Về các dãy hồi quy tuyến tính .pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




Hoàng Thanh Nghị



VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC







Thái Nguyên – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THANH NGHỊ





VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH




Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05



L
L
U
U
Ậ
Ậ
N
N


V

V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O
O
Á
Á
N

N


H
H
Ọ
Ọ
C
C





NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Hà Huy Khoái





THÁI NGUYÊN - 2008
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
▲ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ tr✉②Ò♥ t❤è♥❣ ❝ñ❛ sè ❤ä❝✳ ◆❤✐Ò✉ ❞➲② sè q✉❛♥ trä♥❣ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉❛
❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉②✳ ◆æ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤✃t tr♦♥❣ sè ❝➳❝ ❞➲② sè ♥❤➢ ✈❐② ❧➭ ❝➳❝ sè
❋✐❜♦♥❛❝❝✐✱ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s✳
▼➷❝ ❞ï ❝ã ❧Þ❝❤ sö ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❧➞✉ ➤ê✐✱ ❝➳❝ sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ✈➭ ▲✉❝❛s ✈➱♥ ❝❤ø❛
➤ù♥❣ ♥❤✐Ò✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t t❤ó ✈Þ ❝❤➢❛ ➤➢î❝ ❜✐Õt ➤Õ♥✱ ✈➭ ❧✉➠♥ ❧✉➠♥ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣
♥❤÷♥❣ ➤Ò t➭✐ trä♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt sè ❤✐Ö♥ ➤➵✐✳

❇➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤
♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛ ❞➲② sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ♠ét sè
tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➢î❝ ♣❤➳t ❤✐Ö♥ r✃t ❣➬♥ ➤➞② ✭✷✵✵✼✮ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s✳
❇è ❝ô❝ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➢ s❛✉✿
❈❤➢➡♥❣ ✶ ✧▲ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢✧ ❞➭♥❤ ➤Ó ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠✱ ❝➳❝ tÝ♥❤
❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢✱ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✱ sè
❣✐➯ ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❤➺♠ ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝➳❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s❛✉✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ✧❈➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉②✧ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ö
❤å✐ q✉②✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤Ö sè
❤➺♥❣ rå✐ tõ ➤ã ➤➢❛ r❛ ♥❣❤✐Ö♠ tæ♥❣ q✉➳t ❝❤♦ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝
tr➢♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐✳ ◆❣♦➭✐ r❛ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②
❝ò♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➲② sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛
❞➲② sè ♥➭②✳
❈❤➢➡♥❣ ✸ ✧▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t sè ❤ä❝ ❝ñ❛ sè ▲✉❝❛s✧ ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét
sè ❦Õt q✉➯ ❣➬♥ ➤➞② ❝ñ❛ ❞➲② ▲✉❝❛s✳ ❈ô t❤Ó ❧➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè
❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❞➲② ▲✉❝❛s ✈➭ sù ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s ❣✐➯ ♥❣✉②➟♥
tè ❦❤➠♥❣ ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ❍➭
❍✉② ❑❤♦➳✐✳ ◆❤ê ❚❤➬② t➠✐ ➤➲ ❜➢í❝ ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈➭ s❛② ♠➟ ✈í✐ ❚♦➳♥ ❤ä❝✳
◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳
❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❜❛♥ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ ✲
✹
➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ➤➲ tr❛♥❣ ❜Þ ❦✐Õ♥ t❤ø❝✱ t➵♦
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ➤➞②✳
❚➠✐ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❇●❍ ❚r➢ê♥❣ ❈➜ ❑✐♥❤ tÕ ❑ü t❤✉❐t ➜✐Ö♥ ❇✐➟♥ ✈➭ ❝➳❝ ➤å♥❣
♥❣❤✐Ö♣ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛
♠×♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤
❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
✺

❈❤➢➡♥❣ ✶
▲ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢
✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥
✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ●✐➯ sö a✱ b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✳ ❚❛ ♥ã✐ r➺♥❣ a ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ b
♠➠➤✉❧➠ m ♥Õ✉ m|(a − b)✳
❑❤✐ a ➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐ b ♠➠➤✉❧➠ m✱ t❛ ✈✐Õt
a ≡ b(modm).
◆Õ✉ a ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ❞➢ b ♠➠➤✉❧➠ m✱ t❛ ✈✐Õt
a ≡ b(modm).
✶✳✶✳✷ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ◆Õ✉ a ✈➭ b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ t❤× a ≡ b(modm) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø
❦❤✐ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ k s❛♦ ❝❤♦ a = b + km.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö a ≡ b(modm)✳ ❑❤✐ ➤ã m|(a− b)✱ tø❝ ❧➭ a− b = km ✈í✐
sè ♥❣✉②➟♥ k ♥➭♦ ➤ã✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ k s❛♦ ❝❤♦ a = b + km
t❤× m|(a − b)✱ tø❝ ❧➭ a ≡ b(modm).
✶✳✶✳✸ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳ ●✐➯ sö m ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ◗✉❛♥ ❤Ö ➤å♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠
m t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞②✿
✶✮ ✭❚Ý♥❤ ❝❤✃t ♣❤➯♥ ①➵✮✳ ◆Õ✉ a ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥✱ t❤×
a ≡ a(modm).
✷✮ ✭❚Ý♥❤ ❝❤✃t ➤è✐ ①ø♥❣✮✳ ●✐➯ sö a ✈➭ b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉
a ≡ b(modm) t❤× b ≡ a(modm).
✻
í t sử a b c số ó ế
a b(modm) b c(modm) tì a c(modm)
ứ ó a a(modm) ì m|(a a)
sử a b(modm) tứ m|(a b) ó m|(b a) b
a(modm)
ế a b(modm) b c(modm) tì m|(a b) m|(b c) ó
m|(a c) ì (a c) = (a b) + (b c)
ờ tí t tr ớ ỗ số m t ó tể t
ợ số t ớ ồ m số ù

tộ ột ớ ồ m ỉ ú ồ ớ
m
ị ĩ ột ệ t ủ m ột t ợ
số s ỗ số tỳ ý ề ồ m ớ ú
ột số ủ t ợ
í ụ ợ số 0, 1, ..., m1 ột ệ t ủ
m ệ ọ ệ t é t m
sử m ột số ó t ợ số

m 1
2
,
m 3
2
, ..., 0, 1, ...,
m 3
2
,
m 1
2
ệ t ủ ợ ọ ệ t tệt ố é t m
ị ý sử a, b, c m số m > 0 a b(modm)
ó
a + c b + c(modm),
a c b c(modm),
ac bc(modm).
ứ ì a b(modm) m|(a b) (a + c) (b + c) = a b
m|[(a + c) (b a)] ợ ứ
tự ợ s r từ ỗ (a c) (b c) = a b

➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✸✮ t❛ ❝❤ó ý r➺♥❣ ac− bc = c(a− b) ♥➟♥ tõ m|(a− b) s✉②
r❛ m|c(a − b)✱ tø❝ ❧➭ ac ≡ bc(modm).
❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ❧➭♠ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ❝ï♥❣ ♠ét ➤å♥❣
❞➢ ❝❤♦ ♠ét sè✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥
2002 ≡ 4(mod6)
♥❤➢♥❣
2002
2
= 1001 = 2(mod6).
✶✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö a, b, c ✈➭ m ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ m > 0 ✈➭
ac ≡ bc(modm) ✈➭ d = (c, m)✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
a ≡ b(mod
m
d
).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö ac ≡ bc(modm)✳ ❚❛ ❝ã m|(ac − bc) = c(a − b)✳ ❉♦ ➤ã
tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ k s❛♦ ❝❤♦ c(a − b) = km✳ ❈❤✐❛ ❤❛✐ ✈Õ ❝❤♦ d t❛ ➤➢î❝✿
c
d
(a − b) = k
m
d
.
❱×

c
d
,
m
d


= 1 ♥➟♥ tõ ➤ã s✉② r❛
m
d
|(a − b)✱ tø❝ ❧➭
a ≡ b(mod
m
d
).
❱Ý ❞ô✿ 2002 ≡ 2(mod5)✳ ❉♦ (2, 5) = 1 ♥➟♥ t❛ ❝ã
1001 ≡ 1(mod5).
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❤Ö q✉➯ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻✳
✶✳✶✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ◆Õ✉ a, b, c ✈➭ m ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ s❛♦ ❝❤♦ m > 0✱ (c, m) = 1✱
✈➭ ac ≡ bc(modm)✳ ❑❤✐ ➤ã a ≡ b(modm).
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✼ ❝ã t❤Ó ♠ë ré♥❣ t❤➭♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞②✱ ❝❤♦ t❛ t❤✃② r➺♥❣
❝ã t❤Ó ❧➭♠ ♠ét sè ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ sè ❤ä❝ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❧í♣ ➤å♥❣ ❞➢ ♥❤➢ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝
sè ♥❣✉②➟♥✳
✽
✶✳✶✳✽ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ◆Õ✉ a, b, c, d ✈➭ m ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ m > 0✱ a ≡ b(modm)✱
c ≡ d(modm)✳ ❑❤✐ ➤ã✿
✶✮ a + c ≡ b + d(modm),
✷✮ a − c ≡ b − d(modm),
✸✮ ac ≡ bd(modm).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱× a ≡ b(modm)✱ c ≡ d(modm) ♥➟♥ m|(a− b), m|(c− d). ❉♦
➤ã tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ k ✈➭ l s❛♦ ❝❤♦ km = a − b, lm = c − d✳
➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✶✮✱ t❛ ♥❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣ (a+c)−(b+d) = km+lm = (k+l)m.
❉♦ ➤ã m|[(a + c) − (b + d)] tø❝ ❧➭ a + c ≡ b + d(modm)✳
➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✷✮ t❛ ❝❤ó ý r➺♥❣ (a− c)− (b − d) = (a− b)− (c− d) =
km−lm = (k−l)m✳ ❉♦ ➤ã m|[(a−c)−(b−d)]✱ tø❝ ❧➭ a−c ≡ b−d(modm).
➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ✸✮✱ t❛ t❤✃② ac−bd = ac−bc+bc−bd = c(a−b)+b(c−d) =

ckm + blm✱ tø❝ ❧➭ m|(ac − bd)✳ ❉♦ ➤ã ac ≡ bd(modm).
✶✳✶✳✾ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö r
1
, r
2
, ..., r
m
❧➭ ❤Ö ➤➬② ➤ñ ❝➳❝ t❤➷♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠ m✱ a
❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ✈➭ (a, m) = 1✳ ❑❤✐ ➤ã
ar
1
+ b, ar
2
+ b, ..., ar
m
+ b
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ ➤➬② ➤ñ ♠➠➤✉❧➠ m✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣✱ tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥
ar
1
+ b, ar
2
+ b, ..., ar
m
+ b
❦❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sè ♥➭♦ ➤å♥❣ ❞➢ ♥❤❛✉ ♠➠➤✉❧➠ m✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉
ar
j
+ b ≡ ar
k

+ b(modm)
t❤×
ar
j
≡ ar
k
(modm).
❉♦ (a, m) = 1 ♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✼ t❛ ❝ã
r
j
≡ r
k
(modm).
✾
❱× r
j
≡ r
k
(modm) ♥Õ✉ j = k ♥➟♥ t❛ s✉② r❛ j = k✳
❉♦ t❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ ➤➞② ❣å♠ m sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠
m ♥➟♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ➤ã ❧❐♣ t❤➭♥❤ ❤Ö t❤➷♥❣ ❞➢ ➤➬② ➤ñ ♠➠➤✉❧➠ m✳
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ❝❤♦ t❤✃② r➺♥❣✱ ❝➳❝ ➤å♥❣ ❞➢ ➤➢î❝ ❜➯♦ t♦➭♥ ♥Õ✉ ❝➯ ❤❛✐ ✈Õ ➤➢î❝
♥➞♥❣ ❧➟♥ ❝ï♥❣ ♠ét ❧✉ü t❤õ❛ ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳
✶✳✶✳✶✵ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö a, b, k, m ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ k > 0,
m > 0, a ≡ b(modm)✳ ❑❤✐ ➤ã
a
k
≡ b
k
(modm).

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ a ≡ b(modm)✱ t❛ ❝ã m|(a − b)✳ ❱×
a
k
− b
k
= (a − b)(a
k−1
+ a
k−2
b + ... + ab
k−2
+ b
k−1
)
♥➟♥ (a − b)|(a
k
− b
k
)✳ ❱❐② m|(a
k
− b
k
)✱ tø❝ ❧➭ a
k
≡ b
k
(modm)✳
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝➳❝ sè a, b ➤å♥❣ ❞➢ ♥❤❛✉ ♠➠➤✉❧➠ ♥❤✐Ò✉ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣
❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❦Õt ❤î♣ ❧➵✐ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳
✶✳✶✳✶✶ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö a ≡ b(modm

1
), a ≡ b(modm
2
), ..., a ≡ b(modm
k
),
tr♦♥❣ ➤ã a, b, m
1
, ..., m
k
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✱ m
1
, m
2
, ..., m
k
> 0. ❑❤✐ ➤ã
a ≡ b(mod[m
1
...m
k
])
tr♦♥❣ ➤ã [m
1
...m
k
] ❧➭ ❜é✐ ❝❤✉♥❣ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ m
1
, ..., m
k

✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱× a ≡ b(modm
1
), a ≡ b(modm
2
), ..., a ≡ b(modm
k
), ♥➟♥ t❛
❝ã m
1
|(a − b), m
2
|(a − b), ..., m
k
|(a − b)✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ r➺♥❣
[m
1
, m
2
, ..., m
k
]|(a − b),
tø❝ ❧➭
a ≡ b(mod[m
1
...m
k
]).
✶✵
ệ q sử a b(modm

1
), a b(modm
2
), ..., a b(modm
k
),
tr ó a, b m
1
, m
2
, ..., m
k
số tố ù
từ ó
a b(modm
1
...m
k
).
ứ m
1
, m
2
, ..., m
k
số tố ù
từ t ó
[m
1
m

2
...m
k
] = m
1
m
2
...m
k
.
ó ệ q ợ s trự tế từ ị ý
ồ tế tí
ột ồ
ax b(modm),
tr ó x ột số ết ợ ọ ồ tế tí ột
ế sẽ t r ệ ứ ồ t t
tự ệ ứ trì ệ ế
rớ t t ét r ế x = x
0
ột ệ ủ ồ
ax b(modm) ế x
1
x
0
(modm) tì ax
1
ax
0
b(modm) x
1

ũ ột ệ ế ột tử ủ ột ớ ồ
m ó ột ệ tì ọ tử ủ ớ ó ũ ệ ì
tế ó tể t ỏ tr m ớ ồ ó ớ
ệ ột t ó ệ ồ
m
ị ý sử a, b, m số m > 0 (a, m) = d ế
d |b tì ồ ax b(modm) ệ ế d|b tì ax b(modm) ó
ú d ệ ồ m
ứ ố x ệ ủ ồ ax b(modm) ế
ỉ ế tồ t số y s ax my = b ì d = (a, m) d|b
ế d |b tì ồ ét tồ t ệ

❇➞② ❣✐ê ❣✐➯ sö d|b✳ ❱× d = (a, m) ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ s, t s❛♦ ❝❤♦
d = as + mt.
▼➷t ❦❤➳❝✱ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ e s❛♦ ❝❤♦ b = de✳ ❚õ ➤ã t❛ ➤➢î❝
b = a(se) + m(te).
◆❤➢ ✈❐②✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❧✃② ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❞➢ ❧➭ x
0
= se✳ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ tá
r➺♥❣✱ ❝➳❝ sè
x = x
0
+ m

a
d

k,
tr♦♥❣ ➤ã k ♥❣✉②➟♥✱ ➤Ò✉ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ➤å♥❣ ➤➢ ➤❛♥❣ ①Ðt✳ ❚❤❐t ✈❐②
ax = ax

0
+ m

a
d

k,
♠➭ ax
0
≡ b(modm)✱
a
d
♥❣✉②➟♥ ♥➟♥
ax ≡ ax
0
≡ b(modm).
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♠ä✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❞➢ ➤Ò✉ ♣❤➯✐ ❝ã ❞➵♥❣ ✭✶✮✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯
sö x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ t✉ú ý✱
ax − my = b.
❚❛ ❝ã✿
a(x − se) − m(y + te) = 0
tø❝ ❧➭
a(x − se) = m(y + te).
❈❤✐❛ ❤❛✐ ✈Õ ❝❤♦ d t❛ ➤➢î❝
a
d
(x − se) =
m
d
(y + te).

❉♦ d = (a, m) ♥➟♥ (
a
d
,
m
d
) = 1✱ s✉② r❛
a
d
|(y+te)✳ ❱❐② ♣❤➯✐ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥
k s❛♦ ❝❤♦
a
d
k = (y + te)✱ tø❝ ❧➭ y =
a
d
k− te✳ ❉♦ ➤ã a(x− se) =
a
d
mk✳ ❱❐②✱
x = se +
m
d
k = x
0
+
m
d
k.
✶✷

ò ứ r ó ú d ệ ồ m
sử ệ x
1
= x
0
+
m
d
t
1
x
2
= x
0
+
m
d
t
2
ồ m
x
0
+
m
d
t
1
x
0
+

m
d
t
2
(modm).
ó
m
d
t
1

m
d
t
2
(modm).
ì
m
d
|m (m,
m
d
) =
m
d
t ị ý
t
1
t
2

(modm)
ệ ủ ệ ồ ợ t
x = x
0
+
m
d
t tr ó t q ệ ủ t d
ợ ó ó ú d tử ở t = 0, 1, 2, ..., d 1
ị ĩ sử a, m số m > 1 ệ ủ ồ

ax 1(modm)
ợ ọ ị ủ a m
ệt ó ữ số ị ủ í ó ột số
tố p
ệ ề sử p ột số tố ố a ị
p ủ í ó ỉ
a 1(modp)

a 1(modp).
ứ ế a 1(modp) a 1(modp) tì a
2
1(modp)
a ị ủ í ó
ợ sử a ị ủ í ó tứ
a
2
= a.a 1(modp).
ó p|(a
2

1) ì (a
2
1) = (a1)(a+1) p tố p|(a1)
p|(a + 1) ó a 1(modp) a 1(modp)

✶✳✸ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð
✶✳✸✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✮✳ ●✐➯ sö p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ a ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥
❞➢➡♥❣ ✈í✐ p  |a✳ ❑❤✐ ➤ã a
p−1
≡ 1(modp)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳Ðt p− 1 sè ♥❣✉②➟♥ a, 2a, ..., (p− 1)a✳ ❑❤➠♥❣ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➭♦
tr♦♥❣ ❝➳❝ sè ♥ã✐ tr➟♥ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ p✱ ✈× p|ja ✈í✐ j ♥➭♦ ➤ã t❤× p|j ❞♦ (a, p) = 1✳
▼➭ t❛ ❝ã 1 ≤ j ≤ p − 1✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➭♦ tr♦♥❣ ❞➲②
tr➟♥ ➤å♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠ p✳ ❚❤❐t ✈❐② ♥Õ✉ ja ≡ ka(modp) t❤× ❞♦ (a, p) = 1 ♥➟♥
s✉② r❛ j ≡ k(modp)✱ tø❝ ❧➭ j = k✱ ✭✈× 1 ≤ j ≤ p − 1✮✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ❝➳❝ sè
♥❣✉②➟♥ a, 2a, ..., (p − 1)a ❧➭ t❐♣ ❤î♣ (p − 1) sè ♥❣✉②➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ➤➢ ✵ ✈➭
❦❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sè ♥➭♦ ➤å♥❣ ❞➢ ♥❤❛✉ ♠➠➤✉❧➠ p✱ ♥➟♥ ❝➳❝ t❤➷♥❣ ❞➢ ❞➢➡♥❣ ❜Ð
♥❤✃t ❝ñ❛ ❤Ö ➤ã ♣❤➯✐ ❧➭ 1, 2, ..., (p − 1) ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù ♥➭♦ ➤ã✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛
a.2a...(p − 1)a ≡ 1.2...(p − 1)(modp).
❱❐②
a
p−1
(p − 1)! ≡ (p − 1)!(modp).
❱× ((p − 1)!, p) = 1 ♥➟♥ t❛ ➤➢î❝
a
p−1
≡ 1(modp).
✶✳✸✳✷ ❍Ö q✉➯✳ ●✐➯ sö p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ a ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã
a
p

≡ a(modp)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆Õ✉ p  |a t❤× t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✱ t❛ ❝ã
a
p−1
≡ 1(modp).
◆❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ✈í✐ a t❛ ➤➢î❝
a
p
≡ a(modp).
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ p|a t❤× p|a
p
♥➟♥ a
p
≡ a ≡ 0(modp)✳
✶✹
✶✳✸✳✸ ❍Ö q✉➯✳ ●✐➯ sö p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈➭ a ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ✈í✐ p  |a✳ ❑❤✐
➤ã a
p−2
❧➭ ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ ❝ñ❛ a ♠➠➤✉❧➠ p✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö p  |a✳ ❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð t❛ ❝ã
a.a
p−2
= a
p−1
≡ 1(modp).
❱❐② a
p−2
❧➭ ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦ ❝ñ❛ a ♠➠➤✉❧➠ p✳
✶✳✸✳✹ ❍Ö q✉➯✳ ●✐➯ sö a, b ❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ✈➭ p ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè✱ p  |a✳
❑❤✐ ➤ã ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

ax ≡ b(modp)
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ x s❛♦ ❝❤♦ x ≡ a
p−2
b(modp)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö ax ≡ b(modp)✳ ❱× p  |a ♥➟♥ a
p−2
❧➭ ♠ét ♥❣❤Þ❝❤ ➤➯♦
❝ñ❛ a(modp)✳ ❚õ ➤ã t❛ ❝ã✿
x ≡ a
p−2
ax ≡ a
p−2
b(modp).
✶✳✹ ❙è ❣✐➯ ♥❣✉②➟♥ tè
❚❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✱ ♥Õ✉ n ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè t❤× ✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ b t❛
❝ã b
n
≡ b(modn)✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ♥Õ✉ ❝ã sè ♥❣✉②➟♥ b s❛♦ ❝❤♦ b
n
≡ b(modn)
t❤× n ♣❤➯✐ ❧➭ ❤î♣ sè✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð ❧➵✐ ❦❤➠♥❣ ❝❤♦ t❛ ❝➳❝❤
❦✐Ó♠ tr❛ ①❡♠ ♠ét sè n ❝ã ♣❤➯✐ ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ tè ❤❛② ❦❤➠♥❣✳ ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱
♣❤➬♥ ➤➯♦ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❜❛♦ ❣✐ê ❝ò♥❣ ➤ó♥❣✳ ❱Ý ❞ô✿ ✈í✐
n = 341, b = 2 t❛ ❝ã✿ n = 11.31✱
2
340
= (2
10
)
34

≡ 1(mod11);
2
340
= (2
5
)
68
= 32
68
≡ 1(mod31).
❚õ ➤ã s✉② r❛ 2
340
≡ 1(mod341)✱ ♥❤➢♥❣ n = 341 ❧➭ ❤î♣ sè✳
✶✺