Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Nguyễn Thị Thanh Thúy

CÁT TUYẾN TRONG TAM GIÁC VÀ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Nguyễn Thị Thanh Thúy

CÁT TUYẾN TRONG TAM GIÁC VÀ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục
Lời mở đầu

1

Danh sách hình vẽ

4

1 Cát tuyến của tam giác

5

1.1

Khái niệm và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Các tính chất của cát tuyến tam giác . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Cát tuyến đi qua trọng tâm tam giác . . . . . . .

11

1.2.2

Cát tuyến đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác 12

1.2.3

Các đường thẳng Gauss, Simson, Steiner . . . . .

13

1.2.4

Cát tuyến đi qua tâm Euler . . . . . . . . . . . .

19

1.3

Đường thẳng Euler suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4

Các đường thẳng Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4.1

Các tính chất chung của đường thẳng Céva . . . .

23

1.4.2

Đường thẳng Céva và hàng điều hòa . . . . . . .

31

1.4.3

Đường thẳng Céva và diện tích tam giác . . . . .

33

Một số ứng dụng của các đường thẳng Céva . . . . . . .

35

1.5.1

Một số bài toán liên quan đến các cevian . . . . .

35

1.5.2

Một số bài toán liên quan đến độ dài các cevian .

36

1.5

2 Các đường thẳng Céva đặc biệt

41

2.1

Các đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2

Đường thẳng đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.2.1

48

Tính chất của đường thẳng đẳng giác . . . . . . .

ii

2.2.2

Các bài toán liên quan đến các cevian đẳng giác .

51

2.3

Đường đối phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.4

Các đường thẳng bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.4.1

Tính chất của đường thẳng bậc n . . . . . . . . .

58

2.4.2

Một số kết quả liên quan đến điểm Kn . . . . . .

60

Kết luận

65

Tài liệu tham khảo

66


1

Lời mở đầu
Trong hình học phổ thông ta đã biết các đường thẳng của tam giác
như đường cao, trung tuyến, đường phân giác,...thêm nữa là đường thẳng
Euler, đường thẳng Simson. Luận văn này muốn nghiên cứu một cách
hệ thống các cát tuyến đặc biệt trong tam giác, các tính chất có ích để
hiểu biết hơn về tam giác. Ngoài ra luận văn cũng đề cập đến nhiều các
ứng dụng, các bài toán nảy sinh khi nghiên cứu các cát tuyến trong tam
giác.
Mục đích của đề tài là
1. Trình bày các cát tuyến Céva, tức các bộ ba đường thẳng đi qua
đỉnh và đồng qui và một số cát tuyến đặc biệt của tam giác.
2. Từ các khái niệm, tính chất của các cát tuyến xây dựng được các hệ
thức liên quan trong tam giác, đây là những hệ thức ít được trình bày
chi tiết trong các sách giáo khoa Hình học hoặc giáo trình Hình học sơ
cấp.
3. Ứng dụng được các khái niệm, tính chất, hệ thức thu được để hiểu
biết thêm về Hình học tam giác và giải các bài toán thi học sinh giỏi

quốc gia và quốc tế. Nhiều phần còn có ý tưởng sáng tạo các bài toán
mới.
Phạm vi của đề tài là phát triển kiến thức hình học phẳng trong Hình
học sơ cấp, đặc biệt chú ý đến các bài toán thi học sinh giỏi, thi Olympic
trong nước và Quốc tế, các bài thi vào Trung học phổ thông chuyên và
các đề thi Đại học. Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo
nội dung luận văn được chia làm hai chương.


2

Chương 1 dành để trình bày những kết quả của Hình học sơ cấp nói
chung, chủ yếu là các định lý: Menélaus, Céva, các hệ quả, các tính chất
chung của cát tuyến trong tam giác. Nội dung ứng dụng của các đường
thẳng Céva cũng được trình bày song song với nội dung lý thuyết.
Chương 2 với tiêu đề "Các đường thẳng Céva đặc biệt" trình bày chi
tiết về các đường đối trung, đường thẳng đẳng giác, đường đối phân giác
và đường thẳng bậc n.
Mỗi chương đều có phần giới thiệu chung về lý thuyết cần dùng đến
trong chương. Nội dung nào đã có thì nêu tài liệu trích dẫn, nội dung
nào mới thi được tác giả chứng minh chi tiết và chặt chẽ. Ý tưởng đó
được tác giả lưu ý trong suốt luận văn.
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận
được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải,
Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với
những điều thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học,
quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K8B (2014 - 2016) Trường Đại Học
Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến

thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những
người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016
Học viên
Nguyễn Thị Thanh Thúy


3

Danh sách hình vẽ
1.1

Cát tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Định lý 1.1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Đường thẳng Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Định lý 1.1.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Tính chất iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6

Tính chất v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.7

Tính chất 1.2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.8

Tính chất 1.2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.9

Đường thẳng Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.10 Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.11 Đường thẳng Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.12 Đường tròn Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.13 Định lý Van Aubel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.14 Định lý Van Aubel mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.15 Mệnh đề 1.4.1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.16 Tính chất 1.4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.17 Tính chất 1.4.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.18 Mệnh đề 1.5.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.1

Tính chất 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2

Tính chất 2.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3

Mệnh đề 2.1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.4

Mệnh đề 2.1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.5

Tính chất 2.2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48


4

2.6

Bài toán 2.2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.7

Tính chất 2.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.8

Tính chất 2.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.9

Tính chất 2.4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.10 Tính chất 2.4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.11 Mệnh đề 2.4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.12 Mệnh đề 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62


5

Chương 1

Cát tuyến của tam giác
1.1

Khái niệm và các định lý cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Một đường thẳng cắt một hình gọi là cát tuyến của
hình đó.
Nếu hình là một đa giác thì cát tuyến có thể cắt không những cạnh
mà còn cả trên phần kéo dài của các cạnh.
Các định lý sau có thể coi là những tính chất đầu tiên của cát tuyến
trong tam giác. Đã có rất nhiều phép chứng minh chúng, ở đây ta sẽ
chọn phép chứng minh đơn giản nhất.
Định lý 1.1.2. (Định lý Menélaus, Menélaus-Nhà toán học cổ Hy lạp,
Thế kỷ I sau công nguyên) Nếu có một đường thẳng cắt các cạnh AB,
BC, CA hay các cạnh kéo dài của một tam giác lần lượt ở các điểm
C1 , B1 , A1 thì
C1 A B1 C A1 B
.
.
= 1.
C1 B B1 A A1 C
Chứng minh. Giả sử có cát tuyến C1 A1 B1 cắt các cạnh của ∆ABC.
Vẽ đường thẳng P Q bất kỳ và từ các đỉnh của tam giác vẽ các đường
thẳng song song với cát tuyến C1 A1 B1 , cắt P Q tương ứng tại các điểm


6

Hình 1.1: Cát tuyến

A , B , C , gọi O là giao của (C1 B1 ) với (P Q). Theo định lý các đoạn
thẳng bị chắn bởi các đường thẳng song song
C1 A
OA B1 C
OC A1 B
OB
=
;
=
;
=
.
C1 B
OB B1 A
OA A1 C
OC
Sau khi nhân các đẳng thức trên vế với vế, ta có
C1 A B1 C A1 B
OA OC OB
.
.
=
.
.
= 1.
C1 B B1 A A1 C
OB OA OC

Hệ thức Menélaus nói trên có thể viết dưới dạng tích các tỷ số đơn
(C1 AB).(B1 CA).(A1 BC) = 1. Chú ý rằng, cát tuyến có thể cắt hoặc cả

3 cạnh kéo dài hoặc cắt hai cạnh và cạnh thứ ba kéo dài. Trong trường
hợp thứ nhất, 3 tỷ số đều dương, trường hợp thứ hai, hai tỷ số âm và
một tỷ số dương.
Định lý 1.1.3. (Định lý Menélaus đảo) Nếu các điểm A1 , B1 , C1 tương
ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho
(C1 AB).(B1 CA).(A1 BC) = 1
thì ba điểm đó thẳng hàng.


7

Hình 1.2: Định lý 1.1.3

Chứng minh. Giả sử đường thẳng C1 A1 cắt CA tại D, khi đó theo định
lý Menélaus ta có
(C1 AB).(DCA).(A1 BC) = 1
Theo giả thiết,
(C1 AB).(B1 CA).(A1 BC) = 1
chia 2 đẳng thức vế với vế, ta có

(DCA)
= 1. Vậy điểm D trùng với
(B1 CA)

điểm B1 .
Định lý sau là một dạng tổng quát của định lý Menélaus.
Mệnh đề 1.1.4. (Định lý Carnot) Một đường thẳng cắt các cạnh của
đa giác (hay phần kéo dài) thì tích các tỷ số đơn tạo thành bằng 1.

8

Chẳng hạn với ngũ giác ABCDE, bị cắt bởi đường thẳng LM N P Q.

Hình 1.3: Đường thẳng Carnot

Vẽ đường thẳng XY bất kỳ và cắt đường thẳng đó bằng các đường
thẳng song song với P Q xuất phát từ các đỉnh của đa giác. Khi đó ta có
MB
OB1 N C
OC1 P D
OD1 QE
OE1 LA
OA1
=
;
=
;
=
;
=
;
=
.
MC
OC1 N D
OD1 P E
OE1 QA
OA1 LB
OB1

Sau khi nhân các đẳng thức trên vế với vế, ta có điều phải chứng minh,
có thể viết dưới dạng tích các tỷ số đơn
(M BC).(N CD).(P DE).(QEA).(LAB) = 1.
Định lý 1.1.5. (Định lý Céva, Céva-Nhà toán học Ý, 1647-1734) Ba
đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 của tam giác ABC đồng quy tại một điểm
hoặc song song khi và chỉ khi
C1 A B1 C A1 B
.
.
= −1.
C1 B B1 A A1 C


9

Hình 1.4: Định lý 1.1.5

Chứng minh. Ta chứng minh iv. và v.
iv. Gọi A , B , C là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp, a, b, c là độ
dài các cạnh và 2p là chu vi của tam giác thì
AB BC C A
p−b p−c p−a
×
×
= −1.
.
.
=−
p−c p−a p−b
AC BA C B

Theo định lý Céva, 3 đường thẳng AA , BB , CC đồng quy, điểm đông
quy đó gọi là điểm Gergaune, ký hiệu là J.

Hình 1.5: Tính chất iv

v. Gọi các tiếp điểm là K ∈ BC, F ∈ AC, L ∈ AB. Điểm F là tiếp điểm
của đường tròn bàng tiếp góc B với cạnh AB kéo dài. Ta có
F A = AF = BF − BA = p − c.


10

Tương tự,
F C = p − a, KC = p − b; KB = p − c; LB = p − a; LA = p − b
nên
F A KC LB
F A KC LB
(p − c)(p − b)(p − a)
.
.
=−
.
.
=−
= −1.
F C KB LA
(p − a)(p − c)(p − b)
F C KB LA
Theo định lý Céva, các đường thẳng AK, BF, CL đồng quy tại một điểm.
Điểm đồng quy đó gọi là điểm Nagel, ký hiệu là N .

Hình 1.6: Tính chất v

Từ định lý Céva suy ra các tính chất:
ı. Ba trung tuyến tam giác đồng quy tại một điểm;
ii. Ba phân giác trong của tam giác đồng quy tại một điểm;
iii. Ba đường cao tam giác đồng quy tại một điểm;
iv. Ba đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường
tròn nội tiếp và cạnh đối diện, đồng quy tại một điểm (điểm Gergaune);
v. Ba đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của 3
đường tròn bàng tiếp và cạnh đối diện, đồng quy tại một điểm
(điểm Nagel).


11

1.2
1.2.1

Các tính chất của cát tuyến tam giác
Cát tuyến đi qua trọng tâm tam giác

Tính chất 1.2.1.1. Nếu cát tuyến đi qua trọng tâm tam giác thì tổng
các khoảng cách từ cát tuyến đến 2 đỉnh ở cùng một phía bằng khoảng
cách tới đỉnh thứ ba hay tổng đại số các khoảng cách từ các đỉnh tam
giác đến cát tuyến đó bằng không
AA1 + BB1 + CC1 = 0.

(1.1)

Hình 1.7: Tính chất 1.2.1.1

Chứng minh. Giả sử cát tuyến d đi qua trọng tâm G của tam giác,
A1 , B1 , C1 là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, B, C xuống cát
tuyến. Từ trung điểm F của BC hạ F L⊥d. Do G là trọng tâm nên ta có
AA1
AG
=
= 2. Từ hình thang BB1 C1 C ta suy ra 2LF = B1 B + C1 C.
LF
GF
Vậy, AA1 = B1 B + C1 C. Như vậy, AA1 + BB1 + CC1 = 0.
Tính chất 1.2.1.2. Trị số tuyệt đối của tổng các khoảng cách từ các
đỉnh của tam giác đến đường thẳng bất kỳ bằng 3 lần khoảng cách từ
trọng tâm đến đường thẳng đó.
Chứng minh. Vẽ qua trọng tâm một cát tuyến song song với đường thẳng
sau đó áp dụng tính chất trên.


12

1.2.2

Cát tuyến đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Tính chất 1.2.2.1. Giả sử cát tuyến d đi qua tâm đường tròn nội tiếp I
và AA1 , BB1 , CC1 là các đường vuông góc hạ từ các đỉnh tam giác xuống
d, với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. Khi đó,
a.AA1 + b.BB1 + c.CC1 = 0.

(1.2)

Chứng minh. Xem các trang 49, 50 trong [8].
Tính chất 1.2.2.2. Cho d là cát tuyến bất kỳ của tam giác, A , B , C
là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh tam giác xuống d. Khi đó
|a.AA + b.BB + c.CC | = 2pρ,

(1.3)

trong đó ρ là khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp I đến d, 2p là chu
vi tam giác.

Hình 1.8: Tính chất 1.2.2.2

Chứng minh. Vẽ qua tâm I một đường thẳng d

d và hạ các đường

vuông góc AA1 , BB1 , CC1 xuống đường thẳng d . Chú ý rằng A1 A =
B1 B = C1 C = ρ ta có
a.AA + b.BB + c.CC


13

= a.(AA1 + A1 A ) + b.(BB1 + B1 B ) + c.(CC1 + C1 C )
= a.AA1 + b.BB1 + c.CC1 + a.A1 A + b.B1 B + c.C1 C
= (a + b + c)A1 A .
Từ đó có 1.3.
Tính chất 1.2.2.3. Gọi m là tiếp tuyến tùy ý với đường tròn nội tiếp

trong tam giác và dA , dB , dC là các đường vuông góc hạ từ các đỉnh tam
giác xuống m. Khi đó, giá trị tuyệt đối của tổng đại số a.dA + b.dB + c.dC
bằng 2 lần diện tích tam giác.
Chứng minh. Xem các trang 48, 49, 50 trong [8].
Tính chất 1.2.2.4. Một cát tuyến bất kỳ đi qua tâm đường tròn nội
tiếp và không đi qua đỉnh nào của tam giác định ra trên các cạnh (hay
trên phần kéo dài) các đoạn thẳng mà tổng đại số các nghịch đảo bằng
(a + b + c)2
.
abc
Chứng minh. Xem các trang 51, 52, 53 trong [8].
1.2.3

Các đường thẳng Gauss, Simson, Steiner

Áp dụng định lý cơ bản Menélaus và một số định lý sơ cấp ta lần lượt
xét các đường thẳng đặc biệt của tam giác.
a. Đường thẳng Gauss
Mệnh đề 1.2.3.1. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi E = AB ∩ CD; F =
AD ∩ BC. Khi đó các trung điểm M,N,P thứ tự của AC, EF, BD nằm
trên một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng Gauss.
Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của BE, EC, BC. Khi đó do tính
chất đường trung bình ta có các bộ ba điểm sau thẳng hàng (N, Y, X),


14

Hình 1.9: Đường thẳng Gauss

(X, P, Z), (Z, M, Y ). Do N Y

F C nên theo định lý Thales
FB
NX
=
.
NY
FC

Tương tự,
MY
AE
=
;
MZ
AB

PZ
DC
=
.
PX
DE

Từ đó suy ra
NX MY P Z
F B DC AE
.
.
=

.
.
= 1 do F, A, D thẳng hàng.
NY MZ P X
F C DE AB
Theo định lý Menélaus, ba điểm M, N, P thẳng hàng.
b. Đường thẳng Simson
Một cát tuyến rất nổi tiếng với tên gọi đường thẳng Simson của tam
giác. Ta xét bài toán sau.
Chân các đường vuông góc hạ từ một điểm M bất kỳ nằm trên một
đường tròn xuống các cạnh của tam giác nội tiếp, nằm trên một đường
thẳng.


15

Hình 1.10: Đường thẳng Simson

Gọi M là điểm trên đường tròn (O, R) ngoại tiếp tam giác ABC. Các
điểm A1 , B1 , C1 là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống các cạnh
BC, CA, AB. Ta cần chứng minh A1 , B1 , C1 thẳng hàng.
Các tam giác vuông M C1 B, M B1 C đồng dạng (vì M CB1 = M BC1 =

1
M BA), do đó
2

BC1
MB
=

.
B1 C
MC

Từ ∆AB1 M ∼ ∆A1 BM (vì M BA1 = M AB1 ) nên
AB1
MA
=
.
A1 B
MB
Từ ∆M A1 C ∼ ∆M C1 A (vì M CB = M AB) nên
CA1
MC
=
.
C1 A
MA

(a)

(b)

(c)

Nhân các đẳng thức (a), (b), (c) vế với vế, ta có
1=

MB MA MC
BC1 AB1 CA1

C1 B B1 A A1 C
.
.
=
.
.
=
.
.
.
MC MB MA
B1 C A1 B C1 A
C1 A B1 C A1 B

Theo định lý Menélaus ta có điều phải chứng minh.
Cách khác: Lần lượt chứng minh các tứ giác BC1 M A1 , CB1 A1 M nội
tiếp. Ta có ∆BM C1 ∼ ∆CM B1 nên BA1 C1 = B1 A1 C. Suy ra A1 , B1 , C1
thẳng hàng.


16

Đường thẳng (A1 B1 C1 ) đó được gọi là đường thẳng Simson của tam
giác ABC ứng với điểm M .
Nhà toán học Lemoine bổ sung thêm vào định lý Simson, nêu hệ thức
sau M A.M A1 = M B.M B1 = M C.M C1 , tức là tích khoảng cách từ một
điểm trên đường tròn ngoại tiếp đến đỉnh tam giác và đến cạnh đối diện
với đỉnh đó là một hằng số.
Thật vậy, vì ∆M BC1 ∼ ∆M CB1 nên M B.M B1 = M C.M C1 . Tương
tự, ∆AB1 M ∼ ∆M A1 B nên M B.M B1 = M A.M A1 . Vậy

M A.M A1 = M B.M B1 = M C.M C1 = k 2 .
Để xác định k 2 ta đặt d = M D = khoảng cách từ M đến đường thẳng
Simson. Vì tứ giác AC1 M B1 nội tiếp được trong đường tròn đường kính
M A, từ tam giác C1 M B1 ta có M C1 .M B1 = M A.M D và tứ giác ABM C
nội tiếp đường tròn đường kính 2R, từ tam giác BM C ta có M B.M C =
2R.M A. Nhân 2 đẳng thức vế với vế
M B.M B1 .M C.M C1 = M A.M A1 .2R.M D
k4

=

2R.k 2 .d

k2

=

2R.d .

Vậy M A.M A1 = M B.M B1 = M C.M C1 = 2Rd.
Phần đảo của định lý trên vẫn đúng, tức là: Nếu 3 điểm A1 , B1 , C1
thẳng hàng thì điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta còn ký hiêu M (ABC) là đường thẳng Simson ứng với điểm M và
tam giác ABC. Các bài toán sau được giải trực tiếp nhờ áp dụng đường
thẳng Simson.
Bài toán 1.2.3.2. Cho tứ giác ABCD, AB ∩ CD = E; AD ∩ BC = F ,
đường tròn (BCE) cắt đường tròn (CDF ) tại M . Chứng minh rằng hình
chiếu của ABCD lên AB, BC, CD, DA thẳng hàng.

17

Bài toán 1.2.3.3. Tam giác ABC nội tiếp (O), AD là tia phân giác
góc A (D ∈ (O)). Đường tròn (K) đi qua 2 điểm A, D (K ∈
/ AD) cắt
AB, AC tại M, N . Ký hiệu I, J là trung điểm của BC, M N . Chứng minh
rằng IJ⊥AD.
Bài toán 1.2.3.4. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), K thuộc
cung nhỏ BC. Gọi D, E, F là hình chiếu của K xuống AB, BC, CA.
Ký hiệu H là trực tâm tam giác. Chứng minh rằng đường thẳng Simson
K(ABC) cắt HK tại điểm I thuộc đường tròn Euler của tam giác ABC.
Bài toán 1.2.3.5. Tam giác ABC nội tiếp (O), M N là một đường
kính di động của đường tròn. Chứng minh rằng các đường thẳng Simon
M (ABC)⊥N (ABC) và giao điểm T của hai đường thẳng đó thuộc đường
tròn Euler của tam giác.
Bài toán 1.2.3.6. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng
minh rằng các đường thẳng Simson A(BCD), B(CDA), C(DAB), D(ABC)
đồng quy.
Bài toán 1.2.3.7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp, AC cắt BD tại O; E
và F là trực tâm của các tam giác ACD và BCD; F D cắt CE tại P .
Chứng minh rằng các đường thẳng F (ECD), E(F CD), OP đồng quy.
Bài toán 1.2.3.8. (Romania TST 2012) Cho tứ giác ABCD nội tiếp
đường tròn (O) sao cho 2 tam giác BCD và CDA không đều. Chứng
minh rằng đường thẳng Simson A(BCD) vuông góc với đường thẳng
Euler của tam giác BCD khi và chỉ khi đường thẳng Simson B(ACD)
vuông góc với đường thẳng Euler của tam giác ACD.
c. Đường thẳng Steiner
Để giới thiệu đường thẳng Steiner ta xét bài toán đơn giản sau.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). K là một điểm trên cung
nhỏ BC. Gọi X, Y, Z là các điểm đối xứng của K qua AB, BC, CA. Khi

đó, X, Y, Z thẳng hàng.


18

Hình 1.11: Đường thẳng Steiner

Thật vậy, gọi D = KX ∩ AB, E = KY ∩ BC, F = KZ ∩ CA. Theo
định lý Simson, đường thẳng (DEF ) là đường thẳng Simson K(ABC).
Do đó, X, Y, Z cũng thẳng hàng. Đường thẳng (XY Z) đó được gọi là
đường thẳng Steiner, ký hiệu là K[ABC].
Cát tuyến đặc biệt này có các tính chất sau:
i. Đường thẳng Steiner K[ABC] luôn đi qua điểm cố định là trực tâm
H của ∆ABC (không phụ thuộc vị trí của K).
ii. Đường thẳng Steiner luôn vuông góc với đường thẳng Gauss.
iii. Đường thẳng d đi qua H, gọi d1 , d2 , d3 là các đường thẳng đối xứng
với d qua AB, BC, CA. Khi đó d1 , d2 , d3 đồng quy tại điểm K thuộc
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. K được gọi là điểm anti-Steiner của
d đối với ∆ABC.
Chứng minh.
i. Gọi X, Y, Z là các điểm đối xứng của K qua AB, BC, CA. Đường cao
BJ cắt XZ tại H, AH cắt BC tại I. Ta có K(ABC)
KZ

BJ suy ra AHBX là tứ giác nội tiếp. Từ đó suy ra

K[ABC] và


19

ACB = AKB = AXB = BHI nên tứ giác HJCI nội tiếp. Vậy AI là
đường cao của tam giác ABC và H là trực tâm.
Cách khác: Gọi H là trực tâm tam giác ABC, CH cắt (O) ở M . Ta có
∆AM K = ∆AHX nên AM K = AHX, tương tự cho điểm T của BH.
Tứ giác AT KM nội tiếp nên AHX + AHZ = 1800 .
Chú ý: Nếu gọi W là trung điểm của KH thì cát tuyến K(ABC) đi qua
W.
ii. Dựa theo cách xác định các đường thẳng này.
iii. Giả sử K là giao của d1 , d2 . Các đường thẳng AH và CH cắt (O) tại
H1 , H2 . Do tính đối xứng nên ba đường thẳng AB, d, KH2 đồng quy tại
L. Ta có AH2 L = AHL = Y HH1 = HH1 KΩ nên tứ giác AH2 H1 K nội
tiếp đường tròn (O). Vậy K ∈ (O).
1.2.4

Cát tuyến đi qua tâm Euler

Trung điểm các đoạn thẳng thuộc các đường cao kẻ từ đỉnh đến trực
tâm của tam giác gọi là các điểm Euler. Ta có kết quả đặc biệt sau, được
gọi là định lý Euler, xem trong [1].
Trong một tam giác, chín điểm gồm chân các trung tuyến, chân các
đường cao và ba điểm Euler nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn
Euler. (Đường tròn Euler còn có tên gọi đường tròn chín điểm, đường
tròn Feuerbach, đường tròn Terquem, đường tròn trung bình).
Tính chất của đường tròn Euler
i. Tâm của đường tròn Euler nằm ở trung điểm đoạn thẳng nối trực
tâm với tâm đường tròn ngoại tiếp.
ii. Bán kính đường tròn Euler bằng nửa bán kính đường tròn ngoại
tiếp.
iii. (Định lý Haminton) Các tam giác ABC, ABH, BCH, ACH trong

đó H là trực tâm ∆ABC có chung đường tròn Euler.


20

Hình 1.12: Đường tròn Euler

Chứng minh. Xem trong ([8]), các trang 62, 63, 68, 69.
Định nghĩa 1.2.4.1. Cát tuyến đi qua trực tâm của tam giác và tâm
O của đường tròn ngoại tiếp gọi là đường thẳng Euler.
Dễ chứng minh được đường thẳng Euler đi qua tâm Euler E và trọng
tâm G của tam giác. Ở đây ta xét thêm các tính chất sau.
Tính chất 1.2.4.2. Trọng tâm và trực tâm của tam giác chia điều hòa
đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp với tâm Euler.
Chứng minh. Gọi E là tâm Euler, ta cần chứng minh tỷ số kép (GHOE) =
1
1
OH
−1. Vì OE = EH nên
= 2. Lại có OG = OH; GE = OH nên
3
6
EH
OG
= −2. Vậy G và H chia điều hòa OE.
EG
Tính chất 1.2.4.3. Tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức
(b2 − c2 )M A2 + (c2 − a2 )M B 2 + (a2 − b2 )M C 2 = 0

(1.4)

là đường thẳng Euler của tam giác ABC, trong đó a, b, c là độ dài các
cạnh của tam giác.
Chứng minh. Bằng cách đưa vào hệ tọa độ với A(0, 0), B(b1 , b2 ), C(c1 , 0),
M (x, y), vế trái là phương trình bậc nhất của x, y. Ngoài ra dễ thấy các
điểm O, G thỏa mãn đẳng thức trên.


21

Tính chất 1.2.4.4. Cho M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng tam giác
ABC. Chứng minh rằng nếu 3 trong 4 đường thẳng Euler của các tam
giác ∆M BC, ∆M CA, ∆M AB, ∆ABC đồng quy thì cả 4 đường thẳng
đó đồng quy.
Chứng minh. Giả sử 3 đường thẳng Euler của các tam giác ∆M BC,
∆M CA, ∆M AB đồng quy tại Q. Theo hệ thức 1.4 ta có
(b2 − M A2 )QA2 + (M A2 − M C 2 )QM 2 + (M C 2 − b2 )QC 2 = 0,
(M A2 − c2 )QA2 + (c2 − M B 2 )QB 2 + (M B 2 − M A2 )QM 2 = 0,
(M B 2 − a2 )QB 2 + (a2 − M C 2 )QC 2 + (M C 2 − M B 2 )QM 2 = 0.
Cộng ba đẳng thức vế với vế ta được
(b2 − c2 )QA2 + (c2 − a2 )QB 2 + (a2 − b2 )QC 2 = 0.
Theo tính chất trên,Q thuộc đường thẳng Euler của ∆ABC.
Gọi ∆ là cát tuyến bất kỳ đi qua tâm Euler E. Ta chứng minh ∆ có
tính chất sau: Tổng đại số các đoạn thẳng hạ từ các đỉnh và trực tâm
của tam giác đến cát tuyến ∆ bằng không.
Giả sử AL, BP, CM, HN là các đường vuông góc hạ từ A, B, C và
trực tâm H lên đường thẳng ∆; từ điểm Euler E1 trên AH hạ E1 K⊥RS.
BP + CM
Gọi D là trung điểm BC và hạ DF ⊥∆ thì DF =
. Ta có

2
E1 K = F D vì D và E1 là các đầu mút đường kính của đường tròn Euler.
Nếu ta chú ý đến chiều của các đoạn thẳng E1 K và DF thì E1 K =
−DF . Đoạn E1 K là đường trung bình của hình thang N HAL nên bằng
AL + HN
nửa tổng các đoạn thẳng AL và HN E1 K =
. Từ đó,
2
BP + CM = −AL − HN
hay
BP + CM + AL + HN = 0.

(1.5)