Các tính chất phủ né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn

Header Page 1 of 16.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hoàng Yến

CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC
CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 1 of 16.


Header Page 2 of 16.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hoàng Yến

CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA
CÁC NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. MỴ VINH QUANG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 2 of 16.


Header Page 3 of 16.

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS. Mỵ Vinh
Quang khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dành nhiều
thời gian và công sức tận tình hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy PGS.TS. Trần Tuấn Nam, TS. Trần
Huyên, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, PGS.TS. Bùi Tường Trí và quý thầy cô khoa Toán
đã giảng dạy cho tôi những kiến thức cơ bản về Đại số và Giải tích để từ đó tôi có
thể tự đọc thêm kiến thức và hoàn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban chủ nhiệm khoa Toán và quý Thầy Cô đã giảng
dạy, tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành khóa học này.
Và để có được kết quả như ngày hôm nay, tôi đã nhận được những lời động
viên, đóng góp ý kiến của bạn bè và người thân.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi
mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!

Footer Page 3 of 16.

Header Page 4 of 16.

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Bảng ký hiệu dùng trong luận văn
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................2
Chương 2. CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN ..........................15
2.1. CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn .......................................................15
2.2. Một số đặc trưng của nhóm giải được hữu hạn. ...................................24
KẾT LUẬN ..............................................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................42

Footer Page 4 of 16.


Header Page 5 of 16.

BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
H ≤G

H là nhóm con của G

H < ⋅G

H là nhóm con tối đại của G

H
H là nhóm con thực sự của G

H G

H là nhóm con chuẩn tắc của G

NG ( H )

Cái chuẩn hóa của H trong G

CG ( H )

Tâm hóa tử của H trong G

Z(G )

Tâm G

Φ (G )

Nhóm con Frattini

Ο p (G )

p-nhóm con chuẩn tắc tối đại của G

H

Cấp của nhóm H

Aut(G )

Nhóm các tự đẳng cấu của G

G:M

Chỉ số của M trong G

Mx

x −1 Mx

p ' ,p '

Phần bù của p ,p trong P

Ο p (G )

p-nhóm con chuẩn tắc tối đại của G

HG

Lõi của H trong G

H char G

H là nhóm con đặc trưng của G

Footer Page 5 of 16.


Header Page 6 of 16.

1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại
số hiện đại. Bài toán cơ bản của lí thuyết nhóm là mô tả cấu trúc các nhóm với sự
chính xác đến một đẳng cấu, và nghiên cứu các phép biến đổi trên các nhóm. Trên
thực tế, việc mô tả cấu trúc các nhóm là không thể, chính vì thế mà lí thuyết nhóm
vẫn còn được tiếp tục nghiên cứu. Năm 1993, L.M. Ezquerro đã đưa ra một số tiêu
chuẩn của một nhóm hữu hạn G là p-siêu giải được và siêu giải được dựa trên giả
thiết tất cả các nhóm con tối đại của nhóm con Sylow của G có các tính chất phủ và
né. Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết quả của bài báo: “ Cover-avoidance
properties and the structure of finite groups” của Guo Xiuyun và K.P. Shum, tôi sẽ
trình bày một vài tiêu chuẩn của một nhóm hữu hạn giải được dựa trên giả thiết một
số nhóm con tối đại hoặc 2-nhóm con tối đại của nó có tính chất phủ và né. Mục
tiêu chính của luận văn này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của các nhóm con có
tính chất phủ - né và những ảnh hưởng của nó lên cấu trúc của một nhóm hữu hạn.
Đặc biệt, là nghiên cứu các nhóm con có tính chất phủ và né trong sự liên hệ với
tính giải được, tính lũy linh của một nhóm hữu hạn. Nội dung chính của luận văn
gồm 2 chương.
Trong chương 1, ta sẽ định nghĩa các khái niệm cơ bản như các nhóm con
đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh,... và chứng minh một số kết quả quan
trọng sẽ được sử dụng trong việc chứng minh các định lí ở chương 2.
Trong chương 2, ta sẽ định nghĩa CAP-nhóm con của một nhóm và tìm hiểu
vài tính chất của nó để thấy sự liên hệ giữa các nhóm con có tính chất phủ và né với
tính giải được, tính lũy linh của một nhóm hữu hạn.

Mặc dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với thời gian và kiến thức có hạn
nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp, phê
bình của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Footer Page 6 of 16.


Header Page 7 of 16.

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nhóm con tối đại, 2-nhóm con tối đại, nhóm con tối tiểu
Cho G là nhóm, L < G
Nhóm con tối đại, 2-nhóm con tối đại

i)

L gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại M < G sao cho L < M < G . Kí
hiệu L < ⋅ G .
K gọi là 2-nhóm con tối đại của G nếu K là nhóm con tối đại của L.
ii) Nhóm con tối tiểu
L gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu L ≠ 1 và không tồn tại N < G sao cho
1< N < L.

1.2. Định nghĩa nhóm con chuẩn tắc tối đại, tối tiểu
Cho G là nhóm, N  G . Khi đó:
N gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu không tồn tại M  G sao cho
N

N gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu N ≠ 1 và không tồn tại K  G sao
cho 1 < K < N .
1.3. Định lí
Cho N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G. Giả sử N = m và
G : N = n là nguyên tố cùng nhau. Khi đó G chứa các nhóm con cấp m và hai

nhóm con cấp m bất kì liên hợp với nhau trong G [6, Định lí 9.1.2, trang 253].
1.4. Nhóm con Frattini

Footer Page 7 of 16.


Header Page 8 of 16.

3

1.4.1. Định nghĩa
Nhóm con Frattini của nhóm G được định nghĩa là giao của tất cả các nhóm
con tối đại của G và được kí hiệu là Φ (G ) . Nếu nhóm G không có nhóm con tối đại
thì ta quy ước Φ (G ) =
G.
1.4.2. Mệnh đề
Cho G là một nhóm. Khi đó, Φ (G ) char G, do đó Φ (G )  G .
1.5. Chuẩn hóa tử, tâm hóa tử, lõi
Cho G là nhóm, K ≤ G . Khi đó, ta định nghĩa:
Với mọi g ∈ G , nhóm con K g = g −1 Kg gọi là nhóm con liên hợp của K trong

i)

G.

{

}

N G ( K ) =∈
g G Kg =
K gọi là chuẩn hóa tử của K trong G.

ii)

iii) CG ( K ) =

{g ∈ G gk =

iv) Z(G ) = CG (G ) =

kg , ∀k ∈ K } gọi là tâm hóa tử của K trong G.

{g ∈ G xg =

gx, ∀x ∈ G} gọi là tâm giao hoán của G.

KG = ∩ K g gọi là lõi của K trong G.

v)

g∈G

1.6. Định lí

Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu K  G và P là p-nhóm con Sylow của K thì

G = KN G ( P ) [6, Định lí 5.2.14, trang 136].
1.7. Nhóm con đặc trưng
1.7.1. Định nghĩa

Footer Page 8 of 16.


Header Page 9 of 16.

4

Cho G là nhóm, K ≤ G , K gọi là nhóm con đặc trưng của G nếu α ( K ) = K
với mọi α ∈ Aut(G ) , kí hiệu K char G .
1.7.2. Định lí
Nếu H char G thì H  G .

i)

ii) Với mọi α ∈ Aut(G ), α ( H ) ≤ H thì H char G.
iii) Nếu K char H và H  G thì K  G [1, Mệnh đề 8.2, trang 35].
1.8. Nhóm con dẫn xuất
Cho G là một nhóm và với mỗi x, y ∈ G , kí hiệu [ x, y ] = x −1 y −1 xy .
Khi đó, [ x, y ] được gọi là hoán tử của x và y.
Nhóm con sinh bởi tập các hoán tử của G được gọi là nhóm con dẫn xuất của
G và được kí hiệu là G ' .
1.9.
i)

Định lí
G ' là nhóm con chuẩn tắc của G.

ii) G ' là nhóm con nhỏ nhất sao cho G G ' là nhóm Abel
iii) G ' là nhóm con đặc trưng của G [1, Định lí 2.16 trang 19].
1.10. Định nghĩa phần bù
Cho G là nhóm và H , K ≤ G . K được gọi là phần bù của H trong G nếu
G = HK và H ∩ K =
1.

1.11. Định lí Sylow
1.11.1. Định nghĩa nhóm con Sylow
Cho G là nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố. Khi đó, ta định nghĩa:
i)

Footer Page 9 of 16.

G được gọi là p- nhóm nếu G có cấp là lũy thừa của p.


Header Page 10 of 16.

5

ii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm.
iii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử
tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.
1.11.2. Định lí Sylow
a
=

m, ( m, p ) 1 . Khi đó:
Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu
hạn, G p=

i)

Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G.

Đặc biệt, vì 1 là một p-nhóm con nên các p-nhóm con Sylow luôn tồn tại.
ii) Nếu n p là số các p-nhóm con Sylow thì n p ≡ 1 mod p .
iii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.
1.11.3. Định lí
Cho P là một p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G.
i)

Nếu N G ( P ) ≤ H ≤ G thì H = N G ( H ) .

ii) Nếu N  G thì P ∩ N là một p-nhóm con Sylow của N và PN N là một pnhóm con Sylow của G N [6, Định lí 1.6.18, trang 41].
1.11.4. Định lí
Cho G là p-nhóm không tầm thường và H < G . Khi đó, H < N G ( H ) .
Chứng minh
Ta chứng minh qui nạp theo cấp của G.
Giả sử G là nhóm có cấp nhỏ nhất không thỏa mãn mệnh đề.
Vì H < G và Z(G ) ≠ 1 nên H  HZ(G ) .

Footer Page 10 of 16.


Header Page 11 of 16.

6

Nếu Z(G ) ≤ H thì H < HZ(G ) ≤ N G ( H ) . Do đó, ta giả sử Z(G ) ≤ H . Khi đó,

H Z(G ) là nhóm con thực của G Z(G ) .
Theo giả thiết qui nạp, ta có H Z(G ) < N G Z( G ) ( H Z(G )) . Gọi K là nhóm con của G
chứa H sao cho K Z(G ) = N G Z( G ) ( H Z(G )) . Vì H Z(G )  K Z(G ) nên H  K .
Suy ra, H < K ≤ N G ( H ) .
1.11.5. Định lí Cauchy
Cho G là một nhóm, nếu một số nguyên tố p chia hết cấp của G thì G có
chứa một phần tử cấp p.
Chứng minh
Giả sử G = p a m , trong đó ( m, p ) = 1 . Theo định lí Sylow tồn tại p-nhóm
con cấp p của G và do đó nhóm này là nhóm cyclic sinh bởi phần tử cấp p.
1.12. Nhóm giải được
Cho G là nhóm . Dãy các nhóm con của G là một họ các nhóm con {N i }n
như sau: 1 = N 0 ≤ N1 ≤ ... ≤ N n = G
•

(1)

Nếu N i  N i +1=
với i 0,1,..., n − 1 thì dãy (1) được gọi là dãy chuẩn tắc của

G và được
viết lại là 1 N=
=
G . Khi đó, mỗi N i +1 N i được gọi là
0  N 1  ...  N n
nhân tử của dãy.

•

Nếu nhân tử N i +1 N i là nhóm đơn thì N i +1 N i được gọi là nhân tử hợp thành

của G.
•

Nếu nhân tử N i +1 N i là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu G N i thì N i +1 N i được

gọi là nhân tử chính của G.
1.12.1. Định nghĩa

Footer Page 11 of 16.


Header Page 12 of 16.

7

Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một dãy chuẩn tắc
với i 0,1,..., n − 1 .
=
1 N=
G sao cho N i +1 N i là nhóm Abel=
0  N 1  ...  N n
Khi đó, dãy trên được gọi là dãy Abel của G. Độ dài dãy Abel ngắn nhất
trong G gọi là độ dài dẫn xuất trong G.
1.12.2. Định lí
Cho G là nhóm giải được, H là nhóm con của G. Khi đó:
i) H là nhóm giải được.

ii) Nếu H  G thì G H là nhóm giải được [1, Định lí 8.12, trang 39].
1.12.3. Hệ quả
Hai nhóm H và K đều giải được khi và chỉ khi H × K giải được.
1.12.4. Định lí
Mọi p-nhóm G hữu hạn đều giải được [1, Định lí 8.14, trang 40].
1.12.5. Định lí
Cho G là nhóm hữu hạn giải được. Khi đó mọi nhân tử hợp thành của G có
cấp là số nguyên tố [6, Định lí 5.4.3 trang 148].
1.13. Định nghĩa p-nhóm Abel sơ cấp
Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm hữu hạn. Khi đó, G được gọi
là một p-nhóm Abel sơ cấp nếu G là tích trực tiếp của hữu hạn nhóm cyclic cấp p.
Do đó N là một p-nhóm Abel sơ cấp nếu và chỉ nếu N là nhóm Abel thỏa
điều kiện x p = 1, ∀x ∈ N .
1.14. Định lí

Footer Page 12 of 16.


Header Page 13 of 16.

8

Nếu G là nhóm hữu hạn giải được thì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G
đều là p-nhóm con Abel sơ cấp [1, Định lí 11.3, trang 53].
1.15. Nhóm con Hall, p-nhóm con chuẩn tắc tối đại
Cho π là tập không rỗng các số nguyên tố và π ' là phần bù của π trong tập
tất cả các số nguyên tố.
•

Một số nguyên dương n được gọi là một π -số nếu các ước nguyên tố của n

thuộc π .
•

Một phần tử của G được gọi là π -phần tử nếu cấp của g là một π -số.

•

Một nhóm G được gọi là một π -nhóm nếu mọi phần tử của G đều là π -phần

tử. Trường hợp đặc biệt, khi p = { p} thì π -nhóm chính là p-nhóm.
•

Một nhóm con H của một nhóm G được gọi là một π -nhóm con Hall của G

nếu H là một π -nhóm và G : H là một π ' -số.
Trong một nhóm G hữu hạn bất kì, H là một nhóm con Hall của G nếu và chỉ
nếu ( G : H , H ) = 1 . Hơn nữa, p-nhóm con Sylow của G là một trường hợp đặc biệt
của π -nhóm con Hall khi π chỉ chứa một số nguyên tố p.
Trong nhóm G hữu hạn bất kì, giả sử H và K là các π -nhóm con, K  G .
Khi đó H ∩ K và HK K là các π -nhóm. Do đó HK là π -nhóm. Vì vậy nhóm con
sinh bởi tất cả các π -nhóm con chuẩn tắc của G là π -nhóm. Đây là π -nhóm con
chuẩn tắc lớn nhất duy nhất của G, kí hiệu:
Οπ (G )

Trường hợp đặc biệt π chỉ chứa một số nguyên tố p, Ο p (G ) là p-nhóm con
chuẩn tắc tối đại của G.
1.16.

p-giải được, p-lũy linh, p-phần bù chuẩn tắc, p-đóng,

Thompson

Footer Page 13 of 16.

nhóm con


Header Page 14 of 16.

9

1.16.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố. Ta định nghĩa:
i) G được gọi là nhóm p-giải được nếu mọi nhân tử hợp thành của G hoặc là pnhóm hoặc là p ' -nhóm.
ii) Gọi P là p-nhóm con Sylow của G. Nhóm G được gọi là nhóm p-lũy linh nếu
trong G có nhóm con chuẩn tắc N sao cho G = PN và P ∩ N =
1.
Khi đó N được gọi là p-phần bù chuẩn tắc của G.
iii) Nhóm G được gọi là p-đóng nếu nó có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc.
iv) Với p-nhóm P bất kì, ta kí hiệu A( P ) là tập các nhóm con Abel của P có cấp
tối đại. Khi đó ta định nghĩa
J=
( P)

A A ∈ A( P )

J ( P ) được gọi là nhóm con Thompson của P.

1.16.2. Định lí (Glauberman - Thompson)

Cho P là p-nhóm con Sylow của nhóm G hữu hạn, trong đó p là một số
nguyên tố lẻ. Nếu N G (Z( J ( P ))) có một p-phần bù chuẩn tắc thì G cũng có một pphần bù chuẩn tắc [4, Định lí 8.3.1, trang 280].
1.16.3. Định lí
Cho số nguyên tố p. Nếu một p-nhóm con Sylow P của nhóm hữu hạn G
nằm trong tâm chuẩn hóa tử của nó thì G là p-lũy linh [6, Định lí 10.1.8, trang 289].
1.16.4. Định lí
Cho p là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cấp của nhóm hữu hạn G. Giả sử G
không là nhóm p-lũy linh. Khi đó các p-nhóm con Sylow của G không là nhóm
cyclic. Hơn nữa, G chia hết cho p 3 hoặc 12 [6, Định lí 10.1.9, trang 289].

Footer Page 14 of 16.


Header Page 15 of 16.

10

1.17. Nhóm lũy linh
1.17.1. Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu G có một dãy tâm, tức là G có một
dãy

các

nhóm

con

chuẩn
tắc 1 G=

=
G
0  G1  ...  Gn

sao

cho

Gi +1 Gi ≤ Z ( G Gi ) , ∀=
i 0, n − 1 .

Nhận xét: Mọi nhóm Abel đều là nhóm lũy linh
1.17.2. Định lí
Mọi nhóm lũy linh đều giải được [1, Mệnh đề 9.14, trang 45].
1.17.3. Định lí
Nếu G là một p-nhóm hữu hạn thì G là nhóm lũy linh.
1.17.4. Định lí
Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó:
i)

Nếu M ≤ G thì M là nhóm lũy linh.

ii) Nếu M  G thì G M là nhóm lũy linh.
iii) Nếu M và N là hai nhóm lũy linh thì M × N là nhóm lũy linh.
1.17.5. Định lí
Giả sử mọi nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G là nhóm lũy linh nhưng G
không lũy linh. Khi đó:
i)

G là nhóm giải được.

ii)

G = p m q n trong đó p và q là hai số nguyên tố khác nhau.

Footer Page 15 of 16.


Header Page 16 of 16.

11

iii) Có một p-nhóm con Sylow P duy nhất và một q-nhóm con Sylow Q là nhóm
cyclic. Do đó G = QP và P  G [6, Định lí 9.1.9, trang 258].
1.17.6. Định lí
Cho nhóm hữu hạn G không là p-lũy linh nhưng các nhóm con tối đại của G
là các nhóm p-lũy linh. Khi đó G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P sao cho
G : P là lũy thừa số nguyên tố q ≠ p . Hơn nữa mọi nhóm con tối đại của G là

nhóm lũy linh [6, Định lí 10.3.3, trang 296].
1.17.7. Định lí
Nếu nhóm hữu hạn G có một nhóm con tối đại lũy linh M có cấp lẻ thì G là
nhóm giải được [6, Định lí 10.4.2, trang 303].
1.17.8. Định lí
Giả sử nhóm hữu hạn G là nhóm không giải được có một nhóm con tối đại
lũy linh M. Gọi T là 2-nhóm con Sylow duy nhất của M và U là 2-phần bù duy nhất
của M. Khi đó U  G , Z(U ) ≤ Z(G ), G Z(U ) ≅ G U × U Z(U ) và G U là nhóm
không giải được nhưng các 2-nhóm con Sylow của G U là các nhóm con tối đại.
Đăc biệt, nếu Z(G ) = 1 thì M là 2-nhóm con Sylow của G [7, Định lí 1, trang 183].
1.17.9. Định lí

Cho H là nhóm con tối đại của nhóm G. H là nhóm lũy linh và các 2-nhóm
con Sylow của H có lớp ≤ 2 . Khi đó, G là nhóm giải được.
1.17.10. Định lí
Nếu G là một nhóm hữu hạn thì Φ (G ) là nhóm con lũy linh của G.
1.18. Nhóm con X-bất biến, nhóm con nguyên thủy
1.18.1. Định nghĩa

Footer Page 16 of 16.


Header Page 17 of 16.

12

Cho G và X là hai nhóm. Khi đó ta định nghĩa:
i)

Nhóm con U của G là X-bất biến nếu với mọi x ∈ X :
U x =:

{u

x

u ∈ U }= U

ii) Nhóm con M của G là nhóm con nguyên thủy nếu M thỏa điều kiện:

1≠ N  M ⇒ M =
NG ( N )

1.18.2. Định lí
Cho M là nhóm con nguyên thủy, p ∈ p ( M ) và N  G . Giả sử M ∩ N =
1
và Ο p ( M ) ≠ 1 . Khi đó:
a)

p ∈ p (N )

b) Với mọi q ∈ π ( N ) tồn tại duy nhất một q-nhóm con Sylow M-bất biến của
N.
c) Nếu π ( N ) ≥ 2 thì M không là nhóm con tối đại của G.
1.19. Định lí
Nếu G là nhóm hữu hạn, lũy linh thì mọi nhóm Sylow chuẩn tắc trong G.
Chứng minh
Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Cho G là nhóm lũy linh và H < G . Khi đó H < N G ( H ) . Thật vậy:
Vì G là nhóm lũy linh nên Z(G ) ≤ N G ( H )
• Nếu Z(G ) ≤/ H thì H < HZ(G ) ≤ N G ( H ) .

Footer Page 17 of 16.


Header Page 18 of 16.

13

• Nếu Z(G ) ≤ H thì ta chứng minh qui nạp theo cấp của G.
Xét nhóm thương G Z(G ) . Theo giả thiết qui nạp: H Z(G ) < N G Z( G ) ( H Z(G ) )
Gọi K là nhóm con của G sao cho K Z(G ) < N G Z( G ) ( H Z(G ) ) .
Vì H Z(G )  K Z(G ) nên H  K . Suy ra H < K ≤ N G ( H ) .

Bây giờ ta chứng minh định lí
Gọi P là p-nhóm con Sylow của G.
Với mọi g ∈ N G ( N G ( P ) ) ta có g −1 N G ( P ) g = N G ( P ).
Mặt khác g −1 Pg là p-nhóm con Sylow của G và P  N G ( P )
Suy ra g −1 Pg ≤ g −1 N G ( P ) g =
NG ( P)
⇒ g −1 Pg= P

⇒ g ∈ N G ( P ) ⇒ N G ( N G ( P )=
) NG ( P)

Theo bổ đề trên ta có G = N G ( P ) . Vậy P  G .
1.20. Định lí
Mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu K của nhóm hữu hạn G là tích trực tiếp

K = T1 × ... × Tm trong đó Ti (i = 1, m ) là các nhóm con đơn chuẩn tắc tối tiểu của K
liên hợp trong G.
Chứng minh
Gọi T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Khi đó, các nhóm liên hợp
x −1Tx, ∀x ∈ G của T là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K.

Footer Page 18 of 16.


Header Page 19 of 16.

14

Chọn S = {T1 ,..., Tm } là tập tối đại các liên hợp của T thỏa mãn tính chất sau
L := T1 ,..., Tm = T1 × ... × Tm  K .

Gọi H là nhóm liên hợp của T trong G. Khi đó H là nhóm con chuẩn tắc tối
tiểu của K. Suy ra H ∩ L là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của K. Do đó, hoặc H ≤ L
hoặc H , L= HL= H × L .
Nhưng do cách chọn S nên H ≤ L . Suy ra L chứa tất cả các nhóm liên hợp của T
trong G. Vậy L  G .
Vì 1 ≠ L ≤ K và K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên K = L = T1 × ... × Tm .
Với mọi Ti (i = 1, m ) , Ti là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu trong T1 × ... × Tm nên Ti là
nhóm đơn.

Footer Page 19 of 16.


Header Page 20 of 16.

15

Chương 2. CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN
Trong luận văn này, ta chỉ xét các nhóm hữu hạn.
2.1. CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn
2.1.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm, A ≤ G và H K là nhân tử chính của G . Ta nói:
(1) A phủ H K nếu H ≤ KA hay HA = KA ;
(2) A né H K nếu H ∩ A ≤ K hay H ∩ A = K ∩ A ;
(3) A gọi là CAP- nhóm con của G nếu A hoặc là phủ hoặc là né mỗi nhân tử
chính của G .
Nhận xét: Cho G là nhóm, A ≤ G và H K là nhân tử chính của G. Khi đó, nếu A
phủ H K thì A không né H K và ngược lại. Thật vậy, giả sử A phủ và né H K .
Ta có HA = KA và H ∩ A = K ∩ A
Mà H

H∩A

≅ HA

A

= KA

A

≅K

K∩A

nên H = K

Điều này mâu thuẫn vì K < H
2.1.2. Ví dụ
Cho G = S4 là nhóm đối xứng bậc 4. Khi đó, nhóm G chỉ có một dãy chuẩn
tắc 1 ≤ V4 ≤ A4 ≤ G . Dễ thấy A4 , S3 , A3 , D8 là các CAP-nhóm con của G .
2.1.3. Tính chất
Cho G là nhóm giải được
i)

Mọi nhóm con tối đại của G là các CAP-nhóm con của G .

Footer Page 20 of 16.

Header Page 21 of 16.

16

ii) Mọi nhóm con Hall của G là các CAP-nhóm con của G .
Chứng minh
i)

Giả sử M < ⋅ G và K L là nhân tử chính của G.
• Nếu L ≤/ M thì MK
= ML
= G , hoặc K ≤ M thì MK
= ML
= M.
• Nếu L ≤ M và K ≤/ M thì M L ∩ K L  G L . Do tính tối tiểu của K L

nên M L ∩ K L= K L ⇒ K ≤ M (!) hoặc M L ∩ K L =1 ⇒ M ∩ K ⊂ L =M ∩ L
Vậy M là CAP-nhóm con của G .
ii) Giả sử H là nhóm con Hall của G và K L là nhân tử chính của G. Vì G là
nhóm giải được nên G L là nhóm giải được. Mặt khác, K L là nhóm con chuẩn tắc
tối tiểu của G L nên theo định lí 1.15, K L là p-nhóm Abel sơ cấp với p là số
nguyên tố.
Trường hợp 1: H là p ' -nhóm
Do K L là p-nhóm Abel sơ cấp nên với mọi phần tử x ∈ K có cấp là t sao
cho ( t , p ) = 1 , ta có x ∈ L . Thật vậy, khi đó ∃ u, v : tu + pv =
1.
tu + pv
=
x x=
x tu=

. x pv ( x p ) v ∈ L (vì ∀x ∈ K : x p = 1 ⇒ x p ∈ L )

Suy ra H ∩ K = H ∩ L = H
Trường hợp 2: H là p-nhóm
Do H là nhóm con Hall nên H là p-nhóm con Sylow của G .
k
p k và H ∩ L =
pl
.m, L p l .m (l < k ) . Suy ra, H ∩ K =
Giả =
sử K p =

Footer Page 21 of 16.


Header Page 22 of 16.

17

=
HK
Khi đó,

H K
=
HL
= H .m và
H ∩K

H L

= H .m
H ∩L

Do đó, ta có HK = HL .
Vậy H là CAP-nhóm con của G .
2.1.4. Định nghĩa
Cho G là nhóm và p là số nguyên tố. Đặt

{M / M < ⋅G}.

=
F

Fn = { M / M ∈F và M không lũy linh}.
Fc = { M / M ∈F và G : M là hợp số}.
= { M / M ∈F và N G ( P ) ≤ M với một p-nhóm con Sylow P của G }.

F

p

F

op

F

pcn

F

ocn

= G p∈p ( G )−{2} F

p

= F

p

∩ Fc ∩ Fn

= F

op

∩ Fc ∩ Fn

Đây là họ các nhóm con của G .
2.1.5. Định nghĩa

=
S pcn (G ) {M / M ∈ F
=
S ocn (G ) {M / M ∈ F
Nhận xét:

Footer Page 22 of 16.

} . Nếu F

pcn

= 0/ thì S pcn (G ) = G .

} . Nếu F

ocn

= 0/ thì S ocn (G ) = G .

pcn

ocn


Header Page 23 of 16.

•

18

S pcn (G ) và S ocn (G ) là các nhóm con đặc trưng của G. Thật vậy:

Nếu F

pcn

= 0/ thì hiển nhiên S pcn (G ) char G.

Nếu F

pcn

=/ 0/ thì ∀M ∈F

pcn

và ϕ ∈ Aut(G ) ta có ϕ −1 ( M ) ∈F

pcn

−1
−1
pcn
pcn
ϕ −1 ( S pcn (G ))
Suy ra S (G ) ≤ ϕ ( M ) ⇒ S (G ) ≤ ϕ ( ∩ pcn M ) =
M ∈F

Khi đó, ϕ ( S pcn (G )) ≤ S pcn (G ) nên theo định lí 1.8.2, ta có S pcn (G ) char G.
Chứng minh tương tự ta cũng có S ocn (G ) char G.
•

Với nhóm G bất kì, ta luôn có Φ (G ) ≤ S ocn (G ) ≤ S pcn (G ) .

2.1.6. Bổ đề (Schaller [9, Lemma 1.4])
Cho G là nhóm, N  G và A là một CAP-nhóm con của G. Khi đó, AN là một
CAP-nhóm con của G.

Chứng minh
Gọi K L là nhân tử chính của G.
• Nếu K ≤ NL thì AN phủ K L vì ANK ≤ ANNL ≤ ANL .
• Nếu K ≤/ NL thì NK NL ≠ 1 và NK NL là nhân tử chính của G.
Thật vậy, xét toàn cấu chiếu p : G L → G NL .

gg
−1
−1
Giả sử M  G NL sao cho M < NK NL . Khi đó p ( M )  G L và p ( M ) < K L

−1
Do tính tối tiểu của K L nên p ( M ) = 1 . Suy ra M = 1 .

Footer Page 23 of 16.


Header Page 24 of 16.

19

Vì A là CAP-nhóm con của G nên ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: A phủ NK NL .
Khi đó, K ≤ NK ≤ ANL . Suy ra, AN phủ K L .
Trường hợp 2: A né NK NL .
Khi đó, A ∩ NK ≤ A ∩ NL . Suy ra, NK ∩ AN = ( NK ∩ A) N = ( NL ∩ A) N ≤ NL và

AN ∩ K ≤ NL ∩ K= L( N ∩ K )= L . Vậy AN né K L .
2.1.7. Bổ đề
Cho G là nhóm, N  G sao cho N ≤ S pcn (G ) . Nếu p là số nguyên tố lớn

nhất trong π ( N ) thì hoặc G là nhóm giải được hoặc N là nhóm p-đóng. Trong cả
hai trường hợp, N luôn là p- giải được. Đặc biệt, nếu p là số nguyên tố lớn nhất chia
hết cấp của S pcn (G ) thì S pcn (G ) là nhóm p-giải được.
Chứng minh
Giả sử G không là nhóm giải được, ta sẽ chứng minh N là nhóm p-đóng.
Dễ thấy, bổ đề đúng với p = 2 . Bây giờ, ta giả sử p là số nguyên tố lẻ.
Gọi P1 là p-nhóm con Sylow của N.
Khi đó, theo định lí Sylow, tồn tại P ∈ Syl p (G ) sao cho P1= P ∩ N .
Nếu P1  G thì N là nhóm p-đóng.
Giả sử P1 không chuẩn tắc trong G. Khi đó, tồn tại một nhóm con tối đại M của G
sao cho N G ( P ) ≤ N G ( P1 ) ≤ M (do P1= P ∩ N nên=
P1 N G ( P ) ∩ N ⇒ P1  N G ( P ) )
Theo định lí 1.6, ta có G = NN G ( P1 ) . Ta sẽ chứng minh G : M là hợp số.

Footer Page 24 of 16.


Header Page 25 of 16.

20

Giả sử ngược lại, G : M = q là số nguyên tố. Khi đó, theo định lí Sylow, ta
có G : M ≡ 1(mod p ) (vì G : N G ( P ) ≡ 1(mod p ) và M : N G ( P ) ≡ 1(mod p ) ).
Suy ra q = 1 + kp
Mặt

khác,

(1)

G : M M : N G ( P1 )=
=
N G ( P1 ) N N ( P1 ) N
N G ( P1 ) N N ( P1 ) N N G ( P1 )

trong đó N N ( P1=
) N ∩ N G ( P1 )
Hay q M : N G ( P1 ) N N ( P1 ) = N
Suy ra q N

(2)

Từ (1) và (2) suy ra q > p (điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố lớn nhất trong

π ( N ) ). Vậy G : M là hợp số.
Nếu M là nhóm lũy linh thì theo định lí 1.17.7 ta có M là số chẵn.
Gọi M 2' là 2’-nhóm con Hall của M. Theo định lí 1.17.8, ta có M 2'  G .
Mặt khác, P là p-nhóm con Sylow của nhóm lũy linh M 2' nên theo định lí 1.19 ta
có P  M 2' . Khi đó, P char M 2' . Thật vậy, với mọi ϕ ∈ Aut( M 2' ) ta có ϕ ( P ) là pnhóm con Sylow của M 2' . Do mọi p-nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau nên
−1
−1
ϕ ( P ) g=
Pg P .
tồn tại g ∈ M 2' sao cho g Pg = ϕ ( P ) . Vì P  M 2' nên =

Theo định lí 1.7.2, ta có P  G .
Do đó P1= P ∩ N  G (điều này mâu thuẫn với giả thiết P1 không là nhóm con
chuẩn tắc của G). Suy ra, M không lũy linh.
Khi đó, M ∈F
Điều này vô lí.

Footer Page 25 of 16.

pcn

=
G NN G ( P1 ) ≤ M < G (do N ≤ M ).
suy ra