Rèn luyện kỹ năng chứng minh cho học sinh THCS trong dạy học hình học lớp 9 (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
———————————————

LÊ SỸ HIẾU

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CHO
HỌC SINH THCS TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
———————————————

LÊ SỸ HIẾU

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CHO
HỌC SINH THCS TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 9
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. BÙI THỊ HẠNH LÂM

THÁI NGUYÊN - 2016


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam. Tôi
cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Thái nguyên, 18 tháng 4 năm 2016
Tác giả Luận văn

Lê Sỹ Hiếu

Xác nhận
của khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

TS. Bùi Thị Hạnh Lâm

i


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Bùi Thị Hạnh Lâm,
người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Khoa Sau

Đại học, Phòng Đào tạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, HS
khối 9, trường THCS Nam Hòa đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho
em trong suốt quá trình thực nghiệm.
Dù đã rất cố gắng, xong Luận văn cũng không tránh khỏi những
khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và
các bạn.
Tác giả Luận văn

Lê Sỹ Hiếu

ii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Danh mục kí hiệu viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Danh mục các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN . . . . . . . . . . . 5
1.1. Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Khái niệm kỹ năng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3. Sự hình thành kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Phân loại kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Khái niệm chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Cấu trúc của chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3. Phân tích một chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4. Các yêu cầu của chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5. Phân loại chứng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Kỹ năng chứng minh toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4. Thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học đối
với GV và HS THCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1. Đối với GV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2. Đối với HS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iii


Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THCS TRONG DẠY HỌC
HÌNH HỌC LỚP 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1. Một số định hướng xây dựng biện pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1. Cơ sở đề xuất biện pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.2. Một số nguyên tắc khi đề xuất biện pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Một số biện pháp sư phạm cụ thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1. Biện pháp 1: Biện pháp về gợi động cơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình . . . . . 44
2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng dự đoán, quan sát . . . . . . 51
2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện những hoạt động trí tuệ chung . . . 57
2.2.5. Biện pháp 5: Hình thành tri thức phương pháp cho học sinh

trong quá trình chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.6. Biện pháp 6: Phân bậc hoạt động chứng minh . . . . . . . . . . . 75
2.2.7. Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ năng khai thác, nghiên cứu sâu lời
giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Chương 3. THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Mục đích và nội dung thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Mục đích thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Nội dung thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Tổ chức thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Đối tượng thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Thời gian thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Tiến hành thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Đánh giá kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Đánh giá định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Đánh giá định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

95
95
95
95
96
96
96

96
99
99
99
100
101
101
104


Danh mục các từ viết tắt
Viết tắt
GV
HS
SBT
SGK
THCS

Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Sách bài tập
Sách giáo khoa
Trung học cơ sở

v


Danh sách bảng
1.1

Bảng so sánh kỹ năng và kỹ xảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2

Mức độ thích học môn Toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3

Phân môn thích học nhất trong môn Toán . . . . . . . . . . . 32

1.4

Hoạt động của HS trong giờ Hình học . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5

Cảm nhận của HS trong giờ Hình học . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6

Khó khăn đối với bài toán chứng minh Hình học . . . . . . . . 34

3.1

Điểm bài kiểm tra số 1 lớp thử nghiệm 9B . . . . . . . . . . . 98

3.2

Điểm bài kiểm tra số 1 lớp đối chứng 9A . . . . . . . . . . . . 98

3.3

Điểm bài kiểm tra số 1 lớp đối chứng 9C . . . . . . . . . . . . 98

3.4

Điểm bài kiểm tra số 2 lớp thử nghiệm 9B . . . . . . . . . . . 100

3.5

Điểm bài kiểm tra số 2 lớp 9A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6

Điểm bài kiểm tra số 2 lớp 9C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

vi


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, đổi mới phương pháp dạy và học trong
nhà trường phổ thông đang được rất coi trọng. Nghị quyết Hội nghị Trung
ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu
rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện
đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ
năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ
máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ
sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng

lực”. Qua đó cho thấy việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát
triển năng lực người học là nội dung căn bản, trọng tâm của đổi mới giáo
dục.
Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương
trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học,
nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái gì đến chỗ quan tâm
HS vận dụng được cái gì qua việc học. Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn
thì “dạy học là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách,...” trong đó
dạy học kỹ năng chiếm vị trí rất quan trọng bởi nếu không có kỹ năng
thì sẽ không phát triển được tư duy. Do đó việc rèn luyện cho HS những
kỹ năng là một yêu cầu thiết thực và quan trọng. Nếu kỹ năng được rèn
luyện tốt thì sẽ đạt kết quả cao trong học tập. Ngược lại, nếu kỹ năng
bị hạn chế thì việc học tập sẽ mắc phải nhiều khó khăn trong quá trình
chiếm lĩnh, kiến tạo và vận dụng tri thức.
Đối với chương trình toán THCS, HS được học về số học, đại số và
hình học. Riêng hình học là một phân môn rất khó với lứa tuổi HS THCS
1


vì tính trừu tượng của hình học khá cao. Ở cấp học này, hình học suy
diễn đã thay thế hình học quy nạp - thực nghiệm. Thực trạng hiện nay
cho thấy phần lớn HS hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trong việc học
tập hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiên
đề,. . . đến kỹ năng, kỹ xảo hoàn thiện các lập luận, suy luận.
Trong chương trình hình học THCS nói chung và Hình học 9 nói
riêng toán chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu đối với GV là hướng
dẫn HS tìm cách chứng minh bài toán chứ không phải là giúp HS có được
lời giải cho bài toán. Thông qua việc hướng dẫn của GV giúp HS đúc kết
được phương pháp chứng minh, tiến tới đó là đúc kết được phương pháp
học tập bộ môn Hình học.

Đối với các dạng toán chứng minh hình học, các em thường không
có kỹ năng phân tích đề bài, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng phân tích để tìm
hướng chứng minh. Khi gặp các bài toán chứng minh hình học các em
không biết bắt đầu từ đâu, giải quyết bằng cách nào cho đúng. Chính vì
vậy việc rèn luyện cho HS hình thành và phát triển tư duy hình học, có
kỹ năng chứng minh thành thạo một số bài toán chứng minh hình học
cơ bản từ đó có khả năng khám phá những bài toán nâng cao là một yêu
cầu cơ bản đối với việc giảng dạy hình học ở bậc THCS.
Xuất phát từ tầm quan trọng của bộ môn Hình học 9 và tình hình
thực tế của nhà trường, yêu cầu đổi mới phương pháp dạy và học của Bộ
Giáo dục và Đào tạo, với mong muốn giúp HS học tốt hơn bộ môn Hình
học để có được nền tảng vững chắc cho những năm học sau, đặc biệt giúp
HS có được kỹ năng trong các dạng toán chứng minh hình học 9 nên tôi
chọn đề tài:
“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CHO HỌC SINH
THCS TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 9”.

2


2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu về kỹ năng, kỹ năng chứng minh, cách rèn
luyện phát triển kỹ năng và nội dung Hình học 9, đề xuất một số biện
pháp sư phạm nhằm rèn luyện và phát triển kỹ năng chứng minh Hình
học 9 cho HS THCS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, luận văn có nhiệm vụ làm
rõ một số vấn đề sau:
- Nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về kỹ năng, kỹ năng chứng minh trong
toán học, cách rèn luyện và phát triển kỹ năng chứng minh.

- Tìm hiểu thực trạng dạy học Hình học 9 và rèn luyện kỹ năng chứng
minh cho HS.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm cần thiết để rèn luyện và phát triển
kỹ năng chứng minh cho HS thông qua dạy học Hình học 9.
- Thực nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu
quả của biện pháp đề ra.
4. Đối tượng, khách thể nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu:
Quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS.
4.2. Đối tượng nghiên cứu:
Kỹ năng chứng minh hình học của HS THCS.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận

3


- Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, tài liệu liên
quan đến dạy học chứng minh và chứng minh định lý, chứng minh một
bài toán.
- Nghiên cứu SGK, sách giáo viên và SBT Toán lớp 9.
- Tìm hiểu về sách báo, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài.
5.2. Phương pháp điều tra phỏng vấn
- Khảo sát điều tra nhằm tìm hiểu thực trạng kỹ năng chứng minh hình
học của HS lớp 9 THCS.
- Dự giờ GV dạy Toán nhằm tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ năng chứng
minh trong dạy học hình học cho HS lớp 9 THCS.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức dạy thực nghiệm để bước đầu đánh giá hiệu quả và tính
khả thi của một số biện pháp sư phạm đã đề xuất.

6. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng
chứng minh hình học cho HS lớp 9 và thực hiện chúng một cách hợp lý
thì sẽ góp phần phát triển năng lực chứng minh hình học cho HS lớp 9
nói riêng và cho HS THCS nói chung.
7. Cấu trúc của luận văn
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng chứng minh cho
học sinh THCS trong dạy học hình học lớp 9.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Kết luận
Tài liệu tham khảo
4


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về kỹ năng và
đưa ra nhiều khái niệm khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên khi xem xét các
tài liệu về kỹ năng tác giả nhận thấy các nhà triết học, tâm lý học, giáo
dục học,. . . trong nước cũng như trên thế giới thường đưa ra khái niệm
về kỹ năng theo hai quan điểm chính như sau:[12]
a. Quan điểm 1: Kỹ năng được xem xét dưới góc độ kỹ thuật, phương
thức hành động của con người trong các hoạt động. Một số tác giả
theo quan điểm 1: Trần Trọng Thủy, V.A.Kruchexki, A.G. Côvaliôv, V.X
Radic, Xavier Roegier,. . .
Tác giả Trần Trọng Thủy cho rằng: “Kỹ năng là mặt kỹ thuật của

hành động. Con người nắm được cách thức hành động – tức kỹ thuật của
hành động là có kỹ năng” [18, tr.2].
V.A.Kruchexki quan niệm: “Kỹ năng là các phương thức thực hiện
hành động - những cái mà con người đã nắm vững” [1, tr.78].
Trong cuốn “Tâm lý học cá nhân” A.G. Côvaliôv cũng cho rằng: “Kỹ
năng là phương thức thực hiện hành động phù hợp với mục đích và điều
kiện của nó”[1, tr.11].
Theo quan điểm thứ nhất các tác giả đều không đề cập đến kết quả
5


của hành động do kết quả của hành động phụ thuộc vào nhiều yếu tố,
trong đó quan trọng nhất là yếu tố năng lực của con người chứ không hẳn
cứ nắm vững phương thức hoạt động là đem lại kết quả tương ứng. Theo
đó, con người cứ nắm được phương thức hành động là có kỹ thuật hành
động, có kỹ năng.
b. Quan điểm 2: Kỹ năng được xem xét dưới góc độ năng lực hành động
của con người. Một số tác giả theo quan điểm 2: Vũ Dũng, Nguyễn Quang
Uẩn, A.V Petrovski, K.K. Platônôv, N.D.Lêvitôv, G.G. Gôbulev,. . .
Theo Từ điển Tiếng việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [14,tr.426]
Theo từ điển Tâm lý học do Vũ Dũng chủ biên: “Kỹ năng là năng
lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ
thể lĩnh hội để thực hiện nhiệm vụ tương ứng” [6, tr.132].
A.V Petrovski cho rằng: “Năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức
hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc
tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
hay lý luận hay thực hành xác định, gọi là kỹ năng” [2, tr.149].
Ngoài ra còn có một số quan điểm khác về kỹ năng của các nhà tâm
lý học. Chẳng hạn, K.K. Platônôv cho rằng “Cơ sở tâm lý của kỹ năng

là sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và
phương thức hành động”[9, tr.77], N.D.Lêvitôv quan niệm “Kỹ năng là sự
thực hiện có kết quả một động tác hay một hoạt động phức tạp bằng cách
lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn có tính đến những điều
kiện của nó”[10, tr3], G.G. Gôbulev nhấn mạnh “Kỹ năng là năng lực của
con người thực hiện hành động có kết quả với một chất lượng nhất định
trong những điều kiện khác nhau”[9, tr12],. . .
Theo quan điểm thứ hai, các tác giả đều chú trọng tới mặt kết quả
của hành động.

6


Dù xét theo quan điểm nào thì khái niệm kỹ năng ở mỗi quan điểm
đều không hề phủ định lẫn nhau. Sự khác biệt của hai quan điểm trên là
do sự mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của kỹ năng.
Như vậy, vấn đề kỹ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến, song
cơ bản các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau. Các tác giả tùy
theo cách nhìn chủ quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh này hay khía
cạnh khác. Từ những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kỹ năng một cách
tổng quát như sau: Kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động hay một hoạt động nào đó bằng cách lựa chọn và vận dụng những
tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điều
kiện thực tiễn cho phép. Kỹ năng thể hiện các thao tác tư duy, năng lực
hành động và mặt kỹ thuật của hành động.
Trong toán học, kỹ năng là “khả năng” giải các bài toán, thực hiện
các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải vào chứng
minh nhận được.
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Theo Tâm lý học, nếu tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng

từng các tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn
kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.
Như vậy, kỹ năng chứa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.
Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết
quả - hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và
tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai
trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng. Bởi vì
môn Toán là môn học công cụ có đặc điểm và vị trí đặc biệt trong việc
7


thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong trường phổ thông. Vì vậy,
cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng,
vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động.
- Qua đặc điểm và vị trí của kỹ năng trên, ta thấy kỹ năng giải toán
cũng phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng,
phương pháp), do đó nói kỹ năng giải toán không thể tách rời với phương
pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng đó.
Để hiểu rõ về kỹ năng ta cần phân biệt khái niệm kỹ năng và kỹ
xảo. Kỹ năng và kỹ xảo đều là cách thức của hành động, là thành phần
không thể thiếu của hành động, song giữa chúng có những khác biệt sau
đây:

Bảng 1.1: Bảng so sánh kỹ năng và kỹ xảo
Tiêu chí so sánh

Kỹ năng

Kỹ xảo

Cao

Thấp, máy móc, khuôn mẫu

Có sự tham gia của ý thức

Ý thức được giải phóng

Có sau

Có trước

Độ linh hoạt sáng tạo
Sự tham gia của ý thức
Thời gian xuất hiện
Cơ sở hình thành

Các tri thức và kỹ xảo, rèn

Các tri thức và kỹ năng

luyện trong hoạt động có

nguyên sinh, luyện tập có ý

ý thức

thức dẫn đến tự động hóa

Từng bước phức tạp dần
Điều kiện hình thành

trong những điều kiện khác
nhau

Trong điều kiện, yêu cầu
nhất định không thay đổi

“Nguồn: Đặng Việt Phú - 2014 [15]”
Qua bảng so sánh ta có thể thấy sự khác nhau giữa kỹ năng và kỹ xảo,
kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên cơ sở tri thức và kỹ xảo.
Sự khác nhau giữa kỹ năng và phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ
thể với môi trường. Phản xạ mang tính thụ động. Kỹ năng là phản ứng
có ý thức và hoàn toàn mang tính chủ động.
8


Sự khác nhau giữa kỹ năng và thói quen: Hầu hết các thói quen
hình thành một cách vô thức và khó kiểm soát. Trong khi đó kỹ năng
được hình thành một cách có ý thức do quá trình luyện tập.
Thói quen rất khác với kiến thức. Bởi vì, kiến thức là biết, là hiểu
nhưng chưa bao giờ làm, thậm chí không bao giờ làm. Trong khi đó kỹ
năng lại là hành động thuần thục trên nền tảng kiến thức. Vì không tác
động vào thực tại khách quan nên kiến thức thường ít tạo ra những thành
quả cụ thể.
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Kỹ năng có ở mỗi con người đều trải qua quá trình hình thành và

phát triển lâu dài, phức tạp, qua nhiều giai đoạn. Để hình thành bất kì
một kỹ năng nào cũng cần được tiến hành thông qua các hoạt động luyện
tập, củng cố, vận dụng nhờ việc tiến hành các thao tác, hành động và
diễn ra theo quy trình trong thời gian nhất định. Theo K.K Platônôv và
G.G Gôbulev (1963) quá trình hình thành kỹ năng thường trải qua năm
giai đoạn:
Giai đoạn 1: Con người được đặt trước tình huống mới, nhận thức được
tình huống và mục đích của hành động, từ đó tìm kiếm cách thức hành
động từ sự hiểu biết, kinh nghiệm và hệ thống kỹ xảo đã có. Chủ thể vận
dụng chúng thành những kỹ năng sơ đẳng có tính kinh nghiệm.
Giai đoạn 2: Chủ thể đã có hiểu biết và phương thức hành động nhờ
việc sử dụng các tri thưc, kỹ xảo đã có. Nhưng đó không phải những kỹ
xảo và những kỹ năng chuyên biệt nhằm hành động để giải quyết tình
huống. Chủ thể đã biết phương thức hành động nhưng chưa đầy đủ, còn
nhiều thiếu sót, sai lầm cũng như những thao tác thừa,. . .
Giai đoạn 3: Có sự hình thành ở mức độ cao những kỹ năng riêng rẽ và
có tính chất chung, cần cho nhiều hoạt động khác nhau.
Giai đoạn 4: Chủ thể có thể vận dụng một cách có sáng tạo vốn hiểu
9


biết và những kỹ năng cụ thể, những kỹ xảo đã có. Chủ thể không chỉ ý
thức về mục đích mà còn cả về lựa chọn phương thức hành động hợp lý
để hướng tới mục đích, kết quả cần đạt. Cuối giai đoạn này, kỹ năng cụ
thể đã ở trình độ phát triển cao.
Giai đoạn 5: Hình thành kỹ năng thực sự. Khi đó các kỹ năng cụ thể
kết hợp lại, tạo thành những nhóm kỹ năng. Vì vậy, chủ thể có thể sử
dụng một cách sáng tạo các kỹ năng, kỹ xảo đã được hình thành vào
việc giải quyết các tình huống khác nhau của nghề nghiệp. Dẫn theo [20,
tr.20] M.A.Đanilov và M.N.Xcatkin quan niệm rằng: “Kỹ năng bao giờ

cũng xuất phát từ kiến thức, kỹ năng chính là kiến thức trong hành động.
Kỹ năng là khả năng của con người biết sử dụng một cách có mục đích và
sáng tạo những kiến thức”. Như vậy, kỹ năng là phương thức hành động
dựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua các nội dung cụ thể.
Kỹ năng có thể được hình thành theo con đường luyện tập. Kỹ năng là
một bộ phận cấu thành năng lực. Sự hình thành kỹ năng là làm cho người
học nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm
sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập. Vì vậy, muốn hình
thành kỹ năng cho HS, chủ yếu là kỹ năng học tập và kỹ năng giải toán,
GV cần:
- Giúp HS hình thành một đường lối chung để giải quyết các đối tượng,
các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.
1.1.4. Phân loại kỹ năng
Nếu xét theo tổng quan thì kỹ năng phân ra làm 3 loại:
+ Kỹ năng chuyên môn.
+ Kỹ năng sống.
+ Kỹ năng làm việc.
10


Nếu xét theo liên đới chuyên môn thì kỹ năng được phân làm các
loại sau:
+ Kỹ năng cứng.
+ Kỹ năng mềm.
+ Kỹ năng hỗn hợp.
Theo tính hữu ích cộng đồng: hữu ích và phản lợi ích xã hội. Có thể
hiểu rằng kỹ năng mềm hay kỹ năng sống cũng chỉ là một nhóm kỹ năng
với tên gọi khác nhau. Chúng ta cũng nhận thấy rằng kỹ năng mềm hay

kỹ năng sống là những nhóm kỹ năng thiết yếu giúp cho chủ thể tồn tại
và thăng hoa trong cuộc sống.
Kỹ năng “mềm” (soft skills): là loại kỹ năng mà chúng ta có được từ
hoạt động thực tế cuộc sống hoặc thực tế nghề nghiệp, là thuật ngữ dùng
để chỉ các kỹ năng quan trọng trong cuộc sống con người (kỹ năng sống,
giao tiếp, lãnh đạo, làm việc theo nhóm, sáng tạo và đổi mới,...). Kỹ năng
“mềm” liên quan tới tập hợp các đặc tính con người, thái độ xã hội, thói
quen cá nhân, tính thân thiện, sự lạc quan, sử dụng ngôn ngữ,... mà dựa
vào đó con người được đánh giá theo nhiều mức độ khác nhau. Kỹ năng
mềm thiên khá nhiều về yếu tố bẩm sinh, tuy nhiên phần lớn con người
nếu chịu khó rèn luyện thì vẫn có thể nâng cao đáng kể kỹ năng của bản
thân.
Kỹ năng “cứng” (hard skills): là kỹ năng mà chúng ta có được do
được đào tạo từ nhà trường hoặc tự học, đây là kỹ năng có tính nền tảng.
* Trong Toán học có thể phân chia kỹ năng thành các loại:
- Kỹ năng nhận thức.
- Kỹ năng thực hành.
- Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức.
- Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.

11


1.2. Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng chứng minh
1.2.1. Khái niệm chứng minh
Trong phạm vi khoa học Toán học: Trong Toán học, một chứng
minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã
được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu Toán học là đúng
đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh
luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh

phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không
có ngoại lệ.
Theo từ điển Toán học: “Chứng minh là phép suy luận để thiết lập
sự đúng hay sai của một khẳng định (phán đoán, mệnh đề, định lý)”.
Trong dạy học Toán ở trường THCS: Đối với chương trình
Toán THCS (lớp 7), HS bước đầu được làm quen với định lý, thấy được
sự cần thiết phải chứng minh định lý, bước đầu làm quen với bài toán
chứng minh hình học. Khi đó HS đã được tiếp cận với khái niệm chứng
minh định lý: “Chứng minh định lý là dùng lập luận để suy từ giả thiết ra
kết luận. Lập luận là nêu những khẳng định và vạch rõ vì sao, căn cứ vào
đâu mà có những khẳng định đó”, “Chứng minh định lý là dùng suy luận
để khẳng định kết luận (được suy ra từ giải thiết) là đúng” [17, tr.100].
Trong phạm vi logic Toán: Trong cuốn “Tập hợp và logic”, các
tác giả Hoàng Xuân Sính và Nguyễn Mạnh Trinh định nghĩa: “Ta gọi là
một chứng minh một dãy hữu hạn những lập luận (mệnh đề) được kí hiệu
dưới dạng các công thức như sau: A1 , A2 , A3 ,. . . An .
Sao cho, với mọi i (i=1, 2,. . . , n) Ai phải thỏa mãn một trong các điều
kiện sau:
(i) Hoặc Ai là tiên đề, hoặc Ai là một định lý, hoặc Ai là giả thiết (hay
điều kiện) đã cho trước.
(ii) Hoặc Ai là công thức tương đương với một công thức có mặt trong
12


dãy đứng trước nó.
(iii) Hoặc Ai là hệ quả logic được suy ra từ các công thức có mặt trong
dãy đứng trước nó.”
Tác giả Nguyễn Bá Kim định nghĩa:
“Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1 , A2 , A3 ,. . .
An thỏa mãn các điều kiện sau:

• Mỗi Ai (i=1, 2,. . . , n) của dãy đó hoặc là tiên đề hoặc định nghĩa, hoặc
suy ra từ một số trong các A1 , A2 , A3 ,. . . An−1 nhờ những quy tắc kết
luận logic.
• An chính là mệnh đề T” [8, tr.368].
1.2.2. Cấu trúc của chứng minh
Mỗi một chứng minh gồm các thành phần:
1) Luận đề: Các kết luận, kết quả của các bước thay thế, trong đó mệnh
đề cần chứng minh gọi là luận đề.
Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh cái gì”. Ta còn gọi luận đề là kết
luận.
2) Luận cứ: Các mệnh đề mà dựa vào nó để suy ra mệnh đề cần chứng
minh.
Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh dựa vào cái gì?”. Trong các bài toán
chứng minh, luận cứ còn là các định nghĩa, định lý, tiên đề, quy tắc, công
thức đã biết.
3) Luận chứng: Các quy tắc suy luận logic được dùng trong chứng minh.
Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh như thế nào?”, “theo những quy tắc
suy luận nào?”.
Một số quy tắc suy diễn logic thường gặp:
+ Quy tắc tam đoạn luận:
A ⇒ B; B ⇒ C
A⇒C
13


+ Quy tắc tam đoạn luận bắc cầu:
A ⇒ B; B ⇒ C
A⇒C
+ Quy tắc tam đoạn luận phủ định:
A ⇒ B; B

A
+ Các quy tắc phản chứng:
A ⇒ (B ∧ B) B; (A ⇒ B) A ∧ B ⇒ B
;
;
A
B
B⇒A
+ Một số quy tắc khác:
A ⇒ B A ⇒ B ∧ C ∀x, A(x) ∃x, A(x)
;
;
;
A⇒B
B⇒A
∃x, A(x) ∀x, A(x)
+ Quy tắc (nguyên lý) quy nạp toán học.
4) Các điều kiện vào (các tiền đề - prémisses): đó là các mệnh đề đã cho
(giả thiết), các mệnh đề kết luận của các bước trước đó, mệnh đề đúng
đã biết. Như vậy, chứng minh được hiểu là một dãy hữu hạn các bộ ba
sau đây:

14


Hình 1.1: Sơ đồ chứng minh

“Nguồn: Lê Văn Tiến - 2005 [19, tr.62]”.

15

1.2.3. Phân tích một chứng minh
Phân tích một chứng minh là phân tích cấu trúc của chứng minh
đó. Nói cách khác là chỉ rõ trong mỗi bước của chứng minh ta đã có những
tiền đề nào, kết luận rút ra là gì, các quy tắc thay thế (luận cứ) và các
quy tắc suy diễn nào đã được sử dụng.
Việc phân tích một chứng minh cho phép HS hiểu rõ hơn cấu trúc
của chứng minh, cho phép phát hiện những sai lầm (nếu có) và nguyên
nhân của sai lầm ở đâu.
Đối với bài toán chứng minh không phải bài toán nào cũng có con
đường chứng minh cụ thể. Do đó hoạt động tìm tòi, khám phá tìm ra con
đường chứng minh có ý nghĩa rất quan trọng. Đứng trước yêu cầu chứng
minh thì ta có thể nghĩ đến việc chứng minh trực tiếp, hoặc gián tiếp tùy
theo yêu cầu và đặc điểm của bài toán. Vấn đề đặt ra là cần phải xác định
được mệnh đề xuất phát. Để giải quyết vấn đề này ta thường sử dụng các
phương pháp phân tích sau đây:
a. Phương pháp phân tích đi lên: Phân tích đi lên từ kết luận của bài
toán, cách phân tích này giúp HS hiểu được mối quan hệ logic giữa điều
cần phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suy
luận, óc sáng tạo và tính chủ động cao khi giải một bài toán chứng minh.
Sơ đồ của phân tích đi lên: T ⇐ T1 ⇐ T2 ⇐ ... ⇐ Tn
Trong đó, T là mệnh đề cần chứng minh, Tn là mệnh đề đúng đã biết.
Hay nói cách khác, để phân tích đi lên ta làm như sau:
- Xuất phát từ T, xem nó có là hệ quả logic của mệnh đề T1 nào đó hay
không (T ⇐ T1 ). Ở bước này ta cần trả lời câu hỏi muốn chứng minh T
ta cần chứng minh cái gì?
- Xuất phát từ T1 , xem T1 có là hệ quả logic của mệnh đề T2 nào đó hay
không (T1 ⇐ T2 ). Tương tự, ta cần đi trả lời câu hỏi muốn chứng minh
T1 ta cần chứng minh cái gì?

16


- ...
- Cuối cùng đi tới Tn là mệnh đề đúng đã biết. Vì Tn đúng nên T đúng.
Ví dụ 1.2.1. Cho (O), dây cung AC và đường kính AB của đường tròn
lập thành góc 30o . Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắt AB kéo dài tại D.
Chứng minh AC=DC.

Ta sẽ phân tích theo sơ đồ:
AC = DC (T)⇐ ∆ACD cân tại C (T1 )
⇐ CDA = 30o (T2 ) ⇐ COD = 60o (T3 )
⇐ ACO = 30o (T4 ) ⇐ ∆AOC cân tại
O (T5 )
⇐ AO = OC (T6 ) - mệnh đề đúng đã
Hình 1.2

biết.

b. Phương pháp phân tích đi xuống: Phân tích khai thác triệt để giả
thiết của bài toán, liệt kê cụ thể các vấn đề cần thiết cho chứng minh.
Sơ đồ của phân tích đi xuống: T ⇒ T1 ⇒ T2 ⇒ ... ⇒ Tn (đã biết đúng
hoặc sai).
Trong đó, T là mệnh đề cần xác định tính đúng hay sai. Nếu Tn sai ta kết
luận T sai. Nếu Tn đúng ta chưa kết luận được gì về tính đúng sai của T.
Khi đó, cần kiểm tra sơ đồ ngược lại: Tn ⇒ Tn−1 ⇒ ... ⇒ T2 ⇒ T1 ⇒ T
Nếu suy luận này là đúng thì kết luận T đúng.
Ví dụ 1.2.2. Cho (O), hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm AO, OB. CN cắt (O) tại I. IM cắt (O)
tại J. CM cắt (O) tại K. Khi đó, kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề

CM I = 90o .

17