PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI PHÉP QUAY LUẬN VĂN THẠC SĨ 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ TRANG

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ
VỚI PHÉP QUAY

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ TRANG

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ
VỚI PHÉP QUAY

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.60

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng – Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Võ Thị Trang


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU..................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................... 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................... 1
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................ 2
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ........................................ 2
7. Cấu trúc luận văn ........................................................................... 2
CHƯƠNG 1. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ BÀI TOÁN BIÊN
RIEMANN .................................................................................................. 3
1.1. ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHÉP QUAY ....................................................... 3
1.1.1. Đường tròn ............................................................................... 3
1.1.2. Phép quay................................................................................. 3
1.2. TÍCH PHÂN KỲ DỊ, CHỈ SỐ. CÔNG THỨC XOKHOTSKI PLEMELIJ ................................................................................................... 4
1.2.1. Tích phân loại Cauchy.............................................................. 4
1.2.2. Tích phân kỳ dị......................................................................... 5
1.2.3. Chỉ số của hàm số..................................................................... 7
1.2.4. Công thức Xokhotski – Plemelij ............................................... 9
1.3. BÀI TOÁN BIÊN RIEMANN............................................................. 10
1.3.1. Bài toán bước nhảy................................................................. 11

1.3.2. Bài toán thuần nhất................................................................. 12
1.3.3. Bài toán không thuần nhất ...................................................... 14
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ .......................... 20
2.1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG ....................................................... 20


2.1.1. Phương pháp chuyển phương trình đặc trưng về bài toán biên
Riemann..................................................................................................... 21
2.1.2. Công thức nghiệm của phương trình đặc trưng ....................... 23
2.2. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN KẾT............................................................. 24
2.3. VÍ DỤ ÁP DỤNG ............................................................................... 26
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI PHÉP
QUAY ....................................................................................................... 30
3.1. PHÂN HOẠCH KHÔNG GIAN ......................................................... 30
3.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI
PHÉP QUAY ............................................................................................. 33
3.2.1. Phương trình tích phân kỳ dị dạng tựa đặc trưng .................... 38
3.2.2. Phương trình tích phân kỳ dị dạng tựa đặc trưng tổng quát..... 45
3.3. VÍ DỤ ÁP DỤNG ............................................................................... 49
KẾT LUẬN............................................................................................... 52
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................. 54
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao)


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã được xây dựng và phát triển

rất mạnh mẽ từ năm 1920. Song hiện nay tại Việt Nam có rất ít tài
liệu và giáo trình về lĩnh vực này và chưa được đưa vào chương trình
chính thống cho sinh viên học tập, nghiên cứu và ứng dụng. Dưới sự
định hướng và hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu tôi đã chọn
đề tài "PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI PHÉP QUAY" để
làm đề tài luận văn Thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Giới thiệu và tìm hiểu về toán tử tích phân kỳ dị, phương trình
tích phân kỳ dị và phương pháp giải phương trình này với phép quay.
Xét các ví dụ áp dụng những phương trình cho phép tìm công thức
nghiệm dưới dạng tường minh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu dạng tổng quát của phương trình tích phân kỳ dị trên
đường tròn với phép quay trong mặt phẳng phức, các bài toán biên
Riemann và phương pháp giải phương trình tích phân kỳ dị với phép
quay tương ứng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân kỳ dị và phương
trình tích phân kỳ dị với phép quay trên đường tròn đơn vị.
Phạm vi nghiên cứu: Tài liệu về lý thuyết hàm biến phức, các tài
liệu về toán tử tích phân kỳ dị và phương trình tích phân kỳ dị của các


2

tác giả trong và ngoài nước.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết hàm biến phức, lý thuyết tích
phân kỳ dị, các phương trình tích phân kỳ dị và bài toán biên Riemann
tương ứng.

- Hệ thống hóa tính chất cơ bản của phương trình tích phân kỳ dị
với phép quay và xét ví dụ minh họa.
- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn và các bạn
đồng nghiệp.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Hệ thống một cách cơ bản về phương trình tích phân kỳ dị cũng
như ứng dụng một phương pháp quan trọng để giải phương trình tích
phân kỳ dị cụ thể với các phép quay đặc biệt.
- Giúp sinh viên và học viên cao học tiếp cận một cách dễ dàng
hơn với một lĩnh vực toán học còn khá mới mẽ tại Việt Nam.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3
chương:
Chương 1. Trình bày về tích phân kỳ dị và bài toán biên Riemann.
Chương 2. Trình bày về phương trình tích phân kỳ dị, phương pháp
giải và công thức nghiệm.
Chương 3. Trình bày về phương trình tích phân kỳ dị với phép
quay, phương pháp giải và ví dụ minh họa.


3

CHƯƠNG 1

TOÁN TỬ TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ BÀI TOÁN
BIÊN RIEMANN
Chương này sử dụng tài liệu tham khảo tương ứng với các danh mục
[1], [4], [11].

1.1. ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHÉP QUAY

1.1.1. Đường tròn
Trong mặt phẳng phức C, đường tròn tâm M0 (z0 ), bán kính R là
tập hợp những điểm M(z) sao cho M0 M = R hay |z − z0 | = R tức là
zz − z0 z − z0 z + z0 z0 − R2 = 0
Từ đó, mọi đường tròn đều có phương trình dạng
zz + αz + αz + β = 0
trong đó, α ∈ C, β ∈ R
Đường tròn này có tâm có tọa vị là −α, bán kính R =

√

αα − β

1.1.2. Phép quay
Phép quay tâm M0 (z0 ) góc quay α là phép biến hình biến mỗi điểm
−−−→ −−−→
M (z) thành M’(z’) mà M M0 = M M0 và (M M0 , M M0 ) ≡ α(mod 2π).
Từ đó, biểu thức của phép quay là
z − z0 = eiα (z − z0 )
Trường hợp đặc biệt, phép quay với tâm là gốc tọa độ O, góc quay α
trên đường tròn đơn vị là phép biến hình dạng
w(z) = eiα z, α ∈ (0; 2π]
trong đó, z là một điểm nằm trên đường tròn đơn vị.


4

1.2. TÍCH PHÂN KỲ DỊ, CHỈ SỐ. CÔNG THỨC XOKHOTSKI - PLEMELIJ
1.2.1. Tích phân loại Cauchy
Giả sử Γ là chu tuyến đóng, trơn trong mặt phẳng phức. Miền bên

trong chu tuyến được gọi là miền trong và ký hiệu là D+ , phần bù của
D+ ∪ Γ được gọi là miền ngoài và ký hiệu là D− .
Ta nhắc lại công thức tích phân Cauchy của lý thuyết hàm biến phức.
Hàm f(z) giải tích trong D+ và liên tục trong D+ ∪ Γ thì với điểm z bất
kỳ thuộc D+ ta có công thức
1
2πi

f (z)
0

f (τ )
dτ =
τ −z

nếu z ∈ D+
nếu z ∈ D−

Γ

Hàm f(z) giải tích trong D− và liên tục trong D− ∪ Γ thì với mỗi điểm
z bất kỳ thuộc D− ta có
1
2πi

f (τ )
dτ =
τ −z

f (∞)

nếu z ∈ D+

−f (z) + f (∞) nếu z ∈ D−

Γ

Cho Γ là chu tuyến trơn, đóng (hoặc mở) trong mặt phẳng phức, τ là
tọa độ phức của các điểm trên đó, ϕ(τ ) là hàm số liên tục trên Γ. Khi
đó, tích phân
1
ϕ(τ )
Φ(z) =
dτ, i2 = −1
2πi τ − z
Γ

được gọi là tích phân loại Cauchy, ϕ(τ ) là hàm mật độ, hàm
nhân Cauchy.

1
là
τ −z


5

1.2.2. Tích phân kỳ dị
Giả sử Γ là đường chu tuyến trơn, đóng (hoặc mở) và τ là tọa độ
phức của các điểm trên đó. Xét tích phân đường

ϕ(τ )
dτ
τ −t

(1.1)

Γ

Khi t nằm trên Γ thì tích phân (1.1) không tồn tại theo nghĩa thông
thường và được gọi là tích phân kỳ dị.
a. Điều kiện Holder ([1])
Giả sử Γ là chu tuyến trơn và ϕ(t) là hàm số theo t trên Γ. Hàm số
ϕ(t) được gọi là thỏa mãn trên chu tuyến Γ điều kiện Holder, nếu đối
với mọi cặp điểm (t1 , t2 ) phân biệt tùy ý của nó ta có:
|ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )| < A|t2 − t1 |λ ,
trong đó, A và λ là các số dương, A được gọi là hằng số Holder và λ là
chỉ số Holder (0 < λ 1)
Khi ϕ1 (t), ϕ2 (t) thỏa mãn điều kiện Holder với chỉ số λ1 , λ2 tương
ứng thì tổng, hiệu, tích, thương (khi điều kiện số chia không triệt tiêu
trên Γ) cũng thỏa mãn điều kiện Holder với chỉ số λ = min(λ1 ; λ2 ).
Khi ϕ(t) khả vi và có đạo hàm hữu hạn thì nó thỏa mãn điều kiện
Holder với λ = 1, điều ngược lại nói chung không đúng.
Hàm hợp của một hàm giải tích và một hàm số thỏa mãn điều kiện
Holder cũng là một hàm số thỏa mãn điều kiện Holder với cùng chỉ số
như hàm xuất phát.
b. Giá trị chính của tích phân kỳ dị
Chọn t là tâm đường tròn bán kính đủ nhỏ và giả sử t1 , t2 là giao
điểm của đường tròn này với đường cong Γ. Do bán kính đủ nhỏ nên
đường tròn không có điểm chung nào với đường cong Γ khác với t1 , t2 .
Gọi Γ là phần của chu tuyến Γ đã loại bỏ đi phần đường tròn bán kính

6

và lấy tích phân trên cung còn lại:
ϕ(τ )
dτ
τ −t
Γ

Tích phân này tồn tại theo nghĩa thông thường.
ϕ(τ )
Giới hạn của tích phân
dτ khi → 0 được gọi là giá trị chính
Γ τ −t
của tích phân kỳ dị (1.1).
Ta sẽ khảo sát sự tồn tại của tích phân kỳ dị
dτ
,
τ −t
Γ

với chu tuyến Γ có điểm đầu và điểm cuối là a, b.
1
Ta đã biết nguyên hàm của biểu thức
là ln(τ − t), nguyên hàm
τ −t
này là một hàm đa trị. Giả thiết rằng ln(τ − t) là một nhánh đơn trị của
hàm giải tích ln(z − t). Do đó
dτ

= ln(τ − t)
τ −t

t1
a

− ln(τ − t)

b

= ln
t2

t1 − t
b−t
+ ln
,
a−t
t2 − t

Γ

Nên theo tính chất của hàm logarit
t1 − t
t2 − t
ln
= ln
+ i[arg(t2 − t) − arg(t1 − t)].
t2 − t
t1 − t

Vì |t2 − t| = |t1 − t| nên số hạng thứ nhất sẽ bằng 0. Do đó
t1 − t
lim ln
= iπ
→0
t2 − t
Và vì vậy
dτ
b−t
= ln
+ iπ
τ −t
a−t

(1.2)

Γ

Nếu nhánh của hàm logarit được lựa chọn sao cho ln(−1) = iπ, thì tích
phân viết dưới dạng
dτ
b−t
= ln
τ −t
t−a
Γ


7

Khi chu tuyến Γ đóng thì a = b nên số hạng thứ nhất trong công thức
(1.2) triệt tiêu và tích phân có dạng
dτ
1
= iπ hay
τ −t
πi
Γ

dτ
=1
τ −t

(1.3)

Γ

Về sau tích phân kỳ dị luôn được hiểu theo nghĩa giá trị chính của nó.
1.2.3. Chỉ số của hàm số
Giả sử Γ là chu tuyến đóng, trơn và G(t) là một hàm số liên tục,
không triệt tiêu trên Γ.
Định nghĩa 1.1. ([1]). Chỉ số của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ
được hiểu là tỉ số độ tăng trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển
động hết một lượt dọc theo chu tuyến (theo chiều dương) và 2π.
Ký hiệu [ω]Γ là độ tăng trưởng của ω dọc theo Γ thì chỉ số của G(t)
được viết dưới dạng
κ = IndG(t) =

1
[argG(t)]Γ

2π

Chỉ số được tính thông qua sự biến thiên logarit của hàm số
lnG(t) = ln|G(t)| + iargG(t)
Vì sau khi chuyển động dọc theo chu tuyến Γ, |G(t)| trở lại giá trị ban
đầu nên

1
[argG(t)]Γ = [lnG(t)]Γ ,
i

Do đó,
κ=

1
[lnG(t)]Γ
2πi

Vì G(t) là hàm liên tục, nên sự tăng trưởng của argumen dọc theo chu
tuyến đóng là bội của 2π. Vậy nên ta có:


8

1. Chỉ số của hàm số liên tục trên chu tuyến đóng và không triệt tiêu
trên đó luôn là một số nguyên.
2. Chỉ số của tích hai hàm số bằng tổng của các chỉ số. Chỉ số của
một thương hai hàm số bằng hiệu các chỉ số tương ứng.
3. Nếu G(t) là giá trị biên của hàm số giải tích từ bên trong hoặc từ
bên ngoài chu tuyến thì chỉ số của nó bằng số không điểm từ bên

trong hoặc từ bên ngoài chu tuyến lấy dấu âm.
4. Nếu hàm số G(t) là giải tích từ bên trong chu tuyến trừ ra hữu hạn
điểm có thể là các cực điểm thì chỉ số là hiệu số giữa số không điểm
và số cực điểm (kể cả bội).
Ví dụ 1.1. Tính chỉ số của G(t) = tn dọc theo chu tuyến Γ bao quanh
gốc tọa độ.
Giải
Hàm số tn là giá trị biên của hàm số tn có một không điểm bậc n
trong chu tuyến. Vậy nên κ = Indtn = n.
Ví dụ 1.2. Tính chỉ số của hàm phân thức dạng
G(t) =

p(t) a1 t2 + b1 t + c1
=
q(t) a2 t2 + b2 t + c2

dọc theo chu tuyến Γ đóng, đơn trong các trường hợp:
a, Chu tuyến Γ chứa điểm t1 và không chứa các điểm t2 , z1 , z2 .
b, Chu tuyến Γ chứa điểm z1 và không chứa các điểm t1 , t2 , z2 .
trong đó, t1 , t2 và z1 , z2 lần lượt là các nghiệm của đa thức a1 t2 + b1 t + c1
và a2 t2 + b2 t + c2 .
Giải
Phân tích đa thức p(t), q(t) thành tích
p(t) = p+ (t)p− (t), q(t) = q+ (t)q− (t)


9

trong đó, p+ (t), q+ (t) là các đa thức có nghiệm trong D+ ; p− (t), q− (t) là
các đa thức có nghiệm trong D− .

Từ tính chất chỉ số của hàm số ta suy ra IndG(t) = m+ − n+ , trong
đó, m+ , n+ tương ứng là số không điểm của p+ (t) và q+ (t). Vậy
a, Chỉ số của hàm số là κ = m+ − n+ = 1 − 0 = 1.
b, Chỉ số của hàm số là κ = m+ − n+ = 0 − 1 = −1.
1.2.4. Công thức Xokhotski-Plemelij
Xét tích phân loại Cauchy
Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )
dτ,
τ −z
Γ

trong đó, ϕ(τ ) thỏa mãn điều kiện Holder. Giả sử Γ là chu tuyến đóng,
trơn trong mặt phức, trong trường hợp chu tuyến mở ta bổ sung thêm
đường cong phụ tùy ý để nó đóng và đặt trên đường cong phụ này
ϕ(τ ) = 0.
Xét hàm số
Ψ(z) =

ϕ(τ ) − ϕ(t)
dτ
τ −z

1
2πi
Γ

Theo công thức tích phân Cauchy và công thức (1.3) ta có hệ thức


2πi, khi z ∈ D+

dτ
=
0,
khi z ∈ D−
τ −z 

Γ
πi,
khi z ∈ Γ
ta có
Ψ+ (t) = lim+
z→t

1
2πi

ϕ(τ )dτ
ϕ(t)
−
τ −z
2πi
Γ

Ψ− (t) = lim−

z→t

1
2πi

Γ

ϕ(τ )dτ
ϕ(t)
−
τ −z
2πi
Γ

Ψ(t) =

1
2πi

dτ
= Φ− (t),
τ −z
Γ

ϕ(τ )dτ
ϕ(t)
−
τ −t
2πi
Γ

dτ
= Φ+ (t) − ϕ(t),
τ −z

dτ
1
= Φ(t) − ϕ(t).
τ −t
2
Γ


10

Vì hàm số Ψ(t) liên tục nên vế phải của hệ thức là đồng nhất, tức là
1
Φ+ (t) − ϕ(t) = Φ− (t) = Φ(t) − ϕ(t).
2
Suy ra

ϕ(τ )
1
1
+

 Φ (t) = 2 ϕ(t) + 2πi τ −t dτ
Γ
(1.4)
ϕ(τ )

1
1
−

Φ
(t)
=
−
ϕ(t)
+
dτ

2
2πi
τ −t
Γ

được gọi là công thức Xokhotski-Plemelij.

1.3. BÀI TOÁN BIÊN RIEMANN
Định lý 1.1. ([1]). (Về thác triển giải tích) Giả thiết rằng hai miền D1
và D2 có biên chung Γ. Trong miền D1 và D2 cho hai hàm số giải tích
f1 (z) và f2 (z). Giả thiết rằng khi điểm z tiến dần tới điểm t thuộc đường
cong Γ thì cả hai hàm số trên tiến tới cùng một giá trị biên liên tục trên
đường cong Γ. Khi đó, hàm số f1 (z), f2 (z) là thác triển giải tích của
nhau.
Định lý 1.2. ([1]). (Định lý Liouville suy rộng) Giả sử hàm số f(z) giải
tích trong mặt phẳng phức, trừ ra các điểm a0 = ∞, ak (k = 1, 2, ..., n),
trong đó có thể có các cực điểm với giả thiết rằng phần chính của khai
triển của hàm số f(z) trong lân cận thủng của cực điểm đó có dạng

G0 (z) = c01 z + c02 z 2 + ... + c0n0 z n0 tại điểm a0 ,
ckmk
ck1
ck2
1
)=
+
+ ... +
tại điểm ak .
Gk (
z − ak
z − ak (z − ak )2
(z − ak )mk
Khi đó, hàm số f(z) là hàm số hữu tỷ và có thể biểu diễn được dưới dạng
n

f (z) = C + G0 (z) +

Gk (
k=1

1
).
z − ak

Trường hợp riêng khi hàm số f(z) chỉ có một cực điểm bậc m tại vô cùng
thì f(z) là hàm đa thức bậc m, tức là
f (z) = c0 + c1 z + ... + cm z m .

11

Cho Γ là chu tuyến đơn, đóng, trơn chia mặt phẳng phức thành miền
trong D+ và miền ngoài D− (∞ ∈ D− ). G(t) và g(t) là hai hàm số trên
Γ và thỏa mãn điều kiện Holder trên đó, G(t) = 0, ∀t ∈ Γ.
Bài toán đặt ra là tìm hàm số Φ(t) giải tích trong D+ và D− , và thỏa
mãn hệ thức thuần nhất
Φ+ (t) = G(t)Φ− (t)

(1.5)

được gọi là bài toán biên Riemann thuần nhất,
và thỏa mãn hệ thức không thuần nhất
Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t)

(1.6)

được gọi là bài toán biên Riemann không thuần nhất,
trong đó
Φ+ (t) = Φ(t)|D+ và Φ− (t) = Φ(t)|D−
G(t) được gọi là hệ số, g(t) là phần tự do của bài toán biên Riemann.
κ = IndG(t) gọi là chỉ số của bài toán.
Đặt
Γ(z) =
+

1
2πi

X (z) = e

ln[τ −κ G(τ )]
dτ,
τ −z

Γ
Γ+ (z)

, X − (z) = z −κ eΓ

(1.7)
−

(z)

(1.8)

1.3.1. Bài toán bước nhảy
Giả thiết rằng trên chu tuyến Γ cho hàm số ϕ(t) thỏa mãn điều kiện
Holder. Ta cần xác định hai hàm số giải tích Φ(z) = Φ+ (z) với z ∈ D+ ,
Φ(z) = Φ− (z) với z ∈ D− , triệt tiêu tại vô cùng và thỏa mãn điều kiện
Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t).
Từ công thức Xokhotski-Plemelij, hiển nhiên rằng hàm số
Φ(z) =

ϕ(τ )
dτ
τ −t

1

2πi
Γ


12

là nghiệm duy nhất của bài toán. Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 0
thì nghiệm của bài toán được cho bởi công thức
Φ(z) =

1
2πi

ϕ(τ )
dτ + const
τ −t
Γ

1.3.2. Bài toán thuần nhất
Xét điều kiện biên (1.5) của bài toán biên Riemann thuần nhất
Φ+ (t) = G(t)Φ− (t)
Giả sử rằng bài toán thuần nhất có nghiệm và Φ+ (z), Φ− (z) là nghiệm
của nó. Gọi m+ , m− lần lượt là số không điểm của hàm số Φ+ (z), Φ− (z)
trong miền xác định D+ , D− . Tính chỉ số hai vế của hệ thức (1.5) ta
được
m+ = IndG(z) − m−
suy ra
m+ + m− = IndG(z).
Ta nhận thấy vế trái của hệ thức là một số không âm. Vì vậy điều kiện
cần để bài toán biên thuần nhất giải được là chỉ số κ không âm.

1. Nếu κ = 0 thì Φ+ (z), Φ− (z) không có không điểm. Lấy logarit
hai vế của (1.5) ta được
lnΦ+ (t) − lnΦ− (t) = lnG(t)

(1.9)

Với điều kiện kèm thêm là lnΦ− (∞) = 0 thì theo công thức Xokhotski Plemelij bài toán (1.9) có nghiệm:
lnΦ(z) =

lnG(τ )
dτ
τ −t

1
2πi
Γ

Với Γ(z) lúc này là
Γ(z) = lnΦ(z)


13

thì nghiệm của bài toán bờ (1.5) thỏa mãn điều kiện Φ− (∞) = 1 là:
1
1
lnΦ+ (z) = lnG(z) + lnΦ(z) = lnG(z) + Γ(z) = Γ+ (z)
2
2
1

1
lnΦ− (z) = − lnG(z) + lnΦ(z) = − lnG(z) + Γ(z) = Γ− (z)
2
2
hay
+

(z)

−

(z)

Φ+ (z) = eΓ
Φ− (z) = eΓ

Nếu không thêm điều kiện Φ− (∞) = 1 thì nghiệm của bài toán có dạng
Φ+ (z) = AeΓ

+

−

Φ− (z) = AeΓ

(z)

(z)

(1.10)

,

với A là hằng số tùy ý.
Nhận xét 1.1. Hàm số tùy ý G(t) cho trên chu tuyến Γ, thỏa mãn điều
kiện Holder và có chỉ số bằng 0, luôn viết được dưới dạng thương của
hàm số Φ+ (t) và Φ− (t) lần lượt giải tích trong miền D+ , D− và luôn
khác 0 trong miền đó. Hàm số này được xác định theo công thức (1.10).
2. Nếu κ > 0. Ta giả thiết rằng gốc tọa độ nằm trong miền D+ .
Vì hàm số tκ có chỉ số là κ nên ta có thể viết điều kiện biên dưới dạng
Φ+ (t) = tκ [t−κ G(t)]Φ− (t).
Khi đó hàm số G1 (t) = t−κ G(t) có chỉ số bằng 0. Biểu diễn nó dưới dạng
thương
+

eΓ (t)
G1 (t) = Γ− (t)
e
trong đó,

ln[τ −κ G(τ )]
dτ
τ −z

1
Γ(z) =
2πi
Γ

14

Ta viết lại điều kiện biên
−
Φ+ (t)
κ Φ (t)
=
t
eΓ+ (t)
eΓ− (t)
Φ+ (t)
Hệ thức này cho thấy hàm số Γ+ (t) giải tích trong miền D+ , hàm số
e
−
Φ
(t)
tκ Γ− (t) giải tích trong miền D− , trừ ra tại vô cùng, trong đó có thể có
e
cực điểm bậc không quá κ. Hai hàm số này là thác triển giải tích của
nhau qua chu tuyến Γ. Theo định lý Liouville suy rộng, hàm số này là
đa thức bậc không quá κ với hệ số phức tùy ý.
Vậy ta có
−
Φ+ (z)
κ Φ (z)
= z Γ− (z) = Pκ (z)
eΓ+ (z)
e

hay

+

Φ+ (z) = eΓ

(z)

Pκ (z)

Φ− (z) = z −κ eΓ

−

(z)

Pκ (z)

Ta có thể kết luận nghiệm của bài toán dưới dạng định lý
0 thì bài toán giải được và

Định lý 1.3. Nếu chỉ số của bài toán κ
có κ + 1 nghiệm độc lập tuyến tính
k Γ
Φ+
k (z) = z .e

+

(z)

k−κ Γ

, Φ−
e
k (z) = z

−

(z)

, k = 0, 1, 2, ..., κ

với Γ(z) được tính theo công thức (1.7).
Nếu κ < 0 bài toán thuần nhất không có nghiệm.
1.3.3. Bài toán không thuần nhất
Xét bài toán biên Riemann với điều kiện (1.6)
Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t)
Giả sử bài toán biên không thuần nhất có chỉ số κ.
Ta viết lại điều kiện biên dưới dạng:
Φ+ (t) = tκ t−κ G(t)Φ− (t) + g(t)


15

hay
Φ+ (t) = tκ G1 (t)Φ− (t) + g(t)
G1 (t) là hàm số thỏa mãn điều kiện Holder và có chỉ số bằng 0 nên ta có
thể viết G1 (t) dưới dạng thương của hai hàm số X + (t), X − (t) xác định
theo công thức (1.8), giải tích trong D+ , D− và luôn khác 0 trong miền
đó:
X + (t)
G1 (t) = −

X (t)
Biến đổi điều kiện biên về dạng
Φ+ (t)
Φ− (t)
g(t)
=
+
X + (t) X − (t) X + (t)
g(t)
thỏa mãn điều kiện Holder nên theo công thức XokhotskiX + (t)
Plemelij ta thay nó bởi hiệu hai hàm giải tích
Hàm số

g(t)
= Ψ+ (t) − Ψ− (t)
+
X (t)
với
Ψ(t) =

1
2πi

g(τ ) dτ
.
X + (τ ) τ − t
Γ

Khi đó điều kiện biên là
Φ− (t)

Φ+ (t)
+
− Ψ (t) = − − Ψ− (t)
+
X (t)
X (t)
Nhận thấy rằng
Khi κ

Φ− (t)
0, hàm số −
có cực điểm tại vô cùng bậc κ nên
X (t)
Φ+ (z)
Φ− (z)
+
− Ψ (z) = −
− Ψ− (z) = Pκ (z)
+
X (z)
X (z)

và nghiệm của bài toán là
Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ (z)]


16

Khi κ < 0,

Φ+ (t)
có không điểm bậc κ tại vô cùng nên
X + (t)
Φ+ (z)
Φ− (z)
+
− Ψ (z) = −
− Ψ− (z) = 0
+
X (z)
X (z)

nghiệm của bài toán là
Φ(z) = X(z)Ψ(z)
Kết quả cho bởi định lý sau
Định lý 1.4. ([1]). Nếu chỉ số của bài toán κ

0 thì bài toán không

thuần nhất giải được ứng với mọi g(t) và nghiệm tổng quát cho bởi công
thức
Φ(z) =

X(z)
2πi

g(τ ) dτ
+ X(z)Pn (z)
X + (τ ) τ − z

(1.11)

Γ

trong đó, X(z) được xác định theo công thức (1.8), Pn (z) là đa thức bậc
κ với hệ số phức tùy ý.
Nếu n < 0 thì bài toán nói chung không giải được. Để nó có nghiệm,
điều kiện cần và đủ là thành phần tự do của bài toán thỏa mãn thêm
−κ − 1 điều kiện
g(τ ) k−1
τ dτ = 0, (k = 1, 2..., −κ − 1)
X + (τ )
Γ

Khi đó nghiệm của bài toán được xác định theo công thức (1.11), với
Pn (z) ≡ 0.
Trong trường hợp bài toán đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 0 thì đa thức
bậc κ trong (1.11) được thay bởi đa thức bậc κ − 1.
Phần tiếp theo sẽ xét bài toán biên Riemann với chu tuyến đơn và
hệ số là các hàm số hữu tỷ khác không và không có cực điểm trên biên
Φ+ (t) =

p(t) −
Φ (t) + g(t).
q(t)

(1.12)


17

(Xem [1])
Ta viết điều kiện biên của bài toán dưới dạng
Φ+ (t) =

p+ (t)p− (t) −
Φ (t) + g(t)
q+ (t)q− (t)

hay
p+ (t) −
q− (t)
q− (t) +
Φ (t) −
Φ (t) =
g(t).
p− (t)
q+ (t)
p− (t)
trong đó p+ (t), q+ (t) là các đa thức có nghiệm trong D+ , p− (t), q − (t)
là các đa thức có nghiệm trong D− . Gọi m+ , n+ lần lượt là số không
điểm của đa thức p+ (z), q+ (z). Ta thấy ngay rằng chỉ số của bài toán
κ = m+ − n+
q− (t)
Hàm số
g(t) thỏa mãn điều kiện Holder trên Γ nên theo công
p− (t)
thức Xokhotski nó biểu diễn được dưới dạng hiệu của các giá trị biên
của hàm giải tích
q− (t)

g(t) = Ψ+ (t) − Ψ− (t),
p− (t)
1
q− (τ )
dτ
trong đó Ψ(z) =
g(τ )
2πi Γ p− (τ )
τ −z
Điều kiện biên được viết lại là
q− (t) +
p+ (t) −
Φ (t) − Ψ+ (t) =
Φ (t) − Ψ− (t).
p− (t)
q+ (t)
Do đó
Nếu κ

0 ta thu được nghiệm với Φ− (∞) = 0 là

p− (z) +


[Ψ (z) + Pκ−1 (z)]
 Φ+ (z) =
q− (z)
q+ (z) −



[Ψ (z) + Pκ−1 (z)]
 Φ− (z) =
p+ (z)

(1.13)

Pκ−1 là đa thức bậc κ − 1 có hệ số phức tùy ý.
Nếu chỉ số κ < 0 ta đặt Pκ−1 ≡ 0 và thêm điều kiện giải được
q− (t)
g(τ )τ k−1 dτ = 0(k = 1, 2, ..., −κ)
p− (t)
Γ


18

Ví dụ. Giải bài toán biên Riemann
1
t3 − t2 + 1
−
Φ (t) = 2
Φ (t) +
t −1
t2 − t
+

với điều kiện Φ− (∞) = 0 và Γ là chu tuyến đóng, đơn dạng
a, Chu tuyến Γ chứa điểm z1 = 0 và không chứa các điểm z2 = 1, z3 =
−1
b, Chu tuyến Γ chứa các điểm z1 = 0, z2 = 1, z3 = −1

Giải.
Áp dụng phương pháp đã trình bày ở trên.
a, Đặt
p+ (t) = t, p( t) = 1, m+ = 1
q+ (t) = 1, q− (t) = t2 − 1, n+ = 0
Ta có κ = m+ − n+ = 1 Viết lại bài toán biên như sau
1
(t2 − 1)Φ+ (t) − tΦ− (t) = (t3 − t2 + 1)(t + 1)
t
Từ đó,
Ψ(z) =

1
2πi

dτ
q− (τ )
g(τ )
p− (τ )
τ −z
Γ

=

τ3 − τ + 1
1
dτ +
τ −z
2πi

1
2πi
Γ

1/τ
dτ
τ −z
Γ

suy ra
1
z
Vì chỉ số là 1 nên nghiệm tổng quát của bài toán chứa một hằng số tùy
ý. Từ (1.13) ta có
Ψ+ (z) = z 3 − z + 1, Ψ− (z) = −

1
z3 − z + 1
c
3
Φ (z) = 2
[(z − z + 1) + c] =
+
z −1
z2 − 1
z2 − 1
1
1
1
c

Φ− (z) =
− +c =− 2 +
z
z
z
z
+


19

trong đó, c là hằng số tùy ý.
b, Đặt
p+ (t) = t, p− (t) = 1, m+ = 1
q+ (t) = t2 − 1, q− (t) = 1, n+ = 2
suy ra κ = m+ − n+ = −1
Hàm số
Ψ(z) =

q− (τ )
dτ
g(τ )
p− (τ )
τ −z

1
2πi
Γ

1

=
2πi

1
τ (τ −1)

τ
1
dτ +
τ −z
2πi
Γ

τ −z

dτ

Γ

suy ra
Ψ+ (z) = z, Ψ− (z) = −

1
z(z − 1)

Nghiệm của bài toán chỉ tồn tại khi điều kiện
q− (t)
g(τ )dτ = 0
p− (t)
Γ

được thỏa mãn.
Xét tích phân
τ3 − τ2 − 1
dτ =
τ2 − τ
Γ

dτ
−
τ −1

τ dτ +
Γ

Γ

1
= 0 + 2πi − 2πi = 0
τ
Γ

Điều kiện giải được thỏa mãn và bài toán có nghiệm duy nhất là
Φ+ (z) = z, Φ− (z) = −

z+1
z2


20

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ
Chương này sử dụng tài liệu tham khảo tương ứng với danh mục [1],
[4], [5].

2.1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG
Cho Γ là chu tuyến trơn, đóng, đơn. Xét phương trình tích phân
với nhân Cauchy dạng
(Kϕ)(t) ≡ a(t)ϕ(t) +

M (t, τ )
ϕ(τ )dτ = f (t), i2 = −1
τ −t

1
πi

(2.1)

Γ

trong đó, tích phân được lấy theo nghĩa giá trị chính dọc theo chu tuyến
Γ , a(t), f (t), M (t, τ ) là hàm số xác định trên Γ và được giả thiết là thỏa
mãn điều kiện Holder theo t, riêng hàm số M (t, τ ) thỏa mãn theo cả hai
biến τ, t.
Ta có
M (t, τ ) M (t, τ ) − M (t, t) M (t, t)
=

+
τ −t
τ −t
τ −t
Đặt
b(t) = M (t, t); k(t, τ ) =

1 M (t, τ ) − M (t, t)
πi
τ −t

(2.2)

Khi đó, (2.1) có dạng
(Kϕ)(t) ≡ a(t)ϕ(t) +

b(t)
πi

ϕ(τ )
dτ +
τ −t
Γ

k(t, τ )ϕ(τ )dτ = f (t) (2.3)
Γ

(2.3) được gọi là phương trình tích phân kỳ dị đầy đủ.
Nếu f(t) = 0, ta có phương trình thuần nhất.