Hiệu chỉnh phương trình tích phân tuyến tính loại i

Header Page 1 of 16.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
––––––––––––––––––––

MAI THỊ NGỌC HÀ

HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 1 of 16.




Header Page 2 of 16.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-----------  ----------

MAI THỊ NGỌC HÀ

HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2009
Footer
Page
2 oftâm
16.Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa
bởi Trung




Header Page 3 of 16.
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học:

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG

Phản biện 1: ...............................................
Phản biện 2: ...............................................

Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận
văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - ĐHTN

Ngày tháng
năm 2009

Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Nguyên

Footer
Page
3 oftâm
16.Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa
bởi Trung




Header Page 4 of 16.

♥♦♥

Footer Page 4 of 16.

✶


Header Page 5 of 16.

▼ô❝ ❧ô❝

▼ë ➤➬✉

✹

❈❤➢➡♥❣ ✶✳
✶✳✶

▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥

✼

▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠

✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✼

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✼

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✽

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✾

✶✳✶✳✹✳ ❙ù ❤é✐ tô tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✵

✶✳✶✳✺✳ ❚♦➳♥ tö tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✶

✶✳✷

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

✶✸

✶✳✸

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

✶✳✹

❙ù tå♥ t➵✐ t♦➳♥ tö ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

✶✳✺

❳➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

✶✳✶✳✷✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

✶✳✶✳✸✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✻

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✾

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✷✵

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐

■
✷✳✶

✷✹
◆❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■ ✷✹

✷✳✶✳✶✳ ❈➡ së ❧ý t❤✉②Õt

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✷✹

✷✳✶✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ♠➳② tÝ♥❤

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✺

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✽

✷✳✶✳✸✳ ❘ê✐ r➵❝ ❤♦➳ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤Ó t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø

Footer Page 5 of 16.

✷


Header Page 6 of 16.

✷✳✷

❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤

♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■

✷✳✸

✳

❑Õt q✉➯ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❝ô t❤Ó

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✾

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✹✹

❑Õt ❧✉❐♥

✹✼

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✹✽

Footer Page 6 of 16.

✸


Header Page 7 of 16.

ở
ề ề ọ ệ tế s t ế ệ







t

ệ

ủ

ú



ổ

ị

t

ữ

ệ



tứ ột t ổ ỏ ủ ữ ệ s ột ủ ữ ệ

ó tể ế sự s rt ớ ột ủ ệ t í

t trở ệ ị ờ t ó ữ t

ó t ỉ

s

số ệ tờ ợ t t tự ệ q

tr s ó ợ ử ý tr tí ú tr ỏ

s số

í ì tế t r ó ữ ổ

ị t t ỉ s s số ủ ữ ệ ỏ

tì ệ ỉ tì ợ ớ ệ ú ủ t t

t ữ ờ ó t ề ó ý tết t t

ỉ rt s

r ổ ủ ú t sẽ ề ế ột

t t ỉ ó ó ứ ụ ớ tr t t s

từ ĩ tt

ó trì tí tế tí r

b

K(t, s)x(s)ds = f0 (t), t [c, d],

a

< a < b < +, < c < d < +
ở ệ ột


x0 (s)

ế

f0 (t)

ột số trớ

K(t, s) ủ tí ù ớ K/t ợ tết

tụ trớ
sẽ ứ ệ ỉ tố ộ ộ tụ ủ

Footer Page 7 of 16.




Header Page 8 of 16.

ệ ệ ỉ ệ ệ ỉ ợ ỉ ữ ề

ệ ủ trì tí tế tí tr s ó r

ết q số ọ

ộ ồ ết ố ù

t ệ t



s trì ột số ệ ủ tí

ú t trì ệ ề t t ỉ ỉ r

r t tì ệ ủ trì tí r

t t ỉ ố ù ú t trì tó tt ệ ự

ệ ỉ tổ qt ể t t ỉ



trì ề ệ ệ ỉ ủ trì tí

tế tí tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ỉ ữ ề

tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ữ ề ồ tờ ỉ r

tố ộ ộ tụ tốt t

ố ù ú t r ột số ết q

số ọ







tỏ

ò

ết





t



s

s

t

tớ

P



ễ ờ ờ t tì ỉ t ề ệ ú ỡ t ó

t ề ế tứ ứ tổ ợ t ệ ờ ó

t ó tể t ợ

ũ ử ờ t tớ ễ ị ỷ

rờ ọ ọ ệt tì ú

ỡ t tr sốt q trì

tỏ ò ết tớ tt t trự tế

tr ị t ữ ế tứ tr sốt q trì t ọ

t

t

trờ



t

tr

ộ







ý





t



tr ọ trờ ọ

t ề ề ệ t ợ ú ỡ ộ t tr sốt q trì

Footer Page 8 of 16.

Header Page 9 of 16.

❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❝➠♥❣ t➳❝✳

◆❤÷♥❣ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ♠✉è♥ ❣ö✐ tí✐ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥ ②➟✉

♥❤✃t tr♦♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ t➠✐ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ❝❤✐❛ s❰✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ r✃t ♥❤✐Ò✉

➤Ó t➠✐ ✈➢ît q✉❛ ❦❤ã ❦❤➝♥ ✈➭ ➤➵t ➤➢î❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❝➠♥❣ t➳❝✳

❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣

10 ♥➝♠ 2009

❚➳❝ ❣✐➯

▼❛✐ ❚❤Þ ◆❣ä❝ ❍➭

Footer Page 9 of 16.

✻


Header Page 10 of 16.

ột số ế tứ


ột số ế tứ ủ tí

ệ ị ý í ụ ết q tr ụ ợ t

ở t ệ

[1]



[2]



tr
ị ĩ
t ợ

tr ột

: X ìX R

ột ị tr



tr ó ột

X ìX

t

ề ệ s

ớ

x, y X (x, y) 0, (x, y) = 0 x = y

ớ

x, y X (x, y) = (y, x)











(x, y) (x, z) + (z, y), x, y, z X

ợ ọ ột tr ủ ỗ tử ủ

ọ ột ể ủ số

(x, y)

X

ợ

ợ ọ ữ

ể

ị ĩ




ó

ộ tụ ế tử


n=1

xn

x0 X

ữ tử ủ tr

ế

lim (xn , x0 ) = 0,

n
í ệ

lim xn = x0 .

n

ị ĩ



xn


n=1

X

ợ ọ s

ế

> 0, n0 N

Footer Page 10 of 16.

s

i, j n0



ó

(xi , xj ) <




Header Page 11 of 16.

tr

s tr

X

(X, )

ợ ọ ủ ế ọ

ị ĩ

M

ột t


xn n=1

t ế ọ

ộ tụ ế ột ể tộ

r

C[a,b]

M

M C[a,b]



tr tr

M

X

ợ ọ

ề ó ứ ột

xnk


k=1



ột t

M

ế t ị ý s

ị ý ị ý rs s


X

ề ộ tụ ế ột tử tộ



ỉ ó ớ ộ ề tụ ồ




ị ĩ

sử





trờ

số

tự

R





ợ

X



rỗ

ù ớ ọ é ộ é ớ

Pé ộ í ệ

X ìX X
(x, y) x + y
Pé ớ í ệ



RìX X
(, x) .x
ọ tế tí tr

R

é t tự ế

é t ộ ớ t tí t s



x, y X, x + y = y + x



x, y, z X, x + (y + z) = (x + y) + z

ớ tử

ớ ỗ

Footer Page 11 of 16.

0X

xX

t ó





x X, x + 0 = 0 + x

tồ t tử





x X : x + (x) = 0




Header Page 12 of 16.

✺✮

∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X : α.(β.x) = (α.β).x

✻✮

∀x ∈ X : 1.x = x

✼✮

∀α, β ∈ R, x ∈ X

✽✮

∀β ∈ R, x, y ∈ X : β.(x + y) = β.x + β.y

❀

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✻✳

.

✿

X→R

❀

t❛ ❝ã✿

(α + β).x = α.x + β.x

❀

✳

●✐➯ sö ❳ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❝❤✉➮♥ tr➟♥

X

R

✳ ❍➭♠ sè✿

♥Õ✉ ♥ã t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

s❛✉✿

x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = 0

✶✮

❀

✷✮

∀x, y ∈ X : x + y ≤ x + y

✸✮

∀β ∈ R; ∀x ∈ X : β.x = |β|. x

❀

✳

▼ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

X

❝ï♥❣ ✈í✐ ♠ét

❝❤✉➮♥ tr➟♥ ♥ã✳

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✳

◆Õ✉ ➤➷t✿

ρ(x, y) = x − y

t❤×

(X, ρ)

trë t❤➭♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

♠➟tr✐❝✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✼✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ➤➬② ➤ñ✳

✶✳✶✳✸✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳
❤➢í♥❣ tr♦♥❣

X

❈❤♦

X

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵

., . : X × X → R

R

✳ ▼ét tÝ❝❤ ✈➠

t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

s❛✉✿

✶✮

x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0

✷✮

x, y = y, x , ∀x, y ∈ X

✸✮

αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R

✹✮

x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X

❀

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

X

❀

✳

❝ï♥❣ ✈í✐ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣

❣✐❛♥ t✐Ò♥ ❍✐❧❜❡rt✳

Footer Page 12 of 16.

❀

✾

., .

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣


Header Page 13 of 16.

ét

x =

ớ

x, x

tì trở t ị



ị ĩ

tề rt ủ ợ ọ

rt

í ụ

Lp [a, b]

ợ s ó

xp (s)

tí ớ ợ ị s

1/p

b

x

Lp

tr ó ỗ tử

p

|x(s)| ds

=

< +

(1.1)

a
ớ t ó rt

ệt







W21

ồ

ữ



f L2 [a, b]

s



f L2 [a, b]

ớ

f

2
W21

2
L2

= f

+ f

2
L2

<

rt

s tụ tr

x

C[a,b]

= max |x(s)|

(1.2)

s[a,b]

ự ộ tụ tr
ị ĩ



X

ị

ọ ộ tụ ế ột tử





n

ế

ợ

xn x0 0

n

í ệ

ộ tụ t ợ ọ ộ tụ

lim xn = x0

n

ị ĩ
ợ ủ ó

ó

x0 X

xn X



ó

f (xn ) f (x0 )

Footer Page 13 of 16.





X

xn x0 .

ị

xn X

ộ tụ ế ế

n

í ệ



xn

x0 .

X



x0 X

ế

f X


Header Page 14 of 16.

ừ ộ tụ s r ộ tụ ế ợ từ ộ tụ ế s r ộ tụ

xn M

ỉ ị ữ ề

ớ ột t tr

tử tr
ị ĩ
tử

A:XY

tế tí t ì

ọ tế tí ế



A(x + y) = Ax + Ay



A(x) = Ax

ế

f :X R

ớ

x, y X

x X, R

ớ





ột t tử tế tí tì t ó

f

ột ế

tế tí

ị ĩ
tử tế tí

Axn Ax0

sử ị ột t

A:XY

ọ tụ ế từ

xn x0

é t



ị ĩ
ột số

K>0

tử tế tí ọ ị ớ ộ ế ó

ể

(x X), Ax K x
ột t tử tế tí ị tì tụ ợ

ị ĩ




t

ế

ị

ế

ó





ế

tử

ợ

ỗ

K(X, Y )

ễ t

ọ

t

xn K(n = 1, 2, ....)

í ệ

tế

tí

ó

A : X Y

t

ị

tử





ớ

t

t

t

é t sự tồ t ột

X

Y





tụ

t

tử

t

ĩ



Axnk

ộ tụ

t tt t tử t tụ từ

K(X, Y ) B(X, Y )

ở

B(X, Y )

t tt t

tử tế tí tụ từ

r ề ế ột t tử t tụ

Footer Page 14 of 16.




Header Page 15 of 16.

t❤×

A−1

❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ tô❝✳

❇æ ➤Ò ✶✳✶✳✶✳

✭

❇æ ➤Ò ❚✐❦❤♦♥♦✈✮

✭①❡♠ ❬✶❪ ✈➭ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❞➱♥✮

❈❤♦ ❳ ✈➭ ❨ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤✳ ❈❤♦ t♦➳♥ tö

X0 ⊆ X

Y0 = A(X0 )✳ ◆Õ✉ ❆ ❧➭ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤✱ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ X0

❧➟♥

❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛

X ✱ t❤× A−1

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✻✳
❇❛♥♥❛❝❤

X

A:X→Y

❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ tõ

❇➭✐ t♦➳♥ t×♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠

♥❤➢ s❛✉✿ ❚×♠ ♣❤➬♥ tö

x0 ∈ X

Y0

❧➟♥

f (x)

➤➢❛ t❐♣

❧➭ ♠ét t❐♣

X0 ✳

tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

s❛♦ ❝❤♦

f (x0 ) = inf f (x).

(1.3)

x∈X

❉➲②

xn

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❝ù❝ t✐Ó✉ ❤♦➳ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ t✐Ó✉ tr➟♥ ✭❝ñ❛

♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❢✮✱ ♥Õ✉

lim f (xn ) = f (x0 )

n→∞

➜✐Ò✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿

∀ > 0, ∃N ( ) : ∀n > N ( ), f (x0 ) − ≤ f (xn ) ≤ f (x0 ) +

✳

✶✳✶✳✻✳ ●✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤
➜Ó

t×♠

♥❣❤✐Ö♠

♠ét

❤Ö

♣❤➢➡♥❣

tr×♥❤

➤➵✐

sè

t✉②Õ♥

tÝ♥❤✱

tå♥

t➵✐

♥❤✐Ò✉

♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ sè ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳❚✉ú ➤➷❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ tõ♥❣ ♠❛ tr❐♥ ❤Ö sè✱ t❛ ❝ã t❤Ó

❝❤ä♥ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭♦ ❝❤♦ ❝ã ❧î✐ ❤➡♥ ❝➯✳

❑❤✐ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ➤➲

➤➢î❝ rê✐ r➵❝ ❤♦➳ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ t❛ t❤➢ê♥❣ sö ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣

✈➭ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ ❤Ö sè✳

❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉

♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➝♥ ❜❐❝ ✷✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦❤➳❝ ❝ã t❤Ó ①❡♠ tr♦♥❣ ❬✷❪✳

• P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➝♥ ❜❐❝ ✷
❈❤♦ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè

Ax = b

✈í✐ ❆ ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ ♥

➤è✐ ①ø♥❣ ✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳ ❈➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❝ñ❛ ❆ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭

b = (b1 , b2 , ...., bn )T

Footer Page 15 of 16.

❧➭ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ✈Ð❝t➡ ❤➭♥❣✳

✶✷

aij

✈➭

❚❛ ❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♠❛


Header Page 16 of 16.

tr❐♥

A = U ∗U

✈í✐


u11 u12 u13

 0 u22 u23


U =  0 0 u33




0 0 0
✳
✳
✳

✈➭

U∗

✳
✳
✳

❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛

U

✳
✳
✳

✳

. . . u1n




. . . u2n 



. . . u3n  .


...

. . . unn
✳
✳
✳

❈➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥

uij

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➬♥

❧➢ît t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ s❛✉

u11 =

√

a11 , u1j =

a1j
, j = 2, 3, ...n;
u11

i−1

uii =

u2ki , i = 2, 3, ...., n;

aii −
k=1

1
(aij −
uij =
uii
❉♦ ➤ã ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

✈➭

Ux = y

i−1

uki ukj ), i < j; uij = 0, i > j.
k=1

Ax = b

➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

U ∗y = b

✳ ▲➬♥ ❧➢ît ❣✐➯✐ ❤❛✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè ✈í✐ ♠❛ tr❐♥ t❛♠ ❣✐➳❝

t❛ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ①✳

✶✳✷

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ➤➢î❝ ❏✳ ❍❛❞❛♠❛r❞ ➤➢❛ r❛ ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥

❝ø✉ ✈Ò ➯♥❤ ❤➢ë♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜✐➟♥ ❧➟♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

❡❧❧✐♣t✐❝ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ✭①❡♠

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳
t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭

[6]

✮✳

●✐➯ sö ❳ ✈➭ ❨ ❧➭ ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✈í✐ ❝➳❝ ➤é ➤♦

ρX (x1 , x2 ) ρY (f1 , f2 )
❀

✈➭ ❆ ❧➭ t♦➳♥ tö tõ ❳ ✈➭♦ ❨✳ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣

tr×♥❤✿

Ax = f, f ∈ Y,

Footer Page 16 of 16.

✶✸

(1.4)


Header Page 17 of 16.

xX

t tì ệ

t ữ ệ

ỉ tr tr

(X, Y )

f Y

ế



f Y, xf X : A(xf ) = f

xf

ợ ị ột t



xf

ụ tộ tụ

ị ĩ

ợ ọ t t



ế ột tr ề ệ tr t tì

t ọ t t ỉ

ú ý
ố ớ t tế tì ề ệ tứ

t ết t tế ề t t

ỉ

t tì ệ

x

ụ tộ ữ ệ

ợ ọ ổ ị tr

ột số

() > 0

s từ

(X, Y )

Y (f1 , f2 ) ()

ĩ

ế ớ ỗ

t

xi X, fi Y,

xi = R(fi ),

f

x = R(f )

>0

X (x1 , x2 )

tồ t

ở

i = 1, 2.

ột t ó tể t ỉ tr

t ỉ tr

r

ề

ứ

ụ

tì

ế

ĩ t trị í



f f



sử

tết r ệ tồ t

ỉ tì

í ụ

x

x


f



tờ

0

ợ

t ỉ ết ỉ

ệ ủ ớ

tì

f f

ó ộ tụ ế

f

f



ở



ủ ó t

t ở

f



ớ t t

x



t tì ệ ủ trì tí r

t t ỉ

Footer Page 17 of 16.

ủ




Header Page 18 of 16.

❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❋r❡❞❤♦❧♠ ❧♦➵✐ ■✿

b

K(t, s)x(s)ds = f0 (t), t ∈ [a, b],

(1.5)

a

−∞ < a < b < +∞
ë ➤➞② ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ♠ét ❤➭♠

♥❤➞♥

✭❤➵❝❤✮

K(t, s)

❝ñ❛

x0 (s)

✱ ✈Õ ♣❤➯✐

tÝ❝❤

♣❤➞♥

❝ï♥❣

f0 (t)
✈í✐

❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❝❤♦ tr➢í❝ ✈➭

∂K/∂t

➤➢î❝

❣✐➯

t❤✐Õt

❧➭

❝➳❝

❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ❚❛ ①Ðt ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ s❛✉✿

• ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✶
C[a, b] → L2 [a, b]

A:

b

x(s) → f0 (t) =

K(t, s)x(s)ds.
a

L2 [a, b]

❙ù t❤❛② ➤æ✐ ✈Õ ♣❤➯✐ ➤➢î❝ ➤♦ ❜➺♥❣ ➤é ❧Ö❝❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠

f1 (t)

✈➭

f2 (t)

tr♦♥❣

L2 [a, b]

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

1/2

b
2

|f1 (t) − f2 (t)| dt

ρL2 [a,b] (f1 , f2 ) =

✱ tø❝ ❧➭

.

a
●✐➯ sö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

(1.5)

x0 (s)

❝ã ♥❣❤✐Ö♠

✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ✈Õ ♣❤➯✐

b

f1 (t) = f0 (t) + N

K(t, s)sin(ω.s)ds
a

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤

ω

(1.5)

❝ã ♥❣❤✐Ö♠

x1 (s) = x0 (s) + N sin(ω.s)

✳

➤ñ ❧í♥ t❤× ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠

b

f0 , f1

tr♦♥❣

L2 [a, b]

K(t, s)sin(ω.s)ds
a

N

❜✃t ❦×✱

❧➭✿

2

b

ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N |

❱í✐

1/2

dt

a

❝ã t❤Ó ❧➭♠ ♥❤á t✉ú ý✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ➤➷t✿

Kmax =

max

|K(t, s)|

s∈[a,b] t∈[a,b]

❚❛ tÝ♥❤ ➤➢î❝

b

ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) ≤ |N |
a

Footer Page 18 of 16.

1
Kmax . .cos(ω.s) |ba
ω

✶✺

2

1/2

dt

≤

|N |.Kmax .c0
.
ω

Header Page 19 of 16.

c0

ë ➤➞②

❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❝❤ä♥

N

✈➭

ω

❧í♥ t✉ú ý ♥❤➢♥❣

N
ω

❧➵✐ ♥❤á✳

❑❤✐ ➤ã✿

ρC[a,b] (x0 , x1 ) = max |x0 (s) − x1 (s)| = |N |
s∈[a,b]

❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳

• ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷
A:

L2 [a, b] → L2 [a, b]
b

x(s) → f0 (t) =

K(t, s)x(s)ds,
a

❑❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠

x0 , x1

tr♦♥❣

L2 [a, b]

❝ò♥❣ ❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳

❚❤❐t ✈❐②✱

1/2

b
2

|x0 (s) − x1 (s)| ds

ρL2 [a,b] (x0 , x1 ) =

2

= |N |

a

= |N |

1/2

b

sin (ω.s)ds
a

b−a
1
−
sin(ω(b − a)).cos(ω(b + a)).
2
2ω
N
ω
ρL2 [a,b] (f0 , f1 )

❉Ô ❞➭♥❣ ♥❤❐♥ t❤✃② ❤❛✐ sè

♥❤á ♥❤➢♥❣ ✈➱♥ ❝❤♦ ❦Õt q✉➯

✈➭

❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦

ρL2 [a,b] (x0 , x1 )

r✃t

r✃t ❧í♥✳ ◆❤➢ ✈❐② sù t❤❛② ➤æ✐ ♥❤á

❝ñ❛ ❞÷ ❦✐Ö♥ ❜❛♥ ➤➬✉ ❞➱♥ ➤Õ♥ sù t❤❛② ➤æ✐ ❧í♥ ✈Ò ♥❣❤✐Ö♠✳ ❉♦ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠

♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋r❡❞❤♦❧♠ ❧♦➵✐ ■ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣

❝❤Ø♥❤✳

✶✳✸

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥

Ax = f0 ,
tr♦♥❣ ➤ã

Y

✈➭

A

(1.6)

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝

f0 ∈ Y

✳ ➜Ó t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛

(1.6)

X

✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t

❆✳◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ♠ét ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♠í✐✳ ➜ã ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

Footer Page 19 of 16.

✶✻


Header Page 20 of 16.

ự tr ệ ự t tử ệ ỉ ọ ột trị ủ ột

t số ớ

sử



t

A1

t

[4] [5]



tụ t

r



ự



t

tử ỉ ệ í

tử ỉ

ị ớ

x

t q t

f Y

số



x0

ề



A1 f

A1

t ết

(A, f )



f : |f f0 | 0

ứ

s

số





tì

ột

õ r tể ị

x = A1 .f

tứ

ỉ

t

f0

A1

ó tể

A1 f

ế tồ t ũ

ì tứ t

tụ



ỉ t ứ ộ s số ế ủ

(1.6)



ì ề

t r ó tể ự tử ỉ ụ tộ ột t số ó

t số ợ ọ t tí ớ

ỉ ộ tụ tớ ệ í

x0

s

t q t ớ ỗ

ị ĩ


X

f Y

tử



ụ tộ t số





X


ợ ọ ột t tử ệ ỉ trì

ồ t số

ọ

Y

t ó tử ỉ tộ

R(f, )

(0, 1 )

ớ ọ

1



1

tì tử



tồ t ột t tử t ộ từ

X

0

s t tử

t ộ từ

(1.6)

R(f, )

Y

ế

ị ớ

f Y : Y (f, f0 ) , (0, 1 )



ồ t ột sự ụ tộ

= (f, )

s

f Y, Y (f, f0 ) 1 = Y (x , x0 )

> 0 ( ) 1 :

ở

x R(f, (f, ))



ú ý
r ị ĩ ò ỏ tí trị ủ t tử

P tử

trì

(1.6)

x R(f , )

ở

R(f, )



ợ ọ ệ ệ ỉ ủ

= (f , ) = ()

ợ ọ t số ệ ỉ

ễ t từ ị ĩ tr ệ ệ ỉ ổ ị ớ ữ

ệ

Footer Page 20 of 16.




Header Page 21 of 16.

ị ĩ

(1.6)

ế ủ

ệ tì ệ ỉ ụ tộ tụ

ồ ớ

ì t tử ệ ỉ

R(f, )



ị trị ủ t số ệ ỉ

t ề tử

f

s số



ự t t ủ



P tì ệ ỉ t q t tr ọ

ệ ỉ

í ụ

P ợ sử ụ từ tờ t t

z=

ổ ể í trị



z

df (t)
dt

tr tr t ỉ ết ú

tí ợ ự tỷ s

R(f, ) =
ế

t

|g(t)|



f (t)

ớ ọ

t

t

ết

ỉ

ủ

ó

f (t) = f (t) + g(t)



ở



ó

f (t + ) f (t) g(t + ) g(t)
+



R(f , ) =




f (t + ) f (t)


0

t ợ

f (t + ) f (t)
z.

ố tứ ợ ở

|
ế ọ

=


()

ớ

g(t + ) g(t)
2
| .



() 0



0

tì

2

= 2() 0


ớ

= 1 () =

Footer Page 21 of 16.


, R(f , 1 ()) z.
()





ì


Header Page 22 of 16.



ự tồ t t tử ệ ỉ

(1.6)

sử

ế ế

f

ỉ ệ

ỉ ết ỉ

x0

x0 Q



ế

Y (f , f0 ) 0

f0

í

tì ệ tì tử

x

ợ ớ tr t

z X, Y (Az, f )

Q =


x0

ó ột ệ t

ể tì ợ tử

x



ớ ỗ

(1.7).

s t

x x0

0

ờ t r ột ý ự tr q t ự tể ế

ệt ợ ọ ế ổ ị

ị ĩ

Pế

(x) 0

[1]

ị tr



X1 X X1 = X




ợ ọ ế ổ ị ế



x0 D()



d0 > 0 X1d0 =

ề ị ủ

z X1 : (z) d0

ột t t

ó ột ế t ó tể tế ệ tì ệ

ỉ

z

ự ệ t

(z ) = inf1 (z), Q1 = Q X1 .

(1.8)

zQ

P tử

z

ế ó tồ t ó tể ết q ủ ột sự t ộ

f Y
, )
z = R(f

ở

ột

t

ó

(1.6)

tử


R

, )
R(f



ó

ụ

tộ

t

số

ó

ĩ



ột t tử ệ ỉ trì





XH

ột rt

ột ế tụ tr

H

B

t ó ủ

H f (z)

ét ế ụ tộ t số


(z)
= f (z) + .(z), > 0
ó t ó

Footer Page 22 of 16.



(1.9)


Header Page 23 of 16.

ị ý

z) =
(
ự tồ t tử

f 0

=1

z

z B X1

ồ t tử



inf

zBX1

s


(z)

(1.10)

ủ t ợ s r từ ị ý tr



[1]

ự tt t ệ ỉ

ị ĩ

Pế

M [z, f ] = 2Y (Az, f ) + .(z)
ọ ế tr tr ó

trì

Az = f



(z)

Y (Az, f )

(1.11)

ọ ộ ớ ủ

ột ế ổ ị

ét t ự tể ế

M [z, f ]

tr ó t số



ợ

ị từ ề ệ

Y (Az, f ) = .

(1.12)

t

R1 (f , ) =
sẽ ứ tỏ

R1 (f , )

ị ý

z : M [z , f ] = inf M [z, f ] .

ột t tử ệ ỉ trì

(z) ột ế ổ ị ị

X1 H ó ớ f Y

ế



> 0 tồ t tử z

zX1

ớ
tộ

f Y

XH

ớ

> 0

s tử

M [z, f ]

Footer Page 23 of 16.

ự tể

M [z, f ] ó ĩ
M [z , f ] = inf M [z, f ]



Az = f.

A ột t tử tụ từ

rt tr
tr

(1.13)

zX1



ị ột t tử

(1.14)
R1 (f, )

ó

z = R1 (f, ) ự tể ế

Header Page 24 of 16.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

❱×

M α [z, f ]

❦❤➠♥❣ ➞♠ ♥➟♥ tå♥ t➵✐

M1α := inf M α [z, f ].
z∈X1

❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞➲②

znα ⊂ X1 : Mnα := M α [znα , f ] → M1α

❦❤✐

n → +∞

✳ ❚❛

❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳

α.Ω(znα ) ≤ ρ2Y (Aznα , f ) + α.Ω(znα ) = Mnα ≤ C, ∀n
C
⇒ Ω(znα ) ≤ = r
α
znα

❱× ✈❐② ❞➲②

X1r

t❤✉é❝ t❐♣

t❤Ó rót r❛ ♠ét ❞➲② ❝♦♥

znαk

❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❉♦ ✈❐② tõ ❞➲② ➤ã t❛ ❝ã

❤é✐ tô tí✐ ♣❤➬♥ tö

zα ∈ X1

✳ ❑❤✐ ➤ã✿

Mnαk := M α [znαk , f ] −→ M α [zα , f ] = M1α
❱❐②

zα ∈ M α [z, f ].
✷

❑Ý

➤♦➵♥

❤✐Ö✉✿

Tδ

❧➭

♠ét

❧í♣

❝➳❝

❤➭♠

❦❤➠♥❣

❦❤➠♥❣

❣✐➯♠

❧✐➟♥

tr➟♥

✳

✭①❡♠ ❬✶❪✮

❈❤♦

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ tô❝ tõ X

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

β1 (δ), β1 (δ) ❝è ➤Þ♥❤ tõ ❧í♣ Tδ1

Ax = f ✳

s❛♦ ❝❤♦

❑❤✐ ➤ã ✈í✐

✈➭♦

tå♥ t➵✐ ♠ét sè δ0

Y

∀ >0

✈í✐

x0

✈➭ ❤❛✐

β2 (0) = 0 ✈➭

δ2
≤ β2 (δ)
β1 (δ)

✈➭

tô❝

[0, δ]

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✺✳✷✳

❤➭♠

➞♠✱

= δ0 ( , β1 , β2 )✱ ➤Ó ✈í✐ ♠ä✐ f˜ ∈ Y

(1.15)
✈➭

δ ≤ δ0 : ρY (f˜, f0 ) ≤ δ

α t❤♦➯ ♠➲♥✿

δ2
≤ α ≤ β2 (δ)
β1 (δ)
t❛ ❝ã ρX (˜
zα , x0 ) ≤ ✱ ë ➤➞② z˜α ∈ R1 (f˜, α).

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

❱× ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠

M α [z, f˜]

♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❝ù❝ t✐Ó✉ ❦❤✐

M α [˜
zα ; f˜] ≤ M α [x0 , f˜].

Footer Page 24 of 16.

✷✶

(1.16)

z = z˜α

♥➟♥


Header Page 25 of 16.

❉♦ ➤ã✱

α.Ω(˜
zα ) ≤ M α [˜
zα , f˜] ≤ M α [x0 , f˜]
= ρ2Y (Ax0 , f˜) + α.Ω(x0 )
= ρ2Y (f0 , f˜) + α.Ω(x0 )
δ2

+ Ω(x0 )
≤ δ + α.Ω(x0 ) = α
α
2

δ2
δ2
≤ α −→
≤ β1 (δ) ≤ β1 (δ1 )
β1 (δ)
α

✳ ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã✿

❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt✿

δ2
+ Ω(x0 ) ≤ β1 (δ1 ) + Ω(x0 ) =: d0 (d0 = const).
α
❱❐②

X1d0

Ω(˜
zα ) ≤ d0

✈➭

Ω(x0 ) ≤ d0

✳

❙✉② r❛

z˜α , x0

t❤✉é❝ ✈➭♦ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t

✳

Yd0 = AX1d0

❚❛ ❦Ý ❤✐Ö✉✿

♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛

X

✳

❉♦

A

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ tõ

Ax = f, f ∈ Yd0

❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭

♥➟♥ t❤❡♦ ❜æ ➤Ò ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ ➳♥❤ ①➵ ♥❣➢î❝

X1d0

X1d0

A−1

tõ

✈➭♦

Yd0

✱

❧➭ ♠ét t❐♣

Yd0

❧➟♥

X1d0

❝ò♥❣ ❧✐➟♥ tô❝✳

➜✐Ò✉ ➤ã ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭✿

∀ >0

t×♠ ➤➢î❝ sè

γ( ) > 0

s❛♦ ❝❤♦ tõ✿

ρY (f1 , f2 ) ≤ γ( ), f1 , f2 ∈ Yd0
s✉②

r❛

❝ã

f˜α = A˜
zα

ρX (x1 , x2 ) ≤

✱

ë

➤➞②

f1 = Ax1 , f2 = Ax2

✳

❍➡♥

♥÷❛

➤è✐

✈í✐

t❤×

ρ2Y (f˜α , f˜) = ρ2Y (A˜
zα , f˜) ≤ M α [˜
zα , f˜]
≤ M α [x0 , f˜] = ρ2Y (Ax0 , f˜) + α.Ω(x0 ) = ρ2Y (f0 , f˜) + α.Ω(x0 )
≤ δ 2 + α.Ω(x0 ).
❚õ

α ≤ β2 (δ)

❞➱♥ ➤Õ♥

ρY (f˜α , f˜) ≤ δ 2 + β2 (δ).Ω(x0 )

Footer Page 25 of 16.

✷✷

1
2

= ϕ(δ).

(1.17)