1.7. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0. Khi đó ta kí hiệu
n→∞

lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞

n→∞

Định nghĩa 1.1.8. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một
dãy cơ bản, nếu

lim

m,n→∞

xm − xn = 0.

Định nghĩa 1.1.9. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric
đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = x − y ). Khi đó X được gọi là một không
gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.10. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P . Ánh
xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn
i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X ;
ii) A(αx) = αAx, α ∈ P .

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Nếu A chỉ thỏa mãn i) thì A được gọi là
toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn ii) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.
Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A
từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0 sao
cho

Ax ≤ c x , với mọi x ∈ X.
1.1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian tuyến tính X trên trường số P (P =
R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ

Footer Page 13 of 258.


Header Page 14 of 258.
8

X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên đề:
(i) (y, x) = (x, y), với mọi x, y ∈ X ;(x, y) là số phức liên hợp của (x, y)
(ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), với mọi x, y, z ∈ X ;
(iii) (αx, y) = α(x, y) với mọi số α ∈ P và mọi x, y ∈ X ;
(iv) (x, x) > 0 nếu x = θ, (θ là kí hiệu phần tử không);
(v) (x, x) = 0 nếu x = θ;
Các phần tử x, y, z, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y) gọi là tích
vô hướng của x và y . Các tiên đề i, ii, iii, iv, v gọi là các tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.13. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích
vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.3. Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi x ∈ X , ta đặt

(x, x). Khi đó ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz)

x =

|(x, y)| ≤ x . y , ∀x, y ∈ X.
Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian tiền Hilbert
đều là không gian định chuẩn với chuẩn x =

(x, x).

Định nghĩa 1.1.14. Ta gọi không gian tuyến tính H = θ trên trường P là không
gian Hilbert H nếu nó thỏa mãn các điều kiện
1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn x =

1.1.4

(x, x) với x ∈ X.

Không gian L(X, Y )

Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất cả
các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Ta trang bị cho L(X, Y ) hai phép
toán sau:
a) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác định

Footer Page 14 of 258.


Header Page 15 of 258.
9

bằng hệ thức

(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X.
b) Tích của vô hướng α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈ L(X, Y )
là toán tử, kí hiệu αA xác định bằng hệ thức

(αA)(x) = α(Ax), ∀x ∈ X.
Dễ dàng kiểm tra A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) là hai phép toán thỏa mãn
tiên đề tuyến tính. Do vậy L(X, Y ) cùng với hai phép toán trên là một không
gian vectơ trên trường P .
Với toán tử bất kỳ A ∈ L(X, Y )
Ta đặt

A = sup Ax

(1.3)

x =1

Dễ thấy công thức (1.3) thỏa mãn tiên đề chuẩn. Như vậy L(X, Y ) là một không
gian định chuẩn. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn L(X, Y ) gọi là hội tụ
đều của dãy toán tử bị chặn.
Dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A ∈ L(X, Y )
nếu với mỗi x ∈ X, lim An x − Ax = 0 trong không gian Y .
n→∞

Một dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) hội tụ đều tới toán tử A ∈ L(X, Y ) thì dãy

(An ) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y .
Định lý 1.1.4. Nếu Y là không gian Banach thì L(X, Y ) cũng là không gian
Banach.
Chứng minh. Lấy một dãy cơ bản bất kỳ (An ) ⊂ L(X, Y ). Theo định nghĩa

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗ )(∀n, m ≥ n0 ) An − Am < ε.

(1.4)

Từ đó với mọi x ∈ X ta có

An x − Am x = (An − Am )x ≤ An − Am
Footer Page 15 of 258.

x <ε x

(1.5)


Header Page 16 of 258.
10

Từ (1.4),(1.5) suy ra dãy điểm (An x) ⊂ Y là dãy cơ bản trong Y . Mà theo giả
thiết Y là không gian Banach, nên tồn tại giới hạn

lim An x = y ∈ Y.

n→∞

Đặt y = Ax. Nhờ tính chất của phép chuyển qua giới hạn, ta nhận được toán tử
tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Banach Y . Cho qua
giới hạn m → ∞ trong hệ thức (1.5) và kết hợp với hệ thức (1.4) ta được

An x − Ax ≤ ε x , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X,
hay

(An − A)x ≤ ε x , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X.
Do đó

An − A ≤ ε, ∀n ≥ n0 .
Từ đó suy ra A = An1 − (An1 − A) ∈ L(X, Y ) với n1 > n0 và An − A → 0
khi n → ∞.
Vì vậy dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gian

L(X, Y ). Vậy L(X, Y ) là không gian Banach.
Bây giờ ta giả sử X = Y , nghĩa là ta xét không gian L(X, X) các toán tử
tuyến tính liên tục trong X . Khi ấy ta có thể định nghĩa phép nhân hai toán tử
như sau
Tích của hai toán tử A, B trong X là toán tử AB trong X sao cho

(AB)x = A(Bx), ∀x ∈ X.
Dễ thấy AB cũng là toán tử tuyến tính.
Mặt khác, ta có

(AB)x = A(Bx) ≤ A . Bx ≤ A . B . x ,

Footer Page 16 of 258.


Header Page 17 of 258.
11

suy ra AB cũng bị chặn (tức là liên tục) và

AB ≤ A . B .
Như vậy trong không gian L(X, X) có xác định phép cộng và phép nhân hai
phần tử. Dễ kiểm tra lại rằng phép cộng và phép nhân này thỏa mãn các tiên đề
của một vành.

Do vậy ta có L(X, X) là
i) Một vành
ii) Một không gian định chuẩn
iii) Thỏa mãn điều kiện AB ≤ A . B
iv) Có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất I với I = 1.
Người ta nói L(X, X) là một vành định chuẩn. Trong vành L(X, X) đương
nhiên có thể nói đến các lũy thừa của một toán tử

A0 = I, An = AAn−1 (n = 1, 2, ...)
1.1.5

Một số không gian hàm

Không gian Rn

Rn là không gian vectơ
Rn là không gian metric với metric d(x, y) =

n

(xj − yj )2 .
j=1

Hệ thức trên thỏa mãn 3 tiên đề về metric.
Vì vậy hệ thức trên định một metric trên không gian Rn .
Không gian metric Rn thường được gọi là không gian Euclid.
Rn là không gian metric đầy
Rn là không gian định chuẩn
Với một trong các chuẩn sau
n

x

1

|xi | , x

=
i=1

Footer Page 17 of 258.

n
2

x2i , x

=
i=1

∞

= max |xi |.
i=1,n


Header Page 18 of 258.
12

Rn là không gian định chuẩn đủ (không gian Banach).

Rn là không gian Hilbert.
Thật vậy, ∀x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., yn ) ta đặt
n

(x, y) =

(xj .yj ).

(1.6)

j=1

Dễ thấy hệ thức (1.6) thỏa mãn tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng (1.6)
n

x =

x2j , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .

(x, x) =

(1.7)

j=1

Không gian vectơ thực Rn cùng với tích vô hướng (1.7) là một không gian
Hilbert.
Không gian C[a,b]

C[a,b] = {x(t) xác định, liên tục ∀t ∈ [a, b]} , −∞ < a < b < +∞.
Không gian C[a,b] là không gian metric

∀x, y ∈ C[a,b] , d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
a≤t≤b

Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn

x = max |x(t)|.
a≤t≤b

Không gian C[a,b] là không gian Banach.
Không gian C[a,b] là không gian tách được (hay không gian khả ly).
Thật vậy tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] .
n
Không gian C[a,b]

n
Không gian C[a,b]
gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên đoạn [a, b] và có đạo

hàm liên tuc đến cấp n, với chuẩn được xác định bởi

x = max {|x(t)|, |x (t)|, ..., |xn (t)|} .
a≤t≤b

Footer Page 18 of 258.


Header Page 19 of 258.

13

1.1.6

Khai triển Taylor

Định lý 1.1.5. Nếu hàm số y = f (x) có các đạo hàm f (x), f (x), ..., f (n) (x)
liên tục tại điểm x0 và có đạo hàm f (n+1) (x) trong lân cận của x0 thì tại lân
cận đó ta có công thức

f (x0 )
f (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ...+
1!
2!
n
f n+1 (c)
f (x0 )
(x − x0 )(n) +
(x − x0 )n+1
+
n!
(n + 1)!

f (x) = f (x0 ) +

(1.8)
(1.9)

c ở khoảng giữa x0 và x : c = x0 + θ(x − x0 ), 0 < θ < 1.
Công thức này gọi là công thức Taylor cấp n, số hạng cuối cùng được gọi là số
hạng dư của nó. Ta nói f (x) khai triển được theo công thức Taylor.

Footer Page 19 of 258.


Header Page 20 of 258.
14

Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA
2.1

Phương trình tích phân Volterra

2.1.1

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một

Dạng tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một
được cho bởi

x

f (x) =

K(x, t)u(t)dt,

(2.1)

0

trong đó hạt nhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàm giá trị thực cho trước, hàm

u(x) là hàm cần được xác định và nó xuất hiện bên trong dấu tích phân của các
phương trình tích phân Volterra loại một.

2.1.2

Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai

Dạng tổng quát của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai được
cho bởi

x

u(x) = f (x) + λ

K(x, t)u(t)dt.

(2.2)

0

Hàm ẩn u(x), sẽ được xác định, nằm bên trong và bên ngoài dấu tích phân. Hạt
nhân K(x, t) và hàm f (x) là các hàm giá trị thực, và λ là một tham số cho
trước.

Footer Page 20 of 258.


Header Page 21 of 258.
15

2.1.3

Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương
trình tích phân Volterra loại hai

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp biến đổi phương
trình tích phân Volterra loại một thành phương trình tích phân Volterra loại hai.
Ta giả thiết K(x, x) = 0. Lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình tích phân
Volterra loại một

x

f (x) =

K(x, t)u(t)dt,

(2.3)

0

đối với x, và dùng quy tắc Leibnitz, ta tìm được
x

f (x) = K(x, x)u(x) +

Kx (x, t)u(t)dt.

(2.4)

0

Giải tìm u(x), biết rằng K(x, x) = 0, ta thu được phương trình tích phân
Volterra loại hai là

f (x)
−
u(x) =
K(x, x)

x
0

1
Kx (x, t)u(t)dt.
K(x, x)

(2.5)

f (x)
,
K(x, x)

(2.6)

Đặt

g(x) =
và

1
K (x, t).
K(x, x) x
Khi đó ta có phương trình tích phân Volterra loại 2
G(x, t) = −

(2.7)

x

u(x) = g(x) +

G(x, t)u(t)dt
0

Khi đã biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình
tích phân Volterra loại hai. Ta có thể áp dụng các phương pháp giải phương
trình tích phân Volterra loại hai. Nghiệm thu được chính là nhiệm của phương
trình tích phân Volterra loại một.
Ví dụ 2.1. Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình

Footer Page 21 of 258.


Header Page 22 of 258.

16

tích phân Volterra loại hai
x
x

ex−t u(t)dt.

e − cos x =

(2.8)

0

Lấy đạo hàm cả hai vế của (2.8) và dùng quy tắc Leibnitz ta được
x

ex + sin x = u(x) +

ex−t u(t)dt.
0

Từ đó ta có phương trình tích phân Volterra loại hai
x

u(x) = ex + sin x −

ex−t u(t)dt.
0

Ví dụ 2.2. Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương
trình tích phân Volterra loại hai
x

4 + x − 4ex + 3xex =

(x − t + 2)u(t)dt.

(2.9)

0

Lấy đạo hàm cả hai vế của (2.9) và dùng quy tắc Leibnitz ta thu được
x
x

x

1 − e + 3xe = 2u(x) +

u(t)dt,
0

Từ đó ta có phương trình tích phân Volterra loại hai

1
1 1
u(x) = (3x − 1)ex + −
2
2 2

x

u(t)dt.
0

Nhận xét 2.1. Đã biết rằng nếu K(x, x) = 0, thì không thể biến đổi phương
trình tích phân Volterra loại một thành loại hai. Tuy nhiên, nếu K(x, x) = 0 và

Kx (x, x) = 0 thì bằng việc lấy đạo hàm phương trình tích phân Volterra loại
một nhiều lần , với K(x, t) là hạch , thì phương trình đã cho sẽ đưa được về
phương trình tích phân Volterra loại hai.
Ở chú ý thứ nhất, khi K(x, x) = 0 , Kx (x, x) = 0, ta sẽ lấy đạo hàm hai
lần, và áp dụng quy tắc Leibnitz để biến đổi phương trình đã cho về phương
trình tích phân Volterra loại hai.

Footer Page 22 of 258.


Header Page 23 of 258.
17

Ví dụ 2.3. Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại một thành phương trình
tích phân Volterra loại hai
x

sin x − x cos x = 2

sinh(x − t)u(t)dt.

(2.10)

0

Lấy đạo hàm hai vế của (2.10) và dùng quy tắc Leibnitz ta được
x

cosh(x − t)u(t)dt,

x sin x = 2
0

phương trình trên vẫn là phương trình tích phân Volterra loại một. Tuy nhiên vì

Kx (x, x) = 0, nên ta lấy đạo hàm thêm một lần nữa để thu được phương trình
tích phân Volterra loại 1

x
1
u(x) = sin x + cos x −
2
2

x

sinh(x − t)u(t)dt.
0

Khi đã biến đổi phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một thành
phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, thì ta có thể áp dụng các

phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai cho phương
trình tích phân tuyến tính Volterra loai một.

2.2

Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích
phân tuyến tính Volterra loại hai

Để giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai, người ta đã đề xuất
một số phương pháp giải tích và phương pháp số như phương pháp xấp xỉ liên
tiếp, phương pháp biến đổi Laplace và nhiều phương pháp khác. Trong mục này
ta sẽ áp dụng một số phương pháp như phương pháp phân tích Adomian (ADM),
phương pháp biến đổi khai triển (mADM), phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương
pháp chuỗi lũy thừa và phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình tích
phân Volterra loại hai. Ta cần xác định nghiệm u(x) của phương trình tích phân
tuyến tính Volterra loại hai.
Sau đây chúng ta sẽ trình bày các phương pháp nêu trên.
Footer Page 23 of 258.


Header Page 24 of 258.
18

2.2.1

Phương pháp phân tích Adomian

Phương pháp phân tích Adomian (ADM) đã được giới thiệu và phát triển bởi
George Adomian và là phương pháp tốt trong nhiều phép kiểm tra.
Phương pháp phân tích Adomian bao gồm phân tích hàm u(x) của phương

trình bất kỳ thành tổng vô hạn của các số hạng được xác định bởi chuỗi
∞

u(x) =

un (x),

(2.11)

n=0

hay tương đương

u(x) = u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + ...,

(2.12)

trong đó các hàm un (x), n ≥ 0 được xác định bằng phương pháp truy hồi.
Để thiết lập quan hệ truy hồi, ta thế (2.11) vào phương trình tích phân Volterra
(2.2) ta thu được
∞

∞

x

K(x, t)

un (x) = f (x) + λ

un (t) dt,

0

n=0

(2.13)

n=0

hay tương đương
x

u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + ... = f (x) + λ

K(x, t)[u0 (t) + u1 (t) + ...]dt.
0

Hàm u0 (x) được đồng nhất với tất cả các số hạng mà không ở dưới dấu tích
phân. Còn lại, các thành phần uj (x), j ≥ 1 của hàm ẩn u(x) được xác định
bằng dãy quan hệ truy hồi

u0 (x) = f (x),
x

K(x, t)un (t)dt, n ≥ 0,

un+1 (x) = λ
0

tương đương với
x

u0 (x) = f (x),

u1 (x) = λ

K(x, t)u0 (t)dt,
0

Footer Page 24 of 258.

(2.14)


Header Page 25 of 258.
19
x

u2 (x) = λ

x

K(x, t)u1 (t)dt, u3 (x) = λ

K(x, t)u2 (t)dt,

0

(2.15)

0

và tương tự vậy với các thành phần khác.
Trong công thức (2.15), các thành phần u0 (x), u1 (x), u2 (x), u3 (x), ... hoàn
toàn xác định. Nghiệm u(x) của phương trình tích phân Volterra (2.2) cho dưới
dạng chuỗi.
Phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình tích phân Volterra
được minh họa bởi các ví dụ sau.
Ví dụ 2.4. Áp dụng phương pháp phân tích Adomian giải phương trình tích
phân Volterra sau

x
2

u(x) = 6x − 3x +

u(t)dt.

(2.16)

0

Ta chú ý rằng f (x) = 6x − 3x2 , λ = 1, K(x, t) = 1. Nhắc lại rằng nghiệm

u(x) được giả sử là có dạng chuỗi cho trong (2.11). Thế chuỗi khai triển (2.11)
vào cả hai vế của (2.16) cho ta
x ∞

∞

2

un (x) = 6x − 3x +

un (t)dt,
0

n=0

n=0

hay tương đương
x

u0 (x) + u1 (x) + u2 (x) + ... = 6x − 3x2 +

[u0 (t) + u1 (t) + u2 (t) + ...]dt.
0

Ta đồng nhất thành phần thứ không bởi tất cả các số hạng mà không bao gồm
dưới dấu tích phân. Do đó ta thu được quan hệ truy hồi sau

u0 (x) = 6x − 3x2 ,
x

uk (t)dt, k ≥ 0,

uk+1 (x) =
0

Footer Page 25 of 258.