BÀI GIẢNG CHỦ ĐỀ: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ FULL LỜI GIẢI CHI TIẾT

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

PHẦN III: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
OXYZ

CHỦ ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1- Hệ trục Oxyz: Gốc tọa độ O 0; 0; 0 .

* Điểm M  xM ; y M ; z M 

 xM : hoµnh ®é

trong ®ã: y M : tung ®é
 z : cao ®é
 M
OM

xM i

yM j

zMk

* Trục tọa độ:

x
Trýc Ox: y
z

t
0
0

x
Trýc Oy: y
z

0
t
0

x
Trýc Oz: y
z

0
0
t

* Mặt phẳng tọa độ:
Mp Oxy : z

Mp(Oxz): y

0

Mp(Oyz): x

0

2- Các phép toán: Cho các vectơ a a1;a2;a3 ; b b1;b2;b3 ; k

a
a .b

b

c a1
a1.b1

b1;a2

a2.b2

b2;a 3

b3 .

ka

a 3.b3 (Tích vô hướng)

a

0

.
ka1; ka2; ka3 .

a1

2

a2

2

2

a3 .

3- Hệ quả: A x A; yA; z A ; B x B ; yB ; zB ; C xC ; yC ; zC .

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

AB

xB

x A ; yB

yA ; z B

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

zA

AB

AB

xB

xA

2

yB

yA

xM
Điểm M chia đoän thẳng AB theo tỷ số k k

MA

1

yM

k.MB

zM

2

zB

xA
1
yA
1
zA
1

zA

2

kx B
k
kyB
k
kz B
k

Hệ quả 1: Công thĀc trung điểm: Hệ quả 2: Công thĀc trọng tâm: G(xG ; yG ; zG )

xA

xI

yA

I (x I ; yI ; z I ) cûa đoän AB . yI

zA

zI

xB
2
2

yB

xG
cûa tam giác ABC . yG

zB

zG

2

xA

xB
3
yB
3
zB
3

yA
zA

xC
yC
zC

4- Góc giữa hai vectơ: a a1;a2;a3 ; b b1;b2;b3 .
Gọi

a ,b . Lúc đó:

* Đặc biệt:

a

a1b1

a .b

cos

a .b

b

a .b

a1
a1b1

0

2

a2
a2b2

2

a2b2

a 3b3

2

2

a 3 . b1

a3b3

b2

2

b3

2

0

5- Điều kiện để hai vectơ a a1;a2;a3 ; b b1;b2;b3 cùng phương:

k

\ 0 : a

a1
a2
a3

kb

kb1
a
kb2 hay 1
b1
kb3

a2
b2

a3
nÕu b1.b2.b3
b3

0

6- Tích có hướng của hai vetơ: a a1;a2;a3 ; b b1;b2;b3 .

* Công thức: ( Quy tắc: 2-3; 3-1; 1-2)

a a1 ; a 2 ; a 3
b b1;b2;b3

c

a ,b

a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2
;
;
b2 b3 b3 b1 b1 b2
a2b3

2 | THBTN – CA

b2a 3 ;a 3b1

b3a1;a1b2

b1a2

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

Tính chất:





c

c

a ,b

a

c

b

 a , b cùng phương

a ,b

 a ,b , c đồng phẳng

c . a ,b

0.
0.

7- Một số công thức cần lưu ý:

B

Diện tích tam giác ABC:



SABC

C
A

1
AB, AC
2

Diện tích cûa hình bình hành ABCD là S



D
ABCD

C

AB, AD
A

VABCD.A ' B 'C ' D '

B

A

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’:



B
D

AB, AD .AA '
B'

A'

C'

D'

Thể tích tĀ diện ABCD:



VABCD

C

1
AB, AC .AD

6

B

A

(

1
chiều cao. S đáy)
3

C
D

B – BÀI TẬP MẪU

Bài 1
Tính góc giữa véctơ a và b trong các trường hợp sau:
a) a

(4; 3;1), b

c) a

(2;1; 2), b

( 1;2; 3).

(0;

2; 2).

b) a

(2;5; 4), b

d) a

(3;2;2 3), b

(6; 0; 3).

( 3;2 3; 1).

HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi

a) cos
b) cos

là góc giĂa a và b

4 6 3
26. 14
12 0 12
45. 45

cos

5 91
182
0

a.b
a .b
arccos

5 91
;
182

900

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

3 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

0

2 2 2
2
9. 4
2
3 3 4 3 2 3

3
25. 16
4

c) cos
d) cos

1350

3
4

arccos

Bài 2
Tìm véctơ u trong các trường hợp sau:
a)

c)

a

(2; 1; 3), b

a.u
a

(1; 3;2), c

5, u.b

(2; 3;1), b

a.u

3, b.u

11, u.c

(3;2; 4)
20

(1; 2; 1), c
4, c.u

b)

( 2; 4; 3)

d)

2

a

(2; 3; 1), b

u

a, u

a

(7;2; 3), b

a.u

(1; 2; 3), c

b, u.c

6

(4; 3; 5), c

5, b.u

7, c

(2; 1;1)

(1;1; 1)

u

HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi u

x ; y; z

a.u

a) u.b

u.c

5

2x

y

3z

5

x

2

11

x

3y

2z

11

y

3

20

z

3x

20

a

u

2x

b) u

b

x

2y

4z

3y

z

0

x

2y

3z

0

y

2

z

6

z

2

2
u

6

2x

y

a.u

5

7x

2y

3z

5

x

c) u.b

7

4x

3y

5z

7

y

5

z

2

x

c

a.u
d) u.b

u.c

4 | THBTN – CA

y

z

0

2x

y

3z

5

x

2

11

x

3y

2z

11

y

3

20

z

3x

2y

4z

2;2;2

3

5

20

2; 3; 2

2

u.c

u

u

u

3;5;2

u

2; 3; 2

2

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

Bài 3
Cho hai véctơ a và b. Tìm tham số m trong các trường hợp sau:

a)

c)

a

(1; m; 1), b

a

b

a

(3; 2;1), b

(2;1; 1)

u

ma

3a

(2;1; 3)

3b, v

b)

2mb, u

d)

v

a

(1; log3 5; m), b

a

b

a

(3; 2;1), b

(2;1; 1)

u

ma

3a

3b, v

(3; log5 3; m)

2mb, u

v

HƯỚNG DẪN GIẢI
a)

b)

a

(1; m; 1), b

a

b

a

(1; log3 5; m), b

a

b

(2;1; 3)

a.b

0

(3; log5 3; m)

4

c)

a

(3; 2;1), b

(2;1; 1)

u

ma

3a

3b, v

2mb, u

v

m

2

3

a.b

0

3

m2

0

m

u

3m

v

9

u.v

m

0

1

m2

log3 5.log5 3

6; 2m
4m; 6

3; m
2m; 3

d)

(3; 2;1), b

(2;1; 1)

u

ma

3a

3b, v

2mb, u

v

2m

1

6m

27

u

3m

v

9

u, v
2m 2

6; 2m
4m; 6

19
2

0

1

m

a

3

0

m
6m 2

0

19
2

3; m
2m; 3

3
2m

0
9

0

10m 2

45

0

8m 2

60m

9

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

m
0

5 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Bài 4
Cho hai véctơ a và b. Tính tích có hướng và tích vô hướng trong cac trường hợp sau:

a)

c)

a

(1;2; 3)

b

( 4;1;2)

a

3i

2j

k

b

i

3j

k

b)

a

(0;1; 2)

b

(3; 0; 4)

a

4i

k

b

2i

j

d)

HƯỚNG DẪN GIẢI
a)

b)

c)

d)

a

(1;2; 3)

b

( 4;1;2)

a

(0;1; 2)

b

(3; 0; 4)

a

3i

2j

k

b

i

3j

k

a

4i

k

b

2i

j

a.b

4

a.b

0

2

0

8

8, a,b

3

6

1

a.b

a.b

8

8, a, b

6

0

0

7;10;9

4; 6; 3

10, a,b

8, a,b

1; 2;7

1;2; 4

Bài 5

Cho ba véctơ a, b và c. Tìm tham số m hoặc m, n để c
a) a

(3; 1; 2), b

c) a

(2; 3;1), b

(1;2; m), c

(5; 4;6), c

(5;1;7).

(m; n;1).

a, b trong các trường hợp sau:

b) a

(6; 2; m), b

(5; n; 3), c

(6; 33;10).

d) a

(0;1; m), b

(3; m; 4), c

(0; 3; n).

HƯỚNG DẪN GIẢI
a) a

a, b

(3; 1; 2), b

4

m;2

6 | THBTN – CA

(1;2; m), c

3m;7

c

a, b

(5;1;7).

4

m

2

3m

7

7

5
1

m
m

1
1
3

m

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

b) a

(6; 2; m), b

(5; n; 3), c

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

(6; 33;10).

mn

6
a, b

c) a

mn;18

6

5m;6n

(2; 3;1), b

c

10

(5; 4;6), c

a, b

c

14; 7; 7

(0;1; m), b

a, b

4

(3; m; 4), c

m 2 ; 3m; 3

6n

10

33
10

m

3

n

0

7 không có m, n

n

1

(0; 3; n).

m2

4
a, b

5m

14

7
d) a

18

(m; n;1).

m
a, b

6

c

a, b

3m

0(vn )
không có m, n

3
n

3

Bài 6
Tìm tham số m để ba véctơ a, b và c đồng phẳng trong các trường hợp sau:
a) a

(2; 1;2), b

(m; 3; 1), c

c) a

(1; 3;2), b

(m

1; m

b) a

(1;2;1).
m), c

2;1

(0; m

(1;2; 3), b

(2;1; m), c

(2; m;1).

2;2).

HƯỚNG DẪN GIẢI
a) a

a,b

(2; 1;2), b

(m; 3; 1), c

2m;6

5;2

m , c. a,b

(1;2;1).

5

4

4m

Để ba véctơ a, b và c đồng phẳng thì c. a,b
b) a

a,b
Để

c. a,b

(1;2; 3), b

2m

3; m

ba

0

(2;1; m), c

5m

6; 3 , c. a,b

0

0

m

5
5m

5

5m
0

m

1

(2; m;1).

véctơ

5

6

m2

10m

và

a, b

m2

10m

9

9

0

c

m

1

m

9

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

đồng

phẳng

thì

7 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

c) a

a,b

(1; 3;2), b

m

1;1

(m

1; m

3m;1

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

m), c

2;1

(0; m

3m 2

4m , c. a,b

2;2).

3m

Để ba véctơ a, b và c đồng phẳng thì c. a,b

0

3m 2

3m

0

m
m

0
1

Bài 7
Cho ba điểm A, B, C . Trả lời các câu hỏi sau đối với từng câu a /,b/,...
Chứng tỏ ba điểm A, B,C tạo thành một tam giác và tìm trọng tâm của tam

giác này ?
Tìm tọa độ điểm M sao cho: AM 2BA 3CM ?
Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm I của nó ?
Tính chu vi và diện tích của hình bình hành ?
Tính các số đo các góc trong ∆ABC ? Tính diện tích ∆ABC ? Tính độ dài đường
cao ?
a/ A 1;2; 3 , B 2; 2;1 , C 1; 2; 3
b/ A 1;2; 3 , B 0; 3;7 , C 12;5; 0
c/ A 3; 1;2 , B 1;2; 1 , C

1;1; 3

d/ A 4;2; 3 , B

2;1; 1 , C 3; 8;7

HƯỚNG DẪN GIẢI
a/ A 1;2; 3 , B 2; 2;1 , C
+) AB

1; 2; 3

1; 4; 2 , AC

AB, AC

2; 4; 6

Nên AB, AC không cùng phþơng

A, B,C

16;10; 12

0

không thẳng hàng và chúng täo thành một tam

giác

2 2 1
;
;
3 3 3

Trọng tâm cûa tam giác ABC là G
+) Gọi M x ; y; z

AM

2BA

AM

3CM

+) Gọi D x ; y; z

8 | THBTN – CA

DC

x

1; y

2; z

3 ,2BA

x

3

3x

3

x

y

6

3y

6

y

z

1

3z

9

z

1

x; 2

2; 8; 4 , 3CM

3x

3; 3y

6; 3z

9

3
M

0

3; 0; 4

4

y; 3

z

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

TĀ giác ABCD là hình bình hành khi DC

AB

1

x

2

y

4

y

3

z

2

z

+) Tâm cûa hình bình hành ABCD là trung điểm I cûa AC
+) AB

1; 4; 2

AB

21, BC

BC

3;0; 4

Chu vi cûa hình bình hành ABCD là 2 AB
Diện tích cûa hình bình hành ABCD là

BC

2
D

2

2;2; 1

1

I 0; 0; 0

5

2

21

162

AB, AC

x

1

5

102

( 12)2

10 5

+)Góc A trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ AB, AC

cos A

cos AB, AC

AB.AC
AB.AC

2

16 12
21. 56

13 6
42

A

arccos

13 6
42

Góc B trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ BA, BC

cos B

cos BA, BC

BABC

.
BABC
.

3

0 8
21.5

21
21

B

arccos

21
21

Góc C trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ CA,CB

cosC

cos CA,CB

CACB
.
CACB
.

Diện tích cûa tam giác ABC là

6

0 24
56.5

1
AB, AC
2

3 14
14

C

arccos

5 5

Đþờng cao AH cûa tam giác ABC là AH

2S ABC
BC

10 5
5

2 5

Đþờng cao BK cûa tam giác ABC là BK

2S ABC
AC

10 5
56

5 70
4

Đþờng cao CE cûa tam giác ABC là CE

3 14
14

2S ABC
AB

10 5
21

10 105
21

b/ A 1;2; 3 , B 0; 3;7 , C 12;5; 0

AB

1;1;10 , AC

11; 3; 3

AB, AC

Nên AB, AC không cùng phþơng

A, B,C

27;113; 14

0

không thẳng hàng và chúng täo thành tam giác

ABC
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

9 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

13 10 4
; ;
3 3 3

Trọng tâm cûa tam giác ABC là G
+) Gọi M x ; y; z

AM

2BA

AM

3CM

+) Gọi D x ; y; z

x

1; y

2; z

x

1

3x

12

y

4

3y

5

z

23

3z

12

x ;5

DC

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

3 ,2BA

13
2
1
2
23
2

x
y
z

2; 2;20 , 3CM

AB

x

1

y

1
z

1

102, BC

BC

12;2; 7

Chu vi cûa hình bình hành ABCD là 2 AB
Diện tích cûa hình bình hành ABCD là

BC

2

AB, AC

x

11

y

0

z

10

+) Tâm cûa hình bình hành ABCD là trung điểm I cûa AC

AB

5; 3z

y; z

TĀ giác ABCD là hình bình hành khi DC

1;1;10

12; 3y

13 1 23
; ;
2 2 2

M

12

+) AB

3x

I

D 11; 0; 10
10

13 7 3
; ;
2 2 2

197

102

27

197

2

1132

( 14)2

13694

+)Góc A trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ AB, AC

cos A

cos AB, AC

AB.AC
AB.AC

11 3 30
102. 139

22
14178

A

arccos

22
14178

Góc B trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ BA, BC

cos B

cos BA, BC

BABC
.
BABC
.

12 2 70
102. 197

80
20094

B

arccos

80
20094

C

arccos

117
27383

Góc C trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ CA,CB

cosC

cos CA,CB

CACB
.
CACB
.

Diện tích cûa tam giác ABC là

10 | THBTN – CA

132 6 21
139. 197

1
AB, AC
2

117
27383

13694
2

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

Đþờng cao AH cûa tam giác ABC là AH

2S ABC
BC

13694
197

Đþờng cao BK cûa tam giác ABC là BK

2S ABC
AC

13694
139

2S ABC
AB

Đþờng cao CE cûa tam giác ABC là CE
c/ A 3; 1;2 , B 1;2; 1 , C

AB

2; 3; 3 , AC

13694
102

6847

51

1;1; 3

AB, AC

4;2; 5

Nên AB, AC không cùng phþơng

9;2; 8

0

không thẳng hàng và chúng täo thành một tam

A, B,C

giác

2
Trọng tâm cûa tam giác ABC là G 1; ;
3
+) Gọi M x ; y; z

AM

2BA

AM

3CM

+) Gọi D x ; y; z

x

3; y

x

1

3x

6

x

y

5

3y

3

y

5

2
4

z

4

3z

6

z

1

DC

1

1; z

2
3

x ;1

2 ,2BA

y; 3

4; 6;6 , 3CM

x

AB

2; 1; 2

Chu vi cûa hình bình hành ABCD là 2 AB
Diện tích cûa hình bình hành ABCD là

6

BC

AB, AC

BC

2

1

y

3
z

2

z

3

+) Tâm cûa hình bình hành ABCD là trung điểm I cûa AC

22, BC

x

2

y

1
3

AB

3; 3z

z

TĀ giác ABCD là hình bình hành khi DC

2;3; 3

6; 3y

5

; 4; 1
2

M

1

+) AB

3x

I 1; 0;

D 1; 2; 0

0

1
2

3

22

( 9)2

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

3

22

82

149

11 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

+)Góc A trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ AB, AC

cos A

AB.AC
AB.AC

cos AB, AC

8

6 15
22. 45

29
990

A

arccos

29
990

arccos

7
3 22

Góc B trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ BA, BC

cos B

BABC
.
BABC
.

cos BA, BC

4

3 6
22.3

7
3 22

B

Góc C trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ CA,CB

cosC

CACB
.
CACB
.

cos CA,CB

8

2 10
45.3

16
9 5

1
AB, AC
2

Diện tích cûa tam giác ABC là

C

2S ABC
BC

149
3

Đþờng cao BK cûa tam giác ABC là BK

2S ABC
AC

149
45

d/ A 4;2; 3 , B

AB

6; 1; 4 , AC

16
9 5

149
2

Đþờng cao AH cûa tam giác ABC là AH

2S ABC
AB

Đþờng cao CE cûa tam giác ABC là CE

arccos

149
22

6847
51

2;1; 1 , C 3; 8;7

AB, AC

1;6; 4

Nên AB, AC không cùng phþơng

20;28; 37

0

không thẳng hàng và chúng täo thành một tam

A, B,C

giác
Trọng tâm cûa tam giác ABC là G

5 11
; ;3
3 3

+) Gọi M x ; y; z

AM

2BA

AM

3CM

+) Gọi D x ; y; z

12 | THBTN – CA

DC

x

4; y

2; z

3 ,2BA

x

8

3x

3

x

y

3y

8

z

5

3z

3

x ;8

y

11
2
4

7

z

6

y;7

z

12;2; 8 , 3CM

M

3x

3; 3y

8; 3z

7

11
; 4;6
2

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

TĀ giác ABCD là hình bình hành khi DC

AB

3

x

6

x

9

8

y

1

y

9

7

z

4

z

11

+) Tâm cûa hình bình hành ABCD là trung điểm I cûa AC
+) AB

6; 1; 4

AB

53, BC

BC

5;7;8

Chu vi cûa hình bình hành ABCD là 2 AB
Diện tích cûa hình bình hành ABCD là

BC

7
;5;5
2

138

2

AB, AC

I

D 9;9;11

53

138

( 14)2

282

( 37)2

9 29

+)Góc A trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ AB, AC

cos A

cos AB, AC

AB.AC
AB.AC

8

6 16
53. 53

14
53

A

arccos

14
53

Góc B trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ BA, BC

cos B

cos BA, BC

BABC
.
BABC
.

30

7 32
53. 138

69
7314

B

arccos

69
7314

C

arccos

69
7314

Góc C trong tam giác ABC là góc giĂa hai vec-tơ CA,CB

cosC

cos CA,CB

CACB
.
CACB
.

Diện tích cûa tam giác ABC là

5

42 32
53. 138

1
AB, AC
2

69
7314

9 29
2

Đþờng cao AH cûa tam giác ABC là AH

2S ABC
BC

9 29
138

Đþờng cao BK cûa tam giác ABC là BK

2S ABC
AC

9 29

53

Đþờng cao CE cûa tam giác ABC là CE

2S ABC
AB

9 29
53

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

13 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Bài 8
Cho bốn điểm A, B, C , D . Trả lời các câu hỏi sau đối với từng câu a /,b/,...
Chứng minh A, B, C , D là bốn đỉnh của tứ diện đó ? Tìm tọa độ trọng tâm
của tứ diện ? Tính thể tích của tứ diện này ?
Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD ?
Tính diện tích tam giác BCD ? Từ đó suy ra đường cao tứ diện vẽ từ A ?
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm D trên mp(ABC) ?
Tìm điểm M sao cho: MA 2MB 2MC 3MD
a/ A 1; 0;1 , B  1;1; 2  , C  1;1; 0  , D  2; 1; 2  .

0?

b/ A  2; 5; 3 , B 1; 0; 0  , C  3; 0; 2  , D  3; 1; 2 .
c/ A 1; 0; 0  , B  0;1; 0  , C  0; 0;1 , D  2;1; 1 .
d/ A 1;1; 0 , B 0;2;1 , C 1; 0;2 , D 1;1;1 .
HƯỚNG DẪN GIẢI
a/

A 1; 0;1 , B  1;1; 2  , C  1;1; 0  , D  2; 1; 2  .

+) A, B, C , D là 4 đînh cûa hình tĀ diện

AB

2;1;1 , AC

AB, AC .AD

2

2;1; 1 , AD
4

0

2

AB, AC , AD không đồng phẳng

AB, AC

1; 1;1

2; 4;0

AB, AC , AD không đồng phẳng

0

1 5
+) G 0; ; là trọng tâm cûa tĀ diện
4 4
+) Thể tích cûa tĀ diện là

1
AB, AC .AD
6

+) Góc täo bởi cänh AB,CD là góc
Xét cos AB,CD

AB.CD
AB.CD

1

6

2 2
6. 17

Vậy täo bởi cänh AB,CD là góc

AC .BD
AC .BD

arccos

1

+) Góc täo bởi cänh AC , BD là góc
Xét cos AC , BD

6
17

cos

6
17

1

6
17

2

6

2 2

6. 13

Vậy täo bởi cänh AC , BD là góc

2

+) Góc täo bởi cänh AD, BC là góc

3

14 | THBTN – CA

1
3

arccos

6
13

cos

2

6
13

6
13

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

AD.BC
AD.BC

Xét cos AD, BC

0

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

0 2
3.2

Vậy täo bởi cänh AD, BC là góc

1
3

arccos

3

1
BC , BD
2

+) Diện tích tam giác BCD là

1
3

3

1
3

1 2
4
2

62

13

1
3
13

3.

3VABCD
S BCD

+) Đþờng cao tĀ diện kẻ tÿ A là AK

cos

1
13

+) Gọi H x ; y; z là hình chiếu cûa D trên ABC . Khi đó: DH
DH .AB

0

DH .AC

0

2x

AB, AC .AH

+) Gọi M a;b;c

0

MA

2MC

MA

2MB

3

y

z

7

x

2y

1

0

a; b;1

2a; 2

2

z

2x

1

2MC

y

3MD

2MB

2MC

8a; 3

0 thì

3MD

3

8b
8c

2a;2

2
6

8b;11
8a

11

b/

z

c ,2MB

7

Để MA

y

0

2b; 2c , 3MD
7

11
5
3
5
2

x

0

ABC và H

H

11

;
5

2b; 4

2c

3a; 3

ABC

3
;2
5

3b;6

3c

M

7
;
8

8c
a

0

b

0
0

c

7
8
3
8
11
8

3 11
;
8 8

A  2; 5; 3 , B 1; 0; 0  , C  3; 0; 2  , D  3; 1; 2  .

+) A, B, C , D là 4 đînh cûa hình tĀ diện

AB

1; 5;3 , AC

AB, AC .AD
+) G

50

1; 5;1 , AD
24

50

AB, AC , AD không đồng phẳng

5; 6;5

24

0

AB, AC

10;4;10

AB, AC , AD không đồng phẳng

3
3
;1;
là trọng tâm cûa tĀ diện
4
4

+) Thể tích cûa tĀ diện là

1

AB, AC .AD
6

+) Góc täo bởi cänh AB,CD là góc
Xét cos AB,CD

AB.CD
AB.CD

6

4

1

5 12
35. 53

11
1855

cos

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

1

11
1855

15 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

Vậy täo bởi cänh AB,CD là góc

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

+) Góc täo bởi cänh AC , BD là góc

AC .BD
AC .BD

Xét cos AC , BD

arccos

1

2

4 5 2
27. 21

Vậy täo bởi cänh AC , BD là góc

2

+) Góc täo bởi cänh AD, BC là góc

3

AD.BC
AD.BC

Xét cos AD, BC

10

Vậy täo bởi cänh AD, BC là góc
+) Diện tích tam giác BCD là

11
1855

7
21

arccos

cos

7
21

0 10
86. 8

5

43

1
BC , BD
2

1
( 2)2
2

3VABCD
S BCD

+) Đþờng cao tĀ diện kẻ tÿ A là AK

cos

5
43

3

5
43

arccos

3

7

21

2

42

4
6

22

6

2 6
3

+) Gọi H x ; y; z là hình chiếu cûa D trên ABC . Khi đó: DH
DH .AB

0

x

5y

3z

DH .AC

0

x

5y

z

AB, AC .AH

+) Gọi M a;b;c

MA

2MC

MA

2MB

10x

0

2MC

2

6

a;5

4y

4

11

0

c/

2MB

2MC

3MD

0

z

c ,2MB

2c , 3MD
8b;7
8a

11

Để MA

y

10

8a;2

17
9
5
9
28
9

x

0

10z

b; 3

2a; 2b;4

3MD

14

8b

0

7

8c

0

H

2

2a; 2b; 2c

9

3a; 3

3b;6

17
;
9

ABC

5 28
;
9 9

3c

8c
0

0 thì 2

ABC và H

11
8

a
b
c

1
4
7
8

M

11 1 7
; ;
8 4 8

A 1; 0; 0  , B  0;1; 0  , C  0; 0;1 , D  2;1; 1 .

+) A, B, C , D là 4 đînh cûa hình tĀ diện

AB

1;1;0 , AC

16 | THBTN – CA

1;0;1 , AD

3;1; 1

AB, AC , AD không đồng phẳng

AB, AC

1;1;1

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

AB, AC .AD
+) G

3

1

1

3

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

AB, AC , AD không đồng phẳng

0

1 1
; ; 0 là trọng tâm cûa tĀ diện
4 4

+) Thể tích cûa tĀ diện là

1
AB, AC .AD
6

+) Góc täo bởi cänh AB,CD là góc

AB.CD
AB.CD

Xét cos AB,CD

2

1

1 0
2.3

Vậy täo bởi cänh AB,CD là góc

AC .BD
AC .BD

2

0 1
2. 5
2

+) Góc täo bởi cänh AD, BC là góc

3

AD.BC
AD.BC

0

10
5

arccos

1 1
11. 2

Vậy täo bởi cänh AD, BC là góc
+) Diện tích tam giác BCD là

cos

1
2

1

1

1
BC , BD
2

cos

10
5

2

10
5

2
11

arccos

3

cos

2
11

3

2
11

1 2
1
2

( 2)2
1
2
3
2

3
2

22

3.

3VABCD
S BCD

+) Đþờng cao tĀ diện kẻ tÿ A là AK

1

+) Gọi H x ; y; z là hình chiếu cûa D trên ABC . Khi đó: DH
DH .AB

0

x

y

3

0

x

DH .AC

0

x

z

1

0

y

2

x

y

z

1

z

0

AB, AC .AH

+) Gọi M a;b;c

MA

2MC

MA

2MB

0

2MC

1

0

a; b; c ,2MB

2a; 2b; 2
3MD

450

2

Vậy täo bởi cänh AC , BD là góc

Xét cos AD, BC

1
2

450

1

+) Góc täo bởi cänh AC , BD là góc
Xét cos AC , BD

1
2

5

8a;5

8b; 5

ABC

1

2a;2

2c , 3MD

ABC và H

6

H

1;2; 0

2b; 2c

3a;3

3b; 3

3c

8c

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

17 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

8a

5
Để MA

2MB

2MC

0 thì 5

3MD

0

8b

5
8

b

0

8c

5

5
8

a

0

M

5 5
; ;
8 8

5
8

5
8

c

d/ A 1;1; 0 , B 0;2;1 , C 1; 0;2 , D 1;1;1 .
+) A, B, C , D là 4 đînh cûa hình tĀ diện

AB

1;1;1 , AC

AB, AC .AD
+) G

0

0; 1;2 , AD
0

1

1

AB, AC , AD không đồng phẳng

AB, AC

0;0;1

3;2;1

AB, AC , AD không đồng phẳng

0

3
;1;1 là trọng tâm cûa tĀ diện
4

+) Thể tích cûa tĀ diện là

1
AB, AC .AD
6

+) Góc täo bởi cänh AB,CD là góc
Xét cos AB,CD

AB.CD
AB.CD

0

Vậy täo bởi cänh AB,CD là góc

1

1 1

3. 2

AC .BD
AC .BD

0

1 0
2. 5
2

+) Góc täo bởi cänh AD, BC là góc

3

AD.BC
AD.BC

0

1

1. 6

1

0

cos

10
10

6
6

cos

3

12

12

6
6

1 2
1
2

3VABCD
S BCD

2

1
6
3
2

3.

1
3

+) Gọi H x ; y; z là hình chiếu cûa D trên ABC . Khi đó: DH

18 | THBTN – CA

900

1

10
10

6
6

arccos

3

1
BC , BD
2

+) Đþờng cao tĀ diện kẻ tÿ A là AK

10
10

arccos

0

Vậy täo bởi cänh AD, BC là góc
+) Diện tích tam giác BCD là

cos

2

Vậy täo bởi cänh AC , BD là góc

Xét cos AD, BC

0

900

1

+) Góc täo bởi cänh AC , BD là góc
Xét cos AC , BD

1
6

3
2
3
3

ABC và H

ABC

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

DH .AB

0

x

y

DH .AC

0

y

2z

AB, AC .AH

+) Gọi M a;b;c

MA

2MC

MA

2MB

Để MA

2MB

3x

0

2MC

z

1
1

2y

0

y

0
z

5

2a; 2b; 4

3MD

0

z

3MD

8b;1

H

11 6 13
; ;
14 7 14

2a; 4

2b;2

2c

3

3a;3

3b;3

2c , 3MD

8a;8

2

11
14
6
7
13
14

x

a;1 b; c ,2MB

1

2

2MC

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

3c

8c

2

8a

0

a

0 thì 8

8b

0

b

1

8c

0

c

1
4
1
1
8

M

1 1
;1;
4 8

Bài 9
Cho hình hộp ABCD.A B C D . Trả lời các câu hỏi sau cho đối với từng câu a/, b/,……
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại ?
Tính thể tích của hình hộp đã cho ?
a/ A 0; 0;1 , B 0;2;1 , D 3; 0;1 , A 0; 0; 0 .
b/ A 0;2;2 , B 0;1;2 , C

1;1;1 , C 1; 2; 1

c/ A  2; 5; 3 , B 1; 0; 0  , C  3; 0; 2  , A  3; 1; 2 .
d/ A 1; 0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 , C 4;5; 5 .
HƯỚNG DẪN GIẢI
a/ A 0; 0;1 , B 0;2;1 , D 3; 0;1 , A 0; 0; 0 .
+) BB '
DD '
A 'C '
CC '

AA'
AA'
A'B'
AA'

+) A'B', A ' D '

B ' 0;2; 0
D ' 3; 0; 0

A' B '
A' D '

3; 0; 0

C ' 3;2; 0

A'D'
C 3;2;1

0; 0; 6 , A ' A

Thể tích cûa khối hộp là V
b/ A 0;2;2 , B 0;1;2 , C
+) CC '

0;2; 0 ;

0; 0;1

A'B', A ' D ' .A ' A

6

1;1;1 , C 1; 2; 1

2; 3; 2 , AA'

CC '

A ' 2; 1; 0 ;

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

19 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BB '

CC'

AB

0; 1; 0 , DC

DD'

CC '

+) AB

B ' 2; 2; 0
D

AB

1;2;1

D ' 1; 1; 1

0; 1; 0 , AD

AB, AD

1; 0; 1

Thể tích cûa khối hộp là V
c/

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1; 0; 1 , AA '

AB, AD .AA '

2; 3; 2

4

A  2; 5; 3 , B 1; 0; 0  , C  3; 0; 2  , A  3; 1; 2  .

+) AA '
AA '

C'

CC'

AA '

+) AB

4; 6;5 ;

B'

2; 6; 3

1; 5; 3 , DC

AB
DD'

BB '

5; 6;5 , AA'

D'

D 4;5; 5

AB

1; 1; 0

1; 5; 3 , AD

AB, AD

2; 0; 2

Thể tích cûa khối hộp là V

10; 4;10 , AA '

AB, AD .AA '

5; 6;5

24

d/ A 1; 0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 , C 4;5; 5 .
+) AB

1;1;1 , DC

AA '

CC'

A ' 3;5; 6

BB'

CC'

B ' 4;6; 5

DD'

CC '

+) AB

C 2; 0;2 ;

AB

D ' 3; 4; 6

1;1;1 , AD

0; 1; 0

Thể tích cûa khối hộp là V

AB, AD

1; 0; 1 , AA '

AB, AD .AA '

2;5; 7

9

Bài 10
Cho tứ diện ABCD với A 2;1; 1 , B 3; 0;1 , C 2; 1; 3 và D

Oy . Biết thể tích của tứ

diện ABCD bằng 5 (đvtt ) . Tìm tọa độ đỉnh D ?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi D 0; y; 0

AB

Oy

1; 1;2 ; AC

AD

0; 2;4

Thể tích tĀ diện ABCD là V

20 | THBTN – CA

2; y

1;1

AB, AC

0; 4; 2

1
AB, AC .AD
6

4y

2
6

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

Để thể tích tĀ diện ABCD bằng 5 (đvtt ) thì
4y

2

5

6

2

4y

2

4y

y

30
30

y

D(0; 7; 0)

7
8

D(0; 8; 0)

Bài
11
Cho các điểm: A 1;1; 1 , B 2; 0; 0 , C 1; 0;1 , D 0;1; 0 , S 1;1;1 .

a/ Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật ? b/ Chứng minh: S (ABCD) ?
c/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD ? Suy ra khoảng cách từ S đến mặt phẳng
(ABCD) ?

HƯỚNG DẪN GIẢI
a) ChĀng minh: ABCD là hình chĂ nhật ?
AB
1; 1;1 , AD
1; 0;1 , DC
1; 1;1
tĀ giác ABCD là hình bình hành (1)
AB DC
và AB.AD 0 A 900 (2)
Tÿ (1) và (2)
ABCD là hình chĂ nhật
b) ChĀng minh: S (ABCD) ?
AB

1; 1;1 , AD

AB, AD

S

1; 0;1 , AS

0; 0;2

1; 2;1 , AB, AD .AS

2

0 nên A, B, D, S không đồng phẳng hay

(ABCD)

c) Thể tích khối chóp S .ABCD là VS .ABCD
Diện tích hình chĂ nhật ABCD là SABCD

1
AB, AD .AS
6
AB.AD
3. 2
6

2VS .ABD

Khoâng cách tÿ S đến mặt phẳng (ABCD) là SH

2.

3VS .ABCD
S ABCD

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

2
6

2
3
6
3

21 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

C– BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trong hệ tọa độ Oxyz

Câu 1.

v

2a

cho các vectơ a

(1;2; 3); b

( 1; 3; 4) . Vectơ

( 2; 4;1); c

5c có toä độ là:

3b

A. 7; 3; 23

B. 7; 23; 3

C. 23; 7; 3

D. 3; 7; 23

HƯỚNG DẪN GIẢI

2a

3b

(2; 4;6);

(6; 12; 3);5 c

Trong không gian

Câu 2.

m

a

v

( 5;15;20)

2a

cho ba vectơ

Oxyz

3b

5c

Đáp án D

3;7;23

a 1; 1;2 ,b 3; 0; 1 , c

2;5;1 , vectơ

c có tọa độ là

b

A. 6; 6; 0 .

B.

6;6; 0 .

C. 6; 0; 6 .

D. 0;6; 6 .

HƯỚNG DẪN GIẢI

a 1; 1;2 ,b 3;0; 1 , c 2; 5; 1

m

a

b

c

1

3

2; 1

0

5;2

1

1

6; 6;0

Đáp án A
Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a

Câu 3.

cûa vectơ n
A. n

a

b

6;2;6 .

2c

B. n

(1;2; 3),b

( 2; 0;1), c

( 1; 0;1) . Tìm tọa độ

3i
6;2; 6 .

C. n

0;2;6 .

D. n

6;2; 6 .

HƯỚNG DẪN GIẢI
a

(1;2; 3),b

n

a

b

( 2; 0;1),2c

( 2; 0;2), 3i

2c

2

3i

1

2

3;2;3

3; 0; 0

1

Trong không gian Oxyz, cho a

Câu 4.

n
A. n

5a

6b

4c

5;7;2 ,b

6;1; 1 . Tọa độ cûa vecto

3; 0; 4 , c

3i là:
B. n

16; 39; 30

6;2;6 . Đáp án A

2

C. n

16; 39;26

16; 39;26

D. n

16; 39; 30

HƯỚNG DẪN GIẢI
5a

n

25; 35;10 , 6b

5a

Câu 5.

6b

4c

18; 0;24 , 4c

3i

24; 4; 4 , 3i

3; 0; 0

16;39;30 Đáp án A:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ a
thỏa hệ thĀc a

22 | THBTN – CA

2c

(5; 4; 1), b

(2; 5; 3) và c

b . Tọa độ c là:
SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG

A.

3; 9; 4

B.

3 9
; ; 2
2 2

(1;

5 3
; ) a
2 2 ;

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

3 9
;
;2
2 2

C.

D.

3
;
4

9
;1
4

HƯỚNG DẪN GIẢI

1
a
2

5
1 1
; 2; ), b
2
2 2

(

2c

b

c

1
b
2

1
a

2

3 9
;
;2 . Đáp án C
2 2

Trong không gian với hệ trýc tọa độ Oxyz cho các vectơ a

Câu 6.

điểm A 0;2;1 tọa độ điểm M thỏa mãn: AM
A. M

B. M 3; 2;1

5;1;2

2a

1;1

3; 0; 1 và

2;b

b là :

C. M 1; 4; 2

D. M 5; 4; 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

2a

2;2

b

4 ;

A 0;2;1 , M x; y; z

Tÿ (1) và (2)

AM

3;0;1
AM

x

5

y

2

z

1

x; y

2

2; z

x

5

y

4

z

3

2a

b

5;2; 3 (1)

1 2

M 5; 4; 2 Đáp án D

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto AO

Câu 7.

3 i

4j

2k

5 j . Tọa độ cûa

điểm A là
A. 3, 2, 5

B.

C. 3,17, 2

3, 17,2

D. 3, 5, 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

3i

3;0;0 ,17 j

OA

A

3; 17;2

0;0; 2

AO

3i

17 j

2k

3;17; 2

3; 17;2 . Đáp án B

Trong không gian với hệ tọa độOxyz cho tam giác OAB

Câu 8.

OB

A. G

0;17;0 , 2k

2i

j

có OA

i

j

,

k . Tọa độ trọng tâm G cûa tam giác OAB có tọa độ là:

3
1
; 0;
2
2

B. G 1; 0;

1
3

C.G(3;0; 1)

D. G

1

; 0;
3

1
3

HƯỚNG DẪN GIẢI
OA

i

j

A 1; 1; 0

ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM

23 | THBTN


TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG

OB

2i

j

k

BÀI GIẢNG: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

B 2;1; 1

Trọng tâm G cûa tam giác OAB

1
. Đáp án B
3

G 1; 0;

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A, B,C thỏa: OA

Câu 9.

OC
I AB

3i
1,1, 4

2i

j

3k ; OB

2j

k với i; j ; k là các vecto đơn vị. Xét các mệnh đề:

;

II AC

i

2j

k;

1,1,2

Khẳng định nào sau đåy đúng?
A. Câ (I) và (II) đều đúng

B. (I) đúng, (II) sai

C.Câ (I) và (II) đều sai

D. (I) sai, (II) đúng

HƯỚNG DẪN GIẢI Câ 2 đều sai kí hiệu toä độ. Đáp án C
Câu 10. Trong không gian với hệ toä độ Oxyz , cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) .

Tìm tọa độ trọng tåm cûa tam giác ABC:
A . G 6; 3;6

B. G 4;2; 4

C. G

4; 3; 4

D. G 4; 3; 4

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 11. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 4;2), B( 3;2;1),C (3; 1;4) . Khi đó

trọng tåm G cûa tam giác ABC là:

1
7
; 1;
3
3

A. G

B. G 3; 9;21

C. G

1
7
; 1;
2
2

1
;
4

D. G

1 7
;
4 5

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 12. Trong không gian Oxyz cho vectơ a

A.

6.

B. 2

i

j

2k , độ dài vectơ a là:

C.

6.

D. 4

HƯỚNG DẪN GIẢI

a

i

j

2k

a

a

1; 1;2

6 Đáp án A

Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;2; 0 , B 1; 0; 1 . Độ dài đoän thẳng AB

bằng?
A. 2

B.

2

C. 1

D.

5

HƯỚNG DẪN GIẢI
24 | THBTN – CA

SƯU TẦM & BIÊN SOẠN THẦY TRẦN TÀI: 0977.413.341


TI LIU HC TP TON 12 CHT LNG

A 1;2; 0 , B 1; 0; 1

AB

BI GING: TA KHễNG GIAN OXYZ

5 . ỏp ỏn D

AB

0; 2; 1

Cõu 14. Trong khụng gian Oxyz, khoõng cỏch gia hai im M 1; 1; 3

v N

2; 2; 3

bng
A. MN

B. MN

4

C. MN

6

D. MN

3 2

5

HNG DN GII

M 1; 1; 3 , N

MN

2; 2; 3

2

1; 2

MN

1;0

MN

6 . ỏp ỏn B

Cõu 15. Trong khụng gian Oxyz cho ba im A 1; 0; 3 , B 2; 4; 1 ,C 2; 2; 0 . di cỏc cọnh

AB, AC , BC cỷa tam giỏc ABC lổn lỵt l
A.

21, 14, 37 .

B.

11, 14, 37 .

C.

21, 13, 37 .

D.

21, 13, 35 .

HNG DN GII

A 1; 0; 3 , B 2; 4; 1 ,C 2; 2; 0
AC

AC

1; 2; 3

AB

14, BC

AB

1; 4;2

0; 6;1

BC

21
37

ỏp ỏn A
Cõu 16. Trong khụng gian Oxyz, cho A 2; 1;6 , B

A.Tam giỏc thỵng

B.Tam giỏc cõn

3; 1; 4 , C 5; 1; 0 . Tam giỏc ABC l:

C.Tam giỏc u

D.Tam giỏc vuụng

HNG DN GII
A 2; 1;6 , B
AC

3; 1; 4 , C 5; 1; 0
AC

3; 0; 6

AB 2

ABC

AC 2

AC 2

45

AB

45, BC

AB

5; 0; 10

8; 0; 4

BC

125

80

AB 2

BC 2

125

80

Tam giỏc ABC vuụng tọi C. ỏp ỏn D

BC 2

Cõu 17. Trong h trýc Oxyz , M l hỡnh chiu vuụng gúc cỷa M 3;2;1 trờn Ox thỡ M' cú

toọ l:
A. 0; 0;1

B. 3; 0; 0

C.

3; 0; 0

D. 0;2; 0

HNG DN GII

M ' x ; 0; 0

MM'.i

Ox l hỡnh chiu vuụng gúc cỷa M 3;2;1 trờn Ox

0

3

x

0

x

3

M ' 3;0;0

ADMIN TRN VN TI 0977.413.341 - TON HC BCTRUNGNAM

25 | THBTN