Ngoại suy trong phân tích dự báo và ứng dụng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG VĂN TRUYỀN

NGOẠI SUY TRONG PHÂN TÍCH DỰ BÁO
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG VĂN TRUYỀN

NGOẠI SUY TRONG PHÂN TÍCH DỰ BÁO
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. VŨ MẠNH XUÂN

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục

Danh sách hình vẽ

iii

Danh sách bảng

v

Mở đầu

1

Chương 1. Khái quát về phân tích dự báo

3

1.1

Khái niệm dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đặc điểm của dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Các phương pháp dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1

Phương pháp dự báo định tính . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Phương pháp dự báo định lượng . . . . . . . . . . . . . .

5

Phương pháp ngoại suy trong dự báo . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4.1

Khái niệm phương pháp ngoại suy

. . . . . . . . . . . .

5

1.4.2

Các tính chất của ngoại suy . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Các phương pháp ngoại suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.1

Phương pháp ngoại suy được suy ra từ nội suy . . . . . .

7

1.5.2

Phương pháp hồi quy tuyến tính đơn . . . . . . . . . . .

14

1.5.3

Mô hình hồi quy đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4

1.5

Chương 2. Một số bài toán ứng dụng

18

2.1

Thử nghiệm dự báo trong tính toán khoa học . . . . . . . . . .

2.2

Một số dự báo trong quản lý đào tạo tại trường Đại học Khoa học 25
2.2.1

Dự báo số lượng tuyển sinh . . . . . . . . . . . . . . . .

18

25


ii

2.3

2.2.2

Dự báo kết quả tuyển sinh theo từng ngành . . . . . . .

32

2.2.3

Dự báo lượng tốt nghiệp của trường Đại học Khoa học .

37

Một vài ứng dụng trong đời sống và kinh tế . . . . . . . . . . .

40

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

56


iii

Danh sách hình vẽ
1.1
1.2

Nội suy hàm Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Độ lệch và các đường hồi quy lý thuyết, thực nghiệm . . . . . .

12
16

2.1
2.2
2.3

Đồ thị của đa thức f (x) (Bài toán 2.1.1). . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị của hàm Φ(x) (Bài toán 2.1.1). . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.1 và mô hình hồi quy tuyến
tính của nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.1 và mô hình hồi quy tam
thức của nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phân bố các điểm dữ liệu Bảng 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị của đa thức f (x) (Bài toán 2.1.3). . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.2 và mô hình hồi quy tuyến
tính của nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị hàm f 1(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị hàm f 2(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị hàm f 3(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.3 và mô hình hồi quy tuyến
tính của nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị hàm f (x) (Bài toán 2.2.2). . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biểu đồ số lượng thẻ ngân hàng theo các năm (Đvt: triệu thẻ). .
Mô hình hồi quy tuyến tính số lượng thẻ ngân hàng. . . . . . .
Phân bố các điểm dữ liệu Bảng 2.10. . . . . . . . . . . . . . . .

Đồ thị minh họa đa thức f (x) (Bài toán 2.3.2 ). . . . . . . . . .
Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.10 và mô hình hồi quy tuyến
tính của nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.10 và mô hình hồi quy tam
thức của nó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị minh hoạ hàm g(x) biểu diễn giá vàng mua vào. . . . . .
Mô hình hồi quy tam thức biểu diễn giá vào mua vào. . . . . . .

20
20

2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20

21

22
24
24
25
27
28
29
30
32
41
43
44
44
45
46
47
48


iv

2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29

Đồ thị minh hoạ hàm h(x) biểu diễn giá vàng bán ra. . . . . . .
Biểu đồ số liệu tham gia giao thông tại thành phố Hồ Chí Minh.
Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn số lượng xe ô tô. . . . . . . .
Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn số lượng xe máy. . . . . . . .
Biểu đồ mức chi tiêu bình quân đầu người (Đvt: Nghìn VNĐ/
người/ tháng). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn mức chi tiêu cho ăn uống . .
Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn mức chi tiêu trung bình . . .
Biểu đồ doanh thu và tốc độ tăng trưởng ngành sữa Việt Nam
(Đv: Doanh thu: nghìn tỉ đồng, tốc độ tăng trưởng: %). . . . . .
Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn tốc độ tăng trưởng ngành sữa

49
50
51
51
52
53
53
54
54


v

Danh sách bảng
2.1
2.2

2
Bảng một số giá trị của tích phân Φ(x) = √
π
Bảng một số giá trị của tích phân f (x) =

x

2

e−t dt. . . . .
0

18

3

(x + t) 2
x2
cos x et + sin tx dt.

. .

Kết quả tuyển sinh chính quy của trường Đại học Khoa học từ
năm 2003 đến năm 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kết quả tuyển sinh liên thông của trường Đại học Khoa học giai
đoạn từ năm 2005 đến năm 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Kết quả tuyển sinh theo ngành của trường Đại học Khoa học
giai đoạn từ năm 2009 đến năm 2015 . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 So sánh kết quả dự báo với số liệu thực tế tuyển sinh của trường
Đại học Khoa học năm 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Số lượng sinh viên tốt nghiệp hệ chính quy. . . . . . . . . . . . .
2.8 Sinh viên chính quy tốt nghiệp theo ngành. . . . . . . . . . . .
2.9 So sánh kết quả dự báo số lượng sinh viên tốt nghiệp K10 với
số lượng sinh viên thực tế đang học K10 . . . . . . . . . . . . .
2.10 Dân số của một quốc gia từ năm 1975 đến 2005 . . . . . . . . .
2.11 Giá vàng SJC từ tháng 3 đến tháng 9 năm 2016 (Đvt: triệu
đồng/lượng). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3

26
31
33
37
37
38
40
42
46


1

Mở đầu
Nhiều bài toán trong tự nhiên và xã hội không xuất phát từ các hàm số đã
cho mà từ những bộ số liệu cụ thể có được do quan sát hay đo, đếm, .... Người
ta muốn từ những bộ số liệu cụ thể này tìm được giá trị của hàm số (chưa biết)
tại các điểm chưa được khảo sát, từ đó dẫn đến các kỹ thuật nội suy, ngoại suy.

Nội suy thường cho kết quả tốt, xấp xỉ gần đúng giá trị thực, còn ngoại suy có
thể cho sai số lớn hơn. Nhưng trên thực tế, ngoại suy thường có ứng dụng lớn
hơn do nó đưa ra những dự báo cả về định tính lẫn định lượng cho tương lai.
Đề tài này nhằm nghiên cứu các kỹ thuật nội suy, ngoại suy và tìm các ứng
dụng trong các bài toán thực tế. Các bài toán chọn ở đây thuộc 3 nhóm. Nhóm
thứ nhất là ngoại suy trên một số hàm số đã biết nhằm kiểm chứng sai số và
độ tin cậy của việc tính toán. Nhóm thứ hai là vận dụng cho bài toán tuyển
sinh thực tế của Trường Đại học Khoa học. Nhóm thứ ba là một số thử nghiệm
về dự báo giá cả một số lĩnh vực trong đời sống kinh tế.
Bố cục luận văn được chia thành 2 chương ngoài phần mở đầu, phần kết
luận và các tài liệu tham khảo cụ thể như sau:
Chương 1: Khái quát về phân tích dự báo
Chương này trình bày về khái niệm dự báo, các đặc điểm, các phương pháp
ngoại suy trong dự báo.
Chương 2: Một số bài toán ứng dụng
Chương này trình bày một số bài toán thử nghiệm thuộc 3 nhóm bài toán
như đã nêu trên.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Vũ Mạnh Xuân.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô, những
người đã tận tâm giảng dạy và chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn.


2

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán
- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp
đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã

động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên
cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016
Học viên

Dương Văn Truyền


3

Chương 1
Khái quát về phân tích dự báo
Chương này giới thiệu khái niệm dự báo, đặc điểm, các phương pháp dự
báo thường dùng và phương pháp ngoại suy trong dự báo. Các kiến thức của
chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[4] và [5].

1.1

Khái niệm dự báo

Dự báo là một khoa học và nghệ thuật tiên đoán những sự việc sẽ xảy ra
trong tương lai, trên cơ sở phân tích khoa học về các dữ liệu đã thu thập được.
Khi tiến hành dự báo cần căn cứ vào việc thu thập, xử lý số liệu trong quá khứ
và hiện tại để xác định xu hướng vận động của các hiện tượng trong tương lai
nhờ vào một số mô hình toán học (định lượng). Tuy nhiên dự báo cũng có thể
là một dự đoán chủ quan hoặc trực giác về tương lai (định tính) và để dự báo
định tính được chính xác hơn, người ta cố loại trừ những tính chủ quan của
người dự báo.
Dù định nghĩa có sự khác biệt nào đó, nhưng đều thống nhất về cơ bản là

dự báo bàn về tương lai, nói về tương lai. Dự báo trước hết là một thuộc tính
không thể thiếu của tư duy của con người, con người luôn luôn nghĩ đến ngày
mai, hướng về tương lai. Trong thời đại công nghệ thông tin và toàn cầu hóa,
dự báo lại đóng vai trò quan trọng hơn khi nhu cầu về thông tin thị trường,
tình hình phát triển tại thời điểm nào đó trong tương lai càng cao. Dự báo
được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, mỗi lĩnh vực có một yêu cầu về
dự báo riêng nên phương pháp dự báo được sử dụng cũng khác nhau.


4

1.2

Đặc điểm của dự báo

Không có cách nào để xác định tương lai là gì một cách chắc chắn (tính
không chính xác của dự báo). Dù phương pháp chúng ta sử dụng là gì thì luôn
tồn tại yếu tố không chắc chắn cho đến khi thực tiễn diễn ra.
Đến thế kỷ XVI, XVII khi mà các môn khoa học tự nhiên như toán học,
hóa học, vật lý học xuất hiện. Lúc đầu, dự báo với độ chính xác cao thường
áp dụng vào trong vật lý cổ điển, hóa học và đặt trong phạm vi không gian và
thời gian rất khắt khe. Sau đó, sự xuất hiện nhiều dự báo mà hiện tượng dự
báo rất phức tạp, chịu sự tác động của nhiều yếu tố: sự tiến bộ của khoa học
- kỹ thuật, sự phát triển của kinh tế - xã hội, chính trị, sự thay đổi về tâm lý
và chuẩn mực đạo đức xã hội đòi hỏi dự báo phải vận dụng các phương pháp
thống kê xác suất (dự báo với độ tin cậy nào đó chứ không phải là chính xác
hoàn toàn).
Trong dự báo, luôn luôn có các điểm mù. Chúng ta không thể dự báo một
cách chính xác hoàn toàn điều gì sẽ xảy ra trong tương lai. Hay nói cách khác,
không phải cái gì cũng có thể dự báo được nếu chúng ta thiếu hiểu biết về vấn

đề cần dự báo.

1.3

Các phương pháp dự báo

Có nhiều học giả có cách phân loại phương pháp dự báo khác nhau. Tuy
nhiên theo học giả Gordon, trong hai thập kỷ gần đây, có 8 phương pháp dự
báo được áp dụng rộng rãi trên thế giới:
- Tiên đoán
- Ngoại suy xu hướng
- Phương pháp chuyên gia
- Phương pháp mô phỏng
- Phương pháp ma trận tác động qua lại
- Phương pháp kịch bản
- Phương pháp cây quyết định
- Phương pháp dự báo tổng hợp
Tuy nhiên, theo phân loại tại Việt Nam các phương pháp dự báo thường
chia thành 2 nhóm chính là phương pháp định tính và phương pháp định lượng.


5

1.3.1

Phương pháp dự báo định tính

Phương pháp này dựa trên cơ sở nhận xét của những yếu tố liên quan, dựa
trên những ý kiến về các khả năng có liên hệ của những yếu tố liên quan này
trong tương lai. Phương pháp định tính có liên quan đến mức độ phức tạp khác

nhau, từ việc khảo sát ý kiến được tiến hành một cách khoa học để nhận biết
các sự kiện tương lai hay từ ý kiến phản hồi của một nhóm đối tượng hưởng
lợi (chịu tác động) nào đó.
1.3.2

Phương pháp dự báo định lượng

Mô hình dự báo định lượng dựa trên số liệu quá khứ, những số liệu này giả
sử có liên quan đến tương lai và có thể tìm thấy được. Tất cả các mô hình dự
báo theo định lượng có thể sử dụng thông qua chuỗi thời gian và các giá trị
này được quan sát đo lường các giai đoạn của từng chuỗi.
Tuy nhiên hiện nay thông thường khi dự báo người ta thường hay kết hợp
cả phương pháp dự báo định tính và định lượng để nâng cao mức độ chính xác
của dự báo. Bên cạnh đó vấn đề cần dự báo đôi khi không thể thực hiện được
thông qua một phương pháp dự báo đơn lẻ mà đòi hỏi kết hợp nhiều hơn một
phương pháp nhằm mô tả đúng bản chất của dự báo.
Một phương pháp được áp dụng để dự báo là phương pháp ngoại suy. Trong
mục tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày phương pháp ngoại suy trong dự báo.

1.4

Phương pháp ngoại suy trong dự báo

1.4.1

Khái niệm phương pháp ngoại suy

Định nghĩa 1.4.1. Ngoại suy là dựa trên những số liệu đã có về một đối tượng
được quan tâm để đưa ra suy đoán hoặc dự báo về hành vi của đối tượng đó
trong tương lai.

Ngoại suy có 2 dạng chính là ngoại suy theo số liệu lát cắt và ngoại suy
theo chuỗi số liệu lịch sử.
Ngoại suy theo số liệu lát cắt: Là dựa trên hành vi của một số thành phần
tại một thời điểm nào đó để ngoại suy về hành vi của các thành phần khác
cũng tại thời điểm đó.
Ngoại suy theo chuỗi số liệu: Là dựa trên chuỗi số liệu lịch sử và sử dụng
kỹ thuật kinh tế lượng để đưa ra dự báo đối với biến quan tâm. Giả thiết cơ


6

bản là hành vi của biến được dự báo sẽ tiếp tục trong tương lai như đã diễn
ra trong quá khứ.
1.4.2

Các tính chất của ngoại suy

Tính chất 1.4.2. Ngoại suy mang tính chất xác suất. Mỗi đối tượng dữ
liệu ngoại suy đều vận động theo một quy luật nào đó, một quỹ đạo nhất định
nào đó, đồng thời trong quá trình phát triển nó luôn luôn chịu sự tác động của
môi trường, hay các yếu tố bên ngoài. Bản thân môi trường hay các yếu tố tác
động cũng không phải là đứng im mà luôn luôn trong trạng thái vận động và
phát triển không ngừng, về phía chủ thể dữ liệu ngoại suy, những thông tin
hiểu biết về đối tượng ở tương lai bao giờ cũng nghèo nàn hơn hiện tại. Vì vậy
dù các thuật toán ngoại suy có hoàn thiện, có tin cậy đến đâu cũng không thể
chắc chắn rằng các dữ liệu ngoại suy là hoàn toàn chính xác. Hay nói một cách
khác ngoại suy dữ liệu bao giờ cũng mang tính xác suất.
Tính chất 1.4.3. Ngoại suy dữ liệu là đáng tin cậy. Ngoại suy mang tính
xác suất nhưng đáng tin cậy vì nó dựa trên những cơ sở lý luận và phương
pháp luận khoa học. Đó là phép biện chứng duy vật và lịch sử, hệ thống các lý

luận về khoa học, về kinh tế và xã hội. Phương pháp và công cụ xử lý thông
tin ngày càng hiện đại. Xét về mặt bản chất, ngoại suy dữ liệu là sự phản ảnh
vượt trước, là những giả thiết về sự phát triển của dữ liệu ngoại suy trong
tương lai được đưa ra trên cơ sở nhận thức các quy luật phát triển và những
điều kiện ban đầu với tư cách là những giả thiết. Theo đà phát triển của khoa
học kỹ thuật, trình độ nhận thức quy luật và các điều kiện ban đầu ngày càng
được hoàn thiện thì độ tin cậy của dữ liệu ngoại suy cũng không ngừng được
nâng cao độ tin cậy.
Tính chất 1.4.4. Ngoại suy dữ liệu mang tính chất đa kết quả. Mỗi
phương pháp ngoại suy được thực hiện trên những giả thiết nhất định – ngoại
suy có điều kiện. Tập hợp các giả thiết như vậy gọi là phông dữ liệu ngoại suy.
Ngoại suy có thể được tiến hành trên các phông dữ liệu ngoại suy khác nhau,
do những nguyên nhân chủ quan và khách quan khác nhau và vì vậy có thể
có nhiều kết quả ngoại suy khác nhau. Tính đa kết quả một mặt là thuộc tính
khách quan của dữ liệu ngoại suy, nhưng mặt khác lại là phù hợp với yêu cầu
của công tác quản lý, nó làm cho việc ra quyết định cũng như chỉ đạo thực
hiện quyết định quản lý trở nên linh hoạt hơn, dễ thích nghi với sự biến đổi vô
cùng phức tạp của tình hình thực tế.


7

1.5

Các phương pháp ngoại suy

Trong tiểu mục này chúng tôi nêu một số phương pháp ngoại suy thường
dùng như: phương pháp ngoại suy suy ra từ nội suy, phương pháp hồi quy
tuyến tính đơn và mô hình hồi quy đa thức.
1.5.1

Phương pháp ngoại suy được suy ra từ nội suy

Chúng ta biết rằng nội suy là một bài toán cơ bản của giải tích số. Trong
đó một trường hợp thường gặp của bài toán này là cần phục hồi hàm số f (x)
đối với mọi điểm x ∈ [a, b] trong khi chỉ biết giá trị của nó tại một số điểm
x0 , x1 , . . . , xn ∈ [a, b]. Những giá trị này thường là các giá trị quan sát, hoặc
đo đạc được.
Bài toán nội suy hàm số một biến được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b]
cho các điểm nút a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b và tại các điểm này cho các giá
trị f (xi ) với i = 0, 1, . . . , n của hàm f (x). Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính và
trùng với hàm f (x) tại các điểm nút trên, nghĩa là
g(xi ) = f (xi ) với i = 0, 1, . . . , n.

(1.1)

Sau khi xây dựng được hàm g(x) ta sẽ dùng nó để tính giá trị tại các đầu mút
ngoài đoạn [a, b]. Đó chính là phương pháp dùng nội suy để suy ra ngoại suy.
Dưới đây chúng tôi nêu hai phương pháp nội suy kinh điển là phương pháp nội
suy Newton và phương pháp nội suy Lagrange.
Phương pháp nội suy Lagrange

Đa thức Lagrange là một phương pháp thay thế hữu hiệu để giải đồng thời
các phương trình từ ràng buộc rằng đa thức phải đi qua các giá trị dữ liệu.
Cho các nút nội suy
a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b
và các giá trị của hàm f (x) tại các nút nội suy:
yi = f (xi ), với i = 0, 1, . . . , n.
Như đã trình bày ở trên, chúng ta sẽ tìm một đa thức Pn (x) bậc n
n

Ck xk .

Pn (x) =
k=0

(1.2)


8

Từ điều kiện nội suy
Pn (xi ) = f (xi ) với i = 0, 1, . . . , n.

(1.3)

Cho ta hệ phương trình để xác định các hệ số Ck với k = 0, 1, . . . , n.
C0 + C1 x0 + . . . + Cn xn0 = f (x0 )
......

(1.4)

C0 + C1 xn + . . . + Cn xnn = f (xn )
Hệ (1.4) có nghiệm duy nhất nên đa thức nội suy (1.2) luôn tồn tại duy nhất.
Để xây dựng công thức tính đa thức (1.2) mà không cần giải hệ (1.4) ta xét
các đa thức bậc n có dạng
Pi (x) =

(x − x0 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn )
.

xi − x0 . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn )

(1.5)

Để ý rằng
Pi (xj ) = δij =

1 nếu i = j
0 nếu i = j

(1.6)

yi Pi (x).

(1.7)

Đặt
n

Pn (x) =
i=0

Từ (1.6) ta có
n

Pn (xj ) =

yi Pi (xj ) = yj (j = 0, 1, . . . , n)
i=0

Như vậy Pn (x) là đa thức nội suy duy nhất cần tìm và được gọi là Đa thức
nội suy Lagarange. Đây phương pháp đặc biệt thuận tiện để nội suy đa thức
từ bảng giá trị khi các điểm giá trị không cách đều nhau. Phương pháp này
thích hợp để tìm kiếm các giá trị gần nhất trong bảng và sau đó sử dụng nội
suy bậc nhỏ nhất phù hợp với dạng hàm của dữ liệu. Đa thức bậc cao đi qua
đồng thời nhiều giá trị của bảng có thể biến động nhanh chóng giữa các giá trị
trong bảng.
Sai số của phép nội suy đa thức Lagrange: Đánh giá sai số tức là
ta cần đánh đánh giá độ lệch |f (x) − Pn (x)|, sai số này được cho Định lý sau.


9

Định lý 1.5.1. Giả sử hàm số f (x) ∈ C n+1 [a, b], tức là có đạo hàm liên tục
đến cấp n + 1 trên [a, b] chứa tất cả các nút nội suy xi với i = 0, 1, . . . , n. Khi
đó sai số của nội suy Rn (x) = f (x) − Pn (x) có dạng
Rn (x) =

f (n+1) (ξ)
ωn+1 (x),
(n + 1)!

(1.8)

trong đó, ξ là điểm phụ thuộc x và thuộc đoạn [a, b], còn
n

ωn+1 (x) = (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn ) =

(x − xi ).

(1.9)

i=0

và x là điểm cần đánh giá sai số.
Chứng minh. Nếu x trùng với một trong các nút nội suy thì Rn (x) = 0. Vì thế
ta chỉ xét sai số Rn (x) khi x = xi với i = 0, 1, . . . , n. Khi đó ωn+1 (x) = 0. Xét
hàm với biến số z:
F (z) = Rn (z) − kωn+1 (z)

(1.10)

Hằng số k được chọn từ điều kiện F (x) = 0, nghĩa là
k=

f (x) − Pn (x)
Rn (x)
=
ωn+1 (x)
ωn+1 (x)

(1.11)

Mặt khác, F (xi ) = 0 với i = 0, 1, . . . , n nên F (z) có n + 2 nghiệm phân biệt
x, x0 , x1 , . . . , xn . Theo Định lý Rolle thì F (z) có ít nhất n + 1 nghiệm, . . . ,
F (n+1) (z) có ít nhất 1 nghiệm. Giả sử nghiệm đó là ξ, rõ ràng ξ = ξ(x) và nằm
trong [a, b]. Như vậy
0 = F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) − k(n + 1)!
f (n+1) (ξ)

hay k =
. Từ hệ trên và (1.11) ta suy ra (1.8).
(n + 1)!
Nhận xét 1.5.2. Gọi Mn+1 = max f (n+1) (x) ta có đánh giá
a≤x≤b

|f (x)| − Pn (x)| ≤

Mx
|ωn+1 (x)|.
(n + 1)!

Phương pháp nội suy Newton

Phương pháp nội suy Newton xây dựng một đa thức dựa vào các điểm dữ
liệu cho trước. Nếu có n + 1 giá trị (từ 0 đến n), ta có xây dựng một đa thức
duy nhất Pn có bậc n mà đi qua tất cả n + 1 điểm.


10

Cho một tập n + 1 điểm
((x0 , y0 ) = f (x0 )), . . . , ((xn , yn ) = f (xn )),

(1.12)

trong đó các điểm xi là phân biệt. Ta dễ dàng xác định đa thức nội suy nếu ta
xây dựng nó dưới dạng sau
Pn (x) = C0 +C1 (x−x0 )+C2 (x−x0 )(x−x1 )+. . .+Cn (x−x0 )(x−x1 ) · · · (x−xn−1 ).
(1.13)

Bây giờ dùng điều kiện nội suy Pn (xi ) = f (xi ) ta thu được hệ phương trình hệ
số Ci như sau
f (x0 ) = C0 ,

(1.14)

f (x1 ) = C0 + C1 (x1 − x0 ),

(1.15)

f (x2 ) = C0 + C1 (x1 − x0 ) + C2 (x2 − x0 )(x2 − x1 ),
..
.

(1.16)

f (xn ) = C0 + C1 (xn − x0 ) + C2 (xn − x0 )(xn − x1 ) + . . .
+ Cn (xn − x0 )(xn − x1 ) · · · (xn − xn−1 ).

(1.17)

Từ hệ trên ta thu được
C0 = f (x0 ),
f (x1 ) − f (x0 )
C1 =
,
x1 − x0
C2 =

f (x2 )−f (x1 )

x2 −x1

−

f (x1 )−f (x0 )
x1 −x0

x2 − x0

(1.18)
(1.19)
,

(1.20)

..
.
Các biểu thức ở vế phải của các phương trình trên thường được ký hiệu bằng
f [x0 ], f [x1 , x0 ], f [x2 , x1 , x0 ], . . . và được gọi là các tỉ sai phân bậc 0 tại điểm x0 ,
bậc 1 tại điểm x0 , x1 , bậc 2 tại điểm x0 , x1 , x2 , . . . . Tỉ sai phân bậc k của hàm
f tại x0 , x1 , . . . , xk là
f [xk , xk−1 , . . . , x0 ] =

f [xk , xk−1 , . . . , x0 ] − f [xk−1 , xk−2 , . . . , x1 ]
xk − x0

Theo đó ta có thể viết
Pn (x) = f [x0 ] + f [x1 , x0 ](x1 − x0 ) + f [x2 , x1 , x0 ](x − x0 )(x − x1 )+
+ f [xn , xn−1 , . . . , x0 ](x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ).

(1.21)


11

Ta có thể chỉ ra rằng
f [xk ,xk−1 , . . . , x0 ]
k

=
i=0

f (xi )
. (1.22)
(xi − x0 )(xi − x1 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xk )

Hai biểu diễn trên được gọi là đa thức nội suy dạng Newton. Dạng đa thức nội
suy như này sẽ thuận tiện nếu ta có sự tăng theo dãy của mạng dữ liệu, tức là ta
thêm điểm thứ n+2 và tăng bậc của đa thức từ n lên (n+1). Quá trình này chỉ
yêu cầu tính thêm một số hạng f [xn+1 , xn , . . . , x0 ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )
trong biểu diễn của Pn (x).
Sai số của đa thức nội suy Newton: Từ định nghĩa các tỷ sai phân
viết cho hàm f (x), tương tự như trên ta thu được
f (x) =f [x0 ] + f [x1 , x0 ](x1 − x0 ) + f [x2 , x1 , x0 ](x − x0 )(x − x1 )+
+ f [xn , xn−1 , . . . , x0 ](x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
+ f [xn , xn−1 , . . . , x0 ](x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn )
So với (1.21) ta thấy
f (x) = Pn (x) + ωn+1 (x)f [xn , xn−1 , . . . , x0 ],
trong đó,
n

ωn+1 (x) = (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn ) =

(x − xi ).
i=0

Theo công thức (1.8) ta có:
f (n+1) (ξ)
Rn (x) =
ωn+1 (x),
(n + 1)!
vậy
f (n+1) (ξ)
f [xn , xn−1 , . . . , x0 ] =
ωn+1 (x), ξ ∈ (a, b).
(n + 1)!
Hiện tượng Runge

Khi một hàm f được xấp xỉ trên đoạn [a, b] bằng phương pháp nội suy đa
thức P , sự khác biệt giữa f và P (theo lý thuyết) sẽ bằng không tại các điểm
nội suy. Một cách tự nhiên, ta mong rằng hàm f sẽ được xấp xỉ tốt tại các
điểm ở giữa, khi số điểm tăng lên, phép nội suy này sẽ trở nên tốt hơn.


12

Hiện tượng Runge là một vấn đề xảy ra khi sử dụng phép nội suy đa thức
với các đa thức bậc cao. Nó được phát hiện bởi Carl David Tolme Runge khi
nghiên cứu dáng điệu sai số khi sử dụng phép nội suy đa thức để xấp xỉ các
hàm trơn và đơn giản nhất định.

Một ví dụ cụ thể của hiện tượng đáng chú ý này là hàm Runge:
f (x) =

1
,
1 + x2

(1.23)

trên đoạn [-5, 5].
Ký hiệu Pn là đa thức nội suy hàm này tại n + 1 điểm cách đều nhau trên
đoạn [−5, 5], bao gồm cả các điểm đầu mút.
Để sử dụng phương pháp Newton, ta chọn 11 điểm cách đều nhau (tức là,
ta tìm đa thức nội suy cấp 10).
Trong đoạn [a, b], tập n điểm cách đều nhau là
xi = a + (i − 1)

b−a
, 1 ≤ i ≤ n.
n−1

(1.24)

Hình 1.1: Nội suy hàm Runge

Như minh họa trong Hình 1.1, đường cong thu được nhận giá trị âm, mà
hiển nhiên, f (x) không có. Cụ thể hơn, đường nội suy thu được dao động dần
về đầu mút của khoảng. Khi thêm càng nhiều điểm ta sẽ thu được đa thức bậc
cao hơn và điều này chỉ làm vấn đề trở nên tồi tệ hơn với độ dao động rộng
hơn. Vì vậy trong các bài toán ở Chương 2 chúng tôi chỉ chọn một số nút nội

suy đáng tin cậy để thành lập đa thức nội suy.


13

Ví dụ 1.5.3. Tìm đa thức nội suy hàm y = 3x trên đoạn [−1, 1] dựa vào các
giá trị của hàm tại các điểm x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1. Sử dụng đa thức này
1
5
tính giá trị gần đúng tại x = và x = .
2
4
Giải. Ta có đa thức nội suy Lagrange như sau:
(x + 1)(x − 1)
(x + 1)x
1 x(x − 1)
+1
+3
1
3 (−1)(−1 − 1)
1(−1)
1+1
1
= (2x2 + 4x + 3)
3

P2 (x) =

1
5

Tính giá trị của đa thức khi x = , x = .
2
4
P2

1
2

=

11
≈ 1, 833,
6

P2

5
4

=

89
≈ 3, 708.
24

5
1
và x = thì giá trị của hàm số y = 3x
2
4

lần lượt có giá trị xấp xỉ bằng 1, 732 và 3, 948.

Nhận xét 1.5.4. Tại các giá trị x =

Ví dụ 1.5.5. Cho quan hệ y = f (x) bởi

x 1.3

2.8

4.5

6.3

7.4

y 4.2557 6.6421 11.5334 15.1436 18.3085
1) Dựng đa thức nội suy?
2) Tính gần đúng f (3), f (4), f (6) (nội suy)?
3) Tính gần đúng f (8), f (9) (ngoại suy)?
Giải. 1) Lập bảng tỉ sai phân
Khi đó ta có đa thức nội suy Newton
P4 (x) = 4.2557 + 1.5909(x − 1.3) + 0.4020(x − 1.3)(x − 2.8)
− 0.1302(x − 1.3)(x − 2.8)(x − 4.5)
+ 0.0410(x − 1.3)(x − 2.8)(x − 4.5)(x − 6.3)
= 0.0410x4 − 0.7411x3 + 4.64879x2 − 9.310845x + 10.01444


14

x

f (x)

TSP. bậc 1 TSP. bậc 2 TSP. bậc 3 TSP. bậc 4

1.3 4.2557
1.5909
2.8 6.6421

0.4020
2.8772

-0.1302

4.5 11.5334

-0.2490
2.0057

0.0410
0.1195

6.3 15.1436

0.3005
2.8772

7.4 18.3085
2) Tính gần đúng f (3), f (4), f (6):

f (3) ≈ P4 (3) = 7.232315,
f (4) ≈ P4 (4) = 10.2173,
f (6) ≈ P4 (6) = 14.56421.
3) Tính gần đúng f (8), f (9):
f (8) ≈ P4 (8) = 21.54304,
f (9) ≈ P4 (9) = 31.507925.

1.5.2

Phương pháp hồi quy tuyến tính đơn

Hồi quy tuyến tính là một phương pháp thống kê mà cho ta tóm tắt và
nghiên cứu mối quan hệ giữa hai biến liên tục (định lượng):
• Một biến ký hiệu bằng x được gọi là biến dự báo, giải thích hoặc biến độc
lập.
• Một biến ký hiệu bằng y được gọi là biến phản hồi, kết quả hoặc biến phụ
thuộc.
Giả sử dữ liệu gồm các điểm (xi , yi ) với i = 1, 2, . . . , n. Chúng ta cần tìm
một hàm f nào đó thỏa mãn yi = f (xi ). Vậy có thể giả thiết rằng giá trị trung
bình Y của biến phụ thuộc y tại mức x thỏa mãn quan hệ
E(Y | x) = f (x)
với E là giá trị kỳ vọng của biến Y .

(1.25)


15

Để tổng quát hóa, chúng ta dùng mô hình xác suất bằng cách coi Y là biến
ngẫu nhiên mà ứng với giá trị x của biến X thì

Y = f (x) + ε

(1.26)

với ε là sai số ngẫu nhiên, hay là hệ số nhiễu có giá trị kỳ vọng bằng 0.
Ta xét trường hợp đơn giản nhất, cũng rất hay xảy ra trong thực tế, khi
f (x) = ax + b. Khi đó (1.26) trở thành
Y = ax + b + ε

(1.27)

Mô hình (1.27) được gọi là mô hình hồi quy tuyến tính đơn; x được gọi là biến
hồi quy, Y được gọi là biến phản hồi; a, b được gọi là các hệ số hồi quy, a là hệ
số chặn, b là hệ số góc; đường thẳng y = ax + b được gọi là đường hồi quy (lý
thuyết).
Mô hình trên được gọi là tuyến tính vì nó tuyến tính với hệ số hồi quy a, b.
Ngoài ra còn có mô hình hồi quy tuyến tính bội, mô hình hồi phi tuyến, ... Tuy
nhiên, ở trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét đến mô hình hồi quy tuyến tính.
Giả sử ở quan sát thứ i biến X nhận giá trị xi , biến Y nhận giá trị yi và sai
lầm ngẫu nhiên là εi . Như vậy, dưới dạng quan sát, mô hình (1.27) trở thành



y1 = a + bx1 + ε1



y = a + bx + ε
2

2

2


............





yn = a + bxn + εn .

Để khảo sát mô hình chúng ta phải tiến hành các thí nghiệm, các phép đo
đạc hay các phép quan sát, gọi chung là quan sát, để có bộ số liệu {(xi , yi )}.
Thông qua bộ số liệu này, người ta đưa ra các xấp xỉ (ước lượng) tốt cho các
tham số. Mô hình với các hệ số hồi quy a, b đã được ước lượng được gọi là mô
hình thực nghiệm. Dùng mô hình thực nghiệm chúng ta có thể tiến hành một
số dự đoán, tính các giá trị cực trị cũng như các khía cạnh khác của vấn đề.
Trong toán học, phương pháp bình phương cực tiểu là phương pháp tối ưu
hóa để chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng
các sai số thống kê giữa đường khớp và dữ liệu.
Bây giờ giả sử các biến ngẫu nhiên y1 , . . . , yn nhận các giá trị cụ thể nào
đó, vẫn ký hiệu là y1 , . . . , yn . Khi đó
εi = yi − (axi + b)

(1.28)


16

thể hiện độ lệch quan sát thứ i so với đường hồi quy lý thuyết (xem Hình 1.2).
Tổng bình phương độ lệch
n

n

e2i

(yi − (axi + b))2

=

i=1

i=1

thể hiện “chất lượng” của việc xấp xỉ số liệu bởi đường hồi quy lý thuyết. Ta
không thể biết đường hồi quy lý thuyết, việc ta có thể làm là tìm các hệ số a, b
để
n

(yi − (axi + b))2 → min .

(a, b) =

(1.29)

i=1

Hình 1.2: Độ lệch và các đường hồi quy lý thuyết, thực nghiệm

Vì (a, b) là đa thức bậc 2 của ẩn a, b, điều kiện cần để nó đạt cực tiểu là
∂
∂
=
= 0.
∂a ∂b

(1.30)

Đây là hệ hai phương trình tuyến tính bậc nhất của a, b. Ta tính được nghiệm
của hệ này là

ˆb = ab − x · y
SXX /n
(1.31)

ˆ
a
ˆ = y − bx
trong đó
1
x=
n

n

i=1

1
xi , y =
n

n

i=1

1
yi , xy =
n

n

n

(xi − x)2 .

xi yi , SXX =
i=1

i=1

(1.32)


17

Với các ước lượng này ta được phương trình hồi quy thực nghiệm
y=a

ˆx + ˆb.

(1.33)

Phương pháp tìm các ước lượng hệ số như trên gọi là phương pháp bình phương
cực tiểu. Các phương trình (1.28)-(1.33) áp dụng với mọi giá trị cụ thể của biến
ngẫu nhiên y1 , . . . , yn nên chúng cũng đúng cho các biến ngẫu nhiên này.
1.5.3

Mô hình hồi quy đa thức

Một mô hình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính theo tham số. Do đó
mô hình
Y = β0 + β1 x + β2 x2 + ε
cũng là mô hình tuyến tính. Thật ra, chúng là đa thức bậc hai một biến.
Các mô hình đa thức có thể được sử dụng trong những tình huống mà các
mối quan hệ giữa biến phản hồi và biến giải thích là đường cong. Đôi khi một
mối quan hệ phi tuyến trong một phạm vi nhỏ của biến giải thích cũng có thể
được mô hình hóa bởi các đa thức.
Mô hình đa thức bậc k một biến có dạng
Y = β0 + β1 x + β2 x2 + . . . + βk xk + ε.
Nếu xj = xj , j = 1, 2, . . . , k, thì mô hình là mô hình hồi quy tuyến tính bội theo
k biến giải thích x1 , x2 , . . . , xk . Do đó mô hình hội quy tuyến tính Y = Xβ + ε
bao gồm cả mô hình hồi quy đa thức. Do đó, các kỹ thuật dùng cho mô hình
hồi quy tuyến tính có thể được dùng cho các mô hình hồi quy đa thức.
Ví dụ
Y = β0 + β1 x + β2 x2 + ε
là mô hình hồi quy đa thức một biến và được gọi là mô hình bậc hai hay mô
hình tam thức. Các hệ số β1 và β2 tương ứng được gọi là tham số ảnh hưởng
tuyến tính và tham số ảnh hưởng bậc hai.

18

Chương 2
Một số bài toán ứng dụng
Chương này trình bày một số bài toán ứng dụng. Trước tiên là ngoại suy
tính giá trị một vài hàm số đã biết để kiểm chứng. Kế tiếp là ứng dụng trong
công tác tuyển sinh và quản lý đào tạo của trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Cuối cùng là một vài ứng dụng trong đời sống và kinh tế. Việc
tính toán được thực hiện bởi Maple, một phần mềm làm toán rất hữu hiệu.

2.1

Thử nghiệm dự báo trong tính toán khoa học

Trong mục này chúng tôi trình bày một số bài toán thử nghiệm áp dụng các
phương pháp ngoại suy được trình bày ở chương trước để dự báo trong tính
toán khoa học.
x
2
2
e−t dt
Bài toán 2.1.1. Một số giá trị của tích phân xác suất Φ(x) = √
π 0
được cho trong Bảng 2.1
x
y
1.5

1.0

1.1

1.2

0.8427 0.8802 0.9103
1.6

1.7

1.8

1.3

1.4

0.934

0.9523

1.9

2.0

0.9661 0.9763 0.9838 0.9891 0.9928 0.9953
2
Bảng 2.1: Bảng một số giá trị của tích phân Φ(x) = √
π

x

2

e−t dt.
0

Hãy tính gần đúng Φ(1.43), Φ(2.01). Đánh giá sai số.
Giải. Chúng ta dùng phần mềm Maple để tìm đa thức nội suy bằng lệnh
PolynomialInterpolation trong thư viện CurveFitting như sau