Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số frobenius

Header Page 1 of 16.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Thắng

MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ
VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 1 of 16.


Header Page 2 of 16.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Thắng

MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ
VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:a

PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍaa

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 2 of 16.


Header Page 3 of 16.

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
Chương 1. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ
THUYẾT MÔĐUN ............................................................................................. 2
1.1. Định nghĩa môđun, môđun con .................................................................. 2
1.2. Đồng cấu môđun......................................................................................... 3
1.3. Điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm ........................ 4
1.4. Môđun Noether và môđun Artin ................................................................ 5
1.5. Vành Noether và vành Artin....................................................................... 5
1.6. Dãy khớp .................................................................................................... 6
1.7. Môđun xạ ảnh ............................................................................................. 7
1.8. Môđun đơn, môđun nửa đơn ...................................................................... 7
1.9. Vành đơn, vành nửa đơn ............................................................................ 8
1.10. Vành nguyên ............................................................................................. 8
1.11. Vành chia .................................................................................................. 9
1.12. Vành nguyên thủy..................................................................................... 9
1.13. Tập nil , tập lũy linh ................................................................................. 9
1.14. Radical Jacobson của một vành................................................................ 9
1.15. Vành nửa nguyên sơ ............................................................................... 11
1.16. Định nghĩa phần tử lũy đẳng .................................................................. 11
1.17. Vành địa phương .................................................................................... 11

1.18. Môđun không phân tích được................................................................. 12
1.19. Vành nửa địa phương ............................................................................. 13
1.20. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng ......................................................... 13
1.21. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ ............................................................... 14
1.22. Socle của môđun, vành socular .............................................................. 15

Footer Page 3 of 16.


Header Page 4 of 16.

1.23. Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện ................................................... 15
Chương 2. MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ
FROBENIUS...................................................................................................... 17
2.1. MÔĐUN NỘI XẠ ................................................................................... 17
2.1.1. Định nghĩa 1 về môđun nội xạ........................................................... 17
2.1.2. Định nghĩa 2 về môđun nội xạ........................................................... 17
2.1.3. Định lí (Tiêu chuẩn Baer) .................................................................. 18
2.1.4. Tích trực tiếp họ môđun nội xạ.......................................................... 20
2.1.5. Bổ đề về đơn cấu chẻ ra ..................................................................... 21
2.1.6. Mệnh đề về môđun nội xạ ................................................................. 22
2.1.7. Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ .................................................. 22
2.1.8. Môđun chia được ............................................................................... 23
2.1.9. Môđun chia được trên vành chính ..................................................... 23
2.1.10. Môđun nội xạ trên miền nguyên ...................................................... 23
2.1.11.  − môđun chia được ...................................................................... 24
2.1.12. Hom ( R,D ) – môđun nội xạ ......................................................... 25
2.1.13. Nhúng một môđun vào môđun nội xạ ............................................. 26
2.1.14. Các điều kiện tương đương của môđun nội xạ ................................ 26
2.1.15. Tổng trực tiếp họ môđun nội xạ ...................................................... 27

2.2. VÀNH TỰ NỘI XẠ ................................................................................ 28
2.2.1. Định nghĩa vành tự nội xạ ................................................................. 28
2.2.2. Iđêan trong vành tự nội xạ ................................................................. 30
2.2.3. Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ.................................... 31
2.2.4. Vành FDI và tự nội xạ ....................................................................... 32
2.2.5. Vành Noether và tự nội xạ ................................................................. 32
2.2.6. Iđêan hữu hạn sinh trong vành tự nội xạ ........................................... 33
2.2.7. Liên hệ giữa vành Noether và vành tự nội xạ.................................... 34

Footer Page 4 of 16.


Header Page 5 of 16.

2.2.8. Vành Artin và vành tự nội xạ ............................................................ 34
2.2.9. Liên hệ giữa vành Artin và vành tự nội xạ ........................................ 35
2.2.10. Môđun không phân tích được vào vành tự nội xạ ........................... 35
2.2.11. Các điều kiện tương đương của vành tự nội xạ ............................... 36
2.2.12. Liên hệ giữa vành Noether và vành Artin ....................................... 37
2.3. ĐẠI SỐ FROBENIUS ............................................................................ 38
2.3.1. Dạng song tuyến tính không suy biến ............................................... 38
2.3.2. Dạng song tuyến tính đối xứng .......................................................... 39
2.3.3. Đại số Frobenius ................................................................................ 40
2.3.4. Đại số đối xứng .................................................................................. 40
2.3.5. Bổ đề về các đẳng cấu từ A → A * ................................................... 41
2.3.6. Các điều kiện tương đương của đại số Frobenius ............................. 42
2.3.7. Tích trực tiếp họ đại số Frobenius ..................................................... 42
2.3.8. M n ( A ) – đại số Frobenius ................................................................ 43
2.3.9. Tính chất của đại số Frobenius .......................................................... 44
2.3.10. Đại số tựa Frobenius ........................................................................ 46

2.3.11. Liên hệ giữa đại số Frobenius và tựa Frobenius .............................. 46
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 48

Footer Page 5 of 16.


Header Page 6 of 16.

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Ký hiệu

Giải nghĩa

ACC

Điều kiện dây chuyến tăng.

DCC

Điều kiện dây chuyến giảm.

MR ;

RM

Thứ tự là các môđun phải, trái.

radR

Radical Jacobson của vành R.

l(M), r (M)

Thứ tự là linh hóa tử trái, phải của môđun M.

E(M)

Bao nội xạ của môđun M.

Footer Page 6 of 16.


Header Page 7 of 16.

1

MỞ ĐẦU
Trong sự phát triển chung của toán học, lý thuyết môđun đã có sự phát triển
mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các lĩnh vực
khác của toán học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Ta biết rằng
một vành R là R – môđun trên chính nó nên hiển nhiên một số kết quả trên
môđun có thể chuyển sang vành.
Môđun xạ ảnh và môđun nội xạ được xem là hai trụ cột của lý thuyết
môđun. Việc nghiên cứu môđun nội xạ và các mở rộng của nó là một trong
những hướng được nhiều người quan tâm hiện nay. Luận văn của tôi tập trung
nghiên cứu môđun nội xạ, các vành tự nội xạ với các ví dụ cho ta những hình
ảnh cụ thể của chúng và về đại số Frobenius như là lớp con của lớp các vành tự
nội xạ.
Luận văn gồm hai chương :

+ Chương 1 : Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành và lý thuyết
môđun.
+ Chương 2 : Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số Frobenius.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS Bùi Tường Trí,
người đã trực tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp.
Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích
giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học.
Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi
nhiều thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân
thành của các bạn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014.
Nguyễn Quốc Thắng

Footer Page 7 of 16.


Header Page 8 of 16.

2

Chương 1. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT
VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN
1.1. Định nghĩa môđun, môđun con
1.1.1. Định nghĩa môđun
Cho R là vành có đơn vị. Nhóm cộng Aben ( M,+ ) được gọi là một môđun
phải trên vành R nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có
ánh xạ µ : M × R → M mà kết quả µ ( x,r ) ta ký hiệu là xr và gọi là tích của
phần tử x với hệ tử r, ngoài ra các tiên đề sau cần được thỏa mãn:
M1 : x.1 = x

M 2 : x ( rs ) = ( xr ) s
M 3 : ( x + y ) r =xr + yr
M 4 : x ( r + s ) = xr + xs

với mọi r, s ∈ R và x, y ∈ M .
Ký hiệu: M R , ta gọi M là R – môđun phải, R là vành hệ tử.
Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta
đã xác định được một tác động trái từ R.
1.1.2. Định nghĩa môđun con
Cho A, B là các tập con của môđun M và K ⊂ R (với A, B, K ≠ ∅ ), ta
định nghĩa:
A + B = {a + b | a ∈ A,b ∈ B}
AK=

{ar | a ∈ A,r ∈ K}

Tập A ≠ ∅ trong M được gọi là bộ phận ổn định của M nếu A + A ⊂ A và
AR ⊂ A .

Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng với các phép toán cảm sinh lập
thành một R – môđun và ta gọi A là môđun con của môđun M.

Footer Page 8 of 16.


Header Page 9 of 16.

3

Nhận xét
Mỗi môđun bất kỳ luôn có hai môđun con tầm thường là (0) và chính nó.
Mỗi vành R đều là R – môđun trái (phải) với các môđun con chính là các
iđêan trái (phải) của R.
1.1.3. Ann(M)
Cho M là R – môđun, ta định nghĩa ann(M) là tập tất cả các phần tử của
vành hệ tử R, linh hóa M. Cụ thể:
+ Nếu M là R – môđun phải thì ann ( M ) =
( 0 )}
{r ∈ R | Mr =
+ Nếu M là R – môđun trái thì ann ( M ) =
( 0 )}
{r ∈ R | rM =
1.2. Đồng cấu môđun
1.2.1. Định nghĩa
Cho M, M’ là các R – môđun phải. Ánh xạ f : M → M′ được gọi là R –
đồng cấu nếu f ( x1r1 + x 2 r2 )= f ( x1 ) r1 + f ( x 2 ) r2 với mọi x1, x 2 ∈ M và với mọi
r1, r2 ∈ R .

Để giản tiện về mặt ngôn ngữ, các R – đồng cấu được gọi một cách đơn
giản là các đồng cấu.
Khi f là đồng cấu, ta định nghĩa:
+ Ảnh của f là=
f (M)

{f ( x ) | x ∈ M}

+ Hạt nhân của f là Kerf =
f −1 ( 0 ) =
0}

{x ∈ M | f ( x ) =
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f đồng thời là đơn ánh.
Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f đồng thời là toàn ánh.
Nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu thì f được gọi là đẳng cấu.
1.2.2. Tính chất

Footer Page 9 of 16.


Header Page 10 of 16.

4

Cho f : M → M′ là đồng cấu. Khi đó nếu N là môđun con của M thì f ( N )
là môđun con của M’, còn nếu N’ là môđun con của M’ thì f −1 ( N′ ) là môđun
con của M.
Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Tích của hai đơn cấu (toàn cấu,
đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).
Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = (0).
Nếu f : M → M′ là một đẳng cấu thì f −1 : M′ → M cũng là một đẳng cấu.
Nếu f : M → M′ là một toàn cấu thì M Kerf ≅ M′ .
1.2.3. Mệnh đề. Cho vành R và Y, Xi (i ∈ I) là các R – môđun. Khi đó ta có

(

)

đẳng cấu Hom R ⊕ Xi ,Y  ∏ Hom R ( Xi ,Y ) .
i∈I

i∈I

1.3. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC)
1.3.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)
Một họ các tập con {Ci }i∈I của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện
dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô
hạn, tăng nghiêm ngặt:
Ci1 ⊂ Ci2 ⊂
≠

≠

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆ Ci2 ⊆  trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại
Cin C=
C=
n ∈  sao cho =
i n +1
in + 2 

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại.
1.3.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)
Một họ các tập con {Ci }i∈I của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện
dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền
vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

Footer Page 10 of 16.


Header Page 11 of 16.

5

Ci1 ⊃ Ci2 ⊃
≠

≠

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(i) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇ Ci2 ⊇  trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại
Cin C=
C=
n ∈  sao cho =
i n +1
in + 2 

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu.
1.4. Môđun Noether và môđun Artin
1.4.1. Định nghĩa
Cho vành R và M là R – môđun trái (hoặc R – môđun phải). Ta nói M là
Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC).
1.4.2. Tính chất
Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn
sinh.

1.5. Vành Noether và vành Artin
1.5.1. Vành Noether
Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được
xem như R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành
Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng.
+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối
đại.
1.5.2. Vành Artin
Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như
R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải)
nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
+ Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng.

Footer Page 11 of 16.


Header Page 12 of 16.

6

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối
tiểu.
1.5.3. Định lí. Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải.
1.6. Dãy khớp
1.6.1. Định nghĩa dãy khớp
Dãy các đồng cấu môđun (hữu hạn hay vô hạn)

(1)

f
g
 → A 
→ B 
→C →

được gọi là khớp tại môđun B nếu Im f = Kerg .
Dãy đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung
gian.
1.6.2. Định nghĩa dãy khớp ngắn
Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng:
f
g
0 → A 
→ B 
→C → 0

( 2)

Nhận xét : Dãy (2) là khớp khi và chỉ khi là f đơn cấu, g là toàn cấu, và
Im f = Kerg .

1.6.3. Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ
Cho dãy khớp dạng (1). Dãy khớp này được gọi là chẻ ra tại B nếu Imf là
hạng tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con B1 sao cho=
B Im f ⊕ B1 .
Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.
Dãy khớp ngắn (2) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B.
f
g
1.6.4. Định lí. Đối với mỗi dãy khớp ngắn 0 → A 
→ B 
→ C → 0 , ba phát

biểu sau là tương đương:

(i) Dãy khớp là chẻ ra.
(ii) Đồng cấu f có nghịch đảo trái.
(iii) Đồng cấu g có nghịch đảo phải.

Footer Page 12 of 16.


Header Page 13 of 16.

7
f
g
1.6.5. Hệ quả. Nếu dãy khớp  → A 
→ B 
→ C →  chẻ ra tại B thì ta có

B ≅ Im f ⊕ Im g .

1.7. Môđun xạ ảnh
1.7.1. Định nghĩa môđun xạ ảnh
Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B → C , mỗi
đồng cấu f : P → C , tồn tại đồng cấu ϕ : P → B sao cho f = σϕ .
ϕ

P
f

σ
B 
→C

1.7.2. Định lí. Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh.
1.7.3. Định lí
Tổng trực tiếp của họ môđun P = ⊕ Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun
i∈I

thành phần Pi là xạ ảnh.
1.7.4. Định lí. Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là tương đương:
(i) P là môđun xạ ảnh.
(ii) Mỗi dãy khớp 0 → A → B → P → 0 là chẻ ra.
(iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó.
1.7.5. Định lí
Khi R là vành chính, R – môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do.
1.8. Môđun đơn, môđun nửa đơn
1.8.1. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)
R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ
có hai môđun con tầm thường là (0) và M.
1.8.2. Định nghĩa môđun nửa đơn

Footer Page 13 of 16.


Header Page 14 of 16.

8

R – môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui)
nếu M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun đơn.
1.8.3. Định lí. Đối với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương
(i) M là nửa đơn.

(ii) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M.
(iii) M là tổng của một họ môđun con đơn.
1.8.4. Bổ đề
Cho M là R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn. Khi
đó R có iđêan phải (iđêan trái) đẳng cấu với M khi và chỉ khi
M* Hom R ( M,R R ) ≠ 0 .
=

1.9. Vành đơn, vành nửa đơn
1.9.1. Định nghĩa
Vành R ≠ 0 được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa
đơn) trên chính nó.
1.9.2. Định lí. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là R – môđun phải nửa đơn.
(ii) R là R – môđun trái nửa đơn.
(iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn.
(iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn.
1.10. Vành nguyên
Vành R được gọi là vành nguyên nếu R ≠ 0 và ab = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0 .
Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên.

Footer Page 14 of 16.


Header Page 15 of 16.

9

1.11. Vành chia
Vành R được gọi là vành chia nếu R ≠ 0 và mọi phần tử khác không trong

R đều khả nghịch.
Vành chia giao hoán là trường.
1.12. Vành nguyên thủy
R – môđun M được gọi là môđun trung thành nếu ann ( M ) = 0 .
Vành R được gọi là vành nguyên thủy trái (phải) nếu có R – môđun trái
(phải) bất khả qui trung thành.
1.13. Tập nil , tập lũy linh
1.13.1. Định nghĩa
Cho vành R, tập I ⊆ R
Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại n ∈  sao cho
xn = 0 .

I được gọi là tập nil nếu mọi phần tử của I đều lũy linh, và nếu I là iđêan
của R, ta gọi I là nil iđêan.
I được gọi là tập lũy linh nếu tồn tại n ∈  sao cho I n = 0 , và nếu I là
iđêan của R, ta gọi I là iđêan lũy linh.
Tính chất. Iđêan lũy linh là nil iđêan.
1.13.2. Định lí (J.Levitzki). Nếu R là vành Noether phải thì các nil – iđêan một
phía của nó đều lũy linh.
1.14. Radical Jacobson của một vành
1.14.1. Định nghĩa radical Jacobson của một vành

Footer Page 15 of 16.


Header Page 16 of 16.

10

Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả

các iđêan phải tối đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan trái tối
đại của R). Ký hiệu: radR .
Nếu R = ( 0 ) ta định nghĩa radR = ( 0 ) .
radR là iđêan của R.

1.14.2. Định nghĩa vành nửa nguyên thủy
Vành R ≠ 0 được gọi là nửa nguyên thủy nếu radR = ( 0 )
1.14.3. Bổ đề. Với mỗi y ∈ R , các phát biểu sau là tương đương:
(i) y ∈ radR .
(ii) 1 − xy khả nghịch phải với mọi x ∈ R .
1.14.4. Định lí. Cho R là vành Artin phải. Khi đó, radR là iđêan lũy linh lớn
nhất chứa tất cả các iđêan lũy linh một phía của R.
1.14.5. Hệ quả. Trong vành Artin, mọi nil iđêan đều lũy linh.
1.14.6. Định lí. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là nửa đơn.
(ii) R là Artin phải và nửa nguyên thủy.
1.14.7. Định lí Hopkins – Levitzki. Cho R là vành mà radR lũy linh và
R = R radR là nửa đơn. Khi đó, với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là

tương đương:
(i) M là Noether.
(ii) M là Artin.
1.14.8. Bổ đề Nakayama. Với mỗi iđêan trái J của vành R, các phát biểu sau
tương đương:
(i) J ⊆ radR .
(ii) Với mọi R – môđun trái hữu hạn sinh M, JM = M ⇒ M = ( 0 ) .

Footer Page 16 of 16.

Header Page 17 of 16.

11

(iii) Với mọi R – môđun trái N ⊆ M mà M N hữu hạn sinh,
N + JM = M ⇒ N = M .

1.14.9. Hệ quả. Cho R là vành Noether phải. Nếu R radR là vành nửa đơn và
radR là nil – iđêan thì R là vành Artin phải.
1.15. Vành nửa nguyên sơ
Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và
radR lũy linh.

1.16. Định nghĩa phần tử lũy đẳng
Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e 2 = e .
Nhận xét
+ Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là
hai phần tử lũy đẳng tầm thường.
+ Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1.
1.17. Vành địa phương
1.17.1. Định nghĩa
Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan phải tối
đại.
1.17.2. Mệnh đề. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là vành địa phương.
(ii) Nếu a ∈ R thì a hoặc 1 – a khả nghịch.
(iii) R có duy nhất một iđêan trái tối đại.
(iv) radR là iđêan phải tối đại duy nhất trong R.
(v) Tất cả các phần tử không khả nghịch của R lập thành một iđêan.
(vi) radR là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R.

Footer Page 17 of 16.


Header Page 18 of 16.

12

(vii) R radR là vành chia.
1.17.3. Hệ quả
Cho vành R, nếu tất cả các phần tử không khả nghịch của R đều lũy linh thì
R là vành địa phương.
1.17.4. Mệnh đề
Vành địa phương chỉ có phần tử lũy đẳng tầm thường là 0 và 1.
1.17.5. Định lí
Nếu R là vành địa phương thì mỗi R – môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều là
môđun tự do.
1.18. Môđun không phân tích được, môđun thật sự không phân tích được
1.18.1. Định nghĩa
R – môđun phải M ≠ ( 0 ) được gọi là không phân tích được nếu M không
thể viết được thành tổng trực tiếp của hai R – môđun con thật sự.
R – môđun phải M ≠ ( 0 ) được gọi là thật sự không phân tích được nếu
End ( M R ) là vành địa phương.

1.18.2. Định lí
Có một tương ứng song ánh giữa sự phân tích của R – môđun M thành tổng
trực tiếp của các môđun con và sự phân tích của phần tử đơn vị của vành
E = End ( M R ) .

1.18.3. Bổ đề. Cho R – môđun phải M ≠ ( 0 ) , các phát biểu sau là tương đương:

(i) M không phân tích được.
(ii) End ( M R ) không có phần tử lũy đẳng không tầm thường.
1.18.4. Định lí Krull – Schmidt – Azumaya
Cho vành R, giả sử M R có hai sự phân tích theo các môđun con:
M = M1 ⊕  ⊕ M r = N1 ⊕  ⊕ Ns

Footer Page 18 of 16.


Header Page 19 of 16.

13

trong đó các Ni là các môđun không phân tích được, còn các M i là các
môđun thật sự không phân tích được.
Khi đó r = s , và sau khi sắp xếp lại ta được M i ≅ Ni , i =
1,r .
1.19. Vành nửa địa phương
Vành R được gọi là nửa địa phương nếu là R radR vành Artin trái hoặc
R radR là vành nửa đơn.

Nhận xét
+ Vành địa phương là nửa địa phương, vành Artin một phía là vành nửa địa
phương.
1.20. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng
Với mỗi phần tử lũy đẳng e của vành R, ta luôn có hai sự phân tích sau:

( i ) R=
R
( ii ) =

Re⊕ Rf
e R ⊕ fR

trong đó f = 1 − e là phần tử lũy đẳng bù với e.
(i) và (ii) là sự phân tích theo các iđêan trái, phải.
1.20.1. Định lí
Cho e và f là các phần tử lũy đẳng của vành R. Khi đó Hom ( eR,fR ) ≅ fRe .
Nếu f = e thì End ( eR ) ≅ eRe , đặc biệt khi e = 1 thì ta có End ( R ) ≅ R .
1.20.2. Định nghĩa phần tử lũy đẳng nguyên thủy. Phần tử lũy đẳng e ≠ 0
được gọi là phần tử lũy đẳng nguyên thủy nếu e không có sự phân tích thành
tổng của các phần tử lũy đẳng trực giao khác 0.
1.20.3. Bổ đề. Cho R – môđun phải M ≠ ( 0 ) , các phát biểu sau là tương đương:
(i) M không phân tích được.
(ii) 1 là phần tử lũy đẳng nguyên thủy trong End ( M R ) .

Footer Page 19 of 16.


Header Page 20 of 16.

14

1.20.4. Mệnh đề. Với mỗi phần tử lũy đẳng e ≠ 0 trong R, các phát biểu sau là
tương đương:
(i) eR là R – môđun phải không phân tích được.
(ii) Re là R – môđun trái không phân tích được.
(iii) Vành eRe không có phần tử lũy đẳng không tầm thường.
(iv) e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy của R.
1.20.5. Định nghĩa phần tử lũy đẳng địa phương

Phần tử lũy đẳng e ≠ 0 được gọi là phần tử lũy đẳng địa phương nếu eRe là
vành địa phương. Nếu e là phần tử lũy đẳng địa phương thì e cũng là phần tử lũy
đẳng nguyên thủy.
1.20.6. Định nghĩa phần tử lũy đẳng nâng lên
Cho I là iđêan của vành R, ta nói phần tử lũy đẳng x ∈ R I có thể được
nâng lên từ R nếu tồn tại phần tử lũy đẳng e ∈ R là tạo ảnh của x trong phép
chiếu R → R I (hay e = x ).
1.21. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ
1.21.1. Định nghĩa
Cho N là môđun con của M, khi đó ta nói M là một mở rộng của N. Môđun
con N của M được gọi là cốt yếu trong M nếu N có giao khác 0 với mọi môđun
con khác 0 của M, khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N.
Môđun Q được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu nó vừa là mở rộng cốt
yếu của M và vừa là môđun nội xạ. Kí hiệu Q = E ( M ) .
1.21.2. Mệnh đề
(i) E ( M1 ⊕ M 2 )  E ( M1 ) ⊕ E ( M 2 ) với bất kì R – môđun M1, M 2 .
(ii) Nếu ϕ : M → Q là đơn cấu và Q là môđun nội xạ thì Q
= Q1 ⊕ Q 2 trong
đó Q1  E ( Im ϕ ) .

Footer Page 20 of 16.


Header Page 21 of 16.

15

1.22. Socle của môđun, vành socular
1.22.1. Định nghĩa socle của môđun
Cho M là R – môđun phải. Khi đó socle của M, kí hiệu soc ( M ) là tổng của

tất cả các môđun con đơn của M. Nếu M không có môđun con đơn thì
soc ( M ) = 0 .

1.22.2. Định nghĩa vành socular
Vành R được gọi là socular phải (trái) nếu mỗi R – môđun phải (trái) đều
có socle khác 0. Một vành vừa socular phải và socular trái được gọi là vành
socular.
1.22.3. Mệnh đề. Nếu M là R – môđun thì E ( M ) = E ( soc ( M ) ) .
1.22.4. Mệnh đề. Cho R là vành nửa hoàn thiện. Khi đó soc ( A A ) trùng với linh
hóa tử trái l ( radR ) và soc ( A A ) trùng với linh hóa tử phải r ( radR ) . Đặc biệt
hơn, soc ( A A ) và soc ( A A ) là các iđêan hai phía.
1.23. Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện
1.23.1. Định nghĩa vành nửa hoàn thiện
Vành R được gọi là nửa hoàn thiện nếu R là vành nửa địa phương và mọi
phần tử lũy đẳng của R radR có thể được nâng lên từ R.
1.23.2. Định lí
Vành R là vành nửa hoàn thiện khi và chỉ khi 1 = e1 + e 2 +  + e n , với

{ei }i=1,n

là tập các phần tử lũy đẳng địa phương trực giao.

1.23.3. Bổ đề
Cho R là vành nửa hoàn thiện, lấy P = eA là A – môđun xạ ảnh không
phân tích được và U = P ( P.r adR ) là môđun đơn. Khi đó môđun đối ngẫu U*
đẳng cấu với l ( rad R ) e , và do đó U* ≅ soc ( A A ) e .

Footer Page 21 of 16.

Header Page 22 of 16.

16

1.23.4. Định nghĩa tập con T – lũy linh
Tập con A của vành R được gọi là T – lũy linh trái (phải) nếu với mọi dãy
phần tử

{a1,a 2 ,a 3 ,} ⊆ A ,

luôn tồn tại n ∈  + sao cho a1a 2  a n = 0

( a n  a 2 a1 = 0 ) .
Nhận xét: Tập lũy linh là tập T – lũy linh trái (phải), tập T – lũy linh trái
(phải) là tập nil.
1.23.5. Định nghĩa vành hoàn thiện
Vành R được gọi là vành hoàn thiện phải (trái) nếu R radR là vành nửa
đơn và radR là T – lũy linh phải (trái).
Nếu R là vành hoàn thiện hai phía, ta nói R là hoàn thiện.
1.23.6. Định lí (H.Bass). Cho R là vành. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
(i) R là vành hoàn thiện phải.
(ii) Mọi R – môđun dẹt phải đều là môđun xạ ảnh.
(iii) R thỏa điều kiện dây chuyền giảm của các iđêan trái chính quy.
1.23.7. Định lí. Các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) R là vành hoàn thiện phải.
(ii) R là vành nửa địa phương và socular trái.
1.23.8. Hệ quả
Nếu R là vành Noether phải và hoàn thiện phải thì R là vành Artin phải.

Footer Page 22 of 16.


Header Page 23 of 16.

17

Chương 2. MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ
VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS
2.1. MÔĐUN NỘI XẠ
2.1.1. Định nghĩa 1
Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu χ : A → B , mỗi
đồng cấu f : A → J , tồn tại đồng cấu f : B → J sao cho f = fχ
χ
A 
→B

f

f

J

Vì χ là đơn cấu nên ta có thể xem như A ⊂ B , và do vậy f có thể xem như
là sự mở rộng của f trên B. Vì lý do đó có khi người ta xem môđun nội xạ J là
môđun cho phép sự mở rộng của bất kỳ đồng cấu f : A → J thành đồng cấu
f : B → J , trên mỗi môđun A ⊂ B .

2.1.2. Định nghĩa 2
Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử Hom ( −,J ) là hàm tử khớp.

Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom ( −,J ) chuyển mỗi
dãy khớp ngắn:
χ
σ
0 
→ A 
→ B 
→ C 
→0

thành dãy khớp các nhóm aben :
σ*
χ*
0 
→ Hom ( C,J ) 
→ Hom ( B,J ) 
→ Hom ( A,J ) 
→0

Vì hàm tử Hom ( −,J ) là khớp trái nên tính khớp của dãy sau cùng tương
đương với đòi hỏi đồng cấu :
χ*: Hom ( B,J ) → Hom ( A,J )

Footer Page 23 of 16.


Header Page 24 of 16.

18

là toàn cấu nếu χ là đơn cấu. Điều này có nghĩa với mọi đồng cấu

()

f ∈ Hom ( A,J ) , tồn tại đồng cấu f ∈ Hom ( B,J ) sao cho χ* f = fχ = f

Nếu chỉ dựa vào định nghĩa 1 và định nghĩa 2 mà để xây dựng môđun nội
xạ thì rất khó khăn do đó ta cần tìm tiêu chí khác để giảm thiểu các điều kiện
trong định nghĩa môđun nội xạ bằng tiêu chuẩn Baer sau đây
2.1.3. Định lí (Tiêu chuẩn Baer)
R – môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan phải U của R và mỗi
đồng cấu f : U → J đều tồn tại đồng cấu h : R → J sao cho h.i = f , trong đó i là
phép nhúng U vào R.
Chứng minh:
Hiển nhiên các điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ của
môđun. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ.
Bước 1 : Xét biểu đồ sau

α
0 
→ A 
→B

ϕ

J

trong đó α là đơn cấu. Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của B
sao cho Im α ⊂ C và tồn tại đồng cấu γ : C → J sao cho ϕ = γ.α . Ta sẽ chứng
minh rằng khi đó tồn tại môđun C1 của B, thực sự chứa C và tồn tại đồng cấu

γ1 : C1 → J sao cho ϕ = γ1.α (và do đó γ1

C

=
γ ).

Thật vậy, lấy b ∈ B, b ∉ C và đặt C1= C + bR .
Nếu C ∩ bR =
0 thì γ có thể mở rộng trên C1 một cách tầm thường.
Nếu C ∩ bR ≠ 0 thì ta gọi U =∈
{u R | bu ∈ C} . Rõ ràng U là iđêan phải trong R
và ánh xạ:
ζ:U →C
u → bu

Footer Page 24 of 16.


Header Page 25 of 16.

19

là một R – đồng cấu. Đặt ξ = γζ : U → J . Theo giả thiết tìm được đồng cấu
p : R → J sao cho ξ =p.i nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:
ζ
γ
U 
→ C 
→J

i

p

R

Bây giờ ta định nghĩa γ1 : C1 → J bởi quy tắc:
γ1 : C + bR → J

c + br → γ ( c ) + p ( r )

tương ứng γ1 là một ánh xạ. Thật vậy, nếu có:
c + br =c′ + br′

c,c′ ∈ C ; r,r′ ∈ R

thì:
c − c=′ b ( r′ − r ) ∈ C ∩ bR

Từ đó:
r′ − r ∈ U
r ) p ( r′ − r )
⇒ γζ ( r′ −=
⇒ γ ( c − c′ ) = γ ( b ( r′ − r ) ) = γζ ( r′ − r ) = p ( r′ − r )
⇒ γ ( c ) + p ( r ) = γ ( c′ ) + p ( r′ )

Do γ và p là những R – đồng cấu nên γ1 cũng là R – đồng cấu và rõ ràng
γ1

C

=
γ

Bước 2 : Giả sử C=
Im α và α 0 là đẳng cấu của A lên C0 cảm sinh bởi α. Đặt
0
γ 0 = ϕα 0−1 ta có ϕ = γ 0 .α . Bây giờ ta có thể kéo dài γ 0 lên B nhờ bổ đề Zorn. Cụ

thể giả sử W là tập tất cả các cặp ( C, γ ) trong đó C0 ⊂ C ⊂ B và
γ :C → J , γ

C0

=
γ0

Tập W ≠ ∅ vì ( C0 , γ 0 ) ∈ W . Đưa vào W quan hệ thứ tự:

Footer Page 25 of 16.