Tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện trong dạy học Toán 11

Header Page 1 of 166.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Thị Diễm Ly

TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG
DẠY HỌC TOÁN 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Thị Diễm Ly

TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG
DẠY HỌC TOÁN 11

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 14

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

Footer Page 2 of 166.


Header Page 3 of 166.
LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan nội dung luận văn là công trình nghiên cứu của chính bản thân tôi. Tất
cả những tham khảo từ các nghiên cứu có liên quan đều được ghi rõ nguồn gốc từ danh mục
các tài liệu tham khảo trong luận văn.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chính xác.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 09 năm 2013
Tác giả luận văn

Đoàn Thị Diễm Ly

1

Footer Page 3 of 166.


Header Page 4 of 166.
LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ái Quốc, giảng viên
khoa Toán trường ĐH Sài Gòn, người đã bỏ nhiều công sức, thời gian giúp đỡ tôi làm quen
với công việc nghiên cứu và tận tình hướng dẫn, động viên tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Nguyễn Thị Nga và
các quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu trong suốt thời gian tham
gia lớp cao học chuyên ngành didactic Toán. Xin chân thành cảm ơn TS. Hamid Chaachoua,
TS. Alain Birebent đã có những ý kiến đóng góp quý báu cho đề cương luận văn.
Xin chân thành cảm ơn:
•

Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi

trong suốt khóa học.
•

Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Thường Tân (Bình

Dương), bạn Nguyễn Thị Tuyết Lan và HS 11A1 trường THPT Tân Phước (Tiền Giang),
bạn Nguyễn Thị Thùy Liên và HS 11H trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Vũng Tàu), các
anh chị cao học viên đã giúp đỡ và hỗ trợ cho chúng tôi thực nghiệm, tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành luận văn này.
Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Toán khóa 22,
những người đã chia sẻ khó khăn, vui buồn với tôi trong suốt những năm tháng cao học.
Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn
động viên, khích lệ, quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn
này.
Đoàn Thị Diễm Ly

2

Footer Page 4 of 166.

Header Page 5 of 166.
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT............................................ 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ............................................................ 6
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu: ....................................................................................... 8
3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu ................................................... 12

CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC DẠNG PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN . 14
1.1. Phân tích chương trình.............................................................................................. 14
1.2. Các dạng PTLG trong thể chế I ............................................................................... 15
1.2.1. PTLG cơ bản ......................................................................................................... 15
1.2.2. Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác ........................ 18
1.2.3. Dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ................................................ 19
1.2.4. Dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx ................................. 20
1.2.5. Một số dạng PTLG không mẫu mực ..................................................................... 20
1.2.6. Các tổ chức toán học liên quan đến PTLG............................................................ 20
1.3. PTLG có điều kiện ..................................................................................................... 28
1.3.1. Một số phân tích về PTLG có điều kiện trong thể chế.......................................... 28
1.3.2. Một số kỹ thuật chọn nghiệm PTLG có điều kiện ................................................ 30
1.4. Kết luận chương ......................................................................................................... 40

CHƯƠNG 2: MÔI TRƯỜNG SINH THÁI LƯỢNG GIÁC CỦA VIỆC CHỌN
NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG DẠY
HỌC TOÁN 11 .......................................................................................................... 42

2.1. Lý thuyết về góc cung lượng giác ............................................................................. 43
2.2. Đường tròn lượng giác .............................................................................................. 44
2.3. Biểu diễn một cung lượng giác, một góc lượng giác trên ĐTLG........................... 46
2.4. Một số công thức, tính chất đặc biệt của góc lượng giác........................................ 47
2.5. Nghiệm của phương trình lượng giác ...................................................................... 48
2.6. Tính chất của hàm số lượng giác .............................................................................. 49
2.7. Kết luận chương ......................................................................................................... 51
3

Footer Page 5 of 166.


Header Page 6 of 166.
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM ............................................................................... 53
3.1. Bài toán thực nghiệm HS .......................................................................................... 53
3.1.1. Bài toán thực nghiệm HS và mục đích xây dựng .................................................. 53
3.1.2. Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm................................................... 56
3.1.3. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................ 75
3.2. Kết luận về thực nghiệm ........................................................................................... 95

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 96
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 98
PHỤ LỤC ................................................................................................................. 100

4

Footer Page 6 of 166.


Header Page 7 of 166.

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CÁC CHỮ VIẾT TẮT:
HS: học sinh
THPT: trung học phổ thông
SGK: sách giáo khoa
GV: giáo viên
SGKNC10: sách giáo khoa Đại số và Giải tích nâng cao 10
SGVNC10: sách giáo viên Đại số và Giải tích nâng cao 10
SBTNC10: sách bài tập Đại số và Giải tích nâng cao 10
SGKNC11: sách giáo khoa Đại số và Giải tích nâng cao 11
SGVNC11: sách giáo viên Đại số và Giải tích nâng cao 11
SBTNC11: sách bài tập Đại số và Giải tích nâng cao 11
LG : Lượng giác
ĐTLG: Đường tròn lượng giác
PTLG: phương trình lượng giác
ĐKXĐ: Điều kiện xác định
ĐK : Điều kiện
Tr. : trang

5

Footer Page 7 of 166.


Header Page 8 of 166.
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong thể chế dạy học Toán Việt Nam và nhất là chương trình đại số của toán học
phổ thông, các loại phương trình xuất hiện đa dạng và chiếm một vị trí quan trọng, trong đó
PTLG và đặc biệt là PTLG có điều kiện là loại phương trình khó, gây cho học sinh nhiều

khó khăn trong việc tiếp cận và thực hành giải toán. HS được học loại phương trình này ở
chương trình lớp 11 và thực tế chúng cũng luôn xuất hiện trong các đề thi đại học hàng năm.
Ở đây, chúng tôi dùng cụm từ “PTLG có ĐK” để nói đến PTLG có ẩn trong hàm số LG ở
trong căn thức và mẫu thức của phương trình (hay PTLG có ĐKXĐ).
Đặc biệt hơn, PTLG có những nét đặc trưng riêng so với những phương trình đại số
thông thường khác. Việc so sánh nghiệm với ĐK khi giải những phương trình đại số thông
thường là tương đối đơn giản, nó thuần tuý chỉ là so sánh giữa các số hoặc chỉ thay hữu hạn
các nghiệm của phương trình nhận được vào điều kiện để kiểm tra. Tuy nhiên việc làm đó
đối với PTLG có điều kiện là tương đối khó khăn bởi nghiệm của PTLG không phải là hữu
hạn nghiệm mà vô số nghiệm ( họ nghiệm), cùng một họ nghiệm nhưng lại có những giá trị
thoả mãn, có những giá trị không nên thường làm cho học sinh lúng túng.
Dạng phương trình PTLG có ĐK còn được xem là khó, vì HS phải vận dụng khá
nhiều kiến thức liên quan đến lượng giác để so sánh nghiệm và ĐK bằng nhiều phương
pháp có thể như: phương pháp hình vẽ - biểu diễn nghiệm lên ĐKXĐ, phương pháp đại số,
biến đổi góc cung sao cho phù hợp với góc cung trong điều kiện hay không giải ĐK và sau
khi tìm nghiệm thì thay trực tiếp vào điều kiện để kiểm tra nhận loại…
Với những lý do thực tế trên, chúng tôi quyết định tìm hiểu thêm sách giáo khoa cũng
như có một thực nghiệm nhỏ là yêu cầu học sinh giải một bài toán liên quan đến PTLG có
điều kiện thì thu được kết quả ban đầu như sau:
+ Về dạng PTLG có điều kiện xuất hiện rất nhiều trong sách giáo khoa và cả sách bài
tập.
+ Về bài toán thực nghiệm, chúng tôi thu được kết quả làm bài tiêu biểu của 2 HS lớp
11 (2 HS này có điểm trung bình môn Toán trên 7 của trường THPT Thường Tân, huyện
Tân Uyên, tỉnh Bình Dương) như sau:

6

Footer Page 8 of 166.

Header Page 9 of 166.
Giải phương trình:

sin x + cos x
= 2
cos 2 x

HS1: Điều kiện: cos 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
4

+k

π
2

sin x + cos x
π

= 2 ⇔ 2 cos  x −  = 2 cos 2 x
cos 2 x
4


π

⇔ cos  x − =

4



π

− + k 2π (1)
x =
4
cos 2 x ⇔ 
π
2π
=
x
(2)
+k

12
3

π
π
2π
Vậy nghiệm của phương trình là x =
− + k 2π và x =
(k ∈ Z )
+k
4

HS2: ĐK: cos 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

π

4

+k

12

3

π
2

sin x + cos x
1
1
2⇔
sin x +
cos x =
cos 2 x
=
cos 2 x
2
2

π

2 cos 2 x
⇔ 2 cos  x −  =
4

π


x=
− + k 2π (1)

π

4
⇔ cos  x − =
 cos 2 x ⇔ 
2π
π
4

=
(2)
x
+k

12
3
π
2π
So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là x =
(k ∈ Z )
+k
12

3

Dựa vào kết quả này, chúng tôi nhận thấy rằng 2 HS thực hiện các phép biến đổi và

các bước giải phương trình rất tốt, nhưng đều kết luận nghiệm sai do HS 1 không so sánh
nghiệm với ĐK, HS 2 loại được họ nghiệm (1) trong khi họ nghiệm (2) lại có một số giá trị
vi phạm điều kiện đã cho. Vì vậy ở cả hai HS này đều không thực hiện tốt việc chọn nghiệm
PTLG có ĐK, và kỹ thuật chọn-loại nghiệm không được thể hiện rõ ràng. Từ ghi nhận này,
chúng tôi tự hỏi yếu tố nào chi phối đến quá trình chọn nghiệm của 2 HS trong bài toán
trên? Việc HS giải PTLG có ĐK gặp những khó khăn gì và việc hình thành kỹ thuật chọn
nghiệm của loại phương trình này có được thể chế đề cập một cách tường minh hay bằng
cách nào khác mà HS có thể hình thành kỹ thuật chọn nghiệm? Và liệu rằng HS vận dụng
các kiến thức đã học để giải quyết các kiểu nhiệm vụ giải các PTLG có điều kiện như thế
nào?
7

Footer Page 9 of 166.


Header Page 10 of 166.
Muốn trả lời rõ ràng những câu hỏi này, đã dẫn chúng tôi tới việc có nhu cầu tìm
hiểu và nghiên cứu về đề tài "Tìm nghiệm PTLG có điều kiện trong dạy học toán 11",
đồng thời đặt ra các câu hỏi xuất phát sau cụ thể sau:
Q’1: Các dạng PTLG và PTLG có điều kiện được trình bày như thế nào trong thể chế
dạy học Việt Nam hiện nay? Việc so sánh nghiệm với ĐK của loại phương trình này được
trình bày như thế nào trong SGK? Những điều đó có ảnh hưởng gì đến cách chọn nghiệm
của PTLG có điều kiện của HS khi thực hành giải các bài toán liên quan đến PTLG có điều
kiện?
Q’2: Những kiến thức toán học nào chi phối trực tiếp đến kĩ năng chọn nghiệm PTLG
có điều kiện của HS THPT, và các kiến thức đó ảnh hưởng như thế nào lên quá trình giải
các bài toán PTLG có ĐK?
Q’3: HS được hình thành kỹ năng chọn nghiệm PTLG có điều kiện chủ yếu qua con
đường nào,và với kỹ năng đó, HS có thể giải quyết các bài toán lượng giác trong các đề thi
Đại học như thế nào? Giáo viên có những phương án dạy học nào giúp HS vượt qua những

khó khăn khi chọn nghiệm PTLG có ĐK?

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu:
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể là “Lý
thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic”. Về các khái niệm của Thuyết
nhân học và hợp đồng didactic, do trong cuốn sách song ngữ Những yếu tố cơ bản của
didactic toán (2009) đã trình bày đầy đủ, nên dưới đây chúng tôi chỉ trình bày tóm tắt những
khái niệm đó. Những khái niệm này được chúng tôi lược trích từ cuốn sách song ngữ nêu trên.
Đồng thời, chúng tôi cố gắng làm rõ tính thỏa đáng cho sự lựa chọn phạm vi lý thuyết tham
chiếu của mình.
2.1.

Lý thuyết nhân chủng học

Theo Chevallard:
“Một tri thức không tồn tại “lơ lửng” trong một khoảng rỗng: mỗi tri thức đều xuất hiện ở một thời
điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, như là cắm sâu vào một hoặc nhiều thể chế” (Chevallard,

1989)
Hay nói cụ thể hơn, mỗi tri thức đều là tri thức của một thể chế, cùng một tri thức
nhưng có thể sống trong những thể chế khác nhau. Mỗi tri thức muốn tồn tại trong một thể
chế thì cần phải tuân thủ theo một số ràng buộc. Do đó nó phải biến đổi để phù hợp với thể
8

Footer Page 10 of 166.


Header Page 11 of 166.
chế mà nó đang đứng. Hay nói cách khác, mỗi đối tượng tri thức O đều chịu những sự ràng
buộc với các cá nhân X và các thể chế I.

• Quan hệ cá nhân
Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan hệ cá
nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X
có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … R(X, O) chỉ rõ cách thức
mà X biết O.
Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một
tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết.
Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với O. Hoặc
quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi
(nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người.
• Quan hệ thể chế
Một cá nhân X không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất
một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong
một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác
định.
Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác,
O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát
triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ có thể phát
triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan
hệ, những ràng buộc ấy.
Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O), để chỉ
tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở
đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân
tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy.
Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các
ràng buộc của R (I, O).
Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay
điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, một tri thức O tồn tại trong các thể chể I khác
nhau (chẳng hạn thể chế dạy học Việt Nam, Pháp) sẽ có mối quan hệ khác nhau với các cá
9

Footer Page 11 of 166.


Header Page 12 of 166.
nhân X (chẳng hạn giáo viên, học sinh). Do đó muốn nghiên cứu quan hệ của cá nhân X với
đối tượng tri thức O, cần phải đặt nó trong mối quan hệ của thể chế I mà cá nhân X đang
đứng với tri thức O.
Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ
cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công cụ để thực hiện
công việc đó.
• Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây
dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà
Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.
Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ], trong đó:
T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho
kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa là công nghệ của công nghệ θ .
Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ
chức toán học (organisation mathématique).
Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối
tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn
liền với O:
“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập
hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện,
nhờ vào những kỹ thuật xác định”
Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học
gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một
chủ thể X (tồn tại trong I) với O, bởi vì:
“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt

cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng
thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”.
Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích
và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam với đối tượng tính toán đại số, đối
tượng hàm số và hai đối tượng này có những quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ

10

Footer Page 12 of 166.


Header Page 13 of 166.
mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên. Điều này sẽ cho phép trả lời
những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra.
2.2.

Hợp đồng didactic

Để làm rõ mối quan hệ của thể chế I với đối tượng O, một trong những công cụ quan
trọng là khái niệm hợp đồng didactic.
Theo G. Brousseau (1980), Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy- học
là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với
đối tượng đó. “Hợp đồng là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân
chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng dạy”

(Bessot và các tác giả).
Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết
định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ
của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động
đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho

hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua.
Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:
• Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành
viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá
vỡ hợp đồng bằng cách:
– Thay đổi các ĐK sử dụng tri thức.
– Lợi dụng việc HS chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó.
– Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống
mà tri thức đang xét không thể giải quyết được.
– Làm cho GV đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong
đợi ở học sinh.
• Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách:
– Nghiên cứu câu trả lời của HS trong khi học.
– Phân tích các đánh giá của HS trong việc sử dụng tri thức.
– Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK.

11

Footer Page 13 of 166.


Header Page 14 of 166.
Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử
dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu các vấn đề về hàm số sẽ cho phép chúng tôi “giải
mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành.
Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của “Lý thuyết nhân chủng
học” và khái niệm “Hợp đồng didactic” theo chúng tôi là thỏa đáng.
Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu
hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Các dạng PTLG và PTLG có điều kiện được trình bày như thế nào trong chương

trình và SGK lớp 11 hiện hành? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn
liền với việc tìm nghiệm của PTLG có điều kiện?
Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở THPT, những kiến thức toán học lượng giác nào
ảnh hưởng đến quá trình chọn nghiệm PTLG có điều kiện của HS? Cách trình bày các kiến
thức này trong SGK? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn liền với các
kiến thức trên trong việc chọn nghiệm của PTLG có điều kiện?
Q3: Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá
nhân của GV và HS với việc thực hành giải PTLG có điều kiện?

3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
3.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là tìm câu trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra ở
trên, cụ thể là những mục đích sau:
• Làm rõ những ảnh hưởng của thể chế đối với việc dạy học các dạng PTLG và chú
trọng vào PTLG có ĐK, đặc biệt là việc so sánh, loại-nhận nghiệm PTLG có ĐK. Những
lựa chọn sư phạm của PTLG có ĐK và ảnh hưởng của các yếu tố toán học lượng giác khác
lên nó.
• Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng sự ảnh hưởng của những lựa chọn trên đối với
HS .
3.2. Phương pháp nghiên cứu
Đối với câu hỏi Q1: chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chương trình và sách giáo khoa
toán phổ thông (cụ thể, sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11, ban nâng cao). Thông qua
việc phân tích lý thuyết và các tổ chức toán học liên quan đến hàm số và PTLG ở lớp 11,
12

Footer Page 14 of 166.


Header Page 15 of 166.
chúng tôi sẽ làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với các loại PTLG. Toàn bộ phần

phân tích này được trình bày trong chương 1. Thông qua việc phân tích chương trình, SGK,
SGV và các tổ chức toán học, chúng tôi sẽ đưa ra các quy tắc hợp đồng và giả thuyết nghiên
cứu liên quan đến việc so sánh nghiệm của PTLG có ĐK, cũng như những sai lầm mà học
sinh hay gặp phải khi gặp dạng toán này.
Nghiên cứu ở chương 1 nhằm trả lời cho câu hỏi Q1 nêu trên. Từ đó, cho phép
chúng tôi đưa ra được những quy tắc hợp đồng cũng như giả thuyết liên quan đến câu hỏi
Q3, đó là: sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân của giáo
viên và học sinh?.
Chương 2: Phân tích, tổng hợp một số nghiên cứu khoa học luận, một số sách tham
khảo về lượng giác và PTLG, đặc biệt là để làm rõ các kiến thức ảnh hưởng đến quá trình
giải và tìm nghiệm PTLG có điều kiện của HS. Phân tích chương trình và sách giáo khoa
toán phổ thông Việt Nam để làm rõ mối quan hệ thể chế của PTLG có điều kiện trả lời cho
câu hỏi Q2, cụ thể là sẽ phân tích SGK, SGV, SBT toán lớp 10 và 11 ban nâng cao nhằm
làm rõ các kiến thức lượng giác là môi trường sinh thái trong việc tìm nghiệm PTLG có
điều kiện, ảnh hưởng của chúng như thế nào lên GV và HS thông qua các quy tắc hành động
hoặc hợp đồng. Từ phân tích chương 1 và 2, chúng tôi tham chiếu và tiến hành xây dựng giả
thuyết nghiên cứu và tiến hành xây dựng câu hỏi thực nghiệm.
Chương 3: dành để kiểm chứng về tính thỏa đáng của những giả thuyết được hình
thành ở chương 1; 2 qua một nghiên cứu thực nghiệm trên đối tượng là học sinh lớp 11, vừa
học xong nội dung PTLG. Tìm hiểu và phân tích mối quan hệ cá nhân của giáo viên và HS
đối với việc chọn nghiệm PTLG có điều kiện, cụ thể là:
Thực nghiệm HS: chúng tôi tiến hành kiểm chứng những quy tắc hợp đồng nêu trên có
đủ mạnh để chi phối suy nghĩ và kỹ thuật giải của HS như thế nào? Hình thức là xây dựng
một vài bài toán thực nghiệm, trong đó yêu cầu HS giải như một bài kiểm tra. Sau đó, chúng
tôi sẽ quan sát, thu thập và phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ sự ảnh hưởng của các
quy tắc hợp đồng lên HS.

13

Footer Page 15 of 166.

Header Page 16 of 166.
CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC DẠNG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN
Ở chương này, chúng tôi nghiên cứu về các dạng PTLG trong dạy học nội dung
PTLG theo chương trình hiện hành ở lớp 11 ban nâng cao. Chúng tôi chọn SGK Đại số và
Giải tích 11 ban nâng cao vì SGK này trình bày các vấn đề về hàm số và PTLG đầy đủ hơn
quyển sách giáo khoa cùng lớp thuộc chương trình chuẩn, đối tượng HS của bộ sách này là
những HS khá giỏi Toán của các trường THPT, có nhu cầu và thực tế tiếp cận với nhiều
dạng toán nâng cao cùng loại so với ban cơ bản (dạng toán PTLG có điều kiện cũng là một
dạng toán khó đối với HS ). Theo cách tiếp cận của Thuyết nhân học trong didactic toán thì
đây là một nghiên cứu về quan hệ thể chế R(I, O), với O là các dạng PTLG, I là thể chế dạy
học theo chương trình toán nâng cao lớp 11 hiện hành.

1.1. Phân tích chương trình
Trước khi HS chính thức được học về lượng giác trong chương trình toán 10; 11, thì
chương trình toán lớp 9 là giai đoạn giới thiệu làm quen với lượng giác thông qua bài: hệ
thức lượng trong tam giác vuông, giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
Chương trình toán bậc trung học phổ thông hiện hành, lượng giác được đưa trực tiếp
vào SGK 10, 11 và được chia làm hai phần sau:
+ Phần 1: Góc lượng giác và công thức lượng giác. Phần này được trình bày ở
chương cuối của Đại số 10 nhằm phục vụ cho việc học Vật lí, Sinh học và bước đầu giới
thiệu một số ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Nội dung phần 1 bao gồm những vấn đề: xây
dựng các khái niệm cơ bản về lượng giác như góc và cung lượng giác; giá trị lượng giác của
góc (cung) lượng giác; giá trị lượng giác của các góc (cung) lượng giác có liên quan đặc biệt
và các công thức lượng giác.
+ Phần 2: Hàm số lượng giác và PTLG. Phần này được đưa tiếp vào chương đầu tiên
của Đại số và Giải tích 11 và chia làm 3 bài với những nội dung: hàm số lượng giác (trình

bày khái niệm hàm số lượng giác biến số thực, khảo sát các tính chất và vẽ đồ thị hàm số);
PTLG cơ bản; một số PTLG đơn giản.
Như vậy, phần lớn kiến thức cơ bản về lượng giác, công cụ để tính toán và thực hiện
các phép biến đổi lượng giác (chẳng hạn hệ thức lượng giác, công thức lượng giác) đều đã
14

Footer Page 16 of 166.


Header Page 17 of 166.
được nghiên cứu ở phần 1. Trên cơ sở đó, phần 2 đề cập đến hàm số lượng giác biến số thực
(khái niệm, một số tính chất đặc trưng như sự biến thiên, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, đồ thị)
và giải PTLG.
Về việc phân phối thời lượng cho hai nội dung hàm số lượng giác và PTLG: Trong
cuốn Tài liệu phân phối chương trình THPT áp dụng từ năm học 2008-2009 đến nay,
chương trình Đại số và Giải tích 11 nâng cao dành thời lượng 18 tiết cho chương này (ngoài
ra còn có 2 tiết ôn tập, 1 tiết thực hành với máy tính bỏ túi và 1 tiết kiểm tra cuối chương).
Trong đó, nội dung về hàm số lượng giác chiếm thời lượng 4 tiết (3 tiết lí thuyết và 1 tiết
luyện tập); 2 tiết tiếp theo dành cho nội dung ôn tập công thức lượng giác để chuẩn bị cho
phần PTLG học ngay sau đó. Phần PTLG chiếm thời lượng là 12 tiết. Như vậy, nếu kể cả
nội dung ôn tập công thức lượng giác thì tổng thời lượng dành cho PTLG là 14/18 tiết. Rõ
ràng, PTLG là nội dung trọng tâm của chương này. Bên cạnh đó, việc dành thời lượng 2 tiết
để ôn tập công thức lượng giác chứng tỏ vai trò quan trọng của các phép biến đổi lượng giác
đối với việc giải PTLG. Vấn đề này đặt ra cho chúng tôi câu hỏi: Với thời lượng dành cho
PTLG chiếm tỉ lệ lớn thì mối quan hệ cá nhân của HS với thực hành giải các dạng PTLG
như thế nào, đặc biệt là việc tìm nghiệm, so sánh nghiệm với ĐK trong PTLG có điều kiện?
HS hình thành được phương pháp giải các dạng PTLG như thế nào, nhất là các kỹ thuật so
sánh nghiệm với ĐK cho trước?

1.2. Các dạng PTLG trong thể chế I

Chúng tôi nhắc lại, I là thể chế dạy học các nội dung về PTLG ở lớp 11 theo chương
trình nâng cao và SGK hiện hành.
1.2.1. PTLG cơ bản
Theo SGVNC11, chương trình SGK đổi mới hiện hành luôn cố gắng quán triệt chủ
trương:
“Giảm tính lý thuyết kinh viện, tăng tính thực hành, gắn với thực tiễn đời sống và góp phần đổi mới
phương pháp dạy học, tránh áp đặt kiến thức cũng như tránh các suy luận logic chặt chẽ nhưng quá phức tạp.
Hầu hết các khái niệm đều được đưa vào theo con đường từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ ví
dụ cụ thể đến khái niệm tổng quát...” [SGKNC11, tr.10].

Do đó, trước khi bắt đầu vào bài 2, PTLG, [SGKNC11, tr.19] đã trình bày một bài
toán mang tính thực tiễn. Con đường này nhằm đem đến cho HS cách trình trực quan, sinh
15

Footer Page 17 of 166.


Header Page 18 of 166.
động, và hiểu được khả năng ứng dụng vào thực tế một khái niệm, kiến thức toán học. Sau
đó, SGK giới thiệu các dạng PTLG cơ bản sin x = m , cos x = m , tan x = m , cot x = m , trong
đó x ( x ∈  ) là ẩn số và m là số cho trước.
 Cách xây dựng “công thức nghiệm” của PTLG cơ bản
“Công thức nghiệm” của bốn PTLG cơ bản sin x = m , cos x = m , tan x = m ,
cot x = m đều được xây dựng dựa trên ĐTLG. Quan điểm của SGVNC11 về vấn đề này là:
“Tận dụng tối đa phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác một cách trực quan để khảo sát sự
biến thiên của các hàm số lượng giác, giải các phương trình lượng giác.” [SGKNC11, tr.10], và “Nhằm
giúp học sinh có hình ảnh trực quan khi xây dựng “công thức nghiệm” của các PTLG cơ bản, SGK đã lựa
chọn phương pháp dựa trên định nghĩa các giá trị lượng giác và ý nghĩa hình học của chúng mà học sinh đã
được học ở lớp 10.” [SGVNC 11, tr.32]

Với quan điểm trên, SGKNC11 đã tiến hành xây dựng “công thức nghiệm” các
PTLG cơ bản theo 2 bước.
Chẳng hạn đối với phương trình sin x = m (I)
+ Bước 1: Tìm các điểm M trên ĐTLG sao cho
sin ( OA, OM ) = m (các điểm mà hình chiếu trên trục sin là

điểm K thỏa mãn OK = m ), ta được 2 điểm M1, M2 đối xứng
nhau qua trục sin (h1.19). Số đo (rađian) của các góc lượng
giác (OA,OM1) và (OA,OM2) là tất cả các nghiệm của
phương trình.
(Để HS dễ hiểu, SGKNC11 cho ví dụ cụ thể là
phương trình sin x = 1 vì đây là giá trị lượng giác của góc quen thuộc)
2

+ Bước 2: Tìm α là số đo (rađian) của một góc tương ứng với một trong hai điểm M1
hoặc M2. Ta suy ra được một góc tương ứng với điểm còn lại là π − α . Do hàm số y = sin x
là tuần hoàn chu kì 2π nên ta có họ các nghiệm phương trình là: x= α + k 2π hoặc
x = π − α + k 2π ( k ∈  )

Sau đó SGKNC11 lưu ý rằng sin x ≤ 1 với mọi x nên phương trình vô nghiệm khi
m > 1 và luôn có đúng một nghiệm trên  −π ; π  khi m ≤ 1 và đưa ra “công thức nghiệm”
 2 2

tổng quát như sau:
16

Footer Page 18 of 166.


Header Page 19 of 166.

Phương trình sin x = m (I)
Nếu α là một nghiệm của phương trình (I), nghĩa là sin α = m thì
 x= α + k 2π
m⇔
sin x =
 x = π − α + k 2π

( k ∈ )

(*)

Trong trường hợp m không phải là sin của một góc đặc biệt, người ta đưa ra khái
niệm “arcsinm”. Ở đây khái niệm hàm số ngược của các hàm số lượng giác không được đề
 π π
cập đến, khái niệm “arcsinm” chỉ được hiểu là cung thuộc đoạn  − ;  có sin bằng m.
 2 2

Riêng chú ý 3, SGK còn mở rộng PTLG cơ bản thành sinP(x)=sinQ(x), trong đó P(x),
Q(x) là hai biểu thức chứa x. Cách giải cũng tương tự như sinx=m, với m không phải là một
số thực mà là một đa thức chứa x, như sau:
( x) Q( x) + k 2π
 P=
=
sin
P( x) sin Q( x) ⇔ 
π − Q( x) + k 2π
 P( x) =

Như vậy, SGKNC11 sử dụng ĐTLG kết hợp với tính chất tuần hoàn (tính chất giải
tích) của hàm số để đưa ra “công thức nghiệm” PTLG cơ bản.

Sau khi hình thành “công thức nghiệm” phương trình sin x = m , SGKNC11 đưa ra
nhận xét và hoạt động như sau:
“Trong mặt phẳng tọa độ, nếu vẽ đồ thị (G) của hàm số y = sin x và đường thẳng ( d ) : y = m thì
hoành độ mỗi giao điểm của (d) và (G) (nếu có) là một nghiệm của phương trình sin x = m .
H3 Trên đồ thị hàm số y = sin x (h. 1.20), hãy chỉ ra các điểm có hoành độ trong khoảng ( 0;5π ) là
nghiệm của phương trình sin x =

2
.” [SGKNC11, tr.22]
2

SGVNC11 chỉ giải thích ngắn gọn mục đích đưa ra hoạt động H3 là:
“Giúp học sinh hiểu được ý nghĩa hình học các nghiệm của một PTLG” [SGVNC11, tr.36].

Vậy bên cạnh công thức nghiệm, SGK còn dùng đồ thị để giải PTLG và trình bày rõ
ràng.
Các PTLG cơ bản còn lại cũng được xây dựng tương tự, tức là đều thông qua ĐTLG,
17

Footer Page 19 of 166.


Header Page 20 of 166.
nhưng đặc biệt hơn ở tan x = m (3) SGK còn nhấn mạnh cos x ≠ 0 và nhấn mạnh rằng :
“ α + kπ là tất cả nghiệm của (3), với α là một nghiệm của (3) và hiển nhiên họ nghiệm này thỏa
mãn điều kiện xác định mà không cần thử lại” [SGKNC11, tr.25] .

Từ cách trình bày này, HS có thể hiểu rằng khi giải các bài toán như (3) thì HS
không cần kiểm tra, so sánh họ nghiệm tìm được với ĐKXĐ. (tương tự cho phương trình
cotx=m). Nhưng ở dạng tan P( x) = tan Q( x) thì :

“Vấn đề không đơn giản như vậy, HS phải chú ý đến điều kiện cos P( x) ≠ 0,cos Q( x) ≠ 0 .
Tương tự cho dạng cot P ( x) = cot Q ( x) ”[SGVNC11, tr.34].

Đây chính là hai dạng PTLG có điều kiện đầu tiên mà SGK đề cập tới, nhưng việc đặt
ĐK do SGV chú ý cho GV, SGK không tường minh nhắc đến.
Từ phân tích trên, chúng ta thấy được vai trò quan trọng của ĐTLG trong việc xây
dựng và hình thành nên nghiệm của các PTLG cơ bản, cũng là bước đệm minh họa ý nghĩa
hình học của nghiệm PTLG. Từ đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi: Còn có các dạng PTLG nào
khác trong SGK và được trình bày như thế nào? ĐTLG có vai trò như thế nào trong việc
giải tìm nghiệm các dạng PTLG này ? Để hiểu rõ hơn những câu hỏi đã đưa ra, chúng tôi
tiến hành phân tích thêm SGK, cũng như tìm thêm con đường đưa PTLG đến với HS cũng
như các tổ chức toán học của thể chế I.
1.2.2. Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình bậc nhất là các phương trình có dạng:
=
a sin f ( x ) + b 0 ;

=
a cos f ( x ) + b 0 ;

=
a tan f ( x ) + b 0 ;

=
a cot f ( x ) + b 0.

( a ≠ 0 , f (x) là một đa thức bậc nhất đối với x)
- Phương trình bậc hai là các phương trình có dạng:
a sin 2 x =
+ b sin x + c 0 ;

a cos 2 x +=
b cos x + c 0

a tan 2 x +=
b tan x + c 0 ;

a cot 2 x +=
b cot x + c 0

( a ≠ 0 , f (x) là một đa thức bậc nhất đối với x)
Hai- dạng PTLG này được SGK trình bày khá ngắn gọn, chủ yếu là hướng dẫn cách
giải, thực hiện các phép biến đổi đơn giản như đặt ẩn phụ, chuyển vế, nhân chia, công thức
lượng giác…về các dạng PTLG cơ bản đã học và giải theo công thức nghiệm của từng loại.
Ở đây, SGK chú thích thêm, rằng:
18

Footer Page 20 of 166.


Header Page 21 of 166.
“Để giải các phương trình dạng này, ta chọn một biểu thức lượng giác phù hợp có mặt trong phương
trình làm ẩn phụ (có thể nêu hoặc không nêu kí hiệu ẩn phụ)” [SGKNC11, tr.33].

Nghĩa là, đối với 2 dạng PTLG được xem là đơn giản này, SGK đã trình bày tường
minh kỹ thuật giải cũng như đơn giản hóa các bước làm, cũng bổ sung thêm PTLG bậc nhất
và bậc hai không tường minh, nghĩa là HS phải dùng các phép biến đổi, các công thức lượng
giác…mới đưa được về đúng dạng.
1.2.3. Dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là PTLG có dạng:

a sin x + b cos =
x c ( a 2 + b2 ≠ 0 )

[SGKNC11, tr.35] đã nêu tường minh phương pháp giải loại phương trình này, cụ thể
là “đưa phương trình asinx + bcosx = c thành dạng C sin( x + α ) =
c hoặc C cos( x + γ ) =
c (với
c, α , γ là những hằng số)”.

Ở dạng này SGK hướng dẫn HS biến đổi thông qua H3 là: “dùng đẳng thức
sin x + cos=
x

π

2 sin( x + ) , hãy giải phương trình sinx + cosx = 1”. Đẳng thức này dễ dàng
4

được chứng minh ở chương trình lớp 10, và thông qua đây cũng hình thành nên phương
pháp giải của loại PTLG này, và được trình bày cụ thể:
c bằng cách biến đổi vế trái như sau:
Đưa phương trình về dạng C sin ( x + α ) =


a
b
a sin x + b cos x =a 2 + b 2 
sin x +
cos x 
2

2
a 2 + b2
 a +b


=
a 2 + b 2 ( cos α sin x + sin α cos x )

(với cos α =

a
a +b
2

2

, sin α =

b
a + b2
2

)

=
a 2 + b 2 sin ( x + α )

- Khi đó ta có phương trình:

a 2 + b 2 sin ( x + α ) =c ⇔ sin ( x + α ) =

c
a + b2
2

- Giải PTLG cơ bản.
Sau đó SGK đưa ra H4: “với giá trị nào của m thì phương trình sin 3x + 5 cos3 x =
m có
nghiệm”. Đây là hoạt động ứng dụng việc biến đổi biểu thức asinx + bcosx = c thành dạng

19

Footer Page 21 of 166.


Header Page 22 of 166.
C sin( x + α ) =
c , từ đó thấy được tập giá trị của hàm số y = asinx + bcosx là [-m ; m], với

m
=

a 2 + b 2 . Đây chính là mối liên hệ mà SGK muốn mở rộng cho HS tìm được mối liên

hệ của giải PTLG với hàm số LG.
1.2.4. Dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
Có dạng: a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x =
d
Tương tự như trên, kỹ thuật giải cùng được trình bày khá tường minh và đơn giản:
“ta chia hai vế cho cos2x (với điều kiện cos x ≠ 0 ) để đưa về phương trình đối với tanx, hoặc chia

hai vế cho sin2x (với điều kiện sin x ≠ 0 ) đưa về phương trình đối với cotx.” [SGKNC11, tr.37].

Cũng như các dạng trên, dạng PTLG này cũng đi theo con đường chung là dùng biến
đổi đại số, đưa phương trình ban đầu về các PTLG cơ bản và giải nghiệm. Nhưng đặc biệt
hơn, HS phải xét cả hai trường hợp=
sin x 0;sin x ≠ 0 ( hay=
cos x 0;cos x ≠ 0 )
1.2.5. Một số dạng PTLG không mẫu mực
Là các dạng PTLG không giống như các dạng PTLG cơ bản và PTLG quen thuộc ở
trên. Trọng tâm chủ yếu trong SGKNC11 hướng đến các dạng này là phương trình tích và
các PTLG qua vài phép biến đổi đại số có thể đưa được về các dạng trên.
1.2.6. Các tổ chức toán học liên quan đến PTLG
Ở phần này, chúng tôi có tham khảo luận văn của Thạc sĩ Phạm Thị Thùy Trang, Một
nghiên cứu didactic về hàm số và PTLG 11, 2012.
 Kiểu nhiệm vụ TGPT (GPT: giải phương trình) – Giải PTLG
Trong kiểu nhiệm vụ này, SGKNC11 phân thành năm kiểu nhiệm vụ con.
• Kiểu nhiệm vụ TGPT-Bacnhat – Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số
lượng giác
=
a sin f ( x ) + b 0 ;

=
a cos f ( x ) + b 0 ;

=
a tan f ( x ) + b 0 ;

=
a cot f ( x ) + b 0.

( a ≠ 0 , f (x) là một đa thức bậc nhất đối với x)
Kỹ thuật τGPT-Bachai: Sử dụng “công thức nghiệm”
- Đưa phương trình về dạng PTLG cơ bản
- Áp dụng “công thức nghiệm” PTLG cơ bản, kết luận nghiệm.
Công nghệ θGPT-Bachai: “công thức nghiệm” PTLG cơ bản.
20

Footer Page 22 of 166.


Header Page 23 of 166.
H5: “Giải phương trình: cos x = −
Giải:

cos x =
−

2
” [SGKNC11, tr.33]:
2

2
3π
3π
cos
=
⇔x=
±
+ k 2π
2

4
4

• Kiểu nhiệm vụ TGPT-Bachai – Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số
lượng giác
a sin 2 x =
+ b sin x + c 0 ;

a cos 2 x +=
b cos x + c 0

a tan 2 x +=
b tan x + c 0 ;

a cot 2 x +=
b cot x + c 0

( a ≠ 0 , f (x) là một đa thức bậc nhất đối với x)
Kỹ thuật τGPT-Bachai: “Đổi biến, đưa về phương trình bậc hai”
-=
Đặt t sin x , t ≤ 1 (hoặc
=
t cos x , t ≤ 1 hoặc t = tan x hoặc t = cot x
- Đưa phương trình về dạng: at 2 + bt + c =
0
- Giải phương trình bậc hai, tìm nghiệm theo ẩn t (chú ý điều kiện, nếu có)
- Với mỗi giá trị t vừa tìm được, giải PTLG cơ bản, tìm nghiệm x.
(HS có thể bỏ qua bước đặt ẩn phụ mà chỉ cần ngầm hiểu)
Công nghệ θGPT-Bachai:
- Công thức nghiệm phương trình bậc hai.

- Công thức nghiệm PTLG cơ bản.
Ví dụ 2, “Giải phương trình sau: 2sin 2 x − 5sin x + 3 =
0 ” [SGKNC11, tr.34]
2sin 2 x − 5sin x + 3 =
0
sin x = 1
π
⇔
⇔ sin x =1 ⇔ x = + k 2π
3
sin x =
2

2

• Kiểu nhiệm vụ TGPT-Bacnhat-sincos – Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
: a sin x + b cos =
x c ( a 2 + b2 ≠ 0 )
Kỹ thuật τGPT-Bacnhat-sincos: “Biến đổi lượng giác”
- Đưa phương trình về dạng C sin ( x + α ) =
c bằng cách biến đổi vế trái như sau:


a
b
a sin x + b cos x =a 2 + b 2 
sin x +
cos x 
2
2

a 2 + b2
 a +b


=
a 2 + b 2 ( cos α sin x + sin α cos x )

21

Footer Page 23 of 166.


Header Page 24 of 166.
a

(với cos α =

a +b
2

b

, sin α =

2

a + b2
2

)

=
a 2 + b 2 sin ( x + α )

-Khi đó ta có phương trình:
a 2 + b 2 sin ( x + α ) =c ⇔ sin ( x + α ) =

c
a + b2
2

- Giải PTLG cơ bản.
Công nghệ θGPT-Bacnhat-sincos:
“Do

a
b
;
 2
2
2
a + b2
 a +b


a
 2
2
 a +b

2

 
b
 +  2
2
  a +b

2


1 , nên điểm
 =


M

với

tọa

độ


 nằm trên ĐTLG […]


a

b

a +b

a + b2

=
và sin α
Vậy có
số α để cos α =
2
2

2

” [SGKNC11,tr.36]

Ví dụ 5, “Giải phương trình 2sin 3x + 5 cos3x =
−3 ”[SGKNC11, tr.37]
• Kiểu nhiệm vụ TGPT-Bachai-sincos – Giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với
sinx và cosx : a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x =
0 (trong đó a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0 )
Kỹ thuật τGPT-Bachai-sincos: “Biến đổi lượng giác”
Xét hai trường hợp
* cos x = 0 : ( sin 2 x = 1 )Thế vào phương trình xem có là nghiệm không
* cos x ≠ 0 : Chia hai vế phương trình cho cos 2 x , đưa về phương trình bậc hai đối với tanx:
a tan 2 x + b tan x + c =
0

Công nghệ θGPT-Bachai-sincos: - Định nghĩa tan x =

sin x
cos x

- Công thức nghiệm phương trình bậc hai và PTLG cơ bản.
0 ”[SGKNC11, tr.38]
Ví dụ 6 :“Giải phương trình 4sin 2 x − 5sin x cos x − 6cos 2 x =

• Kiểu nhiệm vụ TGPT-ĐB – Giải PTLG không mẫu mực( đặc biệt)
Theo tinh thần “giảm tải” của chương trình, SGKNC11 chỉ đưa ra những PTLG
khá đơn giản, không đòi hỏi các thủ thuật biến đổi lượng giác phức tạp. Dạng toán này chia
làm hai nhiệm vụ con là: TGPT_ĐB_KĐK – Giải PTLG không mẫu mực không có điều kiện và
TGPT_ĐB_ĐK – Giải PTLG không mẫu mực có điều kiện. Để giải 2 loại PTLG không mẫu mực
22

Footer Page 24 of 166.


Header Page 25 of 166.
này, SGK đưa ra hai kỹ thuật sau:
 TGPT_ĐB_KĐK – Giải PTLG không mẫu mực không có điều kiện
Kỹ thuật τGPT-ĐB-KĐK1: “Biến đổi lượng giác”
Dùng công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích hay công thức biến
đổi tích thành tổng và các phép biến đổi đại số để đưa bài toán về các dạng phương trình đã
biết cách giải.
Ví dụ 8 : “Để giải phương trình sin 2 x + sin 2 3x =
2sin 2 2 x (5) [SGKNC11, tr.40]:
Ta có thể sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
1 − cos 2 x 1 − cos 6 x
1 − cos 4 x
+

=
2
2
⇔ cos 2 x + cos 6 x = 2cos 4 x ⇔ 2cos 4 x.cos 2 x − 2cos 4 x = 0

( 5) ⇔

⇔ 2cos 4 x ( cos 2 x − 1) =
0 ”[…]

Kỹ thuật τGPT-ĐB-KĐK2: “Đổi biến”
- Đặt ẩn phụ (đặt điều kiện cho ẩn phụ, nếu có), đưa về các phương trình đại số.
- Giải phương trình đại số, tìm nghiệm.
- Ứng với mỗi nghiệm vừa tìm được, tìm nghiệm của phương trình ban đầu.
1 + tan x ” [SGKNC11, tr.42]
Bài tập 36c : “Giải phương trình (1 − tan x )(1 + sin 2 x ) =

Tóm tắt lời giải trong [SGVNC11, tr.56]:
+ Đặt t = tan x , với điều kiện cos x ≠ 0 .
Khi đó
=
sin 2 x

2 tan x
2t
, từ đó họ đưa về phương trình đại số ẩn t.
=
2
1 + tan x 1 + t 2

+ Giải phương trình tìm nghiệm t, sau đó tìm nghiệm x.
* Nhận xét: Trong các kiểu nhiệm vụ giải PTLG ở trên, tất cả các kỹ thuật có một
điểm chung là đều sử dụng những lập luận, phép biến đổi thuộc phạm vi đại số để đưa về
PTLG cơ bản.
Công nghệ θGPT-ĐB-KĐK: Các công thức biến đổi lượng giác.
Công thức nghiệm PTLG cơ bản.
 TGPT_ĐB_ĐK – Giải PTLG không mẫu mực có ĐK : Đây là loại PTLG mà luận văn
chúng tôi tập trung nghiên cứu, trong đó ĐK được sinh ra từ nội tại của phương trình.
Kỹ thuật τGPT-ĐB-ĐK: “Tìm nghiệm PTLG có ĐK”
- Đặt ĐKXĐ cho bài toán.
- Sử dụng các kỹ thuật ở trên tìm ra họ nghiệm của PTLG hệ quả.
23

Footer Page 25 of 166.