Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng và áp dụng vào một số bài toán cân bằng hai cấp (LV01914)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ QUỲNH

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU
GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG
VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ
BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Chuyên ngành :

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Giáo viên hướng dẫn:
GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

HÀ NỘI, 2016


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới
sự hướng dẫn nghiêm túc và nhiệt tình của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn (Viện
Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và kính chúc thầy cùng gia đình luôn mạnh khỏe.
Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giảng dạy tại Đại học sư phạm Hà Nội 2
và Viện toán học, Viện Hàn Lâm Khoa học và công nghệ Việt Nam đã mang lại

cho tôi nhiều kiến thức bổ ích và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên
cứu.
Tôi chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn này tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Cuối cùng, con cảm ơn Bố Mẹ đã vất vả tạo mọi điều kiện cho con học tập
và được kết quả như ngày hôm nay.

2


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, 2016
Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Quỳnh

3


Mục lục

Mở đầu

8

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

1.2

11

Các khái niệm và các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1

Một số khái niệm về tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2

Một số khái niệm về hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . 16

Bài toán cân bằng và một số bài toán mô tả dưới dạng cân bằng . 19
1.2.1

Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3

Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.4

Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.5

Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác . . . 22

1.2.6

Bài toán điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.7

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . 24

1.3

Bài toán cân bằng tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4

Bài toán cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp . . . . . . . . . . 29

4

1.4.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của
bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ
ĐƠN ĐIỆU
2.1

31

Một phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân giả
đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2

Bài toán cân bằng giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3

Thuật toán cho bài toán cân bằng giả đơn điệu . . . . . . . . . . . 39

3 ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI
CẤP
3.1

47

Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu . . . . . . . . . . . 47

3.2

Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3

Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp . . . . . . 68

Kết luận

71

Tài liệu tham khảo

72

5


Danh mục các kí hiệu và chữ viết
tắt
R

tập tất cả các số thực

Rn

không gian Euclide n chiều

H

không gian Hilbert thực

x =

x, x

x, y

chuẩn của véc tơ x
tích vô hướng của hai véctơ x và y

intC

phần trong của tập C

riC

phần trong tương đối của tập C

xk → x

dãy xk hội tụ tới x

domf

miền hữu hiệu của ánh xạ f

epif

tập trên đồ thị của ánh xạ f

∇f (x)

đạo hàm của f tại x

∂f (x)

dưới vi phân của f tại x

min {f (x) : x ∈ C}

giá trị cực tiểu của f trên C

agrmin {f (x) : x ∈ C}

tập các điểm cực tiểu của f trên C

dC (x)

khoảng cách từ điểm x đến tập C

PC (x)

hình chiếu của điểm x trên tập C
6

NC (x)

nón pháp tuyến của tập C tại điểm x

B [a, r]

cầu đóng tâm a bán kính r

f (x, d)

đạo hàm theo hướng d của f tại x

∇x f (x, y)

đạo hàm của f (., y) tại x

∇y f (x, x)

đạo hàm của f (x, .) tại y

∂2 f (x, x)

dưới vi phân của hàm f (x, .) tại x

EP (C, f )

bài toán cân bằng

V IP (C, f )

bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị

Sf

tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f )

M N EP (C, f )

bài toán tìm cực tiểu hàm chuẩn trên tập
Sf

V IEP (C, f, G)

bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng

BV IP (C, F, G)

bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

BEP (C, f, g)

bài toán cân bằng hai cấp

7


Mở đầu

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Sự cân bằng thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều nhau giữa những
lực lượng đối lập hay giữa những đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau, phụ
thuộc nhau. Thuật ngữ này được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngữ cảnh khoa
học và kỹ thuật như trong Vật lí, Hóa học, Sinh học. . .
Trong Vật lí, trạng thái cân bằng của một hệ, theo thuật ngữ cổ điển, xảy ra
khi hợp lực tác động lên hệ bằng không và trạng thái này được duy trì trong
một thời gian dài.
Trong Hóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc độ của phản ứng thuận bằng
với tốc độ phản ứng nghịch. Trong Sinh học, cân bằng sinh thái là trạng thái ổn
định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi cao nhất với điều kiện
sống.
Trong Toán học:
Cho C là một tập lồi đóng trong không gian Hilbert thực H và
f : C × C → R ∪ +∞

là song hàm cân bằng, tức là f thỏa mãn f (x, x) = 0 với ∀x ∈ C . Xét bài toán:
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y)
8

0, ∀y ∈ C .


Bài toán này được đưa ra lần đầu tiên bởi H.Nikaido và K.Isoda vào năm
1955 khi tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác,
được Ky Fan giới thiệu vào năm 1972 thường được gọi là bất đẳng thức Ky Fan.
Tuy nhiên, nó có tên gọi là bài toán cân bằng.
Bài toán cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm nhiều lớp
bài toán quan trọng trong thực tế như: bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức

biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash...Vì vậy việc nghiên
cứu bài toán cân bằng là rất cần thiết. Gần đây, nhiều tác giả đã mở rộng bài
toán trên cho trường hợp véc tơ. Và hơn thế nữa, người ta xét cả cho trường hợp
bài toán cân bằng liên quan tới các ánh xạ đa trị. Tính đến nay, đã có nhiều kết
quả nghiên cứu về phương pháp giải cho lớp bài toán cân bằng vô hướng.
Bằng cách kết hợp giữa thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng với kĩ thuật siêu
phẳng cắt ta thu được thuật toán cho bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng.
Phần trọng tâm của luận văn này là trình bày một phương pháp chiếu giải bài
toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một số bài toán cân bằng hai cấp.
Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:
• Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2. Một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu.
• Chương 3. Ứng dụng vào một số bài toán cân bằng hai cấp.

Luận văn này được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam. Tác giả luận văn xin cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Xuân
Tấn đã dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giúp tác giả hoàn thiện luận
9


văn.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô và cán bộ công nhân viên của
Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình tác giả học tập và
nghiên cứu tại Viện.
Trong quá trình viết luận văn cũng như xử lý văn bản chắc chắn không tránh
khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

10

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại khái niệm cũng như các kết quả bổ
trợ cần thiết được sử dụng ở chương sau. Kiến thức của chương này được tham
khảo chủ yếu ở tài liệu [1], [3], [7].

1.1
1.1.1

Các khái niệm và các kết quả cơ bản
Một số khái niệm về tập lồi

Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm, kết quả cơ sở của giải tích lồi.
Định nghĩa 1.1. Trong không gian Hilbert thực H tập C ⊂ H :
1. Tập C được gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C ,
2. Tập C được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C ,
3. Nếu tập C vừa lồi vừa là nón có đỉnh tại 0 thì được gọi là nón lồi.
Ví dụ 1.1. - Tập rỗng và cả không gian là tập lồi.
- Tập M , N , trong không gian Rn như sau được gọi là các nón lồi có đỉnh tại
0:
M = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn : xi

0, i = 1, n (tập M được gọi là orthant không âm.

N = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn : xi > 0, i = 1, n (tập N được gọi là orthant dương).
11

Dưới đây là một số phép toán của tập lồi.
Định lý 1.1. Nếu M ,N là các tập lồi trong không gian Hilbert thực H thì các
tập sau là tập lồi:
1. M ∩ N = {x : x ∈ M, x ∈ N },
2. αM + γN = {x : x = αm + γn, m ∈ M, n ∈ N, α, γ ∈ R},
3. M × N = {x ∈ H × H : x = (m, n), m ∈ M, n ∈ N }.
Định nghĩa 1.2. Giả sử C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert
thực H và x0 ∈ C . Khi đó tập
NC x0 = ω ∈ H : ω, x − x0

0 , ∀x ∈ C

được gọi là nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x0 và tập −NC (x0 ) được gọi là nón
pháp tuyến (trong) của C tại x0 .
Ta nhận thấy 0 ∈ NC (x0 ) và theo định nghĩa trên ta thấy NC (x0 ) là một nón
lồi đóng.
Định nghĩa 1.3. Giả sử C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực
H và véc tơ y ∈ H bất kỳ, gọi
dC (y) = inf x − y ,
x∈C

ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C . Nếu tồn tại PC (y) ∈ C sao cho dC (y) =
y − PC (y) , thì ta nói PC (y) là hình chiếu của y trên C .

Mệnh đề 1.1. (xem [3], Mệnh đề 5.1) (Phép chiếu trên tập lồi). Cho C là một
tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Khi đó
12


1. ∀y ∈ H hình chiếu PC (x) của x trên C luôn tồn tại và duy nhất,

2. ω = PC (x) ⇔ x − ω, y − ω

0, ∀y ∈ C ,

3. Ánh xạ x → PC (x) có tính chất:
a. Tính không giãn: PC (x) − PC (y)

x − y , ∀x, y ∈ H,

b. Tính đồng bức: PC (x) − PC (y), x − y

PC (x) − PC (y) 2 ,
∀x, y ∈ H,

c. x − PC (x), x − y

1.1.2

x − PC (x)

2

, ∀y ∈ C .

Một số khái niệm về hàm lồi

Cho tập hợp C khác rỗng, lồi của không gian Hilbert thực H và ánh xạ
f : C → R ∪ {+∞}

Định nghĩa 1.4. Khi đó:

1. Hàm số f được gọi là tựa lồi trên C nếu ∀λ ∈ R tập mức {x ∈ C : f (x)
là tập lồi,
2. Hàm số f được gọi là lồi trên C nếu
f (λx + (1 − λy))

λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1],

3. Hàm số f được gọi là lồi chặt trên C nếu
f (λx + (1 − λy)) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, ∀λ ∈ (0, 1),

4. Hàm số f được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu
f (λx + (1 − λy))

λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)γ y − x 2 ,
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1],

13

λ}


5. Hàm số f được gọi là tựa lõm, (lõm, lõm chặt, lõm mạnh) nếu −f là hàm
tựa lồi (lồi, lồi chặt, lồi mạnh) trên C ,
6. Các tập
domf = {x ∈ C : f (x) < +∞},
epif = {(x, t) ∈ C × R : f (x)

t},

lần lượt gọi là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f.

Nếu domf = ø và f (x) > −∞ với mọi x ∈ C thì hàm f được gọi là hàm chính
thường.
Ví dụ 1.2. Các hàm chuẩn như : f (x) = x

1 , f (x)

= x

2 , f (x)

= maxi=1,n |xi |

là các hàm lồi trên Rn .
Hàm f (x, y) = x2 + y 2 là hàm lồi mạnh.
Hàm f (x) =

|x| là hàm tựa lồi trên R.

Định lý 1.2. (xem [2], Định lý 2.3). Giả sử f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi và
α ∈ [−∞, +∞]. Khi đó các tập mức
L0α (f ) = {x ∈ X : f (x) < α},
Lα (f ) = {x ∈ X : f (x)

α},

là các tập lồi.
Định nghĩa 1.5. Giả sử f : H → R, H là không gian Hilbert thực. Khi đó:
1. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ H nếu
limx→x0 f (x)

14

f (x0 )


x − x0

(nghĩa là với ∀ε > 0, ∃γ > 0 sao cho ∀x ∈ H thỏa mãn
f (x)

< γ ta có

f (x0 ) − ε).

2. Hàm được gọi là nửa liên tục dưới trên C nếu nó là nửa liên tục
dưới tại mọi x ∈ C . Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên C nếu −f là
nửa liên tục dưới trên C . Hàm f được gọi là liên tục trên C nếu nó vừa nửa
liên tục dưới và vừa là nửa liên tục trên trên C .
Định lý 1.3. (Xem [2], Định lý 2.9). Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H
và x0 ∈ H. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(a) f liên tục tại điểm x0 ;
(b) f bị chặn trên trong một lân cận mở của x0 ;
(c) int(epif ) = Ø;
(d) int(domf ) = Ø và f liên tục trên int(domf ), đồng thời
int(epif ) = {(x, t) ∈ H × R : x ∈ int(domf ), f (x) < t}.

Định nghĩa 1.6. Cho hàm f : H → R, H là không gian Hilbert thực. Khi đó
hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 ∈ H nếu tồn tại một lân cận
U của x0 , tồn tại số K > 0 sao cho:
∀x, x ∈ U : f (x) − f (x )

K x−x

.

(1.1)

Nếu f Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ D thì hàm f được gọi là Lipschitz địa
phương trên tập D ⊂ H.
Nếu (1.1) đúng với ∀x, x ∈ D thì hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số K
trên tập D.

15


Định lý 1.4. (Xem [2], Định lý 2.10). Cho f là hàm lồi trên tập mở D ⊂ H,
f bị chặn trong một lân cận của điểm nào đó thuộc D, H là không gian Hilbert

thực. Khi đó f Lipschitz địa phương trên tập D.
Hệ quả 1.1. f : D → R là hàm lồi, liên tục tại điểm x0 thuộc tập lồi mở D thì
f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D.

1.1.3

Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

Phép tính vi phân là một trong những phép tính cơ bản nhất của giải tích.
Nhờ những tính chất đặc thù của hàm lồi mà phép tính vi phân của nó ngày
càng trở nên đa dạng và phong phú hơn.
Định nghĩa 1.7. Giả sử f : H → R, x ∈ H và d ∈ H {0}. Khi đó hàm f được

gọi là :
1. Khả vi (Fréchet) tại x nếu tồn tại véc tơ x∗ ∈ H sao cho:
f (y) − f (x) − x∗ , y − x
lim
= 0,
y→x
y−x

khi đó x∗ được gọi là đạo hàm của f tại x và được kí hiệu là ∇f (x) hoặc f (x);
2. Có đạo hàm theo hướng d tại x nếu tồn tại giới hạn
f (x; d) = lim+
t→0

f (x + td) − f (x)
.
t

Như vậy, nếu hàm f khả vi tại x thì nó có đạo hàm theo mọi hướng tại x và
ta có f (x; d) = ∇f (x), d , ∀d ∈ H.
Định lý 1.5. (Xem [3], Mệnh đề 11.1). f là hàm lồi, chính thường trên Rn . Khi
đó với ∀x ∈ domf, ∀d ∈ Rn , d = 0 ta có

16


f (x + λd) − f (x)
.
λ
λ>0

f (x, d) = inf

Vậy ta thấy, nếu f là hàm lồi, chính thường trên Rn thì ∀x ∈ domf, ∀d ∈
Rn , d = 0 ta có f (x, d)

f (x + d) − f (x).

Định lý 1.6. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} khả vi, C ⊂ Rn là tập lồi đóng. Khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
1. f là hàm δ lồi mạnh trên C ;
∇f (x), y − x + δ y − x 2 ;

2. f (y) − f (x)

3. ∇f (y) − ∇f (x), y − x

δ y − x 2.

Định nghĩa 1.8. Cho hàm f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính thường trên H.
Ta nói phần tử ω ∈ H là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ H nếu
f (y) − f (x)

ω, y − x , ∀ ∈ H.

Tập tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x được gọi là dưới vi phân của
hàm f tại x và kí hiệu là ∂f (x). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu
∂f (x) khác rỗng.

Định lý 1.7. (Xem [3], Mệnh đề 11.3). Cho f : Rn → ∪ {+∞} là hàm lồi chính
thường. Khi đó:

1. Nếu x = domf thì ∂f (x) bằng rỗng.
2. Nếu x ∈ int(domf ) thì ∂f (x) khác rỗng và compact.
Định lý 1.8. (Xem [2], Định lý 4.3). Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn .
Khi đó các điều kiện sau tương đương:
1. ω ∈ ∂f (x).
2. f (x, d)

ω, d
17


Định lý 1.9. (Xem [3] , Mệnh đề 11.8). Cho f là hàm lồi trên Rn , có giá trị hữu
hạn trên tập lồi mở C , {fk } là dãy hàm hữu hạn trên C , hội tụ theo từng điểm
trên C đến f ( tức với mỗi x ∈ C : limk→∞ fk (x) = f (x). Nếu c ∈ C , xk ⊂ C
sao cho limk→∞ xk = x thì với bất kỳ y ∈ Rn và dãy y k hội tụ về y ta có:
lim sup fk (xk ; y k )

f (x; y).

k→∞

Hơn nữa, với bất kỳ > 0 tồn tại k0 sao cho:
∂fk (xk ) ⊂ ∂f (x) + B [0; 1] , ∀k

k0 ,

với B [0; 1] là hình cầu đơn vị đóng trong Rn .
Định lý 1.10. ( Xem [3], Mệnh đề 9.1). Cho f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm lồi.
Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong R. Khi đó, mọi điểm cực tiểu địa
phương của f trên C đều là cực tiểu toàn cục, ngoài ra tập các điểm cực tiểu

argminx∈C f (x) của f trên C là một tập lồi. Hơn nữa, nếu f lồi chặt thì hàm số

có không quá một điểm cực tiểu trên C . Nếu f lồi mạnh thì hàm số luôn có duy
nhất một điểm cực tiểu toàn cục trên C .
Định lý 1.11. (Xem [3], Mệnh đề 11.12). Giả sử C là tập lồi khác rỗng trong
R và f : Rn → R ∪ {+∞} là hàm lồi khả dưới vi phân trên C . Khi đó x0 là điểm
cực tiểu của f trên C khi chỉ khi:
0 ∈ ∂f (x0 ) + NC (x0 ).

Như vậy, với các giả thiết trong định lý (1.11) thì điểm x0 ∈ intC là điểm cực
tiểu của f trên C khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (x0 ). Đặc biệt, nếu hàm f khả vi thì điều
kiện này trở thành ∇f (x0 ) = 0.
18


1.2
1.2.1

Bài toán cân bằng và một số bài toán mô tả
dưới dạng cân bằng
Bài toán cân bằng

Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và
f : C × C → R ∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0 với ∀x ∈ C ; một hàm f như vậy

được gọi là song hàm cân bằng. Bài toán cân bằng được phát biểu:
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y)

0, ∀y ∈ C .

Ta sẽ ký hiệu bài toán này là EP (C, f ) và tập nghiệm của nó là Sf .
Về mặt hình thức bài toán cân bằng khá đơn giản, nhưng nó lại bao hàm
nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như: bài toán tối
ưu, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm
bất động, bài toán cân bằng Nash.
Dưới đây là những bài toán được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng.

1.2.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C ⊂ H là một tập lồi khác rỗng, H là không gian Hilbert thực và
F : C → H là một ánh xạ đơn trị. Xét bài toán:

Tìm x∗ sao cho F (x∗ ), y − x∗

0, ∀y ∈ C .

Ta gọi bài toán trên là bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP). Khi ta đặt
f (x, y) := F (x∗ ), y − x , thì ta thấy tập nghiệm của bài toán V IP (C, F ) cũng

chính là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ). Nếu C là một nón lồi đóng
khác rỗng trong Rn thì bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) trở thành
bài toán bù CP (C, F ) được định nghĩa như sau:
19


Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ) ∈ C + , F (x∗ ), x∗ = 0.
Trong đó, C + = {x ∈ Rn : x, y

0, ∀y ∈ C} là nón cực của C (xem [3], trang

220-221). Vậy bài toán CP (C, F ) là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng
EP (C, f ).

Tổng quát hơn, xét bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị M V IP (C, F )
sau:




Tìm x∗ ∈ C, u∗ ∈ F (x∗ ) sao cho



 u∗ , y − x∗

0, ∀y ∈ C.

Trong đó, C ⊆ H là một lồi đóng và F : C → 2H là ánh xạ đa trị. Với mỗi
x ∈ C, F (x) là một tập lồi, compact và khác rỗng, ta sẽ đặt :
f (x, y) = supu∈F (x) u, y − x .

Bài toán M V IP (C, F ) trở thành bài toán cân bằng EP (C, f ) (xem [9], trang
1160) .
Một trường hợp riêng quen thuộc của bài toán M V IP (C, F ) là bài toán quy
hoạch lồi COP (C, h) được định nghĩa:
Tìm x∗ ∈ C sao cho h(x∗ )

h(y), ∀y ∈ C .

Trong đó, h một hàm lồi khả dưới vi phân trên C . Như ta đã biết, điểm
x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán COP (C, h) khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài

toán bất đẳng thức biến phân đa trị M V IP (C, ∂h) sau:




Tìm x∗ ∈ C, u∗ ∈ ∂h(x∗ ) sao cho



 u ∗ , y − x∗

0, ∀y ∈ C.
20


Xét về khía cạnh kinh tế, bài toán M V IP (C, F ) chính là bài toán tìm phương
án sản xuất x∗ trong tập các phương án sản xuất C (hay tập chiến lược) và véc
tơ giá u∗ trong tập các giá thành F (x∗ ) ứng với phương án sản xuất x∗ sao cho
chi phí sản xuất là thấp nhất.
Xét về khía cạnh hình học, bài toán M V IP (C, F ), là bài toán tìm một điểm
x∗ ∈ C sao cho trong tập F (x∗ ) có một phần tử là véc tơ pháp tuyến ngoài của

tập C tại x∗ .

1.2.3

Bài toán tối ưu

Cho tập C ⊂ H lồi đóng khác rỗng, H là không gian Hilbert thực. h : C → R
là hàm số xác định trên C . Bài toán tối ưu được phát biểu:
Tìm x∗ ∈ C sao cho h(x∗ )

h(y), ∀y ∈ C .

Ta đặt f (x, y) := h(y) − h(x) thì bài toán tối ưu đươc đưa về bài toán cân
bằng EP (C, f ).

1.2.4

Bài toán điểm bất động

Giả sử C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng, H là không gian Hilbert thực
và ánh xạ đơn trị F : C → C . Khi đó, bài toán điểm bất dộng F P (C, F ) là bài
toán:
Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = F (x∗ ).
Đặt:
f (x, y) = x − F (x), y − x ∀x, y ∈ C .

21


Bài toán F P (C, F ) trở thành bài toán EP (C, f ).
Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị M F P (C, F ) là bài toán tổng quát
hơn có dạng:
Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ F (x∗ ),
ở đó F : C → 2C là ánh xạ đa trị có giá trị lồi compact khác rỗng. Đặt

f (x, y) := max x − u, y − x , x, y ∈ C .
u∈F (x)

Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán M F P (C, F ) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm
của bài toán cân bằng EP (C, f ) (Xem [3], trang 221-222).

1.2.5

Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Xét một trò chơi không hợp tác gồm có p đấu thủ, đấu thủ thứ i có tập chiến
lược là Ci ⊆ Rni và có hàm chi phí là fi : C → R với C = C1 × C2 × C3 ... × Cp
tương ứng, tức là, nếu đối thứ nhất,thứ hai, ..., thứ p, lần lượt chiến lược chơi
là x1 ∈ C1 , x2 ∈ C2 , ..., xp ∈ Cp , thì chi phí của mỗi đối thủ tương ứng sẽ là
f1 (x1 , x2 , ..., xp ), f2 (x1 , x2 , ..., xp ), ...fp (x1 , x2 , ..., xp ).

Mục tiêu của mỗi đối thủ là tìm kiếm một chiến lược chơi trong tập chiến
lược chơi tương ứng để chi phí của mình là nhỏ nhất.
Ký hiệu x = (x1 , x2 , ..., xp ) , một điểm x∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash
nếu không tồn tại một đối thủ nào có thể giảm được chi phí chỉ bằng cách thay
đổi chiến lược chơi của mình trong khi các đối thủ khác vẫn giữ nguyên chiến
lược của họ. Về mặt toán học, điểm x∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu
:
fi (x∗1 , ..., x∗i−1 , x∗i , x∗i+1 , ..., x∗p )

fi (x∗1 , ..., x∗i−1 , yi , x∗i+1 , ..., x∗p ), ∀yi ∈ Ci và ∀i = 1, p.
22


Bài toán tìm điểm cân bằng Nash x∗ được gọi là bài toán cân bằng Nash.

Nếu đặt
p
i=1 [fi (x1 , ..., xi , ..., xp ) − fi (x1 , ..., yi , ..., xp )].

f (x, y) =

Bài toán cân bằng Nash được đưa về bài toán cân bằng EP (C, f ). Hàm f xác
định bởi công thức trên được gọi là song hàm Nikaido - Isoda.

1.2.6

Bài toán điểm yên ngựa

Cho A, B là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H,
ϕ : A × B → R. Bài toán điểm yên ngựa được phát biểu như sau:





Tìm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B, sao cho



ϕ(x∗ , y)

ϕ(x∗ , y ∗ )

ϕ(x, y ∗ ), ∀(x, y) ∈ A × B.

Điểm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B của bài toán gọi là điểm yên ngựa của ϕ trên A × B .
Ta sẽ chỉ ra bài toán điểm yên ngựa có thể được mô tả dưới dạng bài toán cân
bằng.
Với mỗi u = (x, y), v = (x , y ) ∈ C = A × B ta đặt
f (u, v) := ϕ(x , y) − ϕ(x, y ).

Nếu giả sử u∗ = (x∗ , y ∗ ) ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) ta có
f (u∗ , v)

0, ∀v ∈ C

hay
ϕ(x∗ , y )

ϕ(x , y ∗ ), ∀x ∈ A, ∀y ∈ B .
23


Với x = x∗ và sau đó y = y ∗ , ta có
ϕ(x∗ , y)

ϕ(x∗ , y ∗ )

ϕ(x, y ∗ ).

Điểm (x∗ , y ∗ ) là điểm yên ngựa.
Ngược lại, giả sử (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B là điểm yên ngựa của ϕ trên A × B ta có:
ϕ(x∗ , y)

ϕ(x∗ , y ∗ )

ϕ(x, y ∗ ), ∀(x, y) ∈ A × B.

Do đó,
ϕ(x, y ∗ ) − ϕ(x∗ , y)

0, ∀(x, y) ∈ A × B,

và với x = x , y = y khi đó
ϕ(x , y ∗ ) − ϕ(x∗ , y )

Theo cách đặt, ta có f (u∗ , v)

0, ∀(x , y ) ∈ A × B .

0, ∀v ∈ C hay u∗ = (x∗ , y ∗ ) ∈ C là nghiệm của

bài toán cân bằng EP (C, f ).

1.2.7

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Trong phần này chúng tôi trình bày một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm
và một số tính chất của tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) .
Định lý 1.12. ( Xem [7], Ky Fan’s Theorem). Cho song hàm cân bằng f :
C × C → R ∪ {+∞} có các tính chất sau:

1. f (., y) nửa liên tục trên với mỗi y ∈ C ,
2. f (x, .) tựa lồi trên C với mỗi x ∈ C .

Khi đó bài toán EP (C, f ) có nghiệm, nếu C compact hoặc thỏa mãn điều kiện
bức sau:
Tồn tại tập compact B sao cho:
24


C ∩ B = ∅, x ∈ C \ B ,∃y ∈ C ∩ B : f (x, y) < 0.

Sau đây là một trường hợp riêng của định lý Ky Fan.
Định lý 1.13. (Xem [1], Định lý 3.13). Cho C là một tập lồi, compact, khác
rỗng, và song hàm cân bằng f : C × C → R ∪ {+∞} có các tính chất sau:
1. f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C ,
2. f (x, .) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C .
Khi đó bài toán cân bằng EP (C, f ) có nghiệm.
Ta nhắc lại một số định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm để xét tính
duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng.
Định nghĩa 1.9. Cho C ⊂ H. Song hàm cân bằng f : C × C → R ∪ {+∞} được
gọi là :
a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu
f (x, y) + f (y, x)

−α x − y

2

, ∀x, y ∈ C ;

b) đơn điệu chặt trên C nếu
f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C và x = y ;

c) đơn điệu trên C nếu
f (x, y) + f (y, x)

0, ∀x, y ∈ C ;

d) giả đơn điệu trên C nếu
∀x, y ∈ C : f (x, y)
25

0 ⇒ f (y, x)

0;