Về sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ MỸ LƯƠNG

VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
VÀ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU MẠNH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Danh sách ký hiệu

iv

Danh sách hình vẽ

1

Mở đầu

2

1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2

3

Bài toán cân bằng

15

2.1

Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Thuật toán giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh

25

3.1

Thuật toán với tốc độ hội tụ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2

Thuật toán không cần điều kiện kiểu Lipschitz . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


ii

Lời cam đoan
Luận văn thạc sỹ: "Về sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếu giải bài toán
cân bằng đơn điệu mạnh" được thực hiện bởi tác giả Phạm Thị Mỹ Lương - học
viên lớp Cao học Toán Ứng Dụng 2014 - 2016, cùng sự hướng dẫn của GS.TSKH.
Lê Dũng Mưu - Viện Toán học - Viện Hàm lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kỳ nghiên
cứu nào khác.

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015
Học viên

Phạm Thị Mỹ Lương


iii

Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và sự chỉ
bảo nghiêm khắc của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất đến thầy. Trong quá trình học tập, tôi đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sự
giảng dạy nhiệt tình của PGS. Lê Thị Thanh Nhàn, PSG Tạ Duy Phượng, GS. Trần
Vũ Thiệu, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy cùng các thày, cô giáo tham gia giảng dạy khóa
học 2014 - 2016, những người đã tâm huyết giảng dạy và trang bị cho tôi nhiều kiến
thức cơ sở.
Xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã động viên, giúp đỡ tôi

trong suốt quá trình học tập.
Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường
ĐHKH, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong sướt quá trình
học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè, đồng
nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và quá trình
làm luận văn.

Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của

bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự
đóng góp quý báu của các thày, cô cùng bạn đọc.
Thái Nguyên, 2015

Phạm Thị Mỹ Lương

Học viên Cao học Toán K7Y,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên


iv

Danh sách ký hiệu
R

không gian số thực

H

không gian Hilbert thực

NC (x)

nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C

F ix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S
phép chiếu trực giao của điểm x trên tập C

PC (x)

tích vô hướng của hai vectơ x và y

x, y

hàm chỉ trên C

δC (.)

chuẩn của vectơ x

x

xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x
xn

x dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x := y

x được gán bằng y

∀x

mọi x

∃x

tồn tại x

∅

tập rỗng


1

Danh sách hình vẽ
2.1

Hình vẽ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.1

Hình vẽ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2

Mở đầu
Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng <.,.> và chuẩn . . Giả sử C
là tập lồi, đóng, khác rỗng và f : C × C → R sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C.
Đối tượng của luận văn cao học này là bài toán cân bằng (còn được gọi là bất đẳng
thức Ky Fan). Bài toán được phát biểu như sau:
Tìm
x∗ ∈ C : f (x∗ , y)

0, ∀y ∈ C

(EP )

Bài toán (EP) là một bài toán tổng quát với ý nghĩa là các bài toán tối ưu, bất đẳng
thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động Kakutani, mô hình
cân bằng Nash cho trò chơi không hợp tác,... như là các trường hợp đặc biệt của nó.
Khi f là hàm lồi và khả vi dưới theo biến thứ 2 trên tập C thì từ phương pháp giải
bài toán tối ưu ta có thể phát triển để giải bài toán (EP).
Trong những năm gần đây, phương pháp giải bài toán (EP) đã thu hút nghiên cứu.
Một trong những phương pháp phổ biến nhất là phương pháp điểm gần kề. Phương
pháp này được Martinet giới thiệu đầu tiên cho bất đẳng thức biến phân và sau đó
đó đã được mở rộng bởi Rockafellar cho việc tìm kiếm các không điểm của một toán
tử đơn điệu cực đại. Moudafi và Konnov tiếp tục mở rộng phương pháp điểm gần kề
cho bài toán (EP) với song hàm f đơn điệu và đơn điệu yếu.
Một phương pháp giải khác cho bài toán (EP) là nguyên lý bài toán phụ. Nguyên lý
này đã được Cohen giới thiệu đầu tiên cho bài toán tối ưu và sau đó mở rộng cho bất
đẳng thức biên phân. Gần đây, Mastreni tiếp tục mở rộng nguyên lý bài toán phụ cho
bài toán (EP) khi song hàm f đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz. Còn
Noor sử dụng nguyên lý bài toán phụ để phát triển các thuật toán lặp giải bài toán

3
(EP) với song hàm f đơn điệu mạnh từng phần.
Các phương pháp bó, đạo hàm mở rộng là những phương pháp phát triển trong ngành
toán học, bất đẳng thức biến phân mới gần đây đã được mở rộng cho bài toán (EP).
Mục đích của luận văn là trình bày những kiến thức cơ bản nhất và bài toán cân bằng
(EP). Đặc biệt, luận văn đi sâu vào trình bày sự tồn tại nghiệm và phương pháp chiếu
giải bài toán (EP) trong trường hợp song hàm đơn điệu mạnh.
Bản luận văn này gồm những nội dung sau:
- Giới thiệu những điểm cơ bản nhất về bài toán cân bằng:
• Phát biểu bài toán
• Các trường hợp riêng
• Định lý tồn tại nghiệm tổng quát
- Trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng đơn điệu
- Giới thiệu hai thuật toán để giải bài toán cân bằng đơn điệu mạnh.
Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng với trình độ
hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót.
Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các anh chị đồng nghiệp để luận
văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn.

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 11 năm 2015
Phạm Thị Mỹ Lương
Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 2013-2015
Chuyên ngành Toán ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Email:


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản nhất về: không gian Hilbert;
tập lồi, hàm lồi và một số ví dụ. Các kiến thức trong chương này được trích từ tài
liệu [1 − 4].

1.1

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1. Không gian định chuẩn thực gọi là không gian tuyến tính thực X
nếu với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x (được gọi là chuẩn của x), thỏa mãn
các điều kiện:
0 với mọi x = 0, x = 0 ⇔ x = 0,

i) x

x + y với mọi x, y ∈ X,

ii) x + y
iii) αx

|α| · x với mọi x ∈ X, mọi α ∈ R.

Định nghĩa 1.1.2. Cho H là không gian tuyến tính thực và H × H → R thỏa mãn
(x,y)→ x,y

các điều kiện:

i) x, x

0 với mọi x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0,

ii) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H,
iii) λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R,
iv) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.


5
Khi đó cặp (H, < . >) được gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.1.3. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Trong suốt luận văn này, ta luôn kí hiệu H là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.1. (Không gian Euclide n chiều)
Xét không gian véc tơ Cn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : x1 , x2 , ..., xn ∈ C} với tích vô
n

xj yj , x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Cn và chuẩn

hướng x, y =
j=1
1
2

n

|xj |

x =

2

=

x, x là một không gian Hilbert.

j=1

Ví dụ 1.1.2. Kí hiệu L2[a,b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] với
f ∈ Ł2[a,b] sao cho

b

f 2 (x) dx < +∞.
a
b

Khi đó, L2[a,b] là một không gian Hilbert với tích vô hướng: f, g =
1
2

b

và chuẩn f

L2[a,b]

f (x) g (x) dx
a

f 2 (x) dx

=
a

Định nghĩa 1.1.4. Xét dãy {xn }n

0

và x thuộc H. Khi đó:

• Dãy {xn } được gọi là hội tụ mạnh tới x (kí hiệu: xn → x) nếu
lim

n→+∞

xn − x = 0,

• Dãy {xn } được gọi là hội tụ yếu tới x (kí hiệu: xn
lim

n→+∞

x) nếu

y, xn = y, x , ∀y ∈ H.

Mệnh đề 1.1.1.
• Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh tới x thì dãy {xn } cũng hội tu yếu tới x,
• Mọi dãy hội tụ mạnh (hội tụ yếu) đều bị chặn và giới hạn theo sự hội tụ mạnh (hội

tụ yếu) nếu tồn tại là duy nhất,
• Nếu H là không gian hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu là tương đương
nhau,


6
• Nếu dãy {xn }n

0

là một dãy bị chặn trong H thì ta trích ra được một dãy con hội tụ

0

là một dãy bị chặn trong H hữu hạn chiều thì ta trích ra được một

yếu,
• Nếu dãy {xn }n

dãy con hội tụ mạnh.

1.2

Tập lồi và hàm lồi

Định nghĩa 1.2.1. Tập C trong H được gọi là một tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C, mọi
λ ∈ [0, 1] thì λx + (1 − λ)y ∈ C.
Ví dụ 1.2.1. Các tập sau đây đều là các tập lồi:
a) Các nửa không gian đóng, các nửa không gian mở.
b) Hình cầu đóng

B (a, r) = {x ∈ Rn : x − a

r}

và hình cầu mở
B (a, r) = {x ∈ Rn : x − a < r} ,
với a ∈ Rn , r > 0.
Định nghĩa 1.2.2. Cho C là một tập con bất kì của không gian Hilbert thực H.Khi
đó:
i) Điểm a được gọi là điểm biên của C nếu mọi lân cận của a đều có điểm thuộc C và
điểm không thuộc C,
ii) Tập hợp C được gọi là tập đóng nếu C chứa mọi điểm biên của nó,
iii) Tập hợp C được gọi là tập compact yếu nếu C là tập đóng và bị chặn.
Định nghĩa 1.2.3. Cho C là một tập lồi trong H và một điểm x ∈ C.Khi đó:
i) Tập
NC (x) = {z ∈ H : z, y − x
được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x.

0, ∀y ∈ C}


7
ii) Tập
−NC (x) = {z ∈ H : z, y − x

0, ∀y ∈ C}

được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x.
Định nghĩa 1.2.4. Cho hàm f : H → R ∪ {+∞}. Khi đó:
i) Hàm f được gọi là hàm lồi trên H nếu

f (λx + (1 − λ)y)

λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1)

ii) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên H nếu
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x = y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1)
iii) Hàm f được gọi là hàm lồi mạnh trên H với hệ số η > 0 nếu
f (λx+(1−λ)y)

λf (x)+(1−λ)f (y)−η·

λ (1 − λ)
2
x − y , ∀x = y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1).
2

Nhận xét 1.2.1. Mọi hàm lồi chặt đều là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.2.2. Một số hàm lồi quen thuộc:
1. Hàm chuẩn Euclide: x =
x, x , x ∈ H

0
nếu x ∈ C
2. Hàm chỉ của C: δC (x) =
 +∞
nếu x ∈
/C
3. Hàm khoảng cách: Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H. Hàm khoảng
cách từ điểm x thuộc H tới C, kí hiệu dC (x) được định nghĩa:
dC (x) = inf a − x

a∈C

là một hàm lồi.
Thật vậy, đặt z = λx + (1 − λ)y, với mọi x, y ∈ H và
λ ∈ (0, 1) bất kì.

 lim x − xn = dC (x)
n→∞
Khi đó tồn tại các dãy {xn } , {yn } trong C sao cho:

 lim y − yn = dC (y)
n→∞

Do C là tập lồi nên zn = λxn + (1 − λ) yn ∈ C. Ta có:
dC (z)

z − zn


8
= λ (x − xn ) + (1 − λ) (y − yn )
λ (x − xn ) + (1 − λ) (y − yn )
Khi n → ∞ ta thu được
dC (z)

dC (x) + (1 − λ) dC (y) .

Do đó, dC là hàm lồi.
Ví dụ 1.2.3. (Hàm Affine)
Hàm f (x) = aT x + b, trong đó a ∈ Rn , b ∈ R là hàm lồi thỏa mãn:

f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y) ,
với mọi x, y ∈ H, λ ∈ (0, 1).
Do đó nó là một hàm lồi nhưng không lồi chặt.
Nhận xét 1.2.2. Nếu tồn tại π ∈ C sao cho π − x = dC (x) thì π được gọi là hình
chiếu khoảng cách của x trên C.
Ta kí hiệu hình chiếu khoảng cách của x trên C là PC (x), thì π = PC (x).
Mệnh đề 1.2.1. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H. Khi đó:
i) Với mọi x ∈ H và π ∈ C thì hai tính chất sau đây là tương đương:
a) π = PC (x),
b) x − π ∈ NC (π) ⇔ x − π, y − π

0, ∀y ∈ C.

ii) Với mọi x ∈ H, luôn tồn tại và duy nhất hình chiếu PC (x) của x trên C
iii) Nếu x ∈
/ C thì
PC (x) − x, y − PC (x) = 0
là siêu phẳng tựa của C tại PC (x) và tách hẳn x khỏi C, tức là:
PC (x) − x, y − PC (x)

0, với mọi y thuộc C


9
và
PC (x) − x, y − PC (x) < 0.
iv) Ánh xạ x → PC (x) thỏa mãn các tính chất:
a) Tính không giãn:
PC (x) − PC (y)

x−y ,

b) Tính đồng bức (hoặc đơn điệu mạnh ngược):
PC (x) − x, y − PC (x)

2

PC (x) − PC (y) .

Chứng minh
i) Với mọi x ∈ H và π ∈ C sao cho π = PC (x), nghĩa là π là hình chiếu của x trên C.
Với y ∈ C, ta đặt:
yλ = λy + (1 − λ) π.
Vì C là tập lồi cho nên yλ ∈ C, với mọi λ ∈ (0, 1).
Từ định nghĩa về hình chiếu ta có:
π−x

x − yλ ,

suy ra
π−x

2

x − yλ

2

= (π − x) + λ (y − π)

2

hay
λ y−π

2

+ 2 y − π, π − x

0, với mọi y ∈ C, λ ∈ (0, 1).

Cho λ → 0 ta được
y − π, π − x

0, với mọi y ∈ C.

Do đó, x − π ∈ NC (π).
Với mọi x ∈ H và π ∈ C sao cho x − π ∈ NC (π). Khi đó với mọi y ∈ C:
x−y

2

= (x − π) + (π − y)

2


10
= x−π

2

+ π−y

2

x−π

2

+ π−y

2

+ 2 x − π, π − y

2

x−π .
Do đó, π là hình chiếu của x trên C.
ii) Do dC (x) = inf a − x nên theo định nghĩa của infimum, tồn tại dãy {xn } ∈ C
a∈C

sao cho lim xn − x = dC (x) < +∞.
n

Suy ra dãy {xn } bị chặn. Do đó, ta trích ra được một dãy con {xnk } hội tụ đến π.
Mặt khác, vì C đóng nên dC (x) ∈ C.
Ta có
π − x = lim xnk − x

k

= lim xn − x
n

= dC (x)
Vậy π là hình chiếu của x trên C. Hơn nữa, π là hình chiếu duy nhất của x trên C.
Thật vậy, giả sử π và π là hai hình chiếu của x trên C. Khi đó:
x − π ∈ NC (π)
và
x − π ∈ NC (π ) .
Chọn y = π , theo phần trên ta có:
x − π, π − π

0

x − π ,π − π

0.

hay

Suy ra
π−π
Vậy π = π .

2

0.

11
iii) Vì x − π ∈ NC (π) nên
π − x, y − π

0, với mọi y ∈ C.

Do đó
π − x, y = π − x, π
là một siêu phẳng tựa của C tại π, siêu phẳng này tách x khỏi C.
Vì x = π nên
π − x, x − π = − π − x
iv)

2

< 0.

a) Theo phần ii) ánh xạ x → PC (x) xác định khắp nơi.
Vì z − PC (z) ∈ NC (PC (z)), với mọi z nên
x − PC (x) , PC (y) − PC (x)

0

y − PC (y) , PC (x) − PC (y)

0.

và

Cộng hai bất đẳng thức trên ta được:
PC (y) − PC (x) , PC (y) − PC (x) + x − y

0

Kết hợp với bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta được:
PC (x) − PC (y)

x−y .

b) Áp dụng tính chất b) của i) lần lượt với PC (x) và PC (y) ta có:
PC (x) − x, PC (x) − PC (y)

0

y − PC (y) , PC (x) − PC (y)

0.

và

Suy ra
PC (x) − PC (y) + y − x, PC (x) − PC (y) = PC (x) − PC (y) , y − x


12
+ PC (x) − PC (y)

2

0.
Do đó
2

PC (x) − PC (y) , x − y

PC (x) − PC (y) .

Định nghĩa 1.2.5. Cho hàm f : H → R ∪ {+∞} và x∗ ∈ H. Ta nói x∗ là dưới đạo
hàm của f tại x nếu
x∗ , y − x + f (x)

f (y) , với mọi y ∈ H.

Ký hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x).
f được gọi là khả dưới vi phân trên một tập nếu nó khả dưới vi phân tại mọi điểm
trên tập đó.
Trong trường hợp ∂f (x) = ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại điểm x.
Mệnh đề 1.2.2. Nếu hàm f : H → R là hàm lồi thì ∂f (x) = ∅, với mọi x ∈ X hay
f là khả dưới vi phân khắp nơi.
Trong định nghĩa sau ta xét C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H.
Định nghĩa 1.2.6. Một song hàm f : C × C → R được gọi là:
i) Đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu
f (x, y) + f (y, x)

2

−β x − y , với mọi x, y ∈ C,

ii) Đơn điệu chặt trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x) < 0, với mọi x, y ∈ C, x = y,
iii) Đơn điệu trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x)

0, với mọi x, y ∈ C,


13
iv) Liên tục có tính chất kiểu Lipschitz trên C với hằng số L1 , L2 > 0, nếu
f (x, y) + f (y, z)

2

2

f (x, z) − L1 x − y L2 x − y , với mọi x, y, z ∈ C.

Định nghĩa 1.2.7. Ánh xạ F : C → H được gọi là:
i) Đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu
2

F (x) − F (y) , x − y

β x − y , ∀x, y ∈ C

ii) Đơn điệu chặt trên C, nếu
F (x) − F (y) , x − y > 0, ∀x, y ∈ C,
iii) Đơn điệu trên C, nếu
F (x) − F (y) , x − y

0, ∀x, y ∈ C,

iv) Liên tục L-Lipschitz trên C nếu
F (x) − F (y)

L x − y , ∀x, y ∈ C.

Nhận xét 1.2.3. Nếu F : C → H là Lipschitz trên C với hằng số L > 0 thì với mỗi
x, y ∈ C, f (x, y) = F (x) , y − x thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz.
Hơn nữa, F đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu chặt) khi và chỉ khi
f (x, y) = F (x) , y − x
đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu chặt).
Chứng minh
• Ta có:
f (x, y) + f (y, z) − f (x, z) = F (x) , y − x + F (y) , z − y − F (x) , z − x
= − F (y) − F (x) , y − z
− F (x) − F (y)

y−z


14
−L x − y
−

Lµ
x−y
2

y−z
2

−

L
2
y−z ,
2µ

với µ > 0 bất kì. Vậy f là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz.
• Với
f (x, y) = F (x) , y − x
và
f (y, x) = F (y) , x − y ,
ta có:
f (x, y) + f (y, x) = F (x) , y − x + F (y) , x − y
= F (x) , y − x + −F (y) , y − x
= F (x) − F (y) , y − x
= − F (x) − F (y) , x − y
Nếu F là đơn điệu thì
F (x) − F (y) , x − y

0, ∀x, y ∈ C.

Tương tự, ta chứng minh được F đơn điệu mạnh (đơn điệu chặt) khi và chỉ khi f đơn
điệu mạnh (đơn điệu chặt).


15

Chương 2

Bài toán cân bằng
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản nhất về bài toán cân bằng, đặc biệt
là bài toán đơn điệu mạnh, cụ thể là: giới thiệu bài toán, các ví dụ, định lý tồn tại
nghiệm. Các khái niệm và kết quả ở đây được lấy chủ yếu từ tài liệu [6], [7].

2.1

Phát biểu bài toán và ví dụ

Bài toán cân bằng
Bài toán cân bằng (hay còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan) được phát biểu như
sau: Cho H là không gian Hilbert thực và C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và
f : C × C → R. Khi đó bài toán cân bằng là:
Tìm
x ∈ C : f (x, y)

0, ∀y ∈ C.

(EP )

Ký hiệu tập nghiệm của bài toán này là Sol.
Dưới đây ta luôn giả thiết f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Một song hàm thỏa mãn điều
kiện này được gọi là song hàm cân bằng, C được gọi là tập chấp nhận được hay là
tập chiến lược.
Tiếp theo là một số ví dụ về bài toán cân bằng:
Ví dụ 2.1.1. Bài toán tối ưu
Xét bài toán:

min {ϕ (x) |x ∈ C} .


16
Với
f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x)
thì
ϕ (x)

ϕ (y) , ∀y ∈ C ⇔ f (x, y)

0, ∀y ∈ C.

Ví dụ 2.1.2. Bất đẳng thức biến phân
Xét bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị sau: Cho C là một tập lồi, đóng, khác
rỗng trong không gian Hilbert thực H và ánh xạ F : C → H là một ánh xạ đa trị
(tức là: với mỗi x ∈ C, giá trị F (x) là một tập khác rỗng). Xét bài toán sau:
Tìm
x∗ ∈ C, v ∗ ∈ F (x∗ ) : v ∗ , y − x∗

0, ∀y ∈ C.

(V I)

Giả sử với mỗi x ∈ C, tập F (x) là tập lồi, compact và khác rỗng.Với mỗi x, y ∈ C,
ta mô tả bài toán (V I) về bài toán cân bằng như sau:
Đặt f (x, y) := max v, y − x , suy ra f (x, y)

0, với mọi y ∈ C khi và chỉ khi

v∈F (x)

x là nghiệm của bài toán (V I).
Xét trường hợp riêng C = Rn+ và F đơn trị. Khi đó bài toán (V I) tương đương với
bài toán bù sau:
Tìm
x ∈ C : F (x)

0, xT F (x) = 0.

(CP )

Bài toán (CP ) tương đương với bất đẳng thức biến phân:
Tìm
x ∈ C : F (x), y − x

0, ∀y ∈ C.

Ta hiểu sự tương đương ở đây là tập nghiệm của hai bài toán trùng nhau.
Thật vậy, giả sử x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân,ta có:
F (x), y − x

0, với mọi y ∈ C.

Lần lượt chọn y = x + ei (véc tơ đoen vị thứ i), ta có:
Fi (x) = F (x) , x + ei − x = F (x) , ei

0.

17
Suy ra Fi (x)

0, với mọi i.

Nếu chọn y = 0 ta có
0

− F (x), x

0.

Vậy xT F (x) = 0.
Ngược lại, mọi nghiệm của bài toán bù đều là nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
Một trường hợp riêng điển hình cho bất đẳng thức biến phân là bài toán quy
hoạch lồi:
min {f (x) : x ∈ C}
trong đó f là hàm lồi khả dưới vi phân trên tập lồi C.
Bài toán quy hoạch lồi được mô tả dưới dạng bất đẳng thức biến phân (V I), với
F = ∂f như sau:
Tìm x∗ ∈ C và v ∗ ∈ ∂f (x∗ ) sao cho v ∗ , y − x∗

0, với mọi y ∈ C.

Giả sử x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên, với v ∗ ∈ ∂f (x∗ ), theo định
nghĩa của dưới vi phân ta có:
v ∗ , y − x∗ + f (x∗ )

f (y), với mọi y.

Do x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân nên v ∗ , y − x∗
Suy ra f (x∗ )

0, với mọi y ∈ C..

f (y), với mọi y ∈ C. Do đó, x∗ là một nghiệm của bài toán. Ngược

lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán trên, thì theo điều kiện cần và đủ tối ưu của quy
hoạch lồi, ta có:
0 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ) .
Theo định nghĩa về nón pháp tuyến của C tại x∗ , suy ra x∗ là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân (V I), với F (x) = ∂f (x).
Một ví dụ cho bất đẳng thức biến phân trong kinh tế như sau: Giả sử C là tập hợp các
chiến lược (tập ràng buộc) các phương án sản xuất có thể lựa chọn. Với mỗi phương
án sản xuất x ∈ C, tập F (x) là tập các giá thành chi phí có thể ứng với phương án
x. Khi đó bài toán (V I) chính là bài toán tìm phương án sản xuất x∗ trong tập chiến
lược C và giá thành v ∗ ứng với x∗ sao cho chi phí sản xuất là thấp nhất. Trong trường


18
hợp ánh xạ giá không phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là F (x) = c với mọi
x ∈ C thì bất đẳng thức biến phân (V I) chính là bài toán quy hoạch quen thuộc:
min cT x|x ∈ C .

(LP )

Trong bài toán này, véc tơ giá c không phụ thuộc vào phương án sản xuất.
Xét trên góc độ hình học, bất đẳng thức biến phân (V I) là bài toán tìm điểm x∗ ∈ C
sao cho tập F (x∗ ) có một phần tử là véc tơ pháp tuyến (trong) của tập C tại điểm x∗ .

Hình 2.1: Hình vẽ minh họa

Ví dụ 2.1.3. Bài toán điểm bất động Kakutani.
Cho F : C → 2C . Điểm x được gọi là điểm bất động của F nếu x ∈ F (x). Giả sử
với mọi x ∈ C hàm F (x) lồi, compact và khác rỗng. Khi đó bài toán đi tìm một điểm
bất động của F có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP ).
Thật vậy, với mỗi x, y ∈ C, ta đặt:
f (x, y) := max x − v, y − x .
v∈F (x)

Nếu x ∈ F (x), theo định nghĩa của f (x, y) ta có:
f (x, y)

0, với mọi y ∈ C.

Ngược lại, giả sử x là nghiệm của bài toán (EP ), nghĩa là x ∈ C và


19
f (x, y)

0, với mọi y ∈ C

ta chọn y là hình chiếu của x trên tập lồi đóng F (x),ta có:
x − y, y − x = max x − v, y − x .
v∈F (x)

Vì x là nghiệm của bài toán (EP ) nên ta có:
0

2

f (x, y) = x − y, y − x = − x − y .

suy ra x = y ∈ F (x) hay x là điểm bất động của F .
Ví dụ 2.1.4. Mô hình cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác.
Định nghĩa 2.1.1. (Điểm cân bằng Nash)
Ta nói x∗ = (x∗1 , x∗2 , ..., x∗m ) là điểm cân bằng của φ = (φ1 , φ2 , ..., φm ) trên tập
C := C1 × C2 × ... × Cm nếu với mọi k và mọi yk ∈ Ck , ta có:
φk x∗1 , x∗2 , ..., x∗k−1 , yk , x∗k+1 , ..., x∗m

φk x∗1 , x∗2 , ..., x∗k−1 , x∗k , x∗k+1 , ..., x∗m .

Từ định nghĩa điểm cân bằng Nash ta thấy rằng nếu một đấu thủ k nào đó rời
khỏi phương án cân bằng, trong khi các đấu thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng
thì đấu thủ k sẽ bị thua thiệt. Đó chính là lý do mà khái niệm cân bằng này được
chấp nhận trong thực tế.
Xét một trò chơi có m người chơi, mỗi người chơi là một đấu thủ. Giả sử Ci ⊂ Rmi
là tập phương án mà đấu thủ thứ i có thể lựa chọn trong đó (gọi là tập chiến lược)
của đấu thủ i.
Đặt C := C1 × C2 × ... × Cm và gọi φi : C → R là hàm lợi ích của đấu thủ này.
Như vậy đấu thủ i phải chọn phương án chơi xi ∈ Ci , còn các đấu thủ j khác chọn
phương án chơi là xj ∈ Cj , với mọi j = i.
Tiếp theo là bài toán cân bằng Nash hay còn gọi là bài toán tìm một điểm cân bằng
Nash của φ trên tập C, kí hiệu bài toán là N (φ, C). Bài toán cân bằng Nash có thể
được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP ) như sau: