Về các dãy hồi quy tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (475.03 KB, 35 trang )
Header Page 1 of 166.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Hoàng Thanh Nghị
VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên – 2008
Footer Page
166.
Số hóa1
bởiof
Trung
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Header Page 2 of 166.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HOÀNG THANH NGHỊ
VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Hà Huy Khoái
THÁI NGUYÊN - 2008
Footer Page 2 of 166.
Header Page 3 of 166.
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
▲ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ tr✉②Ò♥ t❤è♥❣ ❝ñ❛ sè ❤ä❝✳ ◆❤✐Ò✉ ❞➲② sè q✉❛♥ trä♥❣ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉❛
❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉②✳ ◆æ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤✃t tr♦♥❣ sè ❝➳❝ ❞➲② sè ♥❤➢ ✈❐② ❧➭ ❝➳❝ sè
❋✐❜♦♥❛❝❝✐✱ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s✳
▼➷❝ ❞ï ❝ã ❧Þ❝❤ sö ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❧➞✉ ➤ê✐✱ ❝➳❝ sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ✈➭ ▲✉❝❛s ✈➱♥ ❝❤ø❛
➤ù♥❣ ♥❤✐Ò✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t t❤ó ✈Þ ❝❤➢❛ ➤➢î❝ ❜✐Õt ➤Õ♥✱ ✈➭ ❧✉➠♥ ❧✉➠♥ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣
♥❤÷♥❣ ➤Ò t➭✐ trä♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt sè ❤✐Ö♥ ➤➵✐✳
❇➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤
♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛ ❞➲② sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ♠ét sè
tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➢î❝ ♣❤➳t ❤✐Ö♥ r✃t ❣➬♥ ➤➞② ✭✷✵✵✼✮ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s✳
❇è ❝ô❝ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➢ s❛✉✿
❈❤➢➡♥❣ ✶ ✧▲ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢✧ ❞➭♥❤ ➤Ó ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠✱ ❝➳❝ tÝ♥❤
❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢✱ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✱ sè
❣✐➯ ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❤➺♠ ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝➳❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s❛✉✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ✧❈➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉②✧ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ö
❤å✐ q✉②✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤Ö sè
❤➺♥❣ rå✐ tõ ➤ã ➤➢❛ r❛ ♥❣❤✐Ö♠ tæ♥❣ q✉➳t ❝❤♦ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝
tr➢♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐✳ ◆❣♦➭✐ r❛ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②
❝ò♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➲② sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛
❞➲② sè ♥➭②✳
❈❤➢➡♥❣ ✸ ✧▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t sè ❤ä❝ ❝ñ❛ sè ▲✉❝❛s✧ ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét
sè ❦Õt q✉➯ ❣➬♥ ➤➞② ❝ñ❛ ❞➲② ▲✉❝❛s✳ ❈ô t❤Ó ❧➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè
❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❞➲② ▲✉❝❛s ✈➭ sù ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s ❣✐➯ ♥❣✉②➟♥
tè ❦❤➠♥❣ ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ❍➭
❍✉② ❑❤♦➳✐✳ ◆❤ê ❚❤➬② t➠✐ ➤➲ ❜➢í❝ ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈➭ s❛② ♠➟ ✈í✐ ❚♦➳♥ ❤ä❝✳
◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳
❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❜❛♥ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ ✲
Footer Page 3 of 166.
✹
Header Page 4 of 166.
➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ➤➲ tr❛♥❣ ❜Þ ❦✐Õ♥ t❤ø❝✱ t➵♦
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ➤➞②✳
❚➠✐ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❇●❍ ❚r➢ê♥❣ ❈➜ ❑✐♥❤ tÕ ❑ü t❤✉❐t ➜✐Ö♥ ❇✐➟♥ ✈➭ ❝➳❝ ➤å♥❣
♥❣❤✐Ö♣ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛
♠×♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤
❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
Footer Page 4 of 166.
✺
Header Page 5 of 166.
❈❤➢➡♥❣ ✶
▲ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢
✶✳✶
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥
✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳
♠➠➤✉❧➠
❑❤✐
●✐➯ sö a✱
b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✳ ❚❛ ♥ã✐ r➺♥❣ a ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ b
m ♥Õ✉ m|(a − b)✳
a ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ b ♠➠➤✉❧➠ m✱ t❛ ✈✐Õt
a ≡ b(modm).
◆Õ✉
a ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ❞➢ b ♠➠➤✉❧➠ m✱ t❛ ✈✐Õt
a ≡ b(modm).
◆Õ✉
a
✈➭
❦❤✐ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥
k
s❛♦ ❝❤♦
✶✳✶✳✷ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
sè ♥❣✉②➟♥
t❤×
●✐➯ sö
b
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ t❤×
a ≡ b(modm)
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø
a = b + km.
a ≡ b(modm)✳ ❑❤✐ ➤ã m|(a − b)✱ tø❝ ❧➭ a − b = km ✈í✐
k ♥➭♦ ➤ã✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ k s❛♦ ❝❤♦ a = b + km
m|(a − b)✱ tø❝ ❧➭ a ≡ b(modm).
✶✳✶✳✸ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
●✐➯ sö
m ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ◗✉❛♥ ❤Ö ➤å♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠
m t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞②✿
✶✮ ✭❚Ý♥❤ ❝❤✃t ♣❤➯♥ ①➵✮✳ ◆Õ✉
a ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥✱ t❤×
a ≡ a(modm).
✷✮ ✭❚Ý♥❤ ❝❤✃t ➤è✐ ①ø♥❣✮✳ ●✐➯ sö
a ≡ b(modm) t❤× b ≡ a(modm).
Footer Page 5 of 166.
✻
a
✈➭
b
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉
Header Page 6 of 166.
í t sử
a b c số ó ế
a b(modm) b c(modm) tì a c(modm)
ứ
sử
ó
a a(modm) ì m|(a a)
a b(modm) tứ m|(a b) ó m|(b a) b
a(modm)
ế
a b(modm) b c(modm) tì m|(a b) m|(b c) ó
m|(a c) ì (a c) = (a b) + (b c)
ờ tí t tr ớ ỗ số
ợ số t ớ ồ
tộ ột ớ ồ
m t ó tể t
m số ù
m ỉ ú ồ ớ
m
ị ĩ
ột ệ t ủ
m ột t ợ
số s ỗ số tỳ ý ề ồ
m ớ ú
ột số ủ t ợ
í ụ ợ số 0, 1, ..., m 1 ột ệ t ủ
m ệ ọ ệ t é t m
sử
m ột số ó t ợ số
m1 m3
m3 m1
,
, ..., 0, 1, ...,
,
2
2
2
2
ệ t ủ ợ ọ ệ t tệt ố é t
ị ý
sử
m
a, b, c m số m > 0 a b(modm)
ó
a + c b + c(modm),
a c b c(modm),
ac bc(modm).
ứ
ì
a b(modm) m|(a b) (a + c) (b + c) = a b
m|[(a + c) (b a)] ợ ứ
tự ợ s r từ ỗ
Footer Page 6 of 166.
(a c) (b c) = a b
Header Page 7 of 166.
➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✸✮ t❛ ❝❤ó ý r➺♥❣
r❛
ac − bc = c(a − b) ♥➟♥ tõ m|(a − b) s✉②
m|c(a − b)✱ tø❝ ❧➭ ac ≡ bc(modm).
❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ❧➭♠ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❝ï♥❣ ♠ét ➤å♥❣
❞➢ ❝❤♦ ♠ét sè✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥
2002 ≡ 4(mod6)
♥❤➢♥❣
✶✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ❧ý✳
2002
= 1001 = 2(mod6).
2
●✐➯ sö a, b, c ✈➭ m ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ m > 0 ✈➭
ac ≡ bc(modm) ✈➭ d = (c, m)✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
a ≡ b(mod
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯ sö
tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥
❱×
m
).
d
ac ≡ bc(modm)✳ ❚❛ ❝ã m|(ac − bc) = c(a − b)✳ ❉♦ ➤ã
k s❛♦ ❝❤♦ c(a − b) = km✳ ❈❤✐❛ ❤❛✐ ✈Õ ❝❤♦ d t❛ ➤➢î❝✿
c
m
(a − b) = k .
d
d
c m
m
,
= 1 ♥➟♥ tõ ➤ã s✉② r❛ |(a − b)✱ tø❝ ❧➭
d d
d
m
a ≡ b(mod ).
d
❱Ý ❞ô✿
2002 ≡ 2(mod5)✳ ❉♦ (2, 5) = 1 ♥➟♥ t❛ ❝ã
1001 ≡ 1(mod5).
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❤Ö q✉➯ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻✳
✶✳✶✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý✳
✈➭
◆Õ✉
a, b, c ✈➭ m ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ s❛♦ ❝❤♦ m > 0✱ (c, m) = 1✱
ac ≡ bc(modm)✳ ❑❤✐ ➤ã a ≡ b(modm).
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✼ ❝ã t❤Ó ♠ë ré♥❣ t❤➭♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞②✱ ❝❤♦ t❛ t❤✃② r➺♥❣
❝ã t❤Ó ❧➭♠ ♠ét sè ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ sè ❤ä❝ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❧í♣ ➤å♥❣ ❞➢ ♥❤➢ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝
sè ♥❣✉②➟♥✳
Footer Page 7 of 166.
✽
Header Page 8 of 166.
✶✳✶✳✽ ➜Þ♥❤ ❧ý✳
◆Õ✉
a, b, c, d
✈➭
m
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱
m > 0✱ a ≡ b(modm)✱
c ≡ d(modm)✳ ❑❤✐ ➤ã✿
✶✮
a + c ≡ b + d(modm),
✷✮
a − c ≡ b − d(modm),
✸✮
ac ≡ bd(modm).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❱×
a ≡ b(modm)✱ c ≡ d(modm) ♥➟♥ m|(a − b), m|(c − d). ❉♦
➤ã tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥
k ✈➭ l s❛♦ ❝❤♦ km = a − b, lm = c − d✳
➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✶✮✱ t❛ ♥❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣ (a+c)−(b+d)
❉♦ ➤ã
= km+lm = (k+l)m.
m|[(a + c) − (b + d)] tø❝ ❧➭ a + c ≡ b + d(modm)✳
➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✷✮ t❛ ❝❤ó ý r➺♥❣
(a − c) − (b − d) = (a − b) − (c − d) =
km−lm = (k−l)m✳ ❉♦ ➤ã m|[(a−c)−(b−d)]✱ tø❝ ❧➭ a−c ≡ b−d(modm).
➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✸✮✱ t❛ t❤✃② ac−bd
= ac−bc+bc−bd = c(a−b)+b(c−d) =
ckm + blm✱ tø❝ ❧➭ m|(ac − bd)✳ ❉♦ ➤ã ac ≡ bd(modm).
✶✳✶✳✾ ➜Þ♥❤ ❧ý✳
●✐➯ sö
❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ✈➭
r1 , r2 , ..., rm
❧➭ ❤Ö ➤➬② ➤ñ ❝➳❝ t❤➷♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠
(a, m) = 1✳ ❑❤✐ ➤ã
ar1 + b, ar2 + b, ..., arm + b
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ ➤➬② ➤ñ ♠➠➤✉❧➠
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
m✳
❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣✱ tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥
ar1 + b, ar2 + b, ..., arm + b
❦❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sè ♥➭♦ ➤å♥❣ ❞➢ ♥❤❛✉ ♠➠➤✉❧➠
m✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉
arj + b ≡ ark + b(modm)
t❤×
arj ≡ ark (modm).
❉♦
(a, m) = 1 ♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✼ t❛ ❝ã
rj ≡ rk (modm).
Footer Page 8 of 166.
✾
m✱ a
Header Page 9 of 166.
❱× rj
≡ rk (modm) ♥Õ✉ j = k ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ j = k ✳
❉♦ t❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ ➤➞② ❣å♠ m sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠
m ♥➟♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ➤ã ❧❐♣ t❤➭♥❤ ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ ➤➬② ➤ñ ♠➠➤✉❧➠ m✳
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ❝❤♦ t❤✃② r➺♥❣✱ ❝➳❝ ➤å♥❣ ❞➢ ➤➢î❝ ❜➯♦ t♦➭♥ ♥Õ✉ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ➤➢î❝
♥➞♥❣ ❧➟♥ ❝ï♥❣ ♠ét ❧✉ü t❤õ❛ ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳
✶✳✶✳✶✵ ➜Þ♥❤ ❧ý✳
●✐➯ sö
a, b, k, m ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ k > 0,
m > 0, a ≡ b(modm)✳ ❑❤✐ ➤ã
ak ≡ bk (modm).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❉♦
a ≡ b(modm)✱ t❛ ❝ã m|(a − b)✳ ❱×
ak − bk = (a − b)(ak−1 + ak−2 b + ... + abk−2 + bk−1 )
♥➟♥
(a − b)|(ak − bk )✳ ❱❐② m|(ak − bk )✱ tø❝ ❧➭ ak ≡ bk (modm)✳
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝➳❝ sè a, b ➤å♥❣ ❞➢ ♥❤❛✉ ♠➠➤✉❧➠ ♥❤✐Ò✉ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣
❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❦Õt ❤î♣ ❧➵✐ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳
✶✳✶✳✶✶ ➜Þ♥❤ ❧ý✳
tr♦♥❣ ➤ã
●✐➯ sö
a ≡ b(modm1 ), a ≡ b(modm2 ), ..., a ≡ b(modmk ),
a, b, m1 , ..., mk
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱
m1 , m2 , ..., mk > 0. ❑❤✐ ➤ã
a ≡ b(mod[m1 ...mk ])
tr♦♥❣ ➤ã
[m1 ...mk ] ❧➭ ❜é✐ ❝❤✉♥❣ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ m1 , ..., mk ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❝ã
❱×
a ≡ b(modm1 ), a ≡ b(modm2 ), ..., a ≡ b(modmk ), ♥➟♥ t❛
m1 |(a − b), m2 |(a − b), ..., mk |(a − b)✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ r➺♥❣
[m1 , m2 , ..., mk ]|(a − b),
tø❝ ❧➭
a ≡ b(mod[m1 ...mk ]).
Footer Page 9 of 166.
✶✵
Header Page 10 of 166.
ệ q
tr ó
sử
a b(modm1 ), a b(modm2 ), ..., a b(modmk ),
a, b m1 , m2 , ..., mk
số tố ù
từ ó
a b(modm1 ...mk ).
ứ
m1 , m2 , ..., mk số tố ù
từ t ó
[m1 m2 ...mk ] = m1 m2 ...mk .
ó ệ q ợ s trự tế từ ị ý
ồ tế tí
ột ồ
ax b(modm),
tr ó
ế
x ột số ết ợ ọ
ồ tế tí ột
sẽ t r ệ ứ ồ t t
tự ệ ứ trì ệ ế
rớ t t ét r ế
x = x0 ột ệ ủ ồ
ax b(modm) ế x1 x0 (modm) tì ax1 ax0 b(modm) x1
ũ ột ệ ế ột tử ủ ột ớ ồ
m ó ột ệ tì ọ tử ủ ớ ó ũ ệ ì
tế ó tể t ỏ tr
m ớ ồ ó ớ
ệ ột t ó ệ ồ
m
ị ý
sử
a, b, m
số
d |b tì ồ ax b(modm) ệ
ú
m>0
ế
(a, m) = d
ế
d|b tì ax b(modm) ó
d ệ ồ m
ứ
ố
x ệ ủ ồ ax b(modm) ế
ỉ ế tồ t số
ế
y s ax my = b ì d = (a, m) d|b
d |b tì ồ ét tồ t ệ
Footer Page 10 of 166.
Header Page 11 of 166.
❇➞② ❣✐ê ❣✐➯ sö
d|b✳ ❱× d = (a, m) ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ s, t s❛♦ ❝❤♦
d = as + mt.
▼➷t ❦❤➳❝✱ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥
e s❛♦ ❝❤♦ b = de✳ ❚õ ➤ã t❛ ➤➢î❝
b = a(se) + m(te).
◆❤➢ ✈❐②✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❧✃② ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❞➢ ❧➭
x0 = se✳ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ tá
r➺♥❣✱ ❝➳❝ sè
x = x0 + m
tr♦♥❣ ➤ã
k ♥❣✉②➟♥✱ ➤Ò✉ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ➤å♥❣ ➤➢ ➤❛♥❣ ①Ðt✳ ❚❤❐t ✈❐②
ax = ax0 + m
♠➭
a
k,
d
ax0 ≡ b(modm)✱
a
k,
d
a
♥❣✉②➟♥ ♥➟♥
d
ax ≡ ax0 ≡ b(modm).
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❞➢ ➤Ò✉ ♣❤➯✐ ❝ã ❞➵♥❣ ✭✶✮✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯
sö
x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ t✉ú ý✱
ax − my = b.
❚❛ ❝ã✿
a(x − se) − m(y + te) = 0
tø❝ ❧➭
a(x − se) = m(y + te).
❈❤✐❛ ❤❛✐ ✈Õ ❝❤♦
d t❛ ➤➢î❝
m
a
(x − se) = (y + te).
d
d
a m
a
❉♦ d = (a, m) ♥➟♥ ( , ) = 1✱ s✉② r❛ |(y +te)✳ ❱❐② ♣❤➯✐ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥
d d
a
a d
a
k s❛♦ ❝❤♦ k = (y + te)✱ tø❝ ❧➭ y = k − te✳ ❉♦ ➤ã a(x − se) = mk ✳ ❱❐②✱
d
d
d
m
m
x = se + k = x0 + k.
d
d
Footer Page 11 of 166.
✶✷
Header Page 12 of 166.
ò ứ r ó ú
d ệ ồ m
m
m
sử ệ x1 = x0 + t1 x2 = x0 + t2 ồ m
d
d
m
m
x0 + t1 x0 + t2 (modm).
d
d
ó
ì
m
m
t1 t2 (modm).
d
d
m
m
m
|m (m, ) =
t ị ý
d
d
d
t1 t2 (modm)
ệ ủ ệ ồ ợ t
m
t tr ó t q ệ ủ t d
d
ợ ó ó ú d tử ở t = 0, 1, 2, ..., d 1
x = x0 +
ị ĩ
sử
a, m số m > 1 ệ ủ ồ
ax 1(modm)
ợ ọ ị ủ
a m
ệt ó ữ số ị ủ í ó ột số
tố p
ệ ề
sử
p
ột số tố ố
a
ị
p ủ í ó ỉ
a 1(modp)
a 1(modp).
ứ
ế
a 1(modp) a 1(modp) tì a2 1(modp)
a ị ủ í ó
ợ sử
a ị ủ í ó tứ
a2 = a.a 1(modp).
ó p|(a2 1) ì (a2 1)
= (a 1)(a +1) p tố p|(a 1)
p|(a + 1) ó a 1(modp) a 1(modp)
Footer Page 12 of 166.
Header Page 13 of 166.
✶✳✸
➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð
✶✳✸✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý✳
❞➢➡♥❣ ✈í✐
✭➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✮✳ ●✐➯ sö
p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ a ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥
p |a✳ ❑❤✐ ➤ã ap−1 ≡ 1(modp)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❳Ðt
p − 1 sè ♥❣✉②➟♥ a, 2a, ..., (p − 1)a✳ ❑❤➠♥❣ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➭♦
tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ♥ã✐ tr➟♥ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p✱ ✈× p|ja ✈í✐ j ♥➭♦ ➤ã t❤× p|j ❞♦ (a, p)
▼➭ t❛ ❝ã
1 ≤ j ≤ p − 1✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➭♦ tr♦♥❣ ❞➲②
tr➟♥ ➤å♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠ p✳ ❚❤❐t ✈❐② ♥Õ✉
s✉② r❛
= 1✳
ja ≡ ka(modp) t❤× ❞♦ (a, p) = 1 ♥➟♥
j ≡ k(modp)✱ tø❝ ❧➭ j = k ✱ ✭✈× 1 ≤ j ≤ p − 1✮✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ❝➳❝ sè
♥❣✉②➟♥
a, 2a, ..., (p − 1)a ❧➭ t❐♣ ❤î♣ (p − 1) sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ➤➢ ✵ ✈➭
❦❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sè ♥➭♦ ➤å♥❣ ❞➢ ♥❤❛✉ ♠➠➤✉❧➠
♥❤✃t ❝ñ❛ ❤Ö ➤ã ♣❤➯✐ ❧➭
p✱ ♥➟♥ ❝➳❝ t❤➷♥❣ ❞➢ ❞➢➡♥❣ ❜Ð
1, 2, ..., (p − 1) ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù ♥➭♦ ➤ã✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛
a.2a...(p − 1)a ≡ 1.2...(p − 1)(modp).
❱❐②
ap−1 (p − 1)! ≡ (p − 1)!(modp).
❱×
((p − 1)!, p) = 1 ♥➟♥ t❛ ➤➢î❝
ap−1 ≡ 1(modp).
✶✳✸✳✷ ❍Ö q✉➯✳
●✐➯ sö
p
❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭
a
❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã
ap ≡ a(modp)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
◆Õ✉
p |a t❤× t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✱ t❛ ❝ã
ap−1 ≡ 1(modp).
◆❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ✈í✐
a t❛ ➤➢î❝
ap ≡ a(modp).
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉
p|a t❤× p|ap ♥➟♥ ap ≡ a ≡ 0(modp)✳
Footer Page 13 of 166.
✶✹
Header Page 14 of 166.
✶✳✸✳✸ ❍Ö q✉➯✳
➤ã
ap−2
●✐➯ sö
p
❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭
❧➭ ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ ❝ñ❛
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯ sö
a
❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈í✐
p |a✳
❑❤✐
a ♠➠➤✉❧➠ p✳
p |a✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð t❛ ❝ã
a.ap−2 = ap−1 ≡ 1(modp).
❱❐② ap−2 ❧➭ ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ ❝ñ❛
✶✳✸✳✹ ❍Ö q✉➯✳
●✐➯ sö
a ♠➠➤✉❧➠ p✳
a, b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ✈➭ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ p |a✳
❑❤✐ ➤ã ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤
ax ≡ b(modp)
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❝ñ❛
x s❛♦ ❝❤♦ x ≡ ap−2 b(modp)✳
ax ≡ b(modp)✳ ❱× p |a ♥➟♥ ap−2 ❧➭ ♠ét ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦
●✐➯ sö
a(modp)✳ ❚õ ➤ã t❛ ❝ã✿
x ≡ ap−2 ax ≡ ap−2 b(modp).
✶✳✹
❙è ❣✐➯ ♥❣✉②➟♥ tè
❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✱ ♥Õ✉
❝ã bn
t❤×
n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤× ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ b t❛
≡ b(modn)✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ♥Õ✉ ❝ã sè ♥❣✉②➟♥ b s❛♦ ❝❤♦ bn ≡ b(modn)
n ♣❤➯✐ ❧➭ ❤î♣ sè✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð ❧➵✐ ❦❤➠♥❣ ❝❤♦ t❛ ❝➳❝❤
❦✐Ó♠ tr❛ ①❡♠ ♠ét sè
n ❝ã ♣❤➯✐ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❤❛② ❦❤➠♥❣✳ ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱
♣❤➬♥ ➤➯♦ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❜❛♦ ❣✐ê ❝ò♥❣ ➤ó♥❣✳ ❱Ý ❞ô✿ ✈í✐
n = 341, b = 2 t❛ ❝ã✿ n = 11.31✱
2340 = (210 )34 ≡ 1(mod11);
2340 = (25 )68 = 3268 ≡ 1(mod31).
❚õ ➤ã s✉② r❛ 2340
≡ 1(mod341)✱ ♥❤➢♥❣ n = 341 ❧➭ ❤î♣ sè✳
Footer Page 14 of 166.
✶✺
Header Page 15 of 166.
ị ĩ
bn
sử b số ế n ột ợ số
b(modn) tì n ợ ọ số tố sở b
í ụ tr t r số tố sở
ú ý r ế
(b, n) = 1 tì từ bn b(modn) t s ợ bn1
1(modn) ũ tờ ù tứ ể ị ĩ số
tố sở
b tố ù ớ b
số tố rt t tr
1010 số tự t
ó số tố ỉ ó số tố sở
ớ ọ số
b > 1 tồ t số tố sở b
sẽ ứ ề trờ ợ
sử
ổ ề
b = 2 rớ ết t ó ổ ề s
d, n số s d|n ó
(2d 1)|(2n 1)
ứ
trể
ì
d|n tồ t số t s dt = n t x = 2d từ
xt 1 = (x 1)(xt1 + xt2 + ... + 1) t ó
2n 1 = (2d 1)(2d(t1) + 2d(t2) + ... + 2d + 1),
tứ
(2d 1)|(2n 1)
ị ý
ứ
ồ t số tố sở
sử
n ột số tố sở sẽ ứ tỏ r
m = 2n 1 ũ số tố sở tết n ợ số
n = dt(1 < d, t < n) 2n1 1(modn) ì (2d 1)|(2n 1)
m ợ số n số tố 2n 2(modn) tứ tồ t k
s 2n
2 = kn ó 2m1 = 22
n
2
= 2(kn+2)2 = 2kn ó
m = (2n 1)|(2nk 1) = 2m1 1,
tứ
2m1 1(modn).
m số tố sở
Footer Page 15 of 166.
Header Page 16 of 166.
❈❤➢➡♥❣ ✷
❈➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉②
✷✳✶
◗✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② tæ♥❣ q✉➳t
✷✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳
❣✐➳ trÞ
◗✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ❜❐❝
k ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤
f (n + k) q✉❛ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ f (n)✱ f (n + 1)✱ ✳✳✳✱ f (n + k − 1).
❱Ý ❞ô✿
f (n + 2) = n2 f (n + 1) − f (n) + f (n − 1) ❧➭ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ❜❐❝ ❜❛✱
f (n + 1) = f (n) + f (n − 1) ❧➭ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ❜❐❝ ❤❛✐✳
✷✳✶✳✷ ❈❤ó ý✳
✭✶✮
➜è✐ ✈í✐ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ❜❐❝ k ✱ ♥Õ✉ ❝❤♦ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ f (1), ..., f (k)
t❤× ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❝ß♥ ❧➵✐ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥ tr♦♥❣ q✉❛♥ ❤Ö ✭✶✮✱
♥Õ✉ t❛ ❝❤♦
f (1) = f (2) = 1 t❤× t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ❞➲② sè ♥æ✐ t✐Õ♥❣ ❣ä✐ ❧➭ ❝➳❝ sè
❋✐❜♦♥❛❝❝✐✳
✷✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳
▼ét ❞➲②
f (n) t❤á❛ ♠➲♥ ♠ét q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ♥➭♦ ➤ã ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ➤ã✳ ◆Õ✉ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ❜❐❝
k t❤× k ❣✐➳ trÞ
❜❛♥ ➤➬✉ ❝ñ❛ ❞➲② ❝ã t❤Ó ❧✃② tï② ý✱ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ➤➢î❝ ①➳❝
➤Þ♥❤✳
▼ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ❜❐❝
♥ã ♣❤ô t❤✉é❝
k ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ tæ♥❣ q✉➳t ♥Õ✉
k ❤➺♥❣ sè tï② ý C1 , ..., Ck ✳
❱Ý ❞ô✿ ❳Ðt q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉②
f (n + 2) = 5f (n + 1) − 6f (n).
Footer Page 16 of 166.
✶✼
(2)
Header Page 17 of 166.
❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝
f (n) = C1 2n + C2 3n
❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ➤❛♥❣ ①Ðt ✭✷✮✳ ◆❣❤✐Ö♠ tï② ý ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤
q✉❛ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ
f (1), f (2)✳
❈❤➻♥❣ ❤➵♥ ♥Õ✉ ➤➷t
f (1) = a, f (2) = b t❛ ➤➢î❝ ❤Ö
2C1 + 3C2 = a
4C1 + 9C2 = b
❍Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❝ã ♥❣❤✐Ö♠
✷✳✷
C1 , C2 ✈í✐ ♠ä✐ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ a, b✳
❍å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤Ö sè ❤➺♥❣
✷✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳
◗✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❜❐❝
k ✈í✐ ❤Ö sè ❤➺♥❣ ❧➭ q✉❛♥
❤Ö ❝ã ❞➵♥❣
f (n + k) = a1 f (n + k − 1) + a2 f (n + k − 2) + ... + ak f (n),
tr♦♥❣ ➤ã a1 , a2 , ..., ak ❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè ♥➭♦ ➤ã ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝
n✮
❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ①Ðt tr➢ê♥❣ ❤î♣ ➤➡♥ ❣✐➯♥✿ ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ ❤Ö
sè ❤➺♥❣
f (n + 2) = a1 f (n + 1) + a2 f (n).
✷✳✷✳✷ ❇æ ➤Ò✳
❞➲②
◆Õ✉
(3)
f1 (n), f2 (n) ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ✭✸✮ t❤× ✈í✐ ❝➳❝ sè tï② ý A, B
f (n) = Af1 (n) + Bf2 (n) ❝ò♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ✭✸✮✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❱× f1 (n), f2 (n) ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ✭✸✮ ♥➟♥ t❛ ❝ã✿
f1 (n + 2) = a1 f1 (n + 1) + a2 f1 (n),
f2 (n + 2) = a1 f2 (n + 1) + a2 f2 (n)
❙✉② r❛
Af1 (n+2)+Bf2 (n+2) = a1 [Af1 (n+1)+Bf2 (n+1)]+a2 [Af1 (n)+Bf2 (n)].
❱❐②
f (n) = Af1 (n) + Bf2 (n) ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ✭✸✮✳
Footer Page 17 of 166.
✶✽
Header Page 18 of 166.
✷✳✷✳✸ ❇æ ➤Ò✳
●✐➯ sö
r1
❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
r2 = a1 r + a2
❑❤✐ ➤ã ❞➲②
(4).
{rn } ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö
f (n + 2) = a1 f (n + 1) + a2 f (n)
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❛ ❝ã
(5).
f (n) = r1n , f (n + 1) = r1n+1 , f (n + 2) = r1n+2 .
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ r1 ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ r 2
= a1 r + a2 ♥➟♥ t❛ ❝ã
r12 = a1 r1 + a2 .
❙✉② r❛
a1 r1n+1 + a2 r1n = r1n (a1 r1 + a2 ) = r1n r12 = r1n+2 .
❱❐②
{rn } ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ✭✺✮✳
✷✳✷✳✹ ◆❤❐♥ ①Ðt✳
❉➲②
r1n+m ✈í✐ m tï② ý ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❝❤Ø
❝➬♥ ➳♣ ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ✷✳✷✳✷ ✈í✐
B = 0, A = r1m ✳
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✹✮ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ✭✺✮✳
❚õ ❝➳❝ ❇æ ➤Ò ✷✳✷✳✷ ✈➭ ❇æ ➤Ò ✷✳✷✳✸✱ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧Ý s❛✉✿
✷✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý✳
●✐➯ sö ❝❤♦ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉②
f (n + 2) = a1 f (n + 1) + a2 f (n).
(6)
●✐➯ sö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣
r 2 = a1 r + a2
❝ã ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt
r1
✈➭
r2 ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥❣❤✐Ö♠ tæ♥❣ q✉➳t ❝ñ❛ ✭✻✮ ❝ã ❞➵♥❣
f (n) = C1 r1n−1 + C2 r2n−1 .
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✷✳✷✳✸✱ f1 (n)
= r1n−1 , f2 (n) = r2n−1 ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠
❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ➤❛♥❣ ①Ðt✳ ❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✷✳✷✳✷✱ ✈í✐ ♠ä✐
C1 , C2 tï② ý✱ C1 r1n + C2 r2n
❧➭ ♥❣❤✐Ö♠✳ ❈❤Ø ❝ß♥ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣✱ ♥❣❤✐Ö♠ tï② ý ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ✭✻✮ ❝ã
Footer Page 18 of 166.
✶✾
Header Page 19 of 166.
tể ết ớ tr ị í ỗ ệ ủ q ệ ợ
ị t ở trị
f (1), f (2) ì tế ỉ ỉ r r ệ
trì
C1 + C2 = a
C 1 r1 + C 2 r2 = b
ó ệ ớ
a, b tù ý ễ t r ệ ó
C1 =
b ar2
ar1 b
, C2 =
r1 r2
r1 r2
ị í ợ ứ
ờ t ể s ét trờ ợ trì tr ó ệ
ộ
sử trì tr ủ q ệ ó ệ trù
r1
= r2 ó ể tứ C1 r1n1 + C2 r2n1 ò
ệ tổ qt ữ ì ệ ó ợ ết ớ
ó tể ọ số
f (n) = Cr1n1
C s ề ệ
f (1) = a, f (2) = b ợ tỏ
ị ý
sử trì tr
r 2 = a1 r + a2
ó ệ ộ
r1 ó ệ tổ qt ủ q ệ ét ó
f (n) = r1n1 (C1 + C2 n),
tr ó
C1 , C2
ứ
t ó a1
số tù ý
ì trì tr ó ệ ộ t ị í ét
= 2r1 , a2 = r12 ết trì tr ớ
r2 = 2r1 r r12 .
q ệ ồ q sẽ ó
f (n + 2) = 2r1 f (n + 1) r12 f (n)
Footer Page 19 of 166.
(7).
Header Page 20 of 166.
❚❛ t❤ö ❧➵✐ r➺♥❣ f2 (n)
= nr1n−1 ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ➤❛♥❣ ①Ðt✳
❚❛ ❝ã✿
f2 (n + 2) = (n + 2)r1n+1 , f2 (n + 1) = (n + 1)r1n .
❚❤❛② ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ♥➭② ✈➭♦ ✭✼✮ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❤✃t t❤ø❝✿
(n + 2)r1n+1 = 2(n + 1)r1n+1 − nr1n+1 .
❱❐②
nr1n−1 ➤ó♥❣ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠✳
❚❤❡♦ ❜æ ➤Ò ✷✳✷✳✷✱ ✈í✐
C1 , C2 tï② ý✱
f (n)r1n−1 (C1 + C2 n)
❝ò♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
❧✉➠♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➤➢î❝
(8)
f (1) = a, f (2) = b tï② ý✱ t❛ ❧✉➠♥
C1 , C2 s❛♦ ❝❤♦ ✭✽✮ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ➤❛♥❣ ①Ðt✳
❱❐② ✭✽✮ ❝❤♦ t❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♥❣❤✐Ö♠ tæ♥❣ q✉➳t tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐✳
✷✳✷✳✼ ◆❤❐♥ ①Ðt✳
➜è✐ ✈í✐ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤Ö sè ❤➺♥❣ ❝✃♣
t❛ ❝ò♥❣ ❝ã ❦Õt q✉➯ ❤♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù✳ ❳Ðt q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ❝✃♣
k tï② ý✱
k ❞➵♥❣
f (n + k) = a1 f (n + k − 1) + ... + ak f (n).
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣✿
rk = a1 rk−1 + ... + ak .
◆Õ✉ r1 , r2 , ..., rk ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣✱ t❤×
♥❣❤✐Ö♠ tæ♥❣ q✉➳t sÏ ❧➭
f (n) = C1 r1n−1 + ... + Ck rkn−1 .
◆Õ✉ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ♥➭♦ ➤ã trï♥❣ ♥❤❛✉✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ r1
= r2 = ... = rs t❤× ♥❣❤✐Ö♠
tæ♥❣ q✉➳t sÏ ❧➭
n−1
f (n) = r1n−1 (C1 + C2 n + ... + Cs ns−1 ) + Cs+1 rs+1
+ ... + Ck rkn−1 .
Footer Page 20 of 166.
✷✶
Header Page 21 of 166.
✷✳✷✳✽ ❱Ý ❞ô✳
❳Ðt q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉②
f (n + 4) = 5f (n + 3) − 6f (n + 2) − 4f (n + 1) + 8f (n).
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ã ❞➵♥❣✿
r4 − 5r3 + 6r2 + 4r − 8 = 0.
❈➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧➭
r1 = 2, r2 = 2, r3 = 2, r4 = −1.
◆❣❤✐Ö♠ tæ♥❣ q✉➳t ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ➤❛♥❣ ①Ðt sÏ ❧➭
f (n) = 2n−1 (C1 + C2 n + C3 n2 ) + C4 (−1)n−1 .
✷✳✷✳✾ ❈❤ó ý✳
❚r♦♥❣ ❝➳❝ ❧ý ❧✉❐♥ tr➟♥ ➤➞②✱ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝
tr➢♥❣ ❝ã t❤Ó ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ø❝✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ➤Ó t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ t❤ù❝ ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐
q✉②✱ t❛ ❝ã t❤Ó sö ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝
eiϕ = cosϕ + isinϕ.
❱Ý ❞ô✿ ①Ðt q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉②
f (n + 2) = f (n + 1) − f (n).
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭
r2 − r + 1 = 0.
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❝ã ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ø❝
√
√
1−i 3
1+i 3
, r2 =
,
r1 =
2
2
❤❛② ❧➭
π
π
r1 = ei 3 , r2 = e−i 3 .
◆❤➢ ✈❐②✱ ♥❣❤✐Ö♠ ✭t❤ù❝✮ tæ♥❣ q✉➳t ❝ñ❛ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② ➤❛♥❣ ①Ðt ❧➭
f (n) = C1 cos
Footer Page 21 of 166.
nπ
nπ
+ C2 sin .
3
3
✷✷
Header Page 22 of 166.
số ệ ủ ột q ệ ồ q ó
trò q trọ tr t ọ sẽ ứ ột số tí t q
trọ ủ số r t ộ ụ t ý ệ
tứ
F (n) số
n
ị ĩ
ố số
Fn ị ĩ ở F1 = F2 = 1 ớ
n = 3, 4, ... số Fn ị ở q ệ ồ q s
Fn = Fn2 + Fn1 .
P trì tr t ứ ủ q ệ tr
r2 r 1 = 0.
P trì ó ệ
1+ 5
1 5
r1 =
, r2 =
2
2
ệ tổ qt ủ q ệ tr ó
f (n) = C1
1+ 5
2
n
+C2
1 5
2
n
.
(10)
ó số
C1 , C2 ợ tí từ ệ trì
C1 + C2 = 0
5
(C1 C2 ) = 1.
2
1
1
r t ợ C1 = , C1 =
5
5
ệ tổ qt ó
Fn =
1+ 5
2
1 5
2
5
n
n
.
tứ tr ợ ọ tứ t ự tứ
t ó ị ý s ột tí t tú ị ủ số
Footer Page 22 of 166.
Header Page 23 of 166.
√
1 1+ 5
✷✳✸✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❙è ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ Fn ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❣➬♥ ♥❤✃t ➤è✐ ✈í✐ sè √
2
√5
1 1+ 5
✈➭ ❝➠♥❣
tø❝ ❧➭ sè ❤➵♥❣ an ❝ñ❛ ❝✃♣ sè ♥❤➞♥ ✈í✐ tõ ➤➬✉ t✐➟♥ ❧➭ √
2
5
√
1+ 5
❜é✐ ❧➭
✳
2
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❤❛✐ sè
❘â r➭♥❣ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ trÞ t✉②Öt ➤è✐ ❝ñ❛ ❤✐Ö✉ ❣✐÷❛
1
Fn ✈➭ an ❧✉➠♥ ❧✉➠♥ ❜Ð ❤➡♥ ✳ ❚❛ ❝ã
2
r1n
r1n − r1n − r2n
| r2 |n
r1n − r2n
√
− √ |=|
|= √ .
| Fn − an |=| √
5
5
5
5
√
1− 5
3−1
1
❉♦ | r2 |=|
|<
= 1 ♥➟♥ | Fn − an |< ✳
2
2
2
❙❛✉ ➤➞② t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❞➲② sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐✳
✷✳✸✳✸ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
F1 + F2 + ... + Fn = Fn+2 − 1.
❚❛ ❝ã✿
F1 = F 3 + F2
F2 = F 4 + F3
...
Fn−1 = Fn+1 − Fn
Fn = Fn+2 − Fn+1 .
❈é♥❣ tõ♥❣ ✈Õ ❝ñ❛ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛ ❝ã✿
F1 + F2 + ... + Fn = Fn+2 − F2 ,
♠➭
F2 = 1✳
✷✳✸✳✹ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
F1 + F3 + ... + F2n−1 = F2n .
Footer Page 23 of 166.
✷✹
n
✱
Header Page 24 of 166.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❛ ❝ã✿
F 1 = F2
F3 = F4 − F2
F5 = F6 − F4
...
F2n−1 = F2n − F2n−2 .
❈é♥❣ tõ♥❣ ✈Õ ❝ñ❛ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✷✳✸✳✺ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
F2 + F4 + ... + F2n = F2n+1 − 1.
❚õ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✸✳✸ t❛ ❝ã✿
F1 + F2 + F3 + ... + F2n = F2n+2 − 1.
❚rõ tõ♥❣ ✈Õ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❝❤♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✹ t❛ ➤➢î❝✿
F2 + F4 + ... + F2n = F2n+2 − 1 − F2n = F2n+1 − 1.
✷✳✸✳✻ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n+1 Fn = (−1)n+1 Fn−1 + 1✳
❚õ ❝➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✸✳✹ ✈➭ ✷✳✸✳✺ t❛ ➤➢î❝
F1 − F2 + F3 − F4 + ... + F2n−1 − F2n = −F2n−1 + 1.
❈é♥❣ t❤➟♠ ✈➭♦ ❤❛✐ ✈Õ
(1)
F2n+1 t❛ ❝ã✿
F1 − F2 + F3 − F4 + ... − F2n + F2n+1 = F2n + 1.
(2)
❈➠♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✸✳✻ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❦Õt ❤î♣ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✶✮ ✈➭ ✭✷✮
✭t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐
n ❧❰ ✈➭ n ❝❤➼♥✮✳
✷✳✸✳✼ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
F1 2 + F2 2 + ... + Fn 2 = Fn Fn+1 ✳
Footer Page 24 of 166.
✷✺
Header Page 25 of 166.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❛ ❝ã✿
Fk Fk+1 − Fk−1 Fk = Fk (Fk+1 − Fk−1 ) = Fk 2 .
❉♦ ➤ã
F1 2 = F1 F2
F22 = F2 F3 − F1 F2
F32 = F3 F4 − F2 F3
...
Fn2 = Fn Fn+1 − Fn−1 Fn
❈é♥❣ tõ♥❣ ✈Õ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭②✱ t❛ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✷✳✸✳✽ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❱í✐
Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦
m✳
m = 1 t❛ ❝ã Fn+1 = Fn−1 F1 + Fn F2 . ❱❐② ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤ó♥❣ ✈í✐ m = 1✳
●✐➯ sö ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤ó♥❣ ✈í✐
m = k. ❙✉② r❛
Fn+k = Fn−1 Fk + Fn Fk+1 .
❈➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤ó♥❣ ✈í✐
m = k + 1. ❚❤❐t ✈❐②
Fn+k+1 = Fn+k + Fn+k−1
➳♣ ❞ô♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❛ ❝ã
Fn+k+1 = Fn−1 Fk + Fn Fk+1 + Fn−1 Fk−1 + Fn Fk
= Fn−1 (Fk + Fk−1 ) + Fn (Fk + Fk+1 ) = Fn−1 Fk+1 + Fn Fk+2 ,
➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✷✳✸✳✾ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
2
2
F2n = Fn+1
− Fn−1
✳
Footer Page 25 of 166.
✷✻
