Luận văn Góc định hướng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN THANH

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN THANH

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên - 2015

i

Mục lục

Lời cam đoan

iii

Lời cảm ơn

iv

Danh sách hình vẽ

1

Mở đầu

2

1

Xây dựng mặt phẳng định hướng

4

1.1

Định hướng mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thông . . . . . . . .

4

1.1.2

Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề của Choquet . . . . . .

7

1.2

Đường thẳng định hướng. Độ dài đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4

1.3.1

Góc định hướng của hai vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2

Góc định hướng giữa hai tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3

Góc định hướng giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 21

Một số sự kiện hình học theo ngôn ngữ góc định hướng . . . . . . . . 26
1.4.1

Xét góc định hướng tạo bởi hai tia . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.2

Xét góc định hướng của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . 30

Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2

Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng
2.1

35

Các bài toán ứng dụng đường thẳng định hướng . . . . . . . . . . . . 35


ii

2.2

2.1.1

Hàng điểm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2

Định lý Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.3

Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Ứng dụng góc định hướng giải các bài toán chứng minh . . . . . . . . 42
2.2.1

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song và ba
điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.2

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . . . 45

2.2.3

Phương pháp chứng minh các điểm đồng viên . . . . . . . . . 49

2.3

Ứng dụng góc định hướng giải các bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . 54

2.4

Các ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5

Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Kết luận và Đề nghị

70

Tài liệu tham khảo

71


iii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình do tôi tổng hợp và nghiên cứu. Trong

luận văn tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo như đã nêu trong phần "Tài liệu
tham khảo".

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Văn Thanh


iv

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải,
nguyên là giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng. Tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới các thầy cô giáo Trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp
cao học Toán K7B - Trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ trong quá trình
học tập và làm luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Thành phố Hải Phòng, Ban Giám
hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT An Dương, huyện An Dương, Thành phố Hải
Phòng đã tạo điều kiện về mọi mặt để tác giả được tham gia học tập và hoàn thành
chương trình đào tạo Thạc sĩ Toán, chuyên ngành "Phương pháp Toán sơ cấp".

Tác giả

Nguyễn Văn Thanh


v

Danh sách hình vẽ
Hình vẽ

Trang

1.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1
1.22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


2

Mở đầu
Trong giáo trình hình học sơ cấp ở các trường đại học sư phạm mà tôi đã đọc các
tác giả đều có đề cập đến đường thẳng định hướng mặt phẳng định hướng; chẳng hạn
có thể xem các giáo trình “Hình học sơ cấp” trong [5, 6, 7]. Trong các giáo trình đó,
các tác giả đều đơn giản hóa các chứng minh liên quan đến mặt phẳng định hướng và
góc định hướng, hơn nữa vì khuôn khổ của một giáo trình không cho phép các tác giả

đi sâu vào các ứng dụng của các công cụ này trong việc giải các loại toán hình học.
Để nghiên cứu sâu thêm các tính chất và bổ sung thêm các bài toán ứng dụng
đường thẳng định hướng và góc định hướng vào việc giải toán phổ thông, coi như đây
là một công cụ mạnh, hữu hiệu trong giải toán hình học. Chúng tôi muốn đi sâu vào
đề tài "Góc định hướng và ứng dụng". Đó là lý do nghiên cứu của tác giả luận văn.
Luận văn được chia làm hai chương.
• Chương 1. Xây dựng mặt phẳng định hướng. Sau khi nêu cách định hướng mặt
phẳng dựa từ các công cụ khác nhau, chúng tôi nhắc lại bổ sung thêm về đường
thẳng định hướng, độ dài đại số, góc định hướng giữa hai tia và góc định hướng
giữa hai đường thẳng, nội dung của chương này là các kiến thức chuẩn bị cho
chương sau. Kết quả nổi bật ở đây là chúng tôi đã chứng minh chặt chẽ hệ thức
Chales trong mọi trường hợp. Tiếp theo đó là các sự kiện hình học được chuyển
sang ngôn ngữ của độ dài đại số hay góc định hướng.
• Chương 2. Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng. Chương 2 là trọng
tâm của luận văn. Chúng tôi bắt đầu ứng dụng độ dài đại số và góc định hướng
để trình bày phương pháp giải các bài toán hình học: Chứng minh tính song
song, tính thẳng hàng, tính vuông góc, tính đồng viên của các điểm, giải các bài


3
toán quỹ tích,. . . và các ứng dụng khác.
Các bài toán đưa ra trong luận văn là những bài toán khó, điển hình cho các loại
và hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toàn quốc, thậm chí trong các kỳ thi quốc
tế. Việc sử dụng góc định hướng sẽ giúp lời giải ngắn gọn, rõ ràng không phụ thuộc
vào hình vẽ. Hơn nữa, góc định hướng giúp định nghĩa các phép biến hình, từ đó mở
ra những ứng dụng khác.
Dù đã rất nghiêm túc thực hiện luận văn, nhưng vì nhiều lý do khác nhau, luận
văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Kính mong các Thầy Cô và các anh chị em đồng
nghiệp góp ý để bản luận văn này hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Văn Thanh


4

Chương 1

Xây dựng mặt phẳng định hướng
1.1

Định hướng mặt phẳng

Ở đây ta xét khái niệm mặt phẳng định hướng được xây dựng theo 3 cách khác
nhau: Định hướng mặt phẳng theo cách mô tả của hình học phổ thông; Định hướng
mặt phẳng bằng công cụ tọa độ; Xây dựng mặt phẳng định hướng bằng cách thiết lập
một hệ tiên đề mới trong “Hình học” của Choquet. Chỉ trên mặt phẳng định hướng
phép quay mới xác định, từ đó có phép dời hình và các phép biến hình khác. Mặt
khác, trên mặt phẳng định hướng và đường thẳng định hướng ta còn có các khái niệm
rất quan trọng là tam giác định hướng, diện tích đại số của tam giác. . . Vấn đề hướng
trong hình học là vấn đề khó, nhất là đối với đối tượng học sinh phổ thông. Trước hết
chúng ta chấp nhận cách xác định góc định hướng theo hình thức mô tả ở sách giáo
khoa phổ thông.

1.1.1

Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thông

Xung quanh mỗi điểm trong mặt phẳng có hai chiều quay: chiều quay theo chiều
quay của kim đồng hồ và chiều ngược lại (tất nhiên ở đây mặc định đồng hồ có kim
quay xung quanh một trục). Nếu ta chọn một trong hai chiều quay là chiều dương thì
chiều ngược lại là chiều âm và khi đó ta bảo rằng mặt phẳng đã được định hướng.
Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm
chiều dương. Các giáo trình "Hình học sơ cấp" hiện nay đều xuất phát từ cách làm
này. Ta giới thiệu qua các khái niệm cơ bản.


5

Hình 1.1.
Góc lượng giác và số đo của chúng. Cho điểm O, tia Om và hai tia Ou, Ov.
Nếu tia Om chỉ quay theo chiều dương hoặc âm xuất phát từ tia Ou đến trùng tia
Ov thì ta nói rằng tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí
hiệu là (Ou, Ov).
Nếu tia Om quay một góc α radian (hay a độ) thì ta nói góc lượng giác mà tia đó
quét có số đo α radian (hay a độ).
Nếu một góc có số đo là a◦ (hay α rad) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và
tia cuối với nó có số đo là a◦ + k360◦ (hay α + k2π) với k là số nguyên. Mỗi góc ứng
với một giá trị k.
Phép quay. Trong mặt phẳng định hướng lấy điểm O và góc định hướng ϕ. Phép
biến hình trong mặt phẳng biến điểm O thành chính nó, biến điểm M khác O thành
M sao cho OM = OM và (OM, OM ) = ϕ gọi là phép quay tâm O với góc quay
ϕ, và kí hiệu là QϕO .
Công thức Chales đối với góc lượng giác. Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý, ta có công
thức quan trọng sau đây, được gọi là công thức Chales:
sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k2π,

k ∈ Z.

6

1.1.2

Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ

−
−
Trong mặt phẳng E2 cho một cặp vector độc lập tuyến tính (→
e1 , →
e2 ) và cặp vector
−
−
khác là (→
a ,→
a ) cũng độc lập tuyến tính. Nếu ta có
1

2


−
−
−
→
a1 = α1 →
e1 + α2 →
e1

−
−
−
→
a =β →
e +β →
e
2

thì ma trận

1 1

2 2



α1 α2

A=
β1 β2

−
−
−
−
được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở (→
e1 , →
e2 ) sang cơ sở (→
a1 , →

a2 ). Ta có
α1 α2

det A = |A| =

= α1 β2 − α2 β1 .

β1 β2
−
−
−
−
Nếu det A > 0 thì ta nói cặp vector (→
a1 , →
a2 ) cùng hướng với cặp vector (→
e1 , →
e2 ). Nếu
−
−
−
−
det A < 0 thì ta nói cặp vector (→
a ,→
a ) ngược hướng với cặp vector (→
e ,→
e ). Như vậy
1

2

1

2

nếu trên mặt phẳng nào đó, ta chọn một cặp vector độc lập tuyến tính là cặp có hướng
dương (det A > 0) thì có thể định nghĩa hướng của các cặp vector độc lập tuyến tính
khác là dương hay âm tùy theo nó có cùng hướng hay khác hướng với cặp vector đã
được chọn. Như vậy ta đã định hướng được mặt phẳng. Ta có các khẳng định sau:
– Mỗi cặp vector độc lập tuyến tính thì cùng hướng với chính nó.
−
−
−
−
−
−
– Nếu cặp vector (→
a1 , →
a2 ) cùng hướng với cặp vector (→
e1 , →
e2 ) thì cặp vector (→
e1 , →
e2 )
−
−
cũng cùng hướng với cặp vector (→
a ,→
a ).
1

2

−
−
−
−
−
−
– Nếu cặp (→
e1 , →
e2 ) cùng hướng với cặp (→
a1 , →
a2 ), cặp (→
a1 , →
a2 ) cùng hướng với cặp
→
− →
−
→
− →
−
−
−
( b1 , b2 ) thì cặp (→
e1 , →
e2 ) cùng hướng với cặp ( b1 , b2 ).
Thật vậy, khẳng định đầu tiên là do ở đây


1 0


A=
0 1


7
nên det A = 1 > 0. Khẳng định thứ hai do định thức của A và A−1 luôn cùng dấu.
Khẳng định thứ ba cũng được chứng minh dễ dàng. Thật vậy, gọi ma trận chuyển từ
→
− →
−
−
−
−
−
−
−
(→
e ,→
e ) sang (→
a ,→
a ) là A; ma trận chuyển từ (→
a ,→
a ) sang ( b , b ) là B, khi đó ma
1

2

1

2

1

2

1

2

→
− →
−
−
−
trận AB là ma trận chuyển từ (→
e1 , →
e2 ) sang ( b1 , b2 ). Vì det(AB) = (det A)(det B)
nên khẳng định thứ ba được chứng minh.
Như vậy quan hệ cùng hướng của các cặp vector là một quan hệ tương đương, ta
có thể phân tập hợp các cặp vector trên mặt phẳng thành đúng hai lớp tương đương,
các cặp vector thuộc cùng một lớp thì cùng hướng với nhau.

1.1.3

Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề của Choquet

Theo Choquet (xem [11]), khái niệm hướng cùng với khái niệm góc là khó khăn
lớn nhất trong giảng dạy hình học. Định nghĩa toán học của khái niệm này thường dựa
vào quy tắc vặn nút chai, quy tắc bàn tay phải hoặc trái. Tuy nhiên, định nghĩa khái
niệm hướng xuất hiện trong hình học theo con đường hoàn toàn tự nhiên từ tính chất

của nhóm các phép dời. Khái niệm hướng gắn với chất liệu mà nó xây dựng. Thông
thường đó là tập hợp các cặp (x, y) chung gốc, không thuộc một đường thẳng. Nhưng
vẫn cặp tia ấy mà ta đổi vị trí thành cặp (y, x), nhận được cặp mới có hướng ngược
lại. Như vậy, xuất hiện khái niệm cặp được sắp thứ tự (hay tổng quát hơn là tập hợp
được sắp thứ tự). Trước hết Choquet định nghĩa khái niệm góc sau khi đã xây dựng
nhóm các phép dời hình trên mặt phẳng.
Định nghĩa 1.1. Cho Π là mặt phẳng định hướng. Với điểm bất kỳ O ∈ Π ta định
nghĩa mỗi phép quay tâm O là một góc có đỉnh tại O.
Với mọi cặp tia (a1 , a2 ) có chung gốc O, góc của cặp tia này là phép quay biến tia
a1 thành tia a2 , góc này được ký hiệu là ∠(a1 , a2 ). Như vậy tập hợp các góc với đỉnh
O không có gì khác chính là tập hợp các phép quay tâm O. Do đó, đây là một nhóm
giao hoán. Theo truyền thống ta ký hiệu phép toán trong nhóm này theo lối cộng, ký
hiệu như thế là hợp lệ vì như sẽ thấy dưới đây, khái niệm số đo góc thực hiện mối liên
kết chặt chẽ giữa phép cộng các số và cộng các góc.


8
So sánh các góc với đỉnh khác nhau. Khái niệm góc hầu như vô nghĩa nếu ta không
so sánh được các góc có đỉnh khác nhau, phép tịnh tiến cho ta khả năng so sánh hai
góc bất kỳ.
→ biến A thành B là một đẳng cấu (đối với
Với mọi A, B ∈ Π phép tịnh tiến T−
BA

cấu trúc không gian vector và cấu trúc không gian metric), ánh xạ mặt phẳng tâm
(Π, A) thành mặt phẳng tâm (Π, B), phép đẳng cấu này có tính bắc cầu theo nghĩa,
→ = T−−→ ◦ T−→ . Vì phép quay được định nghĩa dựa vào
với mọi A, B, C ∈ Π thì T−
CA
CB

BA
→ sinh ra ánh xạ đẳng cấu từ
thuật ngữ đường thẳng và khoảng cách nên đảng cấu T−
BA

nhóm cộng tính các góc đỉnh A lên nhóm cộng tính các góc với đỉnh B. Ta cũng sẽ
→ . Như vậy, ở đây ta đã sử dụng cách định nghĩa của tập số
ký hiệu đẳng cấu này là T−
BA

tự nhiên N.
Lấy trên mặt phẳng Π một gốc A tùy ý và đồng nhất mỗi góc đỉnh B với góc tương
→ . Tính bắc cầu của T−→ bảo đảm được sự đồng nhất
ứng có đỉnh A nhờ đẳng cấu T−
BA
BA
→ từ mặt phẳng
đó. Bây giờ giả sử a1 , a2 là hai tia tùy ý với gốc a, vì đẳng cấu T−
BA

(Π, A) lên mặt phẳng (Π, B) biến mỗi tia a1 thành tia b1 song song với nó với gốc là
B, ta nhận được ∠(a1 , a2 ) = ∠(b1 , b2 ). Suy luận này làm cơ sở cho định nghĩa sau,
mà chỉ phụ thuộc vào việc chọn gốc O.
Định nghĩa 1.2. Trong mặt phẳng tâm (Π, O), góc giữa hai tia (d1 , d2 ) với gốc tùy
ý là góc đỉnh O giữa hai tia (d1 , d2 ) (chung gốc O) tương ứng song song với các tia
d1 , d2 . Góc này ký hiệu là ∠(d1 , d2 ).
Nhóm cộng tính các góc sẽ được ký hiệu là G.
Các ký hiệu tiếp theo. Trong trường hợp tổng quát giả sử E là tập hợp tất cả các
đối tượng toán học sao cho mỗi đối tượng đó có liên hệ với các tia của mặt phẳng Π
hoặc tập hợp các tia song song của Π. Với mọi x, y ∈ E ta sẽ ký hiệu ∠(x, y) là góc

giữa tia gắn với đối tượng x và tia gắn với đối tượng y. Ví dụ, với mỗi vector x = 0
của mặt phẳng (Π, O) gắn với tia Ox, với mỗi đường thẳng định hướng d gắn với tia
dương của đường thẳng này, với quy ước trên có thể nói về góc ∠(Ox, d). Tương tự


9
với mọi A, B, C ∈ Π mà A = B, C = B, ký hiệu tắt ∠(ABC) là góc giữa các tia
BA và tia BC.
Góc không và góc bẹt. Trong nhóm cộng tính các góc phần tử trung hòa ký hiệu là
0 còn góc liên quan tới phép đối xứng tâm với tâm O, được ký hiệu là

(khác với ký

hiệu π). Như vậy, với mọi cặp tia chung gốc (a1 , a2 ) ta có các điều kiện tương đương
sau
• ∠(a1 , a2 ) = 0 khi và chỉ khi a1 ≡ a2 ;
khi và chỉ khi a1 và a2 có hướng ngược nhau.

• ∠(a1 , a2 =
Ngoài ra, ta có

+

= 0 hay

=− .

Công thức Chales. Giả sử a, b, c là ba tia tùy ý với gốc O chung, phép quay biến a
thành c bằng tích của phép quay biến a thành b và phép quay biến b thành c, nói cách
khác ∠(a, c) = ∠(a, b) + ∠(b, c). Đặc biệt, ta có ∠(a, b) + ∠(b, a) = ∠(a, a) = 0. Từ

đó, ∠(a, b) = −∠(b, a) và tổng quát hơn với mọi dãy hữu hạn các tia (d1 , d2 , . . . , dn )
chung gốc O ta có ∠(d1 , dn ) = ∠(d2 , d3 ) + . . . + ∠(dn−1 , dn ). Đẳng thức này mang
tên công thức Chales, hiển nhiên nó cũng đúng trong trường hợp các tia có gốc khác
nhau (nhờ tịnh tiến).
Thứ tự bộ phận trên mặt phẳng. Trước hết, ta xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 1.1. Trong mặt phẳng Π tồn tại tập hợp gồm các bộ ba điểm mà khoảng cách
giữa ba điểm này là 2, 3, 4. Mỗi tập hợp như thế không thuộc một đường thẳng vì
4 < 2 + 3.
Giả sử E là tập hợp các tập hợp con như thế của mặt phẳng. Tập hợp này ổn định
đối với nhóm các phép dời D của mặt phẳng, hơn nữa, D tác động bắc cầu trên E.
Thật vậy, với mọi X1 , X2 ∈ E hiển nhiên tìm được (hơn nữa duy nhất) phép dời f từ
tập X1 lên tập X2 và có thể kéo dài f một cách duy nhất lên toàn bộ mặt phẳng, ánh
xạ từ mặt phẳng lên chính nó vì X1 không chứa trọn vẹn một đường thẳng.


10
Ta nói hướng các tập hợp X1 , X2 trùng nhau nếu phép dời f của mặt phẳng Π
mà X2 = f (X1 ) là phép dời hình thuận (loại 1). Trong trường hợp ngược lại ta nói
X1 , X2 có hướng ngược nhau. Từ sự kiện tập hợp các phép dời hình thuận D+ là một
nhóm lập tức suy ra: hướng là một quan hệ tương đương trên E.
Nếu X1 , X2 có hướng ngược nhau, X2 , X3 cũng có hướng ngược nhau thì X1 , X3
sẽ cùng hướng vì tích của hai phép dời nghịch lại là phép dời thuận. Do đó, quan hệ
tương đương đã cho trên E có đúng hai lớp tương đương, cụ thể, hai tập hợp ảnh của
phần tử X0 tùy ý của tập hợp E qua các phép biến đổi trong D+ , D− tương ứng.
Bây giờ ta sẽ giải thích hướng gọi là dương hoặc âm: Chọn một phần tử X0 tùy ý
thuộc E, mà sẽ được gọi là mục tiêu cơ sở. Ta nói phần tử X của E có hướng dương
(tương ứng âm) nếu hướng của X và X0 trùng nhau (tương ứng ngược nhau). Như
vậy, để hoàn toàn chính xác ta sẽ nói: Hướng của tập hợp X là dương khi đã chọn mục
tiêu cơ sở X0 . Dấu của hướng hiển nhiên không thay đổi khi ta đổi mục tiêu cơ sở này
sang mục tiêu cơ sở khác có cùng hướng.

Một vài ví dụ tương tự.
Ví dụ 1.2. Trong trường hợp tổng quát, giả sử A là một tập con nào đó của mặt phẳng
Π, không thuộc một đường thẳng sao cho phép dời duy nhất của tập hợp này ánh xạ
nó thành chính nó là biến đổi đồng nhất. Hơn nữa giả sử E là tập hợp các tập con (bộ
phận) của mặt phẳng Π, có dạng f (A) với f ∈ D.
Hiển nhiên E ổn định đối với D và D tác động đơn trị trên E sao cho đối với E
có thể lặp lại tất cả những gì đã nói trong ví dụ trước. Chẳng hạn có thể coi A là nửa
mặt phẳng cực gồm điểm a, tia mở d với gốc a và một nửa mặt phẳng mở xác định
bởi đường thẳng d.
Ví dụ 1.3. Tổng quát hơn, giả sử A là tập con của Π, không thuộc một đường thẳng
và mọi phép dời ánh xạ tập hợp này lên chính nó là phép dời hình thuận (theo nghĩa
kéo dài phép biến đổi này lên mặt phẳng Π là phép dời hình thuận). Khi đó ta xác
định tập hợp E như sau: Tập hợp E ổn định đối với nhóm các phép dời D. Với mọi


11
X1 , X2 ∈ E tìm được ít nhất một phép dời f ∈ D biến X1 thành X2 ; theo giả thiết
tất cả các phép dời đồng thời là dời hình thuận hoặc đồng thời là dời hình nghịch.
Do đó, có thể xác định một cách hiển nhiên hướng của hai phần tử của E, suy luận
còn lại tương tự như ví dụ trước. Chẳng hạn, tập hợp A có thể là hợp của hai cạnh
đối diện hình vuông và một đường chéo của hình vuông (hình chữ cái Z) hoặc hợp
của các đoạn thẳng nhận được từ đoạn thẳng [a, b] nào đó qua các phép tịnh tiến tn
(n ∈ Z), trong đó t là phép tịnh tiến theo phương không song song và không vuông
góc với đoạn thẳng [a, b].

Hình 1.2.

Hướng của các đối tượng hình học liên quan đến mặt phẳng định hướng. Ta đã
biết một số đối tượng hình học có liên quan đến mặt phẳng định hướng nhưng không
là bộ phận của nó: cặp điểm, bộ ba điểm, cặp tia, đường thẳng định hướng, phép biến

đổi, góc,. . . Ta sẽ định nghĩa hướng của các khái niệm này.
Giả sử E là tập hợp các cặp (Ox, Oy) các tia vuông góc của mặt phẳng, có chung
gốc O. Tập hợp này ổn định đối với nhóm các phép dời D và nhóm này tác động bắc
cầu đơn trị lên E, các cặp (Ox, Oy) và O x , O y có cùng hướng, được ký hiệu
(Ox, Oy) = (O x , O y ).


12
Nhưng ở đây xuất hiện vấn đề mới, cụ thể tồn tại biến đổi (Ox, Oy) → (Oy, Ox)
trong tập hợp E, trở thành tương ứng biến mọi phần tử (Ox, Oy) của E thành phần
tử đối (Oy, Ox). Ta lại biết rằng phép dời biến (Ox, Oy) thành (Oy, Ox) là phép đối
xứng trục. Do đó, các cặp tia (Ox, Oy) và (Oy, Ox) có hướng đối nhau.
Trong trường hợp tổng quát có thể qui ước trên E tập hợp các cặp tia (A, B) với gốc
chung sao cho ∠(A, B) = θ hay ∠(A, B) = −θ (với θ là góc cho trước khác 0 và

).

Hướng của cặp tia không nằm trên một đường thẳng. Giả sử E là tập hợp các
cặp tia (Ox, Oy) của mặt phẳng, không nằm trên một đường thẳng, có gốc chung. Với
mọi (Ox, Oy), (O x , O y ) ta sẽ nói (Ox, Oy) và (O x , O y ) có cùng hướng nếu có
phép dời thuận f biến tia Ox thành tia O x , tia Oy thành tia O y .
Vì mọi phép dời biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng và các phép dời hình
thuận tạo thành một nhóm nên quan hệ này là một quan hệ tương đương trên E. Dễ
thấy rằng có đúng hai lớp tương đương trên E (theo quan hệ tương đương này). Để
chứng minh điều đó chỉ cần xét tập hợp các cặp (A, X) với A là tia cho trước. Do đó,
trong các phần tiếp theo có thể nói về mục tiêu cơ sở và về hướng dương hoặc âm như
trong các ví dụ trước đây.
Các góc định hướng. Giả sử θ, θ là hai góc tùy ý khác 0 và

. Ta nói θ và θ cùng

hướng nếu tìm được hai cặp các tia chung gốc (x, y) và (x , y ) sao cho
(x, y) = θ,

(x , y ) = θ

và (x, y) và (x , y ) có cùng một hướng.
Dễ thấy rằng đây là một quan hệ tương đương trên tập hợp các góc khác 0 và

.

Với quan hệ tương đương này ta có đúng hai lớp tương đương.
Mệnh đề 1.1. Với mọi bộ ba (A, B, C) các điểm không thẳng hàng, các góc ∠(ABC),
∠(BCA), ∠(CAB) có cùng một hướng.
Chứng minh. Ta chứng minh kết luận đối với hai góc đầu. Giả sử A là điểm nào đó
thuộc trung trực của cặp (B, C) nằm cùng phía với A đối với đường thẳng BC. Các


13
góc ∠(ABC), ∠(A BC) cùng hướng. Cũng đúng như thế, các góc ∠(BCA), ∠(BCA )
cũng cùng hướng. Tuy nhiên ∠(A BC) = ∠(A CB) do đối xứng. Vậy ∠(A BC) =
∠(BCA ). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

1.2

Đường thẳng định hướng. Độ dài đại số

Định nghĩa 1.3. Trên đường thẳng d lấy một điểm O, cố định một điểm E sao cho
−−→ →
−

OE = −
e (đơn vị). Khi đó {d, O, →
e } được gọi là đường thẳng định hướng.
Chú ý rằng, thông thường hướng được chọn như sau:

Hình 1.3.

Ta có thể dùng kí hiệu đường thẳng định hướng xx . Mỗi điểm M thuộc xx tương
−−→
−−→
ứng 1-1 với vector OM và luôn tồn tại số thực m là tọa độ của nó. Ta kí hiệu OM (m)
hoặc M (m).
Định nghĩa 1.4. Giả sử có hai điểm M (m) và N (n) trên xx . Ta nói độ dài đại số
của đoạn thẳng M N , kí hiệu: M N , là số n − m, tức là M N = n − m.
Chú ý, đại lượng M N dương hay âm tùy theo thứ tự của ba điểm O, M, N . Ta có
M N = 0 khi M ≡ N .
Mệnh đề 1.2 (Hệ thức Chales). Với ba điểm M, N, P bất kỳ trên đường thẳng định
hướng ta đều có
MN = MP + P N
Chứng minh. Thật vậy, giả sử M (m), N (n), P (p). Khi đó
MN = n − m = p − m + n − m = MP + P N.
Ta có điều cần chứng minh.


14
Định nghĩa 1.5. Trên đường thẳng định hướng xx cho ba điểm A, B, C ta định
nghĩa tỷ số
CA
= (ABC)
CB

là tỉ số đơn của ba điểm A, B, C theo thứ tự đó.
Định lí 1.1. Cho hai điểm A, B trên đường thẳng định hướng xx và một số k = 1,
tồn tại duy nhất C ∈ xx sao cho (ABC) = k.
Chứng minh. Bằng tọa độ, ta có
CA
=k
CB
⇔ CA = kCB
k
⇔ AC =
AB,
k−1

(ABC) = k ⇔

k = 1.

Vậy tồn tại duy nhất điểm C theo yêu cầu.
Các tính chất của tỷ số đơn được cho trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3.
(1) AB = −BA
(2) AB + BC = AC
(3) (ABC) = −1 khi và chỉ khi C là trung điểm của AB
−−−→
(4) AB là hình chiếu của vector A1 B1 trên trục xx .

Hình 1.4.


15

1.3

Góc định hướng

Trước lớp 11 phổ thông khi nói đến góc ta thường nói tới các góc không vượt quá
360 độ như góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt, góc lồi, góc lõm nhưng trong thực
tế cũng như trong kỹ thuật nhiều khi chúng ta phải quan niệm góc với nghĩa rộng hơn.
Ví dụ khi một bánh xe quay một vòng rưỡi thì người ta phải nói nó đã quay một góc
540 độ. Hơn nữa việc quay đó có thể thực hiện theo hai chiều quay khác nhau. Cùng
với việc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng việc định hướng cho góc sẽ mang
lại cho chúng ta nhiều điều thuận lợi khi nghiên cứu Hình học.

1.3.1

Góc định hướng của hai vector

a. Hai vector chung gốc
−→ −−→
Cho hai vector chung gốc (khác vector không) OA, OB. Trong mặt phẳng (OAB)
cho tia Ox quay quanh điểm O theo một hướng nhất định từ tia OA đến tia OB, ta
−→ −−→
−→
−−→
nói tia Ox quét một góc định hướng, ký hiệu là (OA, OB) với OA là vector đầu, OB
là vector cuối. Như vậy góc định hướng của các vector chính là góc lượng giác của hai
tia OA, OB đã biết (SGK Đại số và Giải tích 11). Thông thường ta quy ước hướng
quay của tia Ox quay quanh điểm O là hướng dương nếu hướng quay này ngược với
hướng quay của kim đồng hồ và là hướng âm nếu hướng quay này là hướng quay thuận
chiều kim đồng hồ.

Khi xác định góc định hướng ta chỉ quan tâm đến độ lớn và hướng mà không quan
tâm đến độ dài các vector, bởi thế để thuận tiện ta coi các vector này có độ dài bằng
−→
−−→
nhau |OA| = |OB| = r.
Khi cho điểm X chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính r từ điểm A đến
điểm B và quay |k| vòng theo một hướng xác định thì điểm X vẽ một cung định
−−→
hướng, ký hiệu là AB , trong đó k > 0 nếu quay theo hướng dương và k < 0 nếu quay
theo hướng âm. Ta có công thức về số đo cung định hướng (SGK Đại số và Giải tích
11).
−−→
sđ AB = α◦ + k.360◦


16

Hình 1.5.
với k nguyên và ∠AOB = α◦ . Nếu sử dụng số đo radian thì ta viết
−−→
sđ AB = α◦ + k.2π.
−→ −−→
−→ −−→
Ta gọi số đo góc định hướng (OA, OB) là sd(OA, OB) = α + k.360◦ , trong đó
α◦ = ∠AOB , 0◦

α◦ 360◦ (góc hình học thông thường). Nếu dùng đơn vị radian
−→ −−→
−→ −−→
ta có công thức sđ(OA, OB) = α + k.2π. Như vậy, mỗi góc định hướng (OA, OB)

được xác định bởi vector đầu, vector cuối và một số nguyên k. Chú ý rằng mỗi góc
định hướng có một số đo xác định mặc dù hình thức có thể viết khác nhau, chẳng hạn,
−→ −−→
sđ(OA, OB) = 30◦ + 2.360◦ = 750◦ = −330◦ + 3.360◦ = 1110◦ − 1360◦ .
b. Hai vector không chung gốc
Góc định hướng của hai vector không chung gốc được xác định nhờ phép tịnh
−→ −−→
tiến. Như thế góc định hướng (OA, OB) không phụ thuộc vào vị trí cuả gốc O. Để
−−→
−→ −−→
−→
xác định góc (AB, CD) ta tịnh tiến AB → CB thì
−−→ −−→
−→ −−→
∠(AB, CD) = ∠(CB , CD)

1.3.2

Góc định hướng giữa hai tia

Trong mặt phẳng định hướng E ta gọi góc định hướng giữa hai tia Ox, Oy lấy theo
thứ tự đó là góc mà tia Ox phải quay theo chiều xác định đến trùng với vị trí của Oy.


17

Hình 1.6.

Hình 1.7.
Góc định hướng đó được ký hiệu là (Ox, Oy) trong đó Ox gọi là cạnh đầu, Oy

gọi là cạnh cuối của góc. Số đo của góc định hướng là dương hay âm tùy theo cạnh
đầu quay xung quanh điểm O đến trùng với cạnh cuối theo chiều dương hay chiều âm
của mặt phẳng (đã định hướng). Ví dụ (Ox, Oy) = 45◦ , (Oy, Ox)) = −45◦ .
Chú ý rằng sau khi quay tia Ox cho trùng với tia Oy ta có thể quay thêm một, hai
hay một số vòng nữa đến trùng với Oy. Tất cả các giá trị của các góc nói trên đều
gọi là các giá trị của góc định hướng suy rộng. Như vậy góc định hướng suy rộng
(Ox, Oy) có vô số giá trị sai khác bội của hay bội của (radian), ký hiệu như sau:
(Ox, Oy) = α + k.360◦ ,
hoặc nếu đo bằng radian (Ox, Oy) = α + k.2π với k là số nguyên. Ta còn dùng ký
hiệu (Ox, Oy) = α

(mod 2π). Khi chú ý đến bội k ta viết (Ox, Oy)k .


18
Ta có định lí sau mà phép chứng minh dựa theo [3]:
Định lí 1.2. Với ba tia Ox, Oy, Oz và ba số k, l, m ∈ Z ta có hệ thức Chales cho
góc lượng giác giữa hai tia:
(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m

(mod 2π).

Chứng minh. Bỏ qua các trường hợp đơn giản : các tia Ox, Oy trùng nhau hoặc Ox,
Oy đối nhau.
Không mất tính tổng quát giả sử (Ox, Oy) có hướng dương. Có 4 trường hợp cần
xem xét:
Trường hợp 1. Tia Oz nằm trong góc ∠xOy.

Hình 1.8.
Theo hệ thức Chales dạng mịn (k = 0) cho góc giữa hai tia ta có

(Ox, Oy)0 = ∠xOy = ∠xOy + ∠yOz = (Ox, Oy)0 + (Oy, Oz)0 .
Do đó
(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m

(mod 2π).

Trường hợp 2. Tia Oz nằm trong góc ∠yOx . Có hai khả năng xảy ra:
2.a. Tia Oz không trùng với tia Ox . Theo Hệ thức Chales cho góc giữa hai tia, ta
có
(Ox, Oy)0 = ∠xOy = ∠xOy + ∠yOz = (Ox, Oy)0 + (Oy, Oz)0 .
Do đó
(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m

(mod 2π).