Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGÔ ĐỨC HÀ

GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
KỲ DỊ VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2014


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm
khắc của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng
như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng
như các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013, đã có công lao
dạy dỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà nội, tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn

Ngô Đức Hà

i

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức . . . . . . . . . .

4

1.5

Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến . . . . . . . . . . .

10

2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân
trên đường cong mở

12

2.1

Bài toán Riemann - Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3

Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit . . . . .

21

2.4

Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn rời
nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3 Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình
tích phân kỳ dị

35

3.1

Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit . . . . . . . . . .

35

3.2

Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy . . . . . . . . . . .

46

3.3

Sử dụng công thức Poincaré - Bertrand . . . . . . . . . . . . . .

48

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

ii


Mở đầu
Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu bài
toán giá trị biên của toán học vật lý. Trong quá trình nghiên cứu về phương
trình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị của nhân vào phương trình tích phân đã
đặt ra những vấn đề khó nhưng đầy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phương
trình tích phân. Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xây
dựng và phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XXI. Các kỹ thuật này gắn liền với
tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov,
Vekua, B. N. Mandal, A. Chakrabarti, ...
Luận văn “Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng” được chia
làm ba chương.
Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị là cơ sở lý thuyết cho hai

chương sau, bao gồm các khái niệm về phương trình tích phân, phương trình
tích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Sau đó là một số
kết quả trong lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauchy, công thức
Poincaré - Bertrand.
Chương 2 trình bày phương pháp Riemann - Hilbert và áp dụng phương
pháp này vào giải một số phương trình tích phân kỳ dị như phương trình tích
phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit.
Chương 3 trình bày một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương
trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và dạng Logarit. Những
phương pháp này tránh được những kỹ thuật phức tạp khi sử dụng phương
pháp biến số phức đã được mô tả ở Chương 2.
Các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 được trình bày dựa trên tài
liệu tham khảo [5].

iii


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Khái niệm phương trình tích phân

Định nghĩa 1.1.1. Phương trình tích phân là một phương trình mà trong đó
hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân.
Ví dụ 1.1.1. Xét các phương trình tích phân:
a) Phương trình tích phân Fredholm
∫ b
Loại 1:
K(x, t)φ(t)dt = f (x) a x b.

a
∫ b
Loại 2: φ(x) + λ
K(x, t)φ(t)dt = f (x) a

x

b.

a

trong đó λ là hằng số, K(x, t) và f (x) là các hàm đã biết, φ(x) là hàm chưa
biết. Hàm K(x, t) được gọi là nhân của phương trình tích phân.
b) Phương ∫trình tích phân Volterral
x
Loại 1:
K(x, t)φ(t)dt = f (x).
a
∫ x
K(x, t)φ(t)dt = f (x).
Loại 2: φ(x) + λ
a

trong đó K(x, t), f (x) là các hàm đã biết, φ(x) là hàm chưa biết. Hàm K(x, t)
được gọi là nhân của phương trình tích phân.

1.2

Phương trình tích phân kỳ dị

Định nghĩa 1.2.1. Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích phân
có nhân K(x, t) là hàm không bị chặn trên miền lấy tích phân.
1


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Dựa trên tính chất không bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại
phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại : Phương trình tích phân kỳ dị
mạnh và phương trình tích phân kỳ dị yếu.
Phương trình tích phân kỳ dị yếu là phương trình tích phân với nhân K(x, t)
thỏa mãn điều kiện tích phân
∫ b
K(x, t)dt tồn tại theo nghĩa Riemann, với mọi x ∈ (a, b).
a

Phương trình tích phân kỳ dị mạnh là phương trình tích phân kỳ dị mà
nhân K(x, t) có tính chất là tồn tại x ∈ (a, b) sao cho
∫ b
K(x, t)dt không tồn tại theo nghĩa Riemann.
a

Ví dụ 1.2.1. a) Nhân
K(x, t) =

L(x, t)
|x − t|α

với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) ̸= 0 và α
là hằng số (0 < α < 1). Khi đó tích phân

∫ b
K(x, t)dt với a < x < b
a

tồn tại theo nghĩa Riemann. Do vậy tương ứng chúng ta có được phương trình
tích phân kỳ dị yếu.
b) Nhân
K(x, t) = L(x, t). ln |x − t|
với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) ̸= 0. Khi
đó, phương trình tích phân
∫

b

L(x, t) ln |x − t|φ(t)dt = f (x)

φ(x) + λ
a

là phương trình tích phân kỳ dị yếu.
c) Nhân
K(x, t) =

L(x, t)
x−t
2

a

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

với L(x, t) là hàm khả vi và L(x, x) ̸= 0. Khi đó nhân K(x, t) nhận điểm t = x
là điểm kỳ dị mạnh. Do vậy phương trình tích phân tương ứng là phương trình
tích phân kỳ dị mạnh.

1.3

Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy

Định nghĩa 1.3.1. Cho Γ là một∫ đường cong hữu hạn trong C và f là hàm xác
định trên Γ kỳ dị tại x0 ∈ Γ, và

f (t)dt không tồn tại theo nghĩa Riemann.
Γ

Với mỗi ε > 0, kí hiệu Γε là phần của Γ nằm trong hình tròn tâm tại x0 bán
kính ε, đặt

∫
I(ε) =

f (t)dt.
Γ\Γε

Nếu giới hạn lim I(ε) tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là tích phân với
ε→0

nghĩa giá trị chính Cauchy và được ký hiệu
∫

∫
v.p f (t)dt = lim
ε→0

Γ

f (t)dt.
Γ\Γε

Trong luận văn này, các tích phân kỳ dị mạnh đều được hiểu theo nghĩa giá
trị chính Cauchy, tức là
∫

∫
f (t)dt := v.p
Γ

f (t)dt.
Γ

Ví dụ 1.3.1. Xét tích phân
∫
I=
a

b

1
dx,
x−c

c ∈ (a, b).

(1.3.1)

Rõ ràng tích phân (1.3.1) không tồn tại theo nghĩa Riemann. Xét theo nghĩa
giá trị chính Cauchy, ta có
∫
I = V.p

b

1
dx
a x−c
∫ b
]
[ ∫ c−ε 1
1
= lim
dx +
dx
ε→+0
x−c
c+ε x − c
a
b−c
= ln
.
c−a

3


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.4

Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức

Định nghĩa 1.4.1. Chu tuyến trong C là một đường cong đơn, đóng trong C.
Một chu tuyến trong C luôn được định hướng dương theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ.
Định nghĩa 1.4.2. Cho Γ là chu tuyến trong C. Khi đó kí hiệu D+ là phần
mặt phẳng phức nằm bên trong của chu tuyến Γ, D− là phần mặt phẳng phức
nằm bên ngoài của chu tuyến Γ.
Định nghĩa 1.4.3. Trong mặt phẳng phức C cho đường cong Γ đo được và
hàm φ(τ ) liên tục trên Γ. Khi đó tích phân
∫
φ(τ )
1
F (z) =
dτ,
2πi Γ τ − z
được gọi là tích phân dạng Cauchy, hàm
φ(τ ) được gọi là hàm mật độ.

z ∈ C\Γ

1
được gọi là nhân Cauchy, hàm

τ −z

Định nghĩa 1.4.4. Giả sử L là một tập liên thông và f (z) là một hàm đơn
trị trên L. Hàm f được gọi là thỏa mãn điều kiện H¨older trên L nếu tồn tại
các hằng số dương M (gọi là hằng số H¨older) và số dương α, 0 < α

1 (gọi là

số mũ H¨older) sao cho với mọi cặp điểm z1 , z2 ∈ L ta đều có
|f (z1 ) − f (z2 )|

M |z1 − z2 |α

Định lý 1.4.1. Cho Γ là chu tuyến trong mặt phẳng phức C và hàm φ(τ ) thỏa
mãn điều kiện H¨older trên Γ. Đặt
1
Φ(z) =
2πi

∫
Γ

φ(τ )
dτ,
τ −z

z∈
/ Γ.

(1.4.1)

Khi đó Φ(z) là một hàm giải tích trên C\Γ.
Định lý 1.4.2. (Bổ đề cơ bản) Cho Γ là chu tuyến trong C và φ là hàm thỏa
mãn điều kiện H¨older trên Γ. Đặt
∫
1
φ(τ ) − φ(t)
Ψ(z) =
dτ,
2πi
τ −z
Γ

4

z ∈ C.

(1.4.2)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Khi đó hàm Ψ(z) là một hàm liên tục trên Γ, tức là với mỗi t ∈ Γ ta có:
1
lim Ψ(z) =
z→t
2πi

∫
Γ

φ(τ ) − φ(t)
dτ
τ −t

(1.4.3)

tồn tại và bằng Ψ(t).
Chú ý : Định lý 1.4.2 đúng với mọi điểm trên Γ, trừ các đầu mút của Γ khi
Γ là một đường cong mở trong mặt phẳng phức C.
Định lý 1.4.3. (Công thức tích phân Cauchy) Giả sử D là miền bị chặn với
biên Jordan đo được ∂D. Nếu hàm f (z) chỉnh hình trong D và liên tục trong
D thì với điểm z ∈ D bất kỳ ta có công thức

∫
f (z)
1
f (ζ)
dζ =
0
2πi
ζ −z
∂D

nếu z ∈ D,
nếu z ∈
/ D,

(1.4.4)

trong đó ∂D là biên có định hướng dương của D.
Nhận xét: Công thức tích phân Cauchy biểu thị một tính chất đặc biệt là
giá trị của hàm chỉnh hình trong miền D hoàn toàn được xác định bởi các giá
trị của nó trên biên.
Định lý 1.4.4. Giả sử Γ là một đường cong đóng Jordan trơn và hàm φ(ζ)
thỏa mãn điều kiện H¨older trên Γ. Khi đó giá trị chính theo Cauchy của tích
phân dạng Cauchy tồn tại tại mọi điểm z0 ∈ Γ và
∫
∫
1
φ(ζ)
1
φ(ζ) − φ(z0 )
1
dζ =
dζ + φ(z0 ).
2πi
ζ − z0
2πi
ζ − z0
2
Γ

(1.4.5)

Γ

Định lý 1.4.5. (Công thức Plemelj - Sokhotski) Cho Γ là một chu tuyến và φ
thỏa mãn điều kiện H¨older trên Γ. Đặt
∫

1
φ(τ )
Φ(z) =
dτ, z ∈ Γ,
2πi
τ −z
Γ

với mỗi t ∈ Γ, ký hiệu
lim+ Φ(z) = Φ+ (t) và lim− Φ(z) = Φ− (t).

z→t

z→t

5


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Khi đó Φ+ (t) và Φ− (t) tồn tại và thỏa mãn các công thức:
Φ+ (t) − Φ− (t) = φ(t) t ∈ Γ,
∫
1
φ(τ )
+
−
Φ (t) + Φ (t) =
dτ,
πi

τ −t

t ∈ Γ.

(1.4.6)

Γ

Trong đó lim+ và lim− được hiểu theo nghĩa điểm z tiến tới t ∈ Γ từ mặt bên
z→t

z→t

trái và tiến tới t ∈ Γ từ mặt bên phải của đường cong định hướng dương Γ .
Chứng minh. Gọi D+ là miền mặt phẳng phức nằm trong chu tuyến Γ và D−
là miền nằm ngoài chu tuyến Γ (Hình 1.1). Xét hàm φ(t) = 1 chỉnh hình trên
D+ và liên tục trong D+ , áp dụng công thức tích phân Cauchy (1.4.4):

∫
1 nếu z ∈ D+ ,
1
1
dτ =
0 nếu z ∈ D− .
2πi
τ −z
Γ

Với các điểm z0 ∈ Γ, sử dụng công thức (1.4.5) thu được
∫

∫
1
1
1−1
1
1
dτ =
dτ + .1 = .
2πi
τ − z0
τ − z0
2
2
Γ

Γ

D−

D+
Γ
Hình 1.1

Như vậy




1



∫

1
1
dτ = 0

2πi
τ −z


Γ

1
2

nếu z ∈ D+ ,
nếu z ∈ D− ,

(1.4.7)

nếu z ∈ Γ.

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng các kết quả (1.4.7) để chứng minh công thức
Plemelj.
6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Đặt
1
Ψ(z) =
2πi

∫
Γ

khi đó tìm được
1
lim+ Ψ(z) = lim+
z→t
z→t 2πi

∫
Γ

φ(τ ) − φ(t)
dτ,
τ −z

φ(τ )
1
dτ − φ(t) lim+
z→t 2πi
τ −z

∫
Γ

dτ
.
τ −z

Sử dụng kết quả (1.4.7), từ hệ thức trên suy ra
Ψ+ (t) = Φ+ (t) − φ(t),

t ∈ Γ.

(1.4.8)

Lập luận tương tự ta tìm được
∫
∫
1
1
φ(τ )
dτ
lim− Ψ(z) = lim−
dτ − φ(t) lim−
.
z→t 2πi
z→t
z→t 2πi
τ −z
τ −z
Γ

Γ

Suy ra
Ψ− (t) = Φ− (t) − 0 = Φ− (t),
Thực hiện biến đổi

t ∈ Γ.

∫
φ(τ )
1
1
dτ − φ(t)
dτ,
τ −t
2πi
τ −t
Γ
Γ
∫
φ(τ )
1
1
= − φ(t) +
dτ, t ∈ Γ.
2
2πi
τ −t

1
Ψ(t) =
2πi

(1.4.9)

∫

t∈Γ

Γ

Sử dụng Định lý 1.4.2 ta thu được
Ψ+ (t) = Ψ− (t) = Ψ(t).
Từ hệ thức trên kết hợp với (1.4.8) và (1.4.9), suy ra
Φ+ (t) − Φ− (t) = φ(t),

t ∈ Γ,

và
Φ+ (t) + Φ− (t) = 2Ψ(t) + φ(t)
∫
[ 1
1
φ(τ ) ]
= 2. − φ(t) +
dτ + φ(t), t ∈ Γ
2
2πi
τ −t
Γ
∫
1

φ(τ )
=
dτ, t ∈ Γ.
πi
τ −t
Γ

7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chú ý:
1. Từ các công thức (1.4.6) ta cũng thu được
∫
1
1
φ(τ )
±
Φ (t) = ± φ(t) +
dτ,
2
2πi
τ −t

t ∈ Γ.

(1.4.10)

Γ

2. Công thức Plemelj còn đúng trong trường hợp Γ là một đường cong mở
(hoặc hợp hữu hạn của đường cong mở) và t không trùng với các đầu mút
của Γ.
Định lý 1.4.6. Giả sử φ(t) là hàm thỏa mãn điều kiện H¨older trên Γ. Khi đó,
tích phân kỳ dị Cauchy
1
Φ(z) =
2πi

∫
Γ

φ(τ )
dτ,
τ −z

z ∈ Γ,

thỏa mãn điều kiện H¨older với trên Γ.
Định lý 1.4.7. (Công thức Poincaré - Bertrand (PBF)) Cho Γ là một đường
cong kín và nếu φ thỏa mãn điều kiện H¨older trên Γ. Khi đó ta có công thức
PBF

∫
Γ

1 (
τ −t

∫
Γ

φ(s) )
ds dτ = −π 2 φ(t),
s−τ

Chứng minh. Đặt
1
φ1 (t) =
2πi
φ2 (t) =

1
2πi

∫
∫Γ
Γ

φ(τ )
dτ,
τ −t

t ∈ Γ,

φ1 (τ )
dτ,
τ −t

t ∈ Γ.

t ∈ Γ.

(1.4.11)

Do giả thiết φ(τ ) thỏa mãn điều kiện H¨older trên Γ nên theo Định lý 1.4.6 ta
có φ1 (t) thỏa mãn điều kiện H¨older với t ∈ Γ. Do vậy,
∫
1
φ(τ )
Φ(z) =
dτ, z ∈
/ Γ,
2πi
τ −z
Γ
∫
φ1 (τ )
1
dτ, z ∈
/ Γ.
Φ1 (z) =
2πi
τ −z
Γ

8

(1.4.12)

(1.4.13)


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Sử dụng công thức Plemelj (1.4.10) được
1
φ1 (t) = Φ+ (t) − φ(t), t ∈ Γ,
2
1
φ2 (t) = Φ+
t ∈ Γ.
1 (t) − φ1 (t),
2

(1.4.14)
(1.4.15)

Thay (1.4.14) vào (1.4.13) được
∫ +
∫
1
1
Φ (τ )
φ(τ )
Φ1 (t) =
dτ −
dτ
2πi
τ −z

4πi
τ −z
Γ

Γ

1
= Φ(z) − Φ(z), z ∈ D+
2
1
= Φ(z), z ∈ D+ .
2
Do đó
1 +
Φ+
t ∈ Γ.
1 (t) = Φ (t),
2
Thay kết quả trên vào (1.4.14) và (1.4.15) thu được:
1
φ1 (t) = Φ+ (t) − φ(t) suy ra
2
1
1 +
φ2 (t) = Φ (t) − φ1 (t)
2
2

1
1

1
φ1 (t) = Φ+ (t) − φ(t),
2
2
4

(1.4.17)

1
Từ (1.4.16) và (1.4.17), suy ra φ2 (t) = φ(t), t ∈ Γ.
4
Theo phép đặt ban đầu
∫
1
φ(τ )
φ1 (t) =
dτ, t ∈ Γ,
2πi
τ −t
∫Γ
φ1 (τ )
1
dτ, t ∈ Γ.
φ2 (t) =
2πi
τ −t
Γ

Suy ra
1

2πi

∫
Γ

Do vậy

∫
Γ

1 { 1
τ − t 2πi
1 {
τ −t

∫
Γ

∫
Γ

(1.4.16)

φ(s) }
1
ds dτ = φ(t),
s−τ
4

φ(s) }

ds dτ = −π 2 φ(t),
s−τ

9

t ∈ Γ.

t ∈ Γ.


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.5

Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến

Bằng cách sử dụng công thức Plemelj, ta có thể giải được một số phương
trình tích phân kỳ dị trên đường cong đơn, kín đơn giản.
Ví dụ 1.5.1. Giải phương trình tích phân kỳ dị
∫
t2 − 9t + 18
1
φ(τ )
t(t − 3)φ(t) +
dτ = ,
πi
τ −t
t

t ∈ Γ,

(1.5.1)

Γ

trong đó Γ là đường cong kín đơn sao cho z = 3 thuộc miền ngoài Γ và z = 0
thuộc miền trong Γ (Hình 1.2).

Γ

D−

D+
3

Hình 1.2

Giải. Đặt

∫
Φ(z) =
Γ

φ(τ )
dτ,
τ −z

z∈
/ Γ.

(1.5.2)

Sử dụng công thức Plemelj:
Φ+ (t) − Φ− (t) = φ(t), t ∈ Γ,
∫
1
φ(τ )
+
−
Φ (t) + Φ (t) =
dτ,
πi
τ −t

t ∈ Γ.

Γ

Thay vào phương trình (1.5.1), thu được
1
t(t − 3)(Φ+ (t) − Φ− (t)) + (t − 3)(t − 6)(Φ+ (t) + Φ− (t)) = ,
t
10

t ∈ Γ.


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Suy ra

1
, t ∈ Γ.
2t(t − 3)
1
1
Nhân cả hai vế phương trình trên với
.
rồi sau đó lấy tích phân theo
2πi t − z
t ∈ Γ, thu được
∫
∫
∫
1
1
1
1
(t − 3)Φ+ (t)
3Φ− (t)
2t(t−3)
dt −
dt =
dt, z ∈ C\Γ. (1.5.3)
2πi
t−z
2πi
t−z
2πi
t−z
(t − 3)Φ+ (t) − 3Φ− (t) =

Γ

Γ

Đặt
1
I1 (z) =
2πi

∫
Γ

I3 (z) =

1
2πi

∫
Γ

Γ

(t − 3)Φ+ (t)
dt,
t−z
1
2t(t−3)

t−z

dt,

1
I2 (z) =
2πi

∫
Γ

3Φ− (t)
dt,
t−z

t ∈ Γ.

Xét các trường hợp:
i) z ∈ D+ , sử dụng công thức tích phân Cauchy (1.4.4) ta tìm được
I1 = (z − 3)Φ(z),

I2 = 0,

I3 =

1
.
6(z − 3)

Thay các kết quả trên vào (1.5.3) ta được
(z − 3)Φ(z) =

1
,
6(z − 3)

z ∈ D+ ,

do đó
Φ(z) =

1
,
6(z − 3)2

z ∈ D+ .

(1.5.4)

ii) z ∈ D− , sử dụng công thức tích phân Cauchy tìm được
I1 = 0, I2 = 3Φ− (z), I3 =

1
.
6z

Do vậy
1
, z ∈ D− .
18z
Sử dụng công thức Plemelj ta tìm được nghiệm của phương trình (1.5.1) là

Φ(z) =

φ(t) = Φ+ (t) − Φ− (t) =

1
1
9t − t2 − 9
−
=
.
6(t − 3)2 18t 18t(t − 3)2
11


Chương 2
Phương pháp Riemann - Hilbert
giải phương trình tích phân trên
đường cong mở
Xét phương trình tích phân kỳ dị loại 2 với nhân Cauchy
∫
φ(τ )
c(t)φ(t) +
dτ = f (t), z ∈ C\Γ.
τ −t

(2.1)

Γ

với Γ là hợp hữu hạn các đường cong mở và c(t), f (t),φ(t) là các hàm H¨older

liên tục trên Γ.
Đặt
1
Φ(z) =
2πi

∫
Γ

φ(τ )
dτ,
τ −z

z ∈ Γ.

(2.2)

Sử dụng công thức Plemelj (1.4.6), phương trình (2.1) trở thành
c(t)[Φ+ (t) − Φ− (t)] + πi[Φ+ (t) + Φ− (t)] = f (t),
Do đó
Φ+ (t) =

c(t) − πi −
f (t)
Φ (t) +
,
c(t) + πi
c(t) + πi

t ∈ Γ.

t ∈ Γ,

(2.3)

với điều kiện c(t) ̸= −πi.
Phương trình (2.3) có dạng
Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t),

t ∈ Γ,

trong đó G(t), g(t) là các hàm H¨older liên tục trên Γ.
12

(2.4)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Bài toán giải phương trình tích phân kỳ dị (2.1) được đưa về tìm hàm Φ(z)
giải tích trên C\Γ và thỏa mãn phương trình (2.4).

2.1

Bài toán Riemann - Hilbert

Phương pháp Riemann - Hilbert là phương pháp tìm hàm Φ(z) giải tích
trên C\Γ (Γ là hợp hữu hạn các đường cong đơn, trơn không giao nhau, định
hướng dương), với dáng điệu cho trước tại z = ∞, thỏa mãn một trong hai
điều kiện

i) Điều kiện biên thuần nhất
Φ+ (t) = G(t).Φ− (t),

t∈Γ

(2.1.1)

hoặc
ii)Điều kiện biên không thuần nhất
Φ+ (t) = G(t).Φ− (t) + g(t),

t ∈ Γ.

(2.1.2)

Ở đó G(t), g(t) thỏa mãn điều kiện H¨older trên Γ và G(t) ̸= 0 với mọi t ∈ Γ.
a) Bài toán biên Riemann - Hilbert (RHP) thuần nhất(i).
Ký hiệu Φ0 (z) là nghiệm của (2.1.1) , tức là:
−
Φ+
0 (t) = G(t).Φ0 (t),

t ∈ Γ.

Lấy logarit hai vế của phương trình trên và biến đổi, thu được
−
ln Φ+
0 (t) − ln Φ0 (t) = ln G(t),

Do đó

[

ln Φ0

]+

t ∈ Γ.

[
]−
(t) − ln Φ0 (t) = ln G(t),

t ∈ Γ.

(2.1.3)

Từ công thức Plemelj (1.4.6), tìm được
1
ln Φ0 (z) =
2πi

∫
Γ

13

ln G(t)
dt.
t−z

(2.1.4)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Như vậy nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i) là
∫
1
ln G(t)
Ψ(z)
Φ0 (z) = e
với Ψ(z) =
dt.
2πi
t−z
Γ

b) Bài toán biên Riemann - Hilbert (RHP) không thuần nhất (ii).
Giả sử Φ0 (z) là nghiệm của bài toán biên thuần nhất (i), khi đó
Φ+
(t)
G(t) = 0− ,
Φ0 (t)

t ∈ Γ.

Thay kết quả trên vào (2.1.2) thu được
Φ+
(t)

Φ (t) = 0− .Φ− (t) + g(t),
Φ0 (t)

t ∈ Γ.

+

Suy ra

g(t)
Φ+ (t) Φ− (t)
− −
= + ,
+
Φ0 (t) Φ0 (t) Φ0 (t)

t∈Γ

Hệ thức (2.1.5) có thể viết dưới dạng
[ Φ ]+
[ Φ ]−
g(t)
(t) −
(t) = + ,
Φ0
Φ0
Φ0 (t)

t ∈ Γ.

(2.1.5)

(2.1.6)

Từ công thức Plemelj (1.4.6), ta tìm được
∫
Φ(z)
g(t)
1
dt + E(z),
=
+
Φ0 (z) 2πi
Φ0 (t)(t − z)
Γ

hay

]
[ 1 ∫
g(t)
Φ(z) = Φ0 (z)
dt + E(z)
2πi
Φ+
0 (t)(t − z)

(2.1.7)

Γ

trong đó E(z) là một hàm nguyên. Như vậy (2.1.7) cho ta công thức nghiệm
của bài toán RHP (ii).
Ví dụ 2.1.1. Giải phương trình (2.1) trong trường hợp c(t) = ρ (ρ là hằng số
thực) và Γ là khoảng mở (0, 1):
∫1
ρφ(t) +
0

φ(τ )
dτ = f (t),
τ −t

t ∈ (0, 1)

(2.1.8)

với f (t) bị chặn trong lân cận t = 0, kỳ dị yếu tại t = 1 và giả thiết rằng hàm
φ(t) cũng bị chặn trong lân cận t = 0, kỳ dị yếu tại t = 1
14


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Giải. Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình trên. Đặt
1
Φ(z) =
2πi

∫1

0

φ(τ )
dτ,
τ −z

z∈
/ (0, 1).

(2.1.9)

Sử dụng các công thức Plemelj
Φ+ (t) − Φ− (t) = φ(t),
1
Φ+ (t) + Φ− (t) =
πi

∫1
0

t ∈ (0, 1),
φ(τ )
dτ,
τ −t

t ∈ (0, 1).

Thay các công thức trên vào (2.1.8) được
ρ(Φ+ (t) − Φ− (t)) + πi(Φ+ (t) + Φ− (t)) = f (t),

t ∈ (0, 1).

Biến đổi hệ thức trên ta thu được
Φ+ (t) =

ρ − πi −
f (t)
Φ (t) +
,
ρ + πi
ρ + πi

t ∈ (0, 1).

(2.1.10)

Giả sử Φ0 (t) là nghiệm của bài toán RHP thuần nhất tương ứng, ta có
Φ+
0 (t) =

ρ − πi −
Φ (t),
ρ + πi 0

t ∈ (0, 1).

(2.1.11)

Phương trình (2.1.10) trở thành
Φ+ (t) Φ− (t)

f (t)
=
,
+ − −
Φ0
Φ0 (t) (ρ + π)Φ+
0 (t)

t ∈ (0, 1).

(2.1.12)

Sử dụng kết quả của bài toán RHP (ii) tìm được
∫1
]
[ 1
f (t)
1
dt + E(z) ,
Φ(z) = Φ0 (z)
.
2πi ρ + πi
Φ+
0 (t)(t − z)
0

ở đó E(z) là hàm nguyên.
( z )α
ρ − πi
1

, trong đó α thỏa mãn
= e−2πiα (0 < α < ).
z−1
ρ + πi
2
Khi đó ρ = π. cot πα.
Chọn Φ0 (z) =

Bằng cách hạn chế hàm arg trên (0, 2π], ta có
( x )α
( x )α
+
iπα
−
Φ0 (x) =
e , Φ0 (x) =
e3iπα
1−x
1−x
15

x ∈ (0, 1).

(2.1.13)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Ngoài ra, lim Φ0 (z) = 1 và lim Φ(z) = 0.
z→∞

z→∞

Do vậy, kết hợp với (2.1.9) và (2.1.12) tìm được
E(z) ≡ 0.
Như vậy
Φ0 (z) 1
Φ(z) =
2πi ρ + πi

∫1

f (t)
dt z ∈
/ (0, 1).
− z)

Φ+
0 (t)(t

0

(2.1.14)

Sử dụng công thức Plemelj cho (2.1.14) cùng với kết quả (2.1.13), ta tìm được
φ(x) = Φ+ (x) − Φ− (x)
Φ+ (x) − Φ− (x)
=
2πi(ρ + πi)

∫1
0

f (t)
Φ+ (x) + Φ− (x)
dt
+
f (x).
Φ+
2Φ+
0 (t)(t − x)
0 (x)(ρ + πi)

Cụ thể nghiệm của phương trình (2.1.8) là
( x )α
1 [
φ(x) = 2
ρf (x) −
ρ + π2
1−x

∫1 (
0

1 − t )α f (x) ]
dt 0 < x < 1.
t
t−x

1

) phương trình (2.1.8) với
2
Γ = (0, 1) là phương trình tích phân loại I cho bởi
Chú ý Trong trường hợp ρ = 0 (khi đó α =
∫1
0

φ(x)
dt = f (x) 0 < x < 1.
t−x

Với phương pháp trên, ta tìm được nghiệm của phương trình trên là
1 ( x )2
φ(t) = − 2
π 1−x

1

2.2

∫1 (
0

1 − t ) 2 f (x)
dt,
t
t−x
1

0 < x < 1.

Phương trình tích phân Abel

Phương trình tích phân Abel là phương trình có dạng
∫x
a(x)
α

φ(t)
dt + b(x)
(x − t)µ

∫β
x

φ(t)
dt = f (x), x ∈ (α, β),
(t − x)µ
16

(2.2.1)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

trong đó 0 < µ < 1.
Có khá nhiều nhà toán học đã tiến hành các phương pháp khác nhau để
giải (2.2.1). Sau đây, chúng ta tiến hành giải phương trình (2.2.1) bằng phương
pháp Riemann - Hilbert.
Bước 1. Đưa phương trình về bài toán RHP tương ứng:

Giả sử φ(t) là nghiệm của phương trình trên. Đặt
∫β
Φ(z) =
α

φ(t)
dt, 0 < µ < 1, (z = x + iy),
(t − z)µ

(2.2.2)

khi đó Φ(z) là hàm giải tích trên C\[α, β].
Với x ∈ [α, β], ta có
Φ+ (x) = lim+ Φ(z) = lim+
y→0

[ ∫x

y→0

α

∫x
=
α

φ(t)
dt +
(x − t)µ (−1)µ

φ(t)
dt +
(t − x − yi)µ
∫β
x

∫β
x

]
φ(t)
dt
(t − x − yi)µ

φ(t)
dt.
(t − x)µ

(∗)

Thu được
Φ+ (x) = eiπµ .(A1 φ)(x) + (A2 φ)(x).

(2.2.3)

Ở đó toán tử A1 , A2 được xác định
∫x
(A1 φ)(x) =
α

φ(t)
dt, (A2 φ)(x) =
(x − t)µ

∫β
x

φ(t)
dt.
(t − x)µ

Tương tự như trên, tính được
Φ− (x) = e−iπµ (A1 φ)(x) + (A2 φ)(x) x ∈ [α, β].

(2.2.4)

Từ (2.2.3) và (2.2.4), suy ra
Φ+ (x) − Φ− (x) Φ+ (x) − Φ− (x)
=
eiπµ − e−iπµ
2i sin πµ
−iπµ +
iπµ −
e
Φ (x) − e Φ (x)
(A2 φ)(x) =
eiπµ − e−iπµ
e−iπµ Φ+ (x) − eiπµ Φ− (x)
=
, x ∈ [α, β].

2i sin πµ
(A1 φ)(x) =

17

(2.3.6a)

(2.3.6b)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Thay các kết quả (2.3.6a), (2.3.6b) vào (2.2.1) và biến đổi thu được
(a(x) − e−iπµ b(x))Φ+ (x) − (a(x) − eiπµ b(x))Φ− (x) = 2i sin πµf (x), x ∈ [α, β].
Hệ thức trên được đưa về bài toán RHP
Φ+ (x) + G(x)Φ− (x) = g(x),

x ∈ [α, β],

(2.2.7)

trong đó
G(x) = −

[
{
}]
a(x) − eiπµ b(x)
b(x) sin πµ
−1

=
−
exp
−
2i
tan
,
a(x) − e−iπµ b(x)
a(x) − b(x). cos πµ

và
g(x) =

2i sin πµ
f (x).
a(x) − e−iπµ b(x)

Để giải phương trình (2.2.7), cần chú ý rằng
( 1 )
|Φ(z)| = o
khi |z| → ∞.
|z|µ
Bước 2. Giải bài toán RHP (2.2.7):
Xét bài toán RHP thuần nhất tương ứng của (2.2.7)
Φ+ (x) + G(x)Φ− (x) = 0,

x ∈ [α, β].

(2.2.8)

Bài toán trên có nghiệm tổng quát là Φ0 (z) = eΨ0 (z) , trong đó Ψ0 (z) được xác
định từ phương trình
−
Ψ+
0 (x) − Ψ0 (x) = G0 (x)

với
eG0 (x) = −G(x).
Từ (2.2.2) và (2.3.6a), (2.3.6b) ta thu được
∫β
Ψ0 (z) =
α

với ρ0 xác định từ đẳng thức
(A1 ρ0 )(x) =

ρ0 (t)
dt,
(t − z)µ

(2.2.9)

−
Ψ+
G0 (x)
0 (x) − Ψ0 (x)
=
.
2i sin πµ
2i sin πµ

Suy ra
1
sin πµ d
1
ρ0 (x) =
(A−1
·
1 G0 (x)) =
2i sin πµ
2i sin πµ
π dx
18

∫

x
α

G0 (t)
dt
(x − t)1−µ


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

1 d
=
2πi dx

∫

x
α

G0 (t)
dt,
(x − t)1−µ

với
sin πµ d
(A−1
.
1 G0 )(x) =
π dx

∫x
α

G0 (t)
dt.
(x − t)1−µ

Tiếp theo chúng ta sẽ tìm nghiệm của bài toán RHP (2.2.7). Vì Φ0 (x) là nghiệm
Φ+
0 (x)
của (2.2.8), suy ra G(x) = − −
, x ∈ [α, β]. Thay vào phương trình (2.2.7)
Φ0 (x)
và biến đổi, thu được

Φ+ (x) Φ− (x)
g(x)
− −
= + , x ∈ [α, β],
+
Φ0 (x) Φ0 (x) Φ0 (x)

(2.2.10)

trong đó
±
Φ±
0 (x) = exp[Ψ0 (x)],

với Ψ±
0 (x) tìm được như (2.2.9).
Bằng cách sử dụng công thức (2.3.6a), (2.3.6b) chúng ta tìm được nghiệm
của bài toán RHP (2.2.10) là
Φ(z)
=
Φ0 (z)

∫β
α

trong đó

1 d[
λ(x) =
.

2πi dx

∫x
a

Đặt p(t) =
ta tìm được

λ(t)
dt,
(t − z)µ

(2.2.11)

]
g(x)
dt .
1−µ
Φ+
0 (t)(x − t)

g(t)
, với giả sử đạo hàm p′ (t) tồn tại với mọi t ∈ [α, β]. Khi đó,
+
Φ0 (t)
1 [ p(α)
λ(x) =
+
2πi (x − α)1−µ

∫x
α

]
p′ (t)
dt .
(x − t)1−µ

Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình (2.2.1):
Từ (2.2.11), lập luận tương tự như ở (∗) (Bước 1 ), tìm được
±iπµ
Φ± (x) = Φ±
(A1 λ)(x) + (A2 λ)(x)], x ∈ [α, β].
0 (x)[e

19

(2.2.12)


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

Đặt
Φ+ (x) − Φ− (x) = h(x),

x ∈ [α, β],

với
)
)

(
(
−iπµ −
−
Φ0 (x) (A1 λ)(x)+ Φ+
h(x) = eiπµ Φ+
0 (x)−Φ0 (x) (A2 λ)(x), x ∈ [α, β].
0 (x)−e
Bằng cách sử dụng công thức (2.3.6a)
Φ+ (x) − Φ− (x)
h(x)
(A1 φ)(x) =
=
,
2i sin πµ
2i sin πµ

x ∈ [α, β],

ta tìm được nghiệm
φ(x) =

1
(A−1 h)(x)
2i sin πµ 1

1
sin πµ d [
=
.

.
2i sin πµ π dx
1 d
=
.
2πi dx

[ ∫x
α

∫x
α

]
h(t)
dt
, x ∈ [α, β]
(x − t)1−µ

]
h(t)
dt , x ∈ [α, β].
(x − t)1−µ

(2.2.13)

Nếu đạo hàm h′ (t) tồn tại với mọi t ∈ [α, β], thì công thức trên tương đương
với

1 [ h(α)

φ(x) =
+
2πi (α − t)1−µ

∫x
α

]
h′ (t)
dt , x ∈ [α, β].
(x − t)1−µ

(2.2.14)

Vậy nghiệm của phương trình (2.2.1) được cho bởi (2.2.13) hoặc (2.2.14).
Chú ý. Ta cũng có thể xây dựng công thức nghiệm của phương trình (2.2.1)
bằng cách sử dụng toán tử A2 và bài toán RHP đồng nhất tương ứng:
−2iπµ
Φ+
G(x)Φ−
0 (x) + e
0 (x) = 0.

Khi đó nghiệm của phương trình (2.2.1) là
−1 [ h(β)
φ(x) =
+
2πi (β − x)1−µ

∫β

x

]
h′ (t)
dt , x ∈ [α, β],
(t − x)1−µ

(2.2.15)

Nếu đạo hàm h′ (t) tồn tại với mọi t ∈ [α, β]., trong đó
−
−iπµ +
h(x) = [Φ+
Φ0 (x) − eiπµ Φ−
0 (x) + Φ0 (x)](A1 λ)(x) + [e
0 (x)](A2 λ)(x),

20


Chương 2. Phương pháp Riemann - Hilbert giải PTTP trên đường cong mở

và
e−iπµ d
λ(x) =
.
2πi dx

∫β
x

g(x)
1−µ
Φ+
0 (t)(t − x)

dt.

Các công thức nghiệm (2.2.14) và (2.2.15) là tương đương.

2.3

Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân
Logarit

Nhiều vấn đề trong toán học vật lý mà để giải quyết nó đã đưa đến việc
xuất hiện phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit. Chúng ta nghiên
cứu giải hai phương trình tích phân kỳ dị nhân Logarit thường gặp:
∫β
φ(t) ln |t − x|dt = f (x),

α < x < β,

(2.3.1)

t−x
dt = f (x),
t+x

α < x < β,

(2.3.2)

α

và

∫β
φ(t) ln
α

ở đó φ(x) và f (x) là các hàm có đạo hàm trong khoảng (α, β).
Có một số cách giải phương trình (2.3.1) và (2.3.2), như của Porker (1972)
và Chakrabarti (1997) đã chỉ ra nghiệm

φ(x) =

[ ∫β

1
1

π 2 [(x − α)(β − x)] 2

α

+

[(t − α)(β − t)] 2 f ′ (t)
dt+

t−x
1

1
(β − α)
ln
4

∫β
α

f (t)

]
1 dt ,

(2.3.3)

[(t − α)(β − t)] 2

trong trường hợp β − α ̸= 4 và
φ(x) =

[ ∫β

1
1

π 2 [(x − α)(β − x)] 2

α

]
1
[(t − α)(β − t)] 2 f ′ (t)
dt + c ,
t−x

21

(2.3.4)