Nghiên cứu Biểu diễn hoán vị và ứng dụng Phương pháp toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ THU TRANG

BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Lê Thị Thu Trang


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................... 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................... 1
5. Cấu trúc luận văn ................................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC NHÓM ................................................................. 3
1.1. CẤU TRÚC NHÓM ................................................................................... 3
1.1.1. Định nghĩa và tính chất .................................................................... 3
1.1.2. Nhóm con ........................................................................................ 4
1.1.3. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương ................................................. 6
1.1.4. Đồng cấu nhóm................................................................................ 8
1.1.5. Tích trực tiếp ................................................................................. 11
1.2. MỘT SỐ NHÓM ĐẶC BIỆT ................................................................... 11
1.2.1. Nhóm đối xứng .............................................................................. 11
1.2.2. Nhóm dihedral ............................................................................... 12
1.2.3. Nhóm quaternion .......................................................................... 13
CHƯƠNG 2. BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG .............................. 14
2.1. BIỂU DIỄN HOÁN VỊ............................................................................. 14
2.1.1. Định nghĩa biểu diễn hoán vị ......................................................... 14
2.1.2. Bậc của biểu diễn, biểu diễn trung thành........................................ 17
2.1.3. Biểu diễn hoán vị trên các lớp kề ................................................... 17
2.1.4. Đẳng cấu hoán vị ........................................................................... 23
2.1.5. Định lí Frobenius ........................................................................... 28


2.2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIỂU DIỄN HOÁN VỊ .............................. 35
2.2.1. Định lí O.Schreier .......................................................................... 36
2.2.2. Định lí Marshall Hall ..................................................................... 38
2.2.3. Định lí A. I. Mal'cev ...................................................................... 41
KẾT LUẬN .................................................................................................... 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 44
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Để nghiên cứu một nhóm, người ta không khảo sát nó một cách riêng lẻ
mà xét nó trong mối quan hệ với những nhóm khác, thông qua một công cụ,
gọi là đồng cấu nhóm. Một đồng cấu từ nhóm G lên nhóm đối xứng trên một
tập hợp X mở ra một khái niệm, gọi là một biểu diễn hoán vị của G trên X.
Biểu diễn hoán vị là một bộ phận của lý thuyết nhóm và có nhiều ứng dụng
trong lớp các nhóm hữu hạn sinh. Nhằm tìm hiểu biểu diễn hoán vị của một
nhóm cùng các ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ của mình là:
“Biểu diễn hoán vị và ứng dụng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu cấu trúc nhóm, nhóm đối xứng.
 Nghiên cứu biểu diễn hoán vị của một nhóm trên một tập.
 Khảo sát những ứng dụng của biểu diễn hoán vị.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Nhóm đối xứng, nhóm hữu hạn sinh.
 Biểu diễn hoán vị của một nhóm trên một tập.
 Những ứng dụng của biểu diễn hoán vị trong lý thuyết nhóm.
4. Phương pháp nghiên cứu
 Tập hợp, hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan đến nội
dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về nhóm đối xứng, về biểu diễn hoán vị.
 Phân tích, khảo sát các tài liệu thu thập được.
 Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn.
5. Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn gồm hai chương
Chương 1.

CẤU TRÚC NHÓM


2

Chương này trình bày một cách sơ lược các khái niệm, kết quả của lý
thuyết nhóm để làm cơ sở cho chương 2.
Chương 2.

BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chương này là nội dung chính của luận văn trình bày biểu diễn hoán vị
và một số ứng dụng của nó trong lý thuyết nhóm.


3

CHƯƠNG 1
CẤU TRÚC NHÓM
Chương này trình bày sơ lược về cấu trúc nhóm và một số nhóm đặc
biệt để làm cơ sở cho chương sau, các chi tiết liên quan có thể xem trong các
tài liệu về lý thuyết nhóm.
1.1. CẤU TRÚC NHÓM
1.1.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.1
Một nhóm là một cặp (G, ), trong đó G là một tập hợp (không rỗng)
và  là một phép toán hai ngôi trên G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

(i) Phép toán  có tính kết hợp nghĩa là
(x  y)  z = x  (y  z), với mọi x, y, z  G.
(ii) Có một phần tử kí hiệu e  G, gọi là phần tử trung lập, có tính chất
x  e = e  x = x, với mọi x  G.
(iii) Với mỗi x  G, có một phần tử x'  G, được gọi là phần tử đối
xứng của x, sao cho
x  x' = x'  x = e.
Nếu phép toán hai ngôi  đã rõ và không sợ nhầm lẫn gì, người ta còn
nói G là một nhóm.
Khi phép toán hai ngôi được kí hiệu bởi . , hợp thành của cặp phần tử

( x, y)  G  G được kí hiệu là x.y hay đơn giản xy và được gọi là tích của x
và y. Phần tử trung lập của nhóm được gọi là phần tử đơn vị, kí hiệu 1. Phần
tử đối xứng được gọi là phần tử nghịch đảo của x và được kí hiệu là x 1 .


4

Định nghĩa 1.2
Cấp của một nhóm G, kí hiệu bởi G , là số phần tử của G nếu G có
hữu hạn phần tử, và bằng  nếu G có vô hạn phần tử.
Định nghĩa 1.3
Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu hạn.
Định nghĩa 1.4
Nhóm (G, ) được gọi là giao hoán (hay abel) nếu
x  y = y  x, với mọi x, y  G.
Mệnh đề 1.1 [4]
Giả sử (G, ) là một nhóm. Khi đó:
(i) Phần tử trung lập của G là duy nhất.
(ii) Với mọi x  G, phần tử đối xứng của x là duy nhất.

Mệnh đề 1.2 (Luật giản ước) [4]
Giả sử G là một nhóm (với phép hợp thành viết theo lối nhân). Khi đó,
với mọi a, b, c  G thì ac = bc, kéo theo a = b và ca = cb kéo theo a = b.
Định lí 1.1 [7]
Trong một nhóm ta có:

( xy)1  y 1x 1 , với x, y là hai phần tử bất

kì của nhóm.
1.1.2. Nhóm con
Định nghĩa 1.5
Giả sử G là một nhóm. Một tập con không rỗng S  G được gọi là
một nhóm con của G nếu S khép kín đối với luật hợp thành trong G (tức là

xy  S với mọi x, y  S) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G
(tức là x 1 S với mọi x  S).
Ta kí hiệu S  G để chỉ S là một nhóm con của G.


5

Đối với một nhóm G bất kì, {1} và G là hai nhóm con của G. Người
ta gọi chúng là các nhóm con tầm thường của G. Các nhóm con khác (nếu có)
được gọi là các nhóm con thực sự (hay không tầm thường) của G.
Mệnh đề 1.3 [7]
Giả sử S là một tập con khác rỗng của một nhóm G. Các điều kiện
sau đây là tương đương:
(i) S là một nhóm con của G
(ii) Với mọi x, y  S thì xy 1  S
Định lí 1.2 [7]

Giao của một họ bất kì những nhóm con của một nhóm G là một nhóm
con của G.
Định nghĩa 1.6
Cho G là một nhóm và S là một tập con khác rỗng của G. Ta gọi
nhóm con của G sinh bởi tập S là giao của tất cả các nhóm con của G có
chứa S, kí hiệu S .
Nhóm con S là nhóm con nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) của G
mà chứa S. Trong trường hợp S  G , ta nói rằng S là một tập sinh của G
hay G được sinh ra bởi S.
Nếu

S

có hữu hạn phần tử S  {s1, s2 , s3 , ..., sn} ta kí hiệu

s1, s2 , s3 , ..., sn thay cho {s1, s2 , s3 , ..., sn } .
Định nghĩa 1.7
Một nhóm được sinh bởi một tập hữu hạn được gọi là nhóm hữu hạn
sinh.
Mệnh đề 1.4 [8]
Giả sử G là một nhóm được sinh bởi một tập hữu hạn S. Khi đó,

g  G tồn tại các phần tử s1, s2 , s3 , ..., sn  S và các số nguyên 1, ...,  n ,


6

 i  1, sao cho
g  s11 ... sn n
Định nghĩa 1.8

Một nhóm G được gọi là cyclic nếu và chỉ nếu G được sinh bởi chỉ
một phần tử a  G. Phần tử a gọi là một phần tử sinh của nhóm cyclic G.
Khi đó ta nói rằng G là nhóm cyclic sinh bởi phần tử a và kí hiệu G  a .
Mệnh đề 1.5 [8]
Cho G là nhóm cyclic cấp m sinh bởi phần tử a thì G  {a0 , a1,..., a m1} .
Mệnh đề 1.6 [4]
(i) Nhóm cyclic là nhóm giao hoán.
(ii) Mọi nhóm con của một nhóm cyclic cũng là cyclic.
Định nghĩa 1.9
Giả sử G là một nhóm với phần tử trung lập là e và a  G. Nếu

a m  e với mọi số nguyên dương m, thì ta nói phần tử a có cấp vô hạn. Nếu
trái lại, thì số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho a m  e được gọi là cấp của
a. Cấp của phần tử a được kí hiệu là ord(a).
Theo định nghĩa ta có x  G, ord(x) = 1  x = e.
Mệnh đề 1.7 [4]
Hai phần tử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùng cấp.
Cấp của một nhóm cyclic bằng cấp của phần tử sinh của nó.
1.1.3. Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương
Định nghĩa 1.10
Giả sử S là một nhóm con của nhóm G. Với mỗi a  G, các tập hợp
aS = {as | s  S}
Sa = {sa | s  S}
được gọi tương ứng là lớp kề trái và lớp kề phải của S bởi phần tử a.


7

Mệnh đề 1.8 [4]
Hai lớp kề trái của S hoặc trùng nhau hoặc không có phần tử

nào chung (các lớp kề phải cũng vậy). Như thế, nhóm G được phân hoạch
thành hợp rời của các lớp kề trái (tương ứng các lớp kề phải).
Định lí 1.3 (Định lí Lagrănggiơ) [7]
Cấp của một nhóm G hữu hạn là bội của cấp của mọi nhóm con của
nó.
Định nghĩa 1.11
Giả sử S là một nhóm con của nhóm G. Tập tất cả các lớp kề trái của
S trong G được gọi là tập thương của nhóm G trên nhóm con S, kí hiệu G / S .
Lực lượng của tập G / S được gọi là chỉ số của nhóm con S trong
nhóm G, và được kí hiệu là G : S  .
Định nghĩa 1.12
Một nhóm con S của một nhóm G gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu

x 1ax  S , với mọi a  S và x  G, và kí hiệu S

G.

Rõ ràng, {1} và G là hai nhóm con chuẩn tắc của G, gọi là các nhóm
con chuẩn tắc tầm thường của G.
Mệnh đề 1.9 [7]
Giả sử S là một nhóm con của một nhóm G. Khi đó

S

G

Do định lí trên, nếu S



gS  Sg , g  G

G , ta gọi lớp kề thay cho lớp kề trái, lớp kề

phải.
Mệnh đề 1.10 [8]
Giả sử G là một nhóm. Ta kí hiệu

Z (G)  {a  G | ax  xa, x  G}
Khi đó Z(G) là một nhóm con chuẩn tắc của G, gọi là nhóm con tâm của G.


8

Mệnh đề 1.11 [7]
Nếu K là một nhóm con chuẩn tắc của G thì
(i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xK, yK) với lớp trái xyK, là một ánh
xạ từ G / K  G / K đến G / K
(ii) G / K cùng với phép toán hai ngôi

( xK , yK )

xyK

là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên K.
1.1.4. Đồng cấu nhóm
Định nghĩa 1.13
Giả sử G và H là các nhóm (với phép toán hai ngôi viết theo lối
nhân). Một ánh xạ  : G  H được gọi là một đồng cấu nhóm nếu

 ( xy)   ( x) ( y) , với mọi x, y  G.
Ví dụ 1.1
Giả sử G và H là hai nhóm tùy ý, ánh xạ

GH
x

1H , x  G

với 1H là phần tử đơn vị của nhóm H, là một đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm
thường.
Mệnh đề 1.12 [4]
Giả sử : G  H là một đồng cấu nhóm. Khi đó
(i)  chuyển đơn vị của G thành đơn vị của H, tức là  (1G )  1H .
(ii)  chuyển nghịch đảo của phần tử x  G thành nghịch đảo của
phần tử (x)  H, tức là  ( x 1 )   ( x)1 .
Định nghĩa 1.14
Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh (tương ứng toàn ánh,
song ánh) được gọi là một đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nhóm.


9

Nếu có một đẳng cấu nhóm  : G  H thì ta nói G đẳng cấu với H
và viết G  H.
Một đồng cấu từ nhóm G vào chính nó được gọi là tự đồng cấu của
nhóm G.
Một tự đồng cấu đồng thời là một toàn ánh được gọi là một tự toàn cấu.
Một tự đồng cấu đồng thời là một song ánh được gọi là một tự đẳng
cấu.

Ví dụ 1.2
Giả sử K là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G. Ánh xạ

 :G  G / K
x  ( x)  xK
là một toàn cấu từ nhóm G đến nhóm thương G / K . Thật vậy,  ( xy)  xyK

 ( xK ).( yK )   ( x). ( y) . Toàn cấu này còn gọi là toàn cấu chính tắc.
Định nghĩa 1.15
Giả sử  : G  H là một đồng cấu từ nhóm G đến nhóm H, các
phần tử đơn vị của G và H được kí hiệu theo thứ tự là 1G và 1H . Ta kí hiệu

Ker : {x  G |  ( x)  1H }   1 (1H )
Im : { ( x) | x  G}   (G)
và gọi Ker là hạt nhân của đồng cấu  và Im là ảnh của đồng cấu .
Mệnh đề 1.13 [7]
Nếu  : G  H là một đồng cấu nhóm thì Ker là nhóm con chuẩn
tắc của G và Im là nhóm con của H.
Mệnh đề 1.14 [4]
Đồng cấu nhóm : G  H là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im = H.
Nó là một đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker   {1G } , trong đó 1G là đơn vị của G.


10

Định lí 1.4 [8]
Cho  : G  K là một toàn cấu. Giả sử S là môt nhóm con của K có
chỉ số n < , H là nghịch ảnh của S. Khi đó, H có chỉ số n trong G.
Định lí 1.5 [7]
Giả sử G, H, K là những nhóm và  : G  H và  : H  K là các

đồng cấu nhóm. Thế thì ánh xạ tích  : G  K cũng là một đồng cấu nhóm.
Đặc biệt, tích của hai đẳng cấu là một đẳng cấu.
Định lí 1.6 [7]
Giả sử : G  H là một đồng cấu từ một nhóm G đến một nhóm H,

 : G  G / Ker là toàn cấu chính tắc từ nhóm G đến nhóm thương của G
trên hạt nhân của . Thế thì:
(i) Có một đồng cấu duy nhất  : G / Ker  H sao cho tam giác sau


G

H





G/Ker
là giao hoán, tức là     .
(ii) Đồng cấu  là một đơn cấu và Im   (G) .
Hệ quả 1.1 [7]
Với mọi đồng cấu : G  H từ một nhóm G đến một nhóm H, ta có

 (G)  G / Ker


11

1.1.5. Tích trực tiếp

Mệnh đề 1.15 [4]
Giả sử A và B là các nhóm (với luật hợp thành viết theo lối nhân). Trên
tập hợp tích

G  A  B  (a, b) : a  A, b  B
ta định nghĩa một luật hợp thành như sau

(a1, b1 ) (a2 , b2 )  (a1a2 , b1b2 ) .
Khi đó G cùng với phép toán đó lập nên một nhóm có phần tử đơn vị là

e  (eA , eB ) và phần tử nghịch đảo của (a, b) là (a, b)1  (a 1, b1 ) .
Định nghĩa 1.16
Nhóm G  A  B xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của hai
nhóm A và B.
1.2. MỘT SỐ NHÓM ĐẶC BIỆT
1.2.1. Nhóm đối xứng
Mệnh đề 1.16 [4]
Giả sử X là một tập hợp bất kì, S ( X ) là tập hợp gồm tất cả các song
ánh X  X . Khi đó tập S ( X ) cùng với phép toán hai ngôi

 ,   S ( X ),      ( x)  , x  X
lập thành một nhóm.
Phần tử đơn vị của S ( X ) là ánh xạ đồng nhất trên X. Phần tử nghịch
đảo của   S ( X ) là ánh xạ ngược  1 .
Định nghĩa 1.17
Nhóm S ( X ) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp X. Mỗi nhóm
con của S ( X ) được gọi là nhóm các phép thế trên X.
Một phần tử   S ( X ) được gọi là một phép thế.

12

Trường hợp đặc biệt, nếu X = {1, 2, ..., n} thì nhóm đối xứng S ( X )
được kí hiệu đơn giản là S n được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử.
Mệnh đề 1.17 [4]

S n  n!
1.2.2. Nhóm dihedral
Định nghĩa 1.18 [4]
Xét đa giác đều n cạnh Pn với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng
xung quanh tâm của Pn một góc (có hướng) bằng

2
, còn b là phép đối
n

xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của Pn và một đỉnh của nó. Khi đó, tất
cả các phép đối xứng của Pn (tức là các biến đổi đẳng cự của mặt phẳng biến

Pn thành chính nó) được liệt kê như sau:

e, a, a 2 , ..., a n1, b, ab, ..., a n1b
Chúng lập thành một nhóm với phép toán hợp thành (hay là tích) của 2 phép
đối xứng, kí hiệu Dn , và được gọi là nhóm dihedral cấp 2n. Nhóm Dn còn
được biểu thị như sau

Dn  a, b | a n  e, b2  e, (ab)2  e
Ví dụ 1.3 [8]
Nhóm dihedral D4 bậc 8, khi đó đa giác đều mà ta xét là hình vuông.
Các phần tử của D4 là e, a, a2 , a3 , b, ab, a2b, a3b.

Bảng nhân của nhóm này là


13

e

a

a2

a3

b

ab

a2b

a3b

e

e

a

a2

a3

b

ab

a2b

a3b

a

a

a2

a3

e

a3b

b

ab

a2b

a2

a2

a3

e

a

a2b

a3b

b

ab

a3

a3

e

a

a2

ab

a2b

a3b

b

b

b

ab

a2 b

a3b

e

a

a2

a3

ab

ab

a2b

a3 b

b

a3

e

a

a2

a2b

a2b

a3b

b

ab

a2

a3

e

a

a3b

a3b

b

ab

a2b

a

a2

a3

e

1.2.3. Nhóm quaternion [8]
Ta gọi nhóm quaternion Q8 là nhóm được sinh bởi 2 phần tử và 3 quan

Q8 

hệ cơ bản như sau:

a, b | a 4  e, a 2  b2 , aba  b

Các quan hệ này chỉ ra rằng mỗi phần tử của Q8 đều là một trong 8
phần tử của tập sau đây

 a b : 0  s  3, 0  t  1 
s t

Bảng nhân của nhóm quaternion Q8 là
1

a

a2

a3

b

ab

a2b

a3b

1

1

a

a2

a3

b

ab

a2b

a3b

a

a

a2

a3

1

ab

a2b

a3b

b

a2

a2

a3

1

a

a2b

a3b

b

ab

a3

a3

1

a

a2

a3b

b

ab

a2b

b

b

a3b

a2 b

ab

a2

a

1

a3

ab

ab

b

a3 b

a2b

a3

a2

a

1

a2b

a2b

ab

b

a3b

1

a3

a2

a

a3b

a3b

a2b

ab

b

a

1

a3

a2


14

CHƯƠNG 2
BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG
Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày biểu diễn hoán
vị và một số ứng dụng của nó.
2.1. BIỂU DIỄN HOÁN VỊ
2.1.1. Định nghĩa biểu diễn hoán vị
Định nghĩa 2.1
Một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm đối xứng trên tập hợp X được gọi
là một biểu diễn hoán vị của G trên tập X, tức là một ánh xạ  từ nhóm G
vào nhóm đối xứng S(X), thỏa mãn

g , h  G,  ( gh)   ( g ) (h)
và khi đó ánh xạ  được gọi là một biểu diễn hoán vị của G trên X.
Ví dụ 2.1
(i) Cho một nhóm G và một tập X bất kỳ. Đồng cấu tầm thường

G  S ( X ) , với g

1X , g  G , xác định một biểu diễn hoán vị của G trên

tập X. Biểu diễn này được gọi là biểu diễn tầm thường.
(ii) Cho G là một nhóm và g  G . Xét ánh xạ  g : G  G , với

 g ( x)  xg , x  G . Dễ dàng kiểm chứng được  g là một song ánh từ G đến
G. Xét ánh xạ  : G  S (G)

g

 ( g )  g

 g, h  G,  x  G, ta có:

 ( gh)( x)  x( gh)  ( xg )h   (h)( xg )   (h)   ( g )( x)    ( g )  (h)( x)
Suy ra

 ( gh)   ( g )  (h)

Vậy,  là một đồng cấu nhóm, do đó xác định một biểu diễn hoán vị của G


15

trên chính G, và được gọi là biểu diễn chính quy phải (right-regular
representation).
(iii) Cho G là nhóm đối xứng S3 trên tập 3 phần tử X = {1, 2, 3} để xác
định các phần tử của nhóm này thì theo định nghĩa nhóm đối xứng, ta phải

xác định các song ánh từ tập X  X, đó chính là các phép thế sau:

1 2 3 
p1  

1 2 3 

1 2 3 
p2  

1 3 2 

 1 2 3
p3  

 2 3 1

 1 2 3
p4  

 2 1 3

 1 2 3
p5  

3 2 1

1 2 3
p6  


3 1 2

Xét ánh xạ  được xác định như sau:

 p1
 p1

p2

p3

p4

p5

p2

p3

p4

p5

 p1
 p2

p2

p3

p4

p5

p1

p5

p6

p3

 p1
 p3

p2

p3

p4

p5

p4

p6

p5

p2

 p1
 p4

p2

p3

p4

p5

p3

p2

p1

p6

 p1
 p5

p2

p3

p4

p5

p6

p4

p3

p1

 p1
 p6

p2

p3

p4

p5

p5

p1

p2

p4

 ( p1 )  

 ( p2 )  
 ( p3 )  

 ( p4 )  

 ( p5 )  

 ( p6 )  

p6 
p6 
p6 
p4 
p6 
p1 
p6 
p5 
p6 
p2 
p6 
p3 

Ta kiểm tra được rằng   pi    p j     pi p j  với mọi i  1,6, j 1,6 .
Do đó,  là một đồng cấu từ nhóm G đến nhóm đối xứng S(G). Vậy,  là
một biểu diễn hoán vị của G trên tập G. Hơn nữa,  còn là một đơn cấu.


16

(iv) Cho G  S3 , xét đồng cấu 1S3 : S3  S3

pi

pi , i  1,6

Đây là biểu diễn hoán vị của G trên tập X = {1, 2, 3}.
(v) Cho G  a là nhóm cyclic cấp 2 sinh bởi phần tử a, và   S ( ) ,

:


2k

2k  1

2k  1
2k ,

k 

Xét ánh xạ  : G  S ( )
a 
1  ,  là song ánh đồng nhất trên
Dễ dàng kiểm tra được  là một đơn cấu nhóm, và  (G)  { ,  } . Vậy ta có
một biểu diễn hoán vị của nhóm cyclic cấp 2 trên tập

các số nguyên.

(vi) Giả sử n là một số nguyên dương và G là nhóm cyclic cấp n,

G  1, a, a 2 , ..., a n1
Cho  là phép thế của tập  các số nguyên xác định bởi

 : jn  jn + 1, jn +1  jn + 2, ..., jn + (n  1)  jn, (j = 0, 1, ...)
Đặc biệt, ta có

(0) = 1, (1) = 2, ..., (n 1) = 0.
Chú ý rằng phép thế  hoán vị tuần hoàn với các khối n số nguyên liên
tiếp.
Ta có:

 2 (0)  2,  3 (0)  3, ...,  n1(0)  n  1.

Điều này cho ta thấy các phép thế  ,  ,  2 , ...,  n1 ( là song ánh đồng nhất
trên ) là phân biệt nhau từng đôi một, vì các tác động của chúng lên phần tử
0 là khác nhau.

j  ,  n ( j )  j . Vì thế,  n   , và  ,  ,  2 , ...,  n1 là nhóm cyclic


17

cấp n. Hơn nữa ta có, ánh xạ

 : G  S( )
ak

 k , k  0, n  1

là một đơn cấu và  (G)   /  n   .

Vậy,  là một biểu diễn hoán vị của nhóm cyclic G cấp n trên tập các số
nguyên .
2.1.2. Bậc của biểu diễn, biểu diễn trung thành
Định nghĩa 2.2
Ta gọi bậc của một biểu diễn hoán vị trên một tập X là số phần tử của
tập X.
Ví dụ 2.2
Trong ví dụ 2.1, ví dụ (iii) là một biểu diễn hoán vị bậc 6, ví dụ (iv) là
một biểu diễn hoán vị bậc 3. Ta để ý rằng đây là 2 biểu diễn hoán vị của cùng
một nhóm đối xứng S3 và hai biểu diễn này có bậc khác nhau. Ở ví dụ (v) và
(vi) ta có biểu diễn hoán vị của nhóm cyclic vào tập vô hạn , đây là những
biểu diễn hoán vị của một nhóm hữu hạn mà có bậc vô hạn.
Định nghĩa 2.3
Một biểu diễn hoán vị của một nhóm G trên tập X,  : G  S(X) được
gọi là biểu diễn trung thành nếu  là một đơn cấu.
Ví dụ 2.3
Trong ví dụ 2.1, biểu diễn tầm thường là biểu diễn không trung thành,
còn các biểu diễn trong các ví dụ từ (ii) đến (vi) đều là biểu diễn trung thành.
2.1.3. Biểu diễn hoán vị trên các lớp kề
Giả sử G là một nhóm và H là nhóm con của G. Khi đó các lớp kề
phải của H trong G là


18

Hx1, Hx2 , ...
Trong mỗi lớp kề Hg, ta chọn ra một phần tử đại diện cho lớp kề đó,
với 1 là đại diện của H. Tập tất cả các phần tử đại diện của các lớp kề phải
của H được gọi là một hệ đại biểu phải (right transversal) của H trong G.
Giả sử X là một hệ đại biểu phải của H trong G. Ta ký hiệu phần tử

đại diện của lớp kề Hg là g , như vậy g  X .
Ta lưu ý rằng hai lớp kề phải hoặc là trùng nhau hoặc là rời nhau. Do
đó

Hg  H g

vì

g  Hg .

Và

nếu

h H

thì

hg  g

vì

Hg  H g  Hhg  H hg .
Ví dụ 2.4
Xét G là nhóm cyclic cấp 4 sinh bởi phần tử a, nghĩa là

G  {1, a, a 2 , a3} và H = {1, a2} là nhóm con cấp 2 của G thì {1, a} là một
hệ đại biểu phải của H trong G. Khi đó ta có

1  1, a  a, a 2  1, a3  a.

Bổ đề 2.1
Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G, X là một hệ đại biểu
phải của H trong G. Khi đó

 g1, g2  G, g1g2  g1g 2

(2.1)

Chứng minh

g1 g 2 là đại diện của lớp Hg1 g 2
g1 g 2 là đại diện của lớp H g1 g 2
Theo lưu ý trên ta có Hg1  H g1 và H g1g2  H g1g 2  Hg1g 2  H g1g 2 . Do đó

g1 g2  g1g2 , g1, g2  G
Bổ đề đã được chứng minh.




19

Mệnh đề 2.1
Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G, X là một hệ đại biểu
phải của H trong G. Với mỗi phần tử bất kì g  G, xét ánh xạ

g : X  X
x

xg , x  X

(2.2)

Khi đó,  g là một phép thế của X.
Chứng minh
Ta chứng minh  g là đơn ánh. Giả sử  g ( x)   g ( y) ( x, y  X ) . Theo
định nghĩa ánh xạ  g ở trên ta có xg  yg , do đó xgg 1  ygg 1 . Sử dụng
(2.1), ta có

xgg 1  xgg 1  x  x
Tương tự, ta có

ygg 1  ygg 1  y  y
Như vậy, x = y. Vậy  g là một đơn ánh.
Ta cần chứng minh  g là một toàn ánh. Giả sử x  X thì xg 1  X và

 

 g xg 1  xg 1 g  xg 1 g  x . Do đó mọi phần tử của X đều là ảnh của một
phần tử của X. Vậy  g là một toàn ánh, do đó  g là một phép thế của tập X.
Mệnh đề đã được chứng minh.



Mệnh đề 2.2
Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G, X là một hệ đại biểu
phải của H trong G. Với mỗi phần tử bất kì g  G,  g là phép thế của X và
được xác định như (2.2). Khi đó ánh xạ

 : G  S ( X ) , với g

Chứng minh

 g , là một biểu diễn hoán vị của G trên X.


20

Ta chứng minh  là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm đối xứng trên
tập

X,

tức

là

ta

phải

chứng

minh

rằng

nếu g1, g2  G thì

 ( g1g2 )   ( g1 ) ( g2 ) . Nếu x  X, theo định nghĩa của ánh xạ , ta có:

 ( g1g2 )( x)  x( g1g2 ) ,
theo (2.1) ta lại có:

 

x( g1g2 )  xg1g2   ( g2 ) xg1   ( g2 )  ( g1 )( x)    ( g1 ) ( g 2 )  ( x)
Do đó,  ( g1g2 )   ( g1 ) ( g2 ) tức là  là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm


đối xứng trên tập X. Mệnh đề đã được chứng minh.
Định nghĩa 2.4

Ánh xạ  được xác định trong mệnh đề 2.2 được gọi là biểu diễn lớp
kề của G ứng với nhóm con H.
Với cách xây dựng như trên ta thấy rằng  phụ thuộc vào nhóm G,
nhóm con H và hệ đại biểu phải X.
Ví dụ 2.5
Xét nhóm dihedral D4  {1, a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7} được miêu tả
trong bảng nhân sau:
1

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

1

1

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a1

a1

a2

a3

1

a7

a4

a5

a6

a2

a2

a3

1

a1

a6

a7

a4

a5

a3

a3

1

a1

a2

a5

a6

a7

a4

a4

a4

a5

a6

a7

1

a1

a2

a3

a5

a5

a6

a7

a4

a3

1

a1

a2

a6

a6

a7

a4

a5

a2

a3

1

a1

a7

a7

a4

a5

a6

a1

a2

a3

1

21

Từ bảng toán ở trên ta dễ dàng xác định được tâm của nhóm D4 là

Z ( D4 )  Z  {1, a2} và các lớp kề phải của Z trong nhóm D4 là Z,
Za1  {a1, a3} , Za4  {a4 , a6}, Za5  {a5 , a7 }. Do đó, một hệ đại biểu phải
của Z trong D4 là

X  {1, a1, a4 , a5} .
Để xác định ánh xạ  : D4  S ( X ) , ta cần tìm ảnh của các phần tử của

 

D4 . Hiển nhiên,  1D4  1X . Với a1  D4 , ta có

 (a1 )   a : X  X
1

1

1a1  a1  a 1

a1

a1a1  a2  1

a4

a4 a1  a7  a5

a5

a5a1  a4  a4

Như vậy, ta có phép thế  (a1 ) như sau

 1 a1 a4
 a1 1 a5
Tương tự như trên, ta có các phép thế khác là

 (a1 )  

1 a1 a4
1 a1 a4

a5 
a5 

 (a2 )  

1
 a4

 (a4 )  

1
 a4

 (a6 )  

a1

a4

a5

1

a1

a4

a5

1

a5 
a4 
 1 a1 a4
 a1 1 a5

 (a3 )  

a5 
a1 

 (a5 )  

1
 a5

a5 
a1 

 (a7 )  

1
 a5

a1

a4

a4

a1

a1

a4

a4

a1

a5 
a4 
a5 
1 
a5 

1 

Với cách xây dựng như trên, theo (mệnh đề 2.2) thì ánh xạ  là một
đồng cấu từ nhóm D4 vào nhóm đối xứng trên tập {1, a1, a4, a5}, do đó đồng