Nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn

Header Page 1 of 120

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tạ Thị Huyền

NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU
CỦA NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Footer Page 1 of 120


Header Page 2 of 120

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tạ Thị Huyền

NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU
CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

Footer Page 2 of 120


Header Page 3 of 120

3

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn tôi đã gặp không ít khó khăn do hạn chế về thời gian
và kiến thức. Tuy nhiên tôi luôn nhận đươc sự quan tâm, giúp đỡ nhiệt tình, sự động
viên kịp thời từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè. Bởi vậy mà tôi xin được gửi lời
cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất của mình đến:
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Mỵ Vinh Quang
người thầy đáng kính đã trực tiếp giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy trong tổ Đại số như: TS. Trần Huyên,
TS. Trần Tuấn Nam, PGS. TS. Bùi Tường Trí, PGS. TS. Bùi Xuân Hải, các Thầy đã
trực tiếp giảng dạy cung cấp cho tôi những bài giảng hay, những kiến thức cơ bản
và bổ ích của Đại số để tôi có nền tảng và cơ sở hoàn thành luận văn này.
Xin gửi lời cảm ơn đến 16 thành viên trong lớp Đại số & lý thuyết số K21,
những người anh, người chị và những người bạn tốt đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn này.
Cuối cùng tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình thân yêu của tôi: ông bà và
ba mẹ …đã luôn bên tôi, tạo điều kiện tốt nhất để tôi có điều kiện học tập và công
tác, là chỗ dựa vững chắc tiếp thêm sức mạnh và là nguồn động lực lớn để tôi có thể

hoàn thành được luận văn này.
Tp. HCM, ngày 20 tháng 09 năm 2012
Tác giả

Tạ Thị Huyền

Footer Page 3 of 120


Header Page 4 of 120

4

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................3
MỤC LỤC ..................................................................................................................4
MỘT SỐ KÝ HIỆU ...................................................................................................5
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................6
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................8
1.1.

Một số định lý cơ bản về đẳng cấu .............................................................8

1.2.

Định lý Sylow .............................................................................................10

1.3.

Nhóm con á chuẩn tắc ...............................................................................12

1.4.

Nhóm con đặc trưng ..................................................................................12

1.5.

Nhóm con Frattini .....................................................................................14

1.6.

Nhóm siêu giải được ..................................................................................15

1.7.

Nhóm luỹ linh .............................................................................................20

1.8.

Nhóm con pronormal ................................................................................21

1.9.

Nhóm con Fitting .......................................................................................22

1.10.

Nhóm con Fitting suy rộng ....................................................................23

1.11.

H –nhóm con ...........................................................................................27

1.12.

Lớp bão hoà F .........................................................................................27

Chương 2: NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN ........29
2.1. Định nghĩa và một số nhận xét về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm ...29
2.2. Một số tính chất về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn. ...........30
2.3. Các định lý quan trọng về nhóm con chuẩn tắc yếu. ................................33
KẾT LUẬN ..............................................................................................................42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................43

Footer Page 4 of 120


Header Page 5 of 120

5

MỘT SỐ KÝ HIỆU
•

H ≤G

: H là nhóm con của G

•

H
: H là nhóm con thực sự của G

•

H G

: H là nhóm con chuẩn tắc của G

•

H  G

: H là nhóm con á chuẩn tắc của G

•

Φ (G )

: Nhóm con Frattini của nhóm G

• F(G)

: Nhóm con Fitting của nhóm G

•

F * (G )

: Nhóm con Fitting suy rộng của nhóm G

•

Z (G )

: Tâm của G

•

Z ∞ (G )

: Siêu tâm của G

•

x a = a −1 xa

: Phần tử liên hợp với phần tử x trong một nhóm

•

H x = x −1 Hx

: Nhóm con liên hợp với nhóm H

•

NG ( H )

: Chuẩn hoá tử của H trong G

•

CG ( H )

: Tâm hoá tử của H trong G

•

G

: Nhóm thương của nhóm G trên H

•

G

H

: Cấp của nhóm G

• InnG

: Tập hợp các tự đẳng cấu trong G

•

: Nhóm con sinh bởi phần tử x

x

• Syl p (G)

Footer Page 5 of 120

: Tập hợp các p-nhóm con Sylow của G


Header Page 6 of 120

6

MỞ ĐẦU
Lý thuyết nhóm là một nhánh cơ bản của đại số, nghiên cứu các tính chất của
nhóm, nó được hình thành vào khoảng thế kỷ thứ XIX. Nhiều khái niệm của đại số
đã được xây dựng lại từ khái niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho
sự phát triển của một ngành quan trọng trong toán học.
Nhắc tới lý thuyết nhóm hữu hạn, thì chúng ta không thể bỏ qua những khái
niệm cơ bản và nền tảng như: Định lý Sylow và ứng dụng, một nhóm được hình
thành bởi một dãy siêu giải được, đó là nhóm siêu giải được, hay nhóm được hình
thành từ một dãy tâm đó là nhóm luỹ linh và một số tính chất cơ bản của chúng…
Khi được đọc bài báo viết về “Nhóm con chuẩn tắc yếu của một nhóm hữu
hạn” đã làm cho tôi có một cách nhìn mới hơn, được hiểu rõ hơn về tính siêu giải
được và tính luỹ linh của một nhóm hữu hạn G khi nghiên cứu nó thông qua nhóm
con chuẩn tắc yếu. Đây là một kiến thức mới đối với tôi ngoài những tính chất mà
tôi đã được học và đọc về nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh.
Và đó cũng chính là lý do khiến tôi chọn đề tài:
“Nhóm con chuẩn tắc yếu của một nhóm hữu hạn”
Nội dung luận văn tham khảo một số kết quả các bài báo [8], [17] và một số bài

báo khác.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương

Footer Page 6 of 120


Header Page 7 of 120

7

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm như:
nhóm con Fitting, nhóm con Fitting suy rộng, nhóm con á chuẩn tắc, nhóm con
Frattini, nhóm siêu giải được, nhóm luỹ linh, và một số tính chất đặc trưng đã biết
của nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh.
Chương 2: Nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn
Chương này sẽ trình bày định nghĩa, các tính chất của nhóm con chuẩn tắc
yếu và những tính chất đặc trưng khác của nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh
thông qua việc nghiên cứu nhóm con chuẩn tắc yếu.
Tuy có nhiếu cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những
thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn
học viên.

Footer Page 7 of 120


Header Page 8 of 120

8

Chương 1:
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản, có vai trò quan trọng trong
việc nghiên cứu lý thuyết nhóm hữu hạn như:
Định lý được xem là nền tảng của lý thuyết nhóm hữu hạn là lớp p-nhóm và
định lý Sylow.
Trình bày lại một số định lý về đẳng cấu trong đại số, định nghĩa và những
tính chất cơ bản nhất của nhóm siêu giải được, nhóm luỹ linh, nhóm con Frattini,
nhóm con pronormal, nhóm con á chuẩn tắc…là cơ sở lôgic để trình bày những kết
quả chính trong chương 2.
Vì phần chính là trong chương 2 nên bên cạnh một số kết quả trình bày lại
chi tiết chứng minh, thì một số kết quả chỉ nêu ra chứ không đi vào chứng minh chi
tiết cụ thể.
Nhóm được đề cập đến trong luận văn này đều là nhóm hữu hạn.
1.1. Một số định lý cơ bản về đẳng cấu
1.1.1. Định lý. Cho H, K là các nhóm con của G với H , K  G . Khi đó
(1) K ∩ H ≤ H , K ∩ H  K , KH ≤ G và K / ( K ∩ H )  KH / H
(2) Tồn tại một đơn cấu ϕ : G / ( K ∩ H ) → G / K × G / H
Chứng minh
(1) Dễ dàng chứng minh được K ∩ H ≤ H , K ∩ H  K , KH ≤ G
Xét ánh xạ ϕ : K    KH

→
/H
k

k.e.H = kH

ϕ là đồng cấu: ϕ
=

(k1.k2 ) k=
k1=
e.k2 e.H k1eH
=
.k2 eH ϕ (k1 ).ϕ (k2 )
1 .k 2 .e.H
ϕ là toàn cấu: ∀k h H ∈ KH / H ta có ∃k ∈ K thoả ϕ=
(k ) keH
= khH vì h ∈ H

Footer Page 8 of 120


Header Page 9 of 120

9

Theo định lý Nơte ta có K / Kerϕ  KH / H
Lấy k ∈ Kerϕ ⇒ ϕ (k ) = keH = H ⇒ k ∈ H ⇒ k ∈ K ∩ H ⇒ Kerϕ ⊂ K ∩ H
Lấy k ∈ K ∩ H ⇒ ϕ (k ) = H ⇒ k ∈ Kerϕ ⇒ K ∩ H ⊂ Kerϕ
Từ đó suy ra Kerϕ= K ∩ H
■

Vậy K / K ∩ H  KH / H
Xét ánh xạ ϕ : G → G / K × G / H
g  ( gK , gH )
ϕ là một đồng cấu vì với mọi g1 , g 2 ∈ G ta có

=
ϕ ( g1 g 2 ) (=

g1 g 2 K , g1 g 2 H ) ( g1 Kg
=
( g1 K , g1=
H )( g 2 K , g 2 H ) ϕ ( g1 )ϕ ( g 2 )
2 K , g1 Hg 2 H )

g ∈ K
nên gK=K và gH=H, do đó
Kerϕ= K ∩ H vì với mọi g ∈ K ∩ H ⇒ 
g ∈ H
=
ϕ ( g ) (=
gK , gH ) ( K , H ) là phần tử đơn vị của G/K×G/H, suy ra g ∈ Kerϕ

g ∈ K
⇒ g∈K ∩H
g ∈ H

( g ) ( K ,=
H ) ( gK , gH ) ⇒ 
Ngược lại với mọi g ∈ Kerϕ ⇒ ϕ=

Vậy ta có một đơn ánh ϕ : G / K ∩ H → G / K × G / H

■

1.1.2. Định lý. Giả sử H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G và H  K .
Khi đó:
K / H  G / H và G / K  (G / H ) / ( K / H )

Chứng minh
Xét tương ứng:
ϕ :G / H → G / K
gH  gK

Tương ứng trên là một ánh xạ vì nếu có xH = yH ( x, y ∈ G ) thì suy ra
x −1 y ∈ H ≤ K ⇒ x −1 y ∈ K do đó xK = yK

Hiển nhiên ϕ là một toàn ánh
ϕ là một đồng cấu vì ϕ ( xH . yH
=
) ϕ ( xy.=
H ) xyK
= xK .=
yK ϕ ( xH )ϕ ( yH )

Footer Page 9 of 120


Header Page 10 of 120

10

Mặt khác ta có:
Kerϕ =
eK } =
eK }
{ gH ∈ G / H / ϕ ( gH ) =
{ gH ∈ G / H / gK =
=

{ gH ∈ G / H / g ∈ K } =

K/H

Kerϕ  G / H hay K / H  G / H

Vậy ta có

■

và G / H / Kerϕ  G / K hay (G / H ) / ( K / H )  G / K

1.1.3. Định lý. Giả sử H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G và H∩K=1.
Khi đó:
HK  H × K

Chứng minh
Do H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G nên với mọi (h, k ) ∈ H × K ta có
1
(h −1k −1h)k ∈ K và h −1 (k −1hk ) ∈ H từ đó suy ra h −1k −1hk ∈ H ∩ K =

Suy ra hk = kh với mọi h ∈ H , k ∈ K
Xét ánh xạ
ϕ : H × K → HK
(h, k )  hk

Dễ thấy ϕ là một toàn ánh. Hơn nữa với mọi (h, k ), (h ', k ') ∈ H × K ta có
', kk ') hh
' kk ' hkh

' k ' ϕ (h, k )ϕ (h ', k ') . Suy ra ϕ là một đồng cấu
ϕ (hh=
=
=

Mặt khác:
(h, k ) ∈ K e r ϕ ⇔ ϕ (h, k ) =1 ⇔ hk =1 ⇔ k = h −1 ∈ H ∩ K =1 ⇒ h = k =1

Suy ra ϕ là đơn cấu. Vậy ϕ là một đẳng cấu.

■

1.2. Định lý Sylow
1.2.1. Định nghĩa.
Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Khi đó
• Nhóm G được gọi là p-nhóm nếu mọi phần tử của G đều có cấp là luỹ
thừa của số nguyên tố p.
• Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm.

Footer Page 10 of 120


Header Page 11 of 120

11

• p-nhóm con Sylow của G chính là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con
của G theo quan hệ bao hàm.
1.2.2. Định lý Sylow
Cho p là một số nguyên tố, G là một nhóm hữu hạn, G = p n m với (m, p) = 1.

Khi đó:
i)

Với mọi 1 ≤ k ≤ n , tồn tại trong G một p-nhóm con có cấp p k . Nói
riêng, tồn tại trong G các p-nhóm con Sylow.

ii)

Mọi p-nhóm con H của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào
đó của G.

iii)

Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.

iv)

Nếu r là số các p-nhóm con Sylow của G thì r m và r ≡ 1(mod p)

1.2.3. Bổ đề Frattini
Cho G là một nhóm hữu hạn, và H  G . Khi đó nếu P là một p-nhóm
con Sylow của H thì G = HN G ( P) .
Chứng minh
Với mọi x ∈ G ta có P x ≤ H x nên P và P x liên hợp nhau trong H, do đó tồn
tại h ∈ H sao cho P x = P h .
Suy ra h −1 x ∈ N G ( P)
Do=
đó x h(h −1 x) ∈ HN G ( P)
Như vậy G ⊆ HN G ( P) , kết hợp với HN G ( P) ⊆ G
Vậy G = HN G ( P) .

Footer Page 11 of 120

■


Header Page 12 of 120

12

1.2.4. Định lý
Cho G là một nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p-nhóm con Sylow với
mỗi p là ước nguyên tố của G thì G là tích trực tiếp của các p-nhóm con Sylow
của nó.
1.3. Nhóm con á chuẩn tắc
Nhóm con H của G được gọi là á chuẩn tắc (subnormal) nếu tồn tại dãy
các nhóm con H G=
=
G và được ký hiệu là H  G.
0  G1  G2  .... Gn
1.4. Nhóm con đặc trưng
1.4.1. Định nghĩa
Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G, ký hiệu
là H char G nếu ϕ ( H ) = H với ∀ϕ ∈ Aut (G ) trong đó Aut(G) là tập hợp tất cả
các tự đẳng cấu của G.
1.4.2. Mệnh đề
i)

Nếu ϕ ( H ) ≤ H , ∀ϕ ∈ Aut (G ) thì H char G.

ii)

Nếu H char G thì H  G .

iii)

Nếu H char K và K char G thì H char G.

iv)

Nếu H char K và K  G thì H  G .

v)

Nếu H ≤ K ≤ G và H char G, K/H char G/H thì K char G.

Chứng minh
i) Với mọi ϕ ∈ Aut (G ) ta có ϕ −1 ∈ Aut (G ) vì ϕ là một tự đẳng cấu của G
Ta có ϕ ( H ) ≤ H và ϕ −1 ( H ) ≤ H
Do đó =
H ϕ (ϕ −1 ( H )) ≤ ϕ ( H ) ≤ H
Từ đó suy ra ϕ ( H=
) H (∀ϕ ∈ Aut (G ))
Vậy H char G.

Footer Page 12 of 120


Header Page 13 of 120

13

ii) Giả sử H char G và lấy x là một phẩn tử bất kỳ trong G. Xét ánh xạ
ϕx : G → G
a  a x = x −1ax

Rõ ràng ϕ x là một tự đẳng cấu của G. Thật vậy với mọi a, b ∈ G ta có
−1
−1
−1
ϕ=
x=
abx x −1a( xx=
)bx ( x −1ax)( x=
bx) ϕ x (a )ϕ x (b)
x ( a.b)

ϕ x là đơn ánh vì với mọi a, b ∈ G, ϕ x (a ) = ϕ x (b) ⇔ x −1ax = x −1bx ⇔ a=b (do

trong nhóm có luật giản ước)
ϕ x là toàn ánh vì với mọi b ∈ G , xét phần tử a = xbx −1 khi đó
−1
−1
ϕ=
x=
ax x −1 (xbx=
)x b
x (a)

= ϕ x ( H=

) H x (∀x ∈ G ) suy ra H  G.
Từ đó suy ra ϕ x ∈ Aut (G ) nên H

iii) Giả sử ϕ là một tự đẳng cấu bất kỳ của G
Vì K char G nên ϕ ( K ) = K , do đó

ϕ
K

: K → K là một tự đẳng cấu của K.

Mà H char K =
nên H ϕ=
(H ) ϕ (H )
K
Vậy H char G.
iv) Lấy a ∈ G , xét ánh xạ
ϕ :G → G
x  xa

Rõ ràng ϕ ∈ Aut (G )
Vì K  G nên ϕ ( K ) = K do đó ϕ K :K → K là một tự đẳng cấu của K .
a
Mà H char K nên
ϕ (h) ∈ H (∀h ∈ H )
=
H ϕ=
( H ) ϕ ( H ) . Suy ra h=
K

có nghĩa là H a ≤ H .
Vậy H  G .
v) Với mọi ϕ ∈ Aut (G ) ta có ϕ ( H ) = H vì H char G
Do đó ta có thể định nghĩa ánh xạ ϕ ' trên G / H như sau
ϕ ': G / H → G / H
xH  ϕ ( x) H

Footer Page 13 of 120


Header Page 14 of 120

14

Khi đó dễ dàng chứng minh ϕ ' xác định và là một đẳng cấu, nghĩa là
ϕ ' ∈ Aut (G / H ).

Mà theo giả thiết K / H char G / H , suy ra ϕ '( K / H ) = K / H .
Nghĩa là với mọi x ∈ K ta có ϕ =
'( xH ) ϕ ( x) H ∈ K / H .
Do đó ϕ ( x) ∈ K hay ϕ ( K ) ≤ K (∀ϕ ∈ Aut (G )) nên theo i) suy ra K char G .
1.5. Nhóm con Frattini
1.5.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G
(nếu có) được gọi là nhóm con Frattini của G, ký hiệu là Φ (G ) .
Nhóm con Frattini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kỳ. Nếu G
không có các nhóm con tối đại thì ta quy ước Φ (G ) =
G.
1.5.2. Mệnh đề. Cho G là một nhóm. Khi đó Φ (G ) char G, và Φ (G ) G
Chứng minh

Nếu G không có nhóm con tối đại thì Φ (G ) =
G , mệnh đề hiển nhiên đúng.
Giả sử trong G có ( M i )i∈I là họ tất cả các nhóm con tối đại của G . Khi đó với
mọi ϕ ∈ Aut (G ) , ϕ −1 ( M i ) cũng là nhóm con tối đại của G với mọi i ∈ I ,
do Φ (G ) là giao của tất cả các nhóm con tối đại của G nên ta có
Φ (G ) ⊆ ϕ −1 ( M i ), ∀i ∈ I

Suy ra Φ (G ) ⊆ ϕ −1 ( M i ) = ϕ −1 (Φ (G )).
i∈I

Hay ϕ (Φ (G )) ⊆ Φ (G ), ∀ϕ ∈ Aut (G ) . Suy ra Φ (G )  G .

■

1.5.3. Định lý Frattini. Nếu G là một nhóm hữu hạn thì Φ (G ) là nhóm con luỹ
linh của G.
1.5.4. Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn, N  G . Khi đó Φ ( N ) ≤ Φ (G ) .
Chứng minh
Giả sử Φ ( N ) không là nhóm con của Φ (G )

Footer Page 14 of 120


Header Page 15 of 120

15

⇒ ∃M là nhóm con tối đại của G sao cho M không chứa Φ ( N ) (*)

Do tính tối đại của M nên ta có M Φ ( N ) =

G.
⇒ N = N ∩ G = N ∩ M Φ ( N ) = N Φ ( N ) ∩ M Φ ( N ) = Φ ( N )( N ∩ M )
⇒N ∩M ≤ N

Nếu N ∩ M =
N thì Φ ( N ) ≤ N ≤ M (mâu thuẫn (*)).
Nếu N ∩ M < N thì ∃N1 là nhóm con tối đại của N và chứa N ∩ M
⇒ N = N1Φ ( N )

Mà Φ ( N ) ≤ N1 nên N = N 1 (vô lý)
Vậy Φ ( N ) ≤ Φ (G ) .

■

1.5.5. Định lý. Cho G là một nhóm. Khi đó Φ (G ) chính là tập tất cả các phần tử
không sinh của G .
Chứng minh
Giả sử x  G là phần tử không sinh của G, và M là một nhóm con tối đại bất
kỳ của G. Khi đó nếu x  M thì G  M , x  M (mâu thuẫn). Do đó x  M,
với mọi nhóm con tối đại M. Suy ra, x ∈ Φ (G ) .
Ngược lại, lấy z ∈ Φ (G ) và giả sử rằng G  z ,Y . Nếu Y  G thì tồn tại
nhóm con tối đại M sao cho Y  M , nhưng z cũng thuộc M, do đó
z ,Y  M (mâu thuẫn). Vậy z là phần tử không sinh của G . ∎

1.5.6. Mệnh đề. Cho nhóm G, H là nhóm con của G, Φ (G ) hữu hạn sinh nếu
G = Φ (G ) H thì H = G .

1.6. Nhóm siêu giải được
1.6.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm, dãy các nhóm con chuẩn tắc của G

1 G=
G được gọi là một dãy siêu giải được của
=
0  G1  G2  .....  Gn −1  Gn

G nếu Gi +1 / Gi là nhóm cyclic với mọi 0 ≤ i ≤ n .

Footer Page 15 of 120


Header Page 16 of 120

16

G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được.

Ví dụ: Mọi nhóm cyclic G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải được là
1 G

1.6.2. Định lý
Mọi nhóm con của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được.
Chứng minh
Giả sử G là nhóm siêu giải được và H là nhóm con của G. Do G là nhóm
siêu giải được nên tồn tại một dãy siêu giải được của G.
1 G=
G
=
0  G1  G2  ......  Gn −1  Gn

Xét dãy các nhóm con của H

1 = H ∩ G0 ≤ H ∩ G1 ≤ ...... ≤ H ∩ Gn = H ∩ G = H

(*)

Ta có
H ∩ Gi  H ∩ Gi +1
H ∩ Gi  H

(∀=
i 0, n − 1) do Gi  Gi +1

( ∀=i 0, n − 1 ) theo 1.1.1.(1)

Suy ra (*) là dãy các nhóm con chuẩn tắc của H
Mặt khác ta lại có: ( H ∩ Gi +1 ) / ( H ∩ Gi ) = ( H ∩ Gi +1 ) / (( H ∩ Gi +1 ) ∩ Gi )
Theo 1.1.1. (1) ta có ( H ∩ Gi +1 ) / (( H ∩ Gi +1 ) ∩ Gi )  ( H ∩ Gi +1 )Gi / Gi
Mà ( H ∩ Gi +1 )Gi / Gi ≤ Gi +1 / Gi là nhóm cyclic nên ( H ∩ Gi +1 )Gi / Gi là
nhóm cyclic.
Do đó (*) là dãy siêu giải được của H
Vậy H là nhóm siêu giải được.

■

1.6.3. Định lý
Mọi nhóm thương của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được.
Chứng minh
Giả sử G là nhóm siêu giải được và H  G , cần chứng minh G / H là nhóm
siêu giải được. Thật vậy
Do G là nhóm siêu giải được nên tồn tại một dãy siêu giải được của G.

Footer Page 16 of 120


Header Page 17 of 120

17

=
1 G=
G
0  G1  G2  ......  Gn −1  Gn

Ta có H , Gi  G ⇒ Gi .H  G và Gi H  Gi +1 H
Suy ra (Gi H ) / H  G / H (∀i =0, n) và (Gi H ) / H  (Gi +1 H ) / H (∀=i 0, n − 1)
Do đó ta có dãy các nhóm con chuẩn tắc của G / H
H /H

(G
=
G / H (**)
0 H ) / H  (G1 H ) / H ......(Gn −1 H ) / H  (Gn H ) / H

Theo định lý 1.1.2 ta có
((Gi +1 H ) / H ) / ((Gi H ) / H )  (Gi +1 H ) / (Gi H ) = (Gi +1 (Gi H )) / (Gi H )

Theo 1.1.1. (1) có (Gi +1 (Gi H )) / (Gi H )  Gi +1 / (Gi H ∩ Gi +1 )
Lại có Gi +1 / (Gi H ∩ Gi +1 )  (Gi +1 / Gi ) / ((Gi H ∩ Gi +1 ) / Gi ) .
Do Gi +1 / Gi là nhóm cyclic, suy ra (G i +1 / Gi ) / (Gi H ∩ G i +1 / Gi ) là nhóm cyclic.
Suy ra ((Gi +1 H ) / H ) / ((Gi H ) / H ) là nhóm cyclic.
Do đó (**) là dãy siêu giải được của G / H

Vậy G / H là nhóm siêu giải được.

■

1.6.4. Định lý
Nếu mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số trong G là một số nguyên tố thì
G là nhóm siêu giải được.
1.6.5. Mệnh đề
Cho G là một nhóm hữu hạn, G / Φ (G ) là nhóm siêu giải được. Khi đó G là
nhóm siêu giải được.
Chứng minh
Với mọi M là nhóm con tối đại của G ta có Φ (G ) ⊂ M
Mà Φ (G )  G
⇒ Φ (G )  M và M / Φ (G ) là nhóm con tối đại của G / Φ (G ) .

Vì G / Φ (G ) là nhóm siêu giải được nên [G / Φ (G ) : M / Φ (G )] là một số nguyên
tố.
Mà [G : M ] =Φ
[G / (G ) : M / Φ (G )]

Footer Page 17 of 120


Header Page 18 of 120

18

⇒ [G : M ] là một số nguyên tố với mọi M là nhóm con tối đại của G.

Vậy theo Định lý 1.6.4, ta có G là nhóm siêu giải được.

■

1.6.6. Mệnh đề. Nếu G/Z(G) siêu giải được thì G siêu giải được.
Chứng minh
Do G/Z(G) siêu giải được nên ta có một dãy siêu giải được
=
1 G=
G / Z (G )
1  G2 .... Gn −1  Gn

Khi đó G = G / Z (G ) và Gi +1 / Gi  Gi +1 / Gi (vì Gi +1 / Gi = (Gi +1 / Z (G )) / (Gi / Z (G ))
Xét đồng cấu tự nhiên ϕ : G → G / Z (G )
Đặt Gi = ϕ −1 (Gi ) . Khi đó Gi  G
Xét dãy Z (G ) ≤ G1 ≤ G2 ≤ ... ≤ Gn =
G
Do Z(G) là Aben nên 1 ≤ Z (G ) có thể làm mịn thành dãy cyclic
Z 0 =1 ≤ Z1 ≤ ..... ≤ Z m =Z (G )

Vậy ta có một dãy siêu giải được
Z 0 =1 ≤ Z1 ≤ .... ≤ Z m =Z (G ) ≤ G1 ≤ G2 ≤ ..... ≤ Gn =G

Do vậy G là siêu giải được.

■

1.6.7. Định lý
Cho H, K là hai nhóm siêu giải được. Khi đó H×K là nhóm siêu giải được.
Chứng minh
Do H là nhóm siêu giải được nên H có một dãy siêu giải được

=
1 H=
H
0  H1  H 2  .... H n

Do K là nhóm siêu giải được nên K có một dãy siêu giải được
1 K=
K
=
0  K1  ...... K m −1  K m

Ta có H i  H (∀i= 0, n) ⇒ H i ×1= H i × K 0  H × K
K j  K (=
∀j 0, m) ⇒ H × K j  H × K

Mà ( H i +1 ×1) / ( H i ×1)  ( H i +1 / H i ) × (1/1)  H i +1 / H i (∀=i 0, n − 1)

Footer Page 18 of 120


Header Page 19 of 120

19

j 0, m − 1)
( H × K j +1 ) / ( H × K j )  ( H / H ) × ( K j +1 / K j )  K j +1 / K j (∀=

Do H i +1 / H i , K j +1 / K j là nhóm cyclic, suy ra ( H i +1 ×1) / ( H i ×1), ( H × K j +1 ) / ( H × K j )
là nhóm cyclic.
Do đó 1×1 = H 0 ×1 H1 ×1 ...... H n ×1 = H ×1 = H × K 0  H × K1  ..... H × K m = H × K

là một dãy siêu giải được của H × K .
Vậy H × K là nhóm siêu giải được.

■

1.6.8. Định lý
Cho H1 , H 2 , H 3 .....H n là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó ta có
n

G / H1 , G / H 2 , G / H 3 ,...., G / H n là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G / (∩ H i ) là
i =1

nhóm siêu giải được.
Chứng minh
(⇒) Xét đồng cấu nhóm ϕ : G → G / H1 × G / H 2 × .... × G / H n
g  ( gH1 ,...., gH n )
n

0} =
Ta có Ker ϕ =
{ g ∈ G / ( gH1 ,...., gH n ) =
 Hi
i =1

n

Theo định lý Nơte ta có G / Kerϕ  Imϕ ⇒ G / ( H i )  Imϕ
i =1

n

Theo 1.6.7 thì × G / H i là nhóm siêu giải được
i =1

n

Mà Im ϕ ≤ × G / H i nên Im ϕ là nhóm siêu giải được.
i =1

n

Vậy G / ( H i ) là nhóm siêu giải được.
i =1

(⇐) Ta có

n

H H
i

j

với mỗi j = 0, n

i =1

n

n

Suy ra H j /  H i  G /  H i
=i 1 =i 1
n

n

Mà (G /  H ) / ( H /  H i )  G / H j

i
j
=i 1 =i 1

Footer Page 19 of 120

(theo định lý 1.1.2)


Header Page 20 of 120

20

n

Mà G / ( H i ) là nhóm siêu giải được nên theo định lý 1.6.3 thì
i =1

n

n

(G /  H i ) / ( H j /  H i ) là nhóm siêu giải được. Do đó G / H j (∀j =0, n) là

=i 1 =i 1

nhóm siêu giải được.

■

1.6.9. Định lý
Giả sử G là một nhóm không siêu giải được nhưng mọi nhóm con thực sự
của G là siêu giải được. Khi đó
i)

G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P với p là số nguyên tố.

ii)

P / Φ ( P ) là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G / Φ ( P) .

iii)

Nếu p ≠ 2 thì exp( P) = p .

iv)

Nếu P không Aben và p = 2 thì exp( P) = 4

v)

Nếu P là Aben thì exp( P) = p .

1.7. Nhóm luỹ linh
1.7.1. Định nghĩa dãy tâm trên, dãy tâm dưới.
• Dãy G = γ 1 (G ) ≥ γ 2 (G ) ≥ .... , trong đó=
γ n +1 (G ) [γ n (G ),=
G ] (∀n 0,1, 2...) được
gọi là dãy tâm dưới của G.
• Dãy 1 = Z 0 (G ) ≤ Z1 (G ) ≤ Z 2 (G ) ≤ ... trong đó
Z n +=
Z (G / Z
=
(∀n 0,1, 2....) gọi là dãy tâm trên của G.
1 (G ) / Z n (G )
n (G ))

Nếu G hữu hạn, số hạng cuối cùng của dãy tâm trên được gọi là siêu tâm
∞

(hypercenter) của G. Ký hiệu là Z ∞ (G )
Nhận xét: Với mọi i ∈  , thì
i)

Z i (G ) char G

ii) [Z i +1 (G ), G ] ≤ Z i (G )

Footer Page 20 of 120

( Z ∞ (G ) =  Z i (G ))

i =0


Header Page 21 of 120

21

1.7.2. Định nghĩa nhóm luỹ linh
Nhóm G được gọi là nhóm luỹ linh nếu nó có một dãy tâm, nghĩa là một
dãy chuẩn tắc
=
G trong đó Gi +1 / Gi ≤ Z (G / Gi ) .
1 G=
0  G1 .....Gn

Chiều dài của dãy tâm ngắn nhất của G gọi là lớp luỹ linh của G.
1.7.3. Định lý
Mọi p-nhóm hữu hạn đều luỹ linh.

i)

ii) Mọi nhóm con của một nhóm luỹ linh là luỹ linh.
iii) Mọi nhóm thương của một nhóm luỹ linh là luỹ linh.
iv) Nếu H và K luỹ linh thì H × K luỹ linh.
1.7.4. Định lý
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G luỹ linh nếu và chỉ nếu G là tích
trực tiếp của các nhóm con Sylow của G.
1.7.5. Định lý
Giả sử G là một nhóm không luỹ linh nhưng mọi nhóm con thực sự của G
luỹ linh. Khi đó

i)

G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P (với số nguyên tố p) và G = P.Q ,
trong đó Q là một q-nhóm con cyclic không chuẩn tắc.
(với số nguyên tố q ≠ p )

ii) P / Φ ( P) là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G / Φ ( P)
iii) Nếu P không Aben và p > 2 thì số mũ của P là p, nếu P không Aben và
p = 2 thì số mũ của P là 4.
iv)
v)

Nếu P là Aben thì số mũ của P là p.
Z (G ) = Φ ( P ) × Φ (Q) .

1.8. Nhóm con pronormal
Một nhóm con H của G được gọi là pronormal trong G nếu H và Hg
liên hợp trong

Footer Page 21 of 120


Header Page 22 of 120

22

với ∀g ∈ G , có nghĩa là với ∀g ∈ G tồn tại u ∈ H , H g

H,H g

sao cho

H g = Hu

Ví dụ: Mọi nhóm con chuẩn tắc đều pronormal.
Mọi nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn đều pronormal.
1.9. Nhóm con Fitting
1.9.1. Định nghĩa. Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con chuẩn tắc luỹ linh
của một nhóm G được gọi là nhóm con Fitting của G, ký hiệu là F(G).
1.9.2. Nhận xét: Nếu G là hữu hạn thì
i)

F(G) là luỹ linh.

ii) F(G) là nhóm con tối đại chuẩn tắc luỹ linh duy nhất của G.
1.9.3. Định lý
Cho G là một nhóm, khi đó
i)

Φ (G ) ≤ F (G )

ii) F (G / Φ (G ))= F (G ) / Φ (G )
iii)

F(G)= ∩ {CG ( H / K ) / H/K là một hạng tử chính của G}

Chứng minh
i) Ta chứng minh Φ (G ) là nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của G.
Ta có Φ (G )  G theo mệnh đề 1.5.2
Gọi P là một p-nhóm con Sylow của Φ (G ) . Khi đó theo bổ đề Frattini 1.2.3

ta có G = Φ (G ).N G ( P) . Mà Φ (G ) là tập các phần tử không sinh của G
nên G=N G (P).
Suy ra P  G ⇒ P  Φ (G )
Suy ra Φ (G ) là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó
Vậy Φ (G ) ≤ F (G ).

Footer Page 22 of 120


Header Page 23 of 120

23

ii) • F(G) là nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của G
⇒ F (G ) / Φ (G ) là nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của G / Φ (G )
⇒ F (G ) / Φ (G ) ≤ F (G / Φ (G ))

• Đặt N / Φ (G ) ≤ F (G / Φ (G ))  G / Φ (G )
Gọi P là p-nhóm con Sylow của N
⇒ PΦ (G ) / Φ (G ) là p-nhóm con Sylow của N / Φ (G ) .
N / Φ (G ) là nhóm lũy linh ⇒ P Φ (G ) char N.

Mà N  G nên P Φ (G )  G (theo 1.4.2. iv)
⇒ P là p-nhóm con Sylow của P Φ (G ) .

Theo Định lý 1.2.4 ta có G =
Φ (G ) PN G ( P ) =
Φ (G ) N G ( P ) .
Mà Φ (G ) là tập các phần tử không sinh của G nên G = N G (P)
⇒ P G ⇒ P  N

⇒ N là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó (Định lý 1.2.5)

⇒ N là nhóm lũy linh (Định lý 1.7.4)
⇒ N ≤ F (G )
⇒ F (G / Φ (G )) = N / Φ (G ) ≤ F (G ) / Φ (G ) .

■

Vậy F (G / Φ (G ))= F (G ) / Φ (G ) .
1.10. Nhóm con Fitting suy rộng
1.10.1. Định nghĩa tự đẳng cấu trong, hạng tử chính của G
• Giả sử G là một nhóm, với mỗi g ∈ G ta định nghĩa ánh xạ:
g : G → G
x  g −1 xg

Dễ dàng chứng minh được g là một tự đẳng cấu của G. Các tự đẳng cấu g gọi
là các tự đẳng cấu trong của G. Ký hiệu là InnG
Đặc biệt nếu H ≤ G thì g (=
H)

Footer Page 23 of 120

H } {g
{g (h) / h ∈ =

−1

}

hg / h ∈ =
H
g −1 Hg


Header Page 24 of 120

24

• Một dãy chính của một nhóm hữu hạn G là một dãy các nhóm con chuẩn tắc
=
1 G=
G sao cho không có nhóm con chuẩn tắc nào bị chứa giữa
0  G1 ....  Gn
Gi và Gi +1 .

(ie. Không tồn tại nhóm con chuẩn tắc A nào của G sao cho
Gi < A < Gi=
1, 2,...., n − 1)
+1 (∀i

Khi đó, nhóm thương Gi +1 / Gi được gọi là hạng tử chính của G.
(định nghĩa này tương đương Gi +1 / Gi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G / Gi )
1.10.2. Bổ đề
Giả sử có (1) G = G0 > G1 > .... > Gn = 1 trong đó Gi  G và Gi −1 / Gi hoặc là
Aben hoặc là tích trực tiếp của những nhóm đơn không Aben (i=1, 2,…., n). Nếu
x ∈ G và x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên Gi −1 / Gi với mỗi i=1, 2,…, n, khi

đó x cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào của G.
1.10.3. Định nghĩa

Một nhóm G được gọi là tựa luỹ linh nếu với bất kỳ hạng tử chính τ của G,
mỗi tự đẳng cấu của τ cảm sinh bởi một phần tử của G là tự đẳng cấu trong.
1.10.4. Bổ đề
i)

Nếu G là tựa luỹ linh và H  G thì H và G/H là tựa luỹ linh.

ii)

Một nhóm con á chuẩn tắc của nhóm tựa luỹ linh là tựa luỹ linh.

iii)

Nếu G/H và G/K là tựa luỹ linh thì G / ( H ∩ K ) là tựa luỹ linh.

iv)

Tích trực tiếp của các nhóm tựa luỹ linh là nhóm tựa luỹ linh.

Footer Page 24 of 120


Header Page 25 of 120

25

1.10.5. Định nghĩa nhóm nửa đơn (semisimple)
Một nhóm G được gọi là nhóm nửa đơn nếu G là tích trực tiếp của những
nhóm đơn không Aben.
1.10.6. Định lý

Nhóm G là tựa luỹ linh khi và chỉ khi G / Z ∞ (G ) là nửa đơn.
1.10.7. Định nghĩa nhóm con Fitting suy rộng
Cho G là một nhóm, nhóm con Fitting suy rộng F * (G ) là tập hợp tất cả
những phần tử x của G, những phần tử cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất
kỳ hạng tử chính nào của G.
Nhận xét: F * (G ) char G.
1.10.8. Định lý
F * (G ) là tựa luỹ linh và mỗi nhóm con á chuẩn tắc tựa luỹ linh của G đều

chứa trong F * (G ) .
Chứng minh
Xét một dãy cơ bản của G có dạng
G = G0 > ..... > Gm −1 > Gm = F * (G ) > Gm +1 > .... > Gn = 1

Do Gi −1 / Gi là tích trực tiếp của những nhóm đơn đẳng cấu. Nếu x ∈ F * (G ) , thì x
cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên Gi −1 / Gi với mỗi i = m+1, …., n. Do đó theo
bổ đề 1.10.2 thì x sẽ cảm sinh một tự đẳng cấu trong lên bất kỳ hạng tử chính nào
của F * (G ) . Do đó F * (G ) là tựa luỹ linh.
Giả sử H là một nhóm con á chuẩn tắc tựa luỹ linh của G. Cần chứng minh
H ≤ F * (G ) .

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo G : H
Thật vậy:
• Nếu H = G thì G là tựa luỹ linh vì F * (G=
) G≥H.

Footer Page 25 of 120