CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỰ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỰ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN XOAY CHIỀU ĐẠT CỰC TRỊ
- Dựa vào các công thức có liên quan, lập biểu thức của đại lượng cần tìm cực
trị dưới dạng hàm của một biến thích hợp.
- Tìm cực trị bằng các phương pháp vận dụng:
+Hiện tượng cộng hưởng của mạch nối tiếp.
+Tính chất của phân thức đại số.
+Tính chất của hàm lượng giác.
+Bất đẳng thức Cosi.
+Tính chất đạo hàm của hàm số.
II. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
A. Bài toán cực trị đối với mạch xoay chiều không phân nhánh.
Dạng1: Bài toán cực trị theo C.
Bài tập 1: A R C L B
Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:
R=170
Ω
; L=1,15H; C biến thiên .
Hiệu điện thế giữa 2 đầu AB: u= 170 Sin10
π
t (V).
Chứng tỏ khi C biến thiên thị số chỉ của vônkế đạt đến 1 giá trị cực đại.
Tính giá trị cực đại này và điện dung C tương ứng của tụ điện.
Bài làm
Cách1: Khảo sát cực trị bằng đạo hàm.
Số chỉ của vônkế là:
C C
U IX=
Dòng điện toàn mạch:
2 2
( )

L C
U U
I
Z
R X X
= =
+ −

2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 1)
C
C
L C
UX
U
U
R X X R C LC
ω ω
⇒ = =
+ − + −
Đặt:
2 2 2 2 2
( 1)
C
y R C LC y
ω ω
= + − =

C
U

U
y
⇒ =
Ta có:
, 2 2 2 2 2 2 2 4 2
2 2 ( 1) 2 2 2y R C L LC R C L C L
ω ω ω ω ω ω
= + − = + −

2
,
2 2 2 4 2 2 2
0
L L
y C
R L R L
ω
ω ω ω
= → = =
+ +
Như vậy:
2
min
2 2 2 2 2 2
C
R L
y C
R L R L
ω ω
= ⇔ =

+ +
Khi đó:
2 2 2
Cmax
U R L
U
R
ω
+
=
Vậy khi C biến thiên thì số chỉ của vônkế đạt đến một giá trị cực đại.
Thay số:
2 2 5
max
170 170 1,15 .10
283( )
2.170
C
U V
+
= =
6
2 2 5
1,15
7,1.10 ( )
170 1,15 .10
C F
−
= =
+

Cách2: Đưa về phương trình Parabol
Ta có:
C C
U IX=
2 2 2 2
2
( ) 2
1
C
L C L L
C
C
UX
U
R X X R X X
X
X
= =
+ − +
− +

Đặt:
2 2
2
2
1
L L
C
C
R X X

y
X
X
+
= − +

2 2
1
; ; 2 ; 1
L L
C
x a R X b X c
X
= = + = − =

2
y ax bx c⇒ = + +

Do a> 0 nên đồ thị của y là parabol
có bề lõm quay lên phía trên: y
min
tại x
min
. y
Ta có:
min
2 2
2
L
L

X
b
x
a
R X
= − =
+
y
min

Tức:
2 2
L
C
L
R X
X
X
+
=
0 x
min
x

2 2
2 2
min
2 2 2 2 2
( ). 2 1
( ) ( )

L L
L
L L
X X
y R X
R X R X
⇒ = + − +
+ +


2
min
2 2
L
R
y
R X
=
+

Như vậy với sự biến thiên của C thì số chỉ của vônkế sẽ đạt giá trị cực đại:

2 2 2
Cmax
U R L
U
R
ω
+
=

tại:
2 2
L
L
C
R X
=
+
Thay số:
2 2 5
max
170 170 1,15 .10
283( )
2.170
C
U V
+
= =
Khi
6
2 2 5
1,15
7,1.10 ( )
170 1,15 .10
C F
−
= =
+
Cách3: áp dụng giản đồ vectơ quay.
Chọn trục gốc là vectơ

0
I
uur
, vẽ các vectơ: U
oL
A
oR
U
uuur
cùng pha với
0
I
uur
.
α
oC
U
uuur
trễ pha hơn
0
I
uur
một góc
2
π
. 0
β
U
oR
I

o
oL
U
uuur
sớm pha hơn
0
I
uur
một góc
2
π
. B
Có: R=170 (
Ω
); X
L
= 1,15.100
π
=115
π
(
Ω
) ; U
oC

Z
RL
=
2 2 2
170 115 399,28( )

π
+ = Ω
.
Từ giản đồ vectơ ta có: S
oR
R
oRL RL RL
U
U
R
in
U U Z
α
= = =
Xét
∆
0AB có:
oC o C
U U U
U
Sin Sin Sin Sin
β α β α
= ⇒ =
Hay:
C
Sin
U U
Sin
β
α

=
Khi C biến thiên thì góc
β
thay đổi, giá trị Sin
β
cũng thay đổi.
Ta thấy Sin
β
đạt giá trị max là 1
0
90
β
⇔ =
và khi đó U
C
đạt giá trị max.

2 2
max
L
RL
C
U R X
UZ
U
U
Sin R R
α
+
= = =

Và:
2 2
2 2
L
L
C
L
R X
X
Sin cos
X
R X
γ α
+
= ⇔ =
+
⇔
2 2
L
C
L
R X
X
X
+
=
Hay:
2 2
L
L

C
R X
=
+
Thay số ta có:
2 2 5
max
170 170 1,15 .10
283( )
2.170
C
U V
+
= =
Khi:
6
2 2 5
1,15
7,1.10 ( )
170 1,15 .10
C F
−
= =
+
Bài tập 2: A B
V
A
Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: ~
300( )R
= Ω

,
4
( )L H
π
=
, M R L N C
126 2 100 ( )
AB
u Sin t V
π
=
;
Giá trị C của tụ điện được điều
chỉnh để số chỉ của vônkế là lớn nhất.
a, Tính giá trị của C.
b, Xác định số chỉ của vônkế và ampekế.
Bỏ qua tổng trở của ampe và dòng điện qua vônkế.
Bài làm
Số chỉ của vônkế cho biết hiệu điện thế giữa 2 đầu đoạn mạch MN:
U
2 2
2 2 2
2 2
( )
L
L C
U R X
U
IZ Z
Z

R X X
+
= = =
+ −
Nhận xét:
2 2
2
min
( )
max L C
U R X X
 
⇔ + −
 
Do R, X
L
không đổi
2 2
min
( )
L C L C
R X X X X
 
⇒ + − ⇔ =
 

2
1 1
L C
C

L
ω
ω
ω
⇔ = → =
Thay số ta có:
4
2 2
10
( )
4
100 4
C F
π
π
π
−
= =
b, Vônkế chỉ giá trị cực đại
L C
X X⇔ =
tức trong mạch xảy ra hiện tượng
cộng hưởng.
Khi đó:
2 2
( )
L C
Z R X X R= + − =
Số chỉ của ampekế là:
126

0, 42( )
300
U
I A
R
= = =
Số chỉ của vônkế là:

2 2 2 2
2 2
4
0,42. 300 ( .100 ) 210( )
max L
U IZ I R X V
π
π
= = + = + =
* Nhận xét:
- Với bài toán biện luận tìm cực trị khi C thay đổi ta xét trường hợp đơn giản
nhất đó là trong mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Ta chỉ việc xét X
L
=X
C
.
- Với bài toán biện luận tìm cực trị khi C thay đổi mà không xảy ra hiện tượng
cộng hưởng ta có 3 phương pháp sau:
1, Phương pháp khảo sát hàm số.
2, Phương pháp Parabol.
3, Phương pháp giản đồ vectơ.
Trong đó có 2 phương pháp là Parabol và giản đồ vectơ cho lời giải ngắn gọn.

Đối với bài toán tìm cực trị khi C thay đổi nên áp dụng 2 phương pháp này.
Dạng 2: Bài toán cực trị theo L.
Bài tập 1: A R C M L B
Cho mạch điện như hình vẽ:
3 100 ( )
AB
u Sin t V
π
=
điện trở của các vônkế không đáng kể,
R, C là hằng số, L biến thiên. Thấy:
a, Khi L= L
1
vônkế 1 chỉ giá trị cực đại. Tính L
1
và P
1
trên mạch khi đó.
b, Khi L= L
2
vônkế 2 chỉ giá trị cực đại. Tính L
2
và số chỉ của vônkế 2 khi đó.
V
1
V
2

Thay số:
4

10
500 2( ); ( )R C F
π
−
= Ω =
.
Bài làm
a, Khi L= L
1
vônkế 1 chỉ giá trị cực đại.
Số chỉ của vônkế 1 là:
2 2
2 2
( )
C
AM AM
L C
U R X
U IZ
R X X
+
= =
+ −
Do L, C là hằng số
2 2
max
( ) min
AM L C
U y R X X⇒ ⇔ = + −
y

2
min L C
R X X= ⇔ =
, tức mạch xảy ra cộng hưởng.
Ta có:
1 1
2
1 1
L L
C
C
ω
ω
ω
= ⇒ =
Công suất P
1
:
2
2
1
U
P I R
R
= =
Thay số:
1
2 2 4
1
( )

100 10
L H
π
π
π
−
= =
;
2
1
3 1 3
( ) . ( )
2 500 2 1000 2
P W= =
b, Khi L= L
2
vônkế 2 chỉ giá trị cực đại.
Số chỉ của vônkế 2 là:
2
2
2
2
1
MB L
C
L
L
U
U U IX
X

R
X
X
= = =
 
+ −
 ÷
 

2
2
2 max
2
(1 ) min
C
L
L
X
R
U y
X
X
⇔ = + −
Cách 1: dùng phương pháp khảo sát hàm số.
Ta có:
2
2
2 2 2
1
(1 )

R
y
L LC
ω ω
= + −


2
,
3 2 2 4 3 2
2 2 2R
y
L L C L C
ω ω ω
= − + −

2 2 2
,
2
1
0
R C
y L
C
ω
ω
+
= ⇔ =
Bảng biến thiên của y theo L
L 0

2 2 2
2
1R C
C
ω
ω
+

∞

'
L
y
+ 0 -
y
L

2
2
2 2
1
R
R
C
ω
+
Vậy L= L
2
=
2 2 2

2
1R C
C
ω
ω
+
thì y
min
=
2
2
2 2
1
R
R
C
ω
+

⇒
2 2
max
C
L
U R X
U
R
+
=
Thay số:

8
2 2 2
2
2
4
2 2
10
500 .2.100 . . 1
51
( )
10
100 . .
L H
π
π
π
π
π
−
−
+
= =

2 4
max
3 500 .2 10 3 17
( )
10
2 500 2
L

V
+
= =U
Cách 2: Đưa về phương trình Parabol.
Số chỉ của vônkế 2 là:
2
2
2
2
1
MB L
C
L
L
U
U U IX
X
R
X
X
= = =
 
+ −
 ÷
 
Đặt:
2 2
2
2
2 2

2
(1 ) 1
C C C
L L
L L
X R X X
R
y
X X
X X
+
= + − = − +
y
Đặt:
2 2
1
; ; 2 ; 1
C C
L
x a R X b X c
X
= = + = − =
y
min


2
y ax bx c= + +
0 x
min

x
Do a> 0 nên đồ thị của y là parabol có bề lõm
quay lên phía trên: y
min
tại x
min
2 2
2
min
2 2 2 2
4 2
C C
L
C
C C
X R X
R b
y x X
a a X
R X R X
+
∆
= − = ⇔ = − = ⇒ =
+ +
Và:
2 2
max
C
L
U R X

U
R
+
=
Vậy: L= L
2
=
2 2 2
2
1R C
C
ω
ω
+
51
( )H
π
=


2 2
max
C
L
U R X
U
R
+
⇒ =
3 17

( )
10
V=
Cách 3: Dùng phương pháp giản đồ vectơ
Chọn trục gốc là vectơ
0
I
uur
, vẽ các vectơ:
oR
U
uuur
cùng pha với
0
I
uur
B U
o
oC
U
uuur
trễ pha hơn
0
I
uur
một góc
2
π
0
β

U
oR
I
o
oL
U
uuur
sớm pha hơn
0
I
uur
một góc
2
π
U
oC
A
500 2( ); 100( )
C oC oR
R X U U= Ω = Ω ⇒ <
U
AM
Từ giản đồ vectơ ta có:
2 2
oR
oRC
C
U
R
Sin

U
R X
α
= =
+
= const
Xét
∆
0AB có:
L
o oL
Sin Sin USin
U
U U Sin
α β β
α
= ⇒ =
Với U, Sin
α
là hằng số
0
max
1( 90 )
L
U Sin
β β
⇒ ⇔ = =
Với:
2 2
2 2

1 cos
C
C
L
C
R X
X
Sin Sin
X
R X
β α γ
+
= ⇒ = ⇔ =
+
2 2
C
L
C
R X
X
X
+
⇒ =
Vậy: L= L
2
=
2 2 2
2
1R C
C

ω
ω
+
51
( )H
π
=

2 2
max
C
L
U R X
U
R
+
⇒ =
3 17
( )
10
V=
Bài tập 2:
Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:
Hiệu điện thế giữa 2 đầu AB: A R L C B
4
200 100 ( )
10
100( ); ( )
u Sin t V
R C H

π
π
−
=
= Ω =
a, Tính L để hệ số công suất của đoạn mạch cực đại.Tính công suất của đoạn
mạch khi đó.
b, Tính L để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại. Vẽ phác họa dạng đồ thị
của công suất tiêu thụ P theo L.
Bài làm
Hệ số công suất của đoạn mạch là:

2 2
os
( )
L C
R R
C
Z
R X X
ϕ
= =
+ −

2 2
max
2 2
os ( ) min
, ( ) min
L C

c L C L C
R const C R X X
R X const R X X X X
ϕ
= ⇒ ⇔ + −
= ⇒ + − ⇔ =
Hay
max
Cos
ϕ
⇔
mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng.
Giá trị của L là:
2
1 1
L L
C
C
ω
ω
ω
= ⇒ =
Thay số:
2 2 4
1
( )
100 10
L H
π
π

π
−
= =
Công suất của đoạn mạch khi đó là:

2 2
2
2
U R U
P I R
R
Z
= = =
do Z=R
Thay số:
200( )P W
=
b, Công suất tiêu thụ của mạch là:

2 2
2
2 2 2
( )
L C
U R U R
P I R
Z R X X
= = =
+ −

Do R, U, X
C
là hằng số nên khi L biến thiên thì:
max L C
P X X⇔ =

Mạch xảy ra cộng hưởng dòng:
2
1 1
L L
C
C
ω
ω
ω
→ = ⇒ =
Thay số:
2 2 4
1
( )
100 10
L H
π
π
π
−
= =
Công suất cực đại:
2
max

200( )
U
P W
R
= =
Sự biến thiên của P theo L là:
2
2 2
0 0 100( )
L o
C
RU
L X P W
R X
= ⇒ = ⇒ = =
+

0
L
L X P
∞
= ∞ ⇒ = ∞ ⇒ =

max
1
( ) 100( ) : 200( )
L C
L H X X P W
π
= ⇒ = = Ω =

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất tiêu thụ P theo L:
P (W)
200

100
0
1
π
L(H)
+ Nhận xét:
- Với bài toán biện luận tìm cực trị của công suất tiêu thụ khi L thay đổi ta áp
dụng phương pháp cộng hưởng dòng. Ta chỉ việc xét X
L
=X
C
.
- Với bài toán biện luận tìm cực trị của U
L
khi L thay đổi có 3 phương pháp sau:
1. Phương pháp khảo sát hàm số.
2. Phương pháp Parabol.
3. Phương pháp giản đồ vectơ.
Trong đó có 2 phương pháp là Parabol và giản đồ vectơ cho lời giải ngắn
gọn. Đối với bài toán tìm cực trị theo L nên áp dụng 2 phương pháp này.
Dạng 3: bài toán tìm cực trị theo R.
Bài tập 1:
Cho mạch RLC, R thay đổi:
1, Xác định R để công suất của mạch cực đại. Tính công suất đó.
Chứng minh với một công suất
max

P P<
, thì R có 2 giá trị và 2 giá trị đó thỏa
mãn:
( )
2
1 2 L C
R R X X= −
.