Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Phòng GDĐT Vĩnh Lộc, Thanh Hóa năm học 2016 2017

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức P =

3x  9 x  3
x x 2



x 1
x 2

x 2



x 1

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b. Tìm x để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .
b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng

1 1

 4
a b

 a  b  . 

Bài 3: (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'.
a. Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B
  900 . Chứng minh rằng AM = AN.
b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho 
AMC  ANB

c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'.
Chứng minh rằng cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 

S'
S

Bài 5: (2,0 điểm)
Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  y 
A  3x  4 y 

2
8

5x 7 y

34
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
35


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài

Nội dung cần đạt

Điểm

Câu a: (2,0 điểm)
- Tìm được ĐKXĐ: x  0, x  1

0,5

- Ta có
3x  9 x  3
x x 2



1




x 1



x2

3x  3 x  3
( x  2)( x  1)



0,5

x 2



x 1

( x  1)( x  1)
( x  2)( x  1)



( x  2)( x  2)
( x  2)( x  1)

3x  3 x  3  x  1  x  4
( x  2)( x  1)

0,5

x3 x 2
( x  2)( x  1)
( x  2)( x  1)
( x  2)( x  1)



x 1

0,5

x 1

Câu b: (2,0 điểm)
- Ta có: P < 0


x 1
x 1

0,5

0

 x  1  0(do x  1  0)
 x 1

1,0

 x 1

- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0  x  1 thì P < 0.

0,5

Câu a: (2,0 điểm)
Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .
- ĐKXĐ x  5 .
0,25

- Ta có
x 2  7 x  6 x  5  30
 x 2  8 x  16  x  5  6 x  5  9  0
  x  4 
2





2

x53  0


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

- Vì

 x  4

2

 0;





2

x  5  3  0 nên

1,0

 x  4  2  0


2
 x  5  3  0
 x  4  0

 x  5  3  0
 x4





0,5
0,25

(thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nghiệm của phương trình đã cho là x = 4
2

Câu b: (2,0 điểm)
1


1

Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng  a  b  .     4
a b


0,75

- Ta có
1 1
a b
   2 
b a
a b

 a  b  . 

- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương

a b
a b
 2 . 2
b a
b a

0,75

0,5

1 1
- Do đó  a  b  .     4
a b

Câu a: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
- Để A là số chính phương thì A = n 2 + n + 6 = a2 (a  N )
 4n 2  4n  24  4a 2

3

0,25
0,5

- Ta có: n 2 + n + 6 =a2   2a    2n  1  23
2

2

  2a  2n  1 .  2a  2n  1   23

0,5

- Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và
2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1. Do đó

0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
 2a  2n  1  23

 2a  2n  1  1
 4a  24

 4n  20
a  6

n  5

0,5

- Vậy n = 5

Câu b: (2,0 điểm)
Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
1,0

- Xét phép chia của xy cho 3

Nếu xy không chia hết cho 3 thì
 x  1(mod 3)

 y  1(mod 3)
2
 x  1(mod 3)
 2
 y  1(mod 3)

(Vô lí)

 z 2  x 2  y 2  2(mod 3)

Vậy xy chia hết cho 3 (1)
- Xét phép chia của xy cho 4
Nếu xy không chia hết cho 4 thì
 x  1(mod 4)

 y  1(mod 4)
 x 2  1(mod 4)

TH1:  

2
 y  1(mod 4)
 z 2  x 2  y 2  2(mod 4)

0,5
(vô lí )

TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1.
Không mất tính tổng quát giả sử


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
 x  1(mod 4)

 y  2(mod 4)
 x 2  1(mod 8)
( vô lí)
 2
 y  4(mod 8)
 z 2  x 2  y 2  5(mod 8)

0,5

- Vậy xy chia hết cho 4 (2)
- Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12
A

B'

C

N

M

4

B

A'

C

Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B
- Xét ΔAC'C;ΔAB'B có
Góc A chung

2,0

'  C
'  90 0
B

Suy ra: ΔAC'C  ΔAB'B
Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN.

0,5

- Xét AMC vuông tại M đường cao MB'
AM 2  AB '.AC

0,5

- Xét ANB vuông tại N đường cao NC'

0,5

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

0,5

AN 2  AC '.AB

- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB
- Do đó: AM = AN
Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 
- Chỉ ra được
- Tương tự

S AB 'C '  AB ' 
2

  cos A
S ABC  AB 

S BA 'C '
 cos 2 B
S ABC

0,5

- Do đó:

0,5

S

 S BA 'C '  SCA ' B '
cos A  cos B  cos C  AB 'C '
S ABC


2

S ABC  S A ' B 'C '
S ABC

0,5

2

SCA ' B '
 cos 2 C
S ABC

2

S'
S

2

 1

0,5

S'

S

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  y 

34
35

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  3x  4 y 

2
8

5x 7 y

0,5

- Ta có:
2
8

5x 7 y
1
1
2 5x 8 7 y
 x y  

2
2
5x 2 7 y 2
A  3x  4 y 

5

0,5

- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được
2 5x
2.5 x

2
2
5x 2
5 x.2
8 7x
8.7 x

2
4
7x 2
7 x.2

0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

- Vì x  y 

34
1 34

17
nên A  .  2  4  6
35
2 35
35

 2 5x
 5x  2
2


x

 8 7y

5

- Dấu "=" xảy ra khi  
7 y 2
y  4

7

34
x  y 
35

2

 x  5

17
- A đạt giá trị nhỏ nhất là 6
khi 
35
y  4

7

0,5

0,25