Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Phòng GDĐT Phù Ninh, Phú Thọ năm học 2016 2017

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi
Câu 1: Với (1  3 x ) 2  4 , ta có:
A) x = - 1

B) x = -

C) x1 = 1; x2 = -

5
3

Câu 2 : Biểu thức

x
y

A)

D) x1 = -1; x2 =

y

x
y

x
y

D) -

 12
Câu 3: Rút gọn biểu thức:
1 a

A) 6

5
3

x2
, ( y  0 ) bằng biểu thức nào sau đây:
y

B)

x

C)

5
3

B) - 6

a 2  2a  1

với a > 1, được kết quả là:
4

C) 6 (1 – a)
1  a2
48

Câu 4: Rút gọn biểu thức
A)

1
8

B) -

C)

1
(1 + a )
8

D)

D) Một kết qủa khác.

36
với a < 1, được kết quả là:
(a  1) 2

1

8

1
(1 – a2 )
8

Câu 5: Rút gọn biểu thức E =

a b
a.b
với 0 < a < b, được kết quả là:
2
a (a-b)


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

A) E =

b

B) E = - b

C) E = - a b

D) E = a b

Câu 6: Cho biểu thức

x 2

. Điêù kiện xác định của biểu thức là:
x 2

A) x > 4

B) x > 0 và x  4

C) x  0

D) x  0 và x  4

Câu 7: Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn 650
Độ dài cạnh góc vuông kề với góc 650 gần bằng giá trị nào sau đây
A) 1cm

B) 2cm

C) 1,2 cm

3
65

D) 1,27cm.

Câu 8: Cho tam giác ABC có Â = 900, AH vuông góc với BC, sinB = 0,6.
Kết quả nào sau đây là sai:
A) cos C =

AH
AC

B) cos C = sin HAC

C) cos C = 0,6

D) cos C =

CH
AC

II. PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm
Bài 1: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n  N và n > 1 không phải là số
chính phương
Bài 2: (4,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 

y x 1  x y  4
xy

Bài 3: (4,0 điểm)

x 2  yz
y 2  xz

Chứng minh rằng nếu
với x  y, yz  1, xz  1, x  0, y  0, z  0
x 1  yz  y 1  xz 
thì x  y  z 

1 1 1
 
x y z

Bài 4: (6,0 điểm)


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C
khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp
tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M; MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH
d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn
nhất đó theo R.


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán
I. PHẦN TRÁC NGHIỆM: 4,0 điểm. Đúng mỗi câu được 0,5 điểm
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

Đáp án

D

C

A

C

A

D

D

A

II. PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm
Bài 1: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n  N và n >1 không phải
là số chính phương
Bài
1

Gợi ý

Điểm

n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = n2.(n4 – n2 + 2n + 2)

0,5

= n2.[n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]
= n2[(n + 1)(n3 – n2 + 2)]

0,5

= n2(n + 1).[(n3 + 1) – (n2 - 1)]
= n2(n+1)2.( n2 – 2n + 2)
Với n  N, n >1 thì n2- 2n + 2 = (n - 1)2 + 1 > (n – 1)2

0,5

và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2  n2 – 2n + 2 không phải là một số

0,5

chính phương
2
Với điều kiện x  1, y  4 ta có: M =

x 1

x

y4
y

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,
Ta có:


1  x 1 x
x  1  1 x  1 

2
2

x 1 1
(vì x dương)

x
2

Và: y  4 

1
1 4 y4 y
4  y  4  

2
2
2
4

0,25
0,5
0,5
0,5
0,75


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí



Suy ra: M =

x 1

x

0,5

y4 1 1 3
  

y
2 4 4

Vậy giá trị lớn nhất của M là
3

0,5

y4 1

(vì y dương)
y
4

3
 x = 2, y = 8
4

0,5

x 2  yz
y 2  xz

x 1  yz  y 1  xz 
  x 2  yz   y  xyz    y 2  xz   x  xyz 

0,5

 x 2 y  x3 yz  y 2 z  xy 2 z 2  xy 2  xy 3 z  x 2 z  x 2 yz 2  0
  x y  xy

2

2

   x yz  xy z    x z  y z    x
3

3

2

2

2

yz  xy z
2

2 2

0

 xy  x  y   xyz  x 2  y 2   z  x 2  y 2   xyz 2  x  y   0
  x  y   xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz 2   0

 xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz 2  0 (vì x  y  x  y  0 )
 xy  xz  yz  xyz  x  y   xyz

2

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5



2
xy  xz  yz xyz  x  y   xyz

(vì xyz  0 )
xyz
xyz

0,5



1 1 1
   x yz
x y z

0,5


M
C

I

A

4

K

O

H

B

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Hình vẽ
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng
thuộc một đường tròn
Chứng minh OI  AC  OIC vuông tại
I => I thuộc đường tròn đường kính OC.
CH  AB  gt   CHO vuông tại H => H

thuộc đường tròn đường kính OC.
=> I, H cùng thuộc đường tròn đường kính

1,5

OC. Hay 4 điểm C, I, H, O cùng thuộc
một đường tròn đường kính OC.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R)


- Chứng minh 
AOM  COM

- Chứng minh AOM  COM

1,5

- Chứng minh MC  CO
 MC là tiếp tuyến của (O, R)

c) Chứng minh K là trung điểm của CH
MAB có KH // MA ( vì cùng  AB )


KH HB
AM .HB AM .HB
(1)

 KH 

AM AB
AB
R

 ( đồng vị)
AOM  CBH
Chứng minh CB // MO  

Chứng minh MAO  CHB 

MA AO
AM .HB AM .HB
(2)

 CH 

CH HB
AO
R

Từ (1) và (2)  CH = 2CK  CK = KH  K là trung điểm của CH.

1,5


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN? Tìm
GTLN đó?
Chu vi tam giác ACB là: PACB  AB  AC  CB  2 R  AC  BC
Ta lại có:

 AC  CB

2

 0  AC 2  BC 2  2 AC.BC  2  AC 2  BC 2    AC  CB 

 AC  CB  2  AC  CB

2

2

  AC  CB 

2 AB

2

2

(định lý Pi -Ta - Go)

 AC  CB  2.4 R 2  AC  CB  2 R 2

Đẳng thức xảy ra khi AC = CB  M là điểm chính giữa cung AB.



Suy ra PACB  2 R  2 R 2  2 R 1  2



Dấu bằng xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB.





Vậy MaxPCAB  2 R 1  2  M là điểm chính giữa cung AB

1,5