Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer-Schauder nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình Elliptic không tuyến tính

Header Page 1 of 16.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Hữu Đạt

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
KHÔNG TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

Footer Page 1 of 16.


Header Page 2 of 16.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Hữu Đạt

ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
KHÔNG TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS Hoàng Quốc Toàn
Khoa Toán - Cơ - Tin, Đại học KHTN, ĐHQG Hà Nội

Hà Nội - 2014

Footer Page 2 of 16.


Header Page 3 of 16.

Lời nói đầu
Các phương pháp giải tích phi tuyến có vai trò quan trọng trong việc
nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính. Trong luận
văn này, tác giả trình bày một số áp dụng định lý điểm bất động vào
bài toán biên đối với một lớp phương trình elliptic không tuyến tính.
Luận văn gồm hai chương:
Nội dung chủ yếu của chương 1 là trình bày các định lý về điểm
bất động trong không gian Banach, bao gồm: Định lý ánh xạ co
Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer - Schauder, Định lý
điểm bất động Leray - Schauder - Schaefer.

Trong chương 2 trình bày một số áp dụng định lý điểm bất động
Brouwer - Schauder để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu không
tầm thường của bài toán Dirichlet và bài toán Neumann đối với
một lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính, với phần
chính là toán tử Laplace, dạng:

−∆u = g(x, u)
trong miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω trong Rn .

Trong quá trình viết luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn, chỉ
bảo rất tận tình của PGS. TS Hoàng Quốc Toàn. Tác giả xin được gửi
lời cảm ơn sâu sắc đến thầy.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
i
Footer Page 3 of 16.


Header Page 4 of 16.

học Quốc gia Hà Nội, đã dạy bảo, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tác
giả hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới những người thân, gia đình, ban
bè đồng nghiệp, đã luôn động viên, ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn.

Hà Nội, năm 2014
Học viên
Vũ Hữu Đạt

ii
Footer Page 4 of 16.


Header Page 5 of 16.

Bảng ký hiệu
Rn là không gian thực n chiều.
Ω là miền bị chặn có biên trơn trong Rn .
∂Ω là biên của Ω.
α = (α1 , ..., αn ), αi ∈ N(i = 1, ..., n) được gọi là đa chỉ số.
|α| = α1 + ... + αn được gọi là cấp của đa chỉ số α.
u X chuẩn của u ∈ X, X là không gian Hilbert.
u, v : tích trong của u và v trong không gian Hilbert.
∂ |α| u
Dα u = α1 α2
.
∂x1 ∂x2 ...∂xαnn
Dk u = {Dα u : |α| = k}.
∂u
∂u ∂u
;
; ...;
.
∇u =
∂x1 ∂x2
∂xn
∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
∆u = 2 + 2 + ... + 2 .
∂x1 ∂x2
∂xn
Các không gian hàm:
C k (Ω) = {u : Ω → R khả vi liên tục đến cấp k}.
∞

C (Ω) =

∞

C k (Ω) : các hàm khả vi vô hạn trong Ω.

k=0
k
∞
C0 (Ω), C0 (Ω)
1,p

kí hiệu các hàm trong C k (Ω), C ∞ (Ω) với giá compact.
W (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)|Du ∈ Lp (Ω)}với chuẩn
u W 1,p = u Lp (Ω) + ∇u Lp (Ω) .
W01,p (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω)|u = 0 trên ∂Ω} với chuẩn
u W01,p = ∇u Lp (Ω) .
1 1
W −1;q (Ω)không gian đối ngẫu của W01,p (Ω), + = 1.
p q
1,p
1
H0 (Ω) : không gian hàm W0 (Ω) với p = 2.
H −1 (Ω) : không gian W −1,q (Ω) với p = q = 2.

iii
Footer Page 5 of 16.


Header Page 6 of 16.

Mục lục
1 Cơ
1.1
1.2
1.3

sở toán học
Sự hội tụ yếu trong không gian Banach . . . . . . . . .
Sự hội tụ đơn điệu và hội tụ trội . . . . . . . . . . . . .
Không gian Holder và Không gian Sobolev . . . . . . .
1.3.1 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . .
1.4 Toán tử −∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Một số định lý điểm bất động cơ bản . . . . . . . . . .
1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . .
1.5.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu . .
1.5.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng mạnh .
1.5.4 Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . .
1.5.5 Định lý điểm bất động Leray-Schauder-Schaefer

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình
đạo hàm riêng
2.1 Ứng dụng định lý điểm bất động Banach đối với bài toán
Dirichlet cho một lớp phương trình elliptic cấp 2 phi tuyến.
2.2 Ứng dụng định lý Leray-Schaefer để giải bài toán giá trị
biên đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho
bài toán Dirichlet đối với một lớp phương trình elliptic
cấp 2 phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv
Footer Page 6 of 16.

1
1
2
3
3
4
6
7
12
13

15
16
18
21

23
23

28

32


Header Page 7 of 16.
MỤC LỤC

2.4

Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho
bài toán Neumann đối với một lớp phương trình elliptic
cấp 2 phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo

45

v
Footer Page 7 of 16.

38

Header Page 8 of 16.

Chương 1

Cơ sở toán học
1.1

Sự hội tụ yếu trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1.
Giả sử X là một không gian Banach, {un } ⊂ X. Dãy {un } được gọi là
hội tụ yếu đến u ∈ X nếu
lim (u∗ , un ) = (u∗ , u), ∀u∗ ∈ X ∗

n→∞

Kí hiệu un

(1.1)

u.

Nhận xét 1.1.2.
i) Nếu un → u thì un

u;

ii) Một dãy hội tụ yếu thì bị chặn.

iii) Nếu un

u thì ||u|| ≤ lim inf ||un ||.
n→∞

Định lý 1.1.3.
Cho X là không gian Banach phản xạ và dãy {un } bị chặn trong X. Khi
đó tồn tại một dãy con {unk } của {un } và u ∈ X sao cho dãy {unk } hội
tụ yếu đến u trong X.
Nhận xét 1.1.4.
1
Footer Page 8 of 16.


Header Page 9 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

1. Mọi dãy bị chặn trong không gian Hilbert đều chứa dãy con hội tụ
yếu.
1 1
+ = 1. Một phiếm hàm
p q
tuyến tính f trên Lp (Ω) có thể biểu diễn dưới dạng

2. Xét X = Lp (Ω), ta có X ∗ = Lq (Ω) với

f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω)

f −→

Ω

Từ đó fn

f ∈ Lp (Ω) có nghĩa là
f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω)

fn gdx −→
Ω

(1.2)

Ω

Vì Lp (Ω) là không gian đối ngẫu của Lq (Ω) nên Lp (Ω) là không gian
phản xạ nếu 1 < q < +∞. Vậy từ một dãy bị chặn trong Lp (Ω) có
thể tách ra được một dãy con hội tụ yếu thỏa mãn 1.2. Khẳng định
này rất quan trọng về tính compact.
Định lý 1.1.5.
Giả sử dãy các hàm {fn } trong Lp (Ω) thỏa mãn
||fn − f ||Lp (Ω) −→ 0(n → ∞)
Khi đó tồn tại một dãy con {fnk } của dãy {fn } sao cho:
i) fnk −→ f h.k.n trên Ω
ii) |fnk (x)| ≤ h(x), ∀k và h.k.n trên Ω, trong đó h ∈ Lp (Ω).

1.2

Sự hội tụ đơn điệu và hội tụ trội

Định lý 1.2.1. Bổ đề Fatou

Giả sử {fm } là khả tổng, không âm và fm −→ f h.k.n. Khi đó
f dx ≤ lim inf

fm dx

m→∞

Rn

Rn

2
Footer Page 9 of 16.


Header Page 10 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

Định lý 1.2.2. Định lý hội tụ đơn điệu
Giả sử dãy hàm {fm } là đo được và không giảm. Khi đó nếu f1 ≥ 0 hoặc
f1 khả tổng thì
fm dx

lim fm dx = lim

m→∞

m→∞
Rn

Rn

Định lý 1.2.3. Định lý hội tụ trội
Giả sử {fm } là khả tích, |fm | ≤ g và fm −→ f h.k.n với g là hàm khả
tổng. Khi đó
fm dx

f dx = lim

m→∞
Rn

Rn

Sau đây ta xét không gian Holder và không gian Sobolev là các không
gian thường được đề cập khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng.

1.3

Không gian Holder và Không gian Sobolev

1.3.1

Không gian Holder

Định nghĩa 1.3.1.
i) Hàm số u : Ω −→ R được gọi là liên tục Holder bậc γ nếu tồn tại
hằng số C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , ∀x, y ∈ Ω

Khi γ = 1 thì u là liên tục Lipschitz
ii) Nếu u : Ω −→ R liên tục và bị chặn trên Ω ta định nghĩa
||u||C(Ω) = sup |u(x)|
Ω

iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ của u : Ω −→ R là
[u]C0γ (Ω) =

|u(x) − u(y)|
|x − y|γ
x,y∈Ω,x=y
sup
3

Footer Page 10 of 16.


Header Page 11 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

và chuẩn Holder bậc γ của u : Ω −→ R là
||u||C0γ (Ω) = ||u||C(Ω) + [u]C0γ (Ω)
Định nghĩa 1.3.2.
Không gian C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm u : Ω −→ R sao cho các đạo
hàm riêng cấp k của u bị chặn và liên tục Holder bậc γ. Tức là
||Dα u||C(Ω) +

C k,γ (Ω) = {u ∈ C kγ (Ω) :
|α|≤k

[Dα u]C 0,γ (Ω) < ∞}
|α|=k

Định lý 1.3.3.
Không gian Holder C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn C k,γ (Ω).
Định nghĩa 1.3.4.
Cho u, v ∈ L1loc (Ω) và α là một đa chỉ số. Hàm v được gọi là đạo hàm
yếu cấp α của u nếu
uDα ϕdx = (−1)|α|
Ω

vϕdx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)
Ω

Kí hiệu Dα u = v.
Nhận xét 1.3.5.
Đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại là duy nhất

1.3.2

Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.3.6.
W k,p (Ω) = {u : Ω −→ R : Dα u ∈ Lp (Ω), ∀|α| ≤ k}
Nhận xét 1.3.7.
i) Với p = 2 thì H k (Ω) = W k,p (Ω), chuẩn của u được xác định bởi




|Dα u|p dx)1/p với 1 ≤ p < ∞

(
|α|≤k Ω
||u||W k,p (Ω) =


ess sup |Dα u|
với p = ∞


|α|≤k

Ω

4
Footer Page 11 of 16.


Header Page 12 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

ii) Cho dãy {un }, u ∈ W k,p (Ω). Khi đó {un } gọi là hội tụ đến u trong
W k,p (Ω) nếu
lim ||un − u||W k,p (Ω) = 0
n→∞

Kí hiệu un −→ u trong W k,p (Ω).
Định lý 1.3.8.

i) Với mỗi k = 1, 2, ... và 1 ≤ p < ∞, không gian Sobolev W k,p (Ω) là
không gian Banach.
ii) Không gian Sobolev W k,p (Ω) là không gian phản xạ khi và chỉ khi
1 < p < ∞. Hơn nữa khi đó W k,p (Ω) là không gian Hilbert với tích
vô hướng xác định bởi
Dα uDα vdx

(u, v)W k,p (Ω) =
|α|≤k Ω

Nhận xét 1.3.9.
i) Gọi bao đóng của C0∞ (Ω) trong W k,p (Ω) là W0k,p (Ω), khi đó
W0k,p (Ω) = C0∞ (Ω)W k,p (Ω) = {u ∈ W k,p (Ω) : Dα u = 0 trên ∂Ω, |α| ≤ k}
ii) H0k (Ω) = W0k,2 (Ω)
Định nghĩa 1.3.10.
Không gian đối ngẫu của không gian H0k (Ω) được ký hiệu là H −k (Ω).
Một hàm f ∈ H −k (Ω) là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H0k (Ω).
Trong phần này ta xét các định lý nhúng mà trong đó định lý nhúng
Sobolev đóng một vai trò quan trọng.
Định nghĩa 1.3.11.
Giả sử X, Y là các không gian Banach
i) X được gọi là nhúng liên tục trong Y nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính
liên tục i : X −→ Y sao cho ||i(x)||Y ≤ C||x||X ,∀x ∈ X.
Kí hiệu X → Y .
Khi đó ta có thể đồng nhất X với một không gian con i(X) ⊂ Y .
5
Footer Page 12 of 16.


Header Page 13 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

ii) X được gọi là nhúng compact vào Y nếu ánh xạ i biến mọi tập con
bị chặn trong X thành tập compact tương đối trong Y .
Định lý 1.3.12.
Cho Ω ⊂ Rn có độ đo Lebesgue hữu hạn, 1 ≤ p ≤ q < ∞. Khi đó Lq (Ω)
nhúng compact trong Lp (Ω).
Định lý 1.3.13.
Giả sử Ω là miền compact tương đối trong Rn và k ∈ N, 0 ≤ α ≤ β < ∞.
Khi đó ta có phép nhúng compact
Ckβ (Ω) → Ckα (Ω).
Định lý 1.3.14.
Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz, k ∈ N, 1 ≤ p < ∞.
Khi đó:
np
thì ta có
i) Nếu k.p < n, 1 ≤ q ≤
n − kp
W k,p (Ω) → Lp (Ω)
np
và phép nhúng là compact nếu q <
n − kp
n
n
ii) Nếu 0 ≤ m < k − < m + 1 và 0 ≤ α ≤ k − m − thì
p
p
α
W k,p (Ω) → Cm

(Ω)

và phép nhúng là compact nếu α < k − m −

n
p

Nhận xét 1.3.15.
Định lý nhúng Sobolev vẫn đúng với các không gian W0k,p (Ω) trên mọi
miền Ω bị chặn.

1.3.3

Bất đẳng thức Poincare

Định lý 1.3.16.
Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn , d là đường kính của Ω, u ∈ H01,p (Ω).
Khi đó:
|u|2 dx ≤ d2 |Du|2 dx
Ω

Ω

6
Footer Page 13 of 16.


Header Page 14 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

Định lý 1.3.17.
Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn trong lớp C 1 . Khi đó tồn tại hằng số
C = C(Ω) sao cho mọi u ∈ H01,p (Ω), ta có


|Du|2 dx +

|u|2 dx ≤ C 2 
Ω

Ω

1.4

|u|2 ds
∂Ω

Toán tử −∆

Ta kí hiệu −∆ là toán tử:
−∆ : Ho1 (Ω) −→ H −1 (Ω)

(1.1)

xác định theo công thức:
(−∆u, v) = ( u,

v), ∀u, v ∈ Ho1 (Ω) (1.2)

Ta chú ý rằng với ∀u, v ∈ C 2 (Ω) thì
u(x)

(−∆u, v) =

v(x)dx

Ω
n

∂u
∂v
(x).
(x)dx
∂xi
i=1 Ω ∂xi
n
∂u ∂u
∂ 2u
=
(
(v
− v 2 dx)
∂xi
∂xi
i=1 Ω ∂xi
2
n
n
∂ u

∂u
= −
v 2 dx) +
(
v.cos(xi , v)ds
i=1 Ω ∂xi
i=1 Ω ∂xi
n
∂ 2u
v 2 dx
= −
i=1 Ω ∂xi

=

∂ 2u
Từ đó suy ra :∆u =
2 là toán tử Laplace
i=1 ∂xi
Cho λ1 ∈ R xác định bởi
n

| u(x)|2 dx
λ1 =

Ω

inf

|u(x)|2 dx

u∈H 1 (Ω),u=0
Ω

7
Footer Page 14 of 16.


Header Page 15 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

| u(x)|2 dx :

Hay λ1 = inf
Ω

|u(x)|2 dx = 1, u ∈ H 1 (Ω)
Ω

Điều này tương đương với đặc trưng sau của λ1
1
=
sup
λ1 u∈H01 (Ω),u=0

|u(x)|2 dx
Ω

| u(x)|2 dx

(1.3)

Ω

1
= sup
|u(x)|2 dx : | u(x)|2 dx = 1, u ∈ H 1 (Ω)
λ1
Ω
Ω
Sau đây ta sẽ chứng minh sự tồn tại của λ1 . Xét toán tử:
A : Ho1 (Ω) −→ Ho1 (Ω) được xác định bởi
Hoặc :

u(x)v(x)dx, u, v ∈ Ho1 (Ω)

(A(u), v)Ho1 (Ω) =
Ω

là toán tử xác định dương, tự liên hợp và compact (do phép nhúng
Ho1 (Ω) → L2 (Ω) là compact). Áp dụng định lý Courant Fischer suy ra
toán tử A có dãy vectơ riêng {ui } trong Ho1 (Ω), tương ứng với dãy các
giá trị riêng {µi } đơn điệu giảm khi i −→ +∞, nghĩa là:
µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µi ≥ · · · > 0, µi −→ 0(i −→ +∞)
và µ1 = max (Au, u) : ||u| |Ho1 (Ω) = 1, u ∈ Ho1 (Ω) .
Nếu với mỗi λ có một hàm u = 0, u ∈ Ho1 (Ω) sao cho:
u(x)
Ω

u(x)v(x)dx, v ∈ Ho1 (Ω)

v(x)dx = λ

(1.4)

Ω

thì λ là một giá trị riêng và u là một hàm riêng tương ứng của bài toán
giá trị riêng

 −∆u(x) = λu(x) trong Ω
(1.5)
u=
0
trên ∂Ω
khi đó 1.4 tương ứng với bài toán giá trị riêng µ = Au trong đó µ =
Do đó giá trị riêng của bài toán (2.5) là một dãy tăng
0 < λ1 < λ2 ≤ · · · ≤ λi ≤ . . .
8
Footer Page 15 of 16.

λi −→ +∞(i −→ +∞)

1
.
λ


Header Page 16 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

lấy λ1 là giá trị riêng đầu của toán tử −∆ ta có điều phải chứng minh
Từ 1.3 ta có:
|u(x)|2 dx
1
Ω
=
sup
λ1 u∈H 1 (Ω),u=0 | u(x)|2 dx
Ω

Suy ra:
|u(x)|2 dx ≤

1
λ1

Ω

| u(x)|2 dx,

∀u ∈ H01 (Ω)

Ω

Hay
||u||L2 (Ω) ≤

1
||u| |H01 (Ω) ,
λ1

∀u ∈ H01 (Ω)

1
Và √ là hằng số nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên nên nó là
λ1
hằng số nhúng tốt nhất của phép nhúng H01 (Ω) → L2 (Ω).
Định lý 1.4.1.
Toán tử −∆ : H01 (Ω) → H −1 (Ω) là ánh xạ 1 − 1 lên.
Chứng minh.
Theo định nghĩa toán tử −∆ ta có:
(∆u, u) = (Du, Du) = ||Du||2L2 (Ω) ≥ k||u||2L2 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω).
Do đó
k||u||2L2 (Ω) ≤ (−∆u, u) ≥ ||∆u||H −1 (Ω) .||u||H 1 (Ω) .
Suy ra
||u||H 1 (Ω) ≤ C||∆u||H −1 (Ω) , ∀u ∈ H01 (Ω)

(1.6)

Nếu −∆u = 0, vì toán tử −∆ xác định dương suy ra u = 0. Vậy −∆
là ánh xạ 1 − 1. Ta chứng minh −∆ là toán tử đóng trong miền xác
định R(−∆). Thật vậy, giả sử {fi } ⊂ R(−∆) là dãy hội tụ đến f trong
R(−∆) → H 1 (Ω). Khi đó tồn tại dãy {uj } ⊂ D(−∆) sao cho −∆uj = fj .
Theo 1.6 ta có
||uj − uk ||H01 (Ω) ≤ C||fj − fk ||H −1 (Ω) , ∀j, k.
Từ đó, {uj } là dãy Cauchy trong H01 . Vì H01 là không gian Hilbert nên
tồn tại u :

lim ||uj − u||H01 = 0.
j→∞

9
Footer Page 16 of 16.


Header Page 17 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

Do −∆ là toán tử liên tục nên −∆u = f. Vậy −∆ là toán tử đóng. Ta
chứng minh −∆ là ánh xạ lên. Thật vậy, giả sử u0 ∈ H01 (Ω) trực giao
với R(−∆) → H 1 (Ω. Ta có
(−∆u, u) = 0, ∀u ∈ H01 (Ω)
Cho u = u0 suy ra
0 = (−∆u0 , u0 ) ≥ k||u0 ||2H01 (Ω)
Suy ra u0 = 0. Do R(−∆) đóng trong H −1 (Ω) nên R(−∆) = H −1 (Ω).
Vậy −∆ là ánh xạ lên.
Định nghĩa 1.4.2.
Giá trị λ được gọi là giá trị riêng của toán tử −∆ nếu tồn tại hàm
φ(x) = 0, φ(x) ∈ H01 (Ω) sao cho:
−∆φ = λφ.
Hàm φ được gọi là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ.
Chú ý 1.4.3.
Ký hiệu T : H −1 (Ω) → H01 (Ω) là toán tử nghịch đảo của toán tử −∆.
Giả sử u, v ∈ H01 (Ω). Ta đặt
Φ = −∆u, ψ = −∆v.
Ta có
(T (Φ), ψ) = (T (−∆u), −∆v) = (u, −∆v)

= (Du, Dv) = (−∆u, v)
= (Φ, T ψ), ∀Φ, ψ ∈ L2 (Ω).
Điều này chứng tỏ hạn chế của toán tử T trên không gian L2 (Ω) là toán
tử liên hợp, tức là:
T = T∗
Mặt khác phép nhúng H01 (Ω) → L2 (Ω) là compact nên toán tử T hạn
chế trên L2 (Ω)
T : L2 (Ω) → H01 (Ω) → L2 (Ω)
10
Footer Page 17 of 16.


Header Page 18 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

là toán tử compact, tự liên hợp trong L2 (Ω). Ngoài ra ta có
(T ψ, ψ) = (u, −∆u) ≥ k||u||2H01 (Ω)
. Suy ra (T ψ, ψ) ≥ 0, ∀ψ ∈ H −1 (Ω)
Do đó hạn chế của toán tử T trong L2 (Ω) là toán tử tự liên hợp, compact,
xác định dương. Suy ra, trong L2 (Ω) tồn tại một cơ sở trực giao đếm
được gồm toàn các hàm riêng {uj }∞
j=1 của T tương ứng với các giá trị
∞
riêng {µj }j=1 trong đó µj > 0 và giảm dần về 0 khi j → ∞. Tức là
T uj = µj uj , µj → 0 khi j → ∞.

(1.7)

Hơn nữa, vì:

T : L2 (Ω) → H01 (Ω) → L2 (Ω)
nên từ 1.7 uj ∈ H01 (Ω), ∀j. Tác động toán tử −∆ vào hai vế của 1.7 ta
được
−∆T uj = µj (−∆uj ) suy ra uj = µj (−∆uj ).
Suy ra
−∆uj = λj uj , với λj =

1
, j = 1, 2, 3...
µj

Như vậy toán tử −∆ có dãy hàm riêng µj trong H01 (Ω) tương ứng với
dãy các giá trị riêng {λj } đơn điệu tăng khi j → ∞. Nghĩa là
0 < λ1 < λ2 ≤ · ≤ λj ≤ · · ·
Vì dãy {uj } là các hàm riêng của T nên ta đi đến khẳng định sau:
Định lý 1.4.4.
Tồn tại một cơ sở Hilbert gồm những hàm riêng {uj } của toán tử −∆
tương ứng với các giá trị riêng λj đơn điệu tăng khi j → ∞.
Định lý 1.4.5.
Nếu λ1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆ thì ||(−∆)−1 || =

1
λ1 .

Chứng minh.
Giả sử µ1 là giá trị riêng thứ nhất của toán tử T = (−∆)−1 trong L2 (Ω).
µ1 ≥ µ2 ≥ · ≥ µ ≥ · · · → 0(j → ∞).
11
Footer Page 18 of 16.

Header Page 19 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

Ta sẽ chứng minh ||T ||L2 (Ω) = µ1 . Thật vậy ta có:
||T ||L2 (Ω) = sup , u = 0 → ||T u||L2 (Ω) ≤ ||T ||L2 (Ω) .||u||L2 (Ω) .
u∈L2 (Ω)

Với u ∈ L2 (Ω), θ =

(u, uj )uj , ta có:
j

Tu =

(u, uj )T uj =
j

µj (u, uj )uj
j

Suy ra:
||T u||2L2 (Ω) =

µ2j |(u, uj )|2 ≤ µ21
j

|(u, uj )|2
j

Do đó
||T u||2L2 (Ω) ≤ µ21 ||u||2L2 (Ω) → ||T ||L2 (Ω) ≤ µ1

(1.8)

Mặt khác
T u1 = µ1 u1 , ||u1 ||L2 (Ω) = 1 nên ||T ||L2 (Ω) ≥ ||T u1 ||L2 (Ω) = µ1

(1.9)

Từ 2.11 và 2.10 suy ra
||T ||L2 (Ω) = µ1 . Vì T = (−∆)−1 nên ||(−∆)−1 ||L2 (Ω) = µ1 =

1
.
λ1

Hệ quả 1.4.6.
Hàm riêng u1 của toán tử −∆ thỏa mãn
||Du1 ||2L2 (Ω) = λ1 .

1.5

Một số định lý điểm bất động cơ bản

Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng
quát sau đây: Cho C là một tập con của một không gian X, T là một
ánh xạ từ C vào X. Phải đặt những điều kiện nào trên C, X và T để có
thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x0 trong C mà T x0 = x0 . Điểm

x0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T .
Trong rất nhiều trường hợp quan trọng, việc giải một phương trình được
12
Footer Page 19 of 16.


Header Page 20 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn
nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một
phần tử cố định của X thì nghiệm của phương trình Sx = y chính là
điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X, Sau
đây ta sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động.

1.5.1

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi
nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach. Trước khi phát biểu nguyên lý nổi
tiếng này, chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ co:
Định nghĩa 1.5.1.
Một ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, ρ)
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:
ρ(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X

Như vậy ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển
nhiên là liên tục

Định lý 1.5.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)
Cho (X,d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong
X. Khi đó tồn tại x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗
Ngoài ra, ∀x0 ∈ X ta có T n x0 → x∗ khi n → ∞.
Chứng minh. (định lý)
Cho α < 1 là hằng số co, trước tiên ta chứng minh T có nhiều nhất một
điểm bất động.
Thật vậy, giả sử x0 = y0 và T x0 = x0 , T y0 = y0 ta có
d(x0 , y0 ) = d(T x0 , T y0 ) ≤ α.d(x0 , y0 ) < d(x0 , y0 )
điều này vô lý.
Để chứng minh sự tồn tại, ta phải chỉ ra rằng y ∈ X bất kì, lấy {T n y}
hội tụ đến điểm bất động x∗ . Đầu tiên ta có:
d(T y, T 2 y) ≤ αd(y, T y)
13
Footer Page 20 of 16.


Header Page 21 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

và do quy nạp
d(T n y, T n+p y) ≤ d(T n y, T n+1 y) + ... + d(T n+p−1 y, T n+p )
n+p−1

d(T i y, T i+1 y)

=
i=n

≤ (αn + αn+1 + ... + αn+p−1 )d(y, T y)
≤ αn (1 + α + ... + αp−1 )d(y, T y)
n

< α (1 + α + ... + α

p−1

αn
d(y, T y)
...)d(y, T y) =
1−α

Vì α < 1 nên αn → 0, n → ∞ điều này chỉ ra rằng {T n y} là dãy Cauchy.
Do d là đầy đủ vì thế T n y → x∗ với x∗ ∈ X
Vì T liên tục, ta có T n+1 y = T (T n y) → T x∗
Nhưng {T n+1 y} là dãy con {T n y} nên T x∗ = x, tức là T có điểm bất
động x∗ . Ta thấy rằng mỗi y ∈ X, giới hạn của dãy {T n y} tồn tại và
có một điểm bất động, mà T có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi
dãy {T n y} đều hội tụ đến cùng một điểm.
Ta thấy rằng từ
d(T n y, T n+p y) ≤

αn
d(y, T y), ∀p > 0
1−α

αn
d(y, T y). Sai số của
n→∞

1−α
bước lặp thứ n khi xuất phát từ y ∈ X được hoàn toàn xác định bởi
hằng số co α và khoảng cách ban đầu d(y, T y).
Nguyên lý ánh xạ co Banach có một dạng địa phương hữu ích liên quan
đến hình cầu mở B trong một không gian mêtric đầy đủ X và một ánh
xạ co từ B → X sao cho nó không dịch chuyển tâm hình cầu quá xa.
Định lý được chứng minh.
Tìm được d(T n y, x∗ ) = lim d(T n y, T n+p y) ≤

Hệ quả 1.5.3.
Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ
B = B(x0 , r) = {x0 : d(x, x0 ) < r}
Cho T : B → X là một ánh xạ co với hằng số α < 1 nếu d(T x0 , x0 ) <
(1 − α)r thì T có một điểm bất động
14
Footer Page 21 of 16.


Header Page 22 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

1.5.2

Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu

Định lý 1.5.4. Định lý Brouwer về điểm bất động
Giả sử u : B[0, 1] → B[0, 1] là ánh xạ liên tục, trong đó B[0, 1] là hình
cầu đơn vị đóng trong Rn . Khi đó u có điểm bất động, tức là tồn tại
x ∈ B[0, 1] sao cho u(x) = x

Chứng minh.
1. Ký hiệu B = B[0, 1], trước hết ta chỉ ra rằng không tồn tại hàm trơn
w : B → ∂B

(1.10)

w(x) = x, ∀x ∈ ∂B

(1.11)

sao cho
Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại hàm trơn w thỏa mãn (1.10) và (1.11).
Gọi w là ánh xạ đồng nhất trên B, w(x) = x, ∀x ∈ B
Theo (1.11) ta có w = w, ∀x ∈ ∂B. Vì định thức hàm Laragang vô hiệu
nên:
detBwdx =
detB wdx = |B| = 0
(1.12)
B

B

Mặt khác, từ (1.10) ta có |w|2 = 1. Bằng cách lấy đạo hàm 2 vế ta có
(Dw)T w = 0

(1.13)

Vì |w| = 1 nên từ (1.13) suy ra 0 là một giá trị riêng của (Dw)T với mỗi
x ∈ B. Do đó detBw = 0 trong B. Điều này mâu thuẫn với (1.12).
Vậy không tồn tại hàm trơn w thỏa mãn (1.10) và (1.11)

2. Tiếp theo ta chỉ ra rằng không có hàm liên tục nào thỏa mãn (1.10)
và (1.11).
Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại hàm w thỏa mãn (1.10) và (1.11) liên
tục. Khi đó thác triển liên tục w bằng cách đặt
w(x) = x, ∀x ∈ Rn \B
Chú ý rằng w(x) = 0, ∀x ∈ Rn . Cố định ε đủ nhỏ sao cho w1 = ηε − w
thỏa mãn w1 (x) = 0, ∀x ∈ Rn
Vì ηε (y) chỉ phụ thuộc vào y nên dễ dàng thấy rằng w1 (x) = x nếu
2w1
x ∈ Rn \B[0, 2] khi đó đặt w2 =
w
Ánh xạ trơn w2 thỏa mãn (1.10) và (1.11) với hình cầu B[0, 2] thay thế
15
Footer Page 22 of 16.


Header Page 23 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

B[0, 1], điều này mâu thuẫn với phần trên.
3. Ta chứng minh định lý
Giả sử ánh xạ u : B → B liên tục nhưng không có điểm bất động. Xác
định ánh xạ:
w : B −→ ∂B
Bằng cách đặt w(x) là giao điểm của ∂B với tia xuất phát từ u(x) và đi
qua x
Điều này hoàn toàn xác định vì u(x) = x, ∀x ∈ B.
Khi đó w là ánh xạ liên tục và thỏa mãn (1.10) và (1.11), mẫu thuẫn
với chứng minh ở phần 2

Định lý được chứng minh

1.5.3

Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng mạnh

Định lý 1.5.5.
Cho C là một tập lồi, đóng, bị chặn trong Rn , f : C → C là ánh xạ liên
tục. Khi đó f có điểm bất động.
Định nghĩa 1.5.6.
Không gian tô pô X gọi là có tính chất điểm bất động nếu mọi ánh xạ
liên tục từ X vào X đều có điểm bất động
Bổ đề 1.5.7.
Nếu X có tính chất điểm bất động và Y đồng phôi với X thì Y cũng có
tính chất điểm bất động.
Chứng minh. (bổ đề)
Giả thiết g là ánh xạ liên tục bất kỳ từ Y vào Y . Ta chứng minh g có
điểm bất động.
Giả sử h là phép đồng phôi từ X vào Y . Khi đó h−1 ◦ g ◦ h : X → X là
ánh xạ liên tục.
Vì X có tính chất điểm bất động nên ∃x0 ∈ X sao cho h−1 ◦ g ◦ h(x0 ) =
x0 ⇒ g ◦ h(x0 ) = h(x0 ) hay g(y) = y với y = h(x0 ). Suy ra g có điểm
bất động
Bổ đề được chứng minh.
Chứng minh. (định lý)

16
Footer Page 23 of 16.

Header Page 24 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

+) Vì C ∈ Rn bị chặn nên C ⊂ B ∗ là hình cầu đóng nào đó, B ∗ đồng phôi
với B = B[0, 1] ⊂ Rn .B có tính chất điểm bất động (theo nguyên lý
Brouwer dạng yếu) nên theo bổ đề, B ∗ cũng có tính chất điểm bất
động.
+) Vì C lồi, đóng, bị chặn nên với mọi x ∈ Rn , x − C lồi đóng bị chặn
trong Rn mà Rn là không gian Hilbert nên tồn tại duy nhất y ∈ C
sao cho ||x − y|| = inf{||x − u||, u ∈ C}. Đặt P x = y
+) Ta chứng minh P là ánh xạ không dãn. Lấy z cố định ∈ C. Ta xác
định hàm ψ : [0, 1] → R+ bởi:
ψ(t) = ||x − (1 − t)y − tz||2 = ||x − y||2 + 2t(y − x, z − y) + t2 ||y − z||2
Ta có
ψ(0) = ||x − y||2 ≤ ψ(t), ∀t ∈ [0, 1]
ψ(t) − ψ(0)
≥0
⇒ ψ (0) = lim+
t→0
t
hay
2 y − x; z − y ≥ 0 ⇒ P x − x; z − P x ≥ 0.
Mặt khác
P x − x; z − P x ≥ 0, ∀x, z ∈ Rn
suy ra
P x − x; P y − P x ≥ 0 ⇒ P x − x; P x − P y ≤ 0

(1.14)

Hơn nữa
P y − y; P x − P y ≥ 0.

(1.15)

Lấy 1.15 trừ 1.14 ta được:
(x − y) − (px − py); px − P y ≥ 0
⇒ ||P x − P y||2 ≤ P x − P y, x − y ≤ ||P x − P y|| ||x − y||
⇒ ||P x − P y|| ≤ ||x − y||, ∀x, y
Vậy P không dãn. Suy ra P x = x, ∀x ∈ C
Khi đó f ◦ P : Rn → C là ánh xạ liên tục.
Vì B ∗ có tính chất điểm bất động, nên ∃x0 ∈ B ∗ sao cho (f ◦P )(x0 ) =
x0
Nhưng f (P (x0 )) ∈ C ⇒ x0 ∈ C và do đó P x0 = x0
⇒ f (x0 ) = x0 ⇒ x0 là điểm bất động của f
17
Footer Page 24 of 16.


Header Page 25 of 16.

Chương 1. Cơ sở toán học

Định lý được chứng minh.

1.5.4

Định lý điểm bất động Schauder

Định lý 1.5.8. Định lý xấp xỉ các toán tử compact

Giả sử X, Y là các không gian Banach, M là một tập con bị chặn của
X. T : X → Y là ánh xạ đã cho. Khi đó T là compact khi và chỉ khi các
điều kiện sau thỏa mãn:
Với mỗi n ∈ N tồn tại một toán tử compact Pn : M → Y sao cho:
sup ||T (x) − Pn (x)|| ≤ 1/n
x∈M

và
dim(span{Pn (M )}) < ∞
Trước khi chứng minh ta nhớ lại tính chất sau của các tập compact
tương đối trong không gian Banach.
Giả sử M ⊂ X, X là một không gian Banach. Tập các điểm x1 , x2 , . . . , xn ∈
M được gọi là một − lưới cho tập M, nếu với mọi x ∈ M, tìm được xi
sao cho ||x − xi || < . Dễ thấy tập các điểm {xi : i = 1, . . . , n} là một
− lưới cho tập M khi và chỉ khi
min ||x − xi || < . với mỗi x ∈ M
i

Tính chất 1.5.9.
M là tập compact tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi
− lưới cho tập M

> 0 tồn tại một

Chứng minh.
(⇒) Giả sử T là compact. Khi đó T (M ) là tập compact tương đối. Vậy
với mỗi n tồn tại các phần tử yi ∈ T (M ), i = 1, . . . , N sao cho:
min ||T x − yi || < 1/n, ∀x ∈ M
i

(1.16)

Ta xây dựng toán tử sau (gọi là toán tử Schauder):
N

ai (x)yi
Pn (x) :=

i=1
N

(1.17)
ai (x)

i=1

18
Footer Page 25 of 16.