Phương trình vi phân đại số

Header Page 1 of 120

MỤC LỤC

Trang
Mở đầu ................................................................................................

2

Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ...

5

1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận .........................................

5

1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........

7

1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình
vi phân thường và hệ phương trình đại số .................................

10

1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số.......

13

Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số

tuyến tính với ma trận hệ số hằng ....................................................

15

2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ......

15

2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức
của hệ phương trình vi phân đại số ............................................

24

Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại
số tuyến tính với nhiễu động .............................................................

34

3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên

35

3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định .......................................

37

3.3 Công thức bán kính ổn định .......................................................

44

3.4 Các trường hợp đặc biệt .............................................................

55

Kết luận ..............................................................................................

59

Tài liệu tham khảo .............................................................................

60

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 1 of 120

1




Header Page 2 of 120

MỞ ĐẦU
Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho
bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều
định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của
A.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công
bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm
1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du

mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có
hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học
trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua,
lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã
thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công
nghệ, sinh thái học, ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai
phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là
phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp
hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov).
Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến
phương trình vi phân dạng:
A  t  x '(t ) +B  t  x(t )  0

ở đó, A   , B    C  I , L  R n   , x : I  R n , I   a ,  , a là hằng số,

det A t   0 t  I . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân
đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình
vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE
người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 2 of 120

2

Header Page 3 of 120

cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá
nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi
phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của
nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng.
Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà
D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng
nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên
khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và
tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng
như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu
Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying
differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này.
Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, gồm có ba chương:
Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này
trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau.
Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax '(t ) - Bx(t )  0 trong đó
A, B là các ma trận thực, det A  0.
Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại
số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 3 of 120

3




Header Page 4 of 120

A t  x '  t   B  t  x  t  , t  0
nn
trong đó A .  Lloc
 , B .  Lloc  0, ; K nn  , ở đây công thức bán
  0, ; K

kính ổn định được đưa ra.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô
giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công
lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa
Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và
tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày
tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường
PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm
học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để

luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008
Học viên cao học
Lƣu Thị Thu Hoài

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 4 of 120

4




Header Page 5 of 120

CHƢƠNG I
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận

9

Định nghĩa 1.1.1. Cho P  L   . P được gọi là một phép chiếu nếu P 2  P .
Nhận xét 1.1.2.
i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: KerP  Im P   n .
ii) Mỗi phân tích  n  U  V tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao
cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V.
Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U.
Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận)
Cho A  L   n  . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là

indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà KerAk  KerAk 1 .
indA  min k   : KerAk  KerAk 1

Định lý 1.1.4. Với mọi A  L   n  ta luôn có:
imAk  KerAk   n với mọi k thoả mãn 0imAk  KerAk  imAk  KerAk   n với k  indA .

Định nghĩa 1.1.5. Cho A, B  L   n  . Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính
quy nếu c   sao cho det  cA  B   0 .
Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà

det  cA  B   0 . Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là ind  A, B  , là chỉ số
của ma trận cA  B A .
1



ind  A, B   ind cA  B  A
1



(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 5 of 120

5

Header Page 6 of 120

Định lý 1.1.7. Nếu Q  L   n  không suy biến thì:

ind  QA, QB   ind  AQ, BQ   ind  A, B  .
Nếu A, B là giao hoán được thì ind  A, B   ind  A .
Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, c  R sao cho cA + B khả
nghịch, đặt Q   cA  B  . Khi đó, QA và QB là giao hoán được.
1

Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và
k
1
rank   cA  B  A   r thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho:
 


B  Pdiag W ,U nr  Q

A  Pdiag  I r ,U  Q,





ở đó U  diag U1l  ,...,U sl  , max li  k ,U l  r   uij   L   l
1

s

r

r



1 khi j  i  1
với uij  
; U k  0 còn U l  0 l  k .
0 khi j  i  1
Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương
đương:
1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1.
2) x  KerA và Bx  ImA suy ra x = 0
3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B).
4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi W  L   n  .
5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA .
6) Với S :  x   n : Bx  ImA thì S  KerA   n .
7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp E  L   n 

B 
A 
thoả mãn: EA   1  , EB   1  , rankA  rankA1 , ta nhận được ma trận
0
 B2 
A
không suy biến  1   L   n  .

 B2 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 6 of 120

6




Header Page 7 of 120

1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng

 2,3,9
Xét hệ phương trình vi phân dạng:
F t, x t  , x 't   0

(1.2.1)

trong đó: x : I   n , I   a,    
F :I  D n   n

t, x, y   F t, x, y 





D là tập mở trong  n , F  C  I  D   n ,  n  , Fx' , Fy'  C I  D   n , L   n  .

Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương
trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn KerFx' '  t , x  t  , x '  t    0
với mọi  t , x, x '  I  D   n .
Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính:

A t  x '  t   B  t  x  t   q  t 



(1.2.2)



trong đó: A, B  C I , L   n  , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi t  I , là
hệ phương trình vi phân đại số.
Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái
niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này.
Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân
đại số ([3], [9]).
Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:
F t, x t  , x 't   0

(1.2.3)

trong đó: x : I   n , I   a;     ,
F :I  D n   n

t, x, y   F t, x, y 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 7 of 120

7




Header Page 8 of 120



D là tập mở trong  n , F  C  I  D   n ,  n  , Fx' , Fy'  C I  D   n , L   n 



KerFx' '  t , x, x '  0   t , x, x '  I  D   n .
Giả thiết KerFx' '  t , x, x ' không phụ thuộc vào x và x’ tức là:

KerFx' '  t , x, x '  N  t    t , x, x '  I  D   n .
Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch N  t  được gọi là trơn trên I nếu có ma





trận hàm khả vi liên tục Q  C1 I , L   n  sao cho  Q  t    Q  t  , ImQ(t) =
2

N(t) t  I .





Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t). Đặt P  t   I n  Q  t   P  C1 I , L   n  .
1

Ta có: F t , x, y   F t , x , P t y   F x' ' t ,x ,sy  1 s P t y Q t yds

và từ

0

Q  t  y  ImQ  t   N  t   KerFx' '  t , x, x '  Fx' '  t , x, y  Q t  y  0 . Từ đó ta
suy ra:
1

F  t , x, y   F  t , x, P  t  y    Fx' '  t , x, sy  1  s  P  t  y  Q t  yds  0
0

hay F  t , x, y   F  t , x, P  t  y 
 F  t , x, x '  F  t , x, P  t  x '   F  t , x,  Px  '  t   P '  t  x  t  

Điều này cho thấy, để hàm x : I   n là nghiệm của (1.2.3) thì cần
phải có Px  C1  I ,  n  , Qx  C  I ,  n  . Bây giờ ta quan tâm tới không gian





hàm sau: C1N  I ,  n   x  C1  I ,  n  : Px  C1  I ,  n  .
Đặt S  t , x, y    z   n : Fx'  t , x, y  z  ImFy'  t , x, y 
G1  t , x, y  : Fy'  t , x, y   Fx'  t , x, y  Q  t 
A1  t , x, y  : G1  t , x, y   Fy'  t , x, y  P '  t  Q  t 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 8 of 120

8




Header Page 9 of 120

N1  t , x, y  : KerA1 t , x, y 
S1  t , x, y    z   n : Fx'  t , x, y  P  t  z  ImA1  t , x, y 

Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 1 trên tập mở G  I  D   n nếu N  t   S  t , x, y    n  t , x, y   G .
Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 2 trên tập mở G  I  D   n nếu:

dim N1  t , x, y   const  0 và N1  t , x, y   S1  t , x, y    n  t , x, y   G
Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng:

A t  x '  t   B  t  x  t   0



(1.2.4)



trong đó x : I   n , A, B  C I , L   n  , det A t   0 với mọi t  I .

N  t   KerAt  trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên
tục. Đặt P  t  : I  Q  t  .
S  t  :  z   n : B  t  z  ImA  t 
A1  t  : A  t    B  t   A  t  P '  t   Q  t 

N1  t  : KerA1  t 
S1  t  :  z   n : B  t  P  t  z  ImA1  t 

Gọi Q1  t  là phép chiếu khả vi liên tục lên N1  t  dọc theo S1  t  ,

P1  t  : I  Q1 t  .
B1  t  :  B  t   A1  t  PP1  ' P  t 

Đặt A2  t  : A1  t   B1 t  Q1 t 
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I khi
và chỉ khi N  t   S  t    n t  I tức là det A1  t   0 t  I .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 9 of 120

9

Header Page 10 of 120

Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi

dim N1  t   const  0
và chỉ khi 
tức là
n
N
t

S
t

R

t

I




 1
1

det A1  t   0 t  I


det A2  t   0 t  I

Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng:

Ax '  t   Bx  t   0

(1.2.5)

trong đó: x : I   n , A, B  L   n  , det A  0 . Khi đó:

N : KerA
S :  z   n : Bz  ImA

Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA).

A1 : A  BQ , N1 : KerA1 , S1 :  z   n : B1 z  ImA
Gọi Q1 là phép chiếu lên N1 dọc S1 , đặt P1 : I  Q1 .

B1 : BP , A2 : A1  B1Q1   A1  BPQ1 
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ
khi N  S   n  det A1  0 .
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ
khi

dim N1  const  0
det A1  0
tức là 

n

det A2  0
 N1  S1  R
1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi
phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số 1 , 3
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số
tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân
thường và hệ phương trình đại số.
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 10 of 120

10




Header Page 11 of 120

Ax '  t   Bx  t   q  t 

(1.3.1)

trong đó: x : I   n , A, B  L   n  , det A  0 , q .  C  I , R n  .
1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên KerA ,

P : I n  Q . Khi đó, AQ = 0. QP = 0.
A = AIn = A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A1P.

B = BIn = B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP
= (A+BQ)Q + BP = A1Q + BP
Do vậy, hệ (1.3.1)  A1Px '  t   AQx
t   BPx t   q t  .
1
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với PA11 và QA11 ta được
hệ tương đương:

 Px '  t   PA11BPx  t   PA11q  t 

1
1
Qx  t   QA1 BPx  t   QA1 q  t 
Đặt u  t   Px  t  , v  t   Qx  t  ta đưa hệ (1.3.1) về hệ sau:

u '  t   PA1-1Bu  t   PA1-1q  t 

-1
-1
v  t   QA1 Bu  t   QA1 q  t 

( )
( )

trong đó ( ) là hệ phương trình vi phân thường, còn (  ) là hệ phương trình
đại số.
Đặc biệt, khi q  t   0 ta được hệ:

u '  t   PA1-1Bu  t   0


-1
v  t   QA1 Bu  t   0

( ')
(  ')

1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó det A1  0, det A2  0.
Xét vế trái của (1.3.1) ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 11 of 120

11




Header Page 12 of 120

Ax '  t   Bx  t   APx '  t   Bx  t   A Px  ' t   Bx t 
=  A  BQ   P  Px  ' Qx   BPx  A1  P  Px  ' Qx   BPx
 Q1 x  BPx  BPQ1 x
=  A1  BPQ1   PP
1  Px  '  t   PQx
1
 Q1 x   BPP1 x
= A2  PP
1  Px  '  t   PQx
1

 Q1 x   BPP1 x  q  t 
Do vậy, hệ (1.3.1)  A2  PP
1  Px  '  t   PQx
1
1
1
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với PP1 A21, QPA
1 2 , Q1 A2 ta được

hệ phương trình tương đương:
-1
 PPP
 PP1 A2-1BPPx
1  Px  ' PPQx
1
1  PP1 A2 q

-1
 QP1 A2-1BPPx
QPP
1  Px  ' QPQx
1
1  QP1 A2 q

-1
-1
1  Q1 A2 q
Q1 x  Q1 A2 BPPx

Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ1, PP1 cũng là các phép

chiếu đồng thời Q, PQ1, PP1 đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có:

 0, QPP
Q
Q1  Q1 A2-1BP, Q1Q  0, PPP
1  QQ1 , QPQ
1  PP1 , PPQ
1
1
Q1  Q1P, QQ1P  QQ1 và hệ trên trở thành:
-1
-1
 PPx
1  ' PP1 A2 BPPx
1  PP1 A2 q

-1
-1
  QQ1 x  ' Qx  QP1 A2 BPPx
1  QP1 A2 q

-1
Q1 x  Q1 A2 q

Đặt u  PPx
1 , v  Q1 x, w  Qx  x  u  Pv  w ta nhận được hệ sau:

u ' PP1 A2-1Bu  PP1 A2-1q

-1

-1
Qv ' w  QP1 A2 Bu  QP1 A2 q

-1
v  Q1 A2 q
Đặc biệt, khi q  t   0 ta nhận được hệ:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 12 of 120

12




Header Page 13 of 120

u ' PP1 A2-1Bu  0

-1
 w  QP1 A2 Bu  0
v  0

1.4. Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phƣơng trình vi phân đại số

314,15
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:

A t  x '  t   B  t  x  t   0

(1.4.1)

trong đó: x : I   n , A, B  L   n  , det A  0 , q .  C  I , R n 
Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường x  t   0 .
1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và KerA t  trơn. Gọi Q  t  là phép chiếu
khả vi liên tục lên KerA t  , đặt P  t  : I n  Q  t  .
Ký hiệu x  t; t0 , x0  là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu

P  t0  x  t0   P  t0  x0 , t0  I , x0  n
Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường x  t   0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số   0 cho trước và với mọi

t0  I đều tồn tại     t0 ,    0 sao cho nếu x0  n thoả mãn P  t0  x0  
thì x  t ; t0 , x0    với mọi t  t0 .
Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường x  t   0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số  0  t0   0 sao cho nếu
P  t0  x0   0  t0  thì x  t ; t0 , x0   0 khi t   .

Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường x  t   0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương  và với mọi số   0 cho trước
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 13 of 120

13

Header Page 14 of 120

đều tồn tại số     t0 ,    0 sao cho nếu x0  n thoả mãn P  t0  x0   thì

x  t; t0 , x0    e  t t  với mọi t  t0 .
0

1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và KerA t  trơn. Các phép chiếu P  t  ,

P1  t  như ở mục 1.3.2. Ký hiệu x  t; t0 , x0  là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn
điều kiện đầu P  t0  P1  t0  x  t0   P  t0  P1  t0  x0 , t0  I , x0   n .
Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường x  t   0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số   0 cho trước và mọi t0  I
đều tồn tại     t0 ,    0 sao cho nếu x0  n thoả mãn P  t0  P1  t0  x0  
thì x  t ; t0 , x0    với mọi t  t0 .
Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường x  t   0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số  0  t0   0 sao cho nếu
P  t0  P1  t0  x0   0  t0  thì x  t ; t0 , x0   0 khi t   .

Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường x  t   0 của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương  và với mọi số   0 cho trước
đều tồn tại số

    t0 ,    0 sao cho nếu

x0  n

thoả

mãn

P  t0  P1  t0  x0   thì x  t; t0 , x0    e  t t  với mọi t  t0 .
0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 14 of 120

14




Header Page 15 of 120

CHƢƠNG II
BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax '(t ) - Bx(t )  0 , trong
đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa bán
kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác biệt
cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi
phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và
phức bằng nhau cũng được chứng minh.
2.1. Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số
Xét phương trình Ax '(t ) - Bx(t )  0

(2.1.1)

trong đó

x   m , A, B  K mm ,(K   hoặc  ) , det A = 0, cặp ( A, B) là chính quy chỉ
số

k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho
 B1 0  -1
 I r 0  -1
T ,
T ; B  W 
0 U 
 0 I m- r 

A W 

(2.1.2)

ở đây. Is là ma trận đơn vị trong K ss , B1  K rr , U là ma trận k- luỹ linh có
dạng
U = diag(J1, J2,..., Jl) với
 0 1 ... 0 


 0 ... 0 
pi  pi
Ji  
,
 R

 . . ... 1 
 0 0 ... 0 



i  1,2,...l.

(2.1.3)

l

pi  k ,  pi  m - r. Nhân hai vế (2.1.1) với W -1 ta được
sao cho max
1i l
i 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 15 of 120

15




Header Page 16 of 120

 y '  t   B y  t   0,
1



Uz '  t   z  t   0,



trong đó

(2.1.4)
(2.1.5)

 y t  
 , y  t   K r , z  t   K mr .
T x t   
 z t  


1

Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do đó,
 y '  t  - B y  t   0,
1


hệ trên trở thành 


z  t   0,

trong đó y  t   K r , z  t   K mr .
Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầm thường x  0 của (2.1.1) được gọi là ổn định

tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu PL  K m  và các hằng số dương  ,c sao
cho bài toán giá trị ban đầu (IVP):
 Ax '  t   Bx '  t   0


 P x  0   x0  0






có nghiệm x  t  duy nhất, thoả mãn

x t   c Px0 et , t  0.
Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = Im – Q, trong đó Q là phép chiếu lên
KerA dọc theo S  z   : Bz  ImA.
Ký hiệu   A, B  là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là   A, B  là tập hợp tất
cả các nghiệm của phương trình det   A  B   0.
Trường hợp A = Im,ta viết   B  thay cho   I m , B  .
Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị
riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng phức trái

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 16 of 120

16

Header Page 17 of 120

(xem[9]). Nếu   A, B  =  thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm x  0 vì khi đó với
mọi s ta có

det  sA  B   det W .det  sIr  B1  det  sU  Imr  det T 1  0.
Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có trong hệ.
Vì vậy, (2.1.1) tương đương (2.1.5) và chỉ có nghiệm x = 0. Trong trường hợp
này, ta quy ước (2.1.1) là ổn định tiệm cận với P = 0, Q = Im.
Bán kính ổn định phức với nhiễm cấu trúc
Như trong trường hợp phương trình vi phân thường, ta cố định cặp ma
trận ổn định tiệm cận {A,B}. Giả sử E  K m p ; F  K qm cố định, ta xét hệ
có nhiễu:

Ax' t    B  EF  x t   0,

(2.1.6)

trong đó K pq . Ma trận EF được gọi là ma trận nhiễu cấu trúc.
Kí hiệu: V K   K pq sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc
không ổn định tiệm cận}.
Nghĩa là, VK là tập các nhiếu “xấu”.





Kí hiệu dK  inf  :  VK , trong đó

.

là một chuẩn ma trận

tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng. Ta
gọi d K là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F}
Nếu K   ta gọi d là bán kính ổn định phức, còn nếu K   ta gọi
d  là bán kính ổn định thực.

Tương

tự

G  s   F  sA  B 

1

như

phương

trình

phân

thường,




E và ta sẽ chứng minh rằng d   sup G  s  
 s 




Trước hết, ta chứng minh d   sup G  s  
 s 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 17 of 120

vi

ta

đặt

1

1

17




Header Page 18 of 120

Lấy   V  bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp:
(i) Cặp  A, B  EF  là chính quy. Ta lấy tuỳ ý một giá trị

s   A, B  EF  , sao cho Res ≥ 0. Giả sử rằng x  0 là một vectơ riêng
tương ứng với giá trị riêng s, tức là  sA   B  EF  x  0.
1

Điều này tương đương với x   sA  B  E Fx , từ đó ta suy ra
1

Fx  F  sA  B  E Fx  G  s  Fx.

Vì vậy,    G  s  




Do đó, d   sup G  s  
 s 


(ii) Cặp



1


  sup G  s 
 s 



1


 ,  V




1

 A, B  EF là

không chính quy, khi đó s   ta có







det sA   B  EF   0, tức là đa thức det sA   B  EF   0, s , do đó với
mọi s   luôn tồn tại vectơ x  0 sao cho

sAx   B  EF  x  0.
1




Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được d   sup G  s   .
 s 



Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại d   sup G  s  
 s 


1

Với mỗi  >0, ta tìm giá trị s0   sao cho
G  s0 

1



  sup G  s  
 s 


1



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 18 of 120

18




Header Page 19 of 120

Khi đó tồn tại u p : u  1 và G  s0  u  G  s0  . Theo một hệ quả của định
lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính y * xác định trên

 q : y*  1 và y*G  s0  u  G  s0  u  G  s0  .
Đặt   G  s0 

1

uy* 

G  s0  u  G  s0 
Vì vậy,   G  s0 

1

1

pq

. Rõ ràng,

uy*G  s0  u  G  s0 

được

EG  s0  u  Eu  0.

 s0 A  B  x  Eu . Vậy

u. G  s0   u

. Mặt khác, từ   G  s0 

Kết hợp hai bất đẳng thức ta có   G  s0 
nhận

1

1

1

uy* ta có   G  s0 

u.

. Hơn nữa, từ G  s0  u  u ta

x   s0 A  B  Eu ,
1

Đặt

1

khi

đó

EFx   s0 A  B  x , hay là  s0 A  B  EF  x  0. Điều

đó có nghĩa là, s0   A, B  EF  , hoặc cặp  A, B  EF  không chính quy.
Do đó, hệ

Ax '(t ) -  B  EF  x(t )  0 không ổn định tiệm cận hoặc không chính quy.
Nghĩa là,   V .
Mặt khác, ta có, d    G  s0 
Vì 

1



  sup G  s  
 s 


1

 .

1



là bé tuý ý, nên d   sup G  s   .
 s 

1



Do đó, d   sup G  s   .
 s 


Để ý rằng, hàm G  s  là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng   . Do đó
theo nguyên lý cực đại, G  s  đạt cực đại tại s   hoặc trên biên i .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 19 of 120

19




Header Page 20 of 120


Vậy, d   sup G  s 
 si 

1


 .






 s



Sau đây, ta sẽ thấy rằng, nếu s0   sao cho G  s0    sup G  s   thì


d  G  s0 

1

1

  max G  s   ,
 s



1

và ma trận   F  s0 A  B  E uy* , sẽ là ma trận “xấu” với   d .
1

Trường hợp hàm G  s  không đạt được giá trị lớn nhất tại một điểm
hữu hạn s thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu”  sao
cho   d như trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường
(ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi s   ). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu

G  s  không đạt được giá trị lớn nhất trên   thì không có một ma trận 
nào thoả mãn điều kiện   d và hệ Ax '(t ) -  B  EF  x(t )  0 là không ổn
định tiệm cận.
Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận 
Lấy s0   A, B  EF    và

như thế.

x là vectơ riêng của nó, nghĩa là,

s0 Ax   B  EF  x  0. Lập luận như trên ta thấy
  G  s0 

1



  sup G s0 
 s 


 

1

 d .

Điều này là mâu thuẫn.
Hơn nữa, giả sử sn   sao cho sn   và lim G  sn   sup G  s  .
si 

Giả sử  n tương ứng với sn được xây dựng như trên, khi đó hệ

Ax '-  B  E0 F  x = 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 20 of 120

20




Header Page 21 of 120

   0 , vì nếu không, ta sẽ lấy một dãy con nk của dãy bị chặn
tại nlim
 n
 n sao cho lim n k  0 . )
nk 

Vì tập hợp các ma trận  sao cho cặp  A, B  EF  có chỉ số 1 là mở
nên ta suy ra chỉ số của  A, B  E0 F  phải lớn hơn 1.
Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó E  F  I m (nhiễu
không cấu trúc). Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là
1

1


d  sup G  s   , trong đó G  s    sA  B  .
 si


Ta chứng minh rằng, nếu ind  A, B   k  1 , thì ma trận hàm G(s) là
không bị chặn trên i . Thật vậy,

G  s    sA  B 
  sI r  B1 1
 T

0


1

  sI
 T  r
 0

0   B1

sU   0

1

0 
-1
 W
I mr  


 W -1
1
 sU  I mr  
0

  sI r  B1 1

0

 -1
k 1
 T
  khi s  
i W
0

sU






i 0



Tính không bị chặn của G  s  kéo theo d = 0. Nghĩa là với những nhiễu dù
rất nhỏ, thì phương trình vi phân đại số với chỉ số lớn hơn hay bằng 2 có thể
không còn ổn định tiệm cận được nữa.
Nếu ind  A, B   1 , dễ dàng chứng minh được rằng , G  s  là bị chặn
trên   , nghĩa là d > 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu” 
nào, sao cho d   .
Ta có định lý sau đây
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 21 of 120

21




Header Page 22 of 120

Định lý 2.1.2.
i) Bán kính ổn định phức của (2.1.1) được cho bởi công thức
1



d  sup G  s   , trong đó G  s   F  sA  B  E.
 si

1

ii) Tồn tại ma trận “xấu”  :   d khi và chỉ khi G  s  đạt được giá trị
lớn nhất trên i .
iii) Trong trường hợp E  F  I m , d  0 khi và chỉ khi ind  A, B   1.
Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm G  s  đạt được giá trị lớn
nhất tại một giá trị hữu hạn s0 ? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào
việc chọn chuẩn của  m vì G  s  có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn
này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác.
Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta
không thực hiện ở đây.
Các ví dụ
Trong các ví dụ sau đây, để đơn giản trong tính toán, chúng ta sử dụng
chuẩn maximum của vectơ và chuẩn ma trận tương thích.
Ví dụ 2.1.3.
Tính bán kính ổn định của hệ phương trình với nhiễu cấu trúc

Ax '(t ) -  B  EF  x(t )  0 trong đó  là nhiễu và
1 0 1


A  0 1 1,
 0 0 0



 2 1 0 


B   1 1 0  ,
 1 0 1



1 1 1


E  1 1 1,
 0 0 0



1 0 0


F   0 1 0 .
0 0 1



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 22 of 120

22

Header Page 23 of 120

1
Ta thấy ind  A, B   2,   A, B    . Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận.
3
Tính toán trực tiếp, ta nhận được

s
s
s 

3s  1 3s  1 
 3s  1
1
s 1
s 1
s 1 
G  s   F  sA  B  E  
.
3s  1 3s  1 3s  1 


s
s 
 s
 3s  1  3s  1  3s  1 




Vậy,

 s 1

s 
 đạt được max tại s0 = 0 và
 3s  1 3s  1 

G  s   3max 

,

1
G  0  3. Vì vậy, d  .
3
1
 
Chọn u  1 thì G  0 u  G  0  3.
1
 

0

1
*
*
Giả sử y   0 1 0 và ta có:   G  0  uy   0


0



1 
0
3 
1 
0 .
3 
1 
0
3 

Hơn nữa, det  sA  B  EF   2s  0 khi s  0.
Ví dụ 2.1.4.
Xét phương trình Ax '(t ) - Bx(t )  0, trong đó
 1

A

 2

 1 2 
2
 và B  
 . Rõ ràng ind  A, B   1
4 


2
0



 s
1 
  A, B   -1 và G  s    sA  B    s  1
 1

 2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 23 of 120

23

1
2 
1
4 




Header Page 24 of 120

 3 1
s 

vì vậy, G  s   max  , 
 không đạt được giá trị lớn nhất
 4 2 s  1 

trên   .
Hơn nữa, lim G  s  
s 

3
2
nên ta suy ra d  .
2
3

 s i 


Chọn u   s 2  1  rõ ràng u  1 và G  s  u  G  s  khi phần thực
 1 



của s đủ lớn. Với y*  1 0  , ta có   G  s 

1

uy*

2


0

hội tụ về  3  khi
2
0 

3


s  .





8
Dễ thấy, det  sA  B      , s nghĩa là  A,   B      và
3
phương trình

Ax '(t ) -  B    x(t )  0. Tức là hệ
 '
5
'
 x1  2 x2  3 x1  2 x2  0,

2 x'  4 x'  4 x  0,
2
 1
3 1

 x1  0

có duy nhất nghiệm 

 x2  0

vẫn ổn định tiệm cận, nghĩa là nhiễu ta vừa

chọn không “xấu”.
2.2. Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ
phƣơng trình vi phân đại số
Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi d  d  . Đối
với phương trình vi phân đại số, đây là một bài toán không đơn giản, vì dưới
ảnh hưởng của cặp ma trận {A,B}, nón dương  n có thể không còn bất biến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 24 of 120

24




Header Page 25 of 120

đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương. Trong luận văn này,
chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt.
Giả sử rằng A, B   mm , E  F  I m.
Định nghĩa 2.2.1.

 

i) Ma trận H   ij  mm được gọi là dương, ký hiệu H > 0, nếu

ij  0, i, j.

 

ii) Ma trận H   ij  mm được gọi là không âm, ký hiệu H  0, nếu

ij  0, i, j.

 
.

iii) Giá trị tuyệt đối của ma trận M  mij , ký hiệu M , là ma trận

 m  , tức là
ij



 

M = mij , với x  x1 , x2 ,..., xm

Trong  mm ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau.
Định nghĩa 2.2.2.
i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là

M  N , nếu M  N  0.





ii) Số   A, B   max Re:   A, B  được gọi là hoành độ phổ của
cặp ma trận {A,B}
Chúng ta xét phương trình Ax '(t ) - Bx(t )  0,

(2.2.1)

trong đó A, B là các ma trận hằng cấp m  m , cặp {A,B} là chính quy. Nếu

ind  A, B   1, thì d  d   0, vì ta có thể lấy nhiễu thực nhỏ tuỳ ý và “xấu”
  V  , sao cho    bé tuỳ ý .Vì vậy ta chỉ xét trường hợp ind  A, B   1.

Ta đưa ra các giả thiết sau
i) A 0.
1

ii) tn  , tn  0, tn   :  tn A  B   0, n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Footer Page 25 of 120

25

(2.2.2)