Một số dạng bài toán đếm ở phổ thông và phương pháp giải mới nhất 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ĐẾM Ở PHỔ THÔNG
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan
Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến.
Mọi tài liệu dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung
thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố.
Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.
Tác giả luận văn

Lê Thị Hường


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài.................................................................................... 1
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . ...................................................... 2
3. Mục đích nghiên cứu ............................................................................ 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 2
5. Giả thiết khoa học ................................................................................. 3
6. Phương pháp nghiên cứu. ..................................................................... 3
7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn đề tài .................................................... 3
8. Cấu trúc luận văn …… ......................................................................... 3
CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP ................................................... 4
1.1. TẬP HỢP. .................................................................................................. 4
1.1.1.Các khái niệm cơ bản ..................................................................... 4
1.1.2. Các phép toán tập hợp .................................................................... 5
1.1.3. Tích Đề-các .................................................................................... 6
1.2. QUAN HỆ .................................................................................................. 6
1.2.1. Định nghĩa ...................................................................................... 6
1.2.2. Quan hệ tương đương và phân hoạch ............................................ 7
1.2.3. Quan hệ thứ tự ................................................................................ 8
1.3. ÁNH XẠ .................................................................................................. 10
1.3.1. Định nghĩa .................................................................................... 10
1.3.2. Các phép toán ánh xạ ................................................................... 12
1.4. HỆ SỐ NHỊ THỨC .................................................................................. 15
1.5. HAI NGUYÊN LÍ ĐẾM CƠ BẢN .......................................................... 15
1.5.1. Nguyên lý cộng ............................................................................ 15
1.5.2. Nguyên lý nhân ............................................................................ 17

CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO ........................ 19
2.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG SONG ÁNH ......................................... 19
2.1.1. Quy tắc cộng ................................................................................. 19
2.1.2. Quy tắc nhân ................................................................................. 19
2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG HÀM SINH .......................................... 20
2.2.1 Giới thiệu về hàm sinh và các phép toán trên hàm sinh ............... 20
2.2.2 Đếm bằng hàm sinh thường và đếm bằng hàm sinh mũ ................ 24
2.3. PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ ...................... 33
2.4. PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG TRUY HỒI .......................................... 34
CHƯƠNG 3 : ỨNG DỤNG .......................................................................... 36
3.1. ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ .............................................................. 36
3.1.1. Bài toán xếp chỗ trên hàng ngang có điều kiện ............................ 36
3.1.2. Bài toán xếp chỗ trên vòng tròn có điều kiện ............................... 45
3.1.3.Bài toán đếm cách phân phối ......................................................... 50
3.1.4.Bài toán đếm hoán vị bất hoà (tính số mất thứ tự) ........................ 54
3.2. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC ....................................................... 57
3.2.1.Bài toán tô màu .............................................................................. 57
3.2.2. Bài toán đếm số đường đi trên mặt phẳng .................................... 61
3.3 ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC .............................................................. 63
3.3.1. Bài toán đếm số ............................................................................. 63
3.3.2. Bài toán chia kẹo của Euler. ......................................................... 71
3.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC ............................................................... 76
KẾT LUẬN .................................................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 84
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
VMO

– Thi HSG Quốc gia và Quốc tế

IMO

– Olympic Toán học Quốc tế


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của Toán học rời rạc chuyên
nghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp, nó được hình thành như
một nghành toán học mới vào khoảng thế kỉ 17 bằng một loạt các công trình
nghiên cứu nghiêm túc của các nhà Toán học xuất sắc như Pascal, Fermat,
Leibnitz, Euler.... Thông thường các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố
chúng phải thỏa mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu cầu của
bài Toán cần nghiên cứu. Mỗi cách phân bố như vậy gọi là một cấu hình tổ
hợp. Với các cấu hình tổ hợp thường có các dạng bài toán tồn tại, bài toán
đếm, bài toán liệt kê, bài toán tối ưu. Để trả lời cho những câu hỏi: Có bao
nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đang xét? Chứng minh sự tồn tại hoặc
không tồn tại của một cấu hình tổ hợp nào đó...
Bài toán đếm là một trong những bài toán lý thú của tổ hợp, đồng thời nó
cũng là một minh chứng rõ ràng cho việc ứng dụng của môn Toán đối với
thực tiễn cuộc sống (như các bài về số cách sắp xếp đối tượng trên hàng
ngang hay vòng tròn, đếm số đường đi...). Song chúng lại không đòi hỏi
người giải nhiều về vốn kiến thức và kỹ năng tính toán, chúng chủ yếu đòi hỏi
sự chặt chẽ trong việc xét các khả năng, sự sáng tạo trong việc đưa ra một mô
hình cụ thể, sự linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp và sự khéo léo

trong việc gỡ rối các tình huống, vấn đề... bởi không phải trong trường hợp
nào áp dụng trực tiếp các quy tắc đếm cơ bản và các đối tượng tổ hợp cũng
đem lại kết quả mong muốn. Với những bài toán như vậy cần những phương
pháp nâng cao hơn như phương pháp sử dụng ánh xạ, nguyên lý bù trừ,
phương pháp phân hoạch tập hợp, phương pháp quỹ đạo, đa thức quân xe,
phương pháp thiết lập hệ truy hồi, phương pháp thêm bớt, phương pháp quan
hệ đệ quy, sử dụng số phức, phương pháp hàm sinh...


2

Với mong muốn tìm hiểu và hệ thống hóa một số dạng toán xoay quanh
bài toán đếm mà không đi sâu vào lí thuyết của vấn đề này, nhằm cung cấp
một tài liệu nhỏ về bài toán tổ hợp cho học sinh phổ thông. Qua đó, phục vụ
công tác giảng dạy sau này. Chính vì lí do trên tôi chọn đề tài “Một số dạng
bài toán đếm ở phổ thông và phương pháp giải”.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Một số nguyên lý: Nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý bù trừ,
công thức truy hồi.
Phương pháp đếm: sử dụng ánh xạ, sử dụng hàm sinh, truy hồi, nguyên
lý bù trừ, đa thức quân xe.
2.2. Phạm vi nghiên cứu
Một số cấu hình tổ hợp thuộc chuyên nghành phương pháp Toán sơ cấp
và đặc biệt ứng dụng trong chương trình toán phổ thông và toán học dành cho
học sinh giỏi các đội tuyển Olympic.
3. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống và phân loại một số dạng bài toán đếm theo từng phương
pháp giải
- Chọn lọc, giới thiệu, tìm kiếm những ứng dụng của một số nguyên lý

đếm và phương pháp đếm gần gũi trong chương trình toán phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số phương pháp giải bài toán đếm trong lí thuyết tổ
hợp dựa trên phương pháp xây dựng ánh xạ, sử dụng hàm sinh, công thức
truy hồi, nguyên lý bù trừ, đa thức quân xe.
- Thực hành trên một số bài toán cụ thể trong chương trình toán phổ
thông, các đề thi đại học, thi học sinh giỏi toàn quốc, olympic.


3

5. Giả thiết khoa học
Việc khai thác các dạng bài toán đếm theo từng phương pháp giải sẽ tạo
cho học sinh biết nhận thức vấn đề, lựa chọn phương pháp phù hợp với từng
dạng bài toán cụ thể. Từ bài toán đếm đơn giản đến bài toán trong các kỳ thi
Olympic.
6. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tư liệu: Tạp chí toán học tuổi trẻ, các đề tài nghiên cứu có
liên quan.
- Tiếp cận lịch sử: sưu tầm, phân tích và tổng hợp tư liệu.
- Tiếp cận hệ thống.
- Thực nghiệm sư phạm ở trường phổ thông.
7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn đề tài
- Hệ thống và phân loại một số dạng của bài toán đếm và phương pháp
giải quyết một số dạng bài toán khó ở phổ thông, góp phần cho học sinh và
giáo viên tiếp cận nhận dạng bài toán nhanh chóng cùng phương pháp giải
hợp lí.
- Đề tài trình bày logic, khoa học, rõ ràng và dễ hiểu.
8. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận văn gồm
có các chương như sau :
CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP
CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG


4

CHƯƠNG 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP
1.1. TẬP HỢP
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
• Định nghĩa
Khái niệm tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Tập hợp được
coi là kết hợp các đối tượng có cùng bản chất (thuộc tính, dấu hiệu) chung
nào đó.
Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, C, …Các
phần tử của tập hợp kí hiệu bằng các chữ cái thường a, b, c,…
Phần tử a thuộc tập hợp A, ta kí hiệu a  A
Phần tử a không thuộc tập hợp A, ta kí hiệu a  A.
Một tập hợp có thể có một phần tử, hai phần tử,…, có vô số phần tử
cũng có thể không có phần tử nào. Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập
rỗng, và kí hiệu Ø.
• Biểu diễn tập hợp
- Liệt kê các phần tử
B = {1; 2; 3; 4;…}
A = {9; 10; 11; 12; 13}
- Chỉ ra tính chất đặc trưng
B = { x / x  N*}

A = { n  N/ 8< n < 14}
• Lực lượng tập hợp
Số phần tử của A, kí hiệu là |A| hoặc card(A), gọi là lực lượng của tập A.
- Nếu |A| <  thì A là tập hữu hạn
- Nếu |A| >  thì A là tập vô hạn.


5

• Quan hệ bao hàm
Cho hai tập A, B
Nếu mỗi phần tử thuộc A cũng thuộc B ta nói A là tập con của B ( hoặc
A bao hàm trong B) và kí hiệu A  B.
A không phải là tập con của B, kí hiệu: A  B.
Nếu A  B và B  A ,ta nói A bằng B, và kí hiệu: A = B.
Tập tất cả tập con của A, kí hiệu D(A)
1.1.2. Phép toán tập hợp
• Phép hiệu. Hiệu của A và B, kí hiệu A\B là tập:
A\B = {x  A & x  B}
• Phần bù. Cho tập X và A  X. Phần bù của A (trong X) là tập
A

x

= X\A

• Phép hợp. Hợp của A và B, kí hiệu A  B là tập
A  B = {x| x  A hoặc x  B}
• Phép giao. Giao của A và B, kí hiệu A  B là tập
A  B = {x| x  A & x  B}

• Phân hoạch. Nếu A  B = Ø, ta nói A và B rời nhau.
Nếu các tập X1, X2, X3, …, Xn thỏa
A = X1  X2  X3  …  Xn
Và chúng rời nhau từng đôi một, ta nói {X1, X2, X3, …, Xn} là một phân
hoạch của tập hợp A.
• Định lí. Cho các tập A, B trong tập vũ trụ U, khi đó ta có
- Luật kết hợp
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
- Luật giao hoán
A B = BA


6

A B = BA
- Luật phân bố
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
- Luật bù kép
A =A

- Luật đối ngẫu De Morgan
A B = A  B

&

A B = A  B

A1  A2  ...  An = A1  A2  …  An

A1  A2  ...  An = A1  A2  …  An

1.1.3. Tích Đề-Các
Định nghĩa
Tích Đề-các của hai tập A, B là tập
A  B = {(a,b)| a  A & b  B}
Tích Đề-các của các tập X1, X2, X3,…, Xn là tập
X1  X2  X3  …  Xn ={(x1,x2,x3,…,xn)| x1  X1 & x2  X2 &…& xn  Xn}
Chú ý. Nếu một trong hai tập A, B là tập rỗng thì quy ước tích Đề-các A  B là
tập rỗng. Hai phần tử (a,b) = (c,d)  a = c và b = d.
Định lí
Ta có: |X1  X2  X3  …  Xn| = |X1|.|X2|. … .|Xn|
1.2. QUAN HỆ
1.2.1. Định nghĩa
Một quan hệ hai ngôi từ tập X đến tập Y là tập con của tích Đề
các R  X  Y. Chúng ta sẽ viết x R y thay cho (x, y)  R.
Quan hệ từ X đến chính nó được gọi là quan hệ trên X
- Quan hệ R trên X được gọi là phản xạ nếu:
x 

X : (x,x)  R


7

- Quan hệ R trên X được gọi là đối xứng nếu:
(x,y)  R

 (y,x)  R

- Quan hệ R trên X được gọi là phản đối xứng nếu:
(x,y)  R & (y,x)  R



x=y

- Quan hệ R trên X được gọi là bắc cầu (truyền ứng) nếu:
(x,y)  R & (y,z)  R  (x,z)  R
Ví dụ
Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ:
R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} không phản xạ vì (3,3)  R1
R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} phản xạ vì (1,1), (2,2),
(3,3), (4,4)  R2
Quan hệ“ | ” (“ước số”) trên Z + là phản xạ vì mọi số nguyên a là ước của
chính nó .
1.2.2. Quan hệ tương đương và phân hoạch
Quan hệ R trên X gọi là tương đương nếu nó là phản xạ, đối xứng, bắc
cầu.
Ví dụ
Trên tập hợp các số nguyên xác định quan hệ R như sau :  a, b  R, aRb
 (a-b)  5. Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương trên R.

Giải
a)  a  R, a – a = 0 chia hết cho 5 nên aRa, hay R có tính phản xạ (1)
 a,

b  R, nếu aRb  (a-b)  5 thì (b-a)  5 nên bRa hay R có tính chất đối

xứng (2)

 a,

aRb
(a  b) 5
thì [(a-b)+(b-c)] 5  (a-c)  5  aRc,

bRc (b  c) 5

b, c  R nếu 

hay R có tính chất bắt cầu. (3)
Từ (1), (2),(3), suy ra R làm quan hệ tương đương trên R.


8

Định lí 1
Cho phân hoạch S = { X1, X2, X3,…, Xn} của tập X. Ta định nghĩa quan
hệ R trên X như sau: x R y   i : x  Xi

&

y  Xi

Khi đó R là quan hệ tương đương.
Định lí 2
Cho R là quan hệ tương đương trên X. Với mỗi a  X ta đặt
[a] = { x  X

x R a}

Khi đó
S = {[a]

a  X } là một phân hoạch của X.

1.2.3. Quan hệ thứ tự
Quan hệ hai ngôi R xác định trên X gọi là quan hệ thứ tự nếu có đồng
thời cả ba tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
Quan hệ thứ tự có thêm tính chất


x, y  X: x R y hoặc y R x

gọi là quan hệ thứ tự toàn phần.
Nếu quan hệ không có tính chất trên thì gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
Tập hợp trên đó có xác định một quan hệ thứ tự gọi là tập hợp sắp thứ
tự. Ta dùng kí hiệu ≤ để chỉ quan hệ thứ tự, khi đó kí hiệu x ≤ y đọc là “x bé
hơn hoặc bằng y”.
Định nghĩa. Cho A là tập con của tập sắp thứ tự < X,≤ >
Phần tử a  A gọi là phần tử cực tiểu (cực đại) của tập A nếu
 x  A,

x ≤ a (a ≤ x)  x = a

Phần tử b  A gọi là phần tử bé nhất (lớn nhất) của tập A nếu
 x  A,

x ≤ a (a ≤ x)

Phần tử c  A gọi là cận dưới (cận trên) của tập A nếu
 x  A,

c≤ x (x ≤ c)


9

Kí hiệu
Inf(A) = { c  X

c là cận dưới của tập A}

Sup(A) = { c  X

c là cận trên của tập A}

Phần tử lớn nhất (bé nhất) của Inf(A) (Sup(A)), nếu tồn tại gọi là cận
dưới ( cận trên) đúng của tập A và kí hiệu là  A (  A). Một tập có thể có
nhiều cực tiểu (cực đại ), tuy nhiên không phải lúc nào nó cũng có phần tử bé
nhất (lớn nhất).
Ví dụ
Cho tập X= {1, 2, 3}. Kí hiệu P(X) là tập hợp tất các tập con của X.
Chứng minh rằng quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự trên P(X)
Tìm các phần tử nhỏ nhât, lớn nhất, tối đại, tối tiểu của P(X). P(X)\  ,
P(X)\X
Giải
● Tính phản xạ : A  P(X) , ta có A  A
● Tính phản đối xứng : A,B  P(X) , nếu A  B và B  A thì A=B
● Tính bắc cầu : A,B,C  P(X) nếu A  B , B  C thì A  C

Vậy quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự trên P(X)
Đối với tập P(X)
● Phần tử lớn nhất : X
● Phần tử tối đại : X
● Phần tử nhỏ nhất: 
● Phẩn tử tối tiểu : 
Đối với tập P(X)\ 
● Phần tử lớn nhất là X
● Phần tử tối đại : X


10

● Phần tử tối tiểu : 1,2 ,3
● Phần từ nhỏ nhất : không có
Đối với tập P(X)\X
● Phần tử lớn nhất : không có
● Phần tử tối đại : {1, 2}; {1, 3}; {2,3}
● Phần tử tối tiểu : 
● Phần từ nhỏ nhất : 
Định lí 3. Cho A là tập con của tập sắp thứ tự (X, ≤ ). Nếu tập A có phần tử
bé nhất (lớn nhất), thì phần tử đó là duy nhất.
Chứng minh
Giả sử, trái lại, tập A có các phần tử bé nhất là b và b’.
Theo định nghĩa ta có
Do tính phản đối xứng suy ra

b ≤ b’ và b’ ≤ b
b = b’

Ta cũng giả sử, trái lại, tập A có các phần tử lớn nhất là b và b’.
Theo định nghĩa ta có
Do tính phản đối xứng suy ra

b ≥ b’ và b’ ≥ b
b = b’ .

Hệ quả. Phần tử cận dưới đúng  (A) (cận trên đúng  (A)) nếu tồn tại là duy
nhất.
1.3. ÁNH XẠ
1.3.1. Định nghĩa
Cho tập X, Y và quan hệ R  X  Y. Miền xác định của R trên X được
định nghĩa và kí hiệu là
Dom ( R ) = { x  X y  Y: (x,y)  R}
Quan hệ f  X x Y gọi là ánh xạ từ X vào Y nếu:
i, dom ( f ) = X
ii, nếu (x,y)  f & (x,y’)  f , thì y = y’


11

• Kí hiệu f : X Y và y = f (x) nếu (x,y)  f
Tập X gọi là tập nguồn (miền xác định), tập Y là tập đích (miền giá trị)
của ánh xạ f. Phần tử y gọi là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f.
Hai ánh xạ f : X Y và g : X Y gọi là bằng nhau, kí hiệu f = g, nếu


x  X, f(x) = g(x)

Ví dụ 1. Quan hệ “đồng nhất” I = { (x,x)

x  X} xác định trên tập X không

rỗng bất kì là ánh xạ Idx : X X, Idx = x  x  X
Ví dụ 2. Cho X = {1; 2; 3; 4} và Y= {a, b, c, d, e}.
Quan hệ f = {(1,a), (2,a), (3,c), (4,d)} là ánh xạ f : X Y,
f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c, f(4) = d
Quan hệ g = {(1,a), (2,a), (3,c), (4,d)} là ánh xạ g : X Y,
g(1) = a, g(2) = a, g(3) = c, g(4) = d
• Cho ánh xạ f : X Y và các tập con A  X, B  Y
Tập f (A) = { f(x)
Tập f -1(B) = { x  X

x  A} gọi là ảnh của tập A.
f(x)  B} gọi là tạo ảnh toàn phần của tập B.

Đặc biệt Im(f) = f(X) và Dom(f) = f -1(Y).
Ví dụ 3. Trong ví dụ ở trên chọn A = {2; 3} và B = {a, c}.
Ta có f(A) = {a, c}, f -1(B) = {1; 2; 3}, f -1(e) = Ø, Im(f) = {a, c, d}
Định lý 1. Cho ánh xạ f : X Y . A và B là tập con của X. C và D là tập con
của Y. Khi đó
1. f (A  B) = f (A)  f (B)
2. f (A  B) = f (A)  f (B)
3. f -1(C  D) = f -1(C)  f -1(D)
4. f -1(C  D) = f -1(C)  f -1(D)
Chứng minh
Ta chứng minh tính chất 1:


12

 y:

y  f ( A  B)  y  f ( A)  f (B)

Thật vậy
y  f ( A  B) 

 x  A  B sao cho y = f (x)



(  x  A : y = f (x)) hoặc (  x  B: y = f (x))



y  f (A) hoặc y  f ( B)



y  f (A)  f (B)

Các tính chất còn lại chứng minh tương tự.
• Dãy các phần tử của tập X là ánh xạ f từ tập {1; 2; 3;…} vào X.
Kí hiệu
Fn = f (n)  n  {1; 2; 3;…}
Ta có dãy f1, f2, f3, …, fn,…
• Ánh xạ f: X Y gọi là đơn ánh nếu


x, x’  X: f (x) = f (x’)

 x=x

’

Ghi chú. Nếu tồn tại đơn ánh f: X Y , thì X ≤ Y
• Ánh xạ f: X Y gọi là toàn ánh nếu


y  Y  x  X: y = f (x)

Ghi chú. Nếu tồn tại toàn ánh f: X Y , thì X ≥ Y
• Ánh xạ f: X Y gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
• Mệnh đề: Nếu tồn tại song ánh f: X Y, thì

X

= Y

Ví dụ
Ánh xạ “đồng nhất” Idx ở ví dụ 1 là song ánh.
Ánh xạ “lấy tổng” ở ví dụ 2 là toàn ánh.
Ánh xạ g ở ví dụ 3 không là đơn ánh cũng không là toàn ánh.
Ánh xạ f ở ví dụ 3 là song ánh.
1.3.2. Các phép toán ánh xạ
Định nghĩa


13

Cho ánh xạ f : X  Y, x  f(x) và ánh xạ g: Y Z, y  g(y).
Ánh xạ h: X Z, x h(x) = g[f(x)] gọi là tích của ánh xạ f và ánh xạ g ,
kí hiệu là

h = g ○ f.

Ví dụ. Cho ánh xạ f, g : R  R
với f(x) = 2x + 1 và g(x) = sin(x)  x  R.
Ta có ( g ○ f )(x) = sin(2x+ 1) & ( f ○ g )(x) = 2 sin(x) + 1
Định lí 2. Tích các ánh xạ có tính kết hợp
h ○ (g ○ f ) = ( h ○ g) ○ f
Chứng minh
Giả sử f: X Y, g: Y Z và h: Z V. Ta chứng minh rằng
 x  X,

[ h ○ (g ○ f )]( x ) = [(h ○ g) ○ f ](x)

Thật vậy
 x  X,

[ h ○ (g ○ f )](x) = h[(g ○ f )(x)] = h[g[f(x)]]

 x  X,

[(h ○ g) ○ f ](x) = (h ○ g)[f(x)] = h[g[f(x)]]

Từ đó suy ra
 x  X, [

h ○ (g ○ f )](x) = [(h ○ g) ○ f ](x)

Định lí 3
Cho f: X Y, g: Y Z và h = g ○ f : X Z.
Khi đó
1. Nếu f và g là đơn ánh (toàn ánh) thì h là đơn ánh (toàn ánh)
2. Nếu h là đơn ánh (toàn ánh) thì f là đơn ánh (toàn ánh)
3. Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh
4. Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là toàn ánh
Định nghĩa. Ánh xạ f : X Y gọi là ánh xạ khả nghịch nếu có ánh xạ
g: Y X , sao cho g ○ f = Idx và f ○ g = Idy. Trong trường hợp đó ta gọi g
là ánh xạ ngược của ánh xạ f và kí hiệu g = f -1. Do tính đối xứng nên g là ánh
xạ ngược của f thì f cũng là ánh xạ ngược của g.


14

Ví dụ
Các cặp ánh xạ sau đây là ánh xạ ngược của nhau
(1) f : R R, x  2x +1 và g: R R, x 

x 1
2

(2) f : {1; 2; 3}  {a, b, c}, f = {(1,a),(2,b),(3,c)} và
g : {a, b, c}  {1; 2; 3}, g = {(a,1),(b,2),(c,3)}
Định lí 4. Ánh xạ f là khả nghịch khi và chỉ khi f là song ánh.
Chứng minh
Giả sử f : X  Y có ánh xạ ngược là g: Y  X. Theo định nghĩa ta có
g ○ f = Idx (i)

và f ○ g = Idy

(ii)

Vì Idx là đơn ánh nên từ (i) và định lý 3 suy ra f là đơn ánh. Vì Id y là toàn
ánh nên từ (ii) và định lí 3 suy ra f là toàn ánh.
Vậy f là song ánh.
Ngược lại, giả sử f : X Y là song ánh.
Khi đó với mọi y  Y, tập hợp f -1(y) có đúng một phần tử.
Lập ánh xạ
g : Y X, y  f -1(y)
Ánh xạ g xác định như trên thỏa mãn điều kiện (i) và (ii).
Như vậy, ánh xạ f khả nghịch và g là ánh xạ ngược của f.
Định lí 5. Ánh xạ ngược nếu tồn tại là duy nhất.
Chứng minh
Ta chứng minh, nếu g, h : Y X đều là ánh xạ ngược của f : X  Y thì
g  h.
Thật vậy, ta có

G = g ○ Idy

(Idy là ánh xạ đồng nhất trên Y)

= g ○ ( f ○ h)

(vì h là ánh xạ ngược của f)

= ( g ○ f ) ○h

(tính kết hợp của tích ánh xạ)

= Idx ○ h

(g là ánh xạ ngược của f)


15

= h
1.4. HỆ SỐ NHỊ THỨC
Định nghĩa
Với mọi n, k  N, ta định nghĩa hệ số nhị thức
C(n,k) =

n!
k!.(n  k )!

Các tính chất cơ bản
Với mọi n, k  N, k ≤ n
(i)

Tính đối xứng
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
C(n,0) = C(n,n) = 1

(ii)

Công thức tam giác Pascal
C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)

(iii)

Công thức giảm bậc
k.C(n,k) = n.C(n-1,k-1)

Nhị thức Newton
Với n  N, x,y  C ta có
(x+y)n = C(n,0). Xn + C(n,1). Xn-1.y +…+C(n,n-1).x.yn-1 + C(n,n).yn.
Chứng minh
Qui nạp theo n
1.5. HAI NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN
1.5.1. Nguyên lý cộng
Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo một trong hai phương
án A hoặc B. Phương án A có thể được thực hiện theo n cách, phương án B
có thể thực hiện theo m cách. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m + n
cách.


16

Nguyên lý cộng tổng quát. Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo
một trong k phương án A1, A2, …, Ak.
Phương án A1 có thể thực hiện theo n1 cách.
Phương án A2 có thể thực hiện theo n2 cách.
…..
Phương án Ak có thể thực hiện theo nk cách.
Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n1 + n2 + …+ nk cách.
Nguyên lý cộng theo ngôn ngữ tập hợp. Giả sử { X1, X2,…, Xn } là một
phân hoạch của tập S.

Khi đó, ta có |S| = |X1| + |X2| + …+ |Xn|
Ví dụ 1. Có bao nhiêu số tự nhiên n có 4 chữ số đôi một khác nhau, biết n
chẵn?
Giải
n chẵn nên : d  {0; 2; 4; 6; 8}
● d = 0:
Có 1 cách chọn d
9 cách chọn a
8 cách chọn b
7 cách chọn c
Có 1  9  8  7 = 504 số thỏa yêu cầu bài
● d  0:
Có 4 cách chọn d
8 cách chọn a
8 cách chọn b
7 cách chọn c
Có 4  8  8  7 = 1792 số thỏa yêu cầu bài


17

Vậy theo nguyên lý cộng có: 504 + 1792 = 2296 số tự nhiên chẵn có 4 chữ số
đôi một khác nhau.
Ví dụ 2. Một đoàn vận động viên hai môn bắn súng và bơi được cử đi thi đấu
ở nước ngoài. Số vận động viên nam là 10 người. Số vận động viên thi bắn
súng kể cả nam và nữ là 14 người. Số nữ vận động viên thi bơi bằng số nam
vận động viên thi bắn súng. Hỏi đoàn có bao nhiêu người, biết mỗi người chỉ
thi một môn?
Giải
Chia đoàn vận động viên thành các tập rời nhau. Tập vận động viên nữ

thi bơi A1. Tập vận động viên nữ thi bắn súng A2. Tập vận động viên nam thi
bơi là A3. Tập vận động viên nam thi bắn súng là A4.
Theo đề bài, ta có |A3| + |A4| = 10; |A2| + |A4| = 14; |A1| = |A4|.
Vậy số người trong đoàn là
|S| = |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = |A1| + |A2| + 10 = |A4| + |A2| + 10
= 14 +10 = 24 (người).
1.5.2. Nguyên lý nhân
Giả sử một công việc nào đó gồm có hai công đoạn A và B. Công đoạn
A có thể thực hiện theo n cách, công đoạn B có thể thực hiện theo m cách.
Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n.m cách.
Nguyên lý nhân tổng quát. Giả sử một công việc nào đó gồm k bước A1, A2,
…, Ak.
Bước A1 có thể thực hiện theo n1 cách.
Bước A2 có thể thực hiện theo n2 cách.
…..
Bước Ak có thể thực hiện theo nk cách.
Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n1. n2….nk cách.


18

Ví dụ 1. Có bao nhiêu số tự nhiên n có 4 chữ số đôi một khác nhau, biết n
không chia hết cho 5?
Giải
n không chia hết cho 5 nên : d  {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9}
Có 8 cách chọn d
8 cách chọn a
8 cách chọn b
7 cách chọn c
Theo quy tắc nhân có: 8  8  8  7 = 3584 số thỏa yêu cầu bài.

Ví dụ 2. Giả sử người ta ghi nhãn cho những chiếc ghế của một giảng đường
bằng một chữ cái sau đó là một số nguyên nhỏ hơn 100. Bằng cách như vậy
hỏi có tối đa bao nhiêu chiếc ghế có thể ghi nhãn khác nhau?
Giải
Việc ghi nhãn có thể chia làm 2 bước. Bước thứ nhất chọn chữ cái để ghi
lên ghế có 26 cách. Bước thứ hai chọn số nguyên nhỏ hơn 100 có 100 cách.
Vậy có nhiều nhất 26  100 = 2600 cách để ghi nhãn khác nhau cho những
chiếc ghế.


19

CHƯƠNG 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO
2.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG SONG ÁNH
2.1.1 Quy tắc cộng
Mệnh đề 1
Cho A và B là hai tập hữu hạn.
Nếu A  B = Ø thì A  B = A + B .
Chứng minh
Giả sử A = m, B = n.
Khi đó tồn tại các song ánh f: A {1,2, … ,m}, g : B {1,2, … ,n}.
Ta xây dựng ánh xạ h: A  B {1,2, … ,m + n} như sau

 f ( x)
h(x) = 
g ( x ) m

Nếu x  A
Nếu x  B

Dễ dàng chứng minh h là song ánh. Từ đó, theo qui tắc tương đương ta có
A B = m + n = A + B .

Bằng quy nạp, ta có thể mở rộng mệnh đề 1 cho n tập đôi một rời nhau
Mệnh đề 2
Nếu A1,A2,...,An là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, tức là
Ai  Aj = Ø,  i,j  {1, 2, 3,..., n}, thì
│A1  A2  ...  An │

=

│ A1│+│A2│+│An│

2.1.2. Quy tắc nhân
Mệnh đề 1
Nếu A và B là hai tập hữu hạn thì, A B = A × B .
Chứng minh


20

Giả sử A = m, B = k và A = {a1, a2, …, an}, B = {b1, b2, …, bk}.
Tích Đề-các A  B gồm các cặp (ai,bj), 1  i  m, 1  j  k, có thể viết thành
một bảng chữ nhật có m dòng và k cột như sau
(a1;b1), (a1;b2),…,(a1;bk)
……………………….
(am;b1), (am;b2),…,(am;bk)
Đặt Ai = {(ai;b1), (ai;b2),…,(ai;bk)}; (1  i  m)
Rõ ràng |Ai| = k ,(1  i  m)

Ai  Aj = Ø nếu i  j và A  B = A1  A2  …  Am
│A×B │

=

│ A1│+│A2│+...+│An│= m.k = |A|  |B|

Bằng qui nạp, có thể mở rộng mệnh đề 1 cho n tập hợp.
Mệnh đề 2
Nếu A1,A2,...,An là các tập hữu hạn bất kỳ và A1 ×A2 ×... ×An là tích Đề-các
của n tập hợp đó thì
│A1×A2×...×An │

=

│ A1│×│A2│×...×│An│.

2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐẾM BẰNG HÀM SINH
2.2.1 Giới thiệu về hàm sinh và các phép toán trên hàm sinh
Cho dãy số thực (ar)r = <a0, a1, a2,…> và biến x
Định nghĩa
- Hàm sinh (thường) của dãy <a0, a1, a2,…> là hàm
g(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 …
- Hàm sinh mũ của dãy <a0, a1, a2,…> là hàm
2

3

2!

3!

g(x) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x …
1!

Qui ước
Ta kí hiệu sự tương ứng giữa một dãy số và hàm sinh bằng dấu “  ”
như sau: