Nghiên cứu cộng hưởng lưỡng cực Pygmy trong hạt nhân nguyên tử

Header Page 1 of 16.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Chương

NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG LƯỠNG CỰC
PYGMY TRONG HẠT NHÂN NGUYÊN TỬ
Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử
Mã số: 60 44 01 60

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN QUANG HƯNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 1 of 16.


Header Page 2 of 16.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Chương

Footer Page 2 of 16.


Header Page 3 of 16.

LỜI CÁM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS. Nguyễn Quang
Hưng, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành Luận
văn này.
Tôi xin chân thành cám ơn quý Thầy, Cô giáo giảng dạy, Khoa Vật lý,
Phòng Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dạy
dỗ tận tình, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi xin gửi lời cám ơn tới Gia đình, các Anh, Chị đồng nghiệp ở Thành
phố Vũng Tàu và các bạn trong lớp cao học Vật lý nguyên tử, khóa 23 – Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh cùng bạn bè đã động viên, giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2014

Footer Page 3 of 16.


Header Page 4 of 16.

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Thứ tự
1

Chữ viết tắt

EWSR

Giải thích
Energy Weighted Sum Rule
Quy tắc tổng năng lượng

2

GMR

Giant Monopole Resonance
Cộng hưởng khổng lồ đơn cực

3

GDR

Giant Dipole Resonance
Cộng hưởng khổng lồ lưỡng cực

4

GQR

Giant Quadrupole Resonance
Cộng hưởng khổng lồ tứ cực

5

QRPA

Quasiparticle Random-Phase Approximation
Gần đúng pha ngẫu nhiên trong biểu diễn giả hạt

6

HF

Hatree Fock

7

PDR

Pygmy Dipole Resonance
Cộng hưởng lưỡng cực pygmy

8

RPA

Random-Phase Approximation
Gần đúng pha ngẫu nhiên

9

RRPA

Relativistic Random-Phase Approximation
Gần đúng pha ngẫu nhiên tương đối

Footer Page 4 of 16.


Header Page 5 of 16.

DANH MỤC CÁC BẢNG
Tên bảng

Số

Trang

bảng
2.1

Giá trị các tham số của lực Skyrme Sly5[24] vàSGII[25]

21

2.2

Hệ số Ami của một số thành phần hạt-lỗ (proton và 30-31
nơtron) chính trong một trạng thái GDR thu được từ
HF+RPA sử dụng lực SLy5 và SGII cho hạt nhân 28O

2.3

Hệ số Ami của một số thành phần hạt-lỗ (proton và 31
nơtron) chính trong một trạng thái PDR thu được từ

HF+RPA sử dụng lực SLy5 và SGII cho hạt nhân 28O

2.4

Giá trị quy tắc tổng năng lượng m1 (isoscalar và isovecto) 35-36
và tỷ số quy tắc tổng năng lượng thu được từ RPA trên
m1 cho các hạt nhân

16-28

O,

sử dụng lực SLy5 và SGII

Footer Page 5 of 16.

40-58

Ca,

100-120

Sn và

182-218

Pb


Header Page 6 of 16.

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Tên hình

Số

Trang

hình
0.1

Minh họa cường độ dịch chuyển E1 theo hàm của năng 2
lượng kích thích trong các hạt nhân hình cầu

2.1

Năng lượng E1- và cường độ dịch chuyển B(E1) 23
(isovector) của trạng thái giả theo hàm của năng lượng cắt
EC thu được từ RPA sử dụng hai lực tương tác SLy5 và
SGII cho các hạt nhân Ôxy

2.2

Cường độ dịch chuyển isovector B(E1) (các cột) và hàm 24
cường độ S(E) (các đường đứt đoạn) theo hàm của năng
lượng E thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5
(hình bên trái) và SGII (hình bên phải) cho một số hạt
nhân Ôxy. Năng lượng cắt EC = 60 MeV và hệ số làm trơn
σ (smoothing parameter) dùng trong hàm cường độ S(E)
có giá trị bằng 0.4

2.3

Cường độ dịch chuyển isovector B(E1) (các cột) và hàm 25
cường độ S(E) (các đường đứt đoạn) theo hàm của năng
lượng E thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5
(hình bên trái) và SGII (hình bên phải) cho một số hạt
nhân Canxi. Năng lượng cắt EC = 60 MeV và hệ số làm
trơn σ (smoothing parameter) dùng trong hàm cường độ
S(E) có giá trị bằng 0.4

2.4

Cường độ dịch chuyển isovector B(E1) (các cột) và hàm 26
cường độ S(E) (các đường đứt đoạn) theo hàm của năng

Footer Page 6 of 16.


Header Page 7 of 16.

lượng E thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5
và SGII cho một số hạt nhân Thiếc. Năng lượng cắt EC =
60 MeV và hệ số làm trơn σ (smoothing parameter) dùng
trong hàm cường độ S(E) có giá trị bằng 0.4
2.5

Cường độ dịch chuyển isovector B(E1) (các cột) và hàm 27
cường độ S(E) (các đường đứt đoạn) theo hàm của năng
lượng E thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5

(hình bên trái) và SGII cho một số hạt nhân Thiếc. Năng
lượng cắt EC = 60 MeV và hệ số làm trơn σ (smoothing
parameter) dùng trong hàm cường độ S(E) có giá trị bằng
0.4

2.6

Tỷ số tổng cường độ dịch chuyển trong vùng PDR (SPDR) 29
chia cho tổng cường độ dịch chuyển GDR (SGDR) theo số
khối A thu được từ tính toán HF+RPA sử dụng lực SLy5
và SGII

2.7

Mật độ dịch chuyển trạng thái proton và nơtron phụ thuộc 33
vào khoảng cách r của một trạng thái PDR thu được từ
HF+RPA cho một số hạt nhân Ôxy sử dụng lực SLy5 và
SGII

2.8

Mật độ dịch chuyển trạng thái proton và nơtron phụ thuộc 34
vào khoảng cách r của một trạng thái GDP thu được từ
HF+RPA cho một số hạt nhân Ôxy sử dụng lực SLy5 và
SGII

Footer Page 7 of 16.


Header Page 8 of 16.

MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
NỘI DUNG........................................................................................................... 5
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................... 5
1.1. Lực tương tác Skyrme hiệu dụng .......................................................... 5
1.2. Phương pháp Hatree Fock với lực Skyrme hiệu dụng .......................... 6
1.3. Skyrme Hartree Fock + RPA ................................................................ 12
Chương 2. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN ............................ 20
2.1. Các tham số đầu vào sử dụng cho việc tính toán số.............................. 20
2.2. Trạng thái giả (spurious state) ............................................................... 21
2.3. Cộng hưởng khổng lồ và cộng hưởng Pygmy lưỡng cực ..................... 24
2.4. Tính chất tập thể của các trạng thái cộng hưởng lưỡng cực khổng lồ và
cộng hưởng lưỡng cực Pygmy ..................................................................... 30
2.5. Mật độ dịch chuyển trạng thái ............................................................... 32
2.6. Quy tắc tổng năng lượng (EWSR) ........................................................ 35
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 39

Footer Page 8 of 16.


Header Page 9 of 16.
1

1. Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Hạt nhân bao gồm các nucleon (proton và nơtron) tương tác với nhau thông
qua lực tương tác hạt nhân mạnh. Tại trạng thái cơ bản (khi chưa có kích thích),
các nucleon này lấp đầy các mức đơn hạt có mức năng lượng dưới mức Fermi.
Khi hạt nhân bị kích thích, các nucleon này sẽ nhảy lên các mức năng lượng đơn
hạt cao hơn (trên mức Fermi) và tạo thành các dao động tập thể (collective
vibration). Khi năng lượng kích thích đủ lớn (lớn hơn năng lượng liên kết trung
bình của hạt nhân, cỡ 8 – 10 MeV) sẽ xuất hiện các mức cộng hưởng khổng lồ
(giant resonances) khác nhau tuỳ thuộc vào các số lượng tử spin (J) và chẵn lẻ
(π) của hệ, ví dụ như cộng hưởng khổng lồ đơn cực (Giant Monopole Resonance
– GMR, Jπ = 0+), cộng hưởng khổng lồ lưỡng cực (Giant Dipole Resonance –
GDR, Jπ = 1-), cộng hưởng khổng lồ tứ cực (Giant Quadrupole Resonance –
GQR, Jπ = 2+ ),... Các trạng thái cộng hưởng này đã được tìm thấy bằng rất
nhiều thực nghiệm. Ví dụ, cộng hưởng khổng lồ lưỡng cực đã được thực nghiệm
tìm thấy năm 1947 [1], cộng hưởng khổng lồ tứ cực đã được tìm thấy năm 1972
[2], và cộng hưởng khổng lồ đơn cực đã được tìm thấy năm 1977 [3].
Trong số các cộng hưởng trên, GDR mang tính chất đặc trưng chung cho
mọi hạt nhân. Về mặt thực nghiệm GDR đã được tìm thấy trong hầu hết các hạt
nhân từ nhẹ như 3He tới nặng như

232

Th thông qua phản ứng hấp thụ photon

(photoabsorption). Về mặt vật lý, GDR được giải thích thông qua sự dao động
ngược chiều (pha) của các proton và nơtron trong hạt nhân tại vùng năng lượng
kích thích từ khoảng 10 MeV tới 40 MeV. Tại vùng năng lượng kích thích thấp
(nhỏ hơn 10 MeV) gần với ngưỡng phát xạ của các hạt nhân giàu nơtron, thí
nghiệm đo sự bắt nơtron của Bartholomew từ năm 1961 đã quan sát được sự
tăng đáng kể của cường độ dao động lưỡng cực của các mức nằm trong vùng

năng lượng thấp (low-lying dipole strength) này [4]. Hiện tượng này sau này

Footer Page 9 of 16.


Header Page 10 of 16.
2

được gọi là cộng hưởng lưỡng cực Pygmy (Pygmy Dipole Resonance – PDR)
bởi nó chỉ chiếm một phần khá nhỏ so với cường độ tổng cộng của GDR. Khác
với GDR, PDR trong các hạt nhân giàu Anơtron thường được giải thích thông
qua dao động lưỡng cực của các nơtron dư thừa chống lại lõi đối xứng spin đồng
vị của các proton và nơtron như thể hiện trong Hình 0.1 [5].

Hình 0.1. Minh họa cường độ dịch chuyển E1 theo hàm của năng lượng kích
thích trong các hạt nhân hình cầu [5]
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nguồn gốc và các tính chất
của PDR thu hút được rất nhiều quan tâm của các nhà khoa học thực nghiệm
cũng như lý thuyết trên thế giới. Về mặt thực nghiệm, PDR đã được nghiên cứu
một cách hệ thống thông qua các phép đo hàm hưởng ứng lưỡng cực (dipole
response function) của một loạt các hạt nhân bền và không bền thông qua các
kích thích điện từ trong các phản ứng như va chạm ion nặng [10], tán xạ photon
[6], và phản ứng kích thích Coulomb [9]. Về mặt lý thuyết, rất nhiều mô hình lý
thuyết đã được xây dựng để mô tả cấu trúc của PDR. Trong số đó có thể kể đến
các tính toán theo mẫu vỏ quy mô rộng (large-scale shell model) [14], gần đúng
pha ngẫu nhiên (random-phase approximation – RPA) [13], gần đúng pha ngẫu
nhiên tương đối (relativistic RPA – RRPA) [12], gần đúng pha ngẫu nhiên trong
biểu diễn giả hạt (quasiparticle RPA – QRPA) với lực tương tác Skyrme hiệu
Footer Page 10 of 16.

Header Page 11 of 16.
3

dụng [15], mẫu suy giảm phonon (Phonon Damping Model – PDM) [16], lý
thuyết phiếm hàm mật độ (Density Functional Theory) [25]. Tuy nhiên, hiện tại
vẫn chưa có một mô hình nào có thể giải thích một cách có hệ thống và hoàn
toàn vi mô tính chất cũng như nguồn gốc của PDR trong hạt nhân. Một trong
những lý do là lực tương tác nucleon-nucleon sử dụng trong các mô hình trên
chưa thực sự lý tưởng. Ngoài ra, các mô hình này cũng bỏ qua các tương quan
trạng thái cơ bản cũng như kích thích nằm ngoài trường trung bình của hạt nhân.
Gần đây nhất, các tác giả trong công trình [8] đã phát triển phương pháp
RPA hoàn toàn tự hợp (fully selfconsistent RPA), trong đó sử dụng trường trung
bình Hartree-Fock (HF) với một số lực tương tác Skyrme lý tưởng như SLy5,
SGII, SKM*,… Phương pháp HF+RPA này đã mô tả khá tốt một số trạng thái
cộng hưởng khổng lồ đơn cực (GMR), lưỡng cực (GDR), và tứ cực (GQR) của
hạt nhân giàu nơtron

208

Pb. Tuy nhiên, trong công trình này các tác giả chưa

nghiên cứu tới PDR. Đó chính là lý do mà tôi chọn đề tài “Nghiên cứu cộng
hưởng lưỡng cực pygmy trong hạt nhân nguyên tử”.
2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng phương pháp Skyrme HF + RPA để mô tả một cách vi mô và có
hệ thống cấu trúc của cộng hưởng lưỡng cực Pygmy trong các hạt nhân giàu
nơtron có khối lượng từ nhẹ như Ôxy (O), trung bình như Canci (Ca), tới nặng
như Thiếc (Sn) và Chì (Pb).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng phương pháp HF + RPA với hai lực Skyrme là SLy5 và SGII để
phân tích cường độ dịch chuyển trạng thái tại vùng năng lượng kích thích thấp
trong các hạt nhân từ bền tới giàu nơtron, để từ đó thấy được sự xuất hiện của
cộng hưởng lưỡng cực Pygmy trong các hạt nhân này.

Footer Page 11 of 16.


Header Page 12 of 16.
4

Phân tích một cách vi mô tính chất tập thể của các trạng thái PDR bằng
việc đánh giá phần trăm đóng góp của các trạng thái kích thích hạt-lỗ vào trong
các trạng thái này.
Phân tích một cách vi mô ý nghĩa vật lý của các trạng thái PDR thông qua
phân bố mật độ dịch chuyển của proton và nơtron theo bán kính hạt nhân.
Sử dụng quy tắc tổng năng lượng để kiểm tra độ tin cậy của mô hình sử
dụng cũng như kết quả thu được.
4. Đối tượng nghiên cứu
PDR trong các hạt nhân có khối lượng từ nhẹ như Ôxy (16O, 22O, 24O, 28O),
trung bình như Canxi (40Ca, 48Ca, 52Ca, 58Ca), tới nặng như Thiếc (100Sn,
1114

106

Sn,

Sn, 120Sn) và Chì (182Pb, 194Pb, 208Pb, 218Pb).

5. Giới hạn đề tài

Đề tài này chỉ giới hạn việc nghiên cứu các hạt nhân có dạng hình cầu mà
chưa tới sự biến dạng cũng như tính chất kết cặp của các hạt nhân này. Ngoài ra,
tôi chỉ sử dụng lực tương tác Skyrme với tầm tương tác bằng không (zero-range
force) mà chưa tính tới các lực như khác Gogny, M3Y,...

Footer Page 12 of 16.


Header Page 13 of 16.
5

NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Lực tương tác Skyrme hiệu dụng
Lực tương tác hạt nhân hiệu dụng theo Skyrme (Skyrme interaction) có
thể được biểu diễn dưới dạng thế như sau [8]:

=
V

∑υ
i< j

trong đó

(2)
ij

+ ∑ υijk(3)

(1.1)

i< j
là phần thế tương tác hai hạt và

là phần thế tương tác ba hạt. Để

đơn giản hoá việc tính toán, phần thế tương tác hai hạt

được lấy gần đúng

theo khai triển trong phạm vi ngắn (short-range expansion). Trong không gian
toạ độ, lực này có dạng [8]:

δ δ 1
δ δ
δ δ
υ12 = t0 (1 + x0 Pσ )δ (r1 − r2 ) + t1 (1 + x1 Pσ ) δ (r1 − r2 )k 2 + k '2 δ (r1 − r2 ) 
2
δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
+ t2 (1 + x2 Pσ )k '⋅ δ (r1 − r2 )k + iW0 (σ 1 + σ 2 ) ⋅ k '× δ (r1 − r2 )k
trong đó,

là toán tử xung lượng tương đối.

là toán tử tác

là toán tử tác động lên phía bên trái. k và

động lên phía bên phải,

k’ là các vectơ sóng tương đối của hai nucleon.
là các ma trận Pauli.

(1.2)

với

là toán tử trao đổi spin và

là hàm Delta (phạm vi tương tác bằng

không – zero range) mô tả sự phụ thuộc vào khoảng cách (radial dependence)
của phạm vi tương tác của lực hạt nhân (range of the nuclear force).
Với hàm sóng của một trạng thái chuyển động tương đối có dạng


Y=
(r ) R (r )Ylm (Ω)

Footer Page 13 of 16.

(1.3)


Header Page 14 of 16.

6

chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng hai số hạng đầu của công thức (1.2) tương
đương với các tương tác dạng sóng S (S-wave) do các yếu tố ma trận của nó tỷ
lệ tương tứng với

. Trong khi đó, hai số hạng cuối của

và

công thức (1.2) tương đương với tương tác dạng sóng P (P-wave) bởi các yếu tố
ma trận của nó tỷ lệ với

.

Tương tự, phần lực tương tác ba hạt cũng được biểu diễn thông qua lực tương
tác phạm vi bằng không (zero-range force):
δ

δ

δ

δ

(3)
υ123
=
t3 (1 + x3 Pσ )δ (r1 − r2 )δ (r2 − r3 )

(1.4)

Trong các phương trình (1.2) và (1.4), các hằng số t0, t1, t2, t3, x0, x1, x2, x3, và W0
là các tham số được điều chỉnh sao cho năng lượng liên kết và bán kính hạt nhân
thu được trùng với giá trị thực nghiệm. Về mặt ý nghĩa vật lý, t0 mô tả một lực
Delta với sự trao đổi spin; t1 và t2 biểu diễn phạm vi tương tác hiệu dụng; W0
biểu diễn phần tương tác spin-quỹ đạo của hai nucleon.
Trong tính toán Hartree Fock (HF) cho các hạt nhân chẵn-chẵn (số nơtron và
proton đều là chẵn) thì thế tương tác ba hạt (1.4) sẽ tương đương với một thế
tương tác hai hạt phụ thuộc vào mật độ ρ:

δ δ
1
δ δ α  r1 + r2 
υ12 ( r ) =
t3 (1 + x3 Pσ )δ (r1 − r2 ) r 

6
 2 

(1.5)

1.2. Phương pháp Hatree Fock với lực Skyrme hiệu dụng
Với việc sử dụng lực tương tác Skyrme hiệu dụng như trình bày trong
phần 1.1, quá trình biến đổi để thu được phương trình Hartree Fock (HF) sẽ trở
nên rất đơn giản. Theo lý thuyết HF, trạng thái cơ bản của một hạt nhân ϕ được
biểu diễn dưới dạng định thức Slater của các trạng thái đơn hạt ϕ i [18]:

Footer Page 14 of 16.

Header Page 15 of 16.
7

φ ( x1 , x2 , , x A ) =

(1.6)

1
det φi ( x j )
A!

trong đó, x là ký hiệu của không gian toạ độ , spin σ, và isospin q (

cho

cho nơtron. Năng lượng trạng thái cơ bản (năng lượng Hartree

proton và

Fock) sẽ có dạng:

E = φ , (T + V )φ =

P2
1
i
i + ∑ ij υ12 ij =
2m
2 ij

∑
i

d 3
H
(
r
∫ )d r

(1.7)

trong đó, T, V và P tương ứng là động năng, thế năng, và xung lượng của hạt; m
là khối lượng của hạt;

là yếu tố ma trận phản đối xứng. Đối với lực tương tác

Skyrme, mật độ năng luợng
năng

là một hàm của mật độ nucleon

, và mật độ spin

, động

. Các đại lượng này đều phụ thuộc vào hàm

sóng của các trạng thái đơn hạt ϕ i:



r q (r ) = ∑ φi (r , σ , q )

(1.8)

2

i ,σ


2

∇
∑ φi (r , σ , q)

τ q (r=
)

i ,σ



J q (r ) =
(−i ) ∑ φi* (r , σ , q ) ∇φi (r , σ ', q )  × σ σ σ '
i ,σ ,σ '

Từ (1.8) ta có thể dễ dàng thu được

Footer Page 15 of 16.

có dạng:


Header Page 16 of 16.
8

1  1   
1
2

H (=
r)
t (r ) + t0 1 + x0  r 2  −  x0 +  ( r n2 + r p2 )
2m
2  2   
2

(1.9)

1
1
1
+ (t1 + t2 ) rt + (t2 − t1 )( r nt n + r pt p ) + (t2 − 3t1 ) r∇ 2 r
4
8
16

1
1

+ (3t1 + t2 )( r n∇ 2 r n + r p ∇ 2 r p ) + (t1 − t2 )( J n2 + J p2 )
32
16
 
1
 1
+ t3 r n r p r + H C (r ) − W0 ( r∇ ⋅ J + r n∇ ⋅ J n + r p ∇ ⋅ J p )
4
2
trong đó,

,

, và

.

là phần trực

tiếp của tương tác Coulomb đối với proton, trong đó
e2
dd
VC (r ) = ∫ r p ( r ) dd d 3 r '
r −r '

(1.10)

Đối với hạt nhân có N = Z (số nơtron = số proton) và không có tương tác
Coulomb thì


1
1
1
ρρρ
=
=
,
τ
=
τ
=
τ
,
J
=
J
=
J
n
p
n
p
n
p
2
2
2
Thay (1.11) vào (1.9) ta thu được biểu thức rút gọn của

(1.11)

cho hạt nhân có

N = Z:

3
1
2

H (r ) = t + t0 r 3 + (3t1 + 5t2 ) rt
2m
8
16

1
3
(9t1 − 5t2 )(∇r ) 2 − W0 r∇ ⋅ J
+
64
4
Trong môi trường vật chất hạt nhân:

Footer Page 16 of 16.

(1.12)


Header Page 17 of 16.
9


3
2 
∇ρρ
= ∇⋅ J,
=  π 2  k F2 , τ = k F2
5
3 

(1.13)

trong đó, kF là xung lượng Fermi. Từ (1.12) và (1.13) ta có thể thu được ngay
lập tức năng lượng liên kết trong môi trường vật chất hạt nhân
(1.14)

E H 3
3
1
3
= = TF + t0 ρρρ
+ t3 2 + (3t1 + 5t2 ) k F2
A ρ 5
8
16
80
trong đó

là động năng của hạt tại mức Fermi.

Phương trình Hartree Fock bằng cách sử dụng nguyên lý biến phân của trạng
thái đơn hạt ϕ i:

d 
d 2

E − ∑ ε i ∫ φi (r ) d 3 r  =
0

dφi 
i


(1.15)

tức là năng lượng tổng cộng E của hạt nhân không thay đổi theo sự biến thiên
của các trạng thái đơn hạt. Từ (1.9) ta có thể kết luận rằng các hàm sóng đơn hạt

ϕ i phải thoả mãn hệ các phương trình sau:

 
2
 
−∇
⋅
∇
+
U
(
r

) + Wq (r ) ⋅ (−i )(∇ × σ )  φi =
ε iφi

q
* 
2
m
(
r
)
q



(1.16)

trong đó q là điện tích của trạng thái đơn hạt i và ei là năng lượng của các trạng
thái đơn hạt. Có thể nhận thấy rằng, phương trình (1.16) có dạng phương trình
Schrodinger với một khối lượng hiệu dụng (effective mass)

chỉ phụ thuộc

vào mật độ:

1
2
2 1
(
)
(t2 − t1 ) r q

=
+
t
+
t
r
+

1
2
2mq* (r ) 2m 4
8

Footer Page 17 of 16.

(1.17)


Header Page 18 of 16.
10

Trong phương trình (1.16), thế

là một hàm phụ thuộc vào mật độ động

năng (kinetic energy density):

1  1
 1 
δ


U q (r ) = t0 1 + x0  r −  x0 +  r q  + t3 ( r 2 − r q2 )
2  4

 2 
1
1
1
− (3t1 − t2 )∇ 2 r + (3t1 + t2 )∇ 2 r q + (t1 + t2 )t
8
16
4
δ δ δ δ
1
1
δ
+ (t2 − t1 )t q − W0 (∇ ⋅ J + ∇ ⋅ J q ) + δ q ,+ 1VC (r )
2
8
2

(1.18)

trong đó VC là phần trực tiếp của thế Coulomb (1.10).
Đối với các hạt nhân có mức đóng kép (doubly-closed-shell nuclei), hàm sóng
của các trạng thái đơn hạt trong toạ độ cực có thể được phân tích thành:

R (r )

φi (r , σ ,τ ) = α Yljm (rˆ, σ ) χ q (τ )

r
trong đó Yljm (rˆ, σ ) =

∑

(1.19)

l 12 ml mS jm Ylml (rˆ) χ mS (σ )

ml mS

với chỉ số i dùng để chỉ các số lượng tử như: điện tích q, số lượng tử chính n,
moment qũy đạo l, moment góc toàn phần j, và số lượng tử từ m. Từ (1.8) ta có
thể thấy rằng mật độ nucleon

và mật độ động năng

chỉ phụ thuộc

vào toạ độ cực r và có dạng cụ thể là:

=
r (r )

1
4π r 2

1
τ (r ) =
4π

Footer Page 18 of 16.

∑ (2 jα + 1) Rα2
α

 djα  2 lα (lα + 1) 2 
(2 jα + 1) 
jα 
∑
 +
2
dr
r


α



(1.20)


Header Page 19 of 16.
11

trong đó

và

. Tương tự mật độ spin

cũng chỉ phụ

thuộc vào r:





r r r
*
J (r ) =
 ⋅ J  =2 ∑ φi l ⋅ σφi
r r r i
J (r )
=

(1.21)

1
3 2

j
j
j
l
l
Rα (r )
+

+
−
+
−
(2
1)
(
1)
(
1)
∑
α
α α
 α α
4π r 3 α
4 

Từ phương trình (1.21) kết hợp với tính chất đối xứng cầu của mật độ, ta rút gọn
số hạng spin-qũy đạo một hạt (one-body spin-orbit) còn lại trong phương trình
(1.16) về dạng phổ biến của nó:

1
1
d
(
)
(
)
(t1 − t2 ) J q (r )
W

=
r
W
r
+
r
+
q
0
q
2 dr
8

(1.22)

Hệ phương trình cuối cùng thu được hàm sóng phụ thuộc vào khoảng cách
có dạng phương trình vi phân bậc 2 như sau:

2
2mq*

2
lα (lα + 1)
 ''
 d    '
Rα (r )  −  *  Rα (r )
2
 − Rα (r ) +
r


 dr  2mq 

(1.23)


1 d  2 
+ U q (r ) +


r dr  2mq* 

1
3 

+ Wq (r )  jα ( jα + 1) − lα (lα + 1) −   Rα (r ) =
ε α Rα (r )
r
4


Hệ phương trình (1.23) được gọi là phương trình Hartree Fock phụ thuộc vào
khoảng cách r và có thể giải được dễ dàng bằng số bằng cách áp dụng thuật toán
Noumerov [8]. Các bước để giải phương trình Hartree Fock như sau [8]:

Footer Page 19 of 16.


Header Page 20 of 16.
12

1. Bắt đầu với một tập hợp các hàm sóng thử {Rα (r ), α = 1, 2,...N } (N là số
nucleon) cho các trạng thái bị chiếm (occupied states). Trong nhiều
trường hợp, có thể dùng hàm riêng (eigenfunction) của một thế WoodsSaxon chuẩn.
và khối lượng hiệu dụng

2. Xây dựng thế

.

3. Giải phương trình (1.16) để thu được một tập hợp hàm sóng thử

{Rα (r ), α = 1, 2,...N } mới.
4. Lặp lại các bước 2 và 3 tới khi đạt được điều kiện hội tụ.
1.3. Skyrme Hartree Fock + RPA
1.3.1. Phương trình RPA
Phương trình RPA được xây dựng dựa trên tập hợp của nhiều kích thích
một hạt – lỗ (particle – hole). Quá trình kích thích này được thực hiện như sau.
Các nucleon chiếm các mức dưới mức Fermi khi bị kích thích sẽ nhảy lên các
mức rỗng nằm trên cao hơn (trên mức Fermi). Sau quá trình kích thích, mức mà
nucleon chiếm trước khi kích thích sẽ hình thành một trạng thái lỗ trống (hole
state) và mức mà nucleon nhảy lên chiếm (trước đó là rỗng) sẽ xuất hiện một
trạng thái hạt (particle state) [19]. Quá trình tạo thành các trạng thái hạt – lỗ
được đặc trưng bởi toán tử sinh hạt lỗ có dạng [8]:

Qmi+ ( JM ) =∑ ( jm ji mm − mi | JM )c +jm mm (−1) ji − mi c ji mi

(1.24)

mm , mi

trong đó,

và

tương ứng là toán tử sinh và huỷ

hạt với na, la, ja, qa, và ma tương ứng là số lượng tử chính, moment góc quỹ đạo,
moment góc toàn phần, điện tích, và hình chiếu moment góc tổng cộng. Các
trạng thái chiếm (occupied) được ký hiệu bởi a = i, j,..., trong khi đó các trạng
thái không bị chiếm (unoccupied) được ký hiệu bởi a = m, n,... J là moment góc

Footer Page 20 of 16.


Header Page 21 of 16.
13

tổng cộng của hạt nhân và M là hình chiếu của J lên trục đối xứng. Trạng thái
kích thích trong RPA

thu được bằng cách tác động toán tử kích thích

trạng thái tương quan cơ bản của RPA (correlated RPA ground state)

ν = Oν+ 0

lên

:
(1.25)

trong đó

=
Oν+

−

(1.26)

∑ X νmiQmi+ ( JM ) − Ymiν Qmi ( JM )
mi

với

là trạng thái nghịch đảo thời gian của trạng thái JM;

và

tương ứng

là biên độ của quá trình kích thích hướng lên (forward amplitude) và hướng theo
chiều ngược lại (backward amplitude). Trạng thái tương quan cơ bản RPA
trong phương trình (1.25) được định nghĩa là chân không (vacuum) của toán tử
, tức là

Oν 0 = 0

(1.27)

Phương trình RPA được biểu diễn dưới dạng ma trận [19]
υ
 Xυ 
 A B  X 

  υ  = Eυ  υ 
−
−
B
A

 Y 
Y 

(1.28)

trong đó trị riêng của ma trận Eν chính là năng lượng kích thích thu được từ
RPA. Các ma trận nhỏ A và B trong phương trình (1.28) có dạng cụ thể như sau
[8]:

Footer Page 21 of 16.


Header Page 22 of 16.
14

(1.29)

Trong phương trình (1.29), εm và εi tương ứng là năng lượng của trạng thái lỗ và
hạt trong kích thích RPA; Vres là phần tương tác còn dư nằm ngoài trường trung

bình. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng trường trung bình Hartree Fock với
lực Skyrme như trình bày trong phần 1.2, do đó εm (εi) chính là lời giải của
phương trình Skyrme Hartree Fock (1.16). Dạng cụ thể của Vres (bao gồm các số
hạng phụ thuộc và không phụ thuộc vào moment xung lượng, số hạng spin-quỹ
đạo, số hạng liên quan đến tương tác Coulomb) và các yếu tố ma trận của nó phụ
thuộc vào các tham số của lực Skyrme cũng như mật độ nucleon thu được từ
trường trung bình Hartree Fock đã được trình bày chi tiết trong phụ lục A của tài
liệu [8]. Do vậy, chúng tôi không viết lại những công thức này nữa. Phương
trình RPA (1.28) được giải riêng biệt cho mỗi giá trị của moment góc và chẵn lẻ
tổng cộng Jπ. Các bước để xây dựng và giải hệ phương trình RPA sau khi đã giải
xong phương trình Hartree Fock bao gồm:
1. Với một giá trị xác định của Jπ , xây dựng tập cơ sở N chiều của các trạng
thái hạt-lỗ {mi} khả dĩ. Trong trường hợp này tất cả các trạng thái chiếm
và không chiếm nằm dưới một giá trị năng lượng ngưỡng (cutoff energy)
EC đều được tính tới. Ở đây, giá trị năng lượng ngưỡng EC được đưa ra
nhằm để giới hạn chiều của tập cơ sở cũng là chiều của các ma trận A và
B trong phương trình (1.29) bởi vì chúng ta không thể lấy hết tất cả các
trạng thái đơn hạt thu được từ phương pháp Hartree Fock được. Nếu làm
như vậy thì chiều của ma trận (1.28) sẽ rất lớn và không thể chéo hoá
được.

Footer Page 22 of 16.


Header Page 23 of 16.
15

2. Xây dựng các yếu tố ma trận A và B theo phương trình (1.29).
3. Chéo hoá ma trận (1.28) có 2N x 2N chiều.
4. Trị riêng thu được chính là năng lượng kích kích RPA và vectơ riêng

chính là các biên độ dao dộng Xν và Yν.
1.3.2. Biên độ và cường độ dịch chuyển, quy tắc lấy tổng, và mật độ dịch
chuyển
Sau khi giải xong phương trình RPA (1.28), chúng ta sẽ thu được các
trạng thái dao động (vibrational states). Các trạng thái dao động này bị kích
thích dưới tác động của trường ngoài (external field). Trường ngoài trong trường
hợp này có thể là các trường điện từ (electromagnetic) hoặc hadron (hadronic).
Có hai loại trường ngoài tổng quan là trường isoscalar (IS) và trường isovector
(IV). Đa cực bậc J (J-multipole) của một trường isoscalar và isovector ngoài
được định nghĩa thông qua các toán tử [8]:
A

FˆJIS = ∑ f J (ri )YJM (rˆi )

(1.30)

i =1
A

FˆJIV = ∑ f J (ri )YJM (rˆi )τ z (i )
i =1

trong đó, A = N + Z là số khối của hạt nhân; YJM là hàm cầu điều hoà (spherical
harmonic function). Hàm fJ(r) là bất kỳ, thông thường là hàm Bessel cầu khi
trường ngoài là trường điện từ và tỷ lệ với rJ trong giới hạn bước sóng dài (long
wavelength limit). Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn này, chúng tôi sử
dụng giới hạn bước sóng dài của hàm Bessel, do đó toán tử kích thích sẽ có
dạng:
A

1
=
FˆJM e∑ r J YJM ( rˆi ) 1 − τ z ( i ) 
2
i =1

Footer Page 23 of 16.

(1.31)


Header Page 24 of 16.
16

Trong trường hợp dao động lưỡng cực (J = 1), sau khi loại bỏ phần đóng góp
của chuyển động khối tâm (center of mass motion), toán tử kích thích điện từ sẽ
có dạng:
(1.32)

nghĩa là điện tích hiệu dụng của proton và nơtron trong trường hợp này tương
ứng bằng eN/A và –eZ/A.
Cường độ (xác suất) dịch chuyển rút gọn (recuded transition strength) từ trạng
thái kích thích cuối f xuống trạng thái ban đầu i được tính thông qua yếu tố
của toán tử

ma trận rút gọn

[7]

1

B( EJ , i → f ) =
f FˆJ i
2Ji + 1

(1.33)

2

Trong trường hợp HF + RPA, trạng thái ban đầu chính là trạng thái cơ bản
của RPA với moment góc bằng không, trong khi đó trạng thái kích cuối chính là
trạng thái kích thích . Do vậy, cường độ dịch chuyển sẽ trở thành:

B( EJ , 0 →=
ν)

∑( X

ν
mi

ν
mi

+Y

)

2

m FˆJ i

(1.34)

mi

tức là tỷ lệ với bình phương của biên độ dịch chuyển. Biên độ dịch chuyển này
có thể lớn nếu nhiều trạng thái hạt - lỗ {mi} đóng góp một cách đồng thời vào
trong tổng (1.34). Chính các dao động thập thể (collective vibration) này sẽ dẫn
tới các cộng hưởng khổng lồ sẽ được trình bày trong các phần sau của luận văn.
Hàm cường độ (strength function) chính là tổng của các cường độ dịch chuyển
nhân với hàm Delta:

Footer Page 24 of 16.


Header Page 25 of 16.
17

=
S (E)

∑ν

(1.35)

2

ν FˆJ 0 δ ( E − Eν )

Moment của hàm dịch chuyển được tính bởi:

dE E S ( E )
∫=

=
mk

k

∑ν

ν FˆJ 0

2

Eνk

(1.36)

Trong số các moment dịch chuyển (1.36) thì moment tuyến tính m1 là quan
trọng nhất bởi giá trị của nó theo quy tắc lấy tổng năng lượng (energy-weighted
sum rule – EWSR) chính bằng một nửa giá trị trung bình của giao hoán toán tử
kép

trong trường thế Hartree Fock [25]. Biểu thức tổng quát của

isoscalar m1 được tính từ phần động năng của Skyrme Hamiltonian [20]:

2 A
m (J )

=
(2 J + 1) g J
2m 4π

(1.37)

IS
1

trong đó:

gJ =

(1.38)

1
g J (r ) r (r )d 3r
∫
A
2

 df 
 f 
)  J  + J ( J + 1)  J 
g J (r=
 dr 
 r 

2

Đối với phần isovector, số hạng phụ thuộc vào vận tốc của lực Skyrme đóng góp
vào hệ số tăng cường

(enhancement factor). Do đó, ta có:

=
m1IV ( J ) m1IS ( J )(1 + κ )
với

Footer Page 25 of 16.

(1.39)