SANG KIEN KINH NGHIEM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRONG THI HỌC SINH GIỎI

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐộcXÃ
lậpHỘI
- TựCHỦ
do - Hạnh
phúc
CỘNG HÒA
NGHĨA
VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN ĐỀ TÀI
TÊNGIỚI
ĐỀ TÀI
MỘT VÀI CÁCH TÌM
HẠN CỦA DÃY SỐ
MỘT VÀI CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Họ và tên: ……………….

Chức vụ: …………….

………………………………………………………………………………………………
………


Mục lục

2

1. Phần mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài

Giới hạn là một phần cơ bản của giải tích, chính những khái niệm và các phép
toán về giới hạn và tính liên tục là cơ sở cho việc nghiên cứu của các phép toán
như Đạo hàm, Tích phân… trong chương trình học của môn toán ở THPT hiện
nay. Do đó việc học và khai thác nó là cần thiết và có ý nghĩa.
Tuy nhiên phần lớn các kiến thức liên quan đến giới hạn rất trừu tượng và khó
hiểu đối với học sinh, điều này sẽ làm cho nó trở nên rất khó tiếp cận và hấp dẫn
đối với người học. Với những lí do đó chúng tôi chọn đề tài “Một vài cách tìm
giới hạn của dãy số”.
Qua đề tài này chúng tôi sẽ hệ thống lại một số kiến thức lí thuyết, cũng như
trình bày một vài cách giải đơn giản của một số bài tập giới hạn thường gặp
trong các kì thi cho học sinh lớp 11.
Đề tài này được trình bày trên cơ sở một phần nhỏ lí thuyết trong phần giới hạn
của dãy số được trình bày trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11 và nội
dung chủ yếu là tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lí cơ bản được trình
bày (không chứng minh) như ở mục 2.1.4b dưới đây.
1.2. Phạm vi áp dụng đề tài, sáng kiến, giải pháp

Đề tài này chủ yếu được sử dụng trong quá trình giảng dạy chọn đội tuyển thi
học sinh giỏi cấp Tỉnh lớp 11, với mục đích hệ thống hóa một ít kiến thức giúp
các em dễ tiếp cận với bài toán tìm giới hạn của dãy số trong trường hợp số hạng
tổng quát chưa cho biết cụ thể.

3


2. Phần nội dung
2.1. Thực trạng của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy, học sinh thường hay gặp khó khăn và bế tắc đối với
những bài toán tìm giới hạn của dãy số mà

un chưa biết cụ thể.

Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày một vài cách tìm giới hạn của dãy số trong các
trường hợp đó.
2.1. Tóm tắt lý thuyết

Phần lí thuyết này chúng tôi xin trình bày tóm tắt một số nội dung cần thiết cho
đề tài, phần các quy tắc tính giới hạn của dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân…
xem như đã biết.
2.1.1

Định nghĩa dãy số

a) Định nghĩa

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương
dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).

N * được gọi là một

b) Tên gọi và kí hiệu
• Mỗi giá trị của hàm số

u được gọi là một số hạng của dãy số; u(1) được gọi là số

hạng thứ nhất (hay số hạng đầu);

gọi là số hạng thứ n của dãy số…
• Người ta thường kí hiệu các giá trị

số

u(2) được gọi là số hạng thứ hai; … u(n) được
u(1) , u(2) , … tương ứng bởi u1 , u2 , … và dãy

u = u (n) bởi (un ) và gọi un là số hạng tổng quát của dãy số.

∈

• Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m N* được gọi là một dãy

u(1)

số hữu hạn, trong đó
được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu);
được gọi là số hạng cuối.

4

u(m)


2.1.2 Các cách cho một dãy số

Một dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó.
Người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau đây:
• Cách 1: Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

• Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi.
• Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
2.1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn


Dãy số (un) được gọi là:

 Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, …
 Dãy đơn không giảm nếu un+1

≥ un, với moi n = 1, 2, …

 Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2, …
 Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1


≤ un, với mọi n = 1, 2, …

Dãy số (un) được gọi là

 Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M, với mọi n = 1, 2, …
 Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un > m, với mọi n = 1, 2, …
 Dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
2.1.4 Giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Định nghĩa

Dãy số
như

un = a

(un ) gọi là có giới hạn bằng a, và kí hiệu lim
n →∞

∀ ε > 0,

tồn tại số nguyên dương

n0

sao cho

(u )

(hay

lim un = a

) nếu

∀ n > n0 thì un − a < ε .

Định nghĩa này được hiểu như sau: Dãy số n gọi là có giới hạn bằng a nếu với
mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy, kể từ số hạng nào đó
trở đi,

un − a

nhỏ hơn số dương đó.

Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:

5


• Nếu

(un ) hội tụ thì lim un+ 1 = lim un+ 2 = ... = lim un .
(u )

• Nếu dãy n hội tụ thì bị chặn (điều ngược lại hiển nhiên không đúng).
b) Các định lí cơ bản

Có rất nhiều định lí liên quan đến giới hạn của dãy số, dưới đây chúng tôi xin
trình bày ba định lí cơ bản (không chứng minh), thường hay sử dụng để giải các
bài tập dãy số trong các đề thi HSG.
Định lí 1 Dãy số thực

(un )

tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

Định lí 2 Dãy số thực

(un )

giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

Chú ý:
• Nếu dãy số thực

(un )

tăng thì ∀ k = 1,2,... ta có

uk ≤ lim un

• Nếu dãy số thực

(un )

giảm thì ∀ k = 1,2,... ta có

uk ≥ lim un .

• Cho dãy

và nếu

(un ) hội tụ. Khi đó nếu tồn tại n0 ∈ N

sao cho

.

a ≤ un , ∀ n ≥ n0

thì

a ≤ lim un

b ≥ un , ∀ n ≥ n0 thì b ≥ lim un .

Định lí 3 (Nguyên lí kẹp) Nếu ba dãy

(un ), (vn ), (w n )

thỏa mãn

un ≤ vn ≤ w n , ∀ n > n0 và lim un = lim w n = L thì limv n = L.
2.1.5 Giới hạn vô cực của dãy số
a) Định nghĩa ta nói dãy số

(un ) có giới hạn là + ∞

Nếu với một số thực A bất kì đều tồn tại số

Tương tự ta có định nghĩa cho

lim un = −∞ .
6

và kí hiệu là

n0 ∈ N

sao cho

lim un = +∞

∀ n ≥ n0 thì u n > A.

Định nghĩa này được hiểu như sau:

Ta nói dãy số

(un ) có giới hạn là + ∞

và kí hiệu là

lim un = +∞ . Nếu (un )

có thể

lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
b) Nhận xét
• Dãy số tăng và không bị chặn trên thì

lim un = + ∞ .

• Dãy số giảm và không bị chặn dưới thì
• Nếu

đó

lim un = +∞
1
1
=
un un

thì

un

lim un = −∞ .

trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. Do

trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.

Chú ý:
Các dãy số có giới hạn + ∞ và
cực hay dần đến vô cực.
2.2

− ∞ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô

Một số bài tập liên quan đến giới hạn của dãy số

2.2.1 Tìm giới hạn của dãy số bằng cách tìm công thức số hạng tổng quát của

dãy số
Có rất nhiều phương pháp để tìm SHTQ của dãy số. Dưới đây là một vài cách
đơn giản để tìm SHTQ của dãy số chẳng hạn như: sử dụng quy nạp toán học,
đưa về cấp số cộng và cấp số nhân, tìm cách đổi biến số… Một khi đã tìm thấy
công thức của số hạng tổng quát thì bài toán tìm giới hạn của dãy số trở nên đơn
giản.

7

Bài 1 Cho các dãy số sau

u1 = 1

a) (u n ) 
2 + un
u
=
n
+
1

un + 1


Tìm lim u n

u1 = 1

b) (u n ) 
1
u
=
n
+
1

un + 1


Tìm lim u n

Phân tích bài tập này như sau:
Quan sát dạng tổng quát của bài toán.
Tìm công thức của số hạng tổng quát (nếu có thể).
Tính giới hạn của dãy số đó.
Giải

a) x n +1 − 2 = (1 − 2)
= ... = (1 − 2)n

un − 2
u − 2
= (1 − 2)2 n −1
=
un + 1
u n −1 + 1

u1 − 2 1
= (1 − 2)n +1
u1 + 1 2

1
1
u n +1 = 2 + (1 − 2)n +1 ⇒ u n = 2 + (1 − 2)n
2
2
1
lim u n = lim( 2 + (1 − 2)n ) = 2.

2
Câu b làm tương tự.
Bài 2


2
x1 = 3

(x n ) 
xn
x =
n +1

2(2n + 1)x n + 1

∀n = 1,2...

8


Hãy tính tổng 2001 số hạng đầu tiên của dãy số và tính giới hạn của dãy số đó.
Nhận xét: Việc tìm ra công thức của SHTT trong trường hợp này sẽ làm cho bài toán trở nên
đơn giản.
Bài giải:

x n > 0 ∀ n = 1,2....
Từ

Nên ta có

Ñaët

x n +1=

xn
1
1
⇔
= 2(2n + 1) +
2(2n + 1)x n + 1
x n +1
xn

2
= u ⇒ u1 = 3, u n +1 = 4(2n + 1) + u n
xn n

Khi đó

un = an 2 + bn + c

thì ta có

Đồng nhất thức hai vế của

nên

n = 1,2...

(*)

g (n + 1) = 4(2n + 1) + g (n )

(*)

u =3
u
= 4n 2 + c
u
= 4n 2 + c
n
n
ta tìm được
khi đó
và 1

un = 4 n 2 − 1 .
⇒ u n = (2 n − 1)(2 n + 1), n = 1,2...

⇒ xn =

2
2
1
1
=
=
−
u n (2n − 1)(2n + 1) 2n − 1 2n + 1

Do ñoù: x1 + ... + x 2001 =

4002
4003

Bài 3 Cho dãy số

 x1 = 1

(x n ) 
− 14x n −1 − 51
x
=
n

5x n −1 + 18


∀ n = 2...

9

n = 1,2...


x .
a) Tính 2013
b) Tính

lim xn .

Phân tích bài toán:
o Bài toán này có yêu cầu tính

x2013 do đó việc tìm công thức SHTQ là cần thiết và

có ý nghĩa.
o Công thức của SHTQ được tìm thấy một cách dễ dàng. Ta có một lời giả cho bài
toán này như sau.
Bài giải
Ta có:
xn + 3 =

−14 xn −1 − 51
xn −1 + 3
+3=
5 xn −1 + 18
5( xn−1 + 3) + 3

⇒

1
3
= 5+
xn + 3
xn−1 + 3

⇒

1

5
1
5
1
5
+ = 3(
+ ) = ... = 3n −1 (
+ )
xn + 3 2
xn−1 + 3 2
x1 + 3 2

⇒

1
11
5
= .3n−1 −
xn + 3 4
2

⇒ xn + 3 =

4
n −1

11.3 − 10
4
⇒ xn =
− 3.

n −1
11.3 − 10

Đến đây việc giải bài tập này hoàn toàn đơn giản.
Như vậy việc tìm ra công thức của SHTQ giải quyết được, thì bài toán tìm giới
hạn của dãy số trở nên rất đơn giản. Tuy nhiên không phải điều này luôn dễ
dàng trong mọi trường hợp do đó chúng ta phải tìm thêm những cách khác để
giải quyết những bài tập đó. Dưới đây là một số cách khác.

10


2.2.2 Phương pháp chứng minh dãy số

un+ 1 = f (un ) hội tụ và tìm giới hạn của nó

bằng cách sử dụng định lí 1 và định lí 2 (trong đó f (u) là hàm liên tục).
Có nhiều cách để giải bài tập có dạng như trên, dưới đây chúng tôi trình bày các
bước thường sử dụng trong một lời giải cho bài toán đó và một số bài tập vận
dụng.
a) Cách giải:

Bước 1: Dự đoán xem dãy số tăng hay dãy số giảm bằng cách tính một vài số
hạng của dãy. Tiếp theo giải phương trình

L = f ( L)

Nếu dự đoán dãy tăng thì chứng minh

un ≤ L.

Nếu dự đoán dãy giảm thì chứng minh

un ≥ L.

.

(Để chứng minh hai kết quả vừa nêu, người ta thường sử dụng phương pháp quy
nạp toán học).
Bước 2: Sử dụng kết quả ở bước 1 để khẳng định tính đơn điệu của dãy số đã
cho.
Bước 3: Sử dụng định lí 1 và định lí 2 để chứng minh dãy số hội tụ, đồng thời sử
dụng tính liên tục của hàm f (u) ta có kết quả chính là nghiệm của phương trình

L = f ( L) .
b) Vận dụng

un = 21+4 42 2+ ...4+432
(u )
n dau can
Bài 1 Cho dãy số n
Tìm

limu n .

Phân tích bài toán như sau
11


o Đặt

u1 = 2 , u2 = 2 + 2 = 2 + u1 ,….,

o Khi đó ta dễ dàng thấy

un+ 1 = f (un )

un = 21+4 42 2+ ...4+432 = 2 + un −1
n dau can

.

là một dãy số tăng.

L = 2 + L ( L > 0)

L = 2.

o Phương trình
có nghiệm là
o Từ đó ta có một lời giải cho bài toán này như sau:

Bài giải
Đặt

u1 = 2 ,

u2 = 2 + 2 = 2 + u1

,….,

un = 21+4 42 2+ ...4+432 = 2 + un−1
n dau can

.

Bằng quy nạp ta chứng minh được

un < 2 ∀ n ∈ N .

Thật vậy ta có:

u1 = 2 < 2 , giả sử uk < 2 thì uk +1 = 2 + uk ⇒ uk2+ 1 = 2 + uk < 4 ⇒ uk + 1 < 2.
Hay

un < 2 ∀ n ∈ N .

Ta chứng minh tiếp

Thật vậy

Giả sử

(un ) là dãy tăng.

u2 = 2 + 2 = 2 + u1 > u1

.

uk + 1 > u k ⇒ u k + 1 + 2 > u k + 2

⇒ uk +1 + 2 > u k + 2
12


hay uk + 2 > u k + 1 .
Vậy theo nguyên lí quy nạp, có

un + 1 > u n .

Như vậy ta đã chứng minh được
hạn hữu hạn, đặt

(un ) là dãy tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới

limu n = x.

2
u
n + 1 = 2 + un ⇒ u n + 1 = 2 + un
Ta có:

Hay

lim un2+ 1 = lim(2 + un ) ⇒ x 2 = 2 + x.

Do un > 0 ∀ n ⇒ lim un ≥ 0.
Giải phương trình ta được

Bài 2 Cho dãy số

(un )

x = 2 hay lim un = 2.

un = a1 +4 4a 2+ ...
4 +4 3a (a > 0).

Xét sự hội tụ của dãy số
Phân tích bài toán

u
o Đặt 1

n dau can

và tìm

= a , u2 = a + a = a + u1 ,….,

o Khi đó ta dễ dàng thấy

o Phương trình

un+ 1 = f (un )

L = a + L ( L > 0)

un = a1+4 4a 2+ ...4+43a = a + un−1
n dau can

là một dãy số tăng.

có nghiệm là

13

L=

1 + 1 + 4a
.
2

.


o

Từ đó ta có một lời giải cho bài toán này hoàn toàn tương tự với bài toán trên và

đi đến kết quả

(un ) luôn hội tụ với mọi số a > 0 và

limu n =

1 + 1 + 4a
.
2

Nhận xét:

Qua bài toán này ta còn tìm ra bất đẳng thức
Trong đó

a> 0

(un )

 0 < un < a


a2
 un (a − un+1 ) > ∀ n = 1,2,...

4

Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tìm
Bài giải

Vì

và

1 + 1 + 4a
2

và vế trái có bao nhiêu dấu căn cũng được.

Bài 3 Cho dãy số

un

a + a + ... + a ≤

a − un+ 1 là

limu n .

hai số không âm nên theo bất đẳng thức Côsi ta có

a
un + (a − un+1 ) ≥ 2. un (a − un+1 ) > 2. = a ⇒ un > un+1 ∀ n.
(u )
2
Hay n là dãy giảm và
bị chặn dưới nên hội tụ và ta đặt

Khi đó

limu n = x.

a2
un (a − un+1 ) > ∀ n
4

14


a2
⇒ lim [ un (1 − un+1 ) ] ≥ .

4
a2
a
a
a
⇒ x(1 − x ) − ≥ 0 ⇒ ( x − ) 2 ≤ 0 ⇔ x − = 0 ⇔ x = .
4
2
2
2

Vậy

a
limu n = .
2

Sau đây là một ví dụ cụ thể cho bài toán tổng quát trên

Bài 4 Cho dãy số

(un )

 0 < un < 1


1
u
(1
−

u
)
>
∀ n = 1,2,...
n +1
 n
4

Tìm
Bài
giải
Vì

un

và

1 − un+1 là

hai số không âm nên theo bất đẳng thức Côsi ta có

1
un + (1 − un+1 ) ≥ 2. un (1 − un+1 ) > 2. = 1 ⇒ un > un+1 ∀ n.
2
Do đó
Đặt

(un )

là dãy giảm và bị chặn dưới nên hội tụ

limu n = x.

15


1
un (1 − un+1 ) > ∀n
4
1
⇒ lim [ un (1 − un+1 )] ≥ .
4
1
⇒ x(1 − x) − ≥ 0
4
1
1
1
1
limu n = .
⇒ ( x − )2 ≤ 0 ⇔ x − = 0 ⇔ x = .
2
2
2
2 Vậy

Khi đó

Trong bài tập này không nhất thiết phải sử dụng quy nạp để chứng minh dãy số
giảm.

 u0 > 0

un

u
=
,∀n ≥ 0
n
+
1
2

1
+
u
u
lim un
n
Bài 5 Cho dãy số ( n ) xác định bởi 
. Tính
Bài giải

u0
>0
2
u
1
+
u

0
Nhận xét rằng n > 0 với mọi n. Thật vậy, u 0 > 0 và u1 =
uk > 0, ∀ k ⇒ uk +1 =
Giả sử

u n +1
1
uk
>
0
=
< 1, ∀ n
2
2
u
> 0)
1 + uk 2
u
1
+
u
n
. Do đó n
(vì n

⇒ un+1 < un , ∀n ⇒ (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên ( un ) có giới hạn
hữu

hạn.

lim un+1 = lim

Đặt

lim

un =

a,

khi

đó

từ

hệ

thức

truy

hồi

un
a
⇒ a=
⇒ a3 + a = a ⇒ a = 0
2
2

lim un = 0 .
1 + un
1+ a
. Vậy

Dưới đây là một số bài tập tương tự
16

suy

ra


Bài 6 Cho dãy (un) (n = 1, 2, …) xác định bởi:

 u1 = 2008

1
2007

u
=
(2007
u
+
)
n
2007
 n +1 2008
u

n

Bài 7 Tìm điều kiện của

(n ≥ 1)
. Tìm giới hạn của dãy số.

u1 để dãy số (un) cho dưới đây hội tụ và tìm giới hạn đó

un+ 1 = un2 + 3un + 1 ∀ n = 1,2,3...
Bài 8 Cho dãy (un) (n = 1, 2, …) xác định bởi:

un = 2n + a 3 8n3 + 1 ( a ∈ R, n = 1,2....) . Tìm a sao cho dãy số đã cho có giới hạn
hữu hạn.
Bài 9 Cho dãy (un) (n = 1, 2, …) xác định bởi:

3

u
=
 1 2

 u = 3u − 2
n −1
 n

(n ≥ 2)
.

Tìm giới hạn của dãy số.

2.2.3 Sử dụng nguyên lí kẹp để tìm giới hạn của dãy số

Sử dụng nguyên lí kẹp đôi khi làm giảm độ phức tạp của bài toán, tuy nhiên khi
sử dụng cần chú ý là các bất đẳng thức một biến trong trường hợp này là quan
trọng.
Ngoài ra đối với những dãy không tăng, không giảm thì đây là một công cụ khá
hữu hiệu để giải.
Chú ý: Để chứng minh dãy số

(un )

0 ≤ un − L ≤ yn , ∀ n > n0

lim yn = 0

trong đó

hội tụ về số thực

điêù phải chứng minh.
17

L

ta chứng minh

và sử dụng nghuyên lí kẹp ta có


Dưới đây là một số ví dụ


1
u1 = 3
(u n ) 
u = 1 u 2 − 1
 n +1 2 n
Bài 1 Cho dãy số
Tìm giới hạn của dãy số.
Phân tích bài toán
o Trước hết ta dễ thấy

o

− 1 < un < 0 .

1 2
a
=
a − 1.
a
=
1
−
3
2
Đặt
thì

o Xét

un +1 − a

để tìm dãy

( yn )

trong đó

lim yn = 0.

Bài giải
Bằng quy nạp ta chứng minh được

− 1 < un < 0 .

1
3
u
−
a
=
u
−
a
u
+
a
<
un − a

n
+
1
n
n
a
=
1
−
3
2
2
Đặt
khi đó

− 1 < u n < 0; 1 − 3 < 0 ⇒ u n + a = u n + 1 − 3 < 3).
(vì
n

2

 3
 3
3
u n +1 − a <
u n − a <  ÷ u n −1 − a < ... <  ÷ u1 − a
 2 ÷
 2 ÷
2
 

 
Do đó:
Như vậy ta có

18


n

 3
0 < u n +1 − a < 
÷ u −a
 2 ÷ 1


n

 3
⇒ lim 0 ≤ lim u n +1 − a ≤ lim 
÷ u − a = 0.
 2 ÷ 1


Hay

lim u n = 1 − 3

.

u1 = m

(u n ) 
2
7.
u
=
30
u
+4

n
+
1
n

Bài 2 Cho m ∈ R. Dãy
Chứng minh

(u n )

n ∈N *

có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

o Phân tích bài toán:
• Dãy số có giới hạn hữu hạn nếu nó thỏa mãn chú ý ở trên. Do đó ta tìm cách đánh

giá để sử dụng các kết quả đó.
Bài giải

Ta có: Đặt

u n +1 − a =
30
=
7

a = 2.

19
19

30
2
2
u n2 + − a 2 +
=
7
15
15

u n2 − a 2
u n2 +

u n2 +

2
2
+ a2 +
15
15

≤

30
u −a
7 n

2
2
+ a 2 + ≥ u n2 + a 2 ≥ u n + a
15
15

(Vì

)

19


Do đó ta có:

un − a ≤

30
30 n−1
un−1 − a ≤ ... ≤ (
) m− a
7
7

Hay dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và giới hạn đó bằng a.

 u1 = 10

u = un , ∀ n ≥ 1
Bài 4 Cho dãy số (un) xác định bởi  n +1
. Tính limun
Bài giải
Bằng quy nạp ta có thể chứng minh un >1, với mọi n.

Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi, ta có
Dấu “=” không xảy ra vì

un+1 = un = 1.un ≤

u1 = 10 > 1 ∀ n
.

do đó

un + 1 <

1 + un
u −1
, ∀ n ⇒ un +1 − 1 < n , ∀ n
2
2

(*)

Suy ra

0 < un − 1 <

Hay

u n −1 − 1 u n − 2 − 1
u1 − 1 9
<
<
....
<
= n −1 , ∀ n ≥ 1
2
n −1
2
2
2
2
,

1 < un < 1 +

9
, ∀n ≥ 1
2n−1

20

1 + un
2 .


Mà lim(

1+

9
2n−1 ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1.

 u1 = 1

1

u
=
, ∀n ≥ 1
n
+
1

1
+
u
lim un
n
Bài 5 Cho dãy số (un) xác định bởi 
. Tính
Bài giải

Bằng quy nạp ta chứng minh được

Đặt

x=

0 < un < 1.

5 −1
2

un +1 − x =
Xét

1
1
x − un
2 x − un
−
=
=
1 + un 1 + x (1 + un )(1 + x)
5 + 1 1 + un

1
1
<
<1
0
<

u
<
1
2
1
+
u
n
n
Mặt khác vì
nên
Suy ra

2 x − un
2
<
x − un <
1
+
u
5 +1
5 +1
n

un+1 − x =
2

n

n

 2 
 2 
 2  3− 5
<
÷ x − un−1 < ... < 
÷ x − u1 = 
÷. 2
 5 +1
 5 +1
 5 +1
n

 2  3− 5
0 < u n +1 − x < 
÷. 2
5
+
1


Như vậy ta có
.
n

 2  3− 5
5 −1
lim0 ≤ lim un+1 − x ≤ lim 
lim un =
.

÷ . 2 = 0.
5
+
1


2
Suy ra
Hay
21


Ngoài ra với bài tập này ta có thể tìm ra công thức của SHTQ sau đó tiến hành
tìm giới hạn của dãy số.
Bài 6

Cho daõy (x k ) : x k =

1 2
k
+ + ... +
.Tìm lim n x1n + ... + x n 1999
2! 3!
(k + 1)!

Bài giải

Ta coù:

k

1
1
= −
(k + 1)! k ! ( k + 1)!

Do đó ta có:

Hay

1−

xk = 1−

1
n
n
n
n
( k + 1)! và x1999 ≤ x1 + ... + x1999 ≤ 1999x1999

1
1
n
≤ n x1n + ...x1999
≤ n 1999(1 −
)
2000!
2000!

Mặt khác

(n − 1) + 1999
n
⇒ lim n 1999 = 1.

1 ≤ n 1999 ≤

Vậy

lim n x1n + ... + x n1999 = 1 −

1
2000!

Bài toán tương tự như sau
Bài 6
n
.
Cho 0 < α 1 < α 2 < ... < α 2014 . Tính lim n α 1n + α 2n + ... + α 2014

HD

(α n ) n = 1,...,2014

là một dãy số tăng
22


n
α 2014 ≤ n α 1n + α 2n + ... + α 2014

≤ α 2014 . n 2014.

u1 = a > 0

n

u
=
u
+
 n+1 n u , ∀n ≥ 1
n
Bài 7 Cho dãy số (un) xác định bởi 
.

lim
Tính

HD

1<

un
n

un
u −2
< 1+ 2
n
n

un =

Bài 8 Cho dãy số (un) xác định bởi

Tính

n2 + n

< un <

HD

1
n2 + 2

+ ... +

1
n2 + n .

n
n2 + 1

Bài 9 Cho dãy số (un) xác định bởi

Tính

n2 + 1

+

lim un
n

HD

1

un = n n .

lim un

1 ≤ un = n n ≤

1 + 1 + ... + 1 + n + n n − 2 + 2 n
=
.
n
n

Bài 10 Cho dãy số (un) xác định bởi

un =

23

n
n
n
+

+
...
+
n2 + 1 n2 + 2
n2 + n .


Tính

lim un

n.
HD

n
n
n
n
n
≤
u
=
+
+
...
+
≤
n
.
n

n2 + n
n2 + 1 n2 + 2
n2 + n
n2 + 1

2.2.4 Dãy tổng

Có nhiều phương pháp để tìm giới hạn của dãy tổng, tuy nhiên người ta thường
sử dụng hai cách sau đây để tính giới hạn của dãy tổng:
o Rút gọn hoặc tìm số hạng tổng quát của dãy tổng.
o So sánh với một dãy số khác và sử dụng nguyên lí kẹp.

Bài 1.
Xét dãy số (xn) (n = 1, 2, 3, …) xác định bởi:

1
xn+1 = ( xn2 + 1)
2
x1 = 2 và
với mọi n = 1, 2,3, ….
Sn =
Đặt

1
1
1
+
+ ... +
1 + x1 1 + x2
1+ xn

Bài giải
Ta chứng minh bằng quy nạp ta chứng minh được

Giả sử

( xn )

là dãy tăng.

1 2
lim
x
=
lim(
( xn + 1))
n +1
( xn ) bị chặn trên khi đó đặt lim xn = a thì
2

1
a = (a 2 + 1) ⇔ a = 1
2
Hay ta có
(vô lí).

24


Vậy

( xn )

không bị chặn trên nên

lim xn = +∞

Từ giả thiết ta có:

2( xn+1 − 1) = ( xn2 − 1) = (x n − 1)( xn + 1)
⇒
⇒

1
xn+1 − 1

=

1
1
−
xn − 1 xn + 1

1
1
1
=
−
xn + 1 xn − 1 xn+1 − 1

Sn =
=(

=

1
1
1
+
+ ... +
=
1 + x1 1 + x2
1+ x n

1
1
1
1
1
1
−
)+(
−
) + ... + (
−
)=
x1 − 1 x2 − 1
x2 − 1 x3 − 1
xn − 1 xn+1 − 1

1
1
−
.
x1 − 1 xn+1 − 1

⇒ lim Sn = lim(
n→ +∞

1
1
1
−
)=
= 1.
x1 − 1 xn+1 − 1 x1 − 1

Bài 2.

 u1 = a


un2 − (b + c)un + c 2
 u n +1 =
b−c
Cho dãy (un) thỏa mãn 
n

Ta chứng minh
Bài giải

1
1
1
=
−
u1 + c un+1 + c
i =1 ui + b

Sn = ∑

Thật vậy.

25