Lý thuyết trò chơi và ứng dụng trong kinh tế (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀM THỊ DƯỠNG

LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG
TRONG KINH TẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀM THỊ DƯỠNG

LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI VÀ ỨNG DỤNG
TRONG KINH TẾ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN VĂN MINH

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục
Lời cảm ơn

iv

Mở đầu
1 Lý
1.1
1.2
1.3

thuyết trò chơi
Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trò chơi ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chiến lược đơn trong trò chơi ma trận . . . . . . . . .
1.3.1 Chiến lược maximin của người chơi thứ nhất .
1.3.2 Chiến lược minimax của người chơi thứ hai . .
1.4 Các chiến lược hỗn hợp trong trò chơi ma trận . . . .
1.4.1 Phần thắng trung bình của người chơi thứ nhất
1.4.2 Nghiệm của trò chơi trong chiến lược hỗn hợp .
1.4.3 Chiến lược thừa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Phương pháp Quy hoạch tuyến tính . . . . . .
1.5 Trò chơi ma trận với tổng bất kỳ . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Cân bằng Nash trong chiến lược đơn . . . . . .
1.5.3 Cân bằng Nash trong chiến lược hỗn hợp . . .
1.5.4 Chiến lược maximin . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.5 Chiến lược thừa trong trò chơi ma trận kép . .
1.5.6 Trò chơi hợp tác . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
6
9
9
10
11

13
14
16
19
21
21
22
23
25
26
27

2 Các thí dụ và ứng dụng của Lý thuyết trò chơi
2.1 Các thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ma trận có điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ma trận không có điểm yên ngựa . . . . . . . . . . .

31
31
31
32

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


ii

2.2 Các ứng dụng của lý thuyết trò chơi . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Khó tăng giá trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo
2.2.2 Hiện tượng trong thế giới động vật . . . . . . . . .
2.2.3 Giải trừ vũ khí hạt nhân . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Tình thế lưỡng nan của hai nghi can . . . . . . . .
2.2.5 Ứng dụng của trò chơi hợp tác . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

41
41
42
43
45
46

Kết luận

50

Tài liệu tham khảo

51

iii

Danh sách hình vẽ
1.1 Minh họa ví dụ 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Trò chơi hợp tác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1 Ví dụ 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Minh họa ví dụ 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


iv

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy TS. Nguyễn Văn
Minh. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người
thầy, người đã dìu dắt tôi từ buổi đầu tiên cho đến khi hoàn thành luận
văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các
thầy, các cô đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi
học tập và nghiên cứu. Nhân đây tôi xin có lời cảm ơn tới tập thể lớp cao
học Toán K8C (khóa 2014-2016) đã động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều
trong quá trình học tập, nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè. Đã động viên tôi về tinh
thần và giúp đỡ về vật chất kể từ khi ôn thi đến ngày hôm nay.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2016
Đàm Thị Dưỡng
Học viên Cao học Toán K8c
Chuyên ngành Toán ứng dụng

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên


1

Mở đầu
Lý thuyết trò chơi là một nhánh của toán học ứng dụng nghiên cứu
về các tình huống, chiến thuật trong đó các đối thủ lựa chọn các chiến
lược khác nhau để cố gắng làm tối đa thắng lợi cho bản thân. Ban đầu lý
thuyết trò chơi được phát triển như một công cụ để nghiên cứu các hành
vi kinh tế học, ngày nay lý thuyết trò chơi được sử dụng trong rất nhiều
nghành khoa học từ sinh học, quân sự,triết học, chính trị học, đạo đức
học...gần đây lý thuyết trò chơi thu hút được sự chú ý của các nhà khoa
học máy tính do ứng dụng của nó trong trí tuệ nhân tạo và điều khiển học.
Năm 1950 đến năm 1951 John Nash đã phát triển định nghĩa về một chiến
thuật tối ưu cho trò chơi sau này được biết đến đó là "cân bằng Nash"
năm 1994 ông cùng hai nhà kinh tế học khác đã đạt giải Nobel kinh tế vì
những đóng góp trong lĩnh vực lý thuyết trò chơi.
Trong khuôn khổ luận văn này tác giả trình bày một số khái niệm cơ
bản về lý thuyết trò chơi và một số ứng dụng có tranh chấp trong kinh tế.
Nội dung Luận văn gồm 2 chương

• Chương 1.Trong chương này tác giả trình bày những khái niệm cơ
bản về lý thuyết trò chơi như: trạng thái chấp nhận được, trạng thái
cân bằng... Một trường hợp riêng quan trọng có ý nghĩa thực tiễn lớn
được trình bày tương đối đầy đủ, đó là Trò chơi ma trận. Trò chơi
ma trận cũng có hai loại, đó là trò chơi ma trận đơn và trò chơi ma
trận kép.
Khái niệm điểm yên trong chiến lược đơn và điểm yên trong chiến
lược hỗn hợp trong trò chơi ma trận đơn.

Cuối chương tác giả trình bày trò chơi ma trận kép. Khái niệm trạng
thái Cân bằng Nash được nói tới. Đây là trạng thái rất đặc trưng của


2

trò chơi ma trận kép, nó cho ta cơ sở toán học để giải thích một số
hiện tượng trong tự nhiên, trong kinh tế, quân sự, ngoại giao...

• Chương 2. Trong chương này tác giả trình bày một số ví dụ và ứng
dụng của lý thuyết trò chơi trong kinh tế và một số lĩnh vực khác
thông qua các ví dụ cụ thể. Một trường hợp điển hình của trạng thái
cân bằng Nash là tình thế lưỡng nan của hai nghi can. Rất nhiều
trường hợp trong tự nhiên và trong xã hội đưa về bài toán này.
Mặc dù đã cố gắng hết sức thực hiện luận văn nhưng chắc chắn luận
văn vẫn còn thiếu sót. Tác giả kính mong sự góp ý của các thầy cô,
các bạn và các anh chị đồng nghiệp để luận văn này được hoàn chỉnh.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2016
Đàm Thị Dưỡng
Học viên Cao học Toán K8c
Chuyên ngành Toán ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên


3

Chương 1
Lý thuyết trò chơi
1.1

Khái niệm mở đầu

Lý thuyết trò chơi là lý thuyết toán học mô tả và giải quyết các tình
thế tranh chấp giữa các bên.
Ví dụ 1.1. -) Chơi cờ, xổ số, thi đấu thể thao.
-) Chiến tranh quân sự, cạnh tranh kinh tế, cạnh tranh giữa con người với
thiên nhiên.
Mỗi cuộc chơi có thể
-) Có hai đấu thủ (trò chơi đôi);
-) Có n đấu thủ (chơi tập thể).
Định nghĩa 1.1. Cuộc chơi được gọi là đối kháng khi quyền lợi các bên
tham gia trái ngược nhau. Phần thắng của mỗi người dẫn đến thiệt hại ít
nhất một người khác.
Cuộc chơi được gọi là không đối kháng, nếu một nhóm trong số những
người chơi có lợi ích chung ngoài lợi ích riêng.
Trong suốt cuộc chơi, mỗi bước đi, mỗi bên đều tìm cách chơi sao cho
-) Phần thắng cho bản thân lớn nhất (kể cả trò chơi đối kháng và không
đối kháng).
-) Tổn thất cho bản thân nhỏ nhất (trò chơi đối kháng và không đối kháng).
-) Tổn thất cho đối phương lớn nhất (trò chơi đối kháng).


4

Định nghĩa 1.2. [Chiến lược của người chơi] Là một tập hợp các quy tắc,
các chọn lựa của mỗi người chơi được xác định duy nhất trong hành vi của
người chơi ở mỗi bước chơi, phụ thuộc vào mỗi trạng thái xảy ra trong quá
trình chơi. Nó phụ thuộc vào kết quả ở mỗi bước do hành vi của đối phương
gây ra.

Giả sử có N người chơi trong một trò chơi. Gọi Ti; i = 1...N là tập hợp
mọi chiến lược có thể có của người chơi thứ i. Quá trình chơi thể hiện ở
chỗ: người chơi i chọn cho mình một chiến lược ti ∈ Ti trong suốt quá
trình chơi. Kết quả là đạt được trạng thái s, do đó người chơi thứ i thu
được phần thắng là Vi (s).
Trò chơi cũng có thể được tiến hành theo nhiều bước, mà ở bước thứ j
người i có thể áp dụng chiến lược tij ∈ Ti , và người chơi i thu được phần
thắng là Vi (sj ). Lại áp dụng chiến lược ti,j+1 ∈ Ti ở bước j + 1. Tổng hợp
tất cả phần thắng của người chơi i tại mọi bước sẽ là phần thắng của người
đó trong suốt quá trình chơi.
Định nghĩa 1.3. [Trạng thái chấp nhận được] Trạng thái s trong trò chơi
được gọi là chấp nhận được đối với người chơi i, nếu trong trạng thái đó
′
người chơi i đổi từ chiến lược đang sử dụng ti sang bất cứ chiến lược ti nào
khác cũng không tăng thêm thắng lợi cho bản thân.
Định nghĩa 1.4. [Trạng thái cân bằng] Trạng thái s được gọi là trạng thái
cân bằng, nếu nó là trạng thái chấp nhận được với mọi người chơi.
Khái niệm trạng thái cân bằng ở đây giống như khái niệm điểm Pareto
trong kinh tế thị trường (hiệu quả Pareto xảy ra trong một phân bố xác
định tài nguyên hoặc lợi ích giữa các thành viên, mà bất cứ một thành
viên nào muốn tăng thêm lợi ích cho mình đều làm giảm lợi lợi ích của ít
nhất một thành viên khác).
Trong trò chơi không liên hiệp thì quá trình giải trò chơi chính là quá trình
tìm trạng thái cân bằng.
Định nghĩa 1.5. [Trò chơi với tổng hằng số] Trò chơi được gọi là trò chơi
với tổng hằng số nếu tại mỗi bước chơi tổng phần thắng của tất cả người
chơi không đổi và luôn bằng một số C nào đó. Nói cách khác, tồn tại số


5

C sao cho

N

Vi (s) = C
i=1

với mọi trạng thái s ∈ S (S là tập hợp mọi trạng thái có thể xảy ra).
Trường hợp C = 0 được gọi là trò chơi với tổng không.
Người ta cũng đã chứng minh được định lý sau đây (xem [4]).
Định lý 1.1. Mọi trò chơi có tổng C = 0, luôn luôn đưa về trò chơi có
tổng bằng không.
Ví dụ 1.2. Có N doanh nghiệp, gọi C là mức thuế mà Nhà nước ấn định
cho các doanh nghiệp này trong một kỳ ngân sách. Đây là trò chơi với
tổng là hằng C , mà những người chơi là các doanh nghiệp mà Nhà nước
ấn định mức thuế.
Trò chơi có 2 người chơi là trò chơi mà người này thắng bao nhiêu thì
người kia thua bấy nhiêu, vì vậy trò chơi mà chỉ có hai người chơi luôn
luôn là trò chơi đối kháng.
Định nghĩa 1.6. Chiến lược đơn là chiến lược xác định riêng biệt và người
chơi có thể chọn với tần suất (xác suất) bằng 1.
Định nghĩa 1.7. Chiến lược hỗn hợp là chiến lược kết hợp các chiến lược
đơn, mà mỗi chiến lược đơn này được sử dụng với một tần suất (xác suất)
nào đó.
Ví dụ 1.3. Giả sử theo TCVN bóng đèn sợi đốt dùng cho gia đình có ba
loại, đó là loại có công suất tiêu thụ 15 w, 30 w và 60 w. Một nhà máy sản
xuất bóng đèn trong một năm đã sản xuất 10000 bóng loại 15w, 50000
bóng loại 30 w và 40000 bóng loại 60 w.
Như vậy nhà máy có ba chiến lược đơn là sản xuất loại nào trong ba loại

trên, mỗi loại là một chiển lược đơn.
Nhà máy đã sản xuất 100000 bóng, tỷ lệ bóng 15w là p1 = 10%; tỷ lệ bóng
50000
5
40000
4
30 w là p2 = 100000
= 10
= 50%; tỷ lệ bóng 60 w là p3 = 100000
= 10
= 40%.
Chiến lược hỗn hợp là (p1 , p2 , p3 ).


6

1.2

Trò chơi ma trận

Trong mục này ta xét trò chơi chỉ có hai người chơi. Ta sẽ ký hiệu P1
là người chơi thứ nhất, P2 là người chơi thứ hai. Ký hiệu T1 và T2 tương
ứng là tập hợp các chiến lược đơn của P1 và P2 .
Định nghĩa 1.8. Trò chơi được gọi là trò chơi ma trận nếu thỏa mãn các
điều kiện
1. Trò chơi có hai người chơi,
2. Mỗi người có hữu hạn chiến lược đơn,
3. Nếu người thứ nhất chọn chiến lược i trong tập T1 và người chơi thứ
hai chọn j trong tập T2 thì người thứ nhất thắng người thứ hai một
số tiền là aij .

Giả sử người chơi thứ nhất có m chiến lược đơn, còn người chơi thứ hai
có n chiến lược đơn, khi đó trò chơi hoàn toàn được xác định bởi ma trận


a11 a12
 a21 a22
A =  ... ...
am1 am2


... a1n
... a2n 
... ...  ,
... amn

(1.1)

trong đó aij biểu thị phần thắng của người chơi P1 (đồng thời cũng là
phần thua của người chơi P2 ) nếu người chơi P1 chọn chiến lược đơn i, còn
người chơi P2 chọn chiến lược đơn j .
Ma trận A được gọi là ma trận thanh toán hoặc ma trận trả tiền, nghĩa
là với cặp chiến lược i, j người chơi P2 phải trả cho người chơi P1 một
lượng tiền là aij . Ma trận A còn được gọi là ma trận thắng của người chơi
P1 đồng thời là ma trận thua của người chơi P2 với nghĩa như sau:
-) Nếu aij > 0, thì người chơi P1 thắng, còn P2 thua theo nghĩa thông
thường, P2 phải trả aij đơn vị tiền cho P1 .
-) Nếu aij < 0, thì thực chất là người chơi thứ hai thắng còn người chơi
thứ nhất thua theo nghĩa thông thường, P1 phải trả |aij | cho P2 .
-) Nếu aij = 0, P1 hòa P2 .

7

Vì những lý do nêu trên, ta luôn luôn quy ước gọi người chơi thứ nhất là
người thắng, người chơi thứ hai là người thua.
Ví dụ 1.4. [Trò chơi oản tù tỳ (One Two Three)] (xem [3]) Trò chơi
dân gian có hai người chơi, mỗi người có tập chiến lược đơn giống nhau
T1 = T2 = {Giấy, Búa, Kéo}. Luật chơi là Giấy thắng Búa, Búa thắng
Kéo, Kéo thắng Giấy, Giấy hòa Giấy, Búa hòa Búa, Kéo hòa Kéo.
Hãy lập ma trận của trò chơi.
Giải.

P1

Giấy
Búa
Kéo

Giấy
0
-1
1

P2
Búa
1
0
-1

Kéo

-1
1
0

Bảng 1.1: Oản tù tỳ

0 1 −1
A = −1 0 1
1 −1 0
Ma trận trò chơi Oản Tù Tỳ
Ví dụ 1.5. [Trò chơi chẵn lẻ] Hai người chơi, người thứ nhất có hai mảnh
bìa, một mảnh ghi số 1, mảnh kia ghi số 2; người thứ hai có ba mảnh bìa,
trên mỗi mảnh bìa lần lượt ghi các số 1; 2; 3. Khi có hiệu lệnh (sau tiếng
hô 1, 2, 3 chẳng hạn) mỗi người chọn đặt lên bàn một mảnh bìa.
Nếu tổng các số trên hai mảnh bìa là số lẻ thì P2 trả cho P1 số tiền là
3 U SD.
Nếu tổng các số trên hai mảnh bìa là số chẵn thì P1 trả cho P2 lượng tiền
là 2 U SD. Hãy lập ma trận của trò chơi.
Giải. Mỗi người có một tập hợp các chiến lược đơn T1 = {1, 2};
T2 = {1, 2, 3}, mỗi người chơi có thể chọn trong các mảnh bìa của mình
một mảnh, tất nhiên đã chọn mảnh này thì không chọn mảnh khác.

A=

−2 3 −2
3 −2 3


8

P1

1
2

1
-2
3

P2
2 3
3 -2
-2 3

Bảng 1.2: Trò chơi Chẵn lẻ

Ví dụ 1.6. [Đối với xí nghiệp] Giả sử trên thị trường tồn tại 3 kiểu máy
phục vụ cùng một mục đích với công suất như nhau. Nhà máy Z có khả
năng sản xuất 3 kiểu máy đó. Qua thăm dò thị trường, biết rằng trong
năm t cần N máy. Biết rằng chi phí sản xuất mỗi máy kiểu j là rj và đơn
giá bán dự định là pj , j = 1...3. Đương nhiên là pj > rj .
Hãy lập bài toán để có thể tìm chiến lược sản xuất tối ưu cho nhà máy
Z theo nghĩa lợi nhuận cao nhất, khi chưa xác định được thị hiếu của thị
trường đối với mỗi kiểu máy.
Giải. Nếu máy kiểu j được thị trường chấp nhận αN cái
(0 ≤ α ≤ 1), thì nhà máy Z thu được lợi nhuận N (αpj − rj ) đồng.
Đây là một trò chơi, người chơi thứ nhất là nhà máy Z với 3 chiến lược
thuần túy: sản xuất máy 1, máy 2 hay máy 3, còn người chơi thứ hai là
mức nhu cầu sử dụng máy kiểu j trên thị trường là α. Để đơn giản, ta cho
α nhận các giá trị: 0 (không sử dụng), 1/2 sử dụng một nửa và 1 (sử dụng

toàn bộ máy kiểu j ). Người chơi thứ hai là thị trường có 6 chiến lược đơn
là (1, 0, 0); (1/2 ,1/2, 0); (1/2, 0, 1/2); (0, 1/2, 1/2); (0, 0, 1); (0, 1, 0).
Ma trận của trò chơi là


N (p1 − r1 )
A =  −N r2
−N r3

N ( 12 p1 − r1 )
N ( 21 p2 − r2 )
−N r3

N ( 12 p1 − r1 )
−N r2
N ( 21 p3 − r3 )

−N r1
N ( 21 p1 − r1 )
N ( 21 p3 − r3 )

−N r1
−N r2
N (p3 − r3 )


−N r1
N (p2 − r2 ) .
−N r3

Ví dụ 1.7. [Trong nông nghiệp] Trong một vùng đất có thể trồng 2 loại
cây là ngô và lúa. Năng suất bình quân của mỗi loại phụ thuộc vào lượng
mưa, giả sử lượng mưa được chia làm hai loại là mưa ít và mưa nhiều.
Theo kinh nghiệm cho thấy: ngô gặp mưa ít cho thu nhập 18 triệu/ha, gặp
mưa nhiều cho thu nhập 14 triệu/1 ha; lúa gặp mưa ít cho 12 triệu/ha,
gặp mưa nhiều cho 30 triệu/ha.
Giải. Người chơi thứ nhất là nông dân, có 2 chiến lược đơn là trồng
ngô hoặc lúa. Người chơi thứ hai là thời tiết, cũng có 2 chiến lược đơn là


9

mưa ít hoặc mưa nhiều. Ma trận thu nhập của nông dân là

12 30
A = 18 14 .
Ví dụ 1.8. [Trong thương nghiệp] Một mặt hàng có n kiểu mẫu mã. Bài
toán đặt ra cho cửa hàng là nhập kiểu nào thì tốt nhất, theo nghĩa nếu
hàng hóa kiểu j bán được thì cửa hàng được lãi pj ; nếu không bán được,
cửa hàng tổn thất qj do chi phí bảo quản.
Giải Trong điều kiện nhu cầu và thị hiếu của người tiêu dùng không
được xác định thì cuộc đụng độ giữa các kiểu nhập hàng vào cửa hàng tạo
thành trò chơi mà người thứ nhất là cửa hàng, còn người chơi thứ hai là
thị hiếu khách hàng.
Mỗi bên đều có n chiến lược đơn, chiến lược i của người chơi thứ nhất là
nhập kiểu i. Chiến lược j của người chơi thứ hai (thị trường) là tiêu thụ
hàng hóa kiểu j .
Ma trận phần thắng của cửa hàng là



p1 −q1 −q1 . . . −q1
 −q
p −q . . . −q 
A =  . . .2 . . .2 . . .2 . . . . . .2 .
−qn −qn . . . −qn pn

1.3

Chiến lược đơn trong trò chơi ma trận

1.3.1

Chiến lược maximin của người chơi thứ nhất

Khi người chơi thứ nhất (P1 ) chọn hàng thứ i hay là chọn chiến lược
i, phần thằng của người đó sẽ là một trong các số ai1 , ai2, ..., ain, tùy theo
người chơi P2 chọn cột nào. Trường hợp xấu nhất cho P1 nhận được phần
thắng là số
αi = min {aij }.
1≤j≤n

Với mỗi hàng thứ i, người chơi P1 sẽ có phần thắng đảm bảo là αi . Đại
lượng
vd = max {αi } = max min {aij }
(1.2)
1≤i≤m

1≤i≤m 1≤j≤n

là phần thắng mà người chơi P1 chắc chắn nhận được, nghĩa là nếu người

chơi P1 chọn chiến lược như (1.2) thì phần thắng không nhỏ hơn vd bất kể


10

đối phương chọn chiến lược nào. vd gọi là giá dưới của trò chơi.
Chiến lược đơn i0 mà với nó

αi0 = vd = max {αi }
1≤i≤m

gọi là chiến lược maximin của người chơi thứ nhất.

1.3.2

Chiến lược minimax của người chơi thứ hai

Đối phó với chiến lược của P1 , người chơi P2 trước hết tìm xem nếu sử
dụng chiến lược j , thì phần thua lớn nhất là bao nhiêu? Trường hợp xấu
nhất cho P2 là bị thua một lượng

βj = max {aij }.
1≤i≤m

Hợp lý nhất là P2 tìm cách cực tiểu hóa phần thua lớn nhất của mình, tức
là trong mọi chiến lược j = 1..n, tìm chiến lược j0 sao cho

v t = βj0 = min {βj } = min max {aij }.
1≤j≤n

1≤j≤n 1≤i≤n

(1.3)

Đại lượng v t = βj0 gọi là giá trên của trò chơi.
Chiến lược đơn j0 mà với nó

v t = min {βj }
1≤j≤n

gọi là chiến lược minimax của người chơi thứ hai. Đại lượng v t cũng là
phần thua chắc chắn mà người chơi P2 đạt được, nghĩa là nếu người chơi
P2 chọn chiến lược như (1.3) thì phần thua sẽ không vượt quá v t bất kể
đối phương chọn chiến lược nào. Trong mọi ma trận (aij )m×n, luôn luôn có

max min{aij } ≤ min max{aij }.
i

j

j

i

(1.4)

Định nghĩa 1.9. Nếu trò chơi mà có vd = v t = v tại hàng i0 , cột j0 , ta
nói trò chơi có điểm yên ngựa trong các chiến lược đơn hay là ma trận có
điểm yên ngựa là i0 , j0 ; còn v được gọi là giá của trò chơi.
Một số tính chất của điểm yên ngựa

11

1. Ma trận có điểm yên ngựa khi và chỉ khi tồn tại phần tử ai0 j0 vừa là
số nhỏ nhất trong hàng i0 vừa là số lớn nhất trong cột j0 , tức là

aij0 ≤ ai0 j0
ai0 j0 ≤ ai0 j

∀i = 1...m;
∀j = 1...n

.

(1.5)

2. Mỗi ma trận có thể không có điểm yên ngựa, có thể có một hoặc có
nhiều điểm yên ngựa. Trong trường hợp ma trận có nhiều điểm yên
ngựa, thì giá trị các điểm đó bằng nhau.
Từ tính chất trên, ta có quy tắc tìm điểm yên ngựa trong ma trận
Bước 1. Trong mỗi cột của ma trận A tìm tất cả các phẩn tử lớn nhất,
đánh dấu các phần tử đó.
Bước 2. Trong mỗi hàng của ma trận A tìm tất cả các phần tử nhỏ nhất,
đánh dấu vào các phần tử đó.
Bước 3. Phần tử nào được đánh dấu hai lần, đó chính là điểm yên ngựa
của ma trận A.
Bất đẳng thức thứ nhất trong (1.5) cho thấy khi người chơi P2 đã chọn
cột j0 , thì người chơi P1 dù chọn bất cứ hàng nào, phần thắng cũng không
cao hơn khi chọn i0 .

Bất đẳng thức thứ hai trong (1.5) cho thấy khi P1 đã chọn hàng i0 , thì
P2 dù chọn bất cứ cột nào, phần thua cũng không nhỏ hơn khi chọn j0 .
Điểm yên ngựa còn gọi là điểm cân bằng của trò chơi. Quá trình giải trò
chơi chính là quá trình tìm điểm cân bằng. Trường hợp ma trận có điểm
yên ngựa, thì điểm yên ngựa đó chính là trạng thái cân bằng (người chơi
P1 không thể tăng phần thắng của bản thân còn người chơi P2 không thể
giảm phần thua của bản thân).

1.4

Các chiến lược hỗn hợp trong trò chơi ma trận

Xét trò chơi, với ma trận là

a11
 a21
...
am1

a12
a22
...
am2

...
...
...
...



a1n
a23 
....
amn


12

Ở mục trên ta đã xét trường hợp cả hai người chơi đều chỉ áp dụng chiến
lược đơn, nghĩa là khi đã sử dụng hàng nào (cột nào), thì sử dụng hàng đó
(cột đó) với tần suất 100%. Nếu chỉ sử dụng chiến lược đơn sẽ không giải
thích được ví dụ 2.2 vì ở ví dụ này, người chơi P1 có phần thắng chắc chắn
là 1, còn người chơi P2 lại có phần thua chắc chắn là 3. Mà trò chơi ma
trận là trò chơi đối kháng, nghĩa là người này thua bao nhiêu thì người kia
thắng bấy nhiêu. Người chơi P1 tìm cách nâng phần thắng của bản thân
lên, và người chơi P2 tìm cách hạ phần thua của bản thân xuống. Muốn
vậy cả hai người chơi phải tìm cách pha trộn các chiến lược đơn để được
chiến lược gọi là chiến lược hỗn hợp:
Xét trò chơi có ma trận trả tiền là A = [aij ]m×n. Người chơi P1 sử dụng
hàng thứ nhất với tần suất p1 %, sử dụng hàng thứ hai với tần suất p2 %,...,
sử dụng hàng thứ m với tần suất pm%, ta thấy

0 ≤ pi ≤ 1, ∀i = 1...m; p1 + p2 + ... + pm = 1.
Từ đây ta có vector
p = (p1 , p2 , ..., pm)
Vector p gọi là vector chiến lược hỗn hợp của người chơi thứ nhất.
Tương tự, người chơi thứ hai sử dụng cột thứ nhất với tần suất q1 %, sử
dụng cột thứ hai với tần suất q2 %,...,sử dụng cột thứ n với tần suất qn %.
Cũng nhận được

0 ≤ qj ≤ 1, ∀j = 1...n; q1 + q2 + ... + qn = 1.
Từ đây ta cũng có vector q = (q1 , q2 , ..., qn). Vector q gọi là vector chiến
lược hỗn hợp của người chơi thứ hai.
Chú ý 1.1. Từ cách xây dựng vector chiến lược hỗn hợp như trên ta
nhận thấy
-) Nếu vector p có thành phần thứ i = 1, thì tất cả các thành phần còn lại
phải bằng 0. Điều này được hiểu là người chơi P1 sử dụng 100% hàng
i và không sử dụng các hàng còn lại. Lúc này chiến lược hỗn hợp thực
chất là chiến lược đơn, vậy chiến lược đơn là trường hợp riêng của chiến
lược hỗn hợp. Lập luận cũng tương tự đối với người chơi P2 .


13

-) Mỗi người chơi có hữu hạn chiến lược đơn nhưng có vô hạn chiến lược
hỗn hợp.
Mỗi người chơi có bài toán cho riêng mình, đó là
1. Bài toán của người chơi P1 là tìm chiến lược

p∗ = (p∗1, p∗2, ..., p∗m) ∈ T1
sao cho cực đại thắng lợi của mình trong khi không có thông tin về
sự lựa chọn chiến lược của P2 .
2. Bài toán của người chơi P2 là tìm chiến lược

q∗ = (q1∗, q2∗ , ..., qn∗ ) ∈ T2
sao cho cực tiểu thắng lợi của P1 , đồng nghĩa với cực tiểu hóa phần
thua của bản thân, trong khi không có thông tin về lựa chọn của P1 .

1.4.1

Phần thắng trung bình của người chơi thứ nhất

Định nghĩa 1.10. Nếu người chơi P1 chọn vector chiến lược p, người chơi
P2 chọn vector chiến lược q thì thắng lợi trung bình của người chơi P1 là
m

n

M(p, q) =

aij pi qj = a11 p1q1 + a12 p1q2 + ... + a1n p1qn
i=1 j=1

+ a21p2 q1 + a22p2 q2 + ... + a2n p2qn
...........
+ an1 pnq1 + an2 pn q2 + ... + ann pnqn = pAqT . (1.6)
Chú ý 1.2. Phần thắng trung bình M(p, q) còn được viết dưới các dạng
sau
M(p, q) = (p, AqT ) = (pA, qT )
với các quy ước
-) p, q, qT tùy từng trường hợp có thể hiểu là ma trận hoặc vector.
-) Ma trận chỉ có một phần tử [a] được xem là số thực a.


14

Ví dụ 1.9. Xét trò chơi với ma trận

5 −3 1
−3 1 −5 .

Giải. Người chơi P1 có hai chiến lược đơn

p(1) = (1, 0) :
p(2) = (0, 1) :

chỉ sử dụng hàng 1
chỉ sử dụng hàng 2

và một tập vô hạn chiến lược hỗn hợp

T1 = {p = p1 .p(1) + p2 .p(2) 0 ≤ p1, p2 ≤ 1, p1 + p2 = 1}
Người chơi thứ hai có ba chiến lược đơn

q(1) = (1, 0, 0) : chỉ sử dụng cột 1
q(2) = (0, 1, 0) : chỉ sử dụng cột 2
q(3) = (0, 0, 1) : chỉ sử dụng cột 3
và một tập vô hạn chiến lược hỗn hợp

T2 = {q = q1q(1) + q2q(2) + q3q(3) 0 ≤ q1 , q2, q3 ≤ 1; q1 + q2 + q3 = 1}
1.4.2

Nghiệm của trò chơi trong chiến lược hỗn hợp

Định nghĩa 1.11. (Xem [3], trang 171-172) Nghiệm của trò chơi ma trận
là cặp chiến lược hỗn hợp (p∗ , q∗ ) sao cho

M(i, q∗) ≤ M(p∗ , q∗); ∀i = 1, 2, .., m

(1.7)

M(p∗ , j) ≥ M(p∗ , q∗); ∀j = 1, 2, ..., n

(1.8)

ở đây i = (0, 0, ..., 0, 1, 0...0) là vector đơn vị thứ i trong không gian
Rm ; j = (0, 0, ..., 0, 1, 0...0) là vector đơn vị thứ j trong không gian Rn .
Giá trị M(p∗ , q∗ ) được gọi là giá của trò chơi, ký hiệu là v . Bất đẳng
thức (1.7) có nghĩa là khi P2 sử dụng chiến lược q∗ , thì P1 sử dụng
bất cứ chiến lược nào cũng không làm cho phần thắng của P1 vượt quá
v = M(p∗, q∗).
Bất đẳng thức (1.8) có nghĩa là khi P1 sử dụng chiến lược p∗ thì P2 dù
áp dụng bất cứ chiến lược nào cũng không làm cho phần thua của P2 nhỏ
hơn v = M(p∗ , q∗ ). Cặp vector (p∗ , q∗ ) còn được gọi là điểm yên ngựa
của trò chơi. Người ta đã chứng minh được định lý sau


15

Định lý 1.2. [minimax] Mọi trò chơi ma trận đều có điểm yên ngựa trong
các chiến lược hỗn hợp.
Nói cách khác, tồn tại cặp chiến lược (p∗ , q∗ ) sao cho các bất đẳng thức
(1.7), (1.8) thỏa mãn.
Phần thắng bảo đảm của P1 khi sử dụng chiến lược p là

v(p) = min M(p, q)
∀q∈T2

trong đó
n

T2 = {q = (q1 , ..., qn)|0 ≤ qj ≤ 1, j = 1..n;

qj = 1}.
j=1

Chiến lược p∗ mà với nó phần thắng bảo đảm của P1 đạt cực đại gọi là
chiến lược tối ưu của P1 . Giá trị của thắng lợi đó là

v(p∗) = max v(p) = max min M(p, q)
∀p∈T1

∀p∈T1 ∀q∈T2

trong đó

m

T1 = {p = (p1, ..., pm)|pi ≥ 0;

pi = 1}.
i=1

Phần thua đảm bảo của người chơi thứ hai khi sử dụng chiến lược q là

u(q) = max M(p, q)
∀p∈T1

Chiến lược q∗ mà với nó phần thua đảm bảo của người chơi thứ hai đạt
cực tiểu gọi là chiến lược tối ưu của người chơi thứ hai. Giá của phần thua
đó là

u(q∗) = min u(q) = min max M(p, q)
∀q∈T2

∀q∈T2 ∀p∈T1

Nếu cả hai người đều chọn chiến lược tối ưu cho mình, thì

v(p∗) = u(q∗) = v ∗
v ∗ gọi là giá của cuộc chơi, cặp chiến lược (p∗, q∗) là điểm yên ngựa của
hàm M(p, q), nó là chiến lược tối ưu của mỗi người chơi.


16

1.4.3

Chiến lược thừa

Định nghĩa 1.12. Chiến lược i0 của người chơi thứ nhất được gọi là chiến
lược thừa, nếu
a) Tồn tại chiến lược i1 sao cho ai1 j ≥ ai0 j , ∀j = 1, n,
hoặc
b) Tồn tại các số µ1 , µ2 , ..., µi0−1 , µµ0 +1 , ..., µm thỏa mãn điều kiện

µ1 , µ2 , .., µn ≥ 0; µ1 + µ2 + ... + µi0 −1 + µi0 +1 + ... + µn = 1
sao cho

µi aij ≥ ai0 j ; ∀j = 1, n.
i=i0

Ý nghĩa của Định nghĩa 1.12 trên là ở chỗ: Người chơi P1 là người thắng
có mong muốn phần thắng càng lớn càng tốt, đáng lẽ sử dụng chiến lược
i0 người chơi P1 sử dụng chiến lược hỗn hợp là tổ hợp các chiến lược đơn
còn lại mà phần thắng không bị giảm đi.
Định nghĩa 1.13. Chiến lược j0 của người chơi thứ hai được gọi là chiến
lược thừa, nếu
a) Tồn tại chiến lược đơn j1 sao cho aij1 ≤ aij0 ; ∀i = 1, m,
hoặc
b) Tồn tại các số ν1 , ν2 , ..., νj0−1 , νj0+1 , ..., νm thỏa mãn điều kiện

ν1, ν2, ..., νn ≥ 0; ν1 + ν2 + ... + νj0 −1 + νj0 +1 + ... + νn = 1
sao cho

νj aij ≤ aij0 ; ∀i = 1, m.
j=j0

Ý nghĩa của Định nghĩa 1.14 là ở chỗ: Người chơi P2 là người thua có
mong muốn phần thua càng nhỏ càng tốt, đáng lẽ sử dụng chiến lược j0
người chơi P2 sử dụng chiến lược hỗn hợp là tổ hợp các chiến lược đơn còn
lại mà phần thua không bị tăng lên so với sử dụng cột j0 . Có thể đơn giản
quá trình giải bài toán bằng cách loại bỏ đi những chiến lược thừa vì chiến
lược thừa sẽ có tần suất sử dụng bằng không.


17

Ví dụ 1.10. Hãy bỏ đi các chiến lược thừa trong ma trận

2 3 1 5
A= 4 1 6 0

Giải. Đây chính là ma trận trong Ví dụ 2.3. Ta thấy là ma trận không
có hàng thừa. Sau đây ta tìm cột thừa. Không thể khẳng định ngay cột
nào thừa, vì vậy ta xét lần lượt các cột.
-) Xét tính thừa của cột thứ nhất.
Lập hệ bất phương trình

2 ≥ 3ν2 + ν3 + 5ν4



4 ≥ ν2 + 6ν3
ν2 + ν3 + ν4 = 1



ν2 ≥ 0, ν3 ≥ 0, ν4 ≥ 0.

Ta chỉ cần tìm một nghiệm của hệ, dễ thấy hệ có nghiệm là
ν2 = 82 , ν3 = 58 , ν4 = 81 . Chứng tỏ cột thứ nhất là cột thừa. Xóa cột thứ
nhất khỏi ma trận A. Ta nhận được ma trận mới còn ba cột
′
3 1 5
A = 1 6 0

-) Xét tính thừa của cột thứ hai.
Lập hệ bất phương trình

3 ≥ x + 5y




1 ≥ 6y
x+y =1



x ≥ 0, y ≥ 0.

Hệ bất phương trình vô nghiệm, chứng tỏ cột thứ hai không phải là cột
thừa. Tương tự như vậy, ta nhận được các cột thứ ba và thứ tư không phải
là cột thừa.
Chú ý 1.3. Cột thừa thì có tần suất sử dụng bằng không, nhưng điều
ngược lại không đúng, nghĩa là một cột mà có tần suất sử dụng bằng 0
vẫn không phải là cột thừa. Trở lại Ví dụ 2.3 có cột thứ nhất và cột thứ
tư có tần suất sử dụng bằng 0, nhưng chỉ có cột thứ nhất là cột thừa.
Ví dụ 1.11. Bỏ đi các chiến lược thừa rồi giải bài toán
2 3 1 1 5 4
A = 3 4 6 4 9 −1 .
1 2 4 9 3 10


18
v
10

3
31
13

1

O

9/13

p
1

-1
Hình 1.1: Minh họa ví dụ 1.11

Giải. Bài toán không có lời giải trong các chiến lược đơn, thật vậy

v=

max min aij = max (1, −1, 1) = 1

i=1,2,3 j=1...6

v = min max aij = min (3, 4, 6, 9, 9, 10) = 3
j=1..6 i=1...3

suy ra v < v.
Bây giờ ta tìm phương án tối ưu trong các chiến lược hỗn hợp. Trước hết,
loại bỏ chiến lược thừa, dễ thấy rằng cột 1 < cột 2 và cột 1 < cột 5,
vậy thừa cột 2 và cột 5, bỏ đi 2 cột này. Ma trận còn lại

2 1 1 4
A = 3 6 4 −1 .
1 4 9 10
′

Xét đến các hàng của ma trận A , ta thấy
1
hàng 1 < ( hàng 2 + hàng 3,
2
bỏ hàng 1 vì đó là chiến lược thừa của người chơi P1 , ma trận còn lại
′

′′
3 6 4 −1
A = 1 4 9 10 .

Nhưng vẫn còn cột 1 < cột 2 và cột 1 < cột 4, bỏ cột 2 và cột 4, ma
′′′
3 −1
trận cuối cùng là A 1 10 .


19

Ma trận cuối cùng là ma trận vuông có hai hàng và hai cột. Ta giải bằng
phương pháp đồ thị

v1 = 3p + 1(1 − p) = 2p + 1
v2 = −p + 10(1 − p) = −11p + 10

(1.9)

Vẽ hai đường thẳng (1.9) trên mặt phẳng tọa độ Opv . Cho v1 = v2 ta được
p = 9/13, và v1 = v2 = 31/13. Để tìm chiến lược tối ưu của người chơi

P2 ta giải hệ
3p + (−1)(1 − p) = 31/13
1p + 10(1 − p) = 31/13

1.4.4

Phương pháp Quy hoạch tuyến tính

(Xem [4]) Nếu trò chơi không có lời giải trong các chiến lược đơn, không
giải được bằng đồ thị và cũng không là ma trận vuông thì sử dụng phương
pháp quy hoạch tuyến tính.
Gọi vj =

m

m

aij pi (pi ≥ 0;

pi = 1) là thắng lợi đảm bảo trong chiến

i=1

i=1

lược hỗn hợp (p1 , p2 , ..., pm) của người chơi thứ nhất khi người chơi thứ
hai chọn chiến lược j , với j = 1...n; và gọi:
m

v = min (v1, ..vn) = min (

1≤j≤n i=1

aij pi), tức là: v ≤

m

aij pi với mọi j =

i=1

1...n, thì chiến lược maximin của người chơi thứ nhất là: tìm vector p =
(p1, p2, ...pm) sao cho v đạt max.
Gọi ui =

n

n

aij qj

(qj ≥ 0;

qj = 1) là thất bại đảm bảo trong chiến

j=1

j=1

lược hỗn hợp (q1 , q2 , ..., qn) của người chơi thứ hai, khi mà người chơi thứ

nhất sử dụng chiến lược i (i=1...m). Gọi:
n

u = max (u1, ...um) = max (
1≤i≤m

Tức là: u ≥

n

aij qj )
j=1

aij qj với mọi i = 1...m, thì chiến lược minimax của người

j=1

chơi thứ hai là tìm vector q = (q1 , q2 , ...qn) sao cho u đạt min.
Bài toán cực đại hóa phần thắng đảm bảo của người chơi thứ nhất và cực
tiểu hóa phần thua đảm bảo của người chơi thứ hai đưa đến cặp bài toán
đối ngẫu sau đây