Bài thao giảng cấp tỉnh: Hệ trục tọa độ trong không gian

Nhiệt liệt chào mừng
quý thầy cô và các em học sinh
về dự giờ thao giảng hôm nay.

Thực hiện:Gv Nguyễn Văn Phong.

Trờng THPT Hà Băc.


Kiểm tra bài cũ:
Câu 1: Em hÃy nêu định nghĩa trục toạ độ?
Câu 2: Em hÃy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?
Trả lời:
Câu1: Trục toạ độ là một đờng thẳng trên đó đà xác định

một điểm O gọi là điểm gốc và một véc tơ đơn vị i.

Ký hiệu: (O; i )
x


i

O I


Ta lấy điểm I sao cho OI i .

x

Tia OI còn đợc ký hiệu là Ox,tia đối của Ox là Ox. Khi đó trục (O; i),

còn gọi là trục xOx hay trục Ox.


Kiểm tra bài cũ:
Câu 2: Em hÃy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ trong mặt phẳng?
r r Trả lời:
r
r
O
;
i
,
j
Hệ trục toạ độ
gồm hai trục O; i và O; j vuông
góc với
r
nhau. Điểm gốc O của hai trục gọirlà gốc toạ độ. Trục O; i gọi là
trục hoành, kí hiệu lµ Ox. Trơc O; j gäi lµ trơc tung, kÝ hiệu là Oy.

(

)

( ) ( )

( )

( )

r r
rr
Các vectơ i, j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy vµ i = j = 1 .
rr
Oy lµ trơc tung
Hệ trục toạ độ O; i, j còn đợc kí hiệu là Oxy.

(

)

y

Chú ý: Mặt phẳng trên đó đÃ
cho một hệ trục toạ độ Oxy đợc
gọi là mặt phẳng Oxy
Điểm O là gốc
toạ độ


j
i

o

x
Ox là trục
hoành

ChươngưIII
Phơng pháp toạ độ trong không gian

Hệ toạ độ trong không gian
Phơng trình mặt phẳng
Phơng trình đờng thẳng

Trụ sở liên hợp quốc tại New York


1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Hệ toạ độ : Định nghĩa (SGK)
Ký hiệu: Oxyz.
+) Điểm O đợc gọi là gốc toạ độ .
+) Trục xOx đợc gọi là trục hoành.
+) Trục yOy đợc gọi là trục tung.
+)
Trục zOz
r đợc gọi là trục cao.

zOxOz là trục cao

Điểm O là
gốc toạ độ

z

r
k

r
+) i, j , k là ba véc tơ đơn vị ®«i mét
vu«ng gãc, ta cã:

r2 r 2 r 2
rr r r rr
i = j = k = 1 , i. j = j .k = k .i = 0

y’


i

O

x’

r
j
z’

x

+) C¸c mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

+) Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn
đợc gọi là không gian Oxyz.
xOxOx lµ trơc hoµnh

y’OxOy lµ trơc tung

y


1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
1) Hệ toạ độ
Hoạt động 1: Trong không gian Oxyz cho một điểm
HÃy phân
M.
tích vectơ OM theo ba vectơ không đồng phẳng i , j, k đà cho trên
các các trục Ox; Oy; Oz.
Lời giải
z
Gọi K, H, N lần lợt là hình chiếu của M
N z
lên các trục Ox, Oy, Oz.

Ta cã  OM OE
  ON

uuu

r
uuur
u
uuOK
r 
 OE  OH
 OM
BiĨu
OK diƠn
 x.i, OH theo
 y. j ,OE
ONvµ
zON
.k ?
diƠn:
u
uu
r
uuur
uuru
u
r
BiĨu



r
r
r
u

u
u
r
u
u
r
OE
BiĨu
diƠn
theoi,OK
vµ OH ?
+
)OK
ir ?theo
j,k?
theo
OM
BiĨu
diƠn
VËy OM
OK

OH
ON
uuur
 j ?
+) OH theo
uxuu
.ri  y. j r z.k
+) ON

theo k ?

M
k
O
i
K
x

x

H
y

j
E

y


1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
2) Toạ độ của một điểm.

OM x.i  y. j  z.k

§N: Bé ba sè thùc (x;y;z) thoả mÃn
gian
Oxyz
cho
gọi là Trong
toạ độkhông
của
điểm
với
hệcó
trục toạ độ Oxyz.
Với
bộ
3Msố
(x;
y; z)
đối

i, j , k M thoả
điểm M và
3 nhiêu
vectơ
Viết M(x;y;z)
hoặc
M=
(x;y;z).
z

bao
điểm




không đồng
bao
OM Có
x.i
y. j z.k ?
mÃnphẳng.
N z
nhiêu bộ 3 số (x;
y; z)
thoả
Nhận xét: x; y;
z là toạ độ
tơng ứng của các
OM

x
.
i

y
.
j

z

.k ?
mÃn:
điểm K; H; N. Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz

O
i
K
x

x

M

k

H
y

j
E

y


1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
2) Toạ độ của một điểm.

Ví dụ1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz





a) Cho OM 2i  5 j  k , ON 2k j
Xác định toạ độ của các điểm M, N?

b) Cho ®iĨm M(-2; 0; 0), N(0; -2; 1), P(-3; 2; 1)


HÃy biểu thị OM, ON và OP theo các vectơ đơn vị?
Giải:
a) M(2;5;-1);






ON 2.k j 0. i  1. j  2.k

VËy N(0;-1;2)

 
 


 

b) OM  2 i , ON  2 j  k , OP  3 i  2 j  k .


1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
Em hÃy nêu định lý về
biểu diễn một vectơ theo
3 vectơ không đồng
phẳng?


Đ.án: Trong không gian cho 3 vectơ a, b, c không đồng phẳng.

Khi đó với mọi vectơ x ta đều đ ợc bộ 3 sè m, n, p sao cho

  
x =ma+nb+pc. Ngoµi ra bé 3 sè m, n, p lµ duy nhÊt.


1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
3. Toạ độ của véc tơ

Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho vectơ a, khi đó luôn tån t¹i duy nhÊt bé 3 sè (a1 ; a 2 ;a 3 )
 




sao cho a= a1 i + a 2 j + a 3 k. Ta gäi bé 3 sè (a1 ; a 2 ;a 3 ) lµ toạ độ của vectơ a đối với


hệ toạ độ Oxyz. ViÕt a=(a1 ; a 2 ;a 3 ) hc a(a1 ; a 2 ;a 3 )
Nhận xét:


)Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M là toạ độ của vect¬ OM.

Ta cã: M= (x;y;z)  OM = (x;y;z).



) i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)

) 0 (0;0;0).


1

Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.
3. Toạ độ của véc tơ

Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình
hộp
chữ nhËt
ABCD.A’B’C’D’
 cã
 ®Ønh
 A trïng víi gèc O, cãAB , AD, AA ' theo thø tù
i, j , kvµ cã AB = a, AD =b, AA’ = c. H·y tÝnh toạ độ
cùng hớng với

các vectơ AB, AC, AC ', AM với M là trung điểm của CD.
Giải: Ta cã:


 
 


) AB ai, AD bj , AA ' c k  AB  a;0;0  .
  

) AC  AB  AD ai  b j  AC  a; b;0  .

A’



z

  





) AC '  AB  AD  AA ' ai  b j  c k  AC '  a; b; c  .
B’
     
) AM  AD '  D ' M AD  AA '  D ' M
c
 
 1

 1
A
AD  AA '  AB b j  c k  ai.
a O
2
2


1

 AM  a; b; c  .
2


B
x

D’

C’

M

D

b

y
C


1

Hệ toạ độ trong không gian

Kiến thức cũ


a (a1; a 2 ), b (b1;b 2 )
Trong mặtphẳng
với hệ trục toạ độ Oxy cho
Ta có: 1) a b(a1 b1; a 2  b 2 )
2) a  b (a1  b1; a 2  b 2 )

3) k.a (ka1; ka 2 ), k  
 
a1 b1
4) a b  
a 2 b 2

  

5) Víi b 0, a cïng ph ¬ng b  k   : a 1 kb1 ,a 2 kb 2 .
6) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ Oxy cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) th×
  
 AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ).

xA + xB yA + yB
 Toạ độ trung điểm M của AB: M(
;
)
2
2


1

Hệ toạ độ trong không gian

II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai
 
vect¬
Ta cã: 1) a  b (a1  b1; a 2  b 2 ;a 3  b 3 ).
 
2) a  b (a1  b1; a 2  b 2 ;a 3  b 3 ).

3) ka (ka1; ka 2 ;ka 3 ), k  
HÖ qu¶:
a b



a (a1 ; a 2 ;a 3 ), b (b1;b 2 ;b3 )


1
   1
1) a b  a 2 b 2
a b
3
  3

2) Víi b 0, a cïng ph ¬ng b  k   : a 1 kb1 ,a 2 kb 2 ,a 3 kb 3.
3)Trong k/g víi hƯ Oxyz cho A(x A ; y A ;z A ), B(x B ; y B ;z B ) th×
  
) AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ).

+) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là : M(

x A x B yA  yB zA  z B
;
;
)
2
2
2


1

Hệ toạ độ trong không gian

Củng cố: Qua bài học cần nắm đợc các kiến thức trọng tâm sau:
I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

1) Định nghĩa hệ toạ độ
2)Toạ độ của một điểm.
Bộ
ba số thực
(x;y;z)
 tho¶ m·n
OM  x.i  y. j  z.k
gäi là toạ độ của điểm M đối với hệ
trục toạ độ Oxyz. Viết M(x;y;z) hoặc
M = (x;y;z).
3) Toạ độ của vÐc t¬

r
r
a = ( a1 ; a2 ; a3 ) Û a(a1 ; a2 ; a3 )
r
r
r
r
Û a = a1 i + a2 j + a3 k

II- BiĨu thøc to¹ độ của các phép toán vectơ
Định lý:Trong không gian
Oxyz cho hai vect¬

a (a1; a 2 ;a 3 ), b (b1;b 2 ;b 3 )


Ta cã:1) a  b
  (a1  b1; a 2  b 2 ;a 3  b3 ).
2) a  b (a1  b1; a 2  b 2 ;a 3  b 3 ).


3) ka (ka1; ka 2 ; ka 3 ), k  
HƯ qu¶:
a b1
   1
1) a b  a 2 b 2
a b
3
 3

  

2) Víi b 0, a cïng ph ¬ng b  k  
sao cho a1 kb1 , a 2 kb 2 , a 3 kb 3.

3)Cho A(x A ; y A ;z A ), B(x B ; y B ;z B )

 AB = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ).
Toạ độ trung điểm M của AB:
x + xB yA + yB zA  zB
M( A
;

;
).
2
2
2


1

Hệ toạ độ trong không gian
Câu hỏi thảo luận

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz

Cho A(1;2; 3), B(  1;3;  4),C(5;0;  1).
  


1
Nhãm 1, 2: a) Tìm toạ độ của các véc tơ: AB, AC, v 3AB AC.
2
Nhóm 3, 4: b)Xác định toạ độ trung điểm của đoạn thẳng BC
CMR :Ba điểm A, B, C thẳng hàng.


Đáp án: a) AB ( 2;1; 1), AC (4;  2; 2)

1




1
3AB ( 6;3;  3), AC (2;  1;1), v 3AB  AC (  8; 4; 4).
2
2
3 5
b) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng BC là: M(2; ; )
2 2



Hai véc tơ AB, AC cùng phơng vì AC 2.AB

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng.


1

Hệ toạ độ trong không gian
Công việc về nhà:
Ôn tập lý thuyết
Làm bài tập 1, 2, 3 SGK trang 68
Nghiên cøu phÇn III, IV SGK.


1

Hệ toạ độ trong không gian

Hệ trục tọa độ nh ta đà học còn đợc gọi là hệ trục tọa độ Đêcac

vuông góc, đó là tên của nhà toán học phát minh ra nó.
Một vài nét về nhà toán học Đêcac
Đêcac (Descartes) sinh ngày 31/03/1596 tại
Pháp và mất ngày 11/02/1650 tại Thuỵ Điển.
Đêcac đà có rất nhiều đóng góp cho toán học.
Ông đà sáng lập ra môn hình học giải tích .Cơ sở
của môn này là phơng pháp toạ độ do ông phát
minh .Nó cho phép nghiên cứu hình học bằng
ngôn ngữ và phơng pháp của đại số.
Các phơng pháp toán học của ông đà có ảnh hởng sâu
sắc đến sự phát triển của toán học và cơ học sau nµy.


1

Hệ toạ độ trong không gian

Một vài nét về nhà toán học Đêcac
17 năm sau ngày mất ,ông đợc đa về Pháp và chôn
cất tại nhà thờ mà sau này trở thành điện
Păngtêông(Panthéon), nơi yên nghỉ của các danh
nhân nớc Pháp.
Tên của Đêcác đợc đặt tên cho một miệng núi
lửa trên phần trông thấy của mặt trăng.


XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN CÁC
THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC EM HC SINH

Xin chân thành cảm ơn các thầy (cô) và các em học sinh

Xin chào và hẹn gặp lại !