Một số thủ thuật cơ bản làm nhanh trắc nghiệm môn toán

cedu24h.com

MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN LÀM NHANH
TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
Sưu tầm – Biên soạn lại: Đoàn Công Chung

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y

b
;
,C
2a 4a

A(0; c), B
với

b2

b
;
2a 4a

AB

, ta luôn có: 8a 1

cos

b3 1 cos

Phương trình đường tròn đi qua A, B, C : x2

Hàm số y

b
, BC
2a

2

bx2

c

b
,
2a

4ac .

Gọi BAC

 a
 a

b4
16a2

AC

ax4

1 cực trị: ab
0 : 1 cực tiểu
0 : 1 cực đại

ax4

DỮ KIỆN
Tam giác
vuông cân

bx2

c

b3
b3

cos

n x

0

c.n

8a
và S
8a

0, với n

2
b

1 b2
.
4 a

4a

b
.
2a

.

3 cực trị: ab 0
0 : 1 cực đại,2 cực tiểu
0 : 2 cực đại,1 cực tiểu

 a
 a

c có 3 cực trị A Oy , B,C tạo thành:

CÔNG THỨC

8a

b

3

0

VÍ DỤ
m? để hàm số y

x

4

m

2015 x2

5 có 3 cực trị

tạo thành tam giác vuông cân.
Với a 1, b m 2015 .

24a

b3

0

b3

b3
8 m
2017
9 4
m? để hàm số y
x
3 m 2017 x 2 có 3 cực trị tạo
8
thành tam giác đều.
9
Với a
, b 3 m 2017 .
8
27 m 2016
Từ 24a b3 0 b3
Từ 8a

Tam giác đều

y2

0

0

SƯU TẦM: ĐOÀN CÔNG CHUNG – SĐT: 0888.790.111

1

cedu24h.com

BAC

b3 .tan 2

8a

0

2

3x 4

m? để hàm số y

thành tam giác có một góc 1200 .
Với a 3, b m 7 .

3b3 0
m? để hàm số y
Từ 8a

S

3 2
0

S0

ABC

32a S

b

m 7 x2 có 3 cực trị tạo

5

0

b
2 m 5.
4
mx
2x2 m 2 có 3 cực trị tạo

thành tam giác có diện tích bằng 1.
Với a m, b 2 .
Từ 32a3S02
max S0

b5
32a3

S0

r0

b2

r0
a 1

BC

am02

m0

0

2 1 m2 x2

1 m2

5

1

m

AC

n0

16a2n02

b4

1 có 3 cực trị

m

3
có 3 cực trị tạo thành
2
tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.
1
Với a
,b
m . Từ r0
m 2
2
m? để hàm số y m2 x4 mx2 1 m có 3 cực trị mà

b3
a

0

8b

1.

0

x4

mx2

2
trong đó có BC
2
m . Từ am02
Với a m , b

AB

m

2 1 m2 .

1, b

m? để hàm số y

1

2b

x4

1

tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất.

Từ S0
ABC

m3

0

m? để hàm số y
Với a

r

b5

mx4

0 m? để hàm số y

x2

2b

0

m

1 vì m

0

m có 3 cực trị mà trong

đó có AC 0,25
1.
Với a m, b
Từ 16a2n02
B,C Ox

b2

4ac

b4

m? để hàm số y

0

8b

0

x4

m
mx2

3 do m

0

1 có 3 cực trị tạo thành

tam giác có B,C Ox
m, c 1 .
Với a 1, b
Từ b2
Tam giác cân
tại A
Tam giác có 3
góc nhọn

Phương trình qua
điểm cực trị

8a

b3

0

4ac

0

m

2 do m

0
3

BC : y

4a

b
2a

và AB, AC : y

m? để hàm số y

x4

m2

6 x2

x

m

c

2 có 3 cực

trị tạo thành tam giác có 3 góc đều nhọn
Với a
1, b
(m2 6) .
SƯU TẦM: ĐOÀN CÔNG CHUNG – SĐT: 0888.790.111

2


cedu24h.com

b3 0 b 2
2 m 2
4
2
mx m có 3 cực trị tạo thành
m? để hàm số y x
Từ 8a

b2

Tam giác có
trọng tâm O

6ac

0

tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
m.
Với a 1, b m, c
Từ b2

Tam giác có
trực tâm O

b

3

8a

4ac

0

6ac 0
m? để hàm số y

m
x4

6 do m
mx2 m

thành tam giác có trực tâm O.
Với a 1, b m, c m 2 .
Từ b3

R

ABC

8a 4ac 0 m
m? để hàm số y mx4 x2

3

R0

Tam giác
cùng O tạo
hình thoi

R0

b 8a
8ab

b2

2ac

2 x4

m? để hàm số y

0

Hàm số y
DỮ KIỆN
Tam giác
vuông cân
tại A

ax4

mx2

4 có 3 cực trị cùng gốc

tọa độ O lập thành hình thoi.
Với a 2, b m, c 4 .

b

3

8a

4abc

0

2ac 0
m? để hàm số y

m
4 do m 0
4
mx
2 x2 2 có 3 cực trị lập thành

tam giác có O là tâm đường tròn nội tiếp.
2.

Với a m, b 2, c
Từ b3

Tam giác,
tâm O ngọai
tiếp

2 do m 0
2m 1 có 3 cực trị tạo

thành tam giác nội tiếp trong đường tròn có bán kính
9
R
8
b3 8a
m
1 do m 0
Với a m, b 1 . Từ R0
8ab

Từ b2
Tam giác,
tâm O nội
tiếp

0
2 có 3 cực trị tạo

b

3

8a 8abc

0

8a 4abc
m? để hàm số y

0 m
1 do m 0
4
2
mx
x 2m 1 có 3 cực trị lập

tam giác có O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
m, b 1, c
2m 1 .
Với a
3
Từ b 8a 8abc 0 m 0,25 do m 0

2bx2

c có 3 cực trị A Oy , B,C tạo thành:

CÔNG THỨC

a

b

3

0

VÍ DỤ
m? để hàm số y

x

4

2 m

2016 x2

2016m

2017 có

3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
Với a 1, b m 2016 .
Từ a

b3

0

b

1

m

2017

SƯU TẦM: ĐOÀN CÔNG CHUNG – SĐT: 0888.790.111

3


cedu24h.com
Tam giác
đều

b3

3a

m? để hàm số y

0

9x4

2020 x2

2 m

2017 m

2016

có 3 cực trị tạo thành tam giác đều.
Với a 9, b m 2020 . Từ

BAC

b3 .tan 2

a

3a b3 0 b
m? để hàm số y

0

2

3 m 2017
3x4 2 m 2018 x2

2017 có 3 cực

trị tạo thành tam giác có một góc 1200 .
Với a 3, b m 2018 .

b3 .tan2 600 0 b

1 m 2017
4
2
4x
2017 m 2016 có 3 cực trị
m? để hàm số y mx
Từ a

S

ABC

a3S02

S0

b5

0

tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 2 .
1
Với a m, b 2 . Từ a3S02 b5 0 m

R

r

R0

ABC

ABC

1 2
b
2a

R0

r0

a
b

m? để hàm số y

a 1

m? để hàm số y

1

2x2

b3
a

x4

ad

2

có
MN

B2

2016m3

2017 có 3

cực trị tạo thành tam giác có bán kính nội tiếp bằng 1.
m
7
2;1
Với a 1, b m 5, r0 1 b
m
4

ax
cx

b
đến 2 tiệm cận đạt
d

bc
c

m

2016 có 3 cực trị

2

Tương giao: Giả sử d : y
Với kx

5 x2

2 m

Tiệm cận: Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị hàm số y
min d

2017 m3

tạo thành tam giác có bán kính ngoại tiếp bằng 1.
1 2 a
b
m 1
1 . Từ R0
Với a m, b
b
2a

b2

r0

mx4

ax
cx

kx

ax
cx

m cắt đồ thị hàm số y

b
cho ta phương trình có dạng: Ax2
d

b
tại 2 điểm phân biệt M, N.
d

Bx

C

0 thỏa điều kiện cx

d

0,

4 AC
k2 1
A2

,

OMN cân tại O

x1

OMN vuông tại O

m2

0

SƯU TẦM: ĐOÀN CÔNG CHUNG – SĐT: 0888.790.111

4

x2 1

k2

2km

0

x1x2 1

k2

x1

x2 km


cedu24h.com
MN ngắn nhất khi tồn tại
min , k const
Khối đa diện: loại n, p có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì n.M
Euler : D

M

2

p.D

2.C hoặc

C.

Khối đa diện đều
Tứ diện đều

Số đỉnh
4

Số cạnh
6

Số mặt
4

Kí hiệu
3,3

Khối lập phương

8

12

6

4,3

Khối bát diện đều

6

12

8

3,4

Khối thập nhị diện
(12 mặt) đều

20

30

12

5,3

Khối nhị thập diện
(20 mặt) đều

12

Thể tích

2 3
a
12

V

V

a3
2 3
a
3

V

15

7 5 a3

V
30

20

3,5

4
5 5 a3

15
V

12

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan thể tích khối chóp
TÍNH CHẤT
Cho hình chóp SABC với các
mặt phẳng SAB , SBC ,

HÌNH VẼ
A

VÍ DỤ
Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng
SAB , SBC , SAC vuông góc với nhau

S

từng đôi một, diện tích các tam giác SAB,
SBC, SAC lần lượt là 15cm2 ,20cm2 ,18cm2
.Thể tích khối chóp là:

SAC vuông góc với nhau

từng đôi một, diện tích các
tam giác SAB, SBC, SAC lần
lượt là S1 ,S2 ,S3 .
Khi đó VS. ABC

2S1 .S2 .S 3
3

B

C

a 3 20
3
3
a 20
D.
6

A. a3 20

B.

a 3 20
C.
2

VABCD

2S1 .S2 .S3

3
Chọn đáp án A.

a3 20

SƯU TẦM: ĐOÀN CÔNG CHUNG – SĐT: 0888.790.111

5


cedu24h.com
Cho hình chóp S.ABC có SA
vuông góc với ABC , hai

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với
mặt phẳng ABC , hai mặt phẳng SAB

S

mặt phẳng SAB và SBC

và SBC vuông góc với nhau, SB

vuông góc với nhau,
BSC

, ASB

C

A

VS. ABC

BSC 45o , ASB 30o . Thể tích khối chóp
S.ABC là:
3a 3
a3 6
a3 2
a3 3
A.
B.
C.
D.
8
8
6

2
3
3
SB .sin 2 .tan
3a
VS. ABC
12
8
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là
tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a.
Thể tích khối chóp S.ABC là:

.
B

Khi đó:
SB3 .sin 2 .tan
12

Cho hình chóp đều S.ABC có
đáy ABC là tam giác đều
cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
Khi đó: VS. ABC

a2 3b2
12

a2

S

C

A
G

M

B

Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có cạnh đáy bằng a và
mặt bên tạo với mặt phẳng
đáy góc .
a 3 tan
Khi đó: VS. ABC
24
Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có các cạnh bên bằng b
và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc .
Khi đó:
3

VS. ABC

3b .sin cos
4

2

S

C

A
G

a 3,

M

B

a3 2
a3 2
a3 3
B.
C.
D.
12
12
24
3
a 2
a b VSABC
Chọn đáp án B.
12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh

đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng
đáy góc 600. Thể tích khối chóp S.ABC là :
3
a3
a3 3 B. a
a3 3
D.
A.
C.
24
12
48
24
a3 3
A.
24

a3 tan
a3 3
Chọn đáp án C.
24
24
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các
cạnh bên bằng 2 và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc 300 .
Thể tích khối chóp S.ABC là :
3
3 3
3 3
3

D.
A.
B.
C.
4
6
4
24
VSABC

S

C

A
G
B

M

3b3 .sin cos 2
VS. ABC
4
Chọn đáp án A.

3 3
4

SƯU TẦM: ĐOÀN CÔNG CHUNG – SĐT: 0888.790.111

6


cedu24h.com
Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có các cạnh đáy bằng
a, cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc .

S

C

A

a 3 .tan
12

Khi đó: VS. ABC

G

Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a, và
SA SB SC SD b .
Khi đó:

a2 4b2 2a2
6

Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
góc tạo bởi mặt bên và mặt
phẳng đáy là .
a 3 .tan
V
Khi đó: S. ABCD
6
VS. ABC

S

D

, với

C

B

A

Khi đó:

D

M

O
B

C

; .
4 2

D

A
M

O

a

2

tan
6

với

B

1

0;

2

a3 6
a3 2
a3 2
a3 3
A.
B.
C.
D.
6
6
2
3
Chọn đáp án C.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh
đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt
phẳng đáy là 450 . Thể tích khối chóp
S.ABCD là:
a3
a3
a3 3
a3 6
A.
D.
B.
C.
12
6
6
2

đáy bằng a, SAB
S.ABCD là:
C

3

a3 tan
a3 3
VSABC
Chọn đáp án D.
12
36
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và
SA SB SC SD a . Thể tích khối chóp
S.ABCD là:

a3 tan
a3
VSABCD
Chọn đáp án D.
6
6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh

S

Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có các cạnh bên bằng
a, góc tạo bởi mặt bên và mặt

đáy là

M

S

Khi đó:

VS. ABCD

A
O

Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a,

SAB

M

B

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các
cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt
phẳng đáy góc 300 . Thể tích khối chóp
S.ABC là :
a3
a3
a3 3
a3 3

A.
B.
C.
D.
48
24
24
36

S

A

.

D
M

O
B

C

a3 2
A.
12

600 . Thể tích khối chóp

a3 2

B.
6

a3 6
C.
2

D.

a3
6

a3 tan2
1 a3 2
VSABCD
6
6
Chọn đáp án B.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các
cạnh bên bằng 1, góc tạo bởi mặt bên và
mặt đáy là 450 .Thể tích khối chóp S.ABCD
là:
4
4 3
4 3
3
D.
A.
B.
C.

27
7
27
2

SƯU TẦM: ĐOÀN CÔNG CHUNG – SĐT: 0888.790.111

7


cedu24h.com

4a3 .tan

VS. ABCD
3

2

tan

2

VS. ABCD

3

Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có cạnh đáy bằng a.
Gọi P là mặt phẳng đi qua

Chọn đáp án B.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh
đáy bằng a. Gọi P là mặt phẳng đi qua A

S
F
N
A

A song song với BC và vuông
góc với SBC , góc giữa P

4 3
27

E

C

x
G

góc giữa P với mặt phẳng đáy là 300 .

M

Thể tích khối chóp S.ABC là:
a3

a3 3
a3 3
C.
A.
B.
8
24
8

B

với mặt phẳng đáy là .
a3 cot
V
Khi đó: S. ABCD
24

song song với BC và vuông góc với SBC ,

D.

3a 3
8

a3 cot 300 a3 3
Chọn đáp án A
24
24
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt
của hình lập phương cạnh a có thể tích là:

a3
a3
a3 3
a3 3
A.
C.
B.
D.
12
6
4
2
Chọn đáp án C.
VSABC

Khối tám mặt đều có đỉnh là
tâm các mặt của hình lập
phương cạnh a.
a3
Khi đó: V
6

A'
D'

2a3 2
27

O1

C'
O2

O4
A

O3

B
O

D

Cho khối tám mặt đều cạnh
a. Nối tâm của các mặt bên ta
được khối lập phương.
Khi đó: V

B'
O'

C
S

G2
D

A G1
N

M

C

B

S'

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của
các mặt bên ta được khối lập phương có
a3
thể tích bằng V. Tỷ số
gần nhất giá trị
V
nào trong các giá trị sau?
A. 9,5
B. 7,8
C. 15,6
D. 22,6

2a3 2
a3
27
V
Chọn đáp án A.
V

27 2
4

9,5

SƯU TẦM: ĐOÀN CÔNG CHUNG – SĐT: 0888.790.111

8