CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ TRONG LÝ THUYẾT ÔTÔMAT LUÂN VĂN THẠC SĨ 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
TRONG LÝ THUYẾT ÔTÔMAT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG, 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
TRONG LÝ THUYẾT ÔTÔMAT

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

ĐÀ NẴNG, 2013

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hồng Nhung


DANH MỤC CÁC HÌNH
Số hiệu hình

Tên hình

Trang

1.1

Sơ đồ đẳng cấu ψ: ψ=

9

1.2

Sơ đồ cảm sinh ánh xạ ψ và ψ’

22

1.3

1.4

1.5

2.1

′ là ảnh đồng cấu của

Sơ đồ

với ánh xạ quyết

định ψ1 = ψµ3
Sơ đồ

là ảnh đồng cấu của

với ánh xạ

quyết định ψ2 = ψ’εB’ = ψ’
Sơ đồ giao hoán của đồng cấu μ của ôtômat Moore
và

′

Sơ đồ kết nối song song của tích Descartes của hai
ôtômat

x 2

23

24

24

39

2.2

Sơ đồ kết nối dãy của hai ôtômat

và

40

2.3

Sơ đồ kết nối tầng của hai ôtômat

1 và

40

2.4a, 2.4b

2.5a, 2.5b

Hai sơ đồ giao hoán đẳng cấu của bộ ba µ: (X, α,

β)→(X’, α’, β’)
Hai sơ đồ giao hoán đẳng cấu của bộ ba µ:(X, α,
β)→(Xo, αo, βo)

41

42


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................... ……………………………. 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài ..................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu .............................................................. 3
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .......................................... 3
7. Cấu trúc của luận văn .................................................................. 3
CHƯƠNG 1. ÔTÔMAT THUẦN TUÝ......................................................... 4
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................................. 4
1.1.1. Định nghĩa và ví dụ .............................................................................. 4
1.1.2. Biểu diễn ôtômat của một tập và nửa nhóm ........................................ 5
1.1.3. Đồng cấu ôtômat .................................................................................. 7
1.1.4. Ôtômat tuần hoàn ............................................................................... 11
1.2. ÔTÔMAT PHỔ DỤNG ................................................................................ 15
1.2.1.Định nghĩa các tính chất của ôtômat phổ dụng .................................. 15
1.2.2. Tính khớp của ôtômat phổ dụng và rút gọn trái, phải ....................... 18
1.3. ÔTÔMAT MOORE .......................................................................21
1.3.1. Định nghĩa và vài thuộc tính .............................................................. 21
1.3.2. Ôtômat Moore và ôtômat phổ dụng ................................................... 22

1.3.3. Đồng cấu của ôtômat Moore .............................................................. 24
1.4. ÔTÔMAT THUẦN TUÝ TỰ DO .................................................... 28
1.4.1. Định nghĩa, sự thực thi....................................................................... 28
1.4.2. Tiêu chuẩn tự do ................................................................................ 30
1.4.3. Một vài tính chất ................................................................................ 33
1.5. TỔNG QUÁT HOÁ .......................................................................35


1.5.1. Ôtômat với đa tạp tùy ý ..................................................................... 35
1.5.2. Ôtômat tuyến tính .............................................................................. 37
1.5.3. Ôtômat Affine .................................................................................... 38
CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG VÀ PHÂN RÃ ÔTÔMAT ................................ 41
2.1. XÂY DỰNG ÔTÔMAT THUẦN TUÝ ..............................................41
2.1.1. Kết nối tầng của ôtômat tuyệt đối thuần túy ...................................... 41
2.1.2. Kết nối tầng và tích luồng của ôtômat nửa nhóm thuần túy .............. 45
2.1.3. Các thuộc tính của kết nối tầng.......................................................... 46
2.2. PHÂN RÃ ÔTÔMAT THUẦN TUÝ HỮU HẠN .................................49
2.2.1. Lý thuyết phân rã Krohn-Khodes ...................................................... 49
2.2.2. Phân rã của ôtômat Mealy ................................................................. 55
CHƯƠNG 3. ÔTÔMAT TUYẾN TÍNH ..................................................... 57
3.1. ÔTÔMAT TUYẾN TÍNH VÀ SONG ÔTÔMAT .................................57
3.1.1. Ôtômat tuyến tính, sự tuyến tính hóa ................................................. 57
3.1.2. Ôtômat tuyến tính Moore ................................................................... 59
3.1.3. Song ôtômat ....................................................................................... 62
3.1.4. Ôtômat, song ôtômat và biểu diễn ..................................................... 64
3.2. XÂY DỰNG VÀ PHÂN RÃ ÔTÔMAT .............................................65
3.2.1. Xây dựng. Tích tam giác.................................................................... 65
3.2.2. Phân rã ôtômat tuyến tính .................................................................. 69
3.3. TỰ ĐẲNG CẤU CỦA ÔTÔMAT TUYẾN TÍNH VÀ SONG ÔTÔMAT ..76
3.3.1. Một số định nghĩa, bổ đề cơ bản ........................................................ 76

3.3.2. Tự đẳng cấu của ôtômat phổ dụng ..................................................... 78
KẾT LUẬN ................................................................................................. 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 81
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)



1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lịch sử phát triển của lý thuyết Ôtômat đã trải qua những thời kỳ huy
hoàng từ những năm 50 do nhu cầu nghiên cứu phát sinh từ ngôn ngữ hình
thức, ngôn ngữ lập trình, điều khiển học,…và ngày càng tỏ rõ vai trò quan
trọng của nó trong nhiều công trình cho tới nay. Ôtômat – mô hình toán học
trong lý thuyết tính toán cổ điển – đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết
khoa học máy tính.
Đề tài này dành cho việc nghiên cứu các cấu trúc đại số liên quan đến
khái niệm Ôtômat. Tầm quan trọng được thực hiện trên khung đại số của
Ôtômat và cơ sở dữ liệu thực. Vì vậy, các khái niệm này xuất hiện dưới dạng
các cấu trúc đại số nhiều loại, cho phép lý thuyết đại số được phát triển. Vì
việc xử lý về mặt cấu trúc đại số mở đường cho cấu trúc và dáng điệu của
Ôtômat và cơ sở dữ liệu thực, chúng ta hy vọng rằng lý thuyết được xây dựng
sẽ tìm thấy các ứng dụng của nó. Mặt khác, chúng ta theo đuổi khá nhiều mục
đích đại số hầu tìm kiếm các phương cách làm phong phú cho chính đại số.
Khái niệm Ôtômat xuất hiện trong nhiều bài toán khác nhau được liên
kết với khoa học máy tính, hệ thống mạng, lý thuyết điều khiển, … Cấu trúc
toán học của nó dựa trên lập luận trực giác, phản ánh thực thể Ôtômat thực.
Bây giờ lý thuyết Ôtômat là một lĩnh vực toán học được phát triển. Có hai
khía cạnh có thể được vạch ra trong việc nghiên cứu Ôtômat, đó là sự tiếp cận

tổ hợp và lý thuyết đại số. Cái thứ nhất thuộc phạm vi lớn hơn liên quan đến
dáng điệu, phân tích và tổng hợp Ôtômat. Chắc chắn rằng cả hai hướng này là
không độc lập với nhau: phương pháp đại số được dùng trong bài toán tổ hợp.
Chẳng hạn, lý thuyết Ôtômat đại số đóng một vai trò có ý nghĩa trong lý
thuyết thuật toán và ngôn ngữ. Tuy nhiên, nói theo khía cạnh đại số của lý
thuyết Ôtômat, trước hết chúng ta ghi nhớ một Ôtômat như là một cấu trúc đại


2

số. Một sự phân tích hợp lý về cấu trúc đại số này là một trong các mục tiêu
chính của đề tài. Ngoài ra, cấu trúc đại số của Ôtômat cung cấp một thông tin
quan trọng về cấu trúc của Ôtômat thực. Định lý phân rã Krohn-Rhodes hoá
ra là bằng chứng gây ấn tượng nhất cho điều này. Một hướng quan trọng khác
được trình bày bằng việc áp dụng phương pháp đại số đối với sự phân loại
Ôtômat, mô tả dáng điệu của nó bằng sự đồng nhất, nghiên cứu các đa tạp
Ôtômat. Cuối cùng, chúng ta cố gắng đi theo quan điểm phạm trù về Ôtômat
như là về các hệ đại số.
Xuất phát từ nhu cầu phát triển của lý thuyết Ôtômat cùng những ứng
dụng của nó, chúng tôi quyết định chọn đề tài với chủ đề: Các cấu trúc đại số
trong lý thuyết Ôtômat để tiến hành nghiên cứu. Chúng tôi hy vọng tạo được
một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về Lý thuyết
Ôtômat và các ứng dụng của nó và luận văn đã chỉ ra được một số ví dụ minh
hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực
này.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu lý thuyết Ôtômat qua các cấu trúc
đại số trên một số Ôtômat cụ thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về Ôtômat thuần tuý.

- Nghiên cứu về xây dựng và phân rã Ôtômat.
- Nghiên cứu về Ôtômat tuyến tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các cấu trúc đại số trên một số
Ôtômat cụ thể. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là lý thuyết Ôtômat.


3

5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu
liên quan đến các cấu trúc đại số trong lý thuyết Ôtômat, cụ thể là Ôtômat
thuần túy, Ôtômat phổ dụng, Ôtômat Moore, Ôtômat thuần túy tự do, Ôtômat
tuyến tính, song Ôtômat.
- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả
đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về lý
thuyết Ôtômat.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến lý
thuyết Ôtômat và các cấu trúc đại số trên một số Ôtômat cụ thể nhằm xây
dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu các cấu trúc đại
số trong lý thuyết Ôtômat.
- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số
ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được
đề cập.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài các phần danh mục hình vẽ, mục lục, mở đầu, luận văn chia thành
3 chương:
- Trong Chương 1, chúng tôi sẽ trình bày cấu trúc đại số của Ôtômat
thuần túy, Ôtômat phổ dụng, Ôtômat Moore, Ôtômat thuần túy tự do.

- Trong Chương 2, chúng tôi sẽ trình bày việc xây dựng và phân rã
Ôtômat qua các Ôtômat thuần túy và thuần túy hữu hạn.
- Ôtômat tuyến tính dự kiến trình bày trong Chương 3. Cụ thể là Ôtômat
tuyến tính, song Ôtômat, xây dựng và phân rã Ôtômat tuyến tính và tự đẳng
cấu của Ôtômat tuyến tính và song Ôtômat.


4

CHƯƠNG 1

ÔTÔMAT THUẦN TUÝ
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Định nghĩa và ví dụ
Một ôtômat

=(A, X, B) gồm ba tập A, X, B lần lượt được gọi là tập

các trạng thái, tập các tín hiệu vào, tập các tín hiệu ra và hai phép toán hai
ngôi:
 : A x X→A, ∗ : A x X→B

Một ôtômat

= (A, X, B) được gọi là ôtômat nửa nhóm nếu tập các tín

hiệu vào là một nửa nhóm, và thoả mãn:
a  γ γ = (a  γ )  γ

(1.1)

a ∗ γ γ = (a  γ ) ∗ γ ,
Một ôtômat

= (A, X, B) được gọi là hữu hạn nếu các tập A, X, B là

hữu hạn. Trong một vài trường hợp A, B có cấu trúc đại số nào đó chẳng hạn
chúng là không gian tuyến tính. Tuy nhiên, trong chương này chúng ta chỉ
nghiên cứu ôtômat thuần tuý, nghĩa là ôtômat mà các trạng thái và tập các tín
hiệu ra không có cấu trúc đại số.
Một ôtômat

= (A, X, B) được gọi là tuyệt đối thuần tuý nếu tập các tín

hiệu vào cũng không có bất kỳ cấu trúc đại số nào.
Ví dụ: Cho

= (A, X, B) là một ôtômat với hai trạng thái A = {0,1},

hai tín hiệu vào X = {0,1} và hai tín hiệu ra B = {0,1}. Các phép toán ๐ và ∗
được xác định bởi: a  x = a + x(mod2), a ∗ x = a . x(mod2).
Cho A, B là các tập bất kỳ, SA là nửa nhóm tất cả các phép biến đổi của
tập A, Fun(A, B) là tập hợp tất cả các ánh xạ từ A vào B. Xét tích Descartes
S(A,B) = SAx Fun(A, B) và định nghĩa tích phép toán trên tập S(A, B), giả sử:
(φ1 , ψ1 )(φ2 , ψ2)=(φ1 φ2 , φ1 ψ2 ), φi ∈ SA, ψi ∈Fun(A, B).


5

Kiểm tra trực tiếp cho thấy rằng toán tử này có tính chất kết hợp. Do đó

S(A, B) là một nửa nhóm. Định nghĩa ôtômat (A, S(A, B), B) với các phép
toán xác định bởi:
a  (σ, φ) = a
a ∗ (σ, γ) = a
trong đó, a ∈ A, (σ, φ) ∈ S(A, B), σ ∈ SA, φ ∈ Fun(A, B).
Ôtômat trên là ôtômat nửa nhóm. Thật vậy:
a  ((σ , φ )(σ , φ )) = a  (σ σ , σ φ ) = a

=(a )
= (a  (σ , φ ))( σ , φ )

a ((σ , φ )( σ , φ )) = a∗ (σ σ , σ φ )=(a ) =(a (σ , φ ))( σ , φ )
Ký hiệu ôtômat này là Atm1(A, B).
Một ôtômat mà chỉ có hai tập A, X và phép toán  được gọi là nửa
ôtômat của ôtômat thuộc tín hiệu vào – trạng thái. Trên thực ôtômat như thế là
biểu diễn

= (A, X). Cũng có ôtômat

= (A, X, B) chỉ có phép toán ∗,

ôtômat như thế được gọi là ôtômat của tín hiệu vào – ra hoặc ∗-ôtômat.
1.1.2. Biểu diễn ôtômat của một tập và nửa nhóm
Cho A là một tập hợp và SA là nửa nhóm của các phép biến đổi. Nếu X
là một tập hợp khác nào đó thì mỗi ánh xạ f: X→SA cho biểu diễn của các
phần tử từ X bằng phép biến đổi của A. Ta có phép toán  : AxA→A được
xác định bởi a  x=af(x). Mặt khác cho toán từ  , mỗi x có thể xem như phép
biến đổi của A, và vì vậy f: X→SA xuất hiện. Cùng là một phép tương ứng 11. Trong trường hợp X=Γ1 là một nửa nhóm, có thể trực tiếp dễ dàng biểu
diễn quan hệ a  γ γ = (a  γ )  γ , γ Γ có được nếu và chỉ nếu f: Γ→SA là
một đồng cấu. Dựa trên các lập luận đã biết, ta định nghĩa khái niệm về một

biểu diễn ôtômat biểu diễn.
Cho ôtômat

=(A, X, B) và nửa nhóm S(A, B). Phần tử xX hoạt động,

theo một cách như là phép biến đổi của tập hợp A, nghĩa là phần tử của SA, và


6

theo một cách khác như là phần tử của Fun(A, B). Do đó ta định nghĩa hai
ánh xạ:
α: X→SA, β: X→Fun(A, B). Với mỗi xX ta định nghĩa chuyển đổi x α
của SA và ánh xạ x β của Fun(A, B) theo cách sau:
ax α = a  x, ax β = a∗x.
Định nghĩa biểu diễn f: X→S(A, B), bằng cách đặt xf = (x α x β ). Biễu
diễn này là liên kết với ôtômat

. Nếu X=Γ là một nửa nhóm, dễ dàng thấy

rằng f: X→S(A, B) là đồng cấu từ nửa nhóm Γ vào S(A, B).
Mặt khác, ta xét ánh xạ f: X→S(A, B) và phần tử xf = (φ, ψ)S(A,B)=
SA x Fun(A, B) là ảnh của phần tử x. Ôtômat

=(A, X, B,  , ∗) với a  x=x ,

a∗x=a tương ứng với ánh xạ này. Nếu X=Γ là một nửa nhóm, đồng cấu f:
Γ→S(A, B) xác định ôtômat nửa nhóm (A, Γ, B). Thật vậy, định nghĩa ôtômat
= (A, X, B) tương đương với việc xác định biểu diễn f: X→S(A, B) trong
việc xác định ôtômat nửa nhóm (A, Γ, B) là tương đương với đồng cấu f:

X→S(A, B).
Một ôtômat tuyệt đối thuần tuý (A, X, B) được gọi là ôtômat khớp nếu
ánh xạ liên kết X→S(A, B) là đơn ánh. Tương ứng ôtômat nửa nhóm (A, Γ,
B) là ôtômat khớp, nếu đồng cấu f: Γ→S(A, B) là đơn cấu nửa nhóm. Cho
ánh xạ f: A→B. Xét quan hệ ρ = ρ(f) trên A xác định bởi a ρa′ nếu và chỉ nếu
f(a)=f(a’). Rõ ràng ρ là quan hệ tương đương, gọi là tương đương hạt nhân
của f hay đơn giản là hạt nhân của f, ký hiệu là Kerf. Nếu f:X→S(A, B) là
đồng cấu thì hạt nhân của ρ=Kerf được gọi là hạt nhân của biểu diễn ôtômat
hoặc hạt nhân của ôtômat

=(A, X, B). Mỗi ôtômat

=(A, X, B) có được

ôtômat khớp (A, X/ρ, B) với X/ρ là tập hợp thương của X bởi ρ.
Cùng với hạt nhân ρ=Kerf, xét hạt nhân của ánh xạ α: Γ → SA ,
β: Γ→Fun(A, B) được ký hiệu ρα =kerα, ρβ =kerβ. Vì α là đồng cấu, ρα là


7

phép đồng dư của nửa nhóm Γ nghĩa là với γ ρα γ , γ′ρα γ thì γγ′ρα γ γ . Quan
hệ tương đương ρβ có thể không là phép đồng dư nhưng nó bảo toàn phép
nhân, nghĩa là nếu γ ρβ γ thì γγ ρβ γγ . Ngoài ra ρ = ρα ρβ .
Sử dụng biểu diễn ôtômat, một ôtômat tuyệt đối thuần tuý

= (A, X, B)

có thể mở rộng đến ôtômat nửa nhóm F( ) = (A, F, B), ở đây F = F(X) là nửa
nhóm tự do sinh bởi tập X. Thật vậy, việc xác định ôtômat

là tương đương

với việc xác định biểu diễn f: X→S(A, B). Do thuộc tính phổ dụng của nửa
nhóm tự do, ánh xạ f: X→S(A, B) là được mở rộng duy nhất lên đồng cấu
f:F(X)→S(A, B), trong khi xác định đồng cấu này là tương đương với việc
xác định ôtômat nửa nhóm (A, F(X), B).
=(A, X, B) là ôtômat với tập trạng thái A={a0, a1,…,an-1}, tập

Ví dụ:

các tín hiệu vào X bao gồm một phần tử x và tập các tín hiệu ra B={0,1}.
Phép toán  và ∗ được định nghĩa như sau:
ai  x=ak, ở đây k=i + 1(modn);
0, i ≡ 0(mod2)
1, i ≡ 1(mod2)

ai ∗ x =

Trong ôtômat nửa nhóm F( ) = (A, F, B), nửa nhóm là F( ), nửa
nhóm là F( ) nửa nhóm tuần hoàn vô hạn với phần tử sinh x. Các phần tử
của F( ) có dạng xm, m = 1, 2, … và hoạt động theo cách sau:
ai  x =ak với k = i + m(modn)
ai ∗ x

=

0, i + m − 1 ≡ 0(mod2)
1, i + m − 1 ≡ 1(mod2)

1.1.3. Đồng cấu ôtômat
Bộ ba ánh xạ μ=(μ1 ,μ2 ,μ3 ), với μ1 :A→A' , μ2 :X→X' , μ3 :B→B' được gọi
là đồng cấu :

→ ’ từ ôtômat

nếu điều kiện sau được thoả mãn:
(a  x)μ = aμ  x μ

= (A, X, B) đến ôtômat

’ = (A’, X’, B’),


8

(a ∗ x)μ = aμ ∗ x μ , aA, xX.

(1.2)

Để định nghĩa đồng cấu của ôtômat nửa nhóm μ: (A, Γ, B)→ (A′, Γ′, B′)
và có thêm điều kiện sau:
μ là đồng cấu của nửa nhóm Γ đến Γ′.

(1.3)

Nếu μ1 ,μ2 ,μ3 là ánh ánh xạ 1-1 thì μ được gọi là đẳng cấu của ôtômat.
Một đồng cấu (tương ứng đẳng cấu) của ôtômat

vào chính nó được gọi là

tự đồng cấu của ôtômat.
Cho hai ôtômat

=(A, X, B) và

và tập tín hiệu ra. Đồng cấu

’=(A’, X, B) có cùng tập tín hiệu vào

→ ’ có dạng μ1 = (μ1 , εX, εB ) trong đó εX, εB

lần lượt là ánh xạ đồng nhất của tập X và B được gọi là đồng cấu theo trạng
thái. Nếu ánh xạ μ1 là toàn ánh (tương ứng đơn ánh),μ1 được gọi là toàn cấu
(tương ứng đơn cấu) trạng thái. Đối với các ôtômat hữu hạn, với ôtômat

,

được cho tồn tại một thuật toán xây dựng ảnh toàn cấu theo trạng thái ảnh

’

với số trạng thái ít nhất. Đồng cấu theo tập tín hiệu vào và đồng cấu theo tập
tín hiệu ra được định nghĩa hoàn toàn tương tự như đồng cấu theo trạng thái.
Chẳng hạn, một đồng cấu theo tập tín hiệu vào từ ôtômat
vào ôtômat

=(A, X, B)

’ = (A, X’, B) là đồng cấu dạng μ2 =( εA , μ2 , εB ) với εA, εB là

ánh xạ đồng nhất của tập hợp A, B điều kiện (1.2) kéo theo a  x=
(a  x)εA = aεA  xμ2 = a  xμ2 , aA, xX. Tương tự a ∗ x = a ∗ x μ .
Đồng cấu theo tín hiệu vào có nghĩa làm cho ôtômat trở nên khớp hơn;
nếu

là một ôtômat khớp thì ôtômat

cấu μ2 :

’ cũng là một ôtômat khớp và đồng

→ ’ là đẳng cấu.

Nếu μ=(μ1 ,μ2 ,μ3 ):

→ ’ và υ = (υ , υ , υ ):

ôtômat thì tích μυ=(μ1 υ ,μ2 υ ,μ3 υ ):

→ ’ là hai đồng cấu

→ ’’ thoả mãn điều kiện (1.2) nên

μυ cũng là một đồng cấu:
(a  x)μ1 = ((a  x)μ )υ = (aμ1  x μ2 )υ = aμ1υ  x μ2 υ .


9

Do đó ánh xạ μυ:

→ ’’ là đồng cấu của ôtômat.

Mệnh đề 1.1. Bất kỳ đồng cấu ôtômat μ=(μ1 ,μ2 ,μ3 ) nào đều có thể được
biểu diễn như tích μ = μ3 μ1 μ2 của đồng cấu theo tín hiệu ra μ3 , theo trạng
thái μ1 và theo tín hiệu vào μ2 .
Chứng minh. Cho μ=(μ1 ,μ2 ,μ3 ) là đồng cấu ôtômat nửa nhóm μ:
’ = (A’,Γ’, B’,  ′ , ∗’). Xét ôtômat

(A, Γ, B,  , ∗)→
phép

toán

 , ∗

được

định

nghĩa

1

=

= (A, Γ, B’) với

theo

qui

tắc:

 γ = a  γ, a*1 γ=a*γ μ3 , aA, γΓ. Ôtômat này là một ôtômat nửa nhóm.

Ngoài ra,

2

= (A’, Γ, B’) với hai phép toán  , ∗ xác định bởi:

a  2 γ = a  ' γ μ2 , a *2 γ = (a *' γ)μ3 cũng là ôtômat nhóm và μ2 =( εA' , μ2 , εB' ):
2→

’ là một đồng cấu ôtômat. Ta còn có μ1 =(μ1 , εΓ, εB' ):

đồng cấu và μ3 μ1 μ2 :

→

1→

2

1→

2

là một

→ ’ chính là .

Lưu ý: Thứ tự của tích trên là quan trọng. Biểu diễn như thế của đồng
cấu ôtômat được gọi là sự phân tích chính tắc của một đồng cấu. Chứng minh
trên được cho với trường hợp đồng cấu ôtômat nửa nhóm. Nếu ta xét đồng
cấu ôtômat tuyệt đối thuần tuý thì lập luận sẽ đơn giản.
Trong lý thuyết ôtômat đồng cấu thay thế đóng vai trò quan trọng. Đồng
cấu từ ôtômat

=(A, X, B) vào ôtômat

’=(A’, X’, B’) thay thế của tín hiệu

ra là bộ ba ánh xạ μ1 : A→ ’; μ2 : X→X’; μ3 : B’→B, μ=(μ1 ,μ2 ,μ3 ) thoả mãn
aμ1  xμ2 = (a  x) μ1

(1.4)

(aμ1 ∗ xμ2 )μ3 = a x, aA, xX.
Đồng cấu từ ôtômat

= (A, X, B) vào ôtômat

’ = (A’, X’, B’) thay

thế của tín hiệu vào là bộ ba ánh xạ μ1 : A→ ’; μ2 : X’→X; μ3 : B→B’,
μ=(μ1 ,μ2 ,μ3 ) thoả mãn điều kiện
aμ1  x′ = (a  x′μ2 )μ1

(aμ1 ∗ x′)μ3 = (a ∗ x′μ2 )μ3 , aA, x'X'.


10

Đồng cấu thay thế của tín hiệu vào, tín hiệu ra là bộ ba ánh xạ μ1 : A→ ’;
μ2 : X’→X; μ3 : B→B’, μ=(μ1 ,μ2 ,μ3 ) thoả mãn điều kiện
aμ1  x′ = (a  x′μ2 )μ1
(aμ1 ∗ x′)μ3 = a * x′μ2 , a ∈ A, x' ∈ X'.
Cho ôtômat

=(A, X, B), A1A, B1B, X1X. Và với bất kỳ aA1,

xX1, a๐x1A1, a∗xB1. Khi đó tập A1, X1, B1 xác định ôtômat
B1), cùng với các phép toán tương ứng ๐ và ∗.

=(A1, X1,

được gọi là ôtômat con của

. Ôtômat con (A1, X1, B1) được gọi là ôtômat con theo trạng thái,

ôtômat

nếu B1=B, X1=X. Tương tự ta có thể định nghĩa ôtômat con theo tín hiệu vào
và tín hiệu ra. Nếu (A, Γ, B) là ôtômat nửa nhóm thì một ôtômat con có dạng
(A1, Γ, B1) được gọi là Γ – ôtômat con.
Đồng dư của ôtômat

=(A, X, B) là bộ ba của quan hệ tương đương

ρ=(ρ1,ρ2 , ρ3), ρ1 trên tập A, ρ2 trên tập X và ρ3 trên tập B thoả mãn điều
kiện sau:
aρ1 a'∧xρ2 x'⇒(a๐x) ρ1(a'๐x')∧(a*x)ρ3(a'*x)
Cho ρ=(ρ1, ρ2 , ρ3) là một đồng dư của ôtômat
B/ρ3) với phép toán ๐ và

(1.5)
. Ôtômat ( /ρ1, X/ρ2 ,

xác định bởi:

[a]ρ1 ๐[x]ρ2 = [a๐x]ρ1 ,
[a]ρ1 ∗ [x]ρ2 = [a ∗ x]ρ3 ,
trong đó [a]ρ1 , [x]ρ2 , [b]ρ3 là lớp tương đương tương ứng với quan hệ tương
đương ρ1, ρ2, ρ3 , được gọi là ôtômat thương của ôtômat
kí hiệu là

/ρ. Theo (1.5) phép toán ๐ và

bởi đồng dư

và

trên ôtômat được định nghĩa đúng

đắn.
Cho μ=(μ1, μ2, μ3) là một đồng cấu của ôtômat nửa nhóm
B)→

’=(A’,

=(A, ,

’, B’), kí hiệu τ1, τ2 , τ3 lần lượt là hạt nhân của ánh xạ


11

μ1, μ2, μ3 . Bộ ba (τ1 , τ2, τ3) thoả mãn (1.5). Vì vậy =(τ1, τ2, τ3 ) là đồng dư
của

. Đồng dư này được gọi là hạt nhân của đồng cấu

Đồng cấu ôtômat τ:

→

/Kerμ được gọi là đồng cấu tự nhiên.

Mệnh đề 1.2. Cho φ là đồng cấu từ ôtômat
đồng cấu tự nhiên

và kí hiệu =Ker .

/Kerφ. Khi đó ôtômat là

lên

vào ôtômat

và ρ là

đẳng cấu với ôtômat

/Kerφ, và tồn tại duy nhất đẳng cấu ψ sao cho ρψ = φ.
φ

′

ρ

ψ
/Kerφ
Hình 1.1

Ký hiệu τΓ là hạt nhân tương đồng của biểu diễn ôtômat của nửa nhóm
: nghĩa là, γ1 τΓ γ khi và chỉ khi ∀aA, a  γ1 = a  γ2 , a ∗ γ1 = a ∗ γ2 . Cho τA
là quan hệ tương đương trên tập A xác định bởi a1 τΓ a2 nếu và chỉ nếu
a1 *γ=a2 *γ, ∀γΓ. Như vậy, ôtômat (A, , B) là khớp, nếu các lớp của tương
đương τΓ bao gồm các phần tử tách biệt, nghĩa là ∀aA, a  γ1 = a  γ2 , a ∗
γ1 = a ∗ γ2 kéo theo γ1 = γ2 ; γ1 , γ2 Γ.
Ta gọi ôtômat

là rút gọn trái, nếu các lớp tương đương τΓ là gồm các

phần tử tách biệt, nghĩa là, a1 *γ= a2 *γ, ∀γ ∈ Γ kéo theo a1 = a2 . Ôtômat
được gọi là rút gọn phải nếu B trùng A*Γ = {a ∗ γ | a ϵ A, γ ϵ Γ. Ta gọi ôtômat
rút gọn trái đơn giản là ôtômat rút gọn.
1.1.4. Ôtômat tuần hoàn

Xét các ôtômat con
,B). Chặn dưới lớn nhất

,

α∈ I, trong ôtômat nửa nhóm cố định
là giao của

=

(Aα , Γα , Bα ),

=(A,
= ∩



= (∩ Aα ,∩ Γα ,∩ Bα ), α ∈ I. Giả sử phần giao này khác rỗng.
Chặn trên nhỏ nhất hoặc hợp của các ôtômat này được xác định theo
cách sau: đây là ôtômat con ∪



= (A, Σ, B, ), α ∈ I, trong đó  là nửa


12

nhóm của

sinh bởi Γα ; B={a*σ|a∈A, σ∈Σ}∪(⋃α∈I Bα ); A là tập con bất biến

nhỏ nhất đối với  của A chứa mọi A. Cho ôtômat (A, Γ, B) và bộ ba tập
hợp (Z, X, Y), Z⊂A, X⊂Γ, Y⊂B. Ôtômat con nhỏ nhất

’=(A’, ’, B’) của

với tính chất Z⊂A', X⊂Γ', Y⊂B’ sẽ được gọi là ôtômat con sinh bởi bộ ba
này. Bộ ba tập hợp (Z, X, Y) được gọi là hệ sinh của ôtômat
là giao của tất cả các ôtômat con

=

’. Rõ ràng

’

(Aα , Γα , Bα ) của A, thỏa mãn

Z⊂Aα , X⊂Γα , Y⊂Bα .
Mệnh đề 1.4. Nếu ôtômat con

’ = (A’, Γ’, B’) của (A, Γ, B) sinh bởi

hệ sinh (Z, X, Y) thì Γ’ là nửa nhóm con của Γ sinh bởi tập X; tập A’ là hợp
của tập Z với Z  Γ gồm a  γ, a ∈A', γ ∈ Γ'. Tập B’ là hợp của tập Y với tập
tất cả các phần tử a * γ, với a ∈ A' , γ ∈ Γ'. Chứng minh là hiển nhiên.
Chú ý: Ta quan tâm chủ yếu ôtômat nửa nhóm. Xét ôtômat
B) với tập tín hiệu vào X bất kỳ. Lấy trong

= (A, X,

một bộ ba (Z, X, Y’) và xây

dựng ôtômat con sinh bởi bộ ba này như sau trong

. Đầu tiên xét ôtômat

con nửa nhóm (A', Σ', B′) trong ℱ( ) sinh bởi (Z, X’, Y’) rồi lấy ôtômat (A’,
X’, B’) mà “quên” nửa nhóm  . Đặc biệt hệ (Z, X’, Y’) sinh ôtômat

nếu

và chỉ nếu X’ = X và cùng bộ ba sinh ra ℱ( ).
Như trường hợp đặc biệt của hệ sinh (Z, X, Y), có thể xét hệ với tập rỗng
Y, với X= Γ. Nếu trong trường hợp sau Z chỉ có một phần tử và cuối cùng với
tập rỗng Y và X= Γ, ta đi đến khái niệm ôtômat tuần hoàn. Theo mệnh đề 1.4
về định nghĩa ôtômat tuần hoàn có thể phát biểu theo cách sau:
Một ôtômat

=(A, Γ, B) được gọi là một ôtômat tuần hoàn với phần tử

sinh a, nếu A = {a} ∪ a  Γ, trong đó a 
đi ta ký hiệu {a} ∪ a 

bởi  Γ1 .

= {a  γ, γ∈ Γ} và B=A*Γ. Từ nay trở

13

Bây giờ, ta mô tả ôtômat tuần hoàn với nửa nhóm Γ. Xét ôtômat Atm(Γ)
=(Γ1 , Γ, Γ) với hai phép toán được °, * định nghĩa theo nguyên tắc: x  y = x γ,
x*γ=x γ, γΓ.
Ở đây Γ1 = Γ ∪ {1}, {1} ∉ Γ và phép nhân trong Γ1 như sau: Nếu x, yΓ
thì tích của chúng được xác định trong Γ, nếu xΓ1 , y=1 thì x1=1x=x. Rõ
ràng Γ1 là một nửa nhóm với đơn vị 1 nhận Γ làm nửa nhóm con.
Ôtômat này tuần hoàn đối với đơn vị của nửa nhóm Γ1 là phần tử sinh.
Atm(Γ) được gọi là ôtômat tuần hoàn chính qui của nửa nhóm Γ. Rõ ràng ảnh
đồng cấu của ôtômat tuần hoàn cũng là ôtômat tuần hoàn và vì vậy mọi
ôtômat thương của ôtômat Atm(Γ) là tuần hoàn.
Mệnh đề 1.5. Mỗi ôtômat tuần hoàn với nửa nhóm Γ là đẳng cấu với
ôtômat thương nào đó của ôtômat Atm(Γ).
Chứng minh. Cho

= (A, , B) là ôtômat tuần hoàn với phần tử sinh a

và μ1 : Γ1 → A và μ3 : Γ → B là những ánh xạ xác định bởi:
γμ1 = a  γ, a  1 = a, γ ∈ Γ1 , γμ3 = a * γ, γ ∈ Γ.
Khi đó bộ ba ánh xạ μ1 , εΓ , μ3 là một đồng cấu từ Atm( ) vào

, thật

vậy, (x  γ)μ1 = (xγ)μ1 = a  xγ = (a  x)  γ = xμ1  γεΓ ;
(x * γ)μ3 = (xγ)μ3 = a * xγ = (a  x) * γ = xμ1 * γεΓ ; x ∈ Γ1 , γ ∈ Γ.
Ảnh của Γ1 qua μ1 là tập γμ1 = a  γ| γ ∈ Γ1 và do

là ôtômat tuần

hoàn sinh bởi a nên tập này trùng với tập A. Tương tự, ảnh của
Do đó

qua μ3 là B.

μ1 , εΓ , μ3 là một toàn cấu và từ mệnh đề 1.2 ta chứng minh được

mệnh đề này.
Cho ánh xạ ψ của nửa nhóm Γ đến tập hợp B. Một ôtômat tự nhiên nhận
được từ ánh xạ đó là ôtômat
sau: x  γ = xγ,

Γ1 , Γ, B

x * γ= (xγ) ; x ∈ Γ1 , γ ∈ Γ.

với phép toán  và ∗ như
Ký

hiệu

ôtômat

này

là


14

Atm*(ψ: Γ → B) là một ôtômat tuần hoàn với phần tử sinh là một phần tử đơn
vị của Γ. Trong trường hợ này chúng ta có ôtômat rút gọn Atm(ψ: Γ → B) =
(Γ1 /ρ, Γ, B), ở đây ρ là hạt nhân của ánh xạ τ: Γ1 → Fun(Γ, B).
Chú ý: γ1 ργ2 khi và chỉ khi γ1 ∗ x = γ2 ∗ x, ∀x ∈ Γ , nghĩa là ∀x ∈ Γ ta
có γ1 x

= γ2 x

. Quan hệ tương đương ρ được gọi là quan hệ tương

đương Nerode.
Mệnh đề 1.6. Mỗi ôtômat tuần hoàn rút gọn

= (A, Γ, B) là đẳng cấu

với ôtômat Atm(ψ: Γ → B) nào đó.
Chứng minh. Theo mệnh đề 1.5 ôtômat tuần hoàn

= (A, Γ, B) là một

ảnh toàn cấu của ôtômat chính quy Atm(Γ). Giả sử μ = μ1 , εΓ , μ3 là toàn
cấu tương ứng và μ = μ μ μ là sự phân tích chính tắc.
Atm( ) = Γ1 , Γ, Γ → Γ1 , Γ, B → (A, Γ, B), ở đây μ là một toàn cấu
theo tín hiệu ra, μ2 là ánh xạ đồng nhất và μ là toàn cấu theo trạng thái.
Chứng tỏ Γ1 , Γ, B là ôtômat Atm*(ψ: Γ → B) đối với ánh xạ ψ: Γ → B được
xác định theo qui tắc: γ = 1 ∗ γ, 1 ∈ Γ1 , γ ∈ Γ. Thật vậy, nếu x ∈ Γ1 , γ ∈
Γ, thì x  γ = xγ. (vì Γ1 , Γ, B là ảnh toàn cấu theo tín hiệu ra của ôtômat Atm(
)). Vì vậy, x * γ= (1  x) ∗ γ = 1* xγ = (xγ) . Nên ta có x  γ = xγ,
x * γ= (xγ) . Dó đó Γ1 , Γ, B = Atm ∗ (ψ: Γ → B). Từ đó, nếu (A, Γ, B) là
một ôtômat rút gọn, thì nó đẳng cấu với ôtômat rút gọn Atm ∗ (ψ: Γ → B)/

kerμ = Atm: (ψ: Γ → B) .
Một ôtômat

= (A, Γ, B) được gọi là Γ − bất khả quy nếu nó không

chứa Γ − ôtômat con. Rõ ràng

là Γ − bất khả quy nếu và chỉ nếu ôtômat

này là tuần hoàn và mọi phần tử của A đều là phần tử sinh của nó. Một
ôtômat

= (A, Γ, B) được gọi là hoàn toàn khả quy, nếu nó sinh bởi Γ −

ôtômat con bất khả quy.


15

Mệnh đề 1.7. Một ôtômat

= (A, Γ, B) là hoàn toàn khả quy nếu và chỉ

nếu A =∪ Aα , α ∈ I, ở đây Aα ∩ Aβ = ∅, α ≠ β, Aα  Γ = Aα và B = A* Γ =
{a ∗ γ|a ∈ A, γ ∈ Γ}. Ôtômat con bất khả quy trong

có dạng



= (Aα , Γα ,

Bα ), ở đây Bα = Aα ∗ Γ = {a ∗ γ|a ∈ Aα , γ ∈ Γα }.
1.2. ÔTÔMAT PHỔ DỤNG
1.2.1. Định nghĩa các tính chất của ôtômat phổ dụng
Ôtômat Atm1(A, B) đề cập thảo luận trong mục 1.1 có tính chất phổ
dụng cụ thể là:
Mệnh đề 2.1. Với bất kỳ ôtômat nửa nhóm
nhất đồng cấu theo tín hiệu vào μ:

= (A, Γ, B) tồn tại duy

→Atm1 (A, B).

Chứng minh. Cho f: Γ → S(A, B) là một biễu diễn ôtômat của nửa nhóm
Γ. Đồng cấu nửa nhóm f xác định đồng cấu theo tín hiệu vào μ = (εA , f, εB ) từ
vào Atm1 (A, B) = (A, S(A, B), B). Thực vậy, nếu a ∈ A, γ ∈ Γ, γf =
(σ, γ) ∈ S(A, B)=SAxFun(A, B) thì
(a  γ)εA =a  γ = aσ =a  (γ, σ)= aεA  γf ,
(a  γ)εA =a  γ = aσ =a  (γ, σ)= aεA  γf , giả sử (εA , , εB ) là đồng cấu
khác từ

vào Atm1 (A, B) và γ = (σ′, φ′).

Theo (1.2), với mọi aA, ta có

a  γ =(a  γ)εA = aεA  γ = aσ',

a  γ =(a  γ)εA = aεA  γf= aσ . Vì thế, aσ'= aσ và σ = σ'.
1

Mệnh đề 2.1 có nghĩa là ôtômat Atm (A, B) là một vật cuối cùng trong

phạm trù của ôtômat có hai tập A và B cố định.
Hạt nhân của đồng cấu μ:

→Atm1(A, B) trùng với đồng dư

∗
Γ

và

ôtômat khớp tương ứng A/ Γ∗ là nhúng đơn cấu vào Atm1 (A, B). Bởi tính duy
nhất của nhúng này chúng ta có thể nói rằng bất kỳ ôtômat khớp này với tập
trạng thái A và các tín hiệu ra B trong Atm1 (A, B).


16

Mỗi tín hiệu vào x chuyển trạng thái a của ôtômat thành tín hiệu ra b:
a*x = b. Mặt khác, có thể nói rằng trạng thái chuyển tín hiệu vào x thành tín
hiệu ra, nghĩa là, mỗi trạng thái cố định hoạt động như ánh xạ từ X vào B, tức
là, như một phần tử của Fun(X, B). Việc xây dựng sau tương ứng với quan
điểm này.
Cho nửa nhóm Γ và tập B. Định nghĩa ôtômat (A, Γ, B), ở đây A =
Fun(Γ, B) là tập hợp tất cả các ánh xạ từ Γ vào B. Cad phép toán  và * là
được xác định như sau:
Nếu aA=Fun (Γ, B), γΓ, thì a๐γ thuộc Fun(Γ, B) cho bởi
(a๐γ)(x)=a(γx),∀x∈Γ, a*γ=a(γ). Ôtômat này là một ôtômat nửa nhóm.
a  γ γ (x) = a γ γ x = a γ γ x

a∗γ γ =a γ γ

= a γ

γ

=

a γ  γ

(x).

= a  γ *γ .

Ký hiệu ôtômat (A, Γ, B) là Atm2(A, B).
Mệnh đề 2.2. Với bất kỳ ôtômat
đồng cấu theo trạng thái μ:

=

(A, Γ, B), tồn tại duy nhất một

→Atm2(Γ, B).

Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ υ: A →Fun(Γ, B), lấy aυ (x) =a*xB,
∀aA, xΓ. Khi đó μ=(υ, εΓ , εB) là đồng cấu theo trạng thái từ ôtômat

vào

Atm2(Γ, B): (a  γ)υ (x)=(a  γ)*x=a*γ=aυ (γx) =(aυ  γ)(x) , nghĩa là (a  γ)υ =

aυ  γεΓ , a*γ=(a ∗ γ)ε =aυ (γ) = aυ *γ=aυ *γ εΓ .
Đồng cấu này là duy nhất. Thật vậy, với đồng cấu khác (h, εΓ , εB ):
2

A→Atm

(A, B) ta có ah *γ=a (γ) = (a ∗ γ)ε =aυ (γ),∀aA, γΓ, do đó h = .

Mệnh đề 2.2 có nghĩa là Atm2(Γ, B) là một vật trong phạm trù các
ôtômat thuần tuý với các tín hiệu vào và ra cố định.
Hạt nhân của đồng cấu μ: =(υ, εΓ , εB):
dư tương đương

∗

→Atm2(Γ, B) trùng với đồng

. Điều này có nghĩa là ôtômat

là rút gọn (trái) nếu tương

ứng υ:A→ Fun(Γ, B) là một đơn cấu. Nó cũng có nghĩa là ôtômat rút gọn trái


17

/

∗
Γ

là nhúng đơn cấu vào Atm2 (Γ, B). Nói cách khác mỗi ôtômat rút gọn

trái nằm trong Atm2 (Γ, B). Cho hai biểu diễn A, Γ và (A’, Γ), một ôtômat
=

’

A', Γ, B và ánh xạ υ: A→A’ mà bảo toàn hoạt động của Γ trong A và A’

(nghĩa là (a  γ)υ=aυ *γ). Đặt a*γ=aυ *γ, chúng ta định nghĩa ôtômat
=

A, Γ, B và (υ, εΓ, εB ) là một đồng cấu theo trạng thái từ A vào

’.

Đặc biệt, với (A, Γ), (Fun(Γ, B), Γ) và υ:A→ Fun(Γ, B) cho tương ứng
ôtômat (A, Γ, B) với đồng cấu (υ, εΓ , εB): (A, Γ, B) → Atm2 (Γ, B). Mặt khác
điều này cho biết bất kỳ ôtômat (A, Γ, B) nào đều có thể được định nghĩa theo
cách này.
Ôtômat Atm1(A, B) và Atm2(Γ, B) được liên kết với ôtômat rút gọn trái
và khớp tương ứng. Tiếp theo chúng ta giới thiệu ôtômat Atm3(A, Γ) liên kết
ôtômat rút gọn phải, nghĩa là với việc loại bỏ các tín hiệu ra thừa.
Cho tập A và nửa nhóm Γ một hoạt động a ๐ γ của các phần tử γ ∈ Γ lên
các phần tử aA; nghĩa là, biểu diễn (A, Γ) được cho. Lấy tích Descartes AxΓ
và sinh quan hệ tương đương ρ trên nó bằng quan hệ hai ngôi
(a, γ1 γ2 )ρ(a๐γ1 , γ2 ). Ký hiệu A⨂Γ cho tập thương AxΓ/ρ và ký hiệu ánh xạ
–

: AxΓA⨂Γ. Xét ôtômat (A, Γ, A⨂Γ). Hai phép toán ๐ và ∗ trên nó được

định nghĩa bằng biểu diễn (A, Γ) và quan hệ a*γ=(a, γ). Vì vậy ôtômat nửa
nhóm được xác định này ký hiệu bởi Atm3(A, Γ).
Mệnh đề 2.3. Với ôtômat bất kỳ

= (A, Γ, B), tồn tại duy nhất một

đồng cấu theo tín hiệu ra từ Atm3(A, Γ) vào

(nghĩa là Atm3(A, Γ) là một

vật đầu trong phạm trù các ôtômat với biểu diễn (A, Γ) cố định ).
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ ʋ: A⨂ΓB theo nguyên tắc :
(a,γ)υ =a*γ.

Khi

đó

(ε , ε , ʋ)

Atm3(A,Γ)=(A,Γ,A⨂Γ) vào
trong mệnh đề trước.

là

đồng

cấu

theo

tín

hiệu

ra

. Tính duy nhất được kiểm tra tương tự như


18

Nếu ôtômat (A, Γ, B) là rút gọn phải thì đồng cấu (ε , ε , ʋ): Atm3(A,
Γ)

là một toàn cấu.
Chú ý: Từ tính duy nhất của đồng cấu cho bởi mệnh đề 2.1- 2.3 kéo theo

tính chất (tùy đẳng cấu) của vật phổ dụng tương ứng; nghĩa là ôtômat có tính
chất phổ dụng được cho. Chẳng hạn, nếu ôtômat ß = (A, Γ, C) thoả mãn với
bất kỳ ôtômat
cấu từ ß vào

= (A, Γ, B) cùng phép toán ๐ trên ß tồn tại duy nhất đồng
thì là đẳng cấu với Atm3(A, Γ).

1.2.2. Tính khớp của ôtômat phổ dụng và rút gọn trái, phải
Rõ ràng Atm1(A, B) và Atm2(Γ, B) là khớp và rút gọn trái và rút gọn

phải Atm3(A, Γ) là rút gọn. Nếu (A, Γ) là một biểu diễn khớp thì rõ ràng
ôtômat Atm3(A, Γ) cũng là khớp. Mệnh đề sau dễ dàng thử lại.
Mệnh đề 2.4.
a) Ôtômat Atm3(A, Γ) là khớp nếu và chỉ nếu với (A, Γ) đã cho tồn tại ít
nhất một ôtômat khớp (A, Γ, B).
b) Ôtômat Atm3(A, Γ) là rút gọn trái nếu và chỉ nếu với (A, Γ) được cho
tồn tại ít nhất một ôtômat (A, Γ, B) rút gọn trái.
Chứng minh. Rõ ràng chỉ có điều kiện đủ cần được chứng minh. Giả sử
tồn tại một ôtômat khớp

= (A, Γ, B) và cho μ=(εB , εΓ, υ) là đồng cấu duy

nhất từ Atm3(A, Γ) vào

(xem mệnh đề 2.3). Ký hiệu các phép toán ๐ * của



ôtômat Atm3(A, Γ) là ◦ và ∗, ký hiệu các phé toán của

◦ và ∗. Khi đó

υ
a*̅ γ =(a, γ)υ =a*γ. Nếu trong ôtômat Atm3(A, Γ) ∀a ∈ A các đẳng thức,

a๐γ1 =a๐γ2 , a ∗ γ1 =a ∗ γ2 , γ1 , γ2 ∈ Γ được thoả mãn thì các đẳng thứa tương
tự a๐γ1 =a๐γ2 , a ∗ γ1 =a ∗ γ2, có trong

υ
(vì a*̅ γ =a*γ). Vì ôtômat

là

khớp nên γ1 , = γ2 và do đó ôtômat Atm3(A, Γ) là khớp.
Phát biểu thứ hai được kiểm tra một cách tương tự. Câu hỏi tự nhiên đặt
ra liệu có tồn tại biểu diễn (A, Γ) sao cho hoặc